甘肃省武威第六中学2020-2021学年高二上学期第一次学段考试数学试题含解析

武威六中2020—2021学年度第一学期第一次学段考试高二数学试卷第Ⅰ卷（选择题）一、单选题（共60分）1. 如果命题“p 或q ”是真命题,“非p ”是假命题,那么 A. 命题p 一定是假命题 B. 命题q 一定是假命题 C. 命题q 一定是真命题 D. 命题q 是真命题或者假命题【答案】D 【解析】【详解】“非p ”是假命题,故p 为真命题；“p 或q ”是真命题, 所以命题q 是真命题或者假命题.2. 若a ，b 为非零实数，且0a b <<，则下列结论正确的是（ ） A. 22a b <B.11a b> C. 3223a b a b >D.22ac bc <【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质对选项进行逐一判断,找出正确的选项,. 【详解】A. 由0a b <<，则||||a b >即22a b >，所以A 不正确. B. 由0a b <<,则11a b>，所以B 正确. C. 由0a b <<，则220a b >，则3223a b a b <，所以C 不正确. D. 当0c 时，22ac bc =，所以D 不正确.故选：B【点睛】本题考查不等式的基本性质，属于基础题.3. 焦点坐标为()()0,3,0,3-，长轴长为10，则此椭圆的标准方程为（ ）A. 22110091x y +=B. 2100y 2191x +=C. 2212516y x +=D.2212516x y += 【答案】C 【解析】 【分析】根据长轴长算出a 后可得b 的值，从而可得椭圆的标准方程.【详解】因为长轴长为10，故长半轴长5a =，因为半焦距3c =，故4b =，又焦点在y 轴上，所以椭圆的标准方程为2212516y x+= ，故选C【点睛】求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等.注意焦点的位置与标准方程形式上的对应. 4. “20x x -≤”是“1x ≤”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】先解不等式20x x -≤，再由充分条件和必要条件的概念，即可得出结果. 【详解】解不等式20x x -≤得01x ≤≤,所以由“01x ≤≤”能推出“1x ≤”，反之不成立， 所以“20x x -≤”是“1x ≤”的充分而不必要条件. 故选A【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的问题，熟记概念即可，属于基础题型.5. 已知实数,x y 满足25,{2,7,x y x y x -≥≤≤则43y x --的取值范围为（ ）A.5 7,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.57,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.56,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.56,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】如图，画出可行域，()3,4D，43yx--表示可行域内的点到和点()3,4D连线的斜率，如图，求出边界,AD DC直线的斜率，25{12x yy x-==，解得105,33A⎛⎫⎪⎝⎭,25{6x yx-==，解得()7,9C，那么54371033ADk-==--，495374DCk-==-，所以43yx--的范围是57,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故选B.6. 已知E、F分别为椭圆221259x y+=的左、右焦点，倾斜角为60的直线l过点E，且与椭圆交于A，B两点，则FAB的周长为()A. 10B. 12C. 16D. 20【答案】D【解析】【分析】利用椭圆的定义即可得到结果．【详解】椭圆221259x y+=，可得5a=，三角形2AF B的周长22AF BF AB=++，11AB AF BF=+，所以：周长1212AF AF BF BF=+++，由椭圆的第一定义，1212210AF AF BF BF a +=+==， 所以，周长420a ==． 故选D ．【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，三角形的周长的求法，属于基本知识的考查．7. 下列函数中，最小值为4的是（ ） A. 4y x x=+B. 4sin sin y x x=+（0πx <<） C. 4e e xxy -=+D. 3log log 3x y x =+（01x <<）【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式求函数最值的条件逐项检验即可． 【详解】解：对于A ：当0x <时，44y x x=+-，∴该函数的最小值不是4，排除A ；对于B ：若取到最小值，则sin 2x =，显然不成立，故排除B ；对于C ：4244x x x y e e e e --=+=，当且仅当4x x e e -=即2x ln =-时取等号，4e e x x y -∴=+的最小值为4， 对于D ：01x <<，0y ∴<，其最小值不为4，排除D ，故选：C ．【点睛】本题考查函数的最值以及基本不等式的应用，考查计算能力，属于基础题8. 设椭圆2221x y a+=（1a >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，点A ，B 都在椭圆上，直线AB过点1F ，2ABF 的周长为8，则该椭圆的离心率为( )A.14B.12【答案】D 【解析】 【分析】由2ABF 的周长，所以2a =，再根据222c a b =-，求出c ，即可求出椭圆的离心率； 【详解】解：因为2ABF 的周长为8，所以248ABF Ca ==，所以2a =，所以2214x y +=，所以222413c a b =-=-=，所以3c =，所以3c e a ==， 故选：D【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质，属于基础题.9. 函数268y kx x k =-++R ，则k 的取值范围是（ ） A. (][),91,-∞-⋃+∞ B. [)1,+∞ C. []9,1- D. (]0,1【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得到：2680kx x k -++≥在R 上恒成立，分别讨论0k =和0k ≠的情况即可. 【详解】由题知：2680kx x k -++≥在R 上恒成立. 当0k =时，680x -+≥，舍去.当0k ≠时，0364(8)0k k k >⎧⎨∆=-+≤⎩，解得：1k.故选：B【点睛】本题主要考查二次不等式的恒成立问题，同时考查了函数的定义域，属于简单题.10. 已知椭圆2217525+=y x 的一条弦的斜率为3，它与直线12x =的交点恰为这条弦的中点M ，则M 的坐标为（ ） A. 11,2⎛⎫⎪⎝⎭B. 11,22⎛⎫⎪⎝⎭C. 11,22⎛⎫-⎪⎝⎭ D. 11,22⎛⎫-⎪⎝⎭ 【答案】C 【解析】 【分析】由题意知：斜率为3的弦中点01(,)2M y ，设弦所在直线方程3y x b =+，结合椭圆方程可得122bx x +=-即可求b ，进而求M 的坐标.【详解】由题意，设椭圆与弦的交点为1122(,),(,)A x y B x y ，:3AB y x b =+， 则将3y x b =+代入椭圆方程，整理得：22126750x bx b ++-=，∴22123648(75)02b b b x x ⎧∆=-->⎪⎨+=-⎪⎩，而121x x =+，故2b =-， ∴:32AB y x =-，又01(,)2M y 在AB 上，则012y =-， 故选：C【点睛】本题考查了求椭圆的弦中点坐标，应用了韦达定理、中点坐标公式，属于基础题.11. 已知椭圆2211612x y C +=：的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上且异于长轴端点．点M ，N 在△PF 1F 2所围区域之外，且始终满足10MP MF ⋅=，20NP NF ⋅=，则|MN |的最大值为（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 14【答案】A 【解析】 【分析】设1PF ，2PF 的中点分别为C ，D ，则M ，N 在分别以C ，D 为圆心的圆上，直线CD 与两圆的交点(△12PF F 所围区域之外）分别为M ，N 时，||MN 的最大，可得||MN 的最大值为122PF PF CD a c ++=+即可． 【详解】解：设1PF ，2PF 的中点分别为C ，D ，10MP MF =，20NP NF =，则M ，N 在分别以C ，D 为圆心的圆上，∴直线CD 与两圆的交点(△12PF F 所围区域之外）分别为M ，N 时，||MN 最大， ∴||MN 的最大值为124262PF PF CD a c ++=+=+=， 故选：A ．【点睛】本题考查了椭圆的性质，考查了转化思想，属于中档题．12. 如图所示，在平面直角坐标系xoy 中，F 是椭圆22221(0)x ya b a b+=>>的右焦点，直线2by =与椭圆交于B ，C 两点，且90BFC ∠=︒，则该椭圆的离心率是（ ）6 B.34C.123【答案】A 【解析】 【分析】联立直线方程与椭圆方程，解得B 和C 的坐标，然后利用向量垂直的坐标表示可得2232c a =，由离心率定义可得结果.【详解】由222212x y a b b y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得32x b y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以3,2b B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，3,2b C ⎫⎪⎪⎝⎭. 由题意知(),0F c ，所以3,2b BF c ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，3,22b CF c a ⎛⎫=--⎪ ⎪⎝⎭. 因为90BFC ∠=︒,所以BF CF ⊥,所以222222233331044442b a c BF CF c c c a c a ⎛⎫⎛⎫-⋅=++=-+=-= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.所以2232c a =，所以6c e a ==， 故选：A .【点睛】本题考查了直线与椭圆的交点，考查了向量垂直的坐标表示，考查了椭圆的离心率公式，属于基础题.第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（共20分）13. 命题:P 存在x R ∈,使得210x x +-<，则p ⌝为 . 【答案】任意x R ∈,均有210x x +-≥ 【解析】 【分析】带量词的否定应：变量词，否结论 【详解】任意x ∈R ,均有210x x +-≥14. 已知函数3(1),0,()1,0,x x f x x x-+⎧⎪=⎨>⎪⎩则不等式()0f x >的解集是______．【答案】(,1)(0,)-∞-+∞ 【解析】 【分析】令()0f x >，当0x ≤时，当0x >时，分别解不等式即可求解.【详解】由3(1),0,()1,0,x x f x x x-+⎧⎪=⎨>⎪⎩令()0f x >，当0x ≤时，则()3101x x -+>⇒<-，解得1x <-； 当0x >时，则100x x>⇒>，解得0x >， 综上不等式的解集为(,1)(0,)-∞-+∞. 故答案为：(,1)(0,)-∞-+∞【点睛】本题考查了解分段函数的不等式，考查了分类讨论的思想，属于基础题.15. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，过原点的直线与双曲线C 相交于,A B 两点，连接,AF BF ，若||6AF =，||8BF =，2AFB π∠=，则该双曲线的离心率为__________．【答案】5 【解析】 【分析】设双曲线的另一个焦点为F '，分类连接,BF AF ''，根据双曲线的对称性可知，四边形AF BF '为矩形，结合矩形的性质，求得5c =，再由双曲线的定义，求得1a =，即可求解双曲线的离心率.【详解】在直角ABF ∆中，由勾股定理可得2222268100AB AF BF=+=+=，解得10AB =，设双曲线的另一个焦点为F '，分类连接,BF AF ''， 根据双曲线的对称性可知，四边形AF BF '为矩形， 结合矩形的性质，可得210c =，即5c =，由双曲线的定义可知2862a AF AF -=-'==，解得1a =， 所以双曲线的离心率为5ce a==.【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，对称性，以及双曲线的几何性质的应用，其中解答中利用双曲线的对称性和双曲线的定义求得,a c 的值是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 16. 给出下列五个命题：①已知直线a 、b 和平面α，若a //b ，则//a α；②双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，则直线b y x m a =+()m R ∈与双曲线有且只有一个公共点；③若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直；④过()2,0M 的直线l 与椭圆2212x y +=交于1P 、2P 两点，线段12PP 中点为P ，设直线l 斜率为1k ()0k ≠，直线OP 的斜率为2k ，则12k k 等于12-． 其中，正确命题的序号为_______．【答案】③④【解析】【分析】利用线面平行的判定定理可判断①的正误；利用双曲线渐近线的性质可判断②的正误；利用反证法结合线面垂直的定义可判断③的正误；利用点差法可判断④的正误.【详解】①线面平行的前提条件是直线a α⊄，所以条件中没有a α⊄，所以①错误； ②因为双曲线的渐近线方程为b y x a=±，当直线与渐近线平行时直线与双曲线只有一个交点，当直线与渐近线重合时，没有交点，所以②错误；③若αβ⊥，a αβ⋂=，l α⊂，且l 与a 不垂直，假设l β⊥，由于a β⊂，则l a ⊥，这与已知条件矛盾，假设不成立，则l 与β不垂直，所以③正确；④设()111,P x y 、()222,P x y ，中点()00,P x y ，则12112y y k x x -=-，0122012y y y k x x x +==+， 把()111,P x y ，()222,P x y 分别代入椭圆方程2212x y +=， 得221122222222x y x y ⎧+=⎨+=⎩，两式相减得()2222121220x x y y -+-=， 整理得1212121212y y y y x x x x +-⋅=-+-，即1212k k =-，所以④正确. 所以正确命题的序号为③④故答案：③④【点睛】本题考查空间线面平行判断以及直线与圆锥曲线位置关系的判断，考查学生的运算能力与推理能力，属于中等题.三、解答题（共70分）17. 求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)焦点在x 轴上，2a =，离心率为32； (2)焦点的坐标为()5,0，()5,0-，渐近线方程为43y x =±. 【答案】（1）22145x y -=；（2）221916x y -= 【解析】【分析】（1）设双曲线的标准方程为()222210,0x y a b a b-=>>，利用2a =及离心率32c e a ==得双曲线方程；（2）设双曲线的标准方程为()222210,0x y a b a b-=>>，利用c=5及43b a =得到双曲线的方程.【详解】(1)因为焦点在x 轴上，设双曲线的标准方程为()222210,0x y a b a b-=>>， 其中222c a b =+.由2a =及离心率32c e a ==得，3c =，所以22222325b c a =-=-=， 所以，所求双曲线的标准方程为22145x y -=. (2)由焦点的坐标为()5,0，()5,0-知双曲线的焦点在x 轴上， 故设双曲线的标准方程为()222210,0x y a b a b-=>>，且222=25c a b =+，① 因为渐近线方程为43y x =±，所以43b a =， ② 由①②得29a =，216b =，所以，所求双曲线的标准方程为221916x y -=. 【点睛】本题考查椭圆方程和双曲线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线的简单性质的合理运用．18. 已知p ：实数x 满足4a x a <<（其中0a >）q ：实数x 满足25x <（1）若1a =，且p 与q 都为真命题，求实数x 的取值范围.（2）若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.【答案】(1) ()2,4 (2) 5,24⎛⎤⎥⎝⎦【解析】【分析】 （1）由题意明确二者为x 真时的范围，进而求交集即可；（2）p 是q 的必要不充分条件则B A ，即245a a ⎧⎨>⎩. 【详解】（1）若1a =，p 为真:14p x <<，q 为真：25x <∵p ，q 都为真命题，∴x 的取值范围为()2,4（2）设{|4}A x a x a =<<，{|25}B x x =<∵p 是q 的必要不充分条件，∴B A ，∴245a a ⎧⎨>⎩，∴解得524a < 综上a 的范围为5,24⎛⎤ ⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查解集合间的关系，p∧q 的真假和p ，q 真假的关系，以及充分条件、必要条件、必要不充分条件的概念．属于基础题．19. 若圆M 的方程为22(1)(4)4x y -+-=，ABC ∆中，已知(7,2)A ,(4,6)B ,点C 为圆M 上的动点．（1）求AC 中点D 的轨迹方程；（2）求ABC ∆面积的最小值．【答案】（1）22(4)(3)1x y -+-=；（2）4【解析】【分析】 （1）设00(,),(,)D x y C x y ，根据中点坐标公式得出002722x x y y =-⎧⎨=-⎩，由相关点法即可求出点D 的轨迹方程；（2）利用两点间的距离公式以及点到直线的距离公式即可求解.【详解】（1）设00(,),(,)D x y C x y 有000072722222x x x x y y y y +⎧=⎪=-⎧⎪⇒⎨⎨=-+⎩⎪=⎪⎩， 由2200(1)(4)4x y -+-=得22(271)(224)4x y --+--=，即D 点的轨迹方程为22(4)(3)1x y -+-=.（2）计算得5AB =, 直线AB 为43340x y +-=,点(1,4)到直线AB 的距离412341855d +-==, ∴点C 到直线AB 的最小距离为188255-= min 18()5425ABC S ∆∴=⨯⨯=. 【点睛】本题考查了相关点法求点的轨迹方程、点斜式方程、两点间的距离公式以及点到直线的距离公式，需熟记公式，属于基础题.20. 设命题p ：实数x 满足22230(0)x ax a a --<>，命题q ：实数x 满足624x x -≥-． （I ）若1a =，p q ∧为真命题，求x 的取值范围；（II ）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【答案】（1）[)2,3（2）4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】 (1)将1a =代入不等式，利用一元二次不等式的解法与分式不等式的解法，分别求得命题p 为真命题与命题q 为真命题时x 的取值范围，再求交集即可；(2)由p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，可得q 是p 的充分不必要条件，利用包含关系列出不等式组，即可解出a 的取值范围.【详解】（1）当1a =时，由2230x x --<得13x -<<， 由204x x -≥-得24x ≤<， ∵p q ∧为真命题，∴命题,p q 均为真命题， ∴13,24,x x -<<⎧⎨≤<⎩解得23x ≤<，∴实数x 的取值范围是[)2,3．（2）由条件得不等式22230x ax a --<的解集为(),3a a -，∵p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，∴q 是p 的充分不必要条件， ∴[)2,4是(),3a a -的子集，∴2,34,a a -<⎧⎨≥⎩解得43a ≥， ∴实数a 的取值范围是4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．【点睛】本题主要考查逻辑联接词的应用以及充分条件与必要条件的定义，属于中档题.判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.21. 已知函数()2()(2)4f x x a x a R =-++∈. （1）若关于x 的不等式()0f x <的解集为()1,b ，求a 和b 的值；（2）若对14x ∀≤≤，()1f x a ≥--恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）34a b =⎧⎨=⎩；（2）4a ≤ 【解析】【分析】（1）依题意1x =，x b =为方程2(2)40x a x -++=的两解，利用韦达定理得到方程组，解得即可；（2）依题意对任意的[]1,4x ∈ ()2251x x a x -+≥-恒成立，当1x =时，显然成立，当(]1,4x ∈时，参变分离，利用基本不等式求出a 的取值范围；【详解】解：（1）关于x 的不等式()0f x <的解集为()1,b ，即1x =，x b =为方程2(2)40x a x -++=的两解，所以124b a b +=+⎧⎨=⎩解得34a b =⎧⎨=⎩ （2）对任意的[]1,4x ∈，()1f x a ≥--恒成立，即2(2)50x a x a -+++≥对任意的[]1,4x ∈恒成立，即()2251x x a x -+≥-恒成立，①当1x =时，不等式04≤恒成立，此时a R ∈②当(]1,4x ∈时，2254111x x a x x x -+≤=-+--，因为14x <≤，所以013x <-≤，所以4141x x -+≥=- 当且仅当411x x -=-时，即12x -=，即3x =时取等号，所以4a ≤，综上4a ≤ 【点睛】本题考查一元二次不等式与一元二次方程的关系，不等式恒成立问题，属于中档题.22. 椭圆C ： 22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，短轴端点与两焦点围成的三角形面积(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，且过点()0,4，O 为坐标原点，当△OAB 为直角三角形，求直线l 的斜率.【答案】(1)2214x y +=；(2)【解析】【分析】(1)利用题中所给面积及离心率列出方程组求解a ,b ,c ，即可求得椭圆的标准方程；(2)根据题意设出直线方程并与椭圆方程联立，得到关于x 的二次方程，由韦达定理表示出1212,x x x x +,①当AOB ∠为直角时，由0OA OB ⋅=列出方程即可求得k ；②当OAB ∠或OBA ∠为直角时，不妨设OAB ∠为直角，由1OA k k ⋅=-及221114x y +=列出方程组求点A 的坐标，从而求出直线的斜率k .【详解】(1)根据题意可得22212221c b a c e b a c a b c ⎧⋅⋅=⎪⎧⎪=⎪⎪==⇒=⎨⎨⎪⎪=⎩=+⎪⎪⎩， 所以椭圆方程为2214x y +=； (2)根据题意，过点()0,4D 满足题意得直线斜率存在，设:4l y kx =+， 联立22144x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得：()221432600k x kx +++=，()222(32)2401464240k k k ∆=-+=-，令>0∆，解得2154k >， 1212223260,1414k x x x x k k +=-=++， 设A 、B 两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，①当AOB ∠为直角时，0OA OB ⋅=，即12120x x y y +=，所以()()2121214160k x x k x x ++++=，则()222215132401414k k k k⨯+-+=++，解得k =； ②当OAB ∠或OBA ∠为直角时，不妨设OAB ∠为直角，此时，1OA k k ⋅=-，则111141y y x x -⋅=-，221114x y y =-①， 又221114x y +=②，将①代入②可得2113440y y +-=， 解得123y =或12y =-(舍去)， 将123y =代入①，得1x =，所以114y k x -== 经检验，所求k 值均与题意相符，综上，k的值为【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系的综合应用，韦达定理设而不求的应用，直线与椭圆方程联立求解交点坐标，属于中档题.。