进动

r v
高速自转的对称陀螺 在任一短暂时间内均有 r r r 顶点 O 质心 C自转 ω LO , r Μ O r r dLO r 进动角速度 进动角速度 Ω r =Μ
r Μ r LO
r r dL Μ
r r dt dL // Μ O O r r Μ O ⊥ LO,t r r r r 进动 dLO Μ O dLO ⊥ LO,t r r 略去下标“O” 略去下标“ r r r LO LO,t≈ L轴,t r r
r r 2 LO,0 = ω∫ r⊥ dm − ω ∫ z轴r⊥ dm 陀螺 陀螺 r r 参见原PPT文件第 文件第18页 = Jω = L轴,0 参见原 文件第 页 r 陀螺受重力、 陀螺受重力、支持力 ∑ F ≠ 0 对点O r 对点O的合力矩 r r r r Μ O = Μ G,O = rC × mg ⊥ LO,0
对高速自转的刚体， 对高速自转的刚体， 只要受有垂直于自转 轴的分外力矩， 轴的分外力矩，就会 发生进动， 发生进动，角动量末 点进动轨迹的切向与 分外力矩同向。 分外力矩同向。
O
r r L ∥ω
r mg
v dL
v L
r dL ⊗ M
Ω
注意： 以上只是近似的结果， 注意： 以上只是近似的结果，因为 即或是刚体高速自转的近似下，当进动发生后， 即或是刚体高速自转的近似下，当进动发生后， r r 总角速度 ω总 = ω + Ω 只有刚体高速自转，使 ω >> Ω 时， 只有刚体高速自转， r r r r & 的表示式。 这时也才有 L = Jω ，和以上 Ω 的表示式。 才有ω总 = ω， & c 若一刚体的转动可看作是沿两个轴的转动， 若一刚体的转动可看作是沿两个轴的转动，且其中一个是绕对称轴的高速 还有， 还有，
转动，则一定存在一个垂直于对称轴的外力矩，而另一转动则是进动。 转动，则一定存在一个垂直于对称轴的外力矩，而另一转动则是进动。
r r r L总 = L + Mdt
r Ω
ω
r ΜO
r
r L轴,0 C
θ
r rC
r G
o
与对称轴垂直 不影响自转快慢
重刚体： 重刚体：仅在重力和约束力作 r r LO , r ΜO 用下的定点运动刚体 r dLO r =r O r Μ 对称重刚体： 对称重刚体：具有轴对称性 ω dt dL // Μ r O O r r r dL 回转仪： 回转仪： 高速自转的 Μ O ⊥ LO,t Μ r r r 无外力矩 对称重刚体 r Μ O dLO ⊥ LO,t dL r r r 对称陀螺 质心 C r L 方向变 r r LO LO r r LO,t≈ L轴,t O L ⊥ L 顶点 O 自转 ω r d O O,t L轴,0 t=0， 点于水平面 =0， 大小不变 置顶点 置顶 Cr C r rC 对称轴与铅直线夹角θ Μ O总是垂直于 r r r r LO,0 = r ω = L轴,0 J 陀螺的对称轴 r rC r r r Μ O = Μr O = rC × mg ⊥ LO,0 r 故 t=0+dtr时仍有 G, θ r r r Μ O ⊥ LO,t t=0+dt r O,t = LO,0 + M Odt r LO,0 L ≠ r r 因此， r ω 大小不变 | L轴,t |=| L轴,0 | 因此， r LO,t 一般不沿对称轴 G 关于0→0+dt时间内力矩 关于0 时间内力矩 r 作用的结论在以后任一 ω 近似 r 很大 或力矩很小 G r r r r
Μ = Ω× L
r r L = Jω t r r L + dL t + dt
t t r →r + dt r dϕ dϕ Μ = rC × mg Ω = r r dt dL =Mr dt r | r dL |=| M | dt | Μ |= rC mg sin( π − θ ) r = rC mg sin θ r | dL |=| L | sin θ ⋅ dϕ = Jω sin θ ⋅ dϕ
r dr m r rt
r
Cr rC
r v
r G
L轴,0 C r
θ
r rC
o ！ 不会倾倒！ 不会倾倒
大小不变 矢量末点在作圆 LO 周运动， 周运动，其轨迹切 向与力矩矢量共线 即 自转轴在转动 r G 叫做进动 相应的角速度叫 做进动角速度 做进动角速度
匀速圆周运动 r
rr , dr r =v dt r r v ⊥r r r r drr ⊥ rr v = ωm × r
Μ = Ω× L
自转角动量末点进动轨迹的切向与分外力矩同向。 自转角动量末点进动轨迹的切向与分外力矩同向。
当角速度方向相反时，角动量反向！ 当角速度方向相反时，角动量反向！ 陀螺进动的方向将反向！如图所示。 陀螺进动的方向将反向！如图所示。
r Ω
v v L + dL
θ
· rc
r r r 另外， 另外， Μ = Ω × L
O
| LO,t |≈| LO,0 | =| L轴,t | LO,t ≈ L轴,t
o
短暂时间内均成立
匀速圆周运动 r
rr , dr r =v dt r r v ⊥r r r dr ⊥ r
r v
高速自转的对称陀螺 在任一短暂时间内均有 r r r 顶点 O 质心 C自转 ω LO , r Μ O r r dLO r 进动角速度 进动角速度 Ω r =Μ
| LO |≈ Jω
ω
O
Jω sin θ ⋅ dϕ = rC mg sin θdt
dϕ mgrC = Ω= Jω dt 教材 ω p Ω 大小与 ω 有关 , 与 θ 无关 ! 接近90 90° θ接近90°也进动 Μ = ΩL sin θ
L轴,0 方向：右手螺旋 方向： C r r进动角速度 r r rC Μ = rC × mg θ Μ =rmgrC sin θ r r | Ω × L |= ΩL sin θ G mgr mgrC C 大小： 大小： = Ω = o L Jω
O
| LO |≈ Jω
ω
ωm
r v
r r
r dr m r rt
r
r v
L轴,0 方向：右手螺旋 方向： Cr C rC r r进动角速度 r r rC Μ = rC × mg θ Μ =rmgrC sin θ r r | Ω × L |= ΩL sin θ r G mgr mgrC C G 大小： = 大小： Ω = o ！ L Jω 不会倾倒！ 不会倾倒
角动量的进动
重刚体： 重刚体：仅在重力和约束力作 用下的定点运动刚体 对称重刚体： 对称重刚体：具有轴对称性 回转仪： 回转仪： 高速自转的 无外力矩 对称重刚体 对称陀螺 质心 C r 顶点 O 自转 ω t=0， 点于水平面 =0， 置顶点 置顶 对称轴与铅直线夹角θ 对定点O的角动量 对定点 的角动量 r
高速自转的对称陀螺 在任一短暂时间内均有 r 顶点 O 质心 C自转 ω r r r dLO r 进动角速度 进动角速度 Ω r =Μ
r Μ
dt r r r Μ O ⊥ LO,t dL r r r dϕ o′| L | sin θ r Μ O dLO ⊥ LO,t r 略去下标“O” r r 略去下标“ r r r L + dL LO,t≈ L轴,t r r
r Μ r LO
r r dL Μ
r O r dt dL // Μ O O r r Μ O ⊥ LO,t r r r r 进动 dLO Μ O dLO ⊥ LO,t r r r L 方向变 r LO r r LO,t≈ L轴,t O L ⊥ L r d O O,t
| LO |≈ Jω
ω
ωm
r v
r r