角动量定理与万有引力
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角动量
刚体 质点
一、质点（对固定点）的角动量 质点（对固定点） L
质点m对惯性系中的 质点 对惯性系中的
O
·
α
• α r m
p
固定点O的角动量定义为： 固定点 的角动量定义为： 定义为
r r r r r L = r × p = r ×(mv )
大小： 大小： L = rp sinα = rmv sinα ， ：kg 单位
L
r L
r1
练习： 练习：1970年 ，我国 年 发射了第一颗地球人造 卫星。 卫星。
r v1
r2
r F
r r
m
r v2
近地点高度为 266 km, 速度为 8.13 km/s; 多少？ 远地点高度为 1826 km, 速度为 多少？
三、刚体对轴的角动量定理及角动量守恒律 刚体对轴的角动量定理及角动量守恒律
m ϕ
r p
dL v v r （ r ------合力） 合力） 合力 F = r ×F ≡ M dt
2、质点角动量守恒定律
r L
r F
r r dL v v = r ×F ≡ M dt
r r
m
r v
v v 当合外力矩 M = 0时， =常矢量 L 常矢量
----质点角动量守恒定律 ----质点角动量守恒定律 r M = 0 的条件是 r F =0 r 或 F 过固定 点：有心力 （如行星受的万有引力） 如行星受的万有引力）
“行星对太阳的矢径在相等的 行星对太阳的矢径在相等的 相等的面积。 时间内扫过 相等的面积。”
r L
r F
r r
m
r v
【证】 以日心为参考点，研究对象为行星 以日心为参考点，
大学物理所有公式
大学物理所有公式文件编码（008-TTIG-UTITD-GKBTT-PUUTI-WYTUI-8256）大物一刚体mvR R p L =•=圆周运动角动量 R 为半径mvd d p L =•= 非圆周运动，d 为参考点o 到p 点的垂直距离 φsin mvr L = 同上φsin Fr Fd M == F 对参考点的力矩 F r M •= 力矩 dtdLM =作用在质点上的合外力矩等于质点角动量的时间变化率 ⎪⎭⎪⎬⎫==常矢量L dt dL 0如果对于某一固定参考点，质点（系）所受的外力矩的矢量和为零，则此质点对于该参考点的角动量保持不变。
质点系的角动量守恒定律 ∑∆=ii i r m I 2 刚体对给定转轴的转动惯量αI M = （刚体的合外力矩）刚体在外力矩M 的作用下所获得的角加速度a 与外合力矩的大小成正比，并于转动惯量I 成反比；这就是刚体的定轴转动定律。
⎰⎰==vmdv r dm r I ρ22 转动惯量 （dv 为相应质元dm 的体积元，p 为体积元dv 处的密度）ωI L = 角动量 dtdLIa M == 物体所受对某给定轴的合外力矩等于物体对该轴的角动量的变化量 dL Mdt =冲量距000ωωI I L L dL Mdt LL tt -=-==⎰⎰常量==ωI L二保守力和非保守力k k E E W W -=+内外质点系动能的增量等于所有外力的功和内力的功的代数和（质点系的动能定理）k k E E W W W -=++非内保内外保守内力和不保守内力p p p E E E W ∆-=-=0保内系统中的保守内力的功等于系统势能的减少量)()(00p k p k E E E E W W +-+=+非内外p k E E E +=系统的动能k 和势能p 之和称为系统的机械能0E E W W -=+非内外质点系在运动过程中，他的机械能增量等于外力的功和非保守内力的功的总和（功能原理）常量时，有、当非内外=+===p k E E E W W 00如果在一个系统的运动过程中的任意一小段时间内，外力对系统所作总功都为零，系统内部又没有非保守内力做功，则在运动过程中系统的动能与势能之和保持不变，即系统的机械能不随时间改变，这就是机械能守恒定律。
【精选】质点角动量
P
r
d
p
d
r
d
t
v,
d
rdt
p
v
dt
(mv)
0
dt
dt
d
d t L
r
d
p
r
F
dt
dt
点 质的点o力的矩角动(为量r 零定F，理) 则：质如点果对作用点在的质角o点动上量的在外运力动对过某程给中定
保持不变。这就叫做角动量守恒定律。
例
例、彗星绕太阳作椭圆 轨道运动，太阳位于椭 圆轨道的一个焦点上，
v
解：对子弹和木块，用动量守恒： o
mv0 (m m0 )u
b
从a到b,角动量守恒、机械能守恒 v0
1 2
(m
m0 )u2
1 2
(m
m0 )v2
1 2
k(L
L0 )2
a
(m m0 )L0u (m m0 )Lv sin
v
m2v02 k(L L0 )2 (m m0 )2 m m0
的角动量大小为
L rmv
L
L
O
v
rm
质点对圆心O的角动量为恒量
v
r
§3-6 质点的角动量与角动量守恒定律
质点对圆心的角动量 o
p m r
L pr mvr
角动量
行星在公转轨道上的角动量
p
d r
O
p
d r
L pd pr sin
二.质点角动量定理
力对一固 定参考点的力矩
M rF r 是P点相对于固定点O的位矢。
sin
mv0 L0
L m2v02 k(L L0 )2 (m m0 )
第四章 角动量守恒定律
( m = 0.1kg )
方向沿 z 轴方向
� � 或： M = 12.0kN im
4-2 质量为 1.0 kg 的质点在力 F = ( 2t − 3) i + ( 3t − 2 ) j 的作用下运动，其中 t 是时间，单位为 s，F 的 单位是 N，质点在 t = 0 时位于坐标原点，且速度等于零。求此质点在 t = 2.0 s 时所受的相对坐标原 点 O 的力矩。
第四章 角动量守恒定律
4-1 质量为 1.0 kg 的质点沿着由 r = 2t 3i + t 4 − 3t 3 j 决定的曲线运动，其中 t 是时间，单位为 s， r 的单位为 m。求此质点在 t = 1.0 s 时所受的相对坐标原点 O 的力矩。
�
�
(
)
�
�
解：∵γ = 2t 3 i + t 4 − 3t 3 j
��
�
�
故，质点改变的力矩为： M = r × F = r × − mω 2 r = 0
�� �
� ��
�
(
�
)
34
∴
� � d l �� = M =0 dt
即得： l = 常矢量
�
证毕
4-8 不可伸长的轻绳跨过一个质量可以忽略的定滑轮， 两端分别吊有重物和小猴， 并且由于两者质量相等， 所以开始时重物和小猴都静止地吊在绳端。试求当小猴以相对于绳子的速度 v 沿绳子向上爬行时，重物相 对于地面的速度。
解：
(1) R = l sin ϕ
� � � � � L ( 角动量) = R × m v ∴ L = R ⋅ mRω = mR2ω = m( l sin ϕ ) ω
由右手定则 L 的方向竖直向上。 （2）小球作匀速圆周运动
第二章角动量
定义冲量矩：
tb
ta
b Mdt dL Lb La
a
角动量定理的另一形式 在惯性参考系中，质点所受合外力在其任一运动过程 中对任一固定点的冲量矩等于质点对该点的角动量在 该过程中的增量。
1. r 为物体相对于指定参考点的位矢，所以求物体所受 的力矩时必须先指明参考点，相对于不同的参考点，对 应的位矢 r 不同。物体所受的力矩不同。
L
L mrvsin L0
S
L mrvsin L0
开普勒第二定律
L
F
v r
m
dr
L mvr sin
m dr r sin
dt 1 r dr sin dS 2 2m 2m dt dt
dr r dr r 三角形面积
t2 t1
F dt m v 2 m v1
角动量定理(冲量矩与角动量)
t2 t1
L2 M dt L1 d L L 2 L1
动量守恒：某一时间间隔内， 角动量守恒：对固定参考点而 质点系所受外力矢量和始终 言，质点受到的合力矩始终为 为零，… 零，…
dt
L r mv
2 2 mab k mab cos t k mab sin t k
【补充例】质量为 m 的质点，某时刻的位置如图， y 速度为 v 6 j 受力为 F 2 j （4，3） 求：该时刻质点对 0点的角动量 L ？ （SI）
o
x
dx
x
解： 如图，距O点为x，长为dx的质元dm m 的质量 dm dx
其所受阻力矩
M xdmg
物理竞赛-力学_舒幼生_第四章角动量定理天体运动
2 vdt
1
d r (t)
O
过去 未来
41
牛顿第二定律具有时间反演对称性 经典力学中，与牛顿第二定律平行的是力的结构性定律 胡克定律、引力定律、库仑定律具有时间反演对称性
阻尼性作用定律给出的空气阻力、摩擦力等
不具有时间反演对称性
f
v
时间倒流在真实世界是不可能发生的
42
时间平移对称性 系统在时间平移，即在
mi ghi mihi g mghG
i
i
ri (mi g)
mi ri
g
mrG
g
rG
mg
i
i
重心是质点系重力分布中心
猫的空中转体
26
对称球的外引力分布中心
P
球心是对称球的外引力分布中心
27
例 质量 M 的均匀麦管放在光滑桌面上，一半在桌面外。 质9量 m 的小虫停在左端，而后爬到右端。随即另一小虫
角动量 L 守恒，横向力为零
F 2mvr 2Lr 2
径向力应合成mar
Fr
m
d 2r dt 2
r
d
dt
2
mr 2
2mv
mr 2 2Lr 1 L2 (1 2 2r 2 )r 3
m
22
*** 外力矩 重心 对称球的外引力分布中心
外力矩是质点系角动量变化的原因
合力为零的外力矩
质点系所受外力的合力为零时，外力矩与参考点无关。
mv
2 0
(3
4 1)
它恰好等于小球的动能增量
Ek
1 2
mv2
1 2
mv02
1 2
mv02 (3
4
1)
角动量
在X点需要改变的动能： 2 1 2 1 mgR 2 mgR 2 mv − mv0 = E '− E = − 在X点需要改变的动能： 2( R + h) 2 R + h 2 2
2 gR 3 v = ( 2 R + h)( R + h)
2
mv 0 = ( m − µ )v + µ (u + v0 )
µ=
动量矩守恒
Kepler's Third Law: The ratio of the squares of the revolutionary periods for two planets is equal to the ratio of the cubes of their semimajor axes: 行星绕太阳运行轨道半长轴a的立方 行星绕太阳运行轨道半长轴 的立方 与周期T的平方成正比 与周期 的平方成正比
1 1 2 2
∆v1
m1 r1 r2 ½(r×v) H m2
1
v v v v d(mr ×v ) = −d(m r ×v ) v v v v d(mr ×v + m r ×v ) = 0 o v v v v m r ×v + m r ×v = 常 量 v v L +L =常 量
1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2
θ
2
mgr sin θ = ωmvrcosθ = mω Rr cosθ g 2 ω = tanθ R 进动
dL=Mdt
关于点的动量矩定理
Theorem of angular momentum about a point
由 点 力 方 质 动 学 程
v v v d(r ×mv) dr v v d(mv) 动量矩定理: 质点对参考点o的动量 = = 0 v +r × ×m dt dt dt 矩的时间变化率就等于质点所受力对 v v v v d(mv) 于o点的力矩。 d(r ×mv) r× = dt dt v v v d v v v d v M = r × F = (r ×mv) M= L dt dt
高中物理力学10个公式
高中物理力学10个公式一、牛顿第一定律：物体在没有外力作用下保持静止或匀速直线运动。
这个定律可以用数学公式表示为：F = 0，即物体所受的合力为零。
二、牛顿第二定律：物体的加速度与作用在它上面的力成正比，与物体的质量成反比。
这个定律可以用数学公式表示为：F = ma，即物体所受合力等于物体的质量乘以加速度。
三、牛顿第三定律：对于每一个作用力，必然存在一个相等大小、方向相反的反作用力。
这个定律可以用数学公式表示为：F1 = -F2，即两个物体之间的作用力与反作用力大小相等，方向相反。
四、功与能量转化定律：力对物体做功，会使物体获得能量。
这个定律可以用数学公式表示为：W = Fs，即功等于力乘以位移。
五、动能定理：物体的动能等于它的质量乘以速度的平方的一半。
这个定律可以用数学公式表示为：Ek = 1/2mv^2，即动能等于质量乘以速度的平方的一半。
六、机械能守恒定律：在没有外力做功的情况下，一个闭合系统的机械能保持不变。
这个定律可以用数学公式表示为：E = Ek + Ep，即机械能等于动能加势能。
七、万有引力定律：任何两个物体之间都存在引力，其大小与两个物体的质量成正比，与它们之间的距离的平方成反比。
这个定律可以用数学公式表示为：F = G(m1m2/r^2)，即引力等于万有引力常数乘以两个物体质量之积除以距离的平方。
八、摩擦力定律：当两个物体相互接触并相对运动时，会产生摩擦力。
这个定律可以用数学公式表示为：Ff = μN，即摩擦力等于摩擦系数乘以法向压力。
九、牛顿第二定律的角动量定理：物体的角动量随时间的变化率等于物体所受的外力矩。
这个定律可以用数学公式表示为：τ = Iα，即外力矩等于物体的转动惯量乘以角加速度。
十、牛顿万有引力定律：两个物体之间的引力与它们的质量成正比，与它们之间的距离的平方成反比。
这个定律可以用数学公式表示为：F = G(m1m2/r^2)，即引力等于万有引力常数乘以两个物体质量之积除以距离的平方。
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1 S1 r1 v 1 2 1 S 2 r2 v 2 2
两个质点的孤立体系和角动量
而掠面速度对时间的微商为：
dS i 1 dri dv i 1 v i ri dt 2 dt 2 dt dv dv 1 1 1 v i v i ri i ri i 2 2 dt 2 dt
体系的角动量与质心的角动量
设在惯性系 K 中，体系相对原点的角动量为 L。在 质心系 KC 中，质心的角动量为 LC，则有： 令： L r m v 称为质心角动量 C C C C
LCM ( rC i mi v C i ) 称为体系相对于质心的角动量
i
则有：
L LC LCM
单质点孤立体系和掠面速度
单质点的孤立体系就是不 受外力作用的自由质点，它作 匀速直线运动（我们取惯性参 考系，且静止看成是匀速直线 运动的特例）。 如图，设该质点位于P点， 沿直线 AB 从 A 向 B 方向运动， 在相等的时间间隔 ⊿t的位移 是 ⊿s = v⊿t。 由于 OP 的方向（即 r 的方向）在不断改变，故 P 点相对于 O 点有转动。
单质点孤立体系和掠面速度
由图可见，各时间间隔 ⊿t 内矢径 r 扫过的那些小三角形具 有公共的高线 OH，因而有相等 的面积，于是我们找到的守恒量 是：矢径 r 在单位时间内扫过的 面积 S，我们称 该面积 S 为质点 P 的掠面速度。设矢径 r 与 AB 线的夹角为θ，故对单质点的孤 立体系有： 1 s 1 S r sin rv sin 常量 2 t 2
说明：
1. 角动量是矢量，单个质点的角动量是 r 和 p 的矢积， 因而既垂直于 r，又垂直于 p，即垂直于 r 和 p 所确 定的平面，其指向由右手定则决定。
2. 角动量的单位是千克· 米2 /秒，量纲为 ML2T -1
二、质点系角动量定理
质点角动量定理
我们知道，质点动量的变化等于外力的冲量。质点 的角动量如何随外力变化呢？这可以从牛顿运动定律得到。 在惯性参考系中考虑一个受力为 F 的质点，设其矢径为 r， 动量为 p，角动量为 l，有：
其中，v月 为月球的公转速度，T 为月亮绕地球的公转周 期（交点月）。而对于地面上的物体，所受到的引力应为： 其中，m 是物体的质量，R 是地球半径，于是得：
m F k地 2 mg R
k地 gR2
2. 认为这种引力是万有的、普适的、统一的
m月 F地月 k地 2 r月
v m月 2 r月 F地月 m月 r月 r月 T
质心系的角动量定理
由于角动量定理的推导过程中应用了牛顿定律，所 以角动量定理在惯性系中才成立。当在质心系中考虑体 系相对质心的角动量随时间的变化时，质心是固定点。 如果质心系是惯性系，角动量定理当然适用。如果质心 系是非惯性系，只要加上惯性力，牛顿定律仍然成立。 因此只要加上惯性力的力矩，角动量守恒定理也仍然成 立。
m F k 2 r
显然，k 应取决于太阳的性质。由此，牛顿得到第一个重 要结果：如果太阳引力是行星运动的原因，则这种力应和 r的平方成反比。
2. 认为这种引力是万有的、普适的、统一的 进一步，牛顿认为这种引力是万有的、普适的、统 一的，即所有物体之间都存在这种引力作用，称之为万 有引力。这一步是关键性的。我们一再强调，寻找各种 不同运动的统一原因，是物理学的追求，引力的万有性 就是基于这种统一观的一种猜测。
1 S rv 2
这样，对于单质点的孤立体系，我们找到的守恒量 是掠面速度矢量 S。当然，它与参考点的选择有关，若 参考点选在直线 AB 上，则掠面速度为零。
两个质点的孤立体系和角动量
对于两个质点的孤立体系， 它们虽然不受外力作用，但两个 质点之间是有作用力的。我们现 在来寻找守恒量，首先我们能想 到的是它们每个质点掠面速度的 和。为此，在空间建立惯性参考 系，如图，两个质点的质量分别 为 m1, m2，其位矢和速度分别为 r1, r2 和 v1, v2 。设其掠面速度分 别为 S1, S2 ，有：
即：
dL C MC dt
dL C dt
不论质心系是惯性系还是非惯性系，在质心系中，角动 量定理仍然适用。
体系的角动量与质心的角动量
说明： 虽然在质心系中角动量定理仍然适用，但体系在 质心系中相对质心的角动量与体系在惯性系中相对原点 的角动量并不相同。这一点应该是肯定的，因为即使在 惯性系中相对不同的点的角动量都不相同，何况质心往 往还是一个运动的点。
即：体系的角动量等于质心的角动量与体系相对于质心 的角动量之和。 类比于柯尼希定理。
四、万有引力定律
第 谷
第 谷 环 形 山
开 普 勒
开 普 勒 空 间 望 远 镜
开普勒的行星运动三定律
在牛顿之前，人类研究得最多也最清楚的运 动现象就是行星的运行。肉眼可以看到五颗行星： 水、金、火、木、土。对这五颗行星的运动有过 长期的观察，特别是丹麦天文学家第谷（Tyeho Brahe, 1546~1601）连续进行了二十年的仔细观 测、记录，他的学生开普勒（Kepler Johamnes, 1571~1630）则花费了大约二十年的时间分析这 些数据。开普勒前后总结出三条行星运动的规律。
如何来检验这一猜测呢？既然引力是普适的，那么， 地球和月亮之间也应当存在这类力，月亮之所以绕地球 运动，应当是地球施于月亮的吸引力，就象太阳有吸引 行星的力那样。
2. 认为这种引力是万有的、普适的、统一的
地球对月亮的吸引力应为：
m月 F地月 k地 2 r月 其中 r月 为月亮绕地球公转的半径，m月 为月球的质量， k地 应取决于地球的性质。地球对月亮的吸引力提供了月 亮绕地球公转所需的向心力，即： 2 2 v月 m月 2 r月 F地月 m月 r月 r月 T
开普勒的行星运动三定律
1. 所有行星都沿着椭圆轨道运行，太阳则位于这些椭圆 的一个焦点上。这称为轨道定律。 2. 任何行星到太阳的连线在相同的时间内扫过相同的面 积。这称为面积定律。 3. 任何行星绕太阳运动的周期的平方与该行星的椭圆轨 道的半长轴的立方成正比，即：T∝ r3/2 (式中，T 是行 星运动的周期；r 是椭圆轨道的半长轴）.这称为周期 定律。
说明：
• • 角动量守恒定律是一个独立的规律，并不包含在动量 守恒定律或能量守恒定律中。 角动量守恒定律是矢量式，它有三个分量，各分量可 以分别守恒。 (1) 当 Mx = 0，则 Lx = 常量； (2) 当 My = 0，则 Ly = 常量； (3) 当 Mz = 0，则 Lz = 常量；
三、质心系的角动量定理
其中 i =1, 2。为了对上式中的 i 求和，我们列出质点运动的牛顿 方程： dv 2 dv 1 f 21 f m1 f12 f m2 dt dt
dS1 1 dv1 1 r1 r1 f dt 2 dt 2m1
dS 2 1 dv 2 1 r2 r2 f dt 2 dt 2m2 dS1 dS 2 因 m1, m2 可以为任意值，故 0 dt dt
0
力矩对时间的积分 0 Mdt 称为冲量矩。上式表示质点角 动量的增量等于外力的冲量矩，这就是质点角动量定理的 积分形式。 不论角动量定理的微分形式还是积分形式，都可以写 成分量形式。
t
质点系角动量定理
设体系有n个质点， 令： L l1 l 2 l n , M M1 M2 Mn 则 L 为体系的总角动量，M 为体系所受的总外力矩。 可以证明
开普勒的行星运动三定律
把20余年里观测的几千个数据归纳成这样简洁的几 条规律，开普勒是应该为此而感到自豪的。只是开普勒 尚不理解，他所发现的三大定律已传达了重大的“天 机”。 我们知道，角动量正比于矢径的掠面速度，开普勒 的面积定律意味着角动量守恒，即行星受到的是有心力； 而轨道定律告诉我们该有心力为引力；至于力的大小， 开普勒的周期定律给出了定量的描述。 开普勒的行星运动三定律蕴涵着更为简洁、更为普 遍的万有引力定律，其中的奥秘直到牛顿才被破译出来。
该式也可以换一种表达法，即掠面速度对时间的微 商为零： dS 0 dt
单质点孤立体系和掠面速度
当然，上面所考虑的只是 平面运动的情况，对于单个的 自由质点，它只可能在某个平 面上运动。但是我们接下来要 考虑多个质点，仅考虑某一个 平面就不行了，我们可以利用 矢量运算法则，将掠面速度定 义为与该平面垂直的矢量。即：
dp F , dt
l r mv r p
角动量对时间的变化率为： dl d dr dp vp r F r F (r p ) p r dt dt dt dt 定义：M = r×F 称为力 F 对于原点的力矩。
质点角动量定理
于是上式又可写为： dl M dt 即质点对任一固定点的角动量的时间变化率等于外力对该 点的力矩。这就是质点角动量定理的微分形式。对上式积 分，得： t Mdt l l 0
第6-7章 角动量定理与万有引力
•另一个守恒量－角动量
•万有引力定律
一、孤立体系的角动量守恒
第4章我们介绍了与平动相联系的守恒量——动量， 对于转动我们希望能找到这样一个物理量——角动量， 它具备以下的条件： 1. 若质点关于空间某一点作平动，它取值为零，它取非 零值表示质点关于该空间点作转动； 2. 对于孤立体系，它保持守恒。 下面我们在孤立体系中寻找这样的物理量。
两个质点的孤立体系和角动量
但从前几式可看出：
d (2m1S1 2m2S 2 ) (r1 r2 ) f 0 dt
其中利用了牛顿第三定律：f 的 方向沿两质点 m1, m2 的连线， 即 f // (r1﹣r2 )。于是我们找到 了守恒量：
L 2m1S1 2m2S2 r1 m1v1 r2 m2 v 2 常矢量
质心系的角动量定理
设 LC 为质心系中体系对质心的角动量，MC为外力 对质心的力矩， MC惯 为惯性力对质心的力矩。则有：
两个质点的孤立体系和角动量
而掠面速度对时间的微商为：
dS i 1 dri dv i 1 v i ri dt 2 dt 2 dt dv dv 1 1 1 v i v i ri i ri i 2 2 dt 2 dt
体系的角动量与质心的角动量
设在惯性系 K 中，体系相对原点的角动量为 L。在 质心系 KC 中，质心的角动量为 LC，则有： 令： L r m v 称为质心角动量 C C C C
LCM ( rC i mi v C i ) 称为体系相对于质心的角动量
i
则有：
L LC LCM
单质点孤立体系和掠面速度
单质点的孤立体系就是不 受外力作用的自由质点，它作 匀速直线运动（我们取惯性参 考系，且静止看成是匀速直线 运动的特例）。 如图，设该质点位于P点， 沿直线 AB 从 A 向 B 方向运动， 在相等的时间间隔 ⊿t的位移 是 ⊿s = v⊿t。 由于 OP 的方向（即 r 的方向）在不断改变，故 P 点相对于 O 点有转动。
单质点孤立体系和掠面速度
由图可见，各时间间隔 ⊿t 内矢径 r 扫过的那些小三角形具 有公共的高线 OH，因而有相等 的面积，于是我们找到的守恒量 是：矢径 r 在单位时间内扫过的 面积 S，我们称 该面积 S 为质点 P 的掠面速度。设矢径 r 与 AB 线的夹角为θ，故对单质点的孤 立体系有： 1 s 1 S r sin rv sin 常量 2 t 2
说明：
1. 角动量是矢量，单个质点的角动量是 r 和 p 的矢积， 因而既垂直于 r，又垂直于 p，即垂直于 r 和 p 所确 定的平面，其指向由右手定则决定。
2. 角动量的单位是千克· 米2 /秒，量纲为 ML2T -1
二、质点系角动量定理
质点角动量定理
我们知道，质点动量的变化等于外力的冲量。质点 的角动量如何随外力变化呢？这可以从牛顿运动定律得到。 在惯性参考系中考虑一个受力为 F 的质点，设其矢径为 r， 动量为 p，角动量为 l，有：
其中，v月 为月球的公转速度，T 为月亮绕地球的公转周 期（交点月）。而对于地面上的物体，所受到的引力应为： 其中，m 是物体的质量，R 是地球半径，于是得：
m F k地 2 mg R
k地 gR2
2. 认为这种引力是万有的、普适的、统一的
m月 F地月 k地 2 r月
v m月 2 r月 F地月 m月 r月 r月 T
质心系的角动量定理
由于角动量定理的推导过程中应用了牛顿定律，所 以角动量定理在惯性系中才成立。当在质心系中考虑体 系相对质心的角动量随时间的变化时，质心是固定点。 如果质心系是惯性系，角动量定理当然适用。如果质心 系是非惯性系，只要加上惯性力，牛顿定律仍然成立。 因此只要加上惯性力的力矩，角动量守恒定理也仍然成 立。
m F k 2 r
显然，k 应取决于太阳的性质。由此，牛顿得到第一个重 要结果：如果太阳引力是行星运动的原因，则这种力应和 r的平方成反比。
2. 认为这种引力是万有的、普适的、统一的 进一步，牛顿认为这种引力是万有的、普适的、统 一的，即所有物体之间都存在这种引力作用，称之为万 有引力。这一步是关键性的。我们一再强调，寻找各种 不同运动的统一原因，是物理学的追求，引力的万有性 就是基于这种统一观的一种猜测。
1 S rv 2
这样，对于单质点的孤立体系，我们找到的守恒量 是掠面速度矢量 S。当然，它与参考点的选择有关，若 参考点选在直线 AB 上，则掠面速度为零。
两个质点的孤立体系和角动量
对于两个质点的孤立体系， 它们虽然不受外力作用，但两个 质点之间是有作用力的。我们现 在来寻找守恒量，首先我们能想 到的是它们每个质点掠面速度的 和。为此，在空间建立惯性参考 系，如图，两个质点的质量分别 为 m1, m2，其位矢和速度分别为 r1, r2 和 v1, v2 。设其掠面速度分 别为 S1, S2 ，有：
即：
dL C MC dt
dL C dt
不论质心系是惯性系还是非惯性系，在质心系中，角动 量定理仍然适用。
体系的角动量与质心的角动量
说明： 虽然在质心系中角动量定理仍然适用，但体系在 质心系中相对质心的角动量与体系在惯性系中相对原点 的角动量并不相同。这一点应该是肯定的，因为即使在 惯性系中相对不同的点的角动量都不相同，何况质心往 往还是一个运动的点。
即：体系的角动量等于质心的角动量与体系相对于质心 的角动量之和。 类比于柯尼希定理。
四、万有引力定律
第 谷
第 谷 环 形 山
开 普 勒
开 普 勒 空 间 望 远 镜
开普勒的行星运动三定律
在牛顿之前，人类研究得最多也最清楚的运 动现象就是行星的运行。肉眼可以看到五颗行星： 水、金、火、木、土。对这五颗行星的运动有过 长期的观察，特别是丹麦天文学家第谷（Tyeho Brahe, 1546~1601）连续进行了二十年的仔细观 测、记录，他的学生开普勒（Kepler Johamnes, 1571~1630）则花费了大约二十年的时间分析这 些数据。开普勒前后总结出三条行星运动的规律。
如何来检验这一猜测呢？既然引力是普适的，那么， 地球和月亮之间也应当存在这类力，月亮之所以绕地球 运动，应当是地球施于月亮的吸引力，就象太阳有吸引 行星的力那样。
2. 认为这种引力是万有的、普适的、统一的
地球对月亮的吸引力应为：
m月 F地月 k地 2 r月 其中 r月 为月亮绕地球公转的半径，m月 为月球的质量， k地 应取决于地球的性质。地球对月亮的吸引力提供了月 亮绕地球公转所需的向心力，即： 2 2 v月 m月 2 r月 F地月 m月 r月 r月 T
开普勒的行星运动三定律
1. 所有行星都沿着椭圆轨道运行，太阳则位于这些椭圆 的一个焦点上。这称为轨道定律。 2. 任何行星到太阳的连线在相同的时间内扫过相同的面 积。这称为面积定律。 3. 任何行星绕太阳运动的周期的平方与该行星的椭圆轨 道的半长轴的立方成正比，即：T∝ r3/2 (式中，T 是行 星运动的周期；r 是椭圆轨道的半长轴）.这称为周期 定律。
说明：
• • 角动量守恒定律是一个独立的规律，并不包含在动量 守恒定律或能量守恒定律中。 角动量守恒定律是矢量式，它有三个分量，各分量可 以分别守恒。 (1) 当 Mx = 0，则 Lx = 常量； (2) 当 My = 0，则 Ly = 常量； (3) 当 Mz = 0，则 Lz = 常量；
三、质心系的角动量定理
其中 i =1, 2。为了对上式中的 i 求和，我们列出质点运动的牛顿 方程： dv 2 dv 1 f 21 f m1 f12 f m2 dt dt
dS1 1 dv1 1 r1 r1 f dt 2 dt 2m1
dS 2 1 dv 2 1 r2 r2 f dt 2 dt 2m2 dS1 dS 2 因 m1, m2 可以为任意值，故 0 dt dt
0
力矩对时间的积分 0 Mdt 称为冲量矩。上式表示质点角 动量的增量等于外力的冲量矩，这就是质点角动量定理的 积分形式。 不论角动量定理的微分形式还是积分形式，都可以写 成分量形式。
t
质点系角动量定理
设体系有n个质点， 令： L l1 l 2 l n , M M1 M2 Mn 则 L 为体系的总角动量，M 为体系所受的总外力矩。 可以证明
开普勒的行星运动三定律
把20余年里观测的几千个数据归纳成这样简洁的几 条规律，开普勒是应该为此而感到自豪的。只是开普勒 尚不理解，他所发现的三大定律已传达了重大的“天 机”。 我们知道，角动量正比于矢径的掠面速度，开普勒 的面积定律意味着角动量守恒，即行星受到的是有心力； 而轨道定律告诉我们该有心力为引力；至于力的大小， 开普勒的周期定律给出了定量的描述。 开普勒的行星运动三定律蕴涵着更为简洁、更为普 遍的万有引力定律，其中的奥秘直到牛顿才被破译出来。
该式也可以换一种表达法，即掠面速度对时间的微 商为零： dS 0 dt
单质点孤立体系和掠面速度
当然，上面所考虑的只是 平面运动的情况，对于单个的 自由质点，它只可能在某个平 面上运动。但是我们接下来要 考虑多个质点，仅考虑某一个 平面就不行了，我们可以利用 矢量运算法则，将掠面速度定 义为与该平面垂直的矢量。即：
dp F , dt
l r mv r p
角动量对时间的变化率为： dl d dr dp vp r F r F (r p ) p r dt dt dt dt 定义：M = r×F 称为力 F 对于原点的力矩。
质点角动量定理
于是上式又可写为： dl M dt 即质点对任一固定点的角动量的时间变化率等于外力对该 点的力矩。这就是质点角动量定理的微分形式。对上式积 分，得： t Mdt l l 0
第6-7章 角动量定理与万有引力
•另一个守恒量－角动量
•万有引力定律
一、孤立体系的角动量守恒
第4章我们介绍了与平动相联系的守恒量——动量， 对于转动我们希望能找到这样一个物理量——角动量， 它具备以下的条件： 1. 若质点关于空间某一点作平动，它取值为零，它取非 零值表示质点关于该空间点作转动； 2. 对于孤立体系，它保持守恒。 下面我们在孤立体系中寻找这样的物理量。
两个质点的孤立体系和角动量
但从前几式可看出：
d (2m1S1 2m2S 2 ) (r1 r2 ) f 0 dt
其中利用了牛顿第三定律：f 的 方向沿两质点 m1, m2 的连线， 即 f // (r1﹣r2 )。于是我们找到 了守恒量：
L 2m1S1 2m2S2 r1 m1v1 r2 m2 v 2 常矢量
质心系的角动量定理
设 LC 为质心系中体系对质心的角动量，MC为外力 对质心的力矩， MC惯 为惯性力对质心的力矩。则有：