桥梁非线性动力响应方法及volterra级数非线性方法探讨
桥梁结构非线性振动检测方案模态分析与振动反馈控制
桥梁结构非线性振动检测方案模态分析与振动反馈控制桥梁是现代交通运输的重要组成部分，而桥梁结构的安全性是保障交通运输可靠性的关键。
然而，在长期使用和外界环境的作用下，桥梁结构会产生振动问题，这不仅会对桥梁的使用寿命造成影响，还会威胁行车的安全。
为了解决桥梁结构振动问题，研究人员提出了非线性振动检测方案，其中包括模态分析和振动反馈控制两个方面。
一、模态分析模态分析是桥梁结构振动研究的重要手段，它通过对桥梁结构在振动过程中各种模态的特性进行分析，可以得到桥梁结构的固有频率、振型和振幅等信息。
在进行模态分析时，研究人员需要使用一种合适的振动测试方法，常见的方法包括加速度传感器法、激光测振法和应变测量法等。
通过这些方法，可以获取桥梁结构在不同状态下的振动响应数据。
然后，利用相关的数学算法，如有限元法和主成分分析法等，对振动响应数据进行处理，得到桥梁结构的模态特性。
这些模态特性可以用来评估桥梁结构的稳定性和安全性，为进一步进行振动控制提供依据。
二、振动反馈控制振动反馈控制是一种通过反馈控制手段来消除桥梁结构振动问题的技术。
具体而言，它通过在桥梁结构中布置传感器和执行器，实时检测和调节桥梁结构的振动状态，以减小振动幅度和保证桥梁结构的安全性。
在振动反馈控制中，传感器被用来感知桥梁结构的振动状态，通常使用加速度传感器或应变传感器。
当桥梁结构的振动状态超过一定阈值时，传感器会将信号传递给控制器。
控制器根据传感器信号的反馈信息和设定的控制算法，输出控制信号给执行器。
执行器可以是电磁致动器、油压缸或伺服机构等，它们通过对桥梁结构施加一定的阻尼力或刚度，来实现振动的控制。
通过不断地监测桥梁结构的振动状态并及时调节，振动反馈控制可以有效地减小桥梁结构的振幅，提高桥梁的稳定性和安全性。
在实际应用中，模态分析和振动反馈控制通常结合使用。
模态分析可以提供桥梁结构的振动特性，为振动反馈控制的设计提供依据。
而振动反馈控制则可以根据模态分析的结果，实时监测桥梁结构的振动状态，并进行相应的控制。
一种简化Volterra级数的记忆功放行为模型
一种简化Volterra级数的记忆功放行为模型杨新;汪琳娜【摘要】考虑强非线性和长记忆效应的功放行为模型,需要降低Volterra级数模型的辨识参数,提出了一种基于简化Volterra级数的功率放大器行为模型.通过对广义记忆多项式模型(GMP)中的交叉相乘项的记忆时间距离l进行有效控制,可以在满足系统误差要求的同时减少辨识参数的数量.仿真结果表明,简化的Volterra级数模型性能优于记忆多项式模型(MP),略低于GMP模型,模型辨识参数大大减少.【期刊名称】《科学技术与工程》【年(卷),期】2014(014)028【总页数】5页(P54-57,75)【关键词】非线性;Volterra级数;广义记忆多项式;辨识参数【作者】杨新;汪琳娜【作者单位】四川师范大学成都学院数理教研室,成都611745;四川师范大学电子工程学院,成都611745【正文语种】中文【中图分类】TN722.7功率放大器在无线通信和广播数字电视系统设计中是不可缺少的部件，也是造成系统非线性失真的主要来源。
为了保障无线通信系统的性能，通常采取数字预失真技术来设计具有高线性度的功率放大器，具有成本低、系统稳定和自适应等优点;其关键是要建立精确的功率放大器非线性模型，构造非线性失真的逆特性来线性化功率放大器。
一般根据信号和放大器带宽的大小分为无记忆和有记忆两种非线性模型。
目前针对WCDMA和OFDM 等宽带信号的功率放大器具有较强的记忆效应［1］，无记忆效应的非线性模型如Sahel 模型［2］和多项式模型等不再适用，而Volterra 级数是当前模拟有记忆非线性模型的最有效方法之一。
Volterra 级数作为Taylor 级数的推广，可以清晰地描述记忆效应下的非线性系统，而且具有明确的物理意义;但随着级数的记忆长度和系统阶数的增加，其需要辨识的Volterra 核函数呈指数增长，导致“维数灾难”的发生，大大增加了系统计算量，难以达到实时处理的效果。
桥梁抗震的线性非线性分析方法研究
桥梁抗震的线性非线性分析方法研究桥梁作为重要的交通基础设施，对于经济发展和民生改善具有重要意义。
然而，地震作为一种自然灾害，给桥梁的安全运行带来了巨大的威胁。
因此，桥梁抗震分析成为了一个迫切需要研究的问题。
本文旨在探讨桥梁抗震的线性非线性分析方法，以提高桥梁在地震作用下的安全性能。
在桥梁抗震分析中，线性分析方法是一种常用的手段。
它基于线性力学理论，通过振型分解法和有限元方法等手段对桥梁进行地震响应分析。
然而，线性分析方法存在一定的局限性，例如在考虑地震动非线性和桥梁结构非线性方面。
因此，非线性分析方法逐渐得到了研究者的。
本文旨在研究桥梁抗震的线性非线性分析方法，具体包括以下方面：（1）线性分析方法的理论和实践；（2）非线性分析方法的基本原理和应用；（3）线性与非线性分析方法的比较和结合。
研究桥梁抗震的线性非线性分析方法具有重要的意义。
通过对线性分析方法的深入研究，可以进一步提高其计算精度和效率；研究非线性分析方法可以更加准确地预测地震对桥梁的作用，有助于采取有效的抗震措施；比较和结合线性与非线性分析方法可以为桥梁抗震分析提供更加全面的视角和方法论指导。
本文采用了以下研究方法：（1）文献综述：系统梳理了桥梁抗震的线性非线性分析方法的理论和工程应用背景；（2）理论分析：从理论上对线性分析和非线性分析方法进行了深入探讨；（3）数值模拟：通过数值模拟方法，对桥梁进行了线性和非线性地震响应分析。
通过实验，得到了以下结果：（1）线性分析方法在预测桥梁地震响应方面具有较高的精度和效率；（2）非线性分析方法考虑了地震动和结构非线性，能更加准确地预测桥梁的地震响应；（3）通过比较和结合线性与非线性分析方法，可以更加全面地评估桥梁的安全性能。
通过图表等方式展示了实验结果，并对结果进行了深入分析。
结果表明，非线性分析方法相比线性分析方法具有更高的精度，但在计算效率方面略低于线性分析方法。
因此，在实际工程应用中，应根据具体需求和计算资源情况选择合适的分析方法。
非线性系统Volterra级数最高显著阶的确定
ｒｓ ｏ ｓ ｎ ｔ ｎ 。 ｅｐ ｎｅｆ ｃ ｏ ） ｕ ｉ
！Ｊ…一 （，，） ｄ ＝ （ ｉ Ｊ Ｉ ７… ｌ …ｆ ０ ｍ ｈ ｄ ｎ 。 ）
ｈ （ ， ， 的 多 维傅 立 叶 变 换 为 ： ，： … ｔ ） 『 ｒ
Ｈ（ ｌ ２ ∞ ）＝ ∞， ， ∞ …，
ｆ… ｒ…ｒｅｔ ＋２ ￣ｎ ｔ： ｒ ４ ｆ… （，，， （ １ｒ ＋Ｖｒｒ ｄ （ ｆ ｒ ２ ＾ －ｌｔ＋ ｎｄｄ… ） Ｉ 。 ｊ￣ｏ ）￣ ２ ） ２ …ｒ
阶核频率成分为 ：５ ３５ ８ ２ ；
＝
要计算不 同的幅值信号 下的显著 阶 ， 由此 引出 的计算 量将更 大。
在文献 ［ ］ ６ 的基 础 上 ， 文献 ［ ］ 出了一 种 Ｖ ｌ ｒ 级 数最 高显 ７提 ｏｅ ａ ｔｒ 著 阶求解 的改进方 法 ， 该方法将 输人激 励组成正 负对 ， 这样输 入
∑ ｆ Ⅳ 适当 是利用ＶｌＴ 级数 （ ， 的 选取 ） ｏＩ ｔ ａ 建模的 ｅ 前提条
高 阶核 与低 阶核存 在相同的频率成分 ， Ｖ ｈ ｒ 级数 是收 由 ｏｅ ａ ｒ 敛 的， 如式（ ） 高 阶核 的幅度远小于低阶核 ， ３， 高阶核 中这部 分相
同频率成分 的幅值 总会被低阶核淹 没。高阶核 中这部分 与低 阶 核相 同的频率成分 可不 考虑 ， 只考 虑 高 阶核 相对 低 阶核 增加 的 频率成分 。（ 一 一 ） ： 为 相对 于 一增加 的输 出频 率成 ：
基于Volterra级数分析的半导体激光器非线性模型
ｔ ｅ ｃ ｓ ａ ｉ ｇ ｒ ｌｔｏ ｈｉ ｅ ｎ ｌｎ ａ ｙ ｔ ｍ ｓ Ｔｈ ｅ ｏ ｄ ｎ ｈ ｒ ｏ ｄ ｒｈａｍ ｏ ｃ ｄ ｓｏ ｔｏ ｈ ａ ｃ ｄ ｎ ｅ ａｉ ｎｓ ｐ ｏｆｔ ｏｎ ｉ ｅ ｒｓ ｓｅ ｈ ｅ ｓ ｃ ｎ —ａ ｄ ｔ ｉｄ— ｒ ｅ ｒ ｎｉ ｉｔ ｒｉ ｎ
第４ ０卷 第 ２期
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间 的误 差 随输 入信 号 功率 的变 化 趋 势 可看 出 Ｖ ｌ ｒ ｏｔ ｒ 型 更 加适 用 于 分 析 弱 非 线性 系 统． 建 ｅ ａ模 所
立 的模 型有 助 于半 导体 激 光器 的器件 表 征 与射频 光传 输 系统 的设 计． 关键 词 ： 导体 激 光器 ； ｌ ｒ 半 Ｖｏｔ ｒ 数 ； 线性 ｅ ａ级 非 中图 分类 号 ： Ｎ ４ ． Ｔ ２ ８４ 文 献标 志码 ： Ａ 文 章编 号 ：１０ ０ ０ （ ０ ０ ０ －２ ３０ ０ １— ５ ５ ２ １ ） ２０ ５ －５
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voltrra级数 泰勒级数
Volterra 级数（Volterra Series ）：Volterra 级数是一种用于描述非线性系统动力学行为的数学方法。
它是由意大利数学家Vito Volterra 在20世纪初提出的。
Volterra 级数的基本思想是通过级数展开来描述系统的非线性动态。
与线性系统理论不同，Volterra 级数考虑了系统的非线性性质。
Volterra 级数可以表示为如下形式：y (t )=∑∑…∞n 2=0∞n 1=0∑K n 1n 2…n m ∞n m =0x 1(t −τ1)n 1x 2(t −τ2)n 2…x m (t −τm )n m其中，•y (t ) 是系统的输出， •x i (t ) 是系统的输入， •τi 是输入 x i (t ) 的时滞， • K n 1n 2…n m 是系统的非线性核函数。
Volterra 级数的使用可以更全面地描述非线性系统的响应，但在实际应用中，由于计算过程的复杂性，通常只考虑前几项。
泰勒级数（Taylor Series ）：泰勒级数是一种用于表示函数的级数展开的方法，通过一系列导数的值来逼近一个函数。
泰勒级数的表达式如下：f (x )=f (a )+f′(a )(x −a )+f″(a )2!(x −a )2+f‴(a )3!(x −a )3+⋯ 其中，•f (x ) 是要展开的函数， •a 是展开点， • f′(a )、f″(a )、f‴(a ) 等是函数 f (x ) 在 x =a 处的各阶导数。
泰勒级数是一种在微积分中常用的方法，用于近似复杂函数。
通过截断级数，可以得到对函数的逼近。
泰勒级数的使用通常局限于在展开点附近的小范围内，因为在远离展开点时，级数可能会发散。
总的来说，Volterra 级数用于描述非线性系统的动力学行为，而泰勒级数是一种通用的数学工具，用于近似函数在某点的值。
高速铁路桥梁的动力响应分析
高速铁路桥梁的动力响应分析一、引言高速铁路系统是现代交通运输中的重要组成部分，其中桥梁作为高铁线路的重要节点，在保障列车行驶安全和稳定的同时，也面临着动力响应等方面的挑战。
本文旨在对高速铁路桥梁的动力响应进行分析，并提出相应的解决方案。
二、桥梁动力响应的影响因素1.列车荷载：高速列车的运行速度较快，带来的荷载对桥梁结构会产生动态作用，应充分考虑列车类型、惯性力和振动等因素。
2.桥梁结构特性：桥梁的自振频率、刚度和阻尼等参数是决定其动力响应的关键因素，在设计和施工中应合理选取和控制。
3.地基条件：地基的承载力和刚度对桥梁的震动传递和响应起着重要的作用，需进行地质勘察和合理设计。
4.环境因素：如风、温度、湿度等环境因素会对桥梁的动力响应产生一定影响，需要在设计中予以考虑。
三、桥梁动力响应的分析方法1.有限元分析：采用有限元方法可以对桥梁进行模态分析，求解其固有频率和振型，进而得到结构的动力响应。
2.振动台试验：通过模拟实际荷载和振动条件，在振动台上对桥梁进行试验，观察和记录其动力响应情况。
3.现场监测：在实际运行中对桥梁进行监测，采集振动数据，并结合实际载荷条件进行动力响应分析。
四、动力响应分析的结果与解决方案1.分析结果：通过上述方法得到的动力响应数据可以用于评估桥梁的安全性和稳定性，判断是否存在动力响应超限的问题。
2.解决方案：对于发现的动力响应超限问题，可采取以下措施进行解决：（1）调整桥梁的结构参数，如刚度和阻尼，以提高其自振频率，减小动力响应。
（2）增加桥梁的荷载传递路径，加强桥梁与地基的连接，提高桥梁的整体刚度和稳定性。
（3）在桥梁关键部位设置减振装置，如阻尼器、减振器等，以吸收和分散动力荷载，减小桥梁的动力响应。
五、结论高速铁路桥梁的动力响应分析是确保铁路运行安全和稳定的重要环节。
通过针对桥梁的影响因素进行分析，并采取相应的解决方案，可有效减小桥梁的动力响应，提高桥梁的安全性和稳定性。
非线性Volterra积分方程---精品管理资料
一类第二种非线性Volterra 积分方程积分数值解方法1前言微分方程和积分方程都是描述物理问题的重要数学工具,各有优点。
相对于某种情况来说，对于某种物理数学问题，积分方程对于问题的解决比微分方程更加有优势，使对问题的研究更加趋于简单化，在数学上，利用积分形式讨论存在性、唯一性往往比较方便，结果也比较完美，所以研究积分方程便得越来越有用，日益受到重视.积分方程的发展，始终是与数学物理问题的研究息息相关。
一般认为，从积分发展的源头可以追溯到国外的数学家克莱茵的著作《古今数学思想》，该书是被认为第一个清醒的认为应用积分方程求解的是Abel.Abel 分别于1833年和1826年发表了两篇有关积分方程的文章，但其正式的名称却是由数学家du Bois-Raymond 首次提出的，把该问题的研究正式命名为积分方程.所以最早研究积分方程的是Abel,他在1823年从力学问题时首先引出了积分方程，并用两种方法求出了它的解,第一的积分方程便是以Abel 命名的方程。
该方程的形式为：⎰=-baax f dt t x t )()()(ϕ，该方程称为广义Abel 方程,式中a 的值在(0，1）之间.当a=21时，该式子便成为)()(x f dt tx x x a =-⎰ϕ。
在此之前，Laplace 于1782年所提出的求Laplace 反变换问题，当时这个问题就要求解一个积分方程。
但是Fourier其实已经求出了一类积分方程的反变换，这就说明在早些时候积分方程就已经在专业性很针对的情况下得到了研究，实际上也说明了Fourier 在研究反变换问题是就相当于解出了一类积分方程。
积分方程的形成基础是有两位数学家Fredholm 和V olterra 奠定的，积分方程主要是研究两类相关的方程，由于这两位数学家的突出贡献,所以这两个方程被命名为Fredholm 方程和V olterra 方程。
后来又有德国数学家D 。
Hilbert 进行了重要的研究,并作出了突出的贡献，由于D.Hilbert 领头科学家的研究,所以掀起了一阵研究积分方程的热潮，并出现了很多重要的成果，后来该理论又推广到非线性部分.我国在60年代前，积分方程这部分的理论介绍和相关书本主要靠翻译苏联的相关书籍，那时研究的积分方程基本是一种模式,即用古典的方法来研究相关的积分方程问题，这样使得问题的研究变得繁琐、复杂,在内容方面比较单一、狭隘,甚至有些理论故意把积分方程的研究趋向于复杂化。
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桥梁非线性动力响应方法及volterra级数非线性方法探讨作者：冉晴等来源：《建筑科技与经济》2014年第01期摘要：强震下桥梁的破坏和倒塌，造成的人员伤亡和经济社会效益是不容忽视的；另一方面，随着桥梁结构体系越来越复杂和延性抗震设计理念的转变，都使得桥梁非线性抗震验算越来越受到工程师的重视。
本文回顾了桥梁非线性动力学问题的发展，总结了目前桥梁非线性抗震验算方法的优、缺点，着眼于非线性系统理论及最新成果，通过volterra级数在非线性系统理论中的成果，探讨了volterra级数在桥梁工程的运用的可行性及优越性，并提出了volterra 级数运用于桥梁结构的关键性问题。
关键词：桥梁；非线性动力学；volterra级数；非线性频率响应函数1.引言我国广阔、复杂的地貌，造就了多山多河的地形，为了方便人们的出行，桥梁作为可以跨谷跨河的工程结构物得到了广阔的发展。
其中桥梁动力学问题分析作为桥梁分析中重要的一环，关系到桥梁功能的正常使用和生命财产安全，被研究学者和设计工程师重点关注着。
在2008年我国汶川8.0级地震，有24条高速公路、6140座桥梁受损，导致了69225人遇难，4600多万人受灾[1]，造成难以估计的损失。
只进行桥梁线性动力分析已经不满足需求，因此破坏性地震下桥梁的非线性动力验算愈来愈得到工程人员的重视。
另一方面，现代桥梁体系延性设计的理念的转变、减隔震支座的采用和大量大跨桥梁复杂新体系的出现，都决定着桥梁非线性动力响应分析的必要性。
2.桥梁非线性动力响应发展经过了各界研究学者的1个多世纪的探索，从1900年日本提出的采用静力等效力来模拟地震力，到现代能够比较完整的考虑地震三大主要效应（峰值、频率、持时）的时域分析方法和频域分析方法，对结构地震动力的线性响应考虑也愈趋细致。
非线性动力响应不再满足叠加原理，表现为非常复杂的力学行为，如分叉、混沌现象。
这些理论和计算远远不理想，本文并不探讨。
本文主要探讨桥梁弱非线性的动力响应。
2.1非线性模型的发展各界工程师通过对非线性的反应的分析，提出了各种非线性模型模拟非线性激励和响应关系。
对于土木结构，材料、隔震支座的屈服、构件间的摩擦等都表现出迟滞的效益，计算相应的非线性动力响应，往往选择带有迟滞恢复力的模型：如双线性模型、Ramberg-Osgood模型、分布弹塑性元件模型及Bouc-wen的辅助微分模型等，以这些模型为基础发展出桥梁工程结构常用的理想弹塑性模型、三线性模型、半经验骨架模型、纤维模型等等。
计算方法以分析得到的结果和目标分为确定性分析和随机分析。
2.2确定性方法及发展这种方法将地震对桥梁结构的作用根据历史统计规律或者其他规律具体为某一特定的作用力，因此忽略地震的随机性和不可重复性。
由于这种方法对各种非线性模型有很强的适应性，特别是非线性时程分析，随着数值计算的发展，这种方法广泛运用，桥梁主要的计算软件MIDAS、ANSYS等可以准确实现了对这类方法的计算。
例如非线性反应谱方法、poshover分析和非线性时程分析方法。
前者属于频域分析，地震反应谱来源于大量的历史统计资料和理论方法进行扩充，相对于弹性反应谱适应性其很小，不同的非线性模型，即使相同地震动所对应的反应谱曲线也不相同。
其次，非线性体系不满足叠加原理，多自由度的组合仍然是十分困难的问题。
但由于工程结构抗震并不要求过分精确的结构，这种方法对能对动力特征和地震统计规律有较好的体现，所以不少学者对此方法进行深入研究。
学者公茂盛、翟长海等人基于大量强震记录，研究了场地条件、延性系数、震级及距离等参数对非弹性反应谱的影响，给出了四类场地条件下的平均等延性地震抗力谱[2]，及非弹性反应谱衰减规律[3]，其成果可供抗震研究和设计直接应用；王丰、李宏男等人考虑了地震动方向的影响建立了基于统计的强度折减系数设计谱[4]；其他学者关于非线性反应谱的研究也考虑强度折减系数、近场效应、多自由度体系效应、结构超强等方面的影响，这里不再赘述。
poshover分析，即能力谱分析和需求谱分析、推导分析，是拟静力的分析，通过计算结构基底剪力与顶点位移关系曲线进行性能点计算结合非弹性反应谱达到桥梁抗震分析的目的。
国内外学者提出了多种能力谱方法，如ATC-40能力谱方法、Chopra改进能力谱方法、Fajfar改进能力谱方法、潘龙改进能力谱方法等，提高了适应性和精度，几种采用方法的对比，可以参见文献[5]。
非线性动力时程方法是几种方法中适应性最广，计算较为准确的方法，能够适应于各种非线性模型，随着计算机技术和非线性数值积分的发展，这种方法得以实现，现在能用于各种有限元软件，实现复杂结构的非线性动力时程计算。
这种方法基本原理是基于脉冲响应函数瞬态积分，并通过计算结果改变参数。
这种方法因为计算结果比较准确，又有有限元软件支持，是最常用的研究手段，大量文献可供参考，不再列出。
2.3随机方法的发展这类方法所得出的结果是响应统计值，并可以进而计算某一情况下的破坏概率分析。
随机理论出现于较早，但主要发展与20世纪50年代，70年代趋于采用成熟。
Rayleigh于1919年第一次提出随机振动的概率。
在地震工程中对地震动经常采用平稳化遍历随机过程描述，即随机变量统计特征都与时间无关，使得不少统计学理论得以运用。
1930年，著名控制理论学家Winer在他的著作中首次精确定义了一个随机过程的自相关函数，并把谱分析建立在随机过程统计特征的基础上，并定义功率谱密度为频域的连续函数。
功率谱的方法由于概念清晰和并且线性结构多激励等数学的解决得到了比较广泛的运用，其基于频谱方法的激励与响应反映地震频率成分和结构动力的特性，能够计算可靠度，很好的的补充确定性分析的缺点。
因此，国内外少学者相续提出了不少功率谱密度曲线模型和功率谱估计的方法。
首先提出的是在整个频域内能量均匀分布的白噪声模型。
随后巴尔斯坦、金井清和田治洪分别提出的过滤白噪声模型，将地表土层看做是滤波器，并假定功率谱为经过土层过滤的白噪声，随后我国学者提出双过滤白噪声，它们的参数跟土层的特征周期和阻尼比相关。
这些功率谱密度模型理论上对于线性和非线性都可以用，但是由于目前非线性求解方法的计算难度大，大部分功率谱密度模型无法适应。
其他方法还包括，等效线性化法和等效非线性法、FPK方程法、摄动法、矩函数截断法、随机平均法等[6、7]。
等效线性化法将由Caughey提出，转化策略是使非线性系统与线性系统在随机激励下平均误差最小，求解问题归结为求解扩阶的Lyapunov方程，求解困难。
我国学者林家浩首创的虚拟激励法[8]简化了计算，特别是多自由度计算效率很高，但是外激励仅限于白噪声或过滤白噪声。
FPK方程式非线性振动分析最严密的方法，但是求解条件苛刻能解决问题不多，基本局限于单自由度；矩函数截断法基于响应为高斯分布的假设来求解非线性系统的反应矩，但是计算复杂难以推广。
这些方法都面临计算复杂，计算成本高，多自由度计算困难等等问题，不能领人满意。
另外，Monte Carlo数值模拟法由于计算特别费时，极少被直接运用而是检验的手段。
3.volterra级数及非线性动力学运用对于非线性系统动力响应，上述方法都并不令人满意，不少学者将目光转向了数学领域。
至上世纪初，Volterra首次提出了将一阶线性积分向多维进行了扩展，即volterra级数。
从泛函的角度上看，可以认为volterra级数是泰勒级数的广义形式。
1959年MIT学者Geoge，提出了非线性频率响应函数的概念，并将各阶次Volterra级数核函数的多维傅里叶变换定义为广义频率响应函数（GFRF）。
Barrett最早引入了到非线性动力微分方程的求解。
volterra级数的各阶核函数与激励无关，时域核和频域核分别表示各阶脉冲响应函数和频率响应函数，具有明确的物理意义。
由此引入volterra级数的非线性振动理论开启了新篇章。
Rice和 Bedrosian研究了谐波和高斯噪声下的Volterra系统的非线性频响函数[9]；Bussagan和他的同事将该方法推广到多激励系统研究[10]；Z.K.Peng等学者研究了多自由度多个非线性变量的Volterra级数的频响函数[11]；Billings和Peyton提出一种基于谐波探测的递推方法来计算给定动力方程的非线性系统广义频响函数并推广到多自由度[12、13]。
S.A.Billing与其合作者首创性的提出NARMAX 离散时间模型[14、15]，该方法相较与Volterra级数的降低了参数辨识量，不少学者对其大量研究，并且这种方法可以对黑箱系统辨识为提供非线性系统辨识了方便；Wael Suleiman提出基于梯度下降法有限自由度非线性系统volterra级数的在线辨识新方法[16]。
随着volterra级数理论在非线性动力系统。
这些研究为volterra级数对实际工程的运用打下基础，文献[17]运用volterra级数研究了汽车里的Monroe-McPherson支撑缓冲器，并取得了理想结果。
S.A.Billing 运用NARMAX模型对描述波浪力的莫里森方程进行辨识，并运用辨识结果推出了相应volterra的频率核函数[18]。
特别的，根据Weierstrass逼近理论，在封闭有界限区间上，任何连续函数都能用多项式函数对其进行任意精度的逼近，实际中大部分非线性系统都能用光滑非线性微分方程[19]来表示，扩展了volterra级数的运用范围，只有求出该方程根据谐波探测法能轻易求出volterra级数。
至今，经过各界学者共同努力，双线性模型、Ramberg-Osgood模型等迟滞系统的volterra/wiener核函数辨识方法得到大量研究并发展[20]。
即使是比较复杂的迟滞模型，如Bouc-wen辅助微分模型，虽然尚未求出相应volterra级数核函数，但是单自由度NARX模型辨识得到了较理想结果[21]。
文献[22]推导了多芬非线性系统的功率谱理论解，并进行数值模拟，文中还利用volterra级数对简单钢桥模型进行非线性检测。
4.展望通过对桥梁非线性动力响应方法的回顾，可以看出非线性动力时程方法计算结果比较准确且软件实现容易，但是时域方法无法看出结构动力特性。
对于确定性方法无论是时域分析还是频域分析都忽略了地震荷载的随性性和不可重复性，对桥梁工程抗震的指导意义并不完善。
而现有的随机方法假设较多，条件要求苛刻，可用随机激励模型少，并且都面临着计算比较困难，特别对于多自由度计算结果不理想。
volterra级数运用于非线性系统理论虽然有很多问题尚未解决，如收敛性问题，但是其核函数在时域和频域分别具有高阶脉冲响应函数和高阶频率响应函数的物理意义，剔除了不同激励对非线性结构的影响，反应了系统的非线性动力特性，理论上能够适应于各种求解方法和目标，特别是非线性频响函数扩展了功率谱在非线性系统的运用，为工程抗震带来很大的意义。