昆明理工大学2013级高等数学A(下)试卷A答案
昆明理工 高等数学 下 试题 及 答案.
昆明理工大学2001级高等数学[下]期末试卷一、填空（每小题4分，共24分）1．函数的定义域是，函数在是间断的.2．设函数，则， .3．函数在点（1，2）处沿轴负方向的方向导数等于.4．设，则曲面积分= .5．设，则二重积分= .6．如果微分方程的通解的所有任意常数的值确定后，所得到的微分方程的解称之为解.二、解答下列各题（每小题6分，共18分）1．求函数（为常数）的全微分.2．求曲面在点处的切平面方程和法线方程.3．求微分方程的通解.三、解答下列各题（每小题6分，共18分）1．设而为可导函数，试计算.2．计算三重积分其中是由曲面及所围成的闭区域.3．计算曲面积分，其中是柱面介于平面及之间部分的前侧。
四、（12分）求微分方程的通解.五、（12分）求曲线积分其中：（1）（8分）L为圆周的正向.（2）（4分）L为椭圆的正向六、（10分）求表面积为36，而体积为最大的长方体的体积.七、（7分）讨论函数在（0，0）处的连续性.昆明理工大学2002级高等数学（下）期末试卷一．填空题（每小题4分，共40分）1．设函数，则全微分2．设函数具有一阶连续偏导数，则3．二重积分，改变积分次序后= .4．直角坐标系下的三次积分化为球坐标系下的三次积分=5．若区域，则三重积分=6．当= 时，为某二元函数的全微分.7．曲线积分，其中L是抛物线上从点到的一段弧，则= .8．当为面内的一个闭区域D时，曲面积分与二重积分的关系为= .9．二阶常系数齐次线性微分方程的通解为y=10. 二阶常系数非齐次线性微分方程的特解形式为y*=二．（10分）具有连续偏导数，证明由方程所确定的函数满足三．（10分）由锥面及抛物面所围立体体积四．（10分）求螺旋线在处的切线方程及法平面方程.五、（10分）利用高斯公式计算曲面积分，其中具有二阶连续导数，为上半球面与所围成空间闭区域的整个边界曲面的外侧.六．（10分）设曲线积分在右半平面内与路径无关，其中可导且，求.七．（10分）二阶常系数非齐次线性微分方程，求其通解.昆明理工大学2003级高等数学[下]期末试卷一．填空题（每小题4分，共32分）1．设函数，则，.2．曲线在处的切线方程为.3．交换二次积分次序， .4．设L为右半圆周：，则曲线积分.5．设∑为平面在第一卦限中的部分，则曲面积分. 6．级数的敛散性为.7．幂级数的收敛半径R=，收敛区间为.8．求微分方程的通解为.二．解答下列各题（每小题7分，共35分）1．设.2．讨论函数是否有极值.3．求幂级数在收敛区间内的和函数.4．求微分方程的特解.5．求微分方程的通解.三．（11分）利用格林公式计算曲线积分，其中为从原点的正弦曲线.四．（11分）利用高斯公式计算曲面积分，其中是球面的内侧.五．（11分）求由锥面及旋转抛物面所围成的立体的体积.昆明理工大学2004级高等数学[下]期末试卷一．填空题（每小题4分，共32分）1．设函数，则.2．曲线处的法平面方程为：.3．设区域D由及所围，则化二重积分为先的二次积分后的结果为 .4．设L为圆弧：，则曲线积分.5．设，则曲面积分=.6．级数收敛于.7．幂级数的收敛半径R=，收敛区间为.8．二阶常系数非齐次线性微分方程的特解形式为y*=.（不要求计算）二．解答下列各题（每小题7分，共28分）1．求函数z=，其中具有一阶连续偏导数，求.2．讨论的极值.3．将函数展开成的幂级数，并求展开式成立的区间.4．求微分方程的通解.三．（10分）设L为沿顺时针方向的上半圆，计算曲线积分.四．（10分）求由球面及所围成的立体的体积.五．（10分）利用高斯公式计算曲面积分，其中是球面外侧的上半部分.六、（10分）求，使曲线积分与路径无关，其中具有二阶连续导数，且.昆明理工大学2005级高等数学[下]期末试卷一．填空题（每小题4分，共32分）1．设函数则.2．设，则.3．曲线处的法平面方程为..4．交换二次积分次序，则.5．设L为圆周：，则曲线积分.6．当∑为平面内的一个闭区域D时，则曲面积分.7．微分方程的通解为.8．微分方程的的通解为.二．解答下列各题（每小题7分，共28分）1．由方程所确定，其中具有连续的偏导数，求.2．计算二重积分其中D是由所围成的闭区域.3．利用高斯公式计算曲面积分，其中是球面的外侧.4．求微分方程的通解.三．（10分）某厂要用铁板做成一个体积为的无盖长方形水箱，问长、宽、高各取多少时，才能使用料最省.四．（10分）求由曲面及所围成的立体的体积.五．（10分）微分方程的通解.六．（10分）曲线积分与路径无关，其中具有连续的导数，且，计算.昆明理工大学2006级高等数学[下]期末试卷一、填空题（每小题3分，共30分）（1）设，则.（2）设，则全微分.（3）曲线在处的切线方程为 .（4）交换二次积分次序，则 .（5）设有曲线：的起点为（0，0），终点为（1，1）则曲线积分：.（6）设曲面是锥面在柱面内部那一部分上侧，则曲面积分 .（7）设具有连续偏导数，且则 .（8）当时，为某二元函数的全微分.(9 微分方程的通解为(10 微分方程的通解为二．（7分）设.三．（7分）利用拉格朗日乘数法求解问题：从斜边之长为的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形.四（7分）利用适当的坐标计算积分其中D 是由直线：及曲线所围城的闭区域.五（10分）利用高斯公式计算曲面积分：其中是曲面上侧.六．(10分利用格林公式，计算曲线积分：其中L为三顶点分别为（0，0）、（3，0）和（3，2）的三角形正向边界.七．(10分求由抛物面与平面所围成空间闭区域内的立体的质量，已知此立体的体密度为八．(10分二阶常系数非齐次线性微分方程，求其通解.九．（9分）设曲线积分与路径无关, 其中具有连续的一阶导数,且当其为起点在O（0，0）终点为B（1，1）的有向曲线时，该曲线积分值等于求函数.昆明理工大学2007级高等数学[下]期末试卷一、填空题（每小题3分，共30分）（1）设,，,具有一阶连续偏导数，则（2）设，则全微分（3）曲面在点处的切平面方程为（4）交换二次积分次序，则（5）计算二重积分的值，其中（6）曲线L为球面与平面相交的圆周，其中，则曲线积分（7）设曲面是在柱面上介于的部分，则曲面积分（8）当时，曲线积分与路径无关.（9）微分方程（b为常数）的通解为（10）微分方程的通解为二、（8分）已知三个正数之和为12，求的最大值.三、（8分）计算二重积分的值，其中D是由直线及曲线所围成的闭区域.四、（10分）求旋转抛物面与锥面所围立体的体积.五、（10分）求，其中L为顶点坐标分别是，，的三角形的正向边界.六、（10分）利用高斯公式计算曲面积分：，其中是曲面的上侧.七、（10分）求二阶常系数非齐次线性微分方程的通解（其中a 为常数）.八、（10分）设具有一阶连续导数，且，又是全微分方程，求.九、（6分）已知，且，其中可微，连续，且，连续，求.昆明理工大学2008级高等数学[下]期末试卷一．填空题（每小题4分，共40分）1.由曲线与直线及围成的图形的面积为若以x为积分变量,面积可用定积分表示为 .2.设为连续函数，则交换二次积分次序后.3. ,其中L是圆弧.4.，其中为平面在第一卦限中的部分.5.设为面上的闭区域,取下侧, 表示在面的投影,将化为上的二重积分,则.6. 已知级数则级数的和是7.已知，则 .8.当时,级数的敛散性为9.全微分方程的通解为 .10.一阶线性非齐次方程:的通解为 .二、计算下列各题(每小题5分，共10分1.求曲线与所围成的平面图形绕轴旋转一周所成旋转体的体积.2.三、（7分）计算三重积分所围成的闭区域。
昆明理工大学01—08级昆明理工大学高等数学[下]期末试卷
![昆明理工大学01—08级昆明理工大学高等数学[下]期末试卷](https://img.taocdn.com/s3/m/aae80bf2c8d376eeaeaa31e8.png)
4．求微分方程 dx
dy x y sin x y ( ) 1
的特解.
5．求微分方程 y y 1 的通解. 三． （11 分） 利用格林公式计算曲线积分 I e x (1 cos y )dx (e x sin y 2x )dy ， 其中 L 为
L
5．设∑为平面
x y z x y z 1 在第一卦限中的部分，则曲面积分 ( )dS 2 3 4 2 3 4
.
.
6．级数
3n n ! 的敛敛性为 n n 1 n
7．幂级数
2n n x 的收敛半径 R= 2 n 1 n 1
，收敛区间为
.
8．求微分方程
1 x 1 x f ( )dydz f ( )dzdx zdxdy ， y y x y
其中 f (u ) 具有二阶连续导数， 为上半球面 z a 2 x 2 y 2 与 z 0 所围成空间闭区 域 的整个边界曲面的外侧. 六． （10 分）设曲线积分 yf ( x) dx [ 2 xf ( x) x ]dy 在右半平面 ( x 0) 内与路径无关，
昆明理工大学 2005 级高等数学[下]期末试卷
一．填空题（每小题 4 分，共 32 分） 1．设函数 z x 4 y 4 4 x 2 y 2 , 则 2．设 z e xy ，则 dz
1 2
2 z xy
.
.
3．曲线 x 1 2t , y 2 t 2 , z t 在t =1 处的法平面方程为 4．交换二次积分次序，则 dy
L
ydx ( x 1)dy , 其中： ( x 1) 2 y 2
昆明理工大学07-08级AB高数(下)考试试卷和高等数学公式大全
昆明理工大学2007级《高等数学》A （2）试卷(A 卷) (2008年6月20日)题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 总分 得分阅卷人大 一、填空题（每小题3分，共30分）（1）设2(,,),sin ,.u f x y z y x z x ===且f 具有一阶连续偏导数， 则dudx= . （2）设2sin 2x y z e =，则全微分dz = . (3)曲面23z z e xy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程为 . （4）交换二次积分次序，则211(,)xdx f x y dy =⎰⎰ .（5）计算二重积分值4Dxyd σ=⎰⎰ 其中D :01,0 1.x y ≤≤≤≤( 6）曲线L 为球面2222x y z a ++=与平面x y =相交的圆周，其中0.a >则曲线积分⎰=+Lds z y 222 .（7）设曲面∑是在柱面222a y x =+(0)a >上介于;z h z h =-=(0)h >的那一部分，则曲面积分I dS ∑==⎰⎰ .（8）当a = 时,曲线积分3222(cos )(12sin 3)Laxy y x dx y x x y dy-+-+⎰与路径无关. (9)微分方程2(x dyy be b dx-+=为常数）的通解为 . (10)微分方程2290d yy dx+=的通解为 .二、(8分)已知三个正数,,x y z 之和为12.求32u x y z =的最大值.三、 （8分）计算二重积分sin Dxdxdy x⎰⎰的值.其中D 是由直线y x =及曲线2y x =所围成的闭区域.四、(10分)求旋转抛物面222z x y=--与锥面22z x y=+所围立体的体积.五、(8分)求⎰++++-L dyxydxyx)635()42(，其中L为顶点坐标分别是(0,0),(3,0),(3,2)的三角形的正向边界.六、（10分）利用高斯公式计算曲面积分：323232 ()()(),I x az dydz y ax dzdx z ay dxdy ∑=+++++⎰⎰其中∑是曲面222y x a z --=的上侧(0).a >.七、(10分)求二阶常系数非齐次线性微分方程 44ax y y y e '''++=的通解（其中a 为常数）.八、（10分）设()f x 具有一阶连续导数，且()1,f π=又()[sin ()]()00yx f x dx f x dy x x-+=>是全微分方程，求()f x .九、（6分）已知(),z z u =且()(),xy u u p t dt ϕ=+⎰其中()z z u =可微，'()u ϕ连续，且'()1,()u p t ϕ≠连续，求()().z zp y p x x y∂∂+∂∂昆明理工大学2007级《高等数学》A （2）试卷(B 卷)大 一、填空题（每小题3分，共30分）（1）函数221)ln(yx x x y z --+-=的定义域为 .（2）设)32ln(y x z -=，则dz = . （3）设)ln ,(22y x y x f z -=，f 可导，则=∂∂xz. （4）椭球面632222=++z y x 在点)1,1,1(处的法线方程为 . （5）交换二次积分次序：=⎰⎰221),(xdy y x f dx .（6）若L 为平面上的单位圆，则=⎰L ds . （7）若∑是空间中简单闭曲面的外侧，则曲面积分=+-⎰⎰∑dxdy ydzdx xdydz 2 .（8）微分方程0=+xdy ydx 的通解为 . (9)微分方程136=+'-''y y y 的通解为 .(10)微分方程x e y y y 2344=+'-''的非齐次特解形式应设为=*y .二、(8分)已知三个正的真分数,,x y z 之和为1，求32u x y z =的最大值.三、（8分）计算二重积分⎰⎰+Dd y x σ)(22，其中D 是由上半圆22x x y -=与x 轴所围成的闭区域.四、(10分)求由四个平面0=x ，1=x ，0=y ，1=y 所围方柱体被两平面0=z 和2=++z y x 所截部分的立体体积.五、(8分)求⎰-+-Ldy x dx y x )1()(2，其中L 为上半单位圆21x y -=从点)0,1(A 到点)0,1(-B 的一段.六 、（10分）利用高斯公式计算曲面积分：⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz ，其中∑是曲面222y x a z --=的上侧(0).a >七、(10分)求微分方程0)(=-+xdy dx y x 的满足初始条件1)1(=y 的解.八、设)(x y y =二阶可导，且⎰⎰-+=xx xdt t y x dt t ty e x y 0)()()(，求)(x y .（10分）九、（6分）))(,(2xy y x f z ϕ-=，),(v u f 具有二阶连续偏导数，)(u ϕ二阶可导，求yx z ∂∂∂2.昆明理工大学2008级《高等数学》A （2）A 卷期末试题解答及评分标准一、（每小题4分）1.21.1()x dx x-⎰2.110(,).dy f x y dx ⎰ 3.π.4. 2.5..(,,0)D R x y dxdy -⎰⎰6. 12S U -.7. (ln 3)!0nx n n ∞∑=.8. 收敛. 9. 23.x y y C += 10.()()[()].P x dx P x dx y e Q x e dx C -⎰⎰=+⎰二、1. 241()0V x x dx x π=-⎰ 3分 2.15π=5分 2. 22111221012()()||x x dx x y dy dx y x dy I y x dxdy D--=-+-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 3分11.15=5分三、22cos 32000sin d d d Iππϕθϕρϕρ=⎰⎰⎰ 5分8.5π= 7分 四、21()()L x y dx x y dy a I =+--⎰Ñ2分22Dd a σ-=⎰⎰ 5分 2.π=- 7分 五、122222()()x y ds x y ds I ∑∑=+++⎰⎰⎰⎰2222(()DDx y x y d σσ=+++⎰⎰⎰⎰ 4分2130(1d r dr πθ=⎰⎰ 6分(12π=分六、21 ().a I axdydz z a dxdy ∑=++⎰⎰ 1分补()2221:0z xy a ∑=+≤取下侧 3分1121 []()()a I axdydz z a dxdy axdydz z a dxdy ∑+∑∑-=++++⎰⎰⎰⎰21[(1)]D a dv a d a σΩ=++⎰⎰⎰⎰⎰ 6分 (52)3a a π=+ 8分 七、1.122!2limlim lim 0,(1)!1(1)n n n n na n n n R a n n n ρ+→∞→∞→∞++====∴=+∞+++收敛区间),(+∞-∞； 4分 2.设01()!nn n S x x n ∞=+=∑， 则100001()!!!n n xx n n n n n x x S x dx x dx x n n n +∞∞∞===+===∑∑∑⎰⎰0()!nxxn x xe e n ∞===∑Q所以()()(1)xx S x xe e x '==+ 8分八、1. '()()(0)0f x f x f ==()x f x Ce ∴= 4分 .(0)00,()0f C f x =∴==又， 6分2．微分方程的特征方程022=-+r r其特征根为1,221=-=r r ，故对应齐次方程的通解为x x e C e C Y 221+=- 3分因为x e x f 22)(=，2=λ不是特征方程的根， 故原方程的特解设为：x Ae y 2*=，代入原方程得⇒=-+x x x x e Ae Ae Ae 2222222421222=⇒=A e Ae x x ，xe y 221*= 因此，原方程的通解为*y Y y +=x x x e e C e C 222121++=-昆明理工大学2008级《高等数学》A （2）期末试卷考试日期:2009.06.17 (B 卷)题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 得分阅卷人一．填空题（每小题4分，共40分）1.由直线0y x y ==，及2x =围成的图形的面积为A ,若以x 为积分变量,面积A可用定积分表示为A = .2.设(,)f x y 为连续函数，则交换二次积分次序后133(,)xdx f x y dy =⎰⎰ .3.设L 是任意一条分段光滑的闭曲线，则22Lxydx x dy +=⎰Ñ . 4. 设∑为曲面0,2222≥=++z a z y x 的部分，则对面积的曲面积分222()I x y z dS ∑=++=⎰⎰ .5. 设∑为曲面,,0222a y x z ≤+=的上侧，则对坐标的曲面积分25x dydz dzdx dxdy ∑++=⎰⎰.6. 已知级数∑∞=1n n U 的部分和11(1)331n S n =-+，则级数∑∞=1n nU 的和s =.7.级数λλ-∞=∑-e n n n1)!1(的和s =.8.当01a <≤时,级数111nn a ∞=+∑的敛散性为 . 9.全微分方程cos sin sin cos 0x ydx x ydy +=的通解为 .10.一阶线性齐次方程:()0y P x y +='的公式通解为y = . 二、计算下列各题(每小题5分，共10分)1.求曲线2y x =与2y x =所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积.2. 计算二重积分Dx y d σ+⎰⎰，其中闭区域(){,11,11}D x y x y =-≤≤-≤≤.三、（7分）计算由曲面22z x y =+及226z x y =--所围成的立体的体积四、（7分）计算22()()Lx y dx x y dyI x y=++-+⎰Ñ，其中L 为圆周222(0)x y a a +=>（按逆时针方向绕行）.五、(8分)计算()22I x y dS ∑=+⎰⎰Ò，其中∑是锥面z =2z =所围成的区域的整个边界曲面.六、(8分)利用高斯公式计算曲面积分 I ∑=其中∑是曲面222z a x y =--的上侧.(0a >为常数）七、(8分)求幂级数2111(1)21n n n x n -∞-=--∑的收敛域与和函数.八、计算下列各题（每题6分 共12分） 1. 求微分方程 322dx x dy y y+= 在条件11x y ==下的特解.2.求微分方程22y y y +-='''的通解.高等数学公式导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin ududx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， 一些初等函数： 两个重要极限：ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x Cx dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(μμμxxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim0==+=∞→→e xxxx x x·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑ΛΛΛ中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
高等数学(A)下期末试卷及答案(优选.)
南京邮电大学2010/2011学年第二学期《高等数学A 》(下）期末试卷A 答案及评分标准 一、选择题（本大题分5小题，每题3分，共15分）1、交换二次积分⎰⎰x e dy y x f dx ln 01),(的积分次序为（c ）(A ) ⎰⎰x e dx y x f dy ln 01),( (B )⎰⎰1),(dx y x f dy e e y(C )⎰⎰eeydx y x f dy ),(10(D )⎰⎰ex dx y x f dy 1ln 0),(2、锥面22y x z +=在柱面x y x 222≤+内的那部分面积为 （D ）(A )⎰⎰-θππρρθcos 2022d d (B )⎰⎰-θππρρθcos 20222d d(C )⎰⎰-θππρρθcos 202222d d (D )⎰⎰-θππρρθcos 20222d d3、若级数∑∞=-1)2(n nn x a 在2-=x 处收敛，则级数∑∞=--11)2(n n n x na 在5=x （B ） (A ) 条件收敛 (B ) 绝对收敛 (C ) 发散(D ) 收敛性不确定 4、下列级数中收敛的级数为 （A ）(A ) ∑∞=-1)13(n nn n (B )∑∞=+121n n n (C ) ∑∞=+111sin n n (D )∑∞=13!n n n 5、若函数)()2()(2222x axy y i xy y x z f -+++-=在复平面上处处解析，则实常数a 的值 为 （c ）(A ) 0 (B ) 1 (C ) 2 (D ) -2二、填空题（本大题分5小题，每题4分，共20分）1、曲面122-+=y x z 在点)4,1,2(处的切平面方程为624=-+z y x2、已知)0(:222>=+a a y x L ，则=-+⎰Lds xy y x )]sin([22 32 a π 3、Ω是由曲面22y x z +=及平面)0(>=R R z 所围成的闭区域，在柱面坐标下化三重积分⎰⎰⎰+Ωdxdydz y x f )(22为三次积分为⎰⎰⎰RR dz f d d ρπρρρθ)(20204、函数x x f =)()0(π≤≤x 展开成以2π为周期的正弦级数为nx nx n n sin )1(211+∞=-=∑，收敛区间为π<≤x 05、=+-)1(i Ln2,1,0),243(2ln ±±=++k k i ππ=-]0,[Re 2zz e s z1-三、(本题8分）设),()(22xy y xg y x f z ++=，其中函数)(t f 二阶可导，),(v u g 具有二阶连续偏导数，求y x z x z ∂∂∂∂∂2,解：2112yg g y f x x z ++'=∂∂ … 3分=∂∂∂yx z2f xy ''4113122221g y x g y xyg g --++ 5分四、(本题8分）在已知的椭球面134222=++z y x 内一切内接的长方体（各边分别平行坐标轴）中，求最大的内接长方体体积。
高等数学考试试题及答案-昆明理工大学
e 3 x cos 2 x 3e 3 x 2 sin 2 x 3 （用洛必达法则） lim （4 分） ； （7 分） x 0 x 0 2 cos 2 x sin 2 x 2
(2). lim
x
x
2
1 x 2 1 lim
2 x
2 x2 1 x2 1
五．证明题： （本题 5 分） 设 f ( x) 为连续函数，证明： xf (sin x)dx
0
2 0
f (sin x)dx 。
昆明理工大学试卷标准答案
一．填空题： （本题总分 20 分，每小题 4 分） 1． (,4) (4,5) (5,6) (6,) ； 2． f ( x0 ) ； 3． F ( x a) F (2a) ； 4．0， 2 ； 5． x 2 y 2 C 。 二．计算题： （本题总分 49 分，每小题 7 分） 1． (1). lim
2．设 f ( x) 在 x x0 处可导，则 lim
h 0
；
3．设 F ( x) f ( x) ，则 f (t a)dt
a
x
；
4．函数 f ( x)
e2x 1 的可去间断点为 x0 x( x 1)
，补充定义 f ( x0 )
，则函数
在 x 0 点连续。 5．方程 y
昆明理工大学考试试卷
课程名称（含档次） 专 业 高等数学 B(一) 层次（本、专） 本 科 课程代号 考试方式（开、闭卷） 闭卷
一．填空题： （本题总分 20 分，每小题 4 分） 1．函数 f ( x)
1 的定义域是 lg x 5
；
f ( x 0 2h) f ( x 0 ) 2h
高等数学(下)A附标准答案
湖北工业大学理学院2012-2013学年二学期课程考试试卷答案(A 卷)课程名称：高等数学 考试时间：120分钟 年级：xxx 级专业：xxx题目部分，（卷面共有20题，96分，各大题标有题量和总分）一、选择（5小题，共15分）1、设向量,-=+A 、 -=B 、 +=C 、 a b ⋅=0D 、 a b ⨯=0答案：C2、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处具有偏导数是它在该点存在全微分的：A 、必要而非充分条件；B 、充分而非必要条件；C 、充分必要条件；D 、既非充分又非必要条件。
答案：A3、设Ω为半球体x 2+y 2+z 2≤R 2,z ≥0.f (t )是(－∞,+∞)上严格单调增加的奇函数，则A 、()0f x z dv Ω+>⎰⎰⎰ B 、()0f x z dv Ω+<⎰⎰⎰ C 、()0f x z dv Ω+=⎰⎰⎰D 、 ()2()f x z dv f x dv ΩΩ+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰答案：A 4、设∑为球面x 2+y 2+z 2=R 2的下半球面下侧，则()I zdxdy ==∑⎰⎰A 、200;d πθ-⎰⎰B 、200;R d πθ⎰⎰C 、200d πθ-⎰⎰D 、200d πθ⎰⎰ 答案：B5、级数()∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛--1cos 11n n n α(常数0>α)A 、发散；B 、条件收敛；C 、绝对收敛；D 、敛散性与α有关。
答案：C二、填空（5小题，共15分）6、椭球面x y z 22249361++=的三个半轴长分别为____，_____，_____。
答案：2，3，67、函数z xx y =+ln 22的间断点为⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽。
答案：y 轴上的所有点。
8、函数z x y =+22在闭域D x y :+≤1上的最小值是_______。
答案：z z min (,)==0009、根据二重积分的几何意义221D x y dxdy --⎰⎰=___________.其中D ：x 2+y 2≤1. 答案：π10、设3lim 1=+∞→n n n a a ，则幂级数∑∞=02n n n x a 的收敛半径是。
2013高等数学下试卷及答案 (2)
姓名____________ 学号____________一、单项选择题（本大题共５小题，每小题３分，共１５分） １．与三坐标轴夹角均相等的单位向量为（ ）Ａ．(1,1,1) Ｂ．111(,,)333Ｃ． Ｄ．111(,,)333---２．设ln xz y=，则11x y dz ===（ ）Ａ．dy dx - Ｂ．dx dy - Ｃ．dx dy + Ｄ．0 ３．下列级数中收敛的是 （ ）Ａ．n ∞=Ｂ．1n ∞=∑ Ｃ．113n n ∞=∑ Ｄ．113n n∞=∑ ４．当||1x <时，级数11(1)n n n x ∞-=-∑是（ ）Ａ．绝对收敛 Ｂ．条件收敛 Ｃ．发散 Ｄ．敛散性不确定５．设函数()p x ，()q x ，()f x 都连续，()f x 不恒为零，1y ，2y ，3y 都是()()()y p x y q x y f x '''++=的解，则它必定有解是（ ）（今年不作要求）Ａ．123y y y ++ Ｂ．123y y y +- Ｃ．123y y y -- Ｄ．123y y y ---二、填空题（本大题共５小题，每小题３分，共１５分）１．微分方程''6'90y y y -+=的通解为＿＿＿＿＿．（今年不作要求） ２．设有向量(4,3,1)a →=，(1,2,2)b →=-，则2a b →→-＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿． ３．过点(1,1,0)-且与平面32130x y z +--=垂直的直线方程是＿＿＿＿＿＿．４．设2cos()z xy =，则zy∂∂＝＿＿＿＿＿＿＿． ５．设L 为曲线2y x =上从点(0,0)到点(1,1)的一线段，则32(2)L x y dx +⎰＿＿＿．三、计算题（本大题共７小题，每小题6分，共４2分） １．求微分方程2(12)(1)0x y dx x dy +++=的通解．２．设22()xyz x y =+，求z x ∂∂及2z x y∂∂∂．３．判断级数23112123!10101010n n ⋅⋅⋅+++++的敛散性．４．设一矩形的周长为2，现让它绕其一边旋转，求所得圆柱体体积为最大时矩形的面积及圆柱体的体积．５．将函数2()x f x xe -=展开成x 的幂级数，并确定其收敛域． ６．设(,)z z x y =是由方程2z x y z e +-=确定的隐函数，求全微分dz .７．计算二重积分cos Dydxdy y⎰⎰，其中D 是由y =y x =围成的区域．四、解答题（本大题共4小题，每小题７分，共２8分） １．计算曲线积分22(2)()Lxy x dx x y dy -++⎰，其中L 是由曲线2y x =和2y x =所围成的区域的正向边界曲线．２．计算二重积分Dσ⎰⎰，其中区域D 由221x y +≤，0x ≥及0y ≥所确定．３．设()u f xyz =，(0)0f =，(1)1f '=，且3222()ux y z f xyz x y z∂'''=∂∂∂，试求u 的表达式．（今年不作要求）４．计算曲面积分)I xdydz ydzdx zdxdy ∑=++，其中∑为上半球面z =（今年不作要求）参考答案一、 选择题（本大题共５小题，每小题３分，共１５分） １．Ｃ ２．Ｂ ３．Ｃ ４．Ａ ５．Ｂ 二、填空题（本大题共５小题，每小题３分，共１５分） １．312()x y C C x e =+ ２．(7,8,0) ３．11321x y z+-==- ４．22sin()xy xy - ５．710三、计算题（本大题共７小题，每小题６分，共４２分）１．求微分方程2(12)(1)0x y dx x dy +++=的通解． 解：21112x dx dy x y =-++⎰⎰．．．．．．．．．．（１分） 221111(1)(12)21212d x d y x y +=-+++⎰⎰．．．．．．．．．（５分） 2ln(1)ln |12|ln x y C +=-++，即2(1)(12)x y C ++=．．．．．．（６分）２．设22()xyz x y =+，求z x ∂∂及2zx y∂∂∂．解：设v z u =，22u x y =+，v xy =．．．．．．．．．．（１分）22222222()(ln())xy z z u z v x y x y y x y x u x v x x y∂∂∂∂∂=+=+++∂∂∂∂∂+．．．．．．．．．．（３分） 243342222222222(2)()[(21ln())ln()]()xy z x x y y x y xy xy x y x y x y x y ∂++=++++++∂∂+．（６分） ３．判断级数23112123!10101010n n ⋅⋅⋅+++++的敛散性．解：11(1)!10lim lim !10n n n n n n u n u n ρ++→∞→∞+==．．．．．．．．．．（３分） 1lim10n n →∞+==∞．．．．．．．．．．．（５分） 所以级数发散．．．．．．．．（６分）４．设一矩形的周长为2，现让它绕其一边旋转，求所得圆柱体体积为最大时矩形的面积及圆柱体的体积．解：设矩形两边长分别为,x y ．则1x y +=，假设绕长度为y 的一边旋转，则圆柱体体积为2V x y π=．．．．．．．．．．．．（２分） 作拉氏函数2(,,)(1)F x y x y x y λπλ=++-．．．．．．．．（３分） 解方程组22001xy x x y πλπλ+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩．．．．．．．．．．．．．．．．（４分） 得可能的极值点21(,)33．．．．．．．．．．．．．．（５分） 由题意知道其一定是所求的最值点，所以最大体积为427π，对应面积为29．．．．．．．．．．（６分）５．将函数2()xf x xe -=展开成x 的幂级数，并确定其收敛域．解：因为212!!n x x x e x n =+++++ ．．．．．．．（１分）所以2221(1)222!2!xnnn x x x en -=-+++-+⋅⋅ ．．．．．．．．．．（３分）23112211()(1)(1)222!2!2(1)!x n nnn n n n x x x x f x xex n n +∞---===-+++-+=-⋅⋅⋅-∑（５分）收敛域为(,)-∞+∞．．．．．．．．．．．．．．．．．．（６分）６．设(,)z z x y =是由方程2z x y z e +-=确定的隐函数，求全微分dz . 解：2(,,)z F x y z x y z e =+--．．．．．．．．（１分） 1,2,1z x y z F F y F e ===--．．．．．．．．．．．（３分） 所以12,11y x z zz z F F z z yx F e y F e∂∂=-==-=∂+∂+．．．．．．．．．（５分）故1(2)1z z z dz dx dy dx ydy x y e∂∂=+=+∂∂+．．．．．．．．．．（６分） ７．计算二重积分cos Dydxdy y⎰⎰，其中D 是由y =y x =围成的区域． 解：积分区域为：2{(,)|01,}D x y y y x y =≤≤≤≤．．．．．．．．（１分）210cos cos y y Dyy dxdy dy dx y y =⎰⎰⎰⎰．．．．．．．．．．（３分） 1(1)cos y ydy =-⎰．．．．．．．．．．．．（５分）1cos1=-．．．．．．．．．（６分） 四、解答题（本大题共４小题，每小题７分，共２８分） １．计算曲线积分22(2)()Lxy x dx x y dy -++⎰，其中L 是由曲线2y x =和2y x =所围成的区域的正向边界曲线．解：22(2)()(12)L Dxy x dx x y dy x d σ-++=-⎰⎰⎰．．．．．．（２分）2102)xdx x dy =-⎰．．．．．．．．（４分）1312322(22)x x x x dx =--+⎰．．．．．．．．（６分） 130=．．．．．．（７分）２．计算二重积分Dσ，其中区域D 由221x y +≤，0x ≥及0y ≥所确定．解：'DD σθ=⎰⎰．．．．．．．．．．（２分）120d πθ=⎰⎰．．．．．．．．．．．．（４分） 224d ππθ-=⎰．．．．．．（６分）＝(2)8ππ-=．．．．．．．．．（７分）３．设()u f xyz =，(0)0f =，'(1)1f =，且3222()ux y z f xyz x y z∂'''=∂∂∂，试求u 的表达式．解：22(),()()u uyzf xyz zf xyz xyz f xyz x x y∂∂''''==+∂∂∂ 3222()3()()uf xyz xyzf xyz x y z f xyz x y z∂''''''=++∂∂∂．．．．．．．．（２分）因为3222()ux y z f xyz x y z∂'''=∂∂∂，所以()3()0f xyz xyzf xyz '''+= 令xyz t =，得3()()0tf t f t '''+=．．．．．．（４分）解之得113311(),(1)1,1,()由得所以f t C t f C f t t --'''====．．．．．（５分）解得22332233(),(0)0,0,()22由得所以f t t C f C f t t =+===．．．．．（６分）即233()()2u f xyz xyz ==．．．．．．．（７分）４．计算曲面积分)I xdydz ydzdx zdxdy ∑=++，其中∑为上半球面z = 解：因为在曲面∑a =，所以()I a xdydz ydzdx zdxdy ∑=++⎰⎰．．．．．．．．．．（１分）补曲面2221{(,,)|0,}x y z z x y a ∑==+≤，1∑取下侧．．．．．．．．．．（２分） 由高斯公式得1()I a xdydz ydzdx zdxdy ∑+∑=++⎰⎰＝342(111)323a dv a a a ππΩ++=⨯=⎰⎰⎰．．（４分） 而111()00a xdydz ydzdx zdxdy azdxdy dxdy ∑∑∑++===⎰⎰⎰⎰⎰⎰．．．．．（６分）故)I xdydz ydzdx zdxdy ∑=++＝114()()2a xdydz ydzdx zdxdy a π∑+∑∑-++=⎰⎰⎰⎰．．．．．．．（７分）。
昆明理工大学2011级《高等数学》A(2)期末试卷及参考答案
昆明理工大学2011级《高等数学》A （2）期末试卷一、单项选择题（每小题4分，共20分）1.设),(y x f z =在点),(00y x 处取极小值，则函数),()(0y x f y =ϕ在0y 处（ ）。
)(A 取最小值，)(B 取最大值，)(C 取极大值，)(D 取极小值。
2.已知全微分dy y x dx xy x y x df )()2(),(222-++=，则).(),(=y x f,33)(323y y x x A +-,33)(323y y x x B --,33)(323y y x x C -+.33)(323C y y x x D +-+3.设),0(:222>≤+a a y x D 要使,222π=σ--⎰⎰d y x a D则.)(=a.21)(,43)(,23)(,1)(333D C B A 4.微分方程y y dxdyxln =满足条件2)1(e y =的特解为.)(=y .)(,)(,)(,)(2221xe D e C e B eA xx x+5. 微分方程x xe y y 22='-''的特解*y 的形式为.)(.)()(,)(,)(,)()(22222x x x x e B Ax x y D e Ax y C Axe y B e B Ax y A +===+=****二、填空题（每小题4分，共20分）1.过曲面224y x z --=上点P 处的切平面平行于,0122=-++z y x 则P 点的坐标是 .2.设10,10:≤≤≤≤y x D ，则=-⎰⎰dxdy x y D.3.设曲面∑为上半球面229y x z --=的上侧，则zdxdy ∑=⎰⎰ .4.设曲线L 为)0(222>=+a ax y x ，则=⎰Lds .5设)(x ϕ在),0(+∞有连续导数，,1)(=πϕ要使积分dy x dx xyx x I L)()]([sin ϕ+ϕ-=⎰在0>x 时与路径无关，则=ϕ)(x .三 (9分).设),(y x z z =是由0),(=--bz y az x F 确定的隐函数，而),(v u F 可微，验证1z zab x y∂∂+=∂∂.四(9分)计算,222dv z y x I ++=⎰⎰⎰Ω其中Ω是.2222z z y x ≤++五(9分)用格林公式计算,)2(2ydx x dy x xy I L--=⎰其中L 为闭区域41:22≤+≤y x D 的正向边界曲线。