高数习题课

习题课一、多元函数的连续性：（1）连续性的定义：三个条件（定义存在，极限存在，极限值与函数值相等）（2）连续和极限的关系(可从各自的定义得出结论)（3）连续函数的性质和定理6 设函数2224222,0 (,)0,0x yx yf x y x yx y⎧+≠⎪=+⎨⎪+=⎩证明(,)f x y在点(0,0)不连续。

证明：不妨取x=则242(,)(0,0)(,)(0,0)lim(,)limx y x yx yf x yx y→→=+2222(,)(0,0)limxx ykyk y y→+2(,)(0,0)lim1x ykk→=+21kk=+（当k变化时，该极限值也在变化，故极限不存在）所以(,)f x y在点(0,0)不连续8求下列函数的不连续点。

要判定多元函数在某点处是否连续，可以先判定其是否为多元初等函数，再判定所给点是否在函数的定义区域之内（3）22ln(1)z x y=--解：当2210x y--≤时，即当221x y+≥时，函数不连续（8）1u xyz=解：当0xyz =时函数不连续， 即0x =或0y =或0z =时 即在,,ox oy oz 面上函数不连续。

二、偏导数（1）定义：设函数(,)z f x y =在点(,)P x y 的某个领域内有定义，把自变量y 暂时看做常数，给x 一个改变量x ∆，于是z 关于x 的改变量，如果极限(,)(,)limx f x x y f x y x∆→+∆-∆存在，则称此极限为函数(,)f x y 在点(,)P x y 关于x 的偏导数，记作',,(,)x z f f x y x x∂∂∂∂或'x z （偏增量比的极限） （2）几何意义：设00000(,,(,))M x y f x y 为曲面(,)z f x y =上一点，偏导数00(,)x f x y 就是曲面被平面0y y =所截得的曲线在点0M 处的切线0x M T 对轴x 的斜率（3）偏导数存在与连续的关系：二者没有必然的关系一元函数在可导点处必连续, 但二元函数在偏导数存在处不一定连续. 因为00'(,)x f x y 只反应0(,)f x y 在00(,)x y 处连续，00'(,)y f x y 只反应0(,)f x y 在00(,)x y 处连续，即曲面(,)z f x y =关于平面0x x =和0y y =的截线在00(,)x y 处连续不能代表曲面(,)z f x y =在00(,)x y 处连续.反之，二元函数在连续点处也不一定存在偏导数.例1 22,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)xyx y x y z f x y x y ⎧≠⎪+==⎨⎪≠⎩例2 (,)f x y =(0,0)处连续，但偏导数不存在（取y kx =，可得到在原点极限为22222(,)(0,0)(,)(0,0)lim lim 1x y x y xy kx kx y x kx k→→==+++） （4）偏导数的计算：主要运用一元函数的求导法则；对于高阶偏导数，在偏导数连续的条件下与求导次序无关。

9.求下列函数的偏导数（1）xu xy y =+解：21,xy x u y u x y y=+=-（3）x u =23222()x y u x y ==+解：32222()y yxy u x x yx y =⋅=-++ （5）sin()u x x y =+解：sin()cos()x u x y x x y =+++cos()y u x x y =+10.求下列函数在给定点的偏导数 （1）ln(ln )z x y =+，在(1,)e 点解：(1,)(1,)11ln 2e e xz x y==+ (1,)(1,)111ln 2e e yz x y ye==+ （3）sin cos x yz y x=，在(2,)π点 解：(2,)(2,)212cos cos sin sin sin4xx y y x y z y y x x y x ππππ=+=(2,)(2,)2112cos cos sin sin sin 2yx x y x y z y y x x y xπππ=--=-14.求下列函数的高阶偏导数（偏导法则）（1）ln()u x x y =+，求22222,,,u u ux y x y∂∂∂∂∂∂∂解：（3）xyzu e =，求3ux y z∂∂∂∂解：三、全微分：（1）定义： 设二元函数(,)z f x y =在000(,)P x y 的某个邻域中有定义.当自变量(,)x y 有改变量(,)x y ∆∆时,如果存在一个以),(y x ∆∆为自变量的线性函数(,)l x y A x B y ∆∆=∆+∆,使得函数改变量000(,)(,)z f x y f y y x x ∆=+∆+∆-可以表示成z A x B y α∆=∆+∆+ (1)其中α满足lim0x y ∆→∆→= (2)则称),(y x f 在点),(000y x P 可微.其中线性函数A x B y ∆+∆称为(,)z f x y =在点),(000y x P 的微分(即全微分),记作dz A x B y =∆+∆,（2）几何意义：在一点附近用平面近似地代替曲面。

微分就是将函数“局部线性化”，或者将曲面“局部展平”（3）性质： （a ）可微与连续（b ）全微分存在的必要条件：偏导数存在 （c ）全微分存在的充分条件：偏导数连续 （d ）全微分的形式不变性：z zdz du dv u v∂∂=+∂∂ （4）偏导数、全微分与连续偏导数三者之间的关系偏导数偏导数 连续存在15.求下列函数的全微分(1) 2z x y =解：22dz xydx x dy =+ (2) arctan 1x yz xy+=- 解：(3) 3(1ln )z xy =+解：四、复合函数的导数链式法则(1) 复合函数的中间变量均为一元函数的情形(,)z f u v =，(),()u t v t φϕ== dz z u z v dt u t v t∂∂∂∂=∙+∙∂∂∂∂ （2）复合函数的中间变量均为多元函数的情形(,),(,)u x y v x y ϕφ==，(,)z f u v =z z u z v x u x v xz z u z v y u y v y∂∂∂∂∂=∙+∙∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=∙+∙∂∂∂∂∂21.求下列复合函数的导数（1）3ln(),,xyduu e e y x dx=+=求解：,,x yw e v e ==令则：du u dw u dvdx w dx v dx ∂∂=+∂∂=211(3)x y x y x y e e x e e e e+++=21(3)x y x y e e x e e++（3）22u x y xy =-，其中cos ,sin x s t y s t ==，求,u u s t∂∂∂∂ （5）22(,),,xyu uu f x y e x y∂∂=-∂∂求解：22,,xy w x y v e =-=令则：''''22(2)2xyxy w v xyxy w v u u w u v u u x ye xf ye f x w x v x w v u u w u v u u y xe yf xe f y w y vy w v∂∂∂∂∂∂∂=+=⋅+=+∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=⋅-+=-+∂∂∂∂∂∂∂（7）(,,)u f x xy xyz =，求,,,u u ux y z∂∂∂∂∂∂ （10）设22222(,),,,x u u uu f x y x y x y ∂∂∂=∂∂∂∂求解：,,xw x v y==令则：''2''''''''''2''''''''2111111()()()111w v w v ww wv vw vv ww wv vw vv u u w u v u u f f x w x v x w v y y u f f f f f f x x y y y yf f f f y y y∂∂∂∂∂∂∂=+=+=+∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=+++∂∂=+++22'''2342'''''221()v vvwv v vv u x x f f y y y u x xf f f x y y y∂=+∂∂-=++∂∂同理，。