第四单元 万有引力定律与航天
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律 三次方跟它的公转周期的二 （周期 次方的比值都相等 定律）
温馨提示：（1）开普勒第三定律虽然是根据行 星绕太阳的运动总结出来的，但也适用于卫星、飞 船环绕行星的运动.
（2）第三定律中的 k 是一个与运动天体无关的
量，它只与被环绕的中心天体有关.
--精品--
2.万有引力定律 （1）内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引
力的大小与物体的质量 m1 和 m2 的乘积成正比，与它们之间 距离 r 的二次方成反比.
（2）公式：F=
Gm m
1
2
，G=6.67×10-11
N·m2/kg2
r2
（3）适用条件：公式适用于两个质点或均匀球体间 的相互作用，当两个物体间的距离远远大于物体本身的大 小时，物体可看作质点，两个质量分布均匀的球体，距离 为两球心之间的距离，公式可以使用.
T r2 2
0
0
答案： 8 π 2 hr 3 v 2
T r2 2
0
0
方法技巧：本题是万有引力定律与平抛运动相结合的综
合题，重力加速度是两部分知识的结合点，这就要求对两部
分知识都要有比较清晰的认识.
--精品--
针对训练 2－1：据报道，最近在太阳系外发现了首颗
“宜居”行星，其质量约为地球质量的 6.4 倍，一个在地
T 答案：AD.
--精品--
类型二：行星表面重力加速度、轨道重力加速度问题 【例 2】 在勇气号火星探测器着陆的最后阶段，着陆 器降落到火星表面上，再经过多次弹跳才停下来.假设着
陆器第一次落到火星表面弹起后，到达最高点时高度为 h， 速度方向是水平的，速度大小为 v0，求它第二次落到火星
表面时速度的大小.计算时不计火星大气阻力.已知火星
其克服地球引力，离开地球成为行星的最小速度.
③第三宇宙速度：v3=16.7 km/s，在地球上发射一个物体，
能使物体挣脱太阳引力的束缚飞到太阳系外的最小速度. 4.经典力学的局限性 经典时空观中时间、空间都是不变的，牛顿运动定律、万有
引力定律适用，相对论时空观中时间、空间随物体速度变化而改 变，牛顿运动定律、万有引力定律已不适用，故以牛顿运动定律、 万有引力定律为代表的经典力学是有局限性的，只适用于宏观、 低速运动的物体，而不适用于微观、高速运动的物体.
的一个卫星的圆轨道的半径为 r，周期为 T.火星可视为半 径为 r0 的均匀球体.
思路点拨：此题先表示出火星的质量 M，再求出其表
面的重力加速度，然后利用平抛知识或机械能守恒求第二 次落到火星表面时速度的大小.
--精品--
解析：以 g′表示火星表面附近的重力加速度，M 表示火
星的质量，m 表示火星的卫星的质量，m′表示火星表面处某
由以上各式得 ρ= 3 π ，代入数据解得：ρ=1.27×1014 kg/m3.
GT 2 答案：1.27×1014 kg/m3
方法技巧：求天体的质量或密度的问题有两种情况.
（1）已知天体表面的重力加速度 g 和半径 R，利用 g=GM ，
R2
得出 M= gR2 .（2）围绕天体做圆周运动的卫星（或行星），利用
第四单元 万有引力定律与航天
基础整合
1.开普勒行星运动定律
定律
内容
开普勒
第一定 所有行星绕太阳运动的轨道
律 都是椭圆，太阳处在椭圆的
（轨道 一个焦点上
定律）
开普勒
第二定 对任意一个行星来说，它与
律 太阳的连线在相等的时间内
（面积 扫过相等的面积
定律）
--精品--
图示
开普勒 第三定 所有行星的轨道的半长轴的
相同的周期，T=24 h，同步卫星必须位于赤道正上方，且 距离地面的高度是一定的.（h=3.6×104 km）
--精品--
（3）三种宇宙速度
①第一宇宙速度：v1=7.9 km/s，是发射卫星的最小发射速度，
大小等于卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度.
②第二宇宙速度：v2=11.2 km/s，在地球上发射飞行器，使
思路点拨：设想中子星赤道处有一小块物体，只有当 它受到的万有引力大于或等于它随星体运转所需的向心 力时，中子星才不会瓦解.
--精品--
解析：设中子星的密度为 ρ，质量为 M，半径为 R，自转角速
度为 ω，位于赤道处的小物块质量为 m，则有
2 π =mω2R，ω= 2 π ，M= 4 πR3ρ
T
T
3
A.恒星质量与太阳质量之比 B.恒星密度与太阳密度之比 C.行星质量与地球质量之比 D.行星运行速度与地球公转速度之比
--精品--
解析：由 G Mm =m（ 2 π ）2r，M= 4 π2 r 3 ，分别由运行时
r2
T
GT 2
间比和距离比可求出恒星质量和太阳质量之比，再由
v= 2 π r 可求出各自的运行速度之比.故选 A、D.
G
GMm=m 4 π2 r，可得中心天体的质量 M=
G(m 1
m 2
)
.
r2
T2
L3
--精品--
针对训练 1－1：最近，科学家在望远镜中看到太阳系 外某一恒星有一行星，并测得它围绕该恒星运动一周所用 的时间为 1 200 年，它与该恒星的距离为地球到太阳距离 的 100 倍.假定该行星绕恒星运行的轨道和地球绕太阳运 行的轨道都是圆周，仅利用以上两个数据可以求出的量有 （）
物体只在重力作用下的运动
--精品--
3.人造卫星 （1）人造卫星绕地球的运动可看成是匀速圆周运动， 所需的向心力是地球对它的万有引力提供的，因此解决卫
星问题最基本的关系是：G Mm = mv2 =mrω2=mr 4 π2 .
r2 r
T2
（2）同步卫星 地球同步卫星，是相对地面静止的，与地球自转具有
--精品--
典例研析
类型一：测天体的质量和密度 【例 1】 中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它
的密度很大.现有一中子星，观测到它的自转周期为 T= 1
30 s.问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星的稳定， 不致因自转而瓦解.计算时星体可视为均匀球体.（引力常
量 G=6.67×10-11 N·m2/kg2）
一物体的质量，由万有引力定律和牛顿第二定律，有
G Mm m 4 π2 =m′g′，G Mm =m（ 2 π ）2r
r2
T2
r2
T
设 v 表示着陆器第二次落到火星表面时的速度，它的竖
直分量为 v1，水平分量仍为 v0，有 v1Hale Waihona Puke Baidu=2g′h，v= v 2 v 2
1
0
联立以上各式解得 v= 8 π2 hr 3 v 2 .
温馨提示：（1）开普勒第三定律虽然是根据行 星绕太阳的运动总结出来的，但也适用于卫星、飞 船环绕行星的运动.
（2）第三定律中的 k 是一个与运动天体无关的
量，它只与被环绕的中心天体有关.
--精品--
2.万有引力定律 （1）内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引
力的大小与物体的质量 m1 和 m2 的乘积成正比，与它们之间 距离 r 的二次方成反比.
（2）公式：F=
Gm m
1
2
，G=6.67×10-11
N·m2/kg2
r2
（3）适用条件：公式适用于两个质点或均匀球体间 的相互作用，当两个物体间的距离远远大于物体本身的大 小时，物体可看作质点，两个质量分布均匀的球体，距离 为两球心之间的距离，公式可以使用.
T r2 2
0
0
答案： 8 π 2 hr 3 v 2
T r2 2
0
0
方法技巧：本题是万有引力定律与平抛运动相结合的综
合题，重力加速度是两部分知识的结合点，这就要求对两部
分知识都要有比较清晰的认识.
--精品--
针对训练 2－1：据报道，最近在太阳系外发现了首颗
“宜居”行星，其质量约为地球质量的 6.4 倍，一个在地
T 答案：AD.
--精品--
类型二：行星表面重力加速度、轨道重力加速度问题 【例 2】 在勇气号火星探测器着陆的最后阶段，着陆 器降落到火星表面上，再经过多次弹跳才停下来.假设着
陆器第一次落到火星表面弹起后，到达最高点时高度为 h， 速度方向是水平的，速度大小为 v0，求它第二次落到火星
表面时速度的大小.计算时不计火星大气阻力.已知火星
其克服地球引力，离开地球成为行星的最小速度.
③第三宇宙速度：v3=16.7 km/s，在地球上发射一个物体，
能使物体挣脱太阳引力的束缚飞到太阳系外的最小速度. 4.经典力学的局限性 经典时空观中时间、空间都是不变的，牛顿运动定律、万有
引力定律适用，相对论时空观中时间、空间随物体速度变化而改 变，牛顿运动定律、万有引力定律已不适用，故以牛顿运动定律、 万有引力定律为代表的经典力学是有局限性的，只适用于宏观、 低速运动的物体，而不适用于微观、高速运动的物体.
的一个卫星的圆轨道的半径为 r，周期为 T.火星可视为半 径为 r0 的均匀球体.
思路点拨：此题先表示出火星的质量 M，再求出其表
面的重力加速度，然后利用平抛知识或机械能守恒求第二 次落到火星表面时速度的大小.
--精品--
解析：以 g′表示火星表面附近的重力加速度，M 表示火
星的质量，m 表示火星的卫星的质量，m′表示火星表面处某
由以上各式得 ρ= 3 π ，代入数据解得：ρ=1.27×1014 kg/m3.
GT 2 答案：1.27×1014 kg/m3
方法技巧：求天体的质量或密度的问题有两种情况.
（1）已知天体表面的重力加速度 g 和半径 R，利用 g=GM ，
R2
得出 M= gR2 .（2）围绕天体做圆周运动的卫星（或行星），利用
第四单元 万有引力定律与航天
基础整合
1.开普勒行星运动定律
定律
内容
开普勒
第一定 所有行星绕太阳运动的轨道
律 都是椭圆，太阳处在椭圆的
（轨道 一个焦点上
定律）
开普勒
第二定 对任意一个行星来说，它与
律 太阳的连线在相等的时间内
（面积 扫过相等的面积
定律）
--精品--
图示
开普勒 第三定 所有行星的轨道的半长轴的
相同的周期，T=24 h，同步卫星必须位于赤道正上方，且 距离地面的高度是一定的.（h=3.6×104 km）
--精品--
（3）三种宇宙速度
①第一宇宙速度：v1=7.9 km/s，是发射卫星的最小发射速度，
大小等于卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度.
②第二宇宙速度：v2=11.2 km/s，在地球上发射飞行器，使
思路点拨：设想中子星赤道处有一小块物体，只有当 它受到的万有引力大于或等于它随星体运转所需的向心 力时，中子星才不会瓦解.
--精品--
解析：设中子星的密度为 ρ，质量为 M，半径为 R，自转角速
度为 ω，位于赤道处的小物块质量为 m，则有
2 π =mω2R，ω= 2 π ，M= 4 πR3ρ
T
T
3
A.恒星质量与太阳质量之比 B.恒星密度与太阳密度之比 C.行星质量与地球质量之比 D.行星运行速度与地球公转速度之比
--精品--
解析：由 G Mm =m（ 2 π ）2r，M= 4 π2 r 3 ，分别由运行时
r2
T
GT 2
间比和距离比可求出恒星质量和太阳质量之比，再由
v= 2 π r 可求出各自的运行速度之比.故选 A、D.
G
GMm=m 4 π2 r，可得中心天体的质量 M=
G(m 1
m 2
)
.
r2
T2
L3
--精品--
针对训练 1－1：最近，科学家在望远镜中看到太阳系 外某一恒星有一行星，并测得它围绕该恒星运动一周所用 的时间为 1 200 年，它与该恒星的距离为地球到太阳距离 的 100 倍.假定该行星绕恒星运行的轨道和地球绕太阳运 行的轨道都是圆周，仅利用以上两个数据可以求出的量有 （）
物体只在重力作用下的运动
--精品--
3.人造卫星 （1）人造卫星绕地球的运动可看成是匀速圆周运动， 所需的向心力是地球对它的万有引力提供的，因此解决卫
星问题最基本的关系是：G Mm = mv2 =mrω2=mr 4 π2 .
r2 r
T2
（2）同步卫星 地球同步卫星，是相对地面静止的，与地球自转具有
--精品--
典例研析
类型一：测天体的质量和密度 【例 1】 中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它
的密度很大.现有一中子星，观测到它的自转周期为 T= 1
30 s.问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星的稳定， 不致因自转而瓦解.计算时星体可视为均匀球体.（引力常
量 G=6.67×10-11 N·m2/kg2）
一物体的质量，由万有引力定律和牛顿第二定律，有
G Mm m 4 π2 =m′g′，G Mm =m（ 2 π ）2r
r2
T2
r2
T
设 v 表示着陆器第二次落到火星表面时的速度，它的竖
直分量为 v1，水平分量仍为 v0，有 v1Hale Waihona Puke Baidu=2g′h，v= v 2 v 2
1
0
联立以上各式解得 v= 8 π2 hr 3 v 2 .