第4章-波动方程法叠前深度偏移1

第四章波动方程法叠前深度偏移前面我们讨论了基于射线追踪或有限差分走时计算的Kirchhoff积分法叠前深度偏移。

可以说，在过去的十几年间，Kirchhoff积分法叠前深度偏移在地下地质构造的地震成像中发挥了巨大作用，并且在将来还会继续发挥作用。

这主要取决于Kirchhoff积分法的高效率、易于实现、适应性强和能满足大多数条件下地质构造地震成像要求的特点和优势。

近年来，对Kirchhoff保幅型叠前深度偏移的大量研究和部分应用也充分说明了Kirchhoff积分法在叠前深度域构造成像和岩性成像中的巨大潜力。

但是，该类方法本身存在明显的缺陷。

例如射线追踪前需要对速度场进行平滑，在速度分布过于复杂的区域，会出现焦散或阴影区，这时计算出来的旅行时场也就不准确。

后来，为提高旅行时场的精度，发展起来的有限差分法直接求解程函方程的Kirchhoff积分偏移方法，一般也仅能计算初至旅行时，无法处理在复杂速度场中存在的多值走时现象，从而影响了Kirchhoff积分偏移在复杂地质体（如盐丘、推覆体和逆掩断层等）的成像效果。

从近十年Kirchhoff积分偏移的实际应用可以证明这一点。

如果应用完全射线理论的Green函数，在计算时求解所有的到达时和相应的振幅值，可以改善该方法的成像质量，但其计算效率又会大打折扣。

由于Kirchhoff积分偏移采用了高频近似地震射线理论,导致了波场动力学信息受到严重畸变,这显然不能满足岩性油藏勘探中需要进行深度域保持振幅偏移的要求。

由于波动方程偏移方法基本不存在Kirchhoff积分偏移的这些困难，因此，近年来人们对波动方程法叠前深度偏移进行了大量的研究并做了部分应用。

向量并行巨型机和高性能多节点微机集群的出现以及它们在地震数据处理中的应用为波动方程法叠前深度偏移提供了硬件条件和高的计算效率。

从目前的研究成果、应用效果以及可行性和实用性上看，波动方程法叠前深度偏移有很好的发展前景。

§4.1 概述波动方程叠前深度偏移成像解决的是强横向变速条件下复杂地质体的地震波成像问题。

近年来一些专家学者在已有方法的基础上提出几种效果较好的叠前偏移方法。

大体上讲，这些方法基本上主要分为两类，其一为有限差分偏移方法，另一类为Fourier偏移方法。

两类偏移方法各有特点，它们可以分开使用，也可以联合使用（如所谓的混合偏移），但不能相互替代，使用时应据具体情况而定。

波动方程有限差分算法借助于差分计算，把速度、密度等介质参数的影响体现在差分计算的矩阵方程中。

因此，这类方法能自动适应速度场的任意变化。

这类方法中比较典型的是波动方程有限差分法逆时偏移。

它是基于双程波方程，既能适应速度场的任意变化，又不存在地层倾角的限制。

但它具有一些难以克服的缺点，如计算效率非常低、对计算机内存要求过高等，这就迫使人们尽量使用单程波方程进行波场延拓和成像。

为了实现深度偏移，通常按Hatton(1981)提出的思路，通过引入参考速度，可以把上、下行波方程分裂为绕射项和折射项。

绕射项方程实际上就是时间偏移方程，它可使绕射波收敛；折射项方程的作用是校正由于横向变速引起的时差。

上、下行波方程是由双程波方程分解近似得到的，它们存在偏移倾角限制，即在某种传播角度范围内才能较准确地描述地震波的传播过程。

于是张关泉（1986）、Holberg,O.（1988）等人提出对单程波方程的系数进行优化，尽量提高低阶方程的45方程，并提出了一种在时空域进行成像精度。

王华忠（1997）用共轭梯度法优化常规的的有限差分叠前深度偏移算法。

为提高计算效率和便于成像，程玖兵（2000）提出了频空域的有限差分叠前深度偏移算法。

Fourier 偏移算法一般借助快速Fourier 变换来进行波场延拓计算，最早期的Fourier 偏移方法应当是相移偏移。

这种方法不存在偏移倾角限制，没有频散，而且计算效率非常高。

但它是基于层内常速假设条件的，不能处理横向速度变化的地层成像问题。

为了改进相移偏移方法，人们提出在相移的基础上增加对横向速度扰动引起的时差的校正处理。

这些方法的基本思路是进行速度场分裂，即把复杂的介质速度场分裂为“常速背景+层内变速扰动”，然后针对分裂后的速度场分别进行波场延拓处理。

例如，Stoffa （1990）提出分步Fourier 偏移方法，常速背景对应的波场用相移法进行波场延拓，然后针对变速扰动引起的时差进行时移校正。

该方法适用于非剧烈变速情况下的深度偏移成像。

Ristow&hl u R（1994）提出的Fourier 有限差分深度偏移成像方法是在分步Fourier 方法的基础上，加上一个有限差分项对二阶以上速度扰动引入的时差进行校正。

该方法在剧烈变速情况下也具有非常好的成像效果。

90年代初，Wu R. S.与de Hoop 等在波动方程Green 函数解法的基础上，通过一系列近似处理手段，发展成了较实用的广义屏算法。

这类算法既可用于研究波（声波或弹性波）的传播问题，又可用于地震波场成像。

该类方法的基本思路是，将速度场分解为层内常速背景和层内变速扰动。

对背景场相当于解常速的声波方程，可通过相移实现；对变速扰动，可认为这种非均匀性相当于散射源（二次源），入射波场作用于这些散射源上，由此产生散射波场。

一般假设波场延拓层厚度较小，在薄板近似处理下，对散射场计算式的积分核再采用不同的近似方法，如Born 近似、De Wolf 近似或Rytov 近似等等，可以得到不同的散射波场表达式。

随后在此基础上，Wu R.S.和Huang L. J.等人把该类方法发展成了广义屏、相屏以及局部Born 近似的屏方法和局部Rytov 近似的屏方法。

接着他们针对上述方法的一些不足之处做了进一步的扩展和改进，提出了一系列新的屏算子，如扩展的局部Born 近似和扩展的局部Rytov 近似的屏方法、拟线性局部Born 近似的屏方法，等等。

本章第二节简要介绍基于共炮点道集的波动方程叠前深度偏移的基本思路；在第三节中，把优化系数的旁轴近似方程转入频率空间域，用频空域有限差分（FXFD ）法进行波场延拓，并在反射系数估算意义下推导出叠前深度偏移的成像条件，随后进行数值试验（脉冲响应计算、凹陷模型叠后深度偏移和Marmousi 模型叠前深度偏移测试）。

第四节到第六节依次叙述了分步Fourier （SSF ）法、Fourier 有限差分（FFD ）法和广义屏（GS ）法偏移的基本原理、实现方法和数值试验结果。

第七节阐述了前面几种叠前深度偏移方法的相互联系，并把它们从脉冲响应、偏移成像效果、稳定性和计算效率等方面做了比较详细的对比，然后对三维波动方程叠前深度偏移做了初步的分析和说明。

§4.2 基于共炮集的波动方程叠前深度偏移的基本思路基于共炮集的波动方程叠前深度偏移的基本思路是，首先对每一炮进行单炮偏移成像，然后再把各炮成像结果在对应地下位置上叠加，从而得到整个成像剖面。

对于每一炮，标准的波动方程叠前深度偏移可以分为三步：震源波场的正向延拓、炮集记录波场的反向延拓和应用成像条件求取成像值（Clearbout, 1971）。

为了方便叙述基于共炮集的波动方程叠前深度偏移的基本过程，我们引入基于单程波方程的波场传播算子（Berkhout, 1987），并以频率域二维波场为例加以说明。

对震源波场);,(ωz x u s 和炮集记录波场);,(ωz x v s 做如下定义：（1）);0,(ωx u s ：它是炮点s 处频谱为)(ωf 的点源激发产生的震源波场，有)()();0,(ωδωf s x x u s -= （4-1）（2）);0,(ωx v s ：它是点s 处激发，排列接收到的记录波场，该波场可以写成： dr x v x v r s s ⎰=);0,();0,(,ωω （4-2） 其中，);0,(,ωx v r s 含有一非零道，即在接收点r 处的记录道，它满足：);0,()();0,(,ωδωx v r x x v s r s -= （4-3）（3）);,(ωz x u s ：它表示在深度0>z 处的正向延拓波场，如果引入表征波场从地面传播到深度z 的传播算子)0(z W →，则有：);0,()0();,(ωωx u z W z x u s s →= （4-4）（4）);,(,ωz x v r s ：它表示记录波场);0,(,ωx v r s 在深度z 的反向延拓波场：[]);0,()0();,(,1,ωωx v z W z x v r s r s -→= （4-5） 其中，[]1)0(-→z W 为记录波场的反向传播算子。

因为波场传播算子)0z (W →描述上行波从深度z 到地面的传播过程，故[]1)0(-→z W 描述了（向上传播的）记录波场从地面到深度z 的反向延拓过程（Berkhout, 1987）。

)0(z W →和[]10(-→z W 分别称为下行波和上行波的深度外推算子。

实际计算过程中，逐层实现上、下行波的波场延拓和求取成像值。

层),(z z z ∆+内波场延拓如图4-1所示。

);z ,x (s u ω );z ,x (r ,s v ω);z z ,x (s u ω∆+ );z z ,x (r ,s v ω∆+图4-1 叠前深度偏移波场延拓示意图其中，波场深度外推算子)(z z z W ∆+→和[]1)(-→∆+z z z W 分别表征下行波从深度z 到深度z z ∆+的正向延拓过程和上行波从深度z 到深度z z ∆+的反向延拓过程。

注意到所有波场空间上离散分布在采样间隔为r ∆的地震道上，故空间δ函数可以用长度为r ∆、振幅为r ∆/1的加窗函数表示，而且以上公式中的积分可以用离散求和替代。

用传统的偏移公式，我们可以得到对点s 处震源在r 处的单一记录道的叠前深度偏移结果具有如下形式：[]∑*ℜ=ωωω);,();,(),(,,z x v z x u z x m r s s r s （4-6）式中*表示复共轭，ℜ表示取复数的实部。

这种频率域的成像公式相当于时间域震源波场正向延拓值与记录波场反向延拓值的互相关。

由（4-6）式，可以得到共炮集数据的叠前深度偏移成像公式：[]∑∑*ℜ=r r s s s z x v z x u z x m ωωω);,();,(),(, （4-7） 如果采用的是有限差分算法进行波场延拓计算，则上式中关于r 的求和并非是显式的，它一般在对整个单炮记录波场的反向延拓中自动实现。

因而，共炮集记录叠前深度偏移公式可表述为：[]∑*ℜ=ωωω);,();,(),(z x v z x u z x m s s s （4-8）其中，);,(ωz x v s 为炮s 整个记录波场的反向延拓波场值。