圆锥曲线例题5
(完整版)圆锥曲线的综合经典例题(含答案解析)
经典例题精析类型一：求曲线的标准方程1. 求中心在原点,一个焦点为且被直线截得的弦AB的中点横坐标为的椭圆标准方程.思路点拨：先确定椭圆标准方程的焦点的位置（定位），选择相应的标准方程，再利用待定系数法确定、（定量）.解析：方法一：因为有焦点为，所以设椭圆方程为，,由，消去得，所以解得故椭圆标准方程为方法二：设椭圆方程,,,因为弦AB中点,所以，由得,（点差法）所以又故椭圆标准方程为.举一反三：【变式】已知椭圆在x轴上的一个焦点与短轴两端点连线互相垂直，且该焦点与长轴上较近的端点的距离为.求该椭圆的标准方程.【答案】依题意设椭圆标准方程为()，并有，解之得，,∴椭圆标准方程为2．根据下列条件，求双曲线的标准方程.（1）与双曲线有共同的渐近线，且过点；（2）与双曲线有公共焦点，且过点解析：（1）解法一：设双曲线的方程为由题意，得，解得，所以双曲线的方程为解法二：设所求双曲线方程为（），将点代入得，所以双曲线方程为即（2）解法一：设双曲线方程为－=1由题意易求又双曲线过点，∴又∵，∴，故所求双曲线的方程为.解法二：设双曲线方程为，将点代入得，所以双曲线方程为.总结升华：先根据已知条件确定双曲线标准方程的焦点的位置（定位），选择相应的标准方程，再利用待定系数法确定、.在第（1）小题中首先设出共渐近线的双曲线系方程.然后代点坐标求得方法简便.第（2）小题实轴、虚轴没有唯一给出.故应答两个标准方程.(1)求双曲线的方程，关键是求、，在解题过程中应熟悉各元素（、、、及准线）之间的关系，并注意方程思想的应用.(2)若已知双曲线的渐近线方程，可设双曲线方程为（）.举一反三：【变式】求中心在原点，对称轴在坐标轴上且分别满足下列条件的双曲线的标准方程.（1）一渐近线方程为，且双曲线过点.（2）虚轴长与实轴长的比为，焦距为10.【答案】（1）依题意知双曲线两渐近线的方程是,故设双曲线方程为，∵点在双曲线上，∴，解得，∴所求双曲线方程为.（2）由已知设, ,则()依题意，解得.∴双曲线方程为或.3．求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：（1）过点；（2）焦点在直线：上思路点拨：从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数；从实际分析，一般需结合图形确定开口方向和一次项系数两个条件，否则，应展开相应的讨论解析：（1）∵点在第二象限，∴抛物线开口方向上或者向左当抛物线开口方向左时，设所求的抛物线方程为（），∵过点，∴，∴，∴，当抛物线开口方向上时，设所求的抛物线方程为（），∵过点，∴，∴，∴，∴所求的抛物线的方程为或，对应的准线方程分别是，.（2）令得，令得，∴抛物线的焦点为或当焦点为时，，∴，此时抛物线方程；焦点为时，，∴，此时抛物线方程为∴所求的抛物线的方程为或，对应的准线方程分别是，.总结升华：这里易犯的错误就是缺少对开口方向的讨论，先入为主，设定一种形式的标准方程后求解，以致失去一解.求抛物线的标准方程关键是根据图象确定抛物线开口方向，选择适当的方程形式，准确求出焦参数P.举一反三：【变式1】分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.（1）焦点为F(4,0)；（2）准线为；（3）焦点到原点的距离为1；（4）过点（1，－2）；（5）焦点在直线x-3y+6=0上.【答案】（1）所求抛物线的方程为y2=16x；（2）所求抛物线的标准方程为x2=2y；（3）所求抛物线的方程y2=±4x或x2=±4y；（4）所求抛物线的方程为或；（5）所求抛物线的标准方程为y2=－24x或x2=8y.【变式2】已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴负半轴上，过顶点且倾角为的弦长为，求抛物线的方程.【答案】设抛物线方程为()，又弦所在直线方程为由，解得两交点坐标,∴，解得.∴抛物线方程为.类型二：圆锥曲线的焦点三角形4．已知、是椭圆（）的两焦点，P是椭圆上一点，且，求的面积.思路点拨：如图求的面积应利用，即.关键是求.由椭圆第一定义有,由余弦定理有，易求之.解析：设,,依题意有(1)2-(2)得，即.∴.举一反三：【变式1】设为双曲线上的一点，是该双曲线的两个焦点，若，则的面积为（）A．B．C．D．【答案】依据双曲线的定义有，由得、，又，则，即，所以，故选A.【变式2】已知双曲线实轴长6，过左焦点的弦交左半支于、两点，且，设右焦点，求的周长.【答案】：由双曲线的定义有: ，，两式左、右分别相加得(.即∴.故的周长.【变式3】已知椭圆的焦点是,直线是椭圆的一条准线.①求椭圆的方程；②设点P在椭圆上,且,求.【答案】① .②设则，又.【变式4】已知双曲线的方程是.（1）求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；（2）设和是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且，求的大小【答案】（1）由得，∴，，.焦点、，离心率，渐近线方程为.（2），∴∴【变式5】中心在原点，焦点在x轴上的一个椭圆与双曲线有共同焦点和，且，又椭圆长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比.（1）求椭圆与双曲线的方程；（2）若为这两曲线的一个交点，求的余弦值.【答案】（1）设椭圆方程为()，双曲线方程，则，解得∵,∴, .故所求椭圆方程为，双曲线方程为.（2）由对称性不妨设交点在第一象限.设、.由椭圆、双曲线的定义有:解得由余弦定理有.类型三：离心率5．已知椭圆上的点和左焦点，椭圆的右顶点和上顶点，当，（O为椭圆中心）时，求椭圆的离心率.思路点拨：因为，所以本题应建立、的齐次方程，使问题得以解决.解析：设椭圆方程为（），，，则，即.∵，∴，即，∴.又∵，∴.总结升华：求椭圆的离心率，即求的比值，则可由如下方法求.（1）可直接求出、；（2）在不好直接求出、的情况下，找到一个关于、的齐次等式或、用同一个量表示；（3）若求的取值范围，则想办法找不等关系.举一反三：【变式1】如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】连接，则是直角三角形，且，令，则，，即，，所以，故选D.【变式2】已知椭圆（）与x轴正半轴交于A点，与y轴正半轴交于B点，F点是左焦点，且，求椭圆的离心率.法一：,,∵, ∴,又,，代入上式，得，利用代入，消得,即由，解得,∵,∴.法二：在ΔABF中，∵，，∴，即下略）【变式3】如图，椭圆的中心在原点, 焦点在x轴上, 过其右焦点F作斜率为1的直线, 交椭圆于A、B两点, 若椭圆上存在一点C, 使. 求椭圆的离心率.【答案】设椭圆的方程为（），焦距为,则直线l的方程为:,由，消去得,设点、,则∵＋, ∴C点坐标为.∵C点在椭圆上,∴.∴∴又∴∴【变式4】设、为椭圆的两个焦点，点是以为直径的圆与椭圆的交点，若，则椭圆离心率为_____.【答案】如图，点满足，且.在中，有：∵，∴,令此椭圆方程为则由椭圆的定义有,,∴又∵，∴，，∴∴，∴，即.6．已知、为椭圆的两个焦点，为此椭圆上一点，且.求此椭圆离心率的取值范围；解析：如图，令, ,,则在中，由正弦定理，∴，令此椭圆方程为(),则,,∴即（），∴, ∴,∵,且为三角形内角，∴，∴,∴, ∴.即此椭圆离心率的取值范围为.举一反三：【变式1】已知椭圆，F1，F2是两个焦点，若椭圆上存在一点P，使，求其离心率的取值范围.【答案】△F1PF2中，已知，|F1F2|=2c，|PF1|+|PF2|=2a，由余弦定理：4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos120°①又|PF1|+|PF2|=2a ②联立①②得4c2=4a2-|PF1||PF2|，∴【变式2】椭圆的焦点为，，两条准线与轴的交点分别为，若，则该椭圆离心率的取值范围是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．【答案】由得，即，解得，故离心率.所以选D.【变式3】椭圆中心在坐标系原点，焦点在x轴上，过椭圆左焦点F的直线交椭圆P、Q两点，且OP⊥OQ，求其离心率e的取值范围．【答案】e∈[,1)【变式4】双曲线(a＞1,b＞0)的焦距为2c,直线过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线的距离与点(-1,0)到直线的距离之和s≥c．求双曲线的离心率e的取值范围．【答案】直线的方程为bx+ay-ab=0．由点到直线的距离公式,且a＞1,得到点(1,0)到直线的距离．同理得到点(-1,0)到直线的距离．=．由s≥c,得≥c,即5a≥2c2．于是得5≥2e2．即4e4-25e2+25≤0．解不等式,得≤e2≤5．由于e＞1,所以e的取值范围是．类型五：轨迹方程7．已知中，,,为动点，若、边上两中线长的和为定值15.求动点的轨迹方程.思路点拨：充分利用定义直接写出方程是求轨迹的直接法之一.应给以重视解法一：设动点,且,则、边上两中点、的坐标分别为,.∵,∴,即.从上式知，动点到两定点,的距离之和为常数30，故动点的轨迹是以,为焦点且,,的椭圆，挖去点.∴动点的轨迹方程是().解法二：设的重心，,动点,且，则.∴点的轨迹是以,为焦点的椭圆（挖去点），且,,.其方程为().又, 代入上式，得()为所求.总结升华：求动点的轨迹，首先要分析形成轨迹的点和已知条件的内在联系，选择最便于反映这种联系的坐标形式，建立等式，利用直接法或间接法得到轨迹方程.举一反三：【变式1】求过定点且和圆:相切的动圆圆心的轨迹方程.【答案】设动圆圆心, 动圆半径为,.（1）动圆与圆外切时，，（2）动圆与圆内切时，，由（1）、（2）有.∴动圆圆心M的轨迹是以、为焦点的双曲线，且,,.故动圆圆心的轨迹方程为.【变式3】已知圆的圆心为M1，圆的圆心为M2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P的轨迹方程.【答案】设动圆圆心P（x，y），动圆的半径为R，由两圆外切的条件可得：，.∴.∴动圆圆心P的轨迹是以M1、M2为焦点的双曲线的右支，其中c=4，a=2，∴b2=12，故所求轨迹方程为.【变式4】若动圆与圆:相外切，且与直线:相切，求动圆圆心的轨迹方程.法一：设,动圆半径，动圆与直线切于点，点.依题意点在直线的左侧，故∵,∴.化简得, 即为所求.法二：设,作直线：.过作于，交于，依题意有, ∴,由抛物线定义可知，点的轨迹是以为顶点，为焦点，：为准线的抛物线.故为所求.。
圆锥曲线_经典例题
（1）中点弦问题：（上题麻烦了。
是圆不用中点法）（2）轨迹以及弦长最大问题。
（3）利用通径最断解题（4）利用第二定义求离心率?我在楼上说的方法不很好，有焦点弦和准线了，当然要想第二定义过P做PD垂直准线于D,那么可得,PF/PD=e,PD/PM=1/2所以PF/e=1/2PM,又PF/PM=sin60/sin45=根3/根2,所以最终可得离心率为根6 ?????????和楼上算的怎么不一样?（5）抛物线的一证明，过抛物线焦点F 的直线交抛物线于A,B 两点,通过点A 和抛物线的顶点的直线与抛物线的准线交于点D,求证:直线DB 平行于抛物线的对称轴.我没搞懂为什么必须用平几？为什么学解析几何，就是想把我们从烦琐的平几中解放出来，前人开创这个来干吗的呀？建系我就不说了，看图加解答。
令22y px=，1122(,),(,)A x y B x y ，:()2p A B y k x =-连立两方程消x 可得212y y p =-，其实这是一个结论又令0(,)2p D y -，则01101122y y y p y p x x =⇒=--，又2112y x p=，则有2021p y y y -==。
完（6）抛物线（7）很好的一题，圆锥曲线都实用这题的问题不在思路上，而是在计算上。
看我的。
这题做了你们可以自己再去做下05江西文21题。
练练。
第一问我不想说了就是重新高考的思路，算出椭圆方程为22340x y +-=（为哈要弄成这样？因为一般式对于一会直线联立不容易出错，我的习惯）开动了。
分析下意思，就是直线CP 与直线CQ 要关于C 点对称才行。
所以这题思路，令出两直线方程，都过C 点，斜率相反数，解出两点坐标，算出斜率为定。
解：若斜率不存在，CP ，CQ 重合，故两直线都有斜率，令:(1)11C P y k x kx k =-+=-+。
:(1)11C Q y k x kx k =--+=-++由222221(13)6(1)3610340y kx k k x k k x k k x y =-+⎧⇒+--+--=⎨+-=⎩，从这里就要解出P x 来。
圆锥曲线经典例题及总结(全面实用,你值得拥有)(K12教育文档)
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圆锥曲线 1。
圆锥曲线的两定义：第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1,F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a一定要小于｜F 1F 2|,定义中的“绝对值"与2a ＜|F 1F 2｜不可忽视。
若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线,若2a ﹥|F 1F 2｜，则轨迹不存在。
若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程):(1)椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>），焦点在y 轴上时2222bx a y +＝1(0a b >>）。
方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？(ABC ≠0，且A,B ，C 同号，A ≠B)。
(2）双曲线：焦点在x 轴上:2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：2222bx a y -＝1（0,0a b >>）。
圆锥曲线求最值方法总结及典型例题
圆锥曲线最值问题—5大方面最值问题是圆锥曲线中的典型问题，它是教学的重点也是历年高考的热点。
解决这类问题不仅要紧紧把握圆锥曲线的定义，而且要善于综合应用代数、平几、三角等相关知识。
以下从五个方面予以阐述。
一．求距离的最值例1.设AB 为抛物线y=x 2的一条弦，若AB=4，则AB 的中点M 到直线y+1=0的最短距离为 ， 解析：抛物线y=x 2的焦点为F （0 ，41），准线为y=41-，过A 、B 、M 准线y=41-的垂线，垂足分别是A 1、B 1、M 1， 则所求的距离d=MM 1+43=21(AA 1+BB 1) +43=21(AF+BF) +43≥21AB+43=21×4+43=411, 当且仅当弦AB 过焦点F 时，d 取最小值411， 评注：灵活运用抛物线的定义和性质，结合平面几何的相关知识，使解题简洁明快，得心应手。
二．求角的最值例2．M ，N 分别是椭圆12422=+y x 的左、右焦点，l 是椭圆的一条准线，点P 在l 上，则∠MPN 的最大值是 .解析：不妨设l 为椭圆的右准线，其方程是22=x ，点)0)(,22(00>y y P ，直线PM 和PN 倾斜角分别为βα和.∵)0,2(),0,2(N M -∴,232220tan 00y y k PM =+-==α22220tan 00y y k PN =--==β于是)tan(tan αβ-=∠MPN 2321232tan tan 1tan tan 0000y y y y ⋅+-=+-=αβαβ 33622262262200200=≤+=+=y y y y ∵)2,0[π∈∠MPN ∴6π≤∠MPN 即∠MPN 的最大值为6π. 评注：审题时要注意把握∠MPN 与PM 和PN 的倾斜角之间的内在联系.三、求几何特征量代数和的最值例3.点M 和F 分别是椭圆192522=+y x 上的动点和右焦点，定点B(2,2).⑴求|MF|+|MB|的最小值. ⑵求45|MF|+|MB|的最小值. 解析：易知椭圆右焦点为F(4,0)，左焦点F ′(-4,0)，离心率e=54，准线方程x=±425. ⑴|MF| + |MB| = 10―|MF ′ | + |MB| =10―（|MF ′|―|MB|）≥10―|F ′B|=10―210.故当M ，B ，F ′三点共线时，|MF|+|MB|取最小值10―210.⑵过动点M 作右准线x=425的垂线，垂足为H ， 则54||||==e MH MF ⇒||54|H |MF M =. 于是45|MF|+|MB|=|MH|+|MB|≥|HB|=417. 可见，当且仅当点B 、M 、H 共线时，45|MF|+|MB|取最小值417. 评注：从椭圆的定义出发，将问题转化为平几中的问题，利用三角形三边所满足的基本关系，是解决此类问题的常见思路。
圆锥曲线的基础训练题
圆锥曲线典型例题一．求标准方程1．讨论192522=−+−ky k x 表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征．2．求适合条件的椭圆的标准方程:（1）长轴长是短轴长的2倍，且过点()62−，；（2）在x 轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直，且焦距为6．3．根据下列条件，求双曲线的标准方程．（1）过点⎟⎠⎞⎜⎝⎛4153，P ，⎟⎠⎞⎜⎝⎛−5316，Q 且焦点在坐标轴上．（2）6=c ，经过点（－5，2），焦点在x 轴上．（3）与双曲线141622=−y x 有相同焦点，且经过点()223，(4)过点)2,3(−P ，离心率25=e ．（5）1F 、2F 是双曲线的左、右焦点，P 是双曲线上一点，且°=∠6021PF F ，31221=∆F PF S ，离心率为2．（6）双曲线的渐近线方程为023=±y x ，两条准线间的距离为131316。
4．（1）求与双曲线191622=−y x 共渐近线且过()332−，A 点的双曲线方程及离心率．（2）求以曲线0104222=−−+x y x 和222−=x y 的交点与原点的连线为渐近线，且实轴长为12的双曲线的标准方程．（3）中心在原点，一个焦点为()01，F 的双曲线，其实轴长与虚轴长之比为m ，求双曲线标准方程．二．求离心率说明：求离心率问题，通常有两种处理方法，一是求a ，求c ，再求比．二是列含a 和c 的齐次方程，再化含e 的方程，解方程即可．1．一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率．2．已知椭圆19822=++y k x 的离心率21=e ，求k 的值．3．已知双曲线的渐近线方程是043=+y x ，043=−y x ，求双曲线的离心率．4．设双曲线12222=−by a x )0(b a <<的半焦距为c ，直线l 过)0,(a 、),0(b 两点，且原点到直线l 的距离为c 43，求双曲线的离心率．三．求值问题1．已知双曲线116922=−y x 的右焦点分别为1F 、2F ，点P 在双曲线上的左支上且3221=PF PF ，求21PF F ∠．2．已知1F 、2F 是双曲线1422=−y x 的两个焦点，点P 在双曲线上且满足�9021=∠PF F ，求21PF F ∆的面积．3．若椭圆122=+n y m x )0(>>n m 和双曲线122=−ty s x )0,(>t s 有相同的焦点1F 和2F ，而P 是这两条曲线的一个交点，则21PF PF ⋅的值是．4．过抛物线()022>=p px y 的焦点作倾斜角为的直线，设交抛物线于A 、B 两点，求AB 。
圆锥曲线的七种常考题型详解【高考必备】
圆锥曲线的七种常考题型详解【高考必备】圆锥曲线的七种常见题型题型一：定义的应用圆锥曲线的定义包括椭圆、双曲线和抛物线。
在定义的应用中，可以寻找符合条件的等量关系，进行等价转换和数形结合。
适用条件需要注意。
例1：动圆M与圆C1：(x+1)+y=36内切，与圆C2：(x-1)+y=4外切，求圆心M的轨迹方程。
例2：方程表示的曲线是什么？题型二：圆锥曲线焦点位置的判断在判断圆锥曲线焦点位置时，需要将方程化成标准方程，然后判断。
对于椭圆，焦点在分母大的坐标轴上；对于双曲线，焦点在系数为正的坐标轴上；对于抛物线，焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。
例1：已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是什么？例2：当k为何值时，方程是椭圆或双曲线？题型三：圆锥曲线焦点三角形问题在圆锥曲线中，可以利用定义和正弦、余弦定理求解焦点三角形问题。
PF，PF2=n，m+n，m-n，mn，m+n四者的关系在圆锥曲线中有应用。
例1：椭圆上一点P与两个焦点F1，F2的张角为α，求△F1PF2的面积。
例2：已知双曲线的离心率为2，F1、F2是左右焦点，P 为双曲线上一点，且∠F1PF2=60，求该双曲线的标准方程。
题型四：圆锥曲线中离心率、渐近线的求法在圆锥曲线中，可以利用a、b、c三者的相等或不等关系式，求解离心率和渐近线的值、最值或范围。
在解题时需要注重数形结合思想和不等式解法。
例1：已知F1、F2是双曲线的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是多少？例2：双曲线的两个焦点为F1、F2，渐近线的斜率为±1/2，求双曲线的标准方程。
题型五：圆锥曲线的参数方程在圆锥曲线的参数方程中，需要注意参数的取值范围，可以通过消元或代数运算求解。
例1：求椭圆x^2/4+y^2/9=1的参数方程。
例2：求双曲线x^2/9-y^2/4=1的参数方程。
题型六：圆锥曲线的对称性圆锥曲线具有对称性，可以通过对称性求解问题。
圆锥曲线大题20道(含答案)
1.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为（2，0），右顶点为)0,3( （1）求双曲线C 的方程； （2）若直线2:+=kx y l 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2>⋅OB OA （其中O 为原点）. 求k 的取值范围.解：（Ⅰ）设双曲线方程为12222=-by a x ).0,0(>>b a由已知得.1,2,2,32222==+==b b ac a 得再由故双曲线C 的方程为.1322=-y x （Ⅱ）将得代入13222=-+=y x kx y .0926)31(22=---kx x k 由直线l 与双曲线交于不同的两点得⎪⎩⎪⎨⎧>-=-+=∆≠-.0)1(36)31(36)26(,0312222k k k k即.13122<≠k k 且 ① 设),(),,(B B A A y x B y x A ，则 ,22,319,312622>+>⋅--=-=+B A B A B A B A y y x x OB OA kx x k k x x 得由 而2)(2)1()2)(2(2++++=+++=+B A B A B A B A B A B A x x k x x k kx kx x x y y x x.1373231262319)1(22222-+=+-+--+=k k k k k k k于是解此不等式得即,01393,213732222>-+->-+k k k k .3312<<k ② 由①、②得 .1312<<k故k 的取值范围为).1,33()33,1(⋃-- 2..已知椭圆C ：22a x ＋22by ＝1（a ＞b ＞0）的左．右焦点为F 1、F 2，离心率为e. 直线l ：y ＝e x ＋a 与x 轴．y 轴分别交于点A 、B ，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，P 是点F 1关于直线l 的对称点，设AM ＝λAB .（Ⅰ）证明：λ＝1－e 2；（Ⅱ）确定λ的值，使得△PF 1F 2是等腰三角形.（Ⅰ）证法一：因为A 、B 分别是直线l ：a ex y +=与x 轴、y 轴的交点，所以A 、B 的坐标分别是2222222.,,1,).,0(),0,(b a c c b y c x b y ax a ex y a e a +=⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎪⎩⎪⎨⎧=++=-这里得由. 所以点M 的坐标是（a b c 2,-）. 由).,(),(2a eaa b e a c AB AM λλ=+-=得即221e a ab e ac e a-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-λλλ解得证法二：因为A 、B 分别是直线l ：a ex y +=与x 轴、y 轴的交点，所以A 、B 的坐标分别是).,0(),0,(a ea-设M 的坐标是00(,),x y00(,)(,),a aAM AB x y a e eλλ=+=由得所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=.)1(00a y ea x λλ 因为点M 在椭圆上，所以 ,122220=+by a x即.11)1(,1)()]1([22222222=-+-=+-e e b a a e aλλλλ所以,0)1()1(2224=-+--λλe e解得.1122e e -=-=λλ即（Ⅱ）解法一：因为PF 1⊥l ，所以∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角，要使△PF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|=|F 1F 2|，即.||211c PF = 设点F 1到l 的距离为d ，由,1|1|0)(|||21221c eec e a c e d PF =+=+++-==得.1122e ee =+-所以.321,3122=-==e e λ于是 即当,32时=λ△PF 1F 2为等腰三角形. 解法二：因为PF 1⊥l ，所以∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角，要使△PF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|=|F 1F 2|， 设点P 的坐标是),(00y x ，则0000010.22y x ce y x c e a -⎧=-⎪+⎪⎨+-⎪=+⎪⎩，2022023,12(1).1e x c e e a y e ⎧-=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩解得由|PF 1|=|F 1F 2|得,4]1)1(2[]1)3([2222222c e a e c e c e =+-+++- 两边同时除以4a 2，化简得.1)1(2222e e e =+- 从而.312=e 于是32112=-=e λ 即当32=λ时，△PF 1F 2为等腰三角形.[来源:Z,xx,]3.设R y x ∈,，j i、为直角坐标平面内x 轴、y 轴正方向上的单位向量，若j y i x b j y i x a )3( ,)3(-+=++=，且4=+b a.（Ⅰ）求点),(y x P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）若A 、B 为轨迹C 上的两点，满足MB AM =，其中M （0，3），求线段AB 的长.[来源学+科+网][启思]4.已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OB OA +与)1,3(-=a 共线. （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设M 为椭圆上任意一点，且),( R OB OA OM ∈+=μλμλ，证明22μλ+为定值. 解：本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性质等基本知识，考查综合运用数学知识解决问题及推理的能力. 满分12分.（1）解：设椭圆方程为)0,(),0(12222c F b a by a x >>=+则直线AB 的方程为c x y -=，代入12222=+b y a x ，化简得02)(22222222=-+-+b a c a cx a x b a .令A （11,y x ），B 22,(y x ），则.,22222222122221b a b a c a x x b a c a x x +-=+=+ 由y y x x +-=++=+),1,3(),,(2121与共线，得,0)()(32121=+++x x y y 又c x y c x y -=-=2211,，.23,0)()2(3212121c x x x x c x x =+∴=++-+∴ 即232222cba c a =+，所以36.32222a b a c b a =-=∴=， 故离心率.36==a c e （II ）证明：（1）知223b a =，所以椭圆12222=+by a x 可化为.33222b y x =+设),(y x OM =，由已知得),,(),(),(2211y x y x y x μλ+=⎩⎨⎧+=+=∴.,2121x x y x x x μλμλ ),(y x M 在椭圆上，.3)(3)(2221221b y y x x =+++∴μλμλ 即.3)3(2)3()3(221212222221212b y y x x y x y x =+++++λμμλ① 由（1）知.21,23,23222221c b c a c x x ===+ [变式新题型3]抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，准线l 与x 轴相交于点A(–1，0)，过点A 的直线与抛物线相交于P 、Q 两点.（1）求抛物线的方程；（2）若FP •=0，求直线PQ 的方程；（3）设AP =λAQ （λ>1），点P 关于x 轴的对称点为M ，证明：FM =-λFQ ..6.已知在平面直角坐标系xoy 中，向量32),1,0(的面积为OFP ∆=，且3,3OF FP t OM OP j ⋅==+ .（I ）设443,t OF FP θ<<求向量与 的夹角的取值范围；（II ）设以原点O 为中心，对称轴在坐标轴上，以F 为右焦点的椭圆经过点M ，且||,)13(,||2OP c t c OF 当-==取最小值时，求椭圆的方程.7.已知(0,2)M -，点A 在x 轴上，点B 在y 轴的正半轴，点P 在直线AB 上，且满足，AP PB =-，0MA AP ⋅=. （Ⅰ）当点A 在x 轴上移动时，求动点P 的轨迹C 方程；（Ⅱ）过(2,0)-的直线l 与轨迹C 交于E 、F 两点，又过E 、F 作轨迹C 的切线1l 、2l ，当12l l ⊥，求直线l 的方程.8. 已知点C 为圆8)1(22=++y x 的圆心，点A （1，0），P 是圆上的动点，点Q 在圆的半径CP 上，且.2,0AM AP AP MQ ==⋅（Ⅰ）当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹方程； （Ⅱ）若直线12++=k kx y 与（Ⅰ）中所求点Q的轨迹交于不同两点F ，H ，O 是坐标原点，且4332≤⋅≤OH OF ，求△FOH 的面积已知椭圆E 的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过()2,0A -、()2,0B 、31,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭三点．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若直线l ：()1y k x =-（0k ≠）与椭圆E 交于M 、N 两点，证明直线AM 与直线BN 的交点在直线4x =上．10．如图,过抛物线x 2=4y 的对称轴上任一点P(0,m)(m>0)作直线与抛物线交于A 、B 两点，点Q 是点P 关于原点的对称点。
人教新课标版(A)高二选修1-1 第二章圆锥曲线与方程综合例题
人教新课标版（A ）高二选修1-1 第二章 圆锥曲线与方程综合例题例1. 设圆()25y 1x 22=++的圆心为C ，A （1，0）是圆内一定点，Q 为圆周上任意一点，AQ 的垂直平分线与直线CQ 交于M ，求M 点的轨迹方程。
分析：由M 在AQ 的中垂线上，知|MA ||MQ |=，于是发现CQ ||MQ ||MC ||MA ||MC |=+=+|=5，又C 、Q 为定点，可知轨迹为椭圆。
解：∵M 是AQ 的中垂线上的点， ∴|MA ||MQ |=，∴5|CQ ||MQ ||MC ||MA ||MC |==+=+。
∴点M 的轨迹是以C （-1，0），A （1，0）为焦点，以5为长轴长的椭圆。
∴5a 2=，2c 2=，25a =，1c =，4211425b 2=-=。
∴M 点的轨迹方程是121y 425x 422=+。
点拨：利用平面几何知识寻求轨迹的几何特征，再根据椭圆的定义求得轨迹方程，几何法、定义法都是求轨迹的重要方法。
例2. 如图，直线1l 和2l 相交于点M ，21l l ⊥，点1l N ∈，以A 、B 为端点的曲线段C 上的任一点到2l 的距离与到点N 的距离相等，若△AMN 为锐角三角形，|AM|=17，|AN|=3，|BN|=6，建立适当的坐标系，求曲线段C 的方程。
分析：根据曲线C 上的任一点到2l 的距离与到点N 的距离相等可知，该曲线段C 是在某条抛物线上的，以1l 为x 轴，MN 的中点O 为原点建立如图所示的坐标系，据题意可知，点N 是该抛物线的焦点，2l 是准线，所以可令抛物线方程为()0p px 2y 2>=。
解：设A （A x ，A y ）、B （B x ，B y ），且B A x x <，B A y y 0<<。
∵点M ⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,2p ，点N ⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2p ，又17|AM |=，3|AN |=。
∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+9y 2p x ,17y 2p x 2A 2A 2A 2A ，得p 4x A =，又A 2A px 2y =，∴8p4p 2y 2A =⋅=， ∴1782p p 42=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+， 解得⎩⎨⎧==2x ,2p A ，或⎩⎨⎧==1x 4p A。
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解析几何例题例1、求与直线3x+4y+12=0平行，且与坐标轴构成的三角形面积是24的直线l 的方程。
分析：满足两个条件才能确定一条直线。
一般地，求直线方程有两个解法， 即用其中一个条件列出含待定系数的方程，再用另一个条件求出此参数。
解法一：先用“平行”这个条件设出l 的方程为3x+4y+m=0① 再用“面积”条件去求m ，∵直线l 交x 轴于)0,3(m A -，交y 轴于)4,0(m B -由244321=-⋅-⋅m m ，得24±=m ，代入①得所求直线的方程为：02443=±+y x 解法二：先用面积这个条件列出l 的方程，设l 在x 轴上截距离a ，在y 轴上截距b ，则有2421=ab ，因为l 的倾角为钝角，所以a 、b 同号，|ab|=ab ， l 的截距式为148=+ay a x ，即48x+a 2y-48a=0②又该直线与3x+4y+2=0平行，∴24843482a a -≠=，∴8±=a 代入②得所求直线l 的方程为02443=±+y x 说明：与直线Ax+By+C=0平行的直线可写成Ax+By+C 1=0的形式； 与Ax+By+C=0垂直的直线的方程可表示为Bx-Ay+C 2=0的形式。
例2、若直线mx+y+2=0与线段AB 有交点，其中A(-2, 3)，B(3,2)， 求实数m 的取值范围。
解：直线mx+y+2=0过一定点C(0, -2)，直线mx+y+2=0实际上表示的是过定点(0, -2)的直线系， 因为直线与线段AB 有交点，则直线只能落在∠ABC 的内部， 设BC 、CA 这两条直线的斜率分别为k 1、k 2，则由斜率的定义可知，直线mx+y+2=0的斜率k 应满足k ≥k 1或k ≤k 2， ∵A(-2, 3) B(3, 2) ∴25 3421-==k k∴-m ≥34或-m ≤25- 即m ≤34-或m ≥25说明：此例是典型的运用数形结合的思想来解题的问题， 这里要清楚直线mx+y+2=0的斜率-m 应为倾角的正切，而当倾角在(0°,90°)或(90°,180°)内，角的正切函数都是单调递增的， 因此当直线在∠ACB 内部变化时，k 应大于或等于k BC ，或者k 小于或等于k AC ， 当A 、B 两点的坐标变化时，也要能求出m 的范围。
oxyABC(0,-2)例5、已知点T 是半圆O 的直径AB 上一点，AB=2、OT=t (0<t<1)，以AB 为直腰作直角梯形B B A A ''，使A A '垂直且等于AT ，使B B '垂直且等于BT ， B A ''交半圆于P 、Q 两点，建立如图所示的直角坐标系.(1)写出直线B A ''的方程； （2）计算出点P 、Q 的坐标；（3）证明：由点P 发出的光线，经AB 反射后，反射光线通过点Q.解: (1 ) 显然()t A -1,1', ()，，‘t B +-11 于是 直线B A ''的方程为1+-=tx y ；（2）由方程组⎩⎨⎧+-==+,1,122tx y y x 解出 ),(10P 、),(2221112t t t t Q +-+； （3）tt k PT1001-=--=, t t t t tt t t t k QT1111201122222=--=-+-+-=)(. 由直线PT 的斜率和直线QT 的斜率互为相反数知，由点P 发出的光线经点T 反射，反射光线通过点Q.说明：需要注意的是, Q 点的坐标本质上是三角中的万能公式, 有趣吗?例7、 已知⊙M ：x Q y x 是,1)2(22=-+轴上的动点，QA ，QB 分别切⊙M 于A ，B 两点，（1）如果324||=AB ，求直线MQ 的方程； （2）求动弦AB 的中点P 的轨迹方程. 解:（1）由324||=AB ，可得,31)322(1)2||(||||2222=-=-=AB MA MP 由射影定理，得 ,3|||,|||||2=⋅=MQ MQ MP MB 得 在Rt △MOQ 中，523||||||2222=-=-=MO MQ OQ ， 故55-==a a或，所以直线AB 方程是;0525205252=+-=-+y x y x 或（2）连接MB ，MQ ，设),0,(),,(a Q y x P 由点M ，P ，Q 在一直线上，得(*),22xy a -=-由射影定理得|,|||||2MQ MP MB ⋅= 即(**),14)2(222=+⋅-+a y x 把（*）及（**）消去a ， 并注意到2<y ，可得).2(161)47(22≠=-+y y x 说明：适时应用平面几何知识，这是快速解答本题的要害所在。
例18、（2002年天津高考题）已知两点M （-1，0），N （1，0）且点P 使NP NM PN PM MN MP ⋅⋅⋅,,成公差小于零的等差数列，（Ⅰ）点P 的轨迹是什么曲线？（Ⅱ）若点P 坐标为),(00y x ，θ为PN PM 与的夹角，求tan θ。
解：（Ⅰ）记P （x,y ），由M （-1，0）N （1，0）得),1(y x MP PM ---=-= ),1(y x NP PN ---=-= )0,2(=-=NM MN 所以 )1(2x MN MP +=⋅122-+=⋅y x PN PM )1(2x NP NM -=⋅于是， NP NM PN PM MN MP ⋅⋅⋅,,是公差小于零的等差数列等价于⎪⎩⎪⎨⎧<+---++=-+0)1(2)1(2)]1(2)1(2[21122x x x x y x 即 ⎩⎨⎧>=+0322x y x 所以，点P 的轨迹是以原点为圆心，3为半径的右半圆。
（Ⅱ）点P 的坐标为),(00y x 。
212020=-+=⋅y x PN PM 。
222220000000(1)(1)(42)(42)24PM PN x y x y x x x =++⋅-+=+⋅-=- 21cos .4PM PN PM PN x θ⋅==⋅- 所以 因为 0〈30≤x ， 所以 ,30,1cos 21πθθ<≤≤<,411cos 1sin 202x --=-=θθ.341411cos sin tan 02022y x x x =-=---==θθθ说明：在引入向量的坐标表示后，可以使向量运算代数化，这样就可以将“形”和“数”紧密地结合在一起。
向量的夹角问题融入解析几何问题中，也就显得十分自然。
求解这类问题的关键是：先把向量用坐标表示，再用解析几何知识结合向量的夹角公式使问题获解；也可以把两向量夹角问题转化为两直线所成角的问题，用数形结合方法使问题获解。
xoyCT M BA2、已知△ABC 的顶点A(3, -1)，AB 边上的中线所在直线的方程为6x+10y-59=0，∠B 的平分线所在直线的方程为：x-4y+10=0，求边BC 所在直线的方程。
解：设B(a, b)，B 在直线BT 上，∴a-4b+10=0①又AB 中点⎪⎭⎫ ⎝⎛-+21,23b a M 在直线CM 上，∴点M 的坐标满足方程6x+10y-59=0 ∴0592110236=--⋅++⋅b a ② 解①、②组成的方程组可得a=10，b=5∴B(10, 5)，又由角平分线的定义可知， 直线BC 到BT 的角等于直线BT 到直线BA 的角， 又76=AB k 41=BT k ∴BT BA BT BA BC BT BC BT k k kk k k k k ⋅+-=+-11 ∴92-=BC k ，∴BC 所在直线的方程为)10(925--=-x y 即2x+9y-65=03、求直线l 2：7x-y+4=0到l 1：x+y-2=0的角平分线的方程。
解法一：设l 2到l 1角平分线l 的斜率为k ，∵k 1=-1，k 2=7 ∴kk kk ---=+-11717，解之得k=-3或31=k ，由图形可知k<0，∴k=-3，又由{47022=+-=-+y x y x 解得l 1与l 2的交点⎪⎭⎫ ⎝⎛-49,41Q ， 由点斜式得⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-41349x y 即6x+2y-3=0解法二：设l 2到l 1的角为θ，则3412121=+-=k k k k tg θ，所以角θ为锐角，而221θαα==， 由二倍角公式可知3421222==-θθθtg tg tg ∴22-=θtg 或212=θtg 2θ 为锐角， ∴kk tg 717212+-==θ，∴k=-3等同解法一。
解法三：设l ：(x+y-2)+λ(7x-y+4)=0 即(1+7λ)x+(1-λ)y+(4λ-2)=0① ∴171-+=λλk ，由解法一知1713-+=-=λλk ，∴51=λ，代入①化简即得：6x+2y-3=0解法四：用点到直线的距离公式，设l 上任一点P(x, y)， 则P 到l 1与l 2的距离相等。
∴50|47|2|2|+-=-+y x y x 整理得：6x+2y-3=0与x-3y+7=0，又l 是l 2到l 1的角的平分线，k<0，∴x-3y+7=0不合题意所以所求直线l 的方程为6x+2y-3=0.oxy21Q126、已知△ABC 三边所在直线方程AB ：x-6=0，BC ：x-2y-8=0，CA ：x+2y=0， 求此三角形外接圆的方程。
解：解方程组可得A(6, -3)、B(6, -1)、C(4, 2)设方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0，则：⎪⎩⎪⎨⎧=++++=+-+-+=+-+-+0242406)1(6036)3(6222222F E D F E D F E D解之得：D=221-，E=4，F=30所以所求的△ABC 的外接圆方程为：030422122=++-+y x y x14.(江苏省南京市2008届高三第一次调研测试)已知：以点C (t , 2t )(t ∈R , t ≠ 0)为圆心的圆与x 轴交于点O , A ，与y 轴交于点O , B ， 其中O 为原点．（1）求证：△OAB 的面积为定值；（2）设直线y = –2x +4与圆C 交于点M , N ，若OM = ON ，求圆C 的方程．解 （1）O C 过原点圆 ，2224t t OC +=∴． 设圆C 的方程是 22224)2()(tt t y t x +=-+-令0=x ，得ty y 4,021==；令0=y ，得t x x 2,021==4|2||4|2121=⨯⨯=⨯=∴∆t tOB OA S OAB ，即：OAB ∆的面积为定值．（2）,,CN CM ON OM == OC ∴垂直平分线段MN ． 21,2=∴-=oc MN k k ，∴直线OC 的方程是x y 21=． t t 212=∴，解得：22-==t t 或 当2=t 时，圆心C 的坐标为)1,2(，5=OC ， 此时C 到直线42+-=x y 的距离559<=d ，圆C 与直线42+-=x y 相交于两点．当2-=t 时，圆心C 的坐标为)1,2(--，5=OC ，此时C 到直线42+-=x y 的距离559>=d圆C 与直线42+-=x y 不相交， 2-=∴t 不符合题意舍去．∴圆C 的方程为5)1()2(22=-+-y x ．16. (江苏省泰兴市2007—2008学年第一学期高三调研)已知过点A （0，1），且方向向量为22(1,):(2)(3)1a k l C x y =-+-=的直线与， 相交于M 、N 两点.（1）求实数k 的取值范围；（2）求证：AM AN ⋅=定值；（3）若O 为坐标原点，且12,OM ON k ⋅=求的值.解 （1）(1,),l a k =直线过点(0,1)且方向向量1l y k x ∴=+直线的方程为 由22311,1k k -+<+得474733k -+<<. ()22C A T T A T 设焦点的的一条切线为,为切点,则=72c o s 07.A M A N A M A N A T A M A N ∴⋅=︒==∴⋅ 为定值 1122(3)(,),(,)M x y N x y 设1y k x x =+22将代入方程(-2)+(y-3)=1得k x k x 22(1+)-4(1+)+7=0212227,11k x x x x k k ∴=++124(1+)+=2121212122(1)()18121k k OM ON x x y y k x x k x x k ∴⋅=+=++++=+=+ 4(1+)24,11k k k k ∴==+4(1+)解得1,0,1k k =∆>∴=又当时.17.（2007北京四中模拟一）在△ABC 中，A 点的坐标为（3，0），BC 边长为2，且BC 在y 轴上的区间[-3，3]上滑动． （1）求△ABC 外心的轨迹方程；（2）设直线l ∶y ＝3x ＋b 与（1）的轨迹交于E ，F 两点，原点到直线l 的距离为d ，求dEF || 的最大值．并求出此时b 的值．解 （1）设B 点的坐标为（0，0y ），则C 点坐标为（0，0y ＋2）（-3≤0y ≤1）， 则BC 边的垂直平分线为y ＝0y ＋1 ①)23(3200-=+x y y y ② 由①②消去0y ，得862-=x y ．∵130≤≤-y ，∴2120≤+=≤-y y ． 故所求的△ABC 外心的轨迹方程为：)22(862≤≤--=y x y ． （2）将b x y +=3代入862-=x y 得08)1(6922=++-+b x b x ． 由862-=x y 及22≤≤-y ，得234≤≤x ． 所以方程①在区间34[，2]有两个实根．设8)1(69)(22++-+=b x b x x f ，则方程③在34[，2]上有两个不等实根的充要条件是：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤--≤≥++-+=≥++-+=>+--=∆⋅⋅⋅⋅⋅⋅．，，，292)1(634082)1(629)2(0834)1(6)34(9)34(0)8(94)]1(6[222222b b b f b b f b b 得34-≤≤-b ∵7232984)]1(32[||2221--=+--=-⋅b b b x x ∴721032||1||212--=-+=⋅b x x k EF 又原点到直线l 的距离为10||b d =， ∴71)711(73202732072320||222++-=--=--=b b b b b dEF ∵34-≤≤-b ，∴41131-≤≤-b ．∴当411-=b ，即4-=b 时，35||m ax =d EF ．例：已知圆O：x2+y2=4和点M(1，a)，(Ⅰ)若过点M有且只有一条直线与圆O相切，求实数a的值，并求出切线方程；(Ⅱ)若a=，过点M的圆的两条弦AC，BD互相垂直，求AC+BD的最大值．平几渗透，数形结合解析几何首先是几何问题。