2017年秋九年级数学上册22.3实际问题与二次函数(第3课时)教案(新版)新人教版 (1)
人教版九年级数学上册22.3实际问题与二次函数(第3课时)一等奖优秀教学设计
人教版义务教育课程标准教科书九年级上册22.3实际问题与二次函数(3)一、教材分析1、地位和作用：本节课的内容是人教版九年级下册第二十二章第三节第三课时，本节课是在学习了二次函数的概念、图象、性质后，进一步应用函数知识解决实际问题的一节应用课．主要内容包括：建立适当的直角坐标系，把实际问题转化为数学问题进行解决；掌握数学建模思想在实际问题中的应用；体现数学的实际应用价值。
2、目标及目标分析：【目标】：能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，正确建立坐标系，并运用二次函数的图象、性质解决实际问题。
【目标分析】：在问题转化、建模过程中，发展合情推理能力，体会数形结合的思想。
通过实际问题，体验数学在生活实际的广泛应用性，发展数学思维。
通过对拱桥图片的欣赏，感受数学在生活中的应用，激发学习热情。
3、教学重、难点教学重点：建立坐标系，利用二次函数的图象、性质解决实际问题。
教学难点：建立二次函数数学模型。
突破难点的方法：自主探究，小组讨论、师生交流，多媒体展示二、学情分析从学生的认知水平和能力状况来看，初三学生处于形象思维向抽象思维过渡的阶段。
受认知结构、能力水平的限制，对事物的认识还停留在表面上，一部分学生还存在学习目的不明确，学习动力不足等问题。
但是他们已具备了一定的小组合作学习的能力，能开展小组合作学习。
且学生在这节课之前，已学习了二次函数的图像和性质，且已经学过了用二次函数的图像和性质解决面积最大和利润最大的实际问题，已有一定的解决实际问题的基础，所以本节课的知识不难。
但是学生可能难以把实际问题与二次函数问题联系起来，不会建立二次函数模型，所以建模的过程需教师引导进行。
三、教学准备：多媒体课件四、教学过程一、 创设情境 引入课题师出示一组图片，要求学生观赏，并提出问题： 这组图片都有什么共同特征？师：在我们日常生活中，许多物体的形状或运动轨迹都具有二次函数的图像抛物线的特征，由此相关的实际问题，我们就可用二次函数的知识解决。
九年级数学上册教学课件《实际问题与二次函数(第3课时)》
这时水面的宽度为x2-x1=2 6， 因此当水面下降1m时,水面宽度增加了(2 6-4)m.
2m l=4m
o
探究新知
22.3 实际问题与二次函数
【思考】“二次函数应用”的思路
回顾 “最大利润”和 “桥梁建筑”解决问题的过程，
（1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式； （2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8 米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？
（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不 变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的 原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．
解：（1）设抛物线的表达式为y=ax2 .
∵点B（6，﹣5.6）在抛物线的图象上，
∴﹣5.6=36a，a 7 .
45
∴抛物线的表达式为 y
7
x2 .
45
课堂检测
22.3 实际问题与二次函数
（2）现需在抛物线AOB的区域内安装几扇窗户，窗户的底 边在AB上，每扇窗户宽1.5m，高1.6m，相邻窗户之间的间 距均为0.8m，左右两边窗户的窗角所在的点到抛物线的水平 距离至少为0.8m．请计算最多可安装几扇这样的窗户？
探究新知 怎样建立直角坐标系比较简单呢？
以拱顶为原点，抛物线的对称轴 为y轴，建立直角坐标系，如图．
22.3 实际问题与二次函数
从图看出，什么形式的二次函数，它 的图象是这条抛物线呢？
由于顶点坐标系是（0.0），因此 这个二次函数的形式为y ax2.
新人教版九年级数学上册22.3.3实际问题与二次函数教案新版
22.3.3实际问题与二次函数一、教学目标1.会用二次函数知识解决实物中的抛物线形问题.2.建立恰当的直角坐标系将实际问题转化为数学问题二、课时安排1课时三、教学重点会用二次函数知识解决实物中的抛物线形问题.四、教学难点建立恰当的直角坐标系将实际问题转化为数学问题五、教学过程（一）导入新课我校九年级学生姚小鸣同学怀着激动的心情前往广州观看亚运会开幕式表演.现在先让我们和姚小鸣一起逛逛美丽的广州吧！（二）讲授新课探究3：如果要使运动员坐着船从圣火的拱形桥下面穿过入场，现已知拱形底座顶部离水面 2 m,水面宽 4 m,为了船能顺利通过，需要把水面下降 1 m,问此时水面宽度增加多少?解：建立如图所示坐标系,设二次函数解析式为2.y ax =由抛物线经过点（2，-2），可得1,2a =- 所以，这条抛物线的解析式为21.2y x =- 当水面下降1m 时，水面的纵坐标为 3.y =-当 3.y =- 时，x =所以，水面下降1m ，水面的宽度为m .所以水面的宽度增加了()4m.探究4：如果要使运动员坐着船从圣火的拱形底座下穿过入场，现已知拱形底座顶部离水面 2 m,水面宽 4 m,为了船能顺利通过，需要把水面下降 1 m,问此时水面宽度增加多少?请同学们分别求出对应的函数解析式解：设y =-ax 2+2将（-2,0）代入得a =12- ∴y =2122x -+； 设y =-a （x-2）2+2将（0,0）代入得a =12- ∴y =21(2)2x -- +2； 归纳：解决抛物线型实际问题的一般步骤(1)根据题意建立适当的直角坐标系；(2)把已知条件转化为点的坐标；(3)合理设出函数解析式；(4)利用待定系数法求出函数解析式；(5)根据求得的解析式进一步分析、判断并进行有关的计算.（三）重难点精讲在篮球赛中，姚小鸣跳起投篮，已知球出手时离地面高 米，与篮圈中心的水平距离为8米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心距离地面3米，他能把球投中吗？解：如图建立直角坐标系.则点A 的坐标是（0，209），B 点坐标是（4，4），C 点坐标是（8，3）.因此可设抛物线的解析式是y =a (x -4)2+4 ①. 把点A (0,209 )代入①得220=(04)4,9a -+ 解得 1.9a =- 所以抛物线的解析式是21(4)49y x =--+ 当x =8时，则2120(84)43,99y =--+=≠ 所以此球不能投中.若假设出手的角度和力度都不变,则如何才能使此球命中?（1）跳得高一点儿；（2）向前平移一点儿.（四）归纳小结用二次函数解决抛物线形建筑问题都可以构建二次函数解析式，解此类问题的思想方法是利用 数形结合 和 函数 思想，合理建立直角坐标系，根据已知数据，运用 待定系数 求出运动轨迹（即抛物线）的解析式，再用二次的性质去分析解决问题。
《实际问题与二次函数(第3课时)》公开课教学设计
《实际问题与二次函数》教学设计第3课时一、教学目标1．学会将实际问题转化为数学问题．2．掌握用二次函数的知识解决有关的实际问题．二、教学重点及难点重点：利用二次函数的知识对现实问题进行数学分析，即用数学的方式表示问题以及用数学的方法解决问题．难点：从现实问题中建立二次函数模型．三、教学用具多媒体课件。
四、相关资源《抛物线形拱桥》动画，《》动画，《》图片。
五、教学过程【创设情景，揭示课题】问题图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽4 m．水面下降1 m，水面宽度增加多少？师生活动：小组交流、讨论，由两小组代表汇报结果，全班评比哪组的解法最好．教师巡查，指导不会数学建模的小组．设计意图：创设问题情境，激发学生的学习兴趣．现实的、有意义的、富有挑战性的问题有利于学生主动地进行观察、交流、猜想、验证．【合作探究，形成新知】教师引导：我们知道，二次函数的图象是抛物线，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数．为解题简便，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y 轴建立直角坐标系．解：如图所示：设这条抛物线表示的二次函数为y =ax 2．由抛物线经过点（2，－2），可得－2=a ×22． 解得12a =-． 故这条抛物线表示的二次函数为212y x =-． 当水面下降1 m 时，水面的纵坐标为－3，所以2132x -=-． 解得16x =-（不合题意，舍去），26x = 所以水面宽度为26．所以当水面下降1 m 时，水面宽度增加了(264)m ．设计意图：通过运用函数模型让学生体会数学的实际价值，通过建模学会用函数的观点认识问题，解决问题，体会数形结合思想，激发学生的探索精神，并提高学生解决问题的自信心．【例题分析，深化提高】例 某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线组成的．为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4 m 加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5 m (如图)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为( )．A．50 m B．100 m C．160 m D．200 m 【解析】如图，建立坐标系．设抛物线的解析式为y=ax2＋k，∵(0，0.5)，(1，0)在抛物线上，∴0.50 ka k=⎧⎨+=⎩，．解得0.50.5 ka=⎧⎨=-⎩，．∴y=－0.5x2＋0.5．当x=0.2时，y=0.48，当x=0.6时，y=0.32．∴需要不锈钢支柱的总长度为(0.48＋0.32)×2×100=160(m)．故选C．设计意图：通过问题，引导学生不断思考，积极探索，让学生感受到数学的应用价值．【练习巩固，综合应用】1．某一拱桥呈抛物线形，其函数解析式为y=－0.25x2，当拱桥下水面宽为12 m时，水面离拱桥顶端的高度h是( )．A．3m B．26m C．43m D．9m2．如图，有一座抛物线形的拱桥，桥下水面处在目前的水位时，水面宽AB=10 m．如果水位上升2 m，就将达到警戒线CD，这时水面的宽为8 m．若洪水到来，水位以每小时0.1 m 的速度上升，经过多少小时会达到拱顶?参考答案1．D2．解：以AB 所在的直线为x 轴，AB 的中点为原点，建立直角坐标系．则抛物线的顶点E 在y 轴上，且B ，D 两点的坐标分别为(5，0)，(4，2)，设抛物线的解析式为y =ax 2＋k ．由B ，D 两点在抛物线y =ax 2＋k 上，得162250a k a k +=⎧⎨+=⎩，． 解这个方程组，得a =－29，k =509． 所以y =29-x 2＋509． 所以顶点E 的坐标为5009⎛⎫ ⎪⎝⎭，．则OE =509m ，509÷0.1=5009(h )， 所以，若洪水到来，水位以每小时0.1 m 速度上升，经过5009h 会达到拱顶． 设计意图：加深认识，深化提高，查漏补缺． 六、课堂小结1．一般地，当a ＞0时，抛物线y =ax 2＋bx ＋c 的顶点是最低点，也就是说，当2b x a=-时，二次函数y =ax 2＋bx ＋c 有最小值244ac b a -． 当a ＜0时，抛物线y =ax 2＋bx ＋c 的顶点是最高点，也就是说，当2b x a=-时，二次函数y =ax 2＋bx ＋c 有最大值244ac b a -． 2．解决二次函数最值问题的一般步骤：（1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；（2）在自变量的取值范围内，求出二次函数的最大值或最小值．设计意图：总结、归纳学习内容，帮助学生加深对数形结合思想的理解，培养学生的数学应用意识．七、板书设计22.3 实际问题与二次函数（3）1．用二次函数的知识解决有关的实际问题。
人教版数学九年级上册22.3实际问题与二次函数(教案)
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了二次函数的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对二次函数的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
4.二次函数图像与实际问题的联系，通过图像分析实际问题，求解最优解。
本节内容将结合具体案例，让学生在实际问题中理解和掌握二次函数的性质和应用，培养他们运用数学知识解决实际问题的能力。
二、核心素养目标
本章节的核心素养目标主要包括：
1.培养学生运用数学知识，特别是二次函数知识解决实际问题的能力，提高数学应用意识；
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解二次函数的基本概念。二次函数是形如y=ax²+bx+c的函数，它在生活中有着广泛的应用。它可以帮助我们解决最优化问题，如成本最小化、利润最大化等。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设一个工厂的成本与生产数量之间的关系是二次函数，如何求解成本最小时的生产数量？通过这个案例，展示二次函数在实际中的应用。
在小组讨论环节，学生们的表现让我感到欣慰。他们能够围绕二次函数在实际生活中的应用展开讨论，并提出自己的观点。这说明他们在思考问题和解决问题的能力上有了很大的提升。但在引导讨论时，我意识到需要提出更具针对性和启发性的问题，以激发学生的思考和创新能力。
最后，总结回顾环节，学生们对今天的学习内容有了较好的掌握。但我也发现，仍有一些学生对二次函数的应用不够熟练。在今后的教学中，我会加强对这部分学生的辅导和关注，确保他们能够跟上教学进度。
数学人教版九年级上册22.3.3实际问题与二次函数(第3课时)教学设计
人教新课标版九年级数学（上）22.3 实际问题与二次函数（第3课时）【教学目标】◆知识技能1.能够正确灵活地建立直角坐标系解决实际问题；2.能综合利用方程、二次函数的知识解决实际问题。
◆过程与方法1.经历分析实际问题中变量之间的关系，建立二次函数模型进而解决问题，让学生体会数学建模的思想；2.体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用数学方法解决实际问题的能力，渗透转化思想。
◆情感态度1.积极参与交流，并积极发表意见；2.体验二次函数是有效描述世界的重要手段，让学生亲自体会到学习数学的价值,从而提高学生学习数学的兴趣。
【重点】 掌握从实际问题中构建二次函数模型【难点】 充分运用所学知识分析实际问题，建立函数模型，渗透渗透数形结合思想。
【教学过程】一、情景导入，初步认识问题1: 欣赏下列图片，你能想到什么？师生活动：教师提出问题，学生尝试回答。
指导学生得出抛物线在我们生活中经常遇到。
教师关注：学生是否对教师提出的知识产生深厚的兴趣，注意力是否迅速集中，最后是否注意到了桥拱的形状。
设计意图：通过学生的认知冲突，激发了学生的好奇心和学习的兴趣，同时为探究二次函数的实际应用提供了背景材料。
问题2: 如图是赵州桥的桥拱，把它的图形放在如图所示的直角坐标系中，抛物线的表达式为：y= 21218x -+ (1) 拱桥的最高点离水面多少米？(2) 拱桥的跨度是多少米？(3) 若在跨度中心点O 左右3米处各垂直竖立一根石柱支撑拱桥，则石柱有多高？ 师生活动：教师展示问题情境，并读题。
学生观看动画演示之后，先独立思考，自主解答，然后展示成果。
教师关注：（1）学生能否将问题中所求线段转化为求点的坐标；（2）学生的书写是否正确规范；设计意图：（1）初步感受用二次函数可以解决拱桥中一些简单的实际问题；（2）渗透数形结合的数学思想；（3）为下一环节的探究新知做好铺垫。
二、类比引入探究问题活动（一）：自主探究（课本P25探究3）如图是抛物线形的拱桥，当水面在l时，拱桥离水面2米，水面宽4米。
人教版初三数学上册22.3实际问题与二次函数(3).3实际问题与二次函数(3)教学设计
课题：22.3实际问题与二次函数(3)设计：如皋市石庄镇初级中学张小军教学目标1．利用实际问题中变量关系建立二次函数模型，并运用二次函数的知识解决实际问题．2．体会二次函数解决实际问题时，如何建立适当的坐标系从而使解题简便．重点难点重点：利用实际问题中变量关系建立二次函数模型难点：如何建立适当的坐标系使解题简便教法学法教法：借助于现代教育技术，创设“生活数学”情境，利用电子交互白板形成“抽象数学”，在师生互动中，促进“四基”的生成。
学法：自主探究、动手实践、合作交流、全面展示。
教学流程设计意图一、创设情境、引入课题以标题拱桥图片引入课题二、探究新知、解决问题：活动一探索抛物线形拱桥水面宽度问题，获得利用数学方法解决实际问题的经验下图是抛物线形拱桥，当拱高离水面2m时，水面宽4m．水面下降1m，水面宽度增加多少？归纳：遇到此类问题时，我们一般会怎么做？让学生经历从生活情境中抽象出数学模型的过程。
让学生经历探索抛物线形拱桥水面宽度问题，获得利用数学方法解决实际问题的经验．活动二进一步巩固解题方法，选择合适的坐标系，建立模型1．某工厂的大门是一抛物线型水泥建筑物，大门的地面宽度为8米，两侧距地面3米高各有一个壁灯，两壁灯之间的水平距离为6米，如图所示，则厂门的高是多少？（水泥建筑物厚度忽略不计，精确到0.1米）2．永和大桥(钢管混凝土拱桥)是南宁市的一标志性建筑，其拱桥图形为抛物线的一部分(如图)，在正常情况下，位于水面上的桥拱跨度为400 m，拱高为9m．（1）在所给的直角坐标系中假设抛物线的表达式为y=ax2+b，请你根据上述数据求出a，b的值，并写出抛物线的表达式；（2）七月份讯期将要来临，当江水位上涨后，位于水面上的桥拱跨度将会减小，当水位上涨3m时，位于水面上的桥拱跨度有多大?四、归纳小结通过本节课的学习你有什么收获？【检测反馈】1．如图，小红家门前有一座抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面1m，水面宽4 m，水面下降1 m时，水面宽度增加．2．如图所示，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位时，AB宽20m，水位上升到警戒线CD时，CD到拱桥顶E的距离仅为1m，这时水面宽度为10m ．（1）在如图所示的坐标系中求抛物线的解析式；（2）若洪水到来时，水位以每小时0.3m的速度上升，从正常水位开始，持续多少小时到达警戒线？适时的归纳有利于学生知识网络的建构.通过综合练习，巩固学生对抛物线形拱桥水面宽度问题认识，提高学生解决此类问题的能力。
2017年秋九年级数学上册 22.3 实际问题与二次函数教案 (新版)新人教版
22.3 实际问题与二次函数第1课时用二次函数解决利润等代数问题能够理解生活中文字表达与数学语言之间的关系，建立数学模型．利用二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的性质解决简单的实际问题，能理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，并能应用这些关系解决实际问题．重点把实际生活中的最值问题转化为二次函数的最值问题．难点1．读懂题意，找出相关量的数量关系，正确构建数学模型．2．理解与应用函数图象顶点、端点与最值的关系．一、复习旧知，引入新课1．二次函数常见的形式有哪几种？二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的顶点坐标是________，对称轴是________；二次函数的图象是一条________，当a＞0时，图象开口向________，当a＜0时，图象开口向________．2．二次函数知识能帮助我们解决哪些实际问题呢？二、教学活动活动1：问题：从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是h＝30t－5t2(0≤t≤6)．小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？活动2：问题：某商场的一批衬衣现在的售价是60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知该衬衣的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？1．问题中的定价可能在现在售价的基础上涨价或降价，获取的利润会一样吗？2．如果你是老板，你会怎样定价？3．以下问题提示，意在降低题目梯度，提示考虑x的取值范围．(1)若设每件衬衣涨价x元，获得的利润为y元，则定价为________元，每件利润为________元，每星期少卖________件，实际卖出________件．所以y＝________.何时有最大利润，最大利润为多少元？(2)若设每件衬衣降价x元，获得的利润为y元，则定价为________元，每件利润为________元，每星期多卖________件，实际卖出________件．所以y＝________.何时有最大利润，最大利润为多少元？根据两种定价可能，让学生自愿分成两组，分别计算各自的最大利润；老师巡视，及时发现学生在解答过程中的不足，加以辅导；最后展示学生的解答过程，教师与学生共同评析．活动3：达标检测某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价x(元/件)与每天销售量y(件)之间满足如图所示的关系．(1)求出y与x之间的函数关系式；(2)写出每天的利润w与销售单价x之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？答案：(1)y＝－x＋180；(2)w＝(x－100)y＝－(x－140)2＋1 600，当售价定为140元，w最大为1 600元．三、课堂小结与作业布置课堂小结通过本节课的学习，大家有什么新的收获和体会？尤其是数形结合方面你有什么新的体会？作业布置教材第51～52页习题第1～3题，第8题．第2课时二次函数与几何综合运用能根据具体几何问题中的数量关系，列出二次函数关系式，并能应用二次函数的相关性质解决实际几何问题，体会二次函数是刻画现实世界的有效数学模型．重点应用二次函数解决几何图形中有关的最值问题．难点函数特征与几何特征的相互转化以及讨论最值在何处取得．一、引入新课上节课我们一起研究用二次函数解决利润等代数问题，这节课我们共同研究二次函数与几何的综合应用．二、教学过程问题1：教材第49页探究1.用总长为60 m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化．当l 为多少米时，场地的面积S最大？分析：提问1：矩形面积公式是什么？提问2：如何用l表示另一边？提问3：面积S的函数关系式是什么？问题2：如图，用一段长为60 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长32 m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？分析：提问1：问题2与问题1有什么不同？提问2：我们可以设面积为S ，如何设自变量？ 提问3：面积S 的函数关系式是什么？答案：设垂直于墙的边长为x 米，S ＝x(60－2x)＝－2x 2＋60x.提问4：如何求解自变量x 的取值范围？墙长32 m 对此题有什么作用？ 答案：0＜60－2x≤32，即14≤x＜30. 提问5：如何求最值？答案：x ＝－b 2a ＝－602×（－2）＝15时，S max ＝450.问题3：将问题2中“墙长为32 m ”改为“墙长为18 m ”，求这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？提问1：问题3与问题2有什么异同？提问2：可否模仿问题2设未知数、列函数关系式？提问3：可否试设与墙平行的一边为x 米？则如何表示另一边？答案：设矩形面积为S m 2，与墙平行的一边为x 米，则S ＝60－x 2·x＝－x22＋30x.提问4：当x ＝30时，S 取最大值．此结论是否正确？提问5：如何求自变量的取值范围？ 答案：0＜x≤18.提问6：如何求最值？答案：由于30＞18，因此只能利用函数的增减性求其最值．当x ＝18时，S max ＝378. 小结：在实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取图象顶点处，要根据自变量的取值范围来确定．通过问题2与问题3的对比，希望学生能够理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，以及何时取顶点处、何时取端点处才有符合实际的最值．三、回归教材阅读教材第51页的探究3，讨论有没有其他“建系”的方法？哪种“建系”更有利于题目的解答？四、基础练习1．教材第51页的探究3，教材第57页第7题． 2．阅读教材第52～54页． 五、课堂小结与作业布置 课堂小结1．利用求二次函数的最值问题可以解决实际几何问题．2．实际问题的最值求解与函数图象的顶点、端点都有关系，特别要注意最值的取得不一定在函数的顶点处．作业布置教材第52页 习题第4～7题，第9题．。
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实际问题与二次函数
教学内容
22.3 实际问题与二次函数（3）．
教学目标
1．根据不同条件建立合适的直角坐标系．
2．能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小（大）值等实际问题．
教学重点
1．根据不同条件建立合适的直角坐标系．
2．将实际问题转化成二次函数问题．
教学难点
将实际问题转化成二次函数问题．
教学过程
一、导入新课
复习二次函数y ＝ax 2
的性质和特点，导入新课的教学．
二、新课教学
探究3 下图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m 时，水面宽4 m ．水面下降1 m ，水面宽度增加多少？
教师引导学生审题，然后根据条件建立直角坐标系．怎样建立直角坐标系呢？ 因为二次函数的图象是抛物线，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数．为解题简便，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y 轴建立直角坐标系． 教师可让学生自己建立直角坐标系，然后求出二次函数的解析式．
设这条抛物线表示的二次函数为y ＝ax 2．由抛物线经过点(2，－2)，可得这条抛物线表示的二次函数为y ＝－2
1x 2．
当水面下降1m 时，水面宽度就增加26－4 m ．
三、巩固练习 一个涵洞成抛物线形，它的截面如右图所示，现测得，当水面宽AB ＝1.6 m 时，涵洞顶点与水面的距离为2.4 m ．这时，离开水面1.5 m 处，涵洞宽ED 是多少？是否会超过1 m ？
分析：根据已知条件，要求ED 的宽，只要求出FD 的长度．在
如右图的直角坐标系中，即只要求出D 点的横坐标．因为点D
在涵洞所成的抛物线上，又由已知条件可得到点D 的纵坐标，
所以利用抛物线的函数关系式可以进一步算出点D 的横坐标．
2．让学生完成解答，教师巡视指导．
3．教师分析存在的问题，书写解答过程．
解：以AB 的垂直平分线为y 轴，以过点O 的y 轴的垂线为x 轴，建立直角坐标系． 这时，涵洞的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，开口向下，所以可设它的函数关系式为
y ＝ax 2 (a ＜0) ①
因为AB 与y 轴相交于C 点，所以CB ＝AB 2
＝0.8（m ），又OC ＝2.4 m ，所以点B 的坐标是(0.8，－2.4)．
因为点B 在抛物线上，将它的坐标代人①，得－2.4＝a ×0.82
所以
a ＝－154
因此，函数关系式是 y ＝－154x 2 ②
∵OC ＝2.4 m ，FC ＝1.5 m ，∴OF ＝2.4―1.5＝0.9（m ）．
将y ＝－0.9代入②式得
－0.9＝－154
x 2 解得 x 1＝56，x 2＝―5
6． 涵洞宽ED ＝2
56≈0.98＜1．
四、课堂小结
今天你学习了什么？有什么收获？
五、布置作业
习题22.3 第6、7题．。