「精品」河北省石家庄市2018届高三数学下学期4月一模考试试题文
精品资料 值得拥有 1 河北省石家庄市2018届高三数学下学期4月一模考试试题 文 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{1,2,3,4,5,6,7}U，{|3,}AxxxN，则UCA（ ） A．{1,2} B．{3,4,5,6,7} C．{1,3,4,7} D．{1,4,7} 2.复数121ii（ ） A．i B．i C．132i D．332i 3.已知四个命题： ①如果向量a与b共线，则ab或ab； ②3x是3x的必要不充分条件； ③命题p：0(0,2)x，200230xx的否定p：(0,2)x，2230xx； ④“指数函数xya是增函数，而1()2xy是指数函数，所以1()2xy是增函数” 此三段论大前提错误，但推理形式是正确的. 以上命题正确的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3
4.若数列{}na满足12a，111nnnaaa，则2018a的值为（ ）
A．2 B．-3 C．12 D．13 5.函数()2(0)xfxx，其值域为D，在区间(1,2)上随机取一个数x，则xD的概率是（ ） A．12 B．13 C．14 D．23 6. 程序框图如图所示，该程序运行的结果为25s，则判断框中可填写的关于i的条件是（ ） 精品资料 值得拥有
2 A．4?i B．4?i C．5?i D．5?i 7. 南宋数学家秦九韶早在《数书九章》中就独立创造了已知三角形三边求其面积的公式：“以小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减之，以四约之，为实，一为从隅，
开方得积.”（即：2222221[()]42cabSca，abc），并举例“问沙田一段，有三斜（边），其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，欲知为田几何？”则该三角形田面积为（ ） A．84平方里 B．108平方里 C．126平方里 D．254平方里 8. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
A．23 B．43 C．2 D．83 9.设()fx是定义在[2,3]bb上的偶函数，且在[2,0]b上为增函数，则(1)(3)fxf的解集为（ ） A．[3,3] B．[2,4] C．[1,5] D．[0,6]
10.抛物线C：214yx的焦点为F，其准线l与y轴交于点A，点M在抛物线C上，当2MAMF时，AMF的面积为（ ） 精品资料 值得拥有 3 A．1 B．2 C．22 D．4 11.在ABC中，2AB，6C，则3ACBC的最大值为（ ） A．7 B．27 C．37 D．47 12.已知1F，2F分别为双曲线22221(0,0)xyabab的左焦点和右焦点，过2F的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，12AFF的内切圆半径为1r，12BFF的内切圆半径为2r，若122rr，则直线l的斜率为（ ） A．1 B．2 C．2 D．22 二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分. 13.设向量(1,2)am，(1,1)bm，若ab，则m ．
14.x，y满足约束条件：11yxxyy，则2zxy的最大值为 ． 15.甲、乙、丙三位同学，其中一位是班长，一位是体育委员，一位是学习委员，已知丙的年龄比学委的大，甲与体委的年龄不同，体委比乙年龄小.据此推断班长是 ． 16.一个直角三角形的三个顶点分别在底面棱长为2的正三棱柱的侧棱上，则该直角三角形斜边的最小值为 ． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分 17.已知{}na是公差不为零的等差数列，满足37a，且2a、4a、9a成等比数列. （Ⅰ）求数列{}na的通项公式；
（Ⅱ）设数列{}nb满足1nnnbaa，求数列1nb的前n项和nS. 18.四棱锥SABCD的底面ABCD为直角梯形，//ABCD，ABBC，222ABBCCD，SAD为正三角形. 精品资料 值得拥有 4 （Ⅰ）点M为棱AB上一点，若//BC平面SDM，AMAB，求实数的值； （Ⅱ）若BCSD，求点B到平面SAD的距离. 19.小明在石家庄市某物流派送公司找到了一份派送员的工作，该公司给出了两种日薪薪酬方案.甲方案：底薪100元，每派送一单奖励1元；乙方案：底薪140元，每日前55单没有奖励，超过55单的部分每单奖励12元. （Ⅰ）请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪y（单位：元）与送货单数n的函数关系式； （Ⅱ）根据该公司所有派送员100天的派送记录，发现派送员的日平均派送单数与天数满足以下表格： 日均派送单数 52 54 56 58 60 频数（天） 20 30 20 20 10 回答下列问题： ①根据以上数据，设每名派送员的日薪为X（单位：元），试分别求出这100天中甲、乙两种方案的日薪X平均数及方差； ②结合①中的数据，根据统计学的思想，帮助小明分析，他选择哪种薪酬方案比较合适，并说明你的理由.
（参考数据：20.60.36，21.41.96，22.66.76，23.411.56，23.612.96，24.621.16，215.6243.36，220.4416.16，244.41971.36
）
20.已知椭圆C：22221(0)xyabab的左、右焦点分别为1F，2F，且离心率为22，M为椭圆上任意一点，当1290FMF时，12FMF的面积为1. （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）已知点A是椭圆C上异于椭圆顶点的一点，延长直线1AF，2AF分别与椭圆交于点B，D，精品资料 值得拥有 5 设直线BD的斜率为1k，直线OA的斜率为2k，求证：12kk为定值. 21.已知函数()()()xfxxbea，(0)b，在(1,(1))f处的切线方程为(1)10exeye.
（Ⅰ）求a，b； （Ⅱ）若0m，证明：2()fxmxx. （二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为3cos1sinxryr（0r，为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin()13，若直线l与曲线C相切； （Ⅰ）求曲线C的极坐标方程； （Ⅱ）在曲线C上取两点M，N与原点O构成MON，且满足6MON，求面积MON的最大值. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()23fxxxm的定义域为R； （Ⅰ）求实数m的取值范围； （Ⅱ）设实数t为m的最大值，若实数a，b，c满足2222abct，求222
111
123abc的最小值. 精品资料 值得拥有
6 答案 一、选择题 1-5: ACDBB 6-10: CABBB 11、12：DD 二、填空题 13. 13 14. 3 15. 乙 16. 23 三、解答题
17. 解：（1）设数列na的公差为d，且0d由题意得242937aaaa，
即21(7)(7)(76)27dddad，解得13,1da， 所以数列na的通项公式32nan. （2）由（1）得1(32)(31)nnnbaann 1111()33231nbnn
，
12111111111......(1)34473231nnSbbbnn
11(1)33131nnn.
18．（1）因为//BC平面SDM， BC
平面ABCD，
平面SDM 平面ABCD=DM， 所以DMBC//， 因为DCAB//，所以四边形BCDM为平行四边形，又CDAB2，所以M为AB的中点. 因为ABAM， 12
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7 （2）因为BCSD， BCCD， 所以BC平面SCD， 又因为BC平面ABCD， 所以平面SCD平面ABCD， 平面SCD平面ABCDCD， 在平面SCD内过点S作SE直线CD于点E，则SE平面ABCD， 在RtSEA和RtSED中，
因为SASD，所以2222AESASESDSEDE， 又由题知45EDA， 所以AEED， 由已知求得2AD，所以1AEEDSE，
连接BD，则111133SABDV三棱锥，
又求得SAD的面积为32， 所以由BASDSABDVV三棱锥三棱锥点B 到平面SAD的距离为233. 19.解：（1）甲方案中派送员日薪y（单位：元）与送货单数n的函数关系式为： N,100nny， 乙方案中派送员日薪y（单位：元）与送单数n的函数关系式为：
N),55(,52012N),55(,140nnnnn
y，
河北省石家庄市2018届高考一模考试数学(理)试题(A)含解析AlUKlK
石家庄市2018届高中毕业班模拟考试（一）理科数学（A卷）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】故选A.2. 已知为虚数单位，，其中，则（）A. B. C. 2 D. 4【答案】A【解析】，其中，解得，，故选3. 函数，其值域为，在区间上随机取一个数，则的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函数的值域为，即，则在区间上随机取一个数的概率．故选B．4. 点是以线段为直径的圆上的一点，其中，则（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】故选5. ，满足约束条件：，则的最大值为（）A. -3B.C. 3D. 4【答案】C【解析】依题意可画出可行域如下：联立，可得交点(2,-1)，如图所示，当经过点(2,-1)时，z最大为3.故选C.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.6. 程序框图如图所示，该程序运行的结果为，则判断框中可填写的关于的条件是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】第一次运行，第二次运行，第三次运行，第四次运行，第五次运行，此时，输出25，故选C7. 南宋数学家秦九韶早在《数书九章》中就独立创造了已知三角形三边求其面积的公式：“以小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减之，以四约之，为实，一为从隅，开方得积.”（即：，），并举例“问沙田一段，有三斜（边），其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，欲知为田几何？”则该三角形田面积为（）A. 82平方里B. 83平方里C. 84平方里D. 85平方里【答案】C【解析】由题意可得：代入：则该三角形田面积为平方里故选8. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由图可知，几何体为半圆柱挖去半球体几何体的表面积为故选9. 已知是定义在上的偶函数，且在上为增函数，则的解集为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】是定义在上的偶函数，，即，则函数的定义域为函数在上为增函数，故两边同时平方解得，故选10. 在中，，，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】有正弦定理可得，故当时，的最大值为.故选D.11. 过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，点在直线上，若为正三角形，则其边长为（）A. 11B. 12C. 13D. 14【答案】B【解析】如图：设，则：，取中点，分别作垂直于直线，连接则有，相减可得：即故设则，解得故，解得故选12. 设，为两个平面直角坐标系，它们具有相同的原点，正方向到正方向的角度为，那么对于任意的点，在下的坐标为，那么它在坐标系下的坐标可以表示为：，.根据以上知识求得椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】则故可化为方程表示为椭圆化简得：代入方程得：，，，故故选点睛：本题主要考查了三角函数的计算问题，以平面直角坐标系为载体，新定义坐标系，建立两坐标之间的关系，代入化简，由题意中的椭圆求出的值，再次代入求出结果，计算量比较大，有一定的难度。
河北省石家庄市高三数学下学期4月一模考试试题 理-人教版高三全册数学试题
河北省石家庄市2018届高三数学下学期4月一模考试试题 理一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{1,2,3,4,5,6,7}U =，{|3,}A x x x N =≥∈，则U C A =（ ） A ．{1,2} B ．{3,4,5,6,7} C ．{1,3,4,7} D ．{1,4,7}2.已知i 为虚数单位，(1)2i x yi +=+，其中,x y R ∈，则x yi +=（ ） A ．22 B ．2 C ．2 D ．43.函数()2(0)xf x x =<，其值域为D ，在区间(1,2)-上随机取一个数x ，则x D ∈的概率是（ ） A ．12 B ．13 C ．14 D ．234.点B 是以线段AC 为直径的圆上的一点，其中2AB =，则AC AB ⋅=（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．45. x ，y 满足约束条件：11y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．-3B ．32C ．3D ．4 6.程序框图如图所示，该程序运行的结果为25s =，则判断框中可填写的关于i 的条件是（ ）A ．4?i ≤B ．4?i ≥C ．5?i ≤D ．5?i ≥7.南宋数学家秦九韶早在《数书九章》中就独立创造了已知三角形三边求其面积的公式：“以小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减之，以四约之，为实，一为从隅，开方得积.”（即：2222221[()]42c a b S c a +-=-，a b c >>），并举例“问沙田一段，有三斜（边），其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，欲知为田几何？”则该三角形田面积为（ ）A ．82平方里B ．83平方里C ．84平方里D ．85平方里 8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．83π+B ．84π+C ．85π+D ．86π+ 9.已知()f x 是定义在[2,1]b b -+上的偶函数，且在[2,0]b -上为增函数，则(1)(2)f x f x -≤的解集为（ ）A ．2[1,]3- B ．1[1,]3- C ．[1,1]- D ．1[,1]310.在ABC ∆中，2AB =，6C π=，则3AC BC 的最大值为（ ）A 7B ．27C ．37．711.过抛物线214y x =焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点C 在直线1y =-上，若ABC ∆为正三角形，则其边长为（ ）A ．11B ．12C ．13D ．14 12.设xOy ，''x Oy 为两个平面直角坐标系，它们具有相同的原点，Ox 正方向到'Ox 正方向的角度为θ，那么对于任意的点M ，在xOy 下的坐标为(,)x y ，那么它在''x Oy 坐标系下的坐标(',')x y 可以表示为：'cos sin x x y θθ=+，'cos sin y y x θθ=-.根据以上知识求得椭圆223'''5'10x y y -+-=的离心率为（ ）AD二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13.命题p ：01x ∃≥，200230x x --<的否定为 ．14.甲、乙、丙三位同学，其中一位是班长，一位是体育委员，一位是学习委员，已知丙的年龄比学委的大，甲与体委的年龄不同，体委比乙年龄小.据此推断班长是 ． 15.一个直角三角形的三个顶点分别在底面棱长为2的正三棱柱的侧棱上，则该直角三角形斜边的最小值为 ．16.已知函数31()1x x f x x -+=-，ln ()xg x x =，若函数(())y f g x a =+有三个不同的零点1x ，2x ，3x （其中123x x x <<），则1232()()()g x g x g x ++的取值范围为 ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分17.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122()n n S m m R +=+∈.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 满足211(21)log ()n n n b n a a +=+⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .18.四棱锥S ABCD -的底面ABCD 为直角梯形，//AB CD ，AB BC ⊥，222AB BC CD ===，SAD ∆为正三角形.（Ⅰ）点M 为棱AB 上一点，若//BC 平面SDM ，AM AB λ=，求实数λ的值； （Ⅱ）若BC SD ⊥，求二面角A SB C --的余弦值.19.小明在石家庄市某物流派送公司找到了一份派送员的工作，该公司给出了两种日薪薪酬方案.甲方案：底薪100元，每派送一单奖励1元；乙方案：底薪140元，每日前55单没有奖励，超过55单的部分每单奖励12元.（Ⅰ）请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪y （单位：元）与送货单数n 的函数关系式； （Ⅱ）根据该公司所有派送员100天的派送记录，发现派送员的日平均派送单数满足以下条件：在这100天中的派送量指标满足如图所示的直方图，其中当某天的派送量指标在2(1)2(,]1010n n-(1,2,3,4,5)n =时，日平均派送量为502n +单. 若将频率视为概率，回答下列问题：①根据以上数据，设每名派送员的日薪为X （单位：元），试分别求出甲、乙两种方案的日薪X 的分布列，数学期望及方差；②结合①中的数据，根据统计学的思想，帮助小明分析，他选择哪种薪酬方案比较合适，并说明你的理由.（参考数据：20.60.36=，21.4 1.96=，22.6 6.76=，23.411.56=，23.612.96=，24.621.16=，215.6243.36=，220.4416.16=，244.41971.36=）20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，，M为椭圆上任意一点，当1290F MF ∠=时，12F MF ∆的面积为1. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知点A 是椭圆C 上异于椭圆顶点的一点，延长直线1AF ，2AF 分别与椭圆交于点B ，D ，设直线BD 的斜率为1k ，直线OA 的斜率为2k ，求证：12k k ⋅为定值.21.已知函数()()()xf x x b e a =+-，(0)b >，在(1,(1))f --处的切线方程为(1)10e x ey e -++-=.（Ⅰ）求a ，b ；（Ⅱ）若方程()f x m =有两个实数根1x ，2x ，且12x x <，证明：21(12)11m e x x e--≤+-.（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos 1sin x r y r ϕϕ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（0r >，ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin()13πρθ-=，若直线l 与曲线C 相切；（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）在曲线C 上取两点M ，N 与原点O 构成MON ∆，且满足6MON π∠=，求面积MON ∆的最大值.23.[选修4-5：不等式选讲]已知函数()f x =R ；（Ⅰ）求实数m 的取值范围；（Ⅱ）设实数t 为m 的最大值，若实数a ，b ，c 满足2222a b c t ++=，求222111123a b c +++++的最小值.答案一、选择题1-5: AABDC 6-10: CCDBD 11、12：BA 二、填空题13. 2:1,230p x x x ⌝∀≥--≥ 14. 乙15. 22,0e e ⎛⎫- ⎪-⎝⎭三、解答题 17解：(1) 法一：由122()n n S m m R +=+∈得122()nn S m m R -=+∈，当当2n ≥时，12222nn n n a S S -=-=，即12(2)n n a n -=≥，又1122m a S ==+，当2m =-时符合上式，所以通项公式为12n n a -=. 法二：由122()n n S m m R +=+∈得1232;4;8()S m S m S m m R =+⎧⎪=+⎨⎪=+∈⎩，从而有2213322,4a S S a S S =-==-=， 所以等比数列公比322a q a ==，首项11a =，因此通项公式为12n n a -=. （2）由（1）可得1212log ()log (22)21n n n n a a n -+⋅=⋅=-，1111()(21)(21)22121n b n n n n ∴==-+--+，12111111(1)2335212121n n nT b b b n n n ∴=+++=-+-++-=-++. 18.（1）因为//BC 平面SDM ，BC ⊂平面ABCD ，平面SDM 平面ABCD=DM ， 所以DM BC //，因为DC AB //,所以四边形BCDM 为平行四边形， 又CD AB2=,所以M 为AB 的中点. 因为AB AM λ=，12λ∴=.（2）因为BC ⊥SD ， BC ⊥CD ， 所以BC ⊥平面SCD ， 又因为BC ⊂平面ABCD ， 所以平面SCD ⊥平面ABCD ， 平面SCD平面ABCD CD =，在平面SCD 内过点S 作SE ⊥直线CD 于点E ， 则SE ⊥平面ABCD ， 在Rt SEA 和Rt SED 中， 因为SA SD =，所以AE DE ==，又由题知45EDA ∠=， 所以AE ED ⊥所以1AE ED SE ===， 以下建系求解.以点E 为坐标原点，EA 方向为X 轴，EC 方向为Y 轴，ES 方向为Z 轴建立如图所示空间坐标系，则(0,0,0)E ，(0,0,1)S ，(1,0,0)A ，(1,2,0)B ，(0,2,0)C ，(1,0,1)SA =-，(0,2,0)AB =，(0,2,1)SC =-，(1,0,0)CB =，设平面SAB 的法向量1(,,)n x y z =，则110n SA n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以020x z y -=⎧⎨=⎩，令1x =得1(1,0,1)n =为平面SAB 的一个法向量，同理得2(0,1,2)n =为平面SBC 的一个法向量，12121210cos ,5||||n n n n n n ⋅<>==⋅，因为二面角A SB C --为钝角， 所以二面角A SB C --余弦值为5-.19.解：（1）甲方案中派送员日薪y （单位：元）与送单数n 的函数关系式为： N ,100∈+=n n y ， 乙方案中派送员日薪y （单位：元）与送单数n 的函数关系式为：⎩⎨⎧∈>-∈≤=N),55(,52012N),55(,140n n n n n y ， （2）①由已知，在这100天中，该公司派送员日平均派送单数满足如下表格： 单数 52 54 56 58 60 频率0.20.30.20.20.1所以X 甲的分布列为：X 甲152 154 156 158 160 P0.20.30.20.20.1所以()=1520.21540.31560.21580.21600.1155.4E X ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=甲，()()()()()222222=0.2152155.4+0.3154155.4+0.2156155.4+0.2158155.4+0.1160155.4=6.44S ⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-甲，所以X 乙的分布列为：X 乙140 152 176 200 P0.50.20.20.1所以()=1400.51520.21760.22000.1=155.6E X ⨯+⨯+⨯+⨯乙，()()()()22222=0.5140155.6+0.2152155.6+0.2176155.6+0.1200155.6=404.64S ⨯-⨯-⨯-⨯-乙，②答案一：由以上的计算可知，虽然()()E X E X <乙甲，但两者相差不大，且2S 甲远小于2S 乙，即甲方案日工资收入波动相对较小，所以小明应选择甲方案. 答案二：由以上的计算结果可以看出，()()E X E X <乙甲，即甲方案日工资期望小于乙方案日工资期望，所以小明应选择乙方案. 20解：（1）设,,2211r MF r MF ==由题122221212224112c e a r r ar r c r r ⎧==⎪⎪+=⎪⎨+=⎪⎪⋅=⎪⎩，解得1a c ==，则21b =，∴椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）设0000(,)(0)A x y x y ⋅≠，1122(,),(,)B x y C x y ， 当直线1AF的斜率不存在时，设(1,2A -，则(1,)2B --， 直线2AF的方程为1)4y x =--代入2212x y +=，可得25270x x --= 275x ∴=，210y =-7(,510D -∴直线BD的斜率为1(10276(1)5k ==--，直线OA的斜率为22k =-，121()626k k ∴⋅=⋅-=-，当直线2AF 的斜率不存在时，同理可得1216k k ⋅=-. 当直线1AF 、2AF 的斜率存在时，10±≠x设直线1AF 的方程为00(1)1y y x x =++，则由0022(1)112y y x x x y ⎧=+⎪+⎪⎨⎪+=⎪⎩消去x 可得：22222200000[(1)2]422(1)0x y x y x y x ++++-+=，又220012x y +=，则220022y x =-，代入上述方程可得2220000(32)2(2)340x x x x x x ++---=，2000101003434,3232x x x x x x x x ----∴⋅=∴=++，则000100034(1)13232y x y y x x x --=+=-+++ 000034(,)2323x y B x x +∴--++，设直线2AF 的方程为00(1)1y y x x =--，同理可得000034(,)2323x y D x x ---， ∴直线BD 的斜率为000000001220000002323434341224362323y y x x x y x y k x x x x x x +-+===-+--+-+， 直线OA 的斜率为020y k x =， ∴20200001222200001123636366x x y y y k k x x x x -⋅=⋅===----. 所以，直线BD 与OA 的斜率之积为定值16-，即1216k k ⋅=-. 21．解：（Ⅰ）由题意()10f -=，所以()1(1)10f b a e ⎛⎫-=-+-=⎪⎝⎭，又()()1x f x x b e a '=++-，所以1(1)1b f a e e'-=-=-+， 若1a e=，则20b e =-<，与0b >矛盾，故1a =，1b =. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知()()()11x f x x e =+-， (0)0,(1)0f f =-=， 设)(x f 在(-1，0)处的切线方程为)(x h ，易得，()1()11h x x e ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，令()()()F x f x h x =-即()()()1()1111xF x x e x e ⎛⎫=+---+⎪⎝⎭，()1()2x F x x e e '=+-，当2x ≤-时，()11()20x F x x e e e'=+-<-< 当2x >-时，设()1()()2x G x F x x e e'==+-， ()()30x G x x e '=+>， 故函数()F x '在()2,-+∞上单调递增，又(1)0F '-=，所以当(),1x ∈-∞-时，()0F x '<，当()1,x ∈-+∞时，()0F x '>， 所以函数()F x 在区间(),1-∞-上单调递减，在区间()1,-+∞上单调递增， 故0)1()(=-≥F x F ，11()()f x h x ≥，设()h x m =的根为1x '，则111mex e'=-+-， 又函数()h x 单调递减，故111()()()h x f x h x '=≥，故11x x '≤， 设()y f x =在(0,0)处的切线方程为()y t x =，易得()t x x =， 令()()()()()11xT x f x t x x e x =-=+--，()()22x T x x e '=+-，当2x ≤-时，()()2220x T x x e '=+-<-<， 当2x >-时，故函数()T x '在()2,-+∞上单调递增，又(0)0T '=，所以当(),0x ∈-∞时，()0T x '<，当()0,x ∈+∞时，()0T x '>， 所以函数()T x 在区间(),0-∞上单调递减，在区间()0,+∞上单调递增，0)0()(=≥T x T ， 22()()f x t x ≥ ，设()t x m =的根为2x '，则2x m '=，又函数()t x 单调递增，故222()()()t x f x t x '=≥，故22x x '≥， 又11x x '≤，2121(12)1111me m e x x x x m e e -⎛⎫''-≤-=--+=+ ⎪--⎝⎭. 选作题22（1）由题意可知直线l 的直角坐标方程为32y x =+，曲线C 是圆心为(3,1)，半径为r 的圆，直线l 与曲线C 相切，可得：331222r ⋅-+==；可知曲线C 的方程为22(3)(1)4x y -+-=，所以曲线C 的极坐标方程为223cos 2sin 0ρρθρθ--=，即4sin()3ρθπ=+.(2)由（1）不妨设M （1,ρθ），)6,(2πθρ+N ，（120,0ρρ>>） 6sin 21πON OM S MON =∆.当12πθ=时, 32+≤∆MON S ，所以△MON面积的最大值为223. 【解析】（1）由题意可知32x x m --≥恒成立，令3()2x g x x -=-，去绝对值可得：36,(3)()263,(03)6,(0)x x x g x x x x x x --≥⎧⎪=-=-<<⎨⎪-≤⎩，画图可知()g x 的最小值为-3，所以实数m 的取值范围为3m ≤-； （2）由（1）可知2229a b c ++=，所以22212315a b c +++++=， 222222222111()(123)11112312315a b c a b c a b c ++⋅++++++++++=+++ 22222222222221313239312132315155b ac a c b a b a c b c ++++++++++++++++++=≥=， 当且仅当2221235a b c +=+=+=，即2224,3,2a b c ===等号成立， 所以222111123a b c +++++的最小值为35.答案一、选择题 （A 卷答案）1-5AABDC 6-10CCDBD 11-12 BA （B 卷答案）1-5BBADC 6-10CCDAD 11-12 AB 二、填空题13. 2:1,230p x x x ⌝∀≥--≥ 14. 乙15. 22,0e e ⎛⎫-⎪-⎝⎭三、解答题(解答题仅提供一种或两种解答，其他解答请参照此评分标准酌情给分） 17解：(1) 法一：由122()n n S m m R +=+∈得122()n n S m m R -=+∈………………2分当当2n ≥时，12222nn n n a S S -=-=，即12(2)n n a n -=≥………………4分又1122m a S ==+，当2m =-时符合上式，所以通项公式为12n n a -=………………6分 法二：由122()n n S m m R +=+∈得1232;4;8()S m S m S m m R =+⎧⎪=+⎨⎪=+∈⎩ ………………2分从而有2213322,4a S S a S S =-==-= ………………4分 所以等比数列公比322a q a ==，首项11a =，因此通项公式为12n n a -=………………6分 （2）由（1）可得1212log ()log (22)21n n n n a a n -+⋅=⋅=-…………………8分1111()(21)(21)22121n b n n n n ∴==-+--+………………………10分12111111(1)2335212121n n nT b b b nn n ∴=+++=-+-++-=-++……………12分18（1）因为//BC 平面SDM,BC ⊂平面ABCD,平面SDM 平面ABCD=DM,所以DM BC //……………………2分因为DC AB //,所以四边形BCDM 为平行四边形，又，CD AB 2=,所以M 为AB 的中点。
河北省2018届高三一模数学试卷(含答案)
高三一模数学试卷一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 复数(2)i i +的虚部为2. 设函数2log ,0()4,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则((1))f f -= 3. 已知{||1|2,}M x x x R =-≤∈，1{|0,}2x P x x R x -=≥∈+，则M P =4. 抛物线2y x =上一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标为 5. 已知无穷数列{}n a 满足112n n a a +=*()n N ∈，且21a =，记n S 为数列{}n a 的前n 项和， 则lim n n S →∞= 6. 已知,x y R +∈，且21x y +=，则xy 的最大值为7. 已知圆锥的母线10l =，母线与旋转轴的夹角30α︒=，则圆锥的表面积为 8. 若21(2)n x x +*()n N ∈的二项展开式中的第9项是常数项，则n = 9. 已知,A B 分别是函数()2sin f x x ω=(0)ω>在y 轴右侧图像上的第一个最高点和第一 个最低点，且2AOB π∠=，则该函数的最小正周期是10. 将序号分别为1、2、3、4、5的5张参观券全部分给4人，每人至少一张，如果分给同 一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是11. 在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，若函数()y f x =的图像恰好经过k 个格点，则称函数()y f x =为k 阶格点函数，已知函数：①2y x =；②2sin y x =； ③1x y π=-；④cos()3y x π=+；其中为一阶格点函数的序号为 （注：把你认为正确的序号都填上）12. 已知AB 为单位圆O 的一条弦，P 为单位圆O 上的点，若()||f AP AB λλ=-()R λ∈ 的最小值为m ，当点P 在单位圆上运动时，m 的最大值为43，则线段AB 长度为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）A. tan y x =B. 3x y =C. 13y x = D. lg ||y x = 14. 设,a b R ∈，则“21a b ab +>⎧⎨>⎩”是“1a >且1b >”的（ ）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分也非必要15. 如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，(25,0)F -为C 的左焦点，P 为C 上一点，满 足||||OP OF =且||4PF =，则椭圆C 的方程为（ ）A. 221255x y +=B. 2213010x y += C. 2213616x y += D. 2214525x y +=16. 实数a 、b 满足0ab >且a b ≠，由a 、b 、2a b +、ab 按一定顺序构成的数列（ ） A. 可能是等差数列，也可能是等比数列B. 可能是等差数列，但不可能是等比数列C. 不可能是等差数列，但可能是等比数列D. 不可能是等差数列，也不可能是等比数列三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 在正三棱柱111ABC A B C -中，1AB =，12BB =，求：（1）异面直线11B C 与1A C 所成角的大小；（2）四棱锥111A B BCC -的体积；18. 在一个特定时段内，以点E 为中心的7海里以内海域被设为警戒水域，点E 正北55海 里处有一个雷达观测站A ，某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 北偏东45°且与点A 相距402海里的位置B 处，经过40分钟又测得该船已行驶到点A 北偏东45θ︒+ （其中26sin 26θ=，090θ︒︒<<）且与点A 相距1013海里的位置C 处； （1）求该船的行驶速度；（单位：海里/小时）（2）若该船不改变航行方向继续行驶，判断它是否会进入警戒水域，并说明理由；19. 已知点1F 、2F 为双曲线222:1y C x b -=(0)b >的左、右焦点，过2F 作垂直于x 轴的 直线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，且1230MF F ︒∠=；（1）求双曲线C 的方程；（2）过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为1P 、2P ，求 12PP PP ⋅的值；20. 设12()2x x a f x b+-+=+，,a b 为实常数； （1）当1a b ==时，证明：()f x 不是奇函数；（2）若()f x 是奇函数，求a 与b 的值；（3）当()f x 是奇函数时，研究是否存在这样的实数集的子集D ，对任何属于D 的x 、c ， 都有2()33f x c c <-+成立？若存在，试找出所有这样的D ；若不存在，说明理由；21. 已知数列{}n a 、{}n b 满足2(2)n n n S a b =+，其中n S 是数列{}n a 的前n 项和； （1）若数列{}n a 是首项为23，公比为13-的等比数列，求数列{}n b 的通项公式； （2）若n b n =，23a =，求证：数列{}n a 满足212n n n a a a +++=，并写出{}n a 通项公式；（3）在（2）的条件下，设n n na cb =，求证：数列{}nc 中的任意一项总可以表示成该数列 其他两项之积；参考答案一. 填空题1. 22. 2-3. [1,1]-4. 345. 46. 187. 75π8. 129. 833 10. 96 11. ②③ 12. 423二. 选择题13. C 14. B 15. C 16. D三. 解答题17.（1）5arccos 10；（2）33； 18.（1）155；（2）357d =<，会进入警戒水域；19.（1）2212y x -=；（2）29； 20.（1）(1)(1)f f -≠-；（2）12a b =⎧⎨=⎩，12a b =-⎧⎨=-⎩；（3）当121()22x x f x +-+=+，D R =； 当121()22x x f x +--=-，(0,)D =+∞，25(,log ]7D =-∞；21.（1）12n b =；（2）1n a n =+；（3）略；。
【数学】河北省石家庄市2018届高三下学期一模考试数学(理)(A卷)试题 扫描版含答案
石家庄市2017-2018学年高中毕业班第一次模拟考试试题理科数学答案一、选择题（A 卷答案）1-5AABDC 6-10CCDBD 11-12 BA（B 卷答案）1-5BBADC 6-10CCDAD 11-12 AB二、填空题13. 2:1,230p x x x ⌝∀≥--≥ 14. 乙15. 22,0e e ⎛⎫- ⎪-⎝⎭三、解答题(解答题仅提供一种或两种解答，其他解答请参照此评分标准酌情给分） 17解：(1)法一：由122()n n S m m R +=+∈得122()n n S m m R -=+∈………………2分当当2n ≥时，12222n n n n a S S -=-=，即12(2)n n a n -=≥………………4分 又1122m a S ==+，当2m =-时符合上式，所以通项公式为12n n a -=………………6分 法二： 由122()n n S m m R +=+∈得1232;4;8()S m S m S m m R =+⎧⎪=+⎨⎪=+∈⎩ ………………2分从而有2213322,4a S S a S S =-==-= ………………4分 所以等比数列公比322a q a ==，首项11a =，因此通项公式为12n n a -=………………6分 （2）由（1）可得1212log ()log (22)21n n n n a a n -+⋅=⋅=-…………………8分1111()(21)(21)22121n b n n n n ∴==-+--+………………………10分 12111111(1)2335212121n n n T b b b nn n ∴=+++=-+-++-=-++……………12分18（1）因为//BC 平面SDM,BC ⊂平面ABCD,平面SDM 平面ABCD=DM,所以DM BC //……………………2分因为DC AB //,所以四边形BCDM 为平行四边形，又，CD AB 2=,所以M 为AB 的中点。
2018届河北省石家庄市高三下学期一模考试理科数学试题及答案 精品
2018年石家庄市高中毕业班第一次模拟考试高三数学(理科答案) 一、 选择题（A 卷）1-5 CBACD 6-10 BADCB 11-12BA 一、选择题（B 卷）1-5 DBADC 6-10 BACDB 11-12BA 二、 填空题14 815 []1,2- 16 2a π三、 解答题（阅卷时发现的正确解答，请教师参阅此评分标准酌情给分） 17解：（1）解法1∵11(),n n a S n N λ*+=+∈ ∴11n n a S λ-=+(2)n ≥∴1n n n a a a λ+-=，即1(1)n n a a λ+=+(2),10n λ≥+≠， 又1211,11,a a S λλ==+=+∴数列{}n a 为以1为首项，公比为1λ+的等比数列，…………………………………2分 ∴23(1)a λ=+， ∴24(1)1(1)3λλ+=+++，整理得2210λλ-+=，得1λ= (4)分∴12n n a -=，13(1)32n b n n =+-=- (6)分解法2：∵111,1(),n n a a S n N λ*+==+∈∴2111,a S λλ=+=+2321(11)121,a S λλλλλ=+=+++=++ ∴24(1)1213λλλ+=++++，整理得2210λλ-+=，得1λ= (2)分∴11(),n n a S n N *+=+∈ ∴11n n a S -=+(2)n ≥∴1n n n a a a +-=，即12n n a a +=(2)n ≥， 又121,2a a ==∴数列{}n a 为以1为首项，公比为2的等比数列，………………………………………4分 ∴12n n a -=，13(1)32n b n n =+-=-………………………………………………………………………6分 （2）1(32)2n n n a b n -=-g ∴121114272(32)2n n T n -=⋅+⋅+⋅++-⋅L L L ………………………① ∴12312124272(35)2(32)2n nn T n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅L ………②…………8分 ① —②得12111323232(32)2n n n T n --=⋅+⋅+⋅++⋅--⋅L12(12)13(32)212n nn -⋅-=+⋅--⋅-…………………………………10分整理得：(35)25n n T n =-⋅+…………………………………………………………12分18解：（Ⅰ）三个电子元件能正常工作分别记为事件,,A B C ，则112(),(),()223p A p B p C ===.依题意，集成电路E 需要维修有两种情形： ①3个元件都不能正常工作，概率为11111()()()()22312p p ABC p A p B p C ===⨯⨯=； …………2分②3个元件中的2个不能正常工作，概率为2()()()()p p ABC ABC ABC p ABC p ABC p ABC =++=++11111111241223223223123=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯== ……………5分所以,集成电路E 需要维修的概率为1211512312p p +=+=． ……………6分（Ⅱ）设ξ为维修集成电路的个数，则5(2,)12B ξ:，而100X ξ=，2257(100)()()(),0,1,2.1212k k kP X k P k C k ξ-=====…………9分X 的分布列为：………………10分4935252500100200144721443EX ∴=⨯+⨯+⨯=或52501001002123EX E ξ==⨯⨯=. …………12分 19解：(1)证明一连接AC BD ，交于点F ,在平面PCA 中做EF ∥PC 交PA 于E ,因为PC ⊄平面BDE ，EF ⊂平面BDE PC ∥平面BDE ，---------------2AD 因为∥,BC 1,3AF AD FCBC ==所以因为EF ∥PC ,1=.3AE AF EP FC =所以-------------4证明二在棱PA 上取点E ，使得13AE EP=,------------2连接AC BD ，交于点F ,AD 因为∥,BCC1,2,AF AD FC BC AE AF EP FC ===所以所以 所以，EF ∥PC因为PC ⊄平面BDE ，EF ⊂平面BDE所以PC ∥平面BDE -------------4(2)取BC 上一点G使得BG =连结DG ,则ABGD 为正方形.过P 作PO ⊥平面ABCD ,垂足为O . 连结,,,OA OB OD OG .0,60AP AD AB PAB PAD ==∠=∠=，所以PAB ∆和PAD ∆都是等边三角形，因此PA PB PD ==, 所以OA OB OD ==,即点O 为正方形ABGD 对角线的交点,---------------7（或取BC 的中点G ,连结DG ,则ABGD 为正方形. 连接,AG BD 交于点O ，连接PO ，0,60AP AD AB PAB PAD ==∠=∠=，00,,,90,90.PAB PAD PA PB PD OD OB POB POD POB POD POA POB POA PO ABCD ∆∆===∆≅∆∠=∠=∆≅∆∠=⊥所以和都是等边三角形，因此又因为所以得到，同理得，所以平面-----------7）,,OG OB OP 因为两两垂直，以O 坐标原点，分别以,,OG OB OP u u u u r u u u r u u u r的方向为x 轴，y 轴,z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.000001100010010100O P A B D G --则（，，），（，，），（，，），（，，），（，，）（，，）设棱BC 的长为t ，则 ,1,0)C ,(1,0,1),(0,1,1),(,1,1),(0,1,1)22PA PB PC PD =--=-=--=--u u u r u u u r u u u r u u u r --------------9,111(,,),00,001,(1,1,1)PAB x y z PA x z y z PB x PAB =⎧=--=⎧⎪⎨⎨-==⎩⎪⎩=-=-u u u r g u u u r g 设平面的法向量则即不妨令可得为平面的一个法向量.m m m m-----------10222(,,),0(1)0,001,(1,1,1)PCD x y z PC y z PD y z y PCD t =⎧=+-=⎪⎨=⎪⎪⎩--=⎩==--u u u r g u u u r g 设平面的法向量则即不妨令可得为平面的一个法向量.n n n n-----------110,=g m n 解得t=BC 即棱的长为20解：（1）由题意可知圆心到1(,0)2的距离等于到直线12x =-的距离，由抛物线的定义可知，圆心的轨迹方程：22y x = (4)分（2）设00(,)P x y ，(0,),(0,)B b C c ， 直线PB 的方程为：000()0y b x x y x b --+=， 又圆心（1，0）到PB 的距离为1，1=，整理得：2000(2)20x b y b x -+-=， (6)分同理可得：2000(2)20x c y c x -+-=，所以，可知,b c是方程2000(2)20x x y x x -+-=的两根，所以：00002,,22y x b c bc x x --+==--……………………8分依题意0bc <，即02x >，则22200020448()(2)x y x b c x +--=-，因为2002y x =，所以：0022x b c x -=-，………………10分所以00014(2)482(2)S b c x x x =-=-++≥-， 当04x =时上式取得等号，所以PBC∆面积最小值为8.………………………12分 解二：（2）设00(,)P x y ，直线PB ：00()y y k x x -=-与圆D 相切，则1=，整理得：22200000(2)2(1)10x x k x y k y -+-+-=，……………………6分20001212220002(1)1,22x y y k k k k x x x x--+=-=--,………………………8分依题意02x > 那么010020120()()B C y y y k x y k x k k x -=---=-，由韦达定理得：12022k k x -=-，则022B Cx y y x -=-，…………………10分所以00014()(2)482(2)B C S y y x x x =-=-++≥-当04x =时上式取得等号，所以PBC∆面积最小值为8.…………………12分 21. 解：（1）由()22ln f x x a x x=++，得()'222af x x x x =-+．因为()f x 在区间[]2,3上单调递增，则()'2220af x x x x=-+≥在[]2,3上恒成立，………………2分即222a x x≥-在[]2,3上恒成立，设22()2g x x x =-，则22()40g x x x '=--<，所以()g x 在[]2,3上单调递减，故max ()(2)7g x g ==-，所以7a ≥-． (4)分（2） 解法一：12121212()()11()()f x f x k f x f x x x x x ''-''>⇔>⇔->--而()()12f x f x ''-＝122211222222a a x x x x x x⎛⎫⎛⎫-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝()121222121222x x ax x x x x x +-⋅+-故欲证()()''1212f x f x x x ->- ，只需证()12221212221x x ax x x x ++->…………………6分即证()1212122x x a x x x x +<+成立∵()121212122x x x x x x x x ++>…………………8分设t =，()()240u t t t t=+>，则()242u t t t'=- 令()0u t '=得t =，列表如下：()4u t a ≥=>≥ (10)分 ∴()1212122x x x x a x x ++> ∴()()''1212f x f x x x ->-， 即1212()()1f x f x x x ''->-∴当4a ≤时，1k >…………………12分解法二：对于任意两个不相等的正数1x 、2x 有()1212122x x x x x x ++>12x x＝12x x3≥＝3 4.5a >> …………………8分∴ ()12221212221x x a x x x x ++-> 而()'222a f x x x x =-+∴()()12f x f x ''-＝122211222222a a x x x x x x⎛⎫⎛⎫-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝()121222121222x x ax x x x x x +-⋅+-12x x >-…………………10分故：()()''1212f x f x x x ->- ， 即1212()()1f x f x x x ''->- ∴当4a ≤时，1k >………12分22. 证明：（1）连结AB ，AC ， ∵AD 为M e 的直径，∴090ABD ∠=，∴AC为Oe 的直径,∴0=90CEF AGD ∠=∠,∵DFG CFE ∠=∠，∴ECF GDF ∠=∠, ∵G 为弧BD 中点，∴DAG GDF ∠=∠， ∴DAG ECF ∠=∠,ADG CFE ∠=∠ ∴CEF ∆∽AGD ∆，……………3分 ∴CE AG EFGD=，∴GD CE EF AG ⋅=⋅。
高三数学河北省石家庄市2018届高三下学期一模考试试题(A卷)理科数学及参考答案及参考答案
河北省石家庄市2018届高三下学期一模考试数学试题（理）（A卷）【参考答案】1-5AABDC 6-10CCDBD 11-12 BA13. 2:1,230p x x x ⌝∀≥--≥ 14. 乙15. 16. 22,0e -e ⎛⎫- ⎪⎝⎭17.解：(1)法一：由122()n n S m m R +=+∈得122()n n S m m -=+∈R ,当当2n ≥时,12222n n n n a S S -=-=,即12(2)n n a n -=≥, 又1122m a S ==+,当2m =-时符合上式,所以通项公式为12n n a -=, 法二： 由122()n n S m m R +=+∈得1232;4;8()S m S m S m m R =+⎧⎪=+⎨⎪=+∈⎩ ,从而有2213322,4a S S a S S =-==-=, 所以等比数列公比322a q a ==,首项11a =,因此通项公式为12n n a -=, （2）由（1）可得1212log ()log (22)21n n n n a a n -+⋅=⋅=-,1111()(21)(21)22121n b n n n n ∴==-+--+, 12111111(1)2335212121n n n T b b b n n n ∴=+++=-+-++-=-++. 18.解：（1）因为//BC 平面SDM ,BC ⊂平面ABCD ,平面SDM 平面ABCD =DM ,所以DM BC //,因为DC AB //,所以四边形BCDM 为平行四边形,又,CD AB 2=,所以M 为AB 的中点,因为AB AM λ=,12λ∴=； （2）因为BC ⊥SD , BC ⊥CD ,所以BC ⊥平面SCD ,又因为BC ⊂平面ABCD ,所以平面SCD ⊥平面ABCD ,平面SCD 平面ABCD CD =,在平面SCD 内过点S 作SE ⊥直线CD 于点E ,则SE ⊥平面ABCD ,在Rt SEA 和Rt SED 中,因为SA SD =,所以AE DE ==,又由题知45EDA ∠=,所以AE ED ⊥所以1AE ED SE ===,以下建系求解.以点E 为坐标原点,EA 方向为X 轴,EC 方向为Y 轴,ES 方向为Z 轴建立如图所示空间坐标系,则(0,0,0)E ,(0,0,1)S ,(1,0,0)A ,(1,2,0)B ,(0,2,0)C ,(1,0,1)SA =-,(0,2,0)AB =,(0,2,1)SC =-,(1,0,0)CB =,设平面SAB 的法向量1(,,)n x y z =,则1100n SA n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,所以020x z y -=⎧⎨=⎩, 令1x =得1(1,0,1)n =为平面SAB 的一个法向量,同理得2(0,1,2)n =为平面SBC 的一个法向量, 12121210cos ,||||n n n n n n ⋅<>==⋅,因为二面角A SB C --为钝角,所以二面角A SB C --余弦值为5-. 19.解：（1）甲方案中派送员日薪y （单位：元）与送单数n 的函数关系式为： N ,100∈+=n n y ,乙方案中派送员日薪y （单位：元）与送单数n 的函数关系式为：⎩⎨⎧∈>-∈≤=N),55(,52012N),55(,140n n n n n y . ①由已知,在这100天中,该公司派送员日平均派送单数满足如下表格：所以X 甲的分布列为：所以()=1520.21540.31560.21580.21600.1155.4E X ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=甲, ()()()()()222222=0.2152155.4+0.3154155.4+0.2156155.4+0.2158155.4+0.1160155.4=6.44.S ⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-甲所以X 乙的分布列为： 所以()=1400.51520.21760.22000.1=155.6E X ⨯+⨯+⨯+⨯乙.()()()()22222=0.5140155.6+0.2152155.6+0.2176155.6+0.1200155.6=404.64.S ⨯-⨯-⨯-⨯-乙②答案一： 由以上的计算可知,虽然()()E X E X <乙甲,但两者相差不大,且2S 甲远小于2S 乙,即甲方案日工资收入波动相对较小,所以小明应选择甲方案.答案二：由以上的计算结果可以看出,()()E X E X <乙甲,即甲方案日工资期望小于乙方案日工资期望,所以小明应选择乙方案. 20解：（1）设,,2211r MF r MF ==由题122221212224112c e a r r a r r cr r ⎧==⎪⎪+=⎪⎨+=⎪⎪⋅=⎪⎩,解得1a c ==,则21b =, ∴椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）设0000(,)(0)A x y x y ⋅≠,1122(,),(,)B x y C x y , 当直线1AF 的斜率不存在时,设(1,2A -,则(1,2B --, 直线2AF的方程为(1)4y x =--代入2212x y +=,可得25270x x --= 275x ∴=,210y =-则7(,510D - ∴直线BD的斜率为1(1027(1)5k -==--,直线OA的斜率为22k =-121(6k k ∴⋅==-, 当直线2AF 的斜率不存在时,同理可得1216k k ⋅=-. 当直线1AF 、2AF 的斜率存在时,10±≠x设直线1AF 的方程为00(1)1y y x x =++,则由0022(1)112y y x x x y ⎧=+⎪+⎪⎨⎪+=⎪⎩消去x 可得： 22222200000[(1)2]422(1)0x y x y x y x ++++-+=,又220012x y +=,则220022y x =-,代入上述方程可得 2220000(32)2(2)340x x x x x x ++---=,2000101003434,3232x x x x x x x x ----∴⋅=∴=++,则000100034(1)13232y x y y x x x --=+=-+++ 000034(,)2323x y B x x +∴--++ 设直线2AF 的方程为00(1)1y y x x =--,同理可得000034(,)2323x y D x x --- , ∴直线BD 的斜率为000000001220000002323434341224362323y y x x x y x y k x x x x x x +-+===-+--+-+, 直线OA 的斜率为020y k x =, ∴20200001222200001123636366x x y y y k k x x x x -⋅=⋅===----. 所以,直线BD 与OA 的斜率之积为定值16-,即1216k k ⋅=-. 21．解：（Ⅰ）由题意()10f -=,所以()1(1)10f b a e ⎛⎫-=-+-= ⎪⎝⎭, 又()()1x f x x b e a '=++-,所以1(1)1b f a e e'-=-=-+, 若1a e=,则20b e =-<,与0b >矛盾,故1a =,1b =； （Ⅱ）由（Ⅰ）可知()()()11x f x x e =+-, (0)0,(1)0f f =-=, 设)(x f 在(-1,0)处的切线方程为)(x h ,易得,()1()11e h x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,令()()()F x f x h x =-即()()()1()1e 111e x F x x x ⎛⎫=+---+ ⎪⎝⎭,()1()2e ex F x x '=+-, 当2x ≤-时,()11()2e 0e ex F x x '=+-<-< 当2x >-时,设()1()()2e ex G x F x x '==+-, ()()3e 0x G x x '=+>, 故函数()F x '在()2,-+∞上单调递增,又(1)0F '-=,所以当(),1x ∈-∞-时,()0F x '<,当()1,x ∈-+∞时,()0F x '>,所以函数()F x 在区间(),1-∞-上单调递减,在区间()1,-+∞上单调递增, 故0)1()(=-≥F x F ,11()()f x h x ≥,设()h x m =的根为1x ',则1e 11em x '=-+-, 又函数()h x 单调递减,故111()()()h x f x h x '=≥,故11x x '≤,设()y f x =在(0,0)处的切线方程为()y t x =,易得()t x x =令()()()()()1e 1x T x f x t x x x =-=+--,()()2e 2xT x x '=+-, 当2x ≤-时,()()2220x T x x e '=+-<-<当2x >-时,故函数()T x '在()2,-+∞上单调递增,又(0)0T '=,所以当(),0x ∈-∞时,()0T x '<,当()0,x ∈+∞时,()0T x '>,所以函数()T x 在区间(),0-∞上单调递减,在区间()0,+∞上单调递增, 0)0()(=≥T x T ,22()()f x t x ≥ ,设()t x m =的根为2x ',则2x m '=,又函数()t x 单调递增,故222()()()t x f x t x '=≥,故22x x '≥,又11x x '≤,2121e (12e)111e 1e m m x x x x m -⎛⎫''-≤-=--+=+ ⎪--⎝⎭. 选作题22.解：（1）由题意可知直线l的直角坐标方程为2y =+, 曲线C是圆心为,半径为r 的圆,直线l 与曲线C 相切,可得：2r =；可知曲线C的方程为22((1)4x y +-=,所以曲线C的极坐标方程为2cos 2sin 0ρθρθ--=, 即4sin()3ρθπ=+ ； (2)由（1）不妨设M （1,ρθ）,)6,(2πθρ+N ,（120,0ρρ>>）6πS MON =∆ ,, 当12πθ=时, 32+≤∆MO N S , 所以△MON面积的最大值为2+.23. 解：（1）由题意可知32x x m --≥恒成立,令3()2x g x x -=-, 去绝对值可得：36,(3)()263,(03)6,(0)x x x g x x x x x x --≥⎧⎪=-=-<<⎨⎪-≤⎩,画图可知()g x 的最小值为-3,所以实数m 的取值范围为3m ≤-；（2）由（1）可知2229a b c ++=,所以22212315a b c +++++=,222222222111()(123)11112312315a b c a b c a b c ++⋅++++++++++=+++22222221313239312132315155b a c a c b a b a c b c ++++++++++++++++++=≥= 当且仅当2221235a b c +=+=+=,即2224,3,2a b c ===等号成立, 所以222111123a b c +++++的最小值为35.。
2018年4月石家庄市一模数学试卷及答案
Word资料Word资料Word资料Word资料Word资料Word资料Word 资料2018年初中毕业班教学质量检测数学试题参考答案及评分参考说明：1．在阅卷过程中，如考生还有其它正确解法，可参照评分标准按步骤酌情给分．2．坚持每题评阅到底的原则，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分时，如果该步以后的解答未改变这一题的容和难度，可视影响的程度决定后面部分的给分，但不得超过后继部分应给分数的一半；如果这一步后面的解答有较严重的错误，就不给分． 3．解答右端所注分数，表示正确做到这一步应得的累加分数．只给整数分数．一、选择题（本大题有16个小题，共42分．1～10小题各3分，11～16小题各2分） 二、填空题（本大题有3个小题，共10分．17～18小题各3分；19小题有2个空，每空2分．）19．（23，23-），（1009，0）， 17．12-18． 6π三、解答题（本大题有7个小题，共68分）20．解：（1）原式=ab b a ab -+++1=1++b a …………………………………………………………（2分）∵4=+b a ，∴原式=4+1=5．……………………………………………………（4分） （2）∵b a b ab a 22222+++-=)(2)(2b a b a ++-， ………………………（6分） 由题意得，42)(2⨯+-b a =17，∴2)(b a -=9，∴b a -=±3．……………………………………………………………………（8分）Word 资料21．（1）40；………………………………………………………………………（1分）补全图形如图1所示：………………………………………………………（3分）（2）90，90；……………………………………………………………………（5分） （3）列表法：……………………………………………………………………（7分）∵第二象限的点有（−2，2）和（−1，2）奖项祖冲之奖刘徽奖赵爽奖 杨辉奖图1Word 资料∴P （点在第二象限）=92……………………………………………………（9分）22．解：（1）如图2F ⊥BD ，垂足为F ． ……………………………………（1分）∵AC ⊥BD ， ∴∠ACB=∠FB=90°；在RtFB 中，∠1+∠3=90°；B ⊥AB ，∴∠1+∠2=90°，∴∠2=∠3； ……………………………………………………………………（2分） 在△ACB 和△∴△ACB ≌△（AAS ）；∴F=BC ，……………………………………………………………………（4分）∵AC ∥DE 且CD ⊥AC ，AE ⊥DE ，∴CD=AE=1.8；…………………………………………………………………（5分） ∴BC=BD －CD=3－1.8=1.2， ∴F=1.2到BD 的距离是1.2m ．………………………………………（6分）HD 图2Word 资料（2）由（1）知：△ACB ≌△∴BF=AC=2m ，………………………………………………………………（7分）H ⊥DE ，垂足为H ． ∵F ∥DE，……………………………………………………（8分）∴H=BD －BF=3－2=1，即到地面的距离是1m ．……………………（9分）23．解：（1）此时点A 在直线l 上； …………………………………………………（1分）∵BC =AB =2，点O 为BC 中点，∴点B （−1，0），A （−1，2），……………………………………………………（3分） 把点A 的横坐标x=−1代入解析式42+=x y ，得4)1(2+-⨯=y =2，等于点A 的纵坐标2，∴此时点A 在直线l 上． …………………………………………………………（5分） （2）由题意可得，点D （1，2），及点M （−2，0）， 当直线l 经过点D 时，设l 的解析式为t kx y +=（k ≠0），∴⎩⎨⎧=+=+-202t k t k ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3432t k ，…………………………………………………（7分）Word 资料∴当直线l 与AD 边有公共点时，t 的取值围是34≤t ≤4． ………………（9分） 24．解：（1）5 ………………………………（1分）（2）设AE =x ,∵AB =4，∴BE =4﹣x ，在矩形ABCD 中，根据折叠的性质知：Rt △FDE ≌Rt △ADE ，∴ FE =AE =x ，FD =AD =BC =3，∴ BF =BD ﹣FD =5﹣3=2， 在Rt △BEF 中，根据勾股定理，得FE 2+BF 2=BE 2，即x 2+4=（4﹣x ）2，解得：x =32， ∴AE 的长为32. ……………………………………………（4分） （3）存在， ……………………………………………（5分）如图3，延长CB 到点G ，使BG =BC ，连接FG ，交BE 于点P ，连接PC ，则点P 即为所求（画出点P 即可）． ………………………………（6分）此时有：PC =PG ，∴PF +PC =GF ．过点F 作FH ⊥BC ，交BC 于点H ，则有FH ∥DC ，∴△BFH ∽△BDC ， A E BC D F G P H 图3Word 资料 ∴FH BF BH DC BD BC ==，即2453FH BH ==， ∴8655FH BH ==，， ………………………………………………………（8分） ∴GH =BG +BH 6213,55=+= 在Rt △GFH 中，根据勾股定理，得∴GF === 即PF +PC 的最小值为…………………………………………………（10分） 25．解：（1）设b kx q +=（k ，b 为常数且k ≠0），当x =2时，q =12，当x =4时，q =10，代入解析式得，⎩⎨⎧=+=+104122b k b k ，解得：⎩⎨⎧=-=141b k ， …………………………………………………（2分） ∴14+-=x q ． ……………………………………………………………………（3分）（2）当产量小于或等于市场需求量时，有p ≤q ， ∴821+x ≤14+-x ，解得x ≤4， ………………………………………………（5分） 又2≤x ≤10，∴2≤x ≤4．…………………………………………………………（6分）Word 资料（3）①当产量大于市场需求量时，可得4＜x ≤10，由题意得，厂家获得的利润是：p qx y 2-= ………………………………………………………………………（7分）=16132-+-x x =4105)213(2+--x ．……………………………………………………………（9分） ②∵当x ≤213时，y 随x 的增加而增加， 又∵产量大于市场需求量时，有4＜x ≤10，∴当4＜x ≤213时，厂家获得的利润y 随销售价格x 的上涨而增加．……（11分）26．解：【发现】（1）3π．………………………………………………………………………（1分） （2）设⊙P 半径为r ，则有r =4-3=1， 当t =2时，如图4，点N 与点A∴ PA =r =1，设MP 与AB 相交于点Q ，在Rt △∵∠OAB =30°，∠MPN =60°，Word 资料 ∵∠PQA =90°．∴11,22PQ PA ==∴cos30AQ PA =︒=g∴111222PQA S PQ AQ ==⨯=V g 即重叠部分的面积为83．………………………………………………（4分） 【探究】： ① 如图5，当⊙P 与直线AB 相切于点C连接PC ，则有PC ⊥AB ，PC =r =1，∵∠OAB =30°，∴AP =2，∴OP =OA -AP =3-2=1；∴点P 的坐标为（1，0）；…………（6② 如图6，当⊙P 与直线OB 相切于点D 连接PD ，则有PD ⊥OB ，PD =r =1，∴PD ∥AB ，∴∠OPD =∠OAB =30°，∴cos ∠OPD =PD OP,OP =33230cos 1=ο图6∴点P的坐标为（332，0）；………（8分）③如图7，当⊙P与直线OB相切于点E时，连接PE，则有PE⊥OB，同②可得：OP=332；∴点P的坐标为（-332，0）……………………………………………（10分）【拓展】t的取值围是2 <t≤3，4≤t<5 ………………………………………（12分）（提示：当点N运动到与点A重合时，¼MN与Rt△ABO的边有一个公共点，此时t=2 ；当t>2 直到⊙P运动到与AB相切时（t=3 ），¼MN与Rt △ABO的边有两个公共点，∴2 <t≦3 . 当⊙P运动到PM与OB重合时，¼MN与Rt△ABO的边有两个公共点，此时t=4 ；直到⊙P运动到点N与点O重合时，¼MN与Rt△ABO的边有一个公共点，此时t=5；∴4 ≦t<5. ）xWord资料。
河北省石家庄市2018届高三毕业班模拟考试(二)数学(文)试题Word版含答案
石家庄市2018届高中毕业班模拟考试（二）
文科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共
12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
. 1.已知集合
2|log (2)A x y x ，|33,B x x x R ，则A B （）A ．(2,3)B ．[2,3)C ．(3,)D ．(2,
)2.若复数z 满足
(1)2z i i ，其中i 为虚数单位，则共轭复数z （）A ．1i B ．1i C ．1i D ．
1i 3.已知命题
p ：13x ，q ：31x ，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
4.函数2sin ()
1x f x x 的部分图像可能是（）
5.已知双曲线22221x
y a
b （0a ，0b ）与椭圆221124x y 有共同焦点，且双曲线的一条渐近线方程为3y
x ，则该双曲线的方程为（）A ．221412x y B ．22
1124x y C ．22
162x y D ．22
1
26x y 6.三国时期吴国的数学家创造了一副“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明，如图所示“勾股圆方图”中由四个全等的正三角形（直角边长之比为1:3）围成的一个大正方形，中间部分是一个小正方形，如果在大正方形内随机取一点，则此点取自中间
的小正方形部分的概率是（）
A ．32
B ．3
4C ．3
12D ．314
7.执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为（）。
【省会检测】2018年河北省石家庄市高考数学一模试卷(理科)(A卷)
2018年河北省石家庄市高考数学一模试卷（理科）（A卷）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合U={1，2，3，4，5，6，7}，A={x|x≥3，x∈N}，则∁U A=（）A．{1，2}B．{3，4，5，6，7}C．{1，3，4，7}D．{1，4，7}2．已知i为虚数单位，（1+i）x=2+yi，其中x，y∈R，则|x+yi|=（）A．B．C．2 D．43．函数f（x）=2x（x＜0），其值域为D，在区间（﹣1，2）上随机取一个数x，则x∈D的概率是（）A．B．C．D．4．点B是以线段AC为直径的圆上的一点，其中|AB|=2，则=（）A．1 B．2 C．3 D．45．若x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值是（）A．2 B．3 C．4 D．56．程序框图如图所示，该程序运行的结果为s=25，则判断框中可填写的关于i 的条件是（）A．i≤4？B．i≥4？C．i≤5？D．i≥5？7．南宋数学家秦九韶早在《数书九章》中就独立创造了已知三角形三边求其面积的公式：“以小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减之，以四约之，为实，一为从隅，开方得积．”（即：，a＞b＞c），并举例“问沙田一段，有三斜（边），其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，欲知为田几何？”则该三角形田面积为（）A．82平方里B．83平方里C．84平方里D．85平方里8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．8+3πB．8+4πC．8+5πD．8+6π9．已知f（x）是定义在[﹣2b，1+b]上的偶函数，且在[﹣2b，0]上为增函数，则f（x﹣1）≤f（2x）的解集为（）A．B．C．[﹣1，1]D．10．在△ABC中，AB=2，，则的最大值为（）A．B．C．D．11．过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在直线y=﹣1上，若△ABC为正三角形，则其边长为（）A．11 B．12 C．13 D．1412．设xOy，x'Oy'为两个平面直角坐标系，它们具有相同的原点，Ox正方向到Ox'正方向的角度为θ，那么对于任意的点M，在xOy下的坐标为（x，y），那么它在x'Oy'坐标系下的坐标（x'，y'）可以表示为：x'=xcosθ+ysinθ，y'=ycosθ﹣xsinθ．根据以上知识求得椭圆的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13．命题p：∃x0≥1，的否定为．14．甲、乙、丙三位同学，其中一位是班长，一位是体育委员，一位是学习委员，已知丙的年龄比学委的大，甲与体委的年龄不同，体委比乙年龄小．据此推断班长是．15．一个直角三角形的三个顶点分别在底面棱长为2的正三棱柱的侧棱上，则该直角三角形斜边的最小值为．16．已知函数，，若函数y=f（g（x））+a有三个不同的零点x1，x2，x3（其中x1＜x2＜x3），则2g（x1）+g（x2）+g（x3）的取值范围为．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12.00分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且满足．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12.00分）四棱锥S﹣ABCD的底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2BC=2CD=2，△SAD为正三角形．（Ⅰ）点M为棱AB上一点，若BC∥平面SDM，，求实数λ的值；（Ⅱ）若BC⊥SD，求二面角A﹣SB﹣C的余弦值．19．（12.00分）小明在石家庄市某物流派送公司找到了一份派送员的工作，该公司给出了两种日薪薪酬方案．甲方案：底薪100元，每派送一单奖励1元；乙方案：底薪140元，每日前55单没有奖励，超过55单的部分每单奖励12元．（Ⅰ）请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪y（单位：元）与送货单数n的函数关系式；（Ⅱ）根据该公司所有派送员100天的派送记录，发现派送员的日平均派送单数满足以下条件：在这100天中的派送量指标满足如图所示的直方图，其中当某天的派送量指标在（n=1，2，3，4，5）时，日平均派送量为50+2n 单．若将频率视为概率，回答下列问题：①根据以上数据，设每名派送员的日薪为X（单位：元），试分别求出甲、乙两种方案的日薪X的分布列，数学期望及方差；②结合①中的数据，根据统计学的思想，帮助小明分析，他选择哪种薪酬方案比较合适，并说明你的理由．（参考数据：0.62=0.36，1.42=1.96，2.62=6.76，3.42=11.56，3.62=12.96，4.62=21.16，15.62=243.36，20.42=416.16，44.42=1971.36）20．（12.00分）已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，且离心率为，M为椭圆上任意一点，当∠F1MF2=90°时，△F1MF2的面积为1．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知点A是椭圆C上异于椭圆顶点的一点，延长直线AF1，AF2分别与椭圆交于点B，D，设直线BD的斜率为k1，直线OA的斜率为k2，求证：k1•k2为定值．21．（12.00分）已知函数f（x）=（x+b）（e x﹣a），（b＞0），在（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为（e﹣1）x+ey+e﹣1=0．（Ⅰ）求a，b；（Ⅱ）若方程f（x）=m有两个实数根x1，x2，且x1＜x2，证明：．（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，按本选考题的首题进行评分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分10分）22．（10.00分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（r＞0，φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，若直线l与曲线C相切；（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）在曲线C上取两点M，N与原点O构成△MON，且满足，求面积△MON的最大值．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．已知函数的定义域为R；（Ⅰ）求实数m的取值范围；（Ⅱ）设实数t为m的最大值，若实数a，b，c满足a2+b2+c2=t2，求的最小值．2018年河北省石家庄市高考数学一模试卷（理科）（A卷）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合U={1，2，3，4，5，6，7}，A={x|x≥3，x∈N}，则∁U A=（）A．{1，2}B．{3，4，5，6，7}C．{1，3，4，7}D．{1，4，7}【分析】利用补集定义直接求解．【解答】解：∵集合U={1，2，3，4，5，6，7}，A={x|x≥3，x∈N}，∴∁U A={1，2}．故选：A．【点评】本题考查补集的求法，考查补集等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2．已知i为虚数单位，（1+i）x=2+yi，其中x，y∈R，则|x+yi|=（）A．B．C．2 D．4【分析】利用复数的相等、模的计算公式即可得出．【解答】解：（1+i）x=2+yi，其中x，y∈R，∴x+xi=2+yi，∴x=2，x=y，解得x=y=2．则|x+yi|=|2+2i|==2．故选：A．【点评】本题考查了复数的相等、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．函数f（x）=2x（x＜0），其值域为D，在区间（﹣1，2）上随机取一个数x，则x∈D的概率是（）A．B．C．D．【分析】由指数函数的单调性求出函数f（x）=2x，x∈（﹣∞，0）的值域为D，再由测度比为长度比得答案．【解答】解：函数f（x）=2x，x∈（﹣∞，0）的值域为（0，1），即D=（0，1），则在区间（﹣1，2）上随机取一个数x，x∈D的概率P==．故选：B．【点评】本题考查几何概型，考查指数函数值域的求法，是基础题．4．点B是以线段AC为直径的圆上的一点，其中|AB|=2，则=（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据题意画出图形，结合图形求出的值．【解答】解：如图所示，B是以线段AC为直径的圆上的一点，|AB|=2，∴⊥，∴=（+）•=+•=+0=4．故选：D．【点评】本题考查了平面向量的数量积应用问题，是基础题．5．若x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值是（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，当直线z=2x+y过点A（2，﹣1）时，z最大是3，故选：B．【点评】本小题主要考查线性规划问题，以及利用几何意义求最值，属于基础题．6．程序框图如图所示，该程序运行的结果为s=25，则判断框中可填写的关于i 的条件是（）A．i≤4？B．i≥4？C．i≤5？D．i≥5？【分析】按照程序框图的流程写出前几次循环的结果判断出当i为何值时输出，得到判断框中的条件．【解答】解：模拟程序的运行，可得s=100，i=1由题意，满足判断框内的条件，执行循环体，s=100﹣5=95，i=2由题意，满足判断框内的条件，执行循环体，s=95﹣10=85，i=3由题意，满足判断框内的条件，执行循环体，s=85﹣15=70，i=4由题意，满足判断框内的条件，执行循环体，s=70﹣20=50，i=5由题意，满足判断框内的条件，执行循环体，s=50﹣25=25，i=6由题意，此时应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出s的值为25．可得判断框中可填写的关于i的条件是i≤5？．故选：C．【点评】本题考查解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环的结果，找规律，属于基础题．7．南宋数学家秦九韶早在《数书九章》中就独立创造了已知三角形三边求其面积的公式：“以小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减之，以四约之，为实，一为从隅，开方得积．”（即：，a＞b＞c），并举例“问沙田一段，有三斜（边），其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，欲知为田几何？”则该三角形田面积为（）A．82平方里B．83平方里C．84平方里D．85平方里【分析】根据题意代值计算即可．【解答】解：由题意：不妨设c=13，b=14，a=15，∴==84，故选：C．【点评】本题考查数三角形的面积的求法，考查计算能力．8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．8+3πB．8+4πC．8+5πD．8+6π【分析】根据三视图可得该几何体是有一个半圆柱挖去一个半球所得，根据面积公式可得．【解答】解：根据三视图可得该几何体是有一个半圆柱挖去一个半球所得，圆柱底面圆半径为1，球的半径为1，圆柱的高为4，则该几何体的表面积为S=﹣π×12+2×4=8+6π故选：D．【点评】本题考查了三视图，几何体表面积公式，属于中档题．9．已知f（x）是定义在[﹣2b，1+b]上的偶函数，且在[﹣2b，0]上为增函数，则f（x﹣1）≤f（2x）的解集为（）A．B．C．[﹣1，1]D．【分析】先根据奇偶函数的性质求出b，再根据f（x﹣1）≤f（2x），可得|x﹣1|≥|2x|，结合x∈[﹣2，2]，求出x的范围．【解答】解：∵f（x）是定义在[﹣2b，1+b]上的偶函数，∴﹣2b+1+b=0，∴b=1，∵函数f（x）在[﹣2b，0]上为增函数，∴函数f（x）在[﹣2，0]上为增函数，故函数f（x）在[0，2]上为减函数，则由f（x﹣1）≤f（2x），可得|x﹣1|≥|2x|，即（x﹣1）2≥4x，求得﹣1≤x≤，再结合x∈[﹣2，2]，故f（x﹣1）≤f（2x）的解集为[﹣1，]，故选：B．【点评】本题主要考查函数的单调性和奇偶性，属于基础题．10．在△ABC中，AB=2，，则的最大值为（）A．B．C．D．【分析】直接利用三角函数关系式的变换和正弦定理求出结果．【解答】解：△ABC中，AB=2，，则：2R=，则：，=，=，=2cosA+6，=，由于：，0所以：，所以最大值为4．故选：D．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理的应用．11．过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在直线y=﹣1上，若△ABC为正三角形，则其边长为（）A．11 B．12 C．13 D．14【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点D（x0，y0），设直线AB的斜率为k，则直线方程为y=kx+1，根据韦达定理和求出点D的坐标，根据抛物线的性质求出|AB|，即可求出AB的垂直平分线的方程，求出点C的坐标，根据点到直线的距离公式，求出|CD|，根据等比三角形的性质可得|CD|=|AB|，即可求出k2=2，则边长可求．【解答】解：抛物线焦点为（0，1），设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点D（x0，y0），设直线AB的斜率为k，则直线方程为y=kx+1，由，消y可得x2﹣4kx﹣4=0，∴x1+x2=4k，∴y1+y2=k（x1+x2）+2=4k2+2，∴|AB|=y1+y2+2=4k2+4，∴x0=2k，y0=2k2+1，∴D（2k，2k2+1），∴线段AB的垂直平分线的方程为y﹣2k2﹣1=﹣（x﹣2k），即y=﹣x+2k2+3，令y=﹣1，则x=2k3+4k，∴C（2k3+4k，﹣1）∴点C到直线AB的距离|CD|==，∵△ABC为正三角形，∴|CD|=|AB|，∴=•（4k2+4），整理可得k2=2，∴|AB|=4k2+4=12，故选：B．【点评】本题考查二轮直线和抛物线的位置关系，以及抛物线的性质和三角形的性质，考查了转化能力和运算能力，属于中档题12．设xOy，x'Oy'为两个平面直角坐标系，它们具有相同的原点，Ox正方向到Ox'正方向的角度为θ，那么对于任意的点M，在xOy下的坐标为（x，y），那么它在x'Oy'坐标系下的坐标（x'，y'）可以表示为：x'=xcosθ+ysinθ，y'=ycosθ﹣xsinθ．根据以上知识求得椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【分析】把坐标变换公式代入椭圆方程化简，令xy系数为0得出θ的值，从而得出椭圆方程，计算出离心率．【解答】解：把x'=xcosθ+ysinθ，y'=ycosθ﹣xsinθ代入椭圆得：3（xcosθ+ysinθ）2﹣2（xcosθ+ysinθ）（ycosθ﹣xsinθ）+5（ycosθ﹣xsinθ）2﹣1=0，化简得：（4+sin2θ﹣cos2θ）x2+（4﹣sin2θ+cos2θ）y2﹣4sin（2θ+）•xy=1．令4sin（2θ+）=0可得2θ=﹣．于是2x2+6y2=1．∴a2=，b2=，c2=，∴椭圆离心率为e==．故选：A．【点评】本题考查了坐标变换，三角变换，椭圆的性质，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13．命题p：∃x0≥1，的否定为∀x≥1，x2﹣2x﹣3≥0．【分析】根据特称命题的否定是全称命题，进行求解即可．【解答】解：命题是特称命题，则命题的否定：∀x≥1，x2﹣2x﹣3≥0，故答案为：∀x≥1，x2﹣2x﹣3≥0【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，根据特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键．14．甲、乙、丙三位同学，其中一位是班长，一位是体育委员，一位是学习委员，已知丙的年龄比学委的大，甲与体委的年龄不同，体委比乙年龄小．据此推断班长是乙．【分析】推导出丙是体委，年龄从大到小是乙＞丙＞学委，由此得到乙不是学委，故乙是班长．【解答】解：根据甲与体委的年龄不同，体委比乙年龄小，得到丙是体委，丙的年龄比学委的大，甲与体委的年龄不同，体委比乙年龄小，得到年龄从大到小是乙＞丙＞学委，由此得到乙不是学委，故乙是班长．故答案为：乙．【点评】本题考查简单推理的应用，考查合情推理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．15．一个直角三角形的三个顶点分别在底面棱长为2的正三棱柱的侧棱上，则该直角三角形斜边的最小值为．【分析】根据正三棱柱的底面ABC为等边三角形，一个Rt△DEF的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，结合图形的对称性可得，该三角形的斜边EF上的中线DG的长为底面三角形的高时，Rt△DEF的斜边最短．【解答】解：直角三角形DEF的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，不妨设∠EDF=90°，已知正三棱柱的底面边长为AB=2，且△EDF的斜边EF上的中线为DG，如图所示；由图形知，当DG的长为底面三角形的高时，DG取得最小值为，此时斜边EF的长为2DG=2．故答案为：2．【点评】本题主要考查了正三棱柱的结构特征以及应用问题，是基础题．16．已知函数，，若函数y=f（g（x））+a有三个不同的零点x1，x2，x3（其中x1＜x2＜x3），则2g（x1）+g（x2）+g（x3）的取值范围为（，0）．【分析】分别判断f（x）和g（x）的单调性，计算极值，根据零点个数求出a 的范围，根据根与系数的关系，用a表示出2g（x1）+g（x2）+g（x3）得出结论．【解答】解：g′（x）=，∴当0＜x＜e时，g′（x）＞0，当x＞e时，g′（x）＜0，∴g（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，∴g（x）≤g（e）=，作出g（x）的函数图象如图所示：令g（x）=t，则当t≤0或t=时，g（x）=t只有1解，当0＜t＜时，g（x）=t 有2解．f′（x）=，∴当x＜0时，f′（x）＞0，当0＜x＜时，f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，]上单调递减．∴当x=0时，f（x）取得极大值f（0）=﹣1，又f（）=，作出f（x）在（﹣∞，]上的函数图象如图所示：∵y=f（g（x））+a有三个不同的零点x1，x2，x3，∴关于t的方程f（t）=﹣a在（﹣∞，0）和（0，）上各有1解，不妨设为t1，t2，∴＜﹣a＜﹣1，且g（x1）=t1，g（x2）=g（x3）=t2，又f（t）==﹣a，即t2+（a﹣1）t+1﹣a=0，∴t1+t2=1﹣a，∴2g（x1）+g（x2）+g（x3）=2t1+2t2=2（1﹣a）∈（，0），故答案为：（，0）．【点评】本题考查了函数零点与函数图象的关系，函数单调性的判断，属于难题．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12.00分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且满足．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（I）设等比数列{a n}的公比为q，．可得2a1=22+m，2（a1+a1q）=23+m，2（a1+a1q+a1q2）=24+m，解出即可得出．（Ⅱ）数列{b n}满足==，利用裂项求和即可得出．【解答】解：（I）设等比数列{a n}的公比为q，．∴2a1=22+m，2（a1+a1q）=23+m，2（a1+a1q+a1q2）=24+m，联立解得：m=﹣2，a1=1，q=2．∴a n=2n﹣1．（Ⅱ）数列{b n}满足==，∴数列{b n}的前n项和T n=++……+==．【点评】本题考查了等比数列的通项公式、对数运算性质、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12.00分）四棱锥S﹣ABCD的底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2BC=2CD=2，△SAD为正三角形．（Ⅰ）点M为棱AB上一点，若BC∥平面SDM，，求实数λ的值；（Ⅱ）若BC⊥SD，求二面角A﹣SB﹣C的余弦值．【分析】（Ⅰ）推导出BC∥DM，AB∥DC，从而四边形BCDM为平行四边形，由AB=2CD，得M为AB的中点．由此能求出λ．（Ⅱ）在平面SCD内过点S作SE⊥直线CD于点E，以点E为坐标原点，EA方向为x轴，EC方向为y轴，ES方向为z轴建立空间坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣SB﹣C的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵BC∥平面SDM，BC⊂平面ABCD，平面SDM∩平面ABCD=DM，∴BC∥DM，∵AB∥DC，∴四边形BCDM为平行四边形，又AB=2CD，∴M为AB的中点．∵=，∴λ=．解：（Ⅱ）∵BC⊥SD，BC⊥CD，∴BC⊥平面SCD，又∵BC⊂平面ABCD，∴平面SCD⊥平面ABCD，平面SCD∩平面ABCD=CD，在平面SCD内过点S作SE⊥直线CD于点E，则SE⊥平面ABCD，在Rt△SEA和Rt△SED中，∵SA=SD，∴AE===DE，又由题知∠EDA=45°，∴AE⊥ED，∴AE=ED=SE=1，以点E为坐标原点，EA方向为x轴，EC方向为y轴，ES方向为z轴建立如图所示空间坐标系，则E（0，0，0），S（0，0，1），A（1，0，0），B（1，2，0），C（0，2，0），=（1，0，﹣1），=（0，2，0），=（0，2，﹣1），=（1，0，0），设平面SAB的法向量=（x，y，z），则，令x=1，得=（1，0，1），同理得=（0，1，2）为平面SBC的一个法向量，cos＜＞==，∵二面角A﹣SB﹣C为钝角，∴二面角A﹣SB﹣C的余弦值为﹣．【点评】本题考查实数值的求法，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．19．（12.00分）小明在石家庄市某物流派送公司找到了一份派送员的工作，该公司给出了两种日薪薪酬方案．甲方案：底薪100元，每派送一单奖励1元；乙方案：底薪140元，每日前55单没有奖励，超过55单的部分每单奖励12元．（Ⅰ）请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪y（单位：元）与送货单数n的函数关系式；（Ⅱ）根据该公司所有派送员100天的派送记录，发现派送员的日平均派送单数满足以下条件：在这100天中的派送量指标满足如图所示的直方图，其中当某天的派送量指标在（n=1，2，3，4，5）时，日平均派送量为50+2n 单．若将频率视为概率，回答下列问题：①根据以上数据，设每名派送员的日薪为X（单位：元），试分别求出甲、乙两种方案的日薪X的分布列，数学期望及方差；②结合①中的数据，根据统计学的思想，帮助小明分析，他选择哪种薪酬方案比较合适，并说明你的理由．（参考数据：0.62=0.36，1.42=1.96，2.62=6.76，3.42=11.56，3.62=12.96，4.62=21.16，15.62=243.36，20.42=416.16，44.42=1971.36）【分析】（Ⅰ）甲方案：底薪100元，每派送一单奖励1元；乙方案：底薪140元，每日前55单没有奖励，超过55单的部分每单奖励12元．由此能分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪y（单位：元）与送货单数n的函数关系式；（Ⅱ）①由已知，在这100天中，该公司派送员日平均派送单数求出X甲的分布列和E（X甲）=155.4，=6.44，求出X乙的分布列和E（X乙）=155.6，S乙2=404.64，②答案一：E（X甲）＜E（X乙），但两者相差不大，且远小于，甲方案日工资收入波动相对较小，所以小明应选择甲方案．答案二：，E（X甲）＜E（X乙），即甲方案日工资期望小于乙方案日工资期望，所以小明应选择乙方案．【解答】解：（Ⅰ）甲方案中派送员日薪y（单位：元）与送单数n的函数关系式为：y=100+n，n∈N，乙方案中派送员日薪y（单位：元）与送单数n的函数关系式为：y=．（Ⅱ）①由已知，在这100天中，该公司派送员日平均派送单数满足如下表格：所以X甲的分布列为：所以E（X甲）=152×0.2+154×0.3+156×0.2+158×0.2+160×0.1=155.4，=0.2（152﹣155.4）2+0.3（154﹣155.4）2+0.2（156﹣155.4）2+0.2（158﹣155.4）2+0.1（160﹣155.4）2=6.44，所以X乙的分布列为：所以E（X乙）=140×0.5+152×0.2+176×0.2+200×0.1=155.6，S乙2=0.5（140﹣155.6）2+0.2（152﹣155.6）2+0.2（176﹣155.6）2+0.1（200﹣155.6）2=404.64．②答案一：由以上的计算可知，虽然E（X甲）＜E（X乙），但两者相差不大，且远小于，即甲方案日工资收入波动相对较小，所以小明应选择甲方案．答案二：由以上的计算结果可以看出，E（X甲）＜E（X乙），即甲方案日工资期望小于乙方案日工资期望，所以小明应选择乙方案．【点评】本题考查函数解析式的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，考查古典概型、统计表等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．20．（12.00分）已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，且离心率为，M为椭圆上任意一点，当∠F1MF2=90°时，△F1MF2的面积为1．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知点A是椭圆C上异于椭圆顶点的一点，延长直线AF1，AF2分别与椭圆交于点B，D，设直线BD的斜率为k1，直线OA的斜率为k2，求证：k1•k2为定值．【分析】（I）根据勾股定理和三角形面积公式列方程组求出a，b得出椭圆方程；（II）先计算有一条直线无斜率对应的斜率之积的值，再讨论一般情况，求出A，B，D三点坐标，化简斜率得出结论．【解答】解：（I）设|MF1|=m，则|MF2|=2a﹣m，∵∠F1MF2=90°，|F1F2|=2c，∴，解得a=，c=1，∴b=1．∴椭圆C的方程为+y2=1．（2）设A（x0，y0），B（x1，y1），D（x2，y2），当直线AF1的斜率不存在时，设A（﹣1，），则B（﹣1，﹣），直线AF2的方程为y=﹣（x﹣1），代入+y2=1可得5x2﹣2x﹣7=0，∴x2=，y2=﹣，即D（，﹣）．∴直线BD的斜率为k1==，直线OA的斜率为k2=﹣，∴k1•k2=﹣．当直线AF2的斜率不存在时，同理可得k1•k2=﹣．当直线AF1、AF2的斜率存在时，x0≠±1，直线AF1的方程为y=（x+1），则由，消去x可得：[（x0+1）2+2y02]x2+4y02x+2y02﹣2（x0+1）2=0，又+y02=1，则2y02=2﹣x02，代入上述方程可得（3+2x0）x2+2（2﹣x02）x﹣3x02﹣4x0=0，x1•x0=，∴x1=，∴y1=（﹣1）=﹣，直线AF2的方程为y=（x﹣1），同理可得：x2=，y2=，∴直线BD的斜率为k1===，又直线OA的斜率为k2=，∴k1k2=•===﹣．直线BD与OA的斜率之积为定值﹣，即k1k2=﹣．【点评】本题考查了椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．21．（12.00分）已知函数f（x）=（x+b）（e x﹣a），（b＞0），在（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为（e﹣1）x+ey+e﹣1=0．（Ⅰ）求a，b；（Ⅱ）若方程f（x）=m有两个实数根x1，x2，且x1＜x2，证明：．【分析】（Ⅰ）求得切点坐标，求出f（x）的导数，可得切线的斜率，即可得到所求a，b的值；（Ⅱ）求得f（0）=0，f（﹣1）=0，设出f（x）在（﹣1，0）处的切线方程为h （x）=k（x+1），求得k，令F（x）=f（x）﹣h（x），求得导数和单调性，求出h （x）=m的根，同理设y=f（x）在（0，0）处的切线方程为y=t（x），易得t（x）=x，求得t（x）=m的根，即可得证．【解答】解：（Ⅰ）在（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为（e﹣1）x+ey+e﹣1=0，可得f（﹣1）=0，即f（﹣1）=（﹣1+b）（e﹣1﹣a）=0，又函数f（x）=（x+b）（e x﹣a），（b＞0），可得导数为f′（x）=（x+b+1）e x﹣a，所以f′（﹣1）=﹣a=﹣1+，若a=，则b=2﹣e＜0，与b＞0矛盾，故a=b=1；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知f（x）=（x+1）（e x﹣1），f（0）=0，f（﹣1）=0，设f（x）在（﹣1，0）处的切线方程为h（x）=k（x+1），易得k=f′（﹣1）=﹣1，则h（x）=（﹣1）（x+1），令F（x）=f（x）﹣h（x），即F（x）=（x+1）（e x﹣1）﹣（﹣1）（x+1），F′（x）=（x+2）e x﹣，当x≤﹣2时，F′（x）=（x+2）e x﹣＜﹣＜0，当x＞﹣2时，设G（x）=F′（x）=（x+2）e x﹣，G′（x）=（x+3）e x＞0，故函数F′（x）在（﹣2，+∞）上单调递增，又F′（﹣1）=0，所以当x∈（﹣∞，﹣1）时，F′（x）＜0，当x∈（﹣1，+∞）时，F′（x）＞0，所以函数F（x）在区间（﹣∞，﹣1）上单调递减，在区间（﹣1，+∞）上单调递增，故F（x）≥F（﹣1）=0，f（x1）≥h（x1），设h（x）=m的根为x1′，则x1′=﹣1+，又函数h（x）单调递减，故h（x1′）=f（x1）≥h（x1），故x1′≤x1，设y=f（x）在（0，0）处的切线方程为y=t（x），易得t（x）=x，令T（x）=f（x）﹣t（x）=（x+1）（e x﹣1）﹣x，T′（x）=（x+2）e x﹣2，当x≤﹣2时，T′（x）=（x+2）e x﹣2＜﹣2＜0，当x＞﹣2时，设H（x）=T′（x）=（x+2）e x﹣2，H′（x）=（x+3）e x＞0，故函数T′（x）在（﹣2，+∞）上单调递增，又T′（0）=0，所以当x∈（﹣∞，0）时，T′（x）＜0，当x∈（0，+∞）时，T′（x）＞0，所以函数T（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减，在区间（0，+∞）上单调递增，T（x）≥T（0）=0，f（x2）≥t（x2），设t（x）=m的根为x2′，则x2′=m，又函数t（x）单调递增，故t（x2′）=f（x2）≥t（x2），故x2′≥x2，又x1′≤x1，则x2﹣x1≤x2′﹣x1′=m﹣（﹣1+）=1+．【点评】本题考查函数的导数的运用：求切线的斜率和单调性，考查不等式的证明，注意运用方程和函数的转化思想和构造函数法，考查分类讨论思想方法，以及运算能力，属于难题．（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，按本选考题的首题进行评分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分10分）22．（10.00分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（r＞0，φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，若直线l与曲线C相切；（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）在曲线C上取两点M，N与原点O构成△MON，且满足，求面积△MON的最大值．【分析】（Ⅰ）求出直线l的直角坐标方程为y=+2，曲线C是圆心为（，1），半径为r的圆，直线l与曲线C相切，求出r=2，曲线C的普通方程为（x﹣）2+（y﹣1）2=4，由此能求出曲线C的极坐标方程．（Ⅱ）设M（ρ1，θ），N（ρ2，），（ρ1＞0，ρ2＞0），由=2sin（2）+，由此能求出△MON面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵直线l的极坐标方程为，∴由题意可知直线l的直角坐标方程为y=+2，曲线C是圆心为（，1），半径为r的圆，直线l与曲线C相切，可得r==2，∵曲线C的参数方程为（r＞0，φ为参数），∴曲线C的普通方程为（x﹣）2+（y﹣1）2=4，所以曲线C的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣2ρsinθ=0，即．（Ⅱ）由（Ⅰ）不妨设M（ρ1，θ），N（ρ2，），（ρ1＞0，ρ2＞0），==4sin（）sin（）=2sinθcosθ+2=sin2θ+=2sin（2）+，当时，，所以△MON面积的最大值为2+．【点评】本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查三角形的面积的最大值的求法，考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．已知函数的定义域为R；（Ⅰ）求实数m的取值范围；（Ⅱ）设实数t为m的最大值，若实数a，b，c满足a2+b2+c2=t2，求的最小值．【分析】（Ⅰ）由定义域为R可得2|x﹣3|﹣|x|﹣m≥0恒成立，即m≤2|x﹣3|﹣|x|的最小值，运用分类讨论思想方法，以及一次函数的单调性，可得最小值，即可得到所求m的范围；（Ⅱ）可得a2+b2+c2=9，可令u=a2+1，v=b2+2，t=c2+3，运用三元均值不等式，即可得到所求最小值．【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为R，可得2|x﹣3|﹣|x|﹣m≥0恒成立，即m≤2|x﹣3|﹣|x|的最小值，由y=2|x﹣3|﹣|x|，当x＞3时，y=2x﹣6﹣x即y=x﹣6，可得y＞﹣3；当x＜0时，y=6﹣2x+x=6﹣x，可得y＞6；当0≤x≤3时，y=6﹣2x﹣x=6﹣3x，可得﹣3≤y≤6，则y≥﹣3，由x=3时，函数y取得最小值﹣3，则m≤﹣3，即m的取值范围是（﹣∞，﹣3]；（Ⅱ）a2+b2+c2=t2，即为a2+b2+c2=9，可令u=a2+1，v=b2+2，t=c2+3，可得u+v+t=15，则=（u+v+t）（++）≥•3•3=，当且仅当u=v=t=5，即a2=4，b2=3，c2=2时，取得最小值．【点评】本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用参数分离和分类讨论思想方法，以及一次函数的单调性，考查三元均值不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于中档题．。
2018届4月河北省石家庄市高三第一次模拟考试理科数学
河北省石家庄2018届高三一模数学理试题数学理科答案一、选择题 A 卷答案1-5 DCBCC 6-10 ADADD 11-12 AD B 卷答案1-5 DBCBB 6-10 ADADD 11-12 AD 二、填空题13 . 4310x y -+=或2x = 14 . 4515 . 24 16 . []1,2三、解答题:(阅卷老师,可根据学生的答题情况,酌情给分) 17.解：第一步：在AEF ∆中，利用正弦定理，sin sin(180)AE EFβαβ︒=--， 解得sin sin()a AE βαβ=+；……………4分第二步：在CEF ∆中，同理可得sin sin()a CE ϕθϕ=+； (8)分第三步：在ACE ∆中，利用余弦定理，AC=…………12分 （代入角的测量值即可，不要求整理，但如果学生没有代入，扣2分）18．解：（Ⅰ）由男生上网时间频数分布表可知100名男生中，上网时间少于60分钟的有60人，不少于60分钟的有40人，………………2分故从其中任选3人，恰有1人上网的时间少于60分钟的概率为1260403100C C C ……………4分156539=………………6分（Ⅱ）22200(18002800)200 2.201001001307091K ⨯-==≈⨯⨯⨯， (10)分∵2 2.20 2.706K ≈<∴没有90％的把握认为“大学生上网时间与性别有关”.………………12分19. 解：（Ⅰ）依题意Rt ABC RtADC ∆≅∆，BAC DAC ∠=∠，ABO ADO ∆≅∆，所以AC BD⊥，……2分而PA ⊥面ABCD ，PA BD ⊥，又PA AC A =，∴BD ⊥面PAC ， 又BD ⊂面PBD ，∴平面PAC ⊥平面PBD …………4分 （Ⅱ） 过A 作AD 的垂线为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立如图所示坐标系，则 1,0)2B -，(0,1,0)D ，0)C ,设(0,0,)P λ，所以1,)63Gλ， 31(,)2PB λ=--， 由AG PB ⊥，得311(,),)066322AGPB λλ⋅=⋅--= 解得212λ=，λ=.………………6分∴P点的坐标为(0,； 面PBD的一个法向量为6(3,1AG ==m ，……………8分设面PCD 的一个法向量为(,,)x y z =n，(CD =，(0,1,PD = 00PD CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即00z -==⎪⎩，∴(0,1=n ………………10分cos ,||||⋅<>===n m n m n m ，所以二面角B PD A --．……………12分20. 解：（Ⅰ）由椭圆的定义知1212||||||||AF AF BF BF +=+，又22||||AF BF =，B∴11||||AF BF =，即12F F 为边AB 上的中线， ∴12F F AB ⊥,……………………2分在12Rt AF F △中，2cos30,43ca︒=则c a=，…………………4分（注：若学生只写椭圆的离，没有过程扣3分）（Ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y因为0e <<1c =，所以a >…………6分①当直线AB x 与轴垂直时，22211y a b +=，422b y a=，4121221b OA OB x x y y a ⋅=+=-,42231a a a -+-=22235()24a a --+， 因为2532+>a ，所以0OA OB ⋅<， AOB ∴∠恒为钝角，∴222OA OB AB +<.………………………8分②当直线AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程为：(1)y k x =+，代入22221x y a b +=， 整理得：2222222222()20b a k x k a x a k a b +++-=，22122222a k x x b a k -+=+，222212222a k a b x x b a k-=+1212OA OB x x y y ⋅=+212121212(1)(1)x x y y x x k x x +=+++ 2221212(1)()x x k k x x k =++++22222242222222()(1)2()a k ab k a k k b a k b a k -+-++=+ 2222222222()k a b a b a b b a k +--=+ 24222222(31)k a a a b b a k-+--=+………………10分令42()31m a a a =-+-， 由 ①可知 ()0m a <，AOB ∴∠恒为钝角.，所以恒有222OA OB AB +<．………………12分21. 解：（Ⅰ）0122)(2/≥+++=x ax x x f 在区间),1[+∞上恒成立， 即x x a 222--≥区间),1[+∞上恒成立， …………………1分4-≥a .………………3分经检验， 当a ＝- 4时， 1)1)(2(21422)(2/+-+=+-+=x x x x x x x f ，),1[+∞∈x 时，0)(/>x f ，所以满足题意的a 的取值范围为[4,)-+∞.………………4分（Ⅱ）函数的定义域),1(+∞-，0122)(2/=+++=x ax x x f ，依题意方程0222=++a x x 在区间),1(+∞-有两个不等的实根，记a x x x g ++=22)(2，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧->->->∆1210)1(0g ，得210<<a .……………………6分,121-=+x x 022222=++a x x ，221212a x -+-=，0212<<-x ， 2222222121)1ln()22()(x x x x x x x f --++-=，令)0,21(,1)1ln()22()(22-∈--++-=x x x x x x x k ……………………8分)1ln(21)(2+++-=x x x x x k ，)1ln(2)1()(22/+++=x x x x k ， 32//)1(262)(+++=x x x x k , 因为2)0(,1)1(////=-=-k k ，存在)0,1(0-∈x ，使得0)(0//=x k ，0)0(/=k ，02ln 21)2(/<-=-k ，0)(/<∴x k ，所以函数)(x k 在)0,2(-为减函数，…………………10分)21()()0(-<<k x k k 即2ln 21)(012+-<<x x f ……………………12分法二:6分段后面还有如下证法，可以参照酌情给分.【证法2】2x 为方程2220xx a ++=的解，所以22222x x a--=,∵102a <<， 120x x <<，212x =-，∴2102x -<<,先证21()0f x x >，即证2()0f x <（120x x <<）, 在区间12(,)x x 内，()0f x '<，2(,0)x 内()0f x '>，所以2()f x 为极小值，2()(0)0f x f <=,即2()0f x <，∴21()0f x x >成立；…………………8分再证21()1ln 22f x x <-+，即证22211()(ln 2)(1)(ln 2)(1)22f x x x >-+--=-+, 222222211(22)ln(1)(ln 2)ln 222x x x x x -++-->-,令221()(22)ln(1)(ln 2)2g x x x x x x =-++--， 1(,0)2x ∈-…………………10分2(1)1()2(42)ln(1)(ln 2)12x x g x x x x x +'=-++---+, 12(21)ln(1)(ln 2)2x x =-++--,ln(1)0x +<，210x +>，1ln 202-<, ∴()0g x '>，()g x 在1(,0)2-为增函数．111111()()(21)ln (ln 2)244222g x g >-=-⨯-+-111111ln ln 2ln 2422422=++-=-． 综上可得21()10ln 22f x x <<-+成立． (12)分22.证明:（Ⅰ）∵∠BAD ＝∠BMF ， 所以A,Q,M,B 四点共圆，……………3分 所以PA PB PM PQ ⋅=⋅.………………5分 (Ⅱ)∵PA PB PC PD ⋅=⋅,∴PC PD PM PQ ⋅=⋅ ，又 CPQ MPD ∠=∠ , 所以~CPQ MPD ∆∆，……………7分 ∴PMD PCQ ∠=∠ ,则DCB FMD ∠=∠,………………8分 ∵BAD BCD ∠=∠，∴2BMD BMF DMF BAD ∠=∠+∠=∠,2BOD BAD ∠=∠,所以BMD BOD ∠=∠.…………………10分23.解：(Ⅰ)依题意22sin cos ρθρθ=………………3分 得：x y =2∴曲线1C 直角坐标方程为：x y =2.…………………5分(Ⅱ)把⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=t y t x 22222代入x y =2整理得： 0422=-+t t ………………7分0>∆总成立，221-=+t t ，421-=t t23)4(4)2(221=-⨯--=-=t t AB ………………10分另解：(Ⅱ)直线l 的直角坐标方程为x y -=2，把x y -=2代入x y =2得：0452=+-x x ………………7分0>∆总成立，521=+x x ，421=x x23)445(212212=⨯-=-+=x x k AB …………………10分24. 解：(Ⅰ)⎩⎨⎧>-+-≥32222x x x 解得37>x ⎩⎨⎧>-+-<<322221x x x 解得φ∈x ⎩⎨⎧>-+-≤32221x x x 解得13x <…………………3分 不等式的解集为17(,)(,)33-∞+∞………………5分(Ⅱ)时，2>a ⎪⎩⎪⎨⎧≥--<<-+-≤++-=a x a x a x a x x a x x f ,2232,222,223)(； 时，2=a 36,2()36,2x x f x x x -+≤⎧=⎨->⎩； 时，2<a ⎪⎩⎪⎨⎧≥--<<+-≤++-=2,2232,22,223)(x a x x a a x a x a x x f ； ∴)(x f 的最小值为)()2(a f f 或；………………8分 则⎩⎨⎧≥≥1)2(1)(f a f ，解得1≤a 或3≥a .………………10分。