三角形张角公式的类比
三角形的五心一次看个够
三角形的五心一次看个够三角形中有许多重要的特殊点，特别是三角形的“五心”，在解题时有很多应用，在这里分别给予介绍．一、三角形外心的性质外心定理的证明：如图，设AB 、BC 的中垂线交于点O ，则有OA =OB =OC ，故O 也在A 的中垂线上，因为O 到三顶点的距离相等，故点O 是ΔABC 外接圆的圆心．因而称为外心．设⊿ABC 的外接圆为☉G(R)，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，p=(a+b+c)/2．1：（1）锐角三角形的外心在三角形内；（2）直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合； （3）钝角三角形的外心在三角形外. 2：∠BGC=2∠A ，（或∠BGC=2(180°-∠A).3：点G 是平面ABC 上一点，那么点G 是⊿ABC 外心的充要条件是： 点G 是ABC ∆的外心⇔GA GB GC == (或GA 2=GB 2=GC 2)(点G 到三顶点距离相等)⇔(GA +GB )·AB =(GB +GC )·BC =(GC +GA )·CA =0(G 为三边垂直平分线的交点)4：点G 是平面ABC 上一点，点P 是平面ABC 上任意一点，那么点G 是⊿ABC 外心的充要条件是：PG =((tanB+tanC) PA +(tanC+tanA) PB +(tanA+tanB) PC )/2(tanA+tanB+tanC).或PG =(cosA/2sinBsinC)PA +(cosB/2sinCsinA)PB +(cosC/2sinAsinB)PC . 5：R=abc/4S ⊿ABC.正弦定理：2R=a/sinA=b/sinB=c/sinC 。
6.外心坐标：给定112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y 求外接圆心坐标O （x ，y ）①. 首先，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，我们根据圆心到顶点的距离相等，可以列出以下方程：22221122()()()()x x y y x x y y ---=--- 22223322()()()()x x y y x x y y ---=--- ②.化简得到：2222212122112()2()x x x y y y x y x y -+-=+--2222232322332()2()x x x y y y x y x y -+-=+--令1212()A x x =-；1212()B y y =-;222212211C x y x y =+-- 2232()A x x =-；2232()B y y =-;222222233C x y x y =+--A B C O7.若O 是△ABC 的外心，则S △BOC ：S △AOC ：S △AOB =sin ∠BOC ：sin ∠AOC ：sin ∠AOB=sin∠2A ：sin ∠2B ：sin ∠2C 故sin ∠2A ·OA +sin ∠2B ·OB +sin ∠2C ·OC =0 证明：设O 点在ABC ∆内部，由向量基本定理，有()+∈=++R r n m OC r OB n OA m ,,0，则r n m S S S AOB COA BOC ::::=∆∆设：r n m ===,,，则点O 为△DEF 的重心， 又EOF BOC S nr S ∆∆=1，DOF AOC S mr S ∆∆=1，DOE AOB S mnS ∆∆=1，∴r n m S S S AOB COA BOC ::::=∆∆若O 是△ABC 的外心，则S △BOC ：S △AOC ：S △AOB =sin ∠BOC ：sin ∠AOC ：sin ∠AOB =sin∠2A ：sin ∠2B ：sin ∠2C故si n ∠2A ·OA +si n ∠2B ·OB +si n ∠2C ·OC =0二、三角形的内心内心定理的证明：如图，设∠A 、∠C 的平分线相交于I 、过I 作ID ⊥BC ，IE ⊥AC ，IF ⊥AB 则有IE=IF =ID ．因此I 也在∠C 的平分线上，即三角形三0aOA bOB cOC ++=。
数学三角形的证明题公式
数学三角形的证明题公式
数学中三角形的证明题通常涉及到三角函数、勾股定理、余弦定理等公式。
其中，勾股定理是三角形证明的基础，如果掌握了勾股定理，就可以通过三角函数、余弦定理等公式推导出更复杂的三角形证明题。
勾股定理：在直角三角形中，直角边的平方等于另外两边平方和，即a+b=c
三角函数：正弦、余弦、正切等函数可以用来求出三角形中各边和角的关系。
例如，正弦定理就是用正弦函数来表示三角形的边和角之间的关系。
余弦定理：余弦函数可以用来求出三角形中两条边和它们夹角的关系，即c=a+b-2abcosC。
通过掌握这些公式，可以轻松解决各种三角形证明题，例如证明三角形相似、证明三角形内角和为180度等问题。
同时，还需要掌握一些三角形的基本性质，如中位线定理、高线定理、垂线定理等，以便更好地解决问题。
- 1 -。
三角形及三角函数公式
三角函数一共有6个:直角三角形中:正弦:sin 对边比斜边余弦:cos 邻边比斜边正切:tan 对边比邻边余切:cot 邻边比对边正割:csc 斜边比对边余割:sec 斜边比邻边设三角形三个内角分别为A,B,C;对边分别为a,b,c正弦定理:a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,(R为该三角形外接圆半径)余弦定理:c2=a2+b2-2abcosCb2=a2+c2-2accosBa2=b2+c2-2bccosA由余弦定理可推导出:a=bcosC+ccosBb=ccosA+acosCc=acosB+bcosA海仑公式:SΔABC=√[p(p-a)(p-b)(p-c)],而公式里的p为半周长: p=(a+b+c)/21 三角函数公式大全一,诱导公式口诀:(分子)奇变偶不变,符号看象限.1. sin (α+k·360)=sin αcos (α+k·360)=cos atan (α+k·360)=tan α2. sin(180°+β)=-sinαcos(180°+β)=-cosa3. sin(-α)=-sinacos(-a)=cosα4*. tan(180°+α)=tanαtan(-α)=tanα5. sin(180°-α)=sinαcos(180°-α)=-cosα6. sin(360°-α)=-sinαcos(360°-α)=cosα7. sin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinα8*. Sin(3π/2-α)=-cosαcos(3π/2-α)=-sinα9*. Sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+a)=-sinα10*.sin(3π/2+α)=-cosαcos(3π/2+α)=sinα二,两角和与差的三角函数1. 两点距离公式2. S(α+β): sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβC(α+β): cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ3. S(α-β): sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβC(α-β): cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ4. T(α+β):T(α-β):5*.三,二倍角公式1. S2α: sin2α=2sinαcosα2. C2a: cos2α=cos2α-sin2a3. T2α: tan2α=(2tanα)/(1-tan2α)4. C2a': cos2α=1-2sin2αcos2α=2cos2α-1四*,其它杂项(全部不可直接用)1.辅助角公式asinα+bcosα=sin(a+φ),其中tanφ=b/a,其终边过点(a, b) asinα+bcosα=cos(a-φ),其中tanφ=a/b,其终边过点(b,a) 2.降次,配方公式降次:sin2θ=(1-cos2θ)/2cos2θ=(1+cos2θ)/2配方1±sinθ=[sin(θ/2)±cos(θ/2)]21+cosθ=2cos2(θ/2)1-cosθ=2sin2(θ/2)3. 三倍角公式sin3θ=3sinθ-4sin3θcos3θ=4cos3-3cosθ4. 万能公式5. 和差化积公式sinα+sinβ= 书p45 例5(2)sinα-sinβ=cosα+cosβ=cosα-cosβ=6. 积化和差公式sinαsinβ=1/2[sin(α+β)+sin(α-β)] 书p45 例5(1) cosαsinβ=1/2[sin(α+β)-sin(α-β)]sinαsinβ-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]cosαcosβ=1/2[cos(α+β)+cos(α-β)]7. 半角公式书p45 例4小计:57个另：三角函数口诀三角知识，自成体系，记忆口诀，一二三四。
三角形的张角定理
三角形的张角定理
三角形的张角定理是三角形几何中的一个重要定理，它描述了三角形中一个角的张角与另外两个角之间的关系。
这个定理对于解决三角形问题以及理解三角形的性质具有重要意义。
下面将对三角形的张角定理进行详细的介绍和证明。
定义：在三角形ABC中，D是BC边上的任一点，连接AD，则角BAD称为BC边上的张角。
定理：在三角形ABC中，若D是BC边上的任一点，则角BAD的补角等于AB边上的角CAD。
证明：根据三角形内角和定理，我们知道三角形内角和为180度。
因此，我们有：
角BAC + 角ABC + 角ACB = 180度
又因为角BAD是角ABC的一个补角，所以：
角BAD = 180度- 角ABC
同时，角CAD是角ACB的一个补角，所以：
角CAD = 180度- 角ACB
根据上述两个等式，我们可以得到：
角BAD + 角CAD = 180度- 角ABC + 180度- 角ACB = 360度- （角ABC + 角ACB）
= 180度+ 角BAC
由此可知，角BAD的补角等于AB边上的角CAD。
结论：三角形的张角定理表明，三角形中一个角的张角的补角等于另一边的补角。
这个定理可以用来解决一些涉及三角形内角关系的几何问题。
例如，可以利用该定理来寻找角度之间的关系，或者用于证明某些角度之间的关系。
这个定理不仅在几何学中有广泛的应用，也可以用于工程、物理学以及其他领域中的问题解决。
张角公式
证明
设∠1=∠BAD，∠2=∠CAD 由分角定理， S△ABD/S△ABC=BD/BC=(AD/AC)(sin∠1/sin∠BAC) → (BD/BC)(sin∠BAC/AD)=sin∠1/AC (1.1) S△ACD/S△ABC=CD/BC=(AD/AB)(sin∠2/sin∠BAC) → (CD/BC)(sin∠BAC/AD)=sin∠2/AB (1.2) (1.1)式+(1.2)式得 sin∠1/AC+sin∠2/AB=sin∠BAC/AD
应用
把平面几何和三角函数紧密相连，它给出了用三角法处理平面几何问题的一个颇为有用的公式，并且是一个 非常有效的证明三点共线的手段。用它去解几何题，适当地配合三角形面积公式、正弦定理、三角公式、几何知 识，可以大大简化解题步骤，众多的几何问题可以得到简捷统一的解决。
感谢观看
公式
在△ABC中，D是BC上的一点。连结AD。张角定理指出:sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD
逆定理
如果 sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD， 那么B,D,C三点共线。
推论
在定理的条件下，且∠BAD=∠CAD，即AD平分∠BAC，则B D C共线的充要条件是： 2cos∠BAD/AD=1/AB+1/AC
张角公式
数学术语
01 公式
03 推论 05 应用
目录
02 逆定理 04 证明
张角公式的是一个能把平面几何和三角函数紧密相连的大角正弦与分角线之比。
在△ABC中，D是BC上的一点。连结AD。张角定理指出:sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD
三角函数知识点归纳
单调减区间可由2k ＋ ≤x＋≤2k ＋ ，k∈z解得。
在求 的单调区间时，要特别注意A和 的符号，通过诱导公式先将 化正。
如函数 的递减区间是______
（答：
解析：y= ，所以求y的递减区间即是求 的递增区间，由 得
，所以y的递减区间是
四、函数 的图像和三角函数模型的简单应用
终边在 轴上的角的集合为
终边在 轴上的角的集合为
终边在坐标轴上的角的集合为
(2)终边与角α相同的角可写成α＋k·360°(k∈Z)．终边与角 相同的角的集合为
(3)弧度制
①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
②弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．
③半径为 的圆的圆心角 所对弧的长为 ，则角 的弧度数的绝对值是
公式二：sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α，tan(π＋α)＝tanα.
公式三：sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝－cos_α， ．
公式四：sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α， .
公式五：sin ＝cos_α，cos ＝sinα.
公式六：sin ＝cos_α，cos ＝－sin_α.
（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，寻找条件与结论中角的关系，运用角的变换，使问题获解，对角的变形如：
① 是 的二倍； 是 的二倍； 是 的二倍； 是 的二倍；
② ；问： ； ；
③ ；④ ；⑤ ；等等.
如[1] . （答案： ）
④若扇形的圆心角为 ，半径为 ，弧长为 ，周长为 ，面积为 ，则 ， ， ．
三角函数公式的推导及公式大全
诱导公式目录·诱导公式·诱导公式记忆口诀·同角三角函数基本关系·同角三角函数关系六角形记忆法·两角和差公式·倍角公式·半角公式·万能公式·万能公式推导·三倍角公式·三倍角公式推导·三倍角公式联想记忆·和差化积公式·积化和差公式·和差化积公式推导诱导公式★诱导公式★常用的诱导公式有以下几组：公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanαcot（2kπ＋α）＝cotα公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanαsin（3π/2＋α）＝－cosαcos（3π/2＋α）＝sinαtan（3π/2＋α）＝－cotαcot（3π/2＋α）＝－tanαsin（3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinαtan（3π/2－α）＝cotαcot（3π/2－α）＝tanα(以上k∈z)诱导公式记忆口诀※规律总结※上面这些诱导公式可以概括为：对于k·π/2±α(k∈z)的个三角函数值，①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan.（奇变偶不变）然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。
三角形对于相当于词语类比推理
《三角形对于相当于词语类比推理》1、简介三角形是几何学中的基本形状之一，具有独特的属性和特点。
在日常生活中，我们经常使用类比推理来加深对事物的理解。
本文将探讨三角形对于相当于词语类比推理的联系和共通之处，以启发读者更深入地理解这一推理方式。
2、三角形的形状特点三角形是由三条边和三个角组成的几何图形。
其特点包括三条边的长度和三个角的大小有特定的关系，一般有内角和为180度的特点。
在三角形中，不同类型的三角形（如等边三角形、等腰三角形、直角三角形等）具有不同的特点和性质。
3、词语类比推理的基本概念词语类比推理是一种常见的逻辑推理方式，通过对两组词语的关系进行比较和类比，得出某种规律或结论。
“匹配”是手套的关系，“缝纫”是针线的关系，可推出“掌握”是技能的关系。
4、三角形与词语类比推理的联系三角形本身具有多样性和多变性，同样，词语类比推理也是一种多样性和多变性的逻辑推理方式。
在词语类比推理过程中，我们常常需要从不同角度和层次去理解搭配关系、推理规律等，这与探讨三角形在不同条件下的性质和特点有异曲同工之处。
5、三角形的应用三角形作为几何学中的基本图形，具有广泛的应用价值，涉及到建筑、工程、天文学等多个领域。
同样，词语类比推理也在语言、逻辑、思维等方面具有重要的应用价值。
通过深入理解三角形的属性和特点，我们可以更好地应用这一形状，同样地，通过词语类比推理，我们可以更加全面地理解和运用规律推理。
6、总结与回顾通过本文的探讨，我们可以看到三角形对于相当于词语类比推理有着紧密的联系。
在思维和学习中，我们可以借助三角形的特点，以及词语类比推理的规律，来更好地理解和运用知识。
希望读者们可以通过本文的思考，更加全面、深刻和灵活地理解这一推理方式，并在实际生活中加以运用。
7、个人观点个人认为，三角形对于相当于词语类比推理，不仅可以启发我们在几何学和数学问题中寻找规律和解答问题，也可以引发我们在语言和逻辑推理中进行更加深入和细致的思考。
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中学 数 学 月 刊
２ Ｏ 年 第 ８期 Ｏ６
证 明 因为
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Ｊ ＿平 面 ＡＢ 所 以 Ｓ Ｃ， Ａ
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２ ０ 年 第 ８期 ０６
中学 数学 月 刊
・ ７・ ４
这 是 用 换 元 法 在 解 （ ）题 时 常 犯 的 一 证 个错 误 ， 例 给 我 们 的启 示 是 ， （ ）有 关 本 解 证 题 目时 ， 一定 要注 意“ ”的等 价性 ． 设
由 Ｖ ＾（一 Ｖ ＾Ｄ＋ Ｖ ＾Ｄ 得 ｓ Ｂ ５ Ｂ （，
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Ｚ ＡＢ
２
・ＡＣ ．ｓｎ（ ｉ ａ＋ ）・５
三角形界心、 重心、 切心” 和“ 的共同性质
Ａ Ｃ
１
一
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ｓ ｎ ａ・５ ＋ １ － １ ＡＢ ・ＡＤ ・ ｉ
２
・
姚汝 刚 （ 安徽枞 阳县牛集综合 高中 ２６１ ） ４７６ 设 Ｇ 为 △ ＡＢ 的 重 心 ， ， Ｃ ＡＤ ＢＥ， Ｆ 为 Ｃ
Ｓ — Ｄ 为 口 Ｃ— Ｓ — Ｄ Ａ Ａ ， Ａ
Ｃ
性 质 能 类 比 到 四 面 体 ， 么 三 角 形 张 角 公 式 那
能 否 类 比 到 四 面 体 呢 ？ 此 ， 者 进 行 了研 对 笔
究 ， 到如 下 两个 结果． 得 三 角 形 张 角 公 式
如 图 １ 点 Ｃ是 △Ｐ ， ＡＢ边 Ａ Ｂ上 一点 ， Ｐ 点 对线 段 Ａ ＢＣ的张 角分 别 为 ａ 卢， Ｃ， ， 则 ｓ （ ｉ 口＋ 卢 ｓｎＡＢ 内切 圆 ｏ 切 Ｂ Ｃ ＡＢ 于点 ， Ｃ Ｃ， Ａ， Ｂ ， 则 Ａ‘ ， Ｃ 于 Ｑ， 叫做 “ Ｃ ， ４ ＢＢ ， Ｃ 交 可 切 心 ” 也 有此性 质 ： ）
定 理 １ ｏ ｊ △ ＡＢ 的 边 ＢＣ， Ａ， Ｂ 切 Ｃ Ｃ Ａ
即
一 ｉ ｓｎ ａ
个 结 论 ． 后 深 受 启 发 ， 然 三 角 形 角 平 分 线 读 既
七 ＰＢ・ ｓｎ ８ ＰＣ ｉ ． 两边 同除 以
ＰＣ ＰＢ
ｐＡ ・ＰＢ ・Ｐ ｃ，即 得
‘ ＰＡ ’
ｓ （ ｉ 口＋ 卢 ｓｎ口 ．ｓｎ卢 ｎ ） ｉ ｉ 结 论 １ 如 图 ２ Ｓ ，Ａ Ｓ ＿ 平面 Ａ ｌ ＿ ＢＣ， 是 Ｂ Ｄ Ｃ边 上 一 点 ， 二 面 角 Ｂ — 设
．
ｓｎ ｉ
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结论 ２ 如 图 ３ 四面 Ｓ ， 体 Ｓ— ＡＢ Ｃ中Ｓ ＿ Ｃ， ＡＪ Ｂ
Ｄ 是 ＢＣ 边 上 一 点 ， 二 设
于 ， Ｃ ， Ａ‘ ， Ｃ 交 于 一 点 Ｂ ， 则 ４ ＢＢ ， Ｃ 必
Ｃ
面角 Ｂ— Ｓ — Ｄ 为 ａ Ａ ，Ａ
专 ｓ ．
同一 题 目， 往 其 “ ”法 很 多 ， 加 分 往 设 不 析 盲 目而设 ， 可能 导 致 繁解 ， 至错 解 ， 有 甚 但 的“ ” 将 给解 题 带来 很 大 的方 便 ， 设 法 显示 出 数 学方 法 的简洁 美 ， 解题 更具 魅 力 ， 看下 使 请
面一例 ： 例 ４ 设 ｚ≥ ０ ．≥ ０ ２ ，， ，ｘ＋ ．≤ ６ ｚ＋ ） ） ， ，
３
・
Ａ Ｄ ・ｓ ｎ ｉ ・ＳＡ ．
两边 同 除 以
ｓ ｎ（ ｉ ａ＋ ）
ＳＡ ．Ａ Ｄ
Ｂ・ ＡＣ ・ ＡＤ ・ ， ５ 得
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ＳＡ ．Ａ Ｄ
中 ＇ ＋ 一 一． 线贝 器＋ ∑Ｇ ２ ｌ Ｊ Ａ 事
实上， 不仅 重 心 有 此 性 质 ， 心 、 切 心 ” 设 界 “ （
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２
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上题可设 ： ÷ ＋ ｔ ｂ ÷ ＋ ｔ ｃ 口一 １ 一 ， ２ — ，
ｏ ｏ
所 以
１
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一
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ｏ
所 以 ∞ 一 ２ ＋ ３， １ ｚ ． 一 ０一 １￡ ）
误 区 ４ 不 注意“ ”的简 洁 性 设
［ ］ 陈 亮 运 ， 修 栋 ． 角 三 角 形 类 比直 角 四面 体 ２ 陈 直
［］ 数 学 通讯 ，０ ４ １ ） Ｊ． ２ ０ （３ ．
［］ 王 先 东 ． 直 角 三 角 形 类 比 到 直 角 四面 体 ［］ ３ 从 Ｊ．
中学 数 学 ， ０ ４ １ ． ２０ （）
Ｊ ＡＢ， Ａ Ｊ ＡＣ， Ａ Ｊ ＡＤ， ＿ Ｓ ＿ Ｓ ＿ 则 ＢＡＤ— ａ ，
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证 明
１
因 为 ５ ＰＢ △ —
尸
ＳＡ ＋ ＳＡ Ｂ ， Ｐ ＰＣ
故 寺Ｐ ・Ｐ ｓ （ Ａ Ｂｉ ａ ｎ
１
Ｃ
＋ ）一 ＰＡ ・ＰＣｓｎ 口 ｉ
图 １
１
文 ［ ］ 据 文Ｅ ］ 文 ［ ］对三 角形 与 四 １根 ２、 ３
面 体 的 类 比 性 ， 三 角 形 的 角 平 分 线 相 关 性 把 质 类 比到 了四 面体二 面 角平 分 面上 ， 到 两 得
２， ６ 求 一 ２ ．≤ ， ） ｘ＋ ３ ｙ的 最大值 ． 此题 解 法 甚 多 ， 下 面 的 方 法无 疑 是 较 但
简捷 的一 种 ． 解 设 ｔ ０ Ｓ ０ 使得 ≥ ，≥ ，
１ 集ｌ
三 角形 张 角公 式 的 类 比
俞新 龙 （ 江省 绍兴 县越 崎 中学 ３ ２ ５ ） 浙 １ ０ ０ 田彦 武 （ 夏 固 原 市 一 中 ７ ５ ０ ） 宁 ６ ０ ０