3.1.1数系的扩充和复数的概念.ppt
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人教版2017高中数学选修1-2第三章《 数系的扩充与复数的概念》课件PPT
复数的代数形式：通常用字母 z 表示，即
z a bi (a R, b R)
实部 虚部 其中 i 称为虚数单位.
讨论？
复数集C和实数集R之间有 什么关系？
R C
实数b 0 纯虚数a 0，b 0, 复数a+bi 虚数b 0 非纯虚数a 0，b 0.
若a, b, c, d R,
a c, a bi c di b d .
，其中
x, y R 求
例2
已知 (2 x 1) i y (3 y )i
x与y.
解：更具复数相等的定义，得方程组
2 x 1 y， 5 解得 x , y 4. 2 1 (3 y)，
例1 实数m取什么值时，复数
z m 1 (m 1)i
是（1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？
解: （1）当 m 1 0，即
m 1时，复数z 是实数． （2）当 m 1 0 ，即 m 1 时，复数z 是虚数． （3）当 m 1 0 即 m 1时，复数z 是 纯虚数． m 1 0
（数） y
（形）
建立了平面直角坐标系来表示 复数的平面 ------复数平面 (简称复平面)
z=a+bi Z(a,b)
a b
o
x
x轴------实轴 y轴------虚轴
例1 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点
位于第二象限，求实数m允许的取值范围。
m 2 m 6 0， 3 m 2， 解：由 2 得 m m 2 0， m 2 或 m 1，
高中数学《3.1.1数系的扩充和复数的概念》课件1 新人教A版选修1-2
【变式1】 已知下列命题：
①复数a＋bi不是实数；
②当z∈C时，z2≥0； ③若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±2； ④若复数z＝a＋bi，则当且仅当b≠0时，z为虚数； ⑤若a、b、c、d∈C时，有a＋bi＝c＋di，则a＝c且b＝d.
其中真命题的个数是________．
A．0 B．1 C．2 D．3
[思路探索] 只需根据复数的有关概念判断即可． 解析 ①由于x，y∈C，所以x＋yi不一定是复数的代数形式，不符
合复数相等的充要条件，①是假命题．
②由于两个虚数不能比较大小，
∴②是假命题． ③当x＝1，y＝i时， x2＋y2＝0成立，∴③是假命题． 因为复数为纯虚数要求实部为零，虚部不为零，故④错；因为－1
题型二
复数相等的充要条件的应用
【例 2】 (1)已知 x2－y2＋2xyi＝2i，求实数 x、y 的值． a (2)关于 x 的方程 3x － x－1＝(10－x－2x2)i 有实根，求实数 2
2
a 的值． [思路探索] 先确定“＝”两边复数的实部和虚部，然后列方 程组求解．
解
(1)∵x2－y2＋2xyi＝2i，
2x－1＝－b， ∴ 1＝b－3，
3 3 x＝－ ， x＝－ ， 2 2 解得 ∴ b＝4. y＝4i.
题型三 复数的分类 m2＋m－6 【例 3】 当实数 m 为何值时，复数 z＝ ＋(m2－2m)i 为 m (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数．
[规范解答]
规律方法
(1)利用复数相等，我们可以把复数问题转化为实数问
题来解决．
(2)复系数方程有实根问题，实际上就是两个复数相等的问题．
【变式 2】 求适合等式(2x－1)＋i＝y＋(y－3)i 的 x、y 值．其中 x ∈R，y 是纯虚数． 解 设 y＝bi(b∈R 且 b≠0)代入等式得
云南省昆明市第三中学空港实验学校人教版高中数学选修1-2课件：3.1 数系的扩充和复数的概念
5.你认为怎样定义两个复数相等？两个复数有大小关系吗？
若a,
b,
c,
d
R,
a
bi
c
di
a b
c d
6.复数 z a bi 在什么条件下是实数？
问题2.什么是复数？复数有什么特征？
实数 m 取什么值时，复数 z m 1 m 1i 是
（1） 实数？（2）虚数？（3）纯虚数？
已知2x 1 i y 3 yi ，其中 x, y R ，求 x, y
（3）若 A(x1, y1 ) ， B(x2 , y2 ) ，则 AB x2 x1, y2 y1
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标 新疆 王新敞 奎屯
即
AB = OB OA =( x2, y2) (x1,y1)= (x2 x1, y2 y1)
新疆 王新敞
奎屯
问题3.复数的几何意义是什么？
使这个方程有解吗？
数的概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类社会初期，人们在狩猎、采 集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示“没 有”的数0.自然数的全体构成自然数集N
为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们引进了分数；为了表示各种具有相反意义
的量以及满足记数的需要，人们又引进了负数.这样就把数集扩充到有理数集 Q.显然 N Q.如果把自然数集 (含正整数和 0)与负整数集合并在一起，构成整数集 Z，则有 Z Q、N Z.如果把整数看作分母为 1 的分数， 那么有理数集实际上就是分数集
1.向量的相关知识
（1）若 A(x, y) ， O(0, 0) ，则 OA x, y
（2）若 a (x1, y1 ) ， b (x2 , y2 ) ，则 a b (x1 x2 , y1 y2 ) ， a b (x1 x2 , y1 y2 )
2014-2015学年高中数学(人教版选修2-2)配套课件第三章 3.1 3.1.1 数系的扩充和复数的相关概念
算时，原有加、乘运算律仍然成立．
a＋bi(a，b∈R) 的数叫做复数，a 叫做 2．复数的定义：形如_________________
实部 ，b 叫做复数的________ 虚部 ．全体复数所成的集合叫做 复数的________ 复数集 b＝ 0 ________， 用字母 C 表示． 对于复数 a＋bi(a， b∈R)， 当且仅当______ b≠0 时，复数 z＝a＋bi 时，复数 z＝a＋bi(a，b∈R)是实数 a；当________ a＝0且b≠0 时，z＝bi 叫做纯虚数；当且仅当________ a＝b＝0 叫做虚数；当____________
第三章
数系的扩充与复数的引入
3.1 数系的扩充和复数的概念 3．1.1 数系的扩充和复数的相关概念
栏 目 链 接
1．理解复数的基本概念． 2．理解复数相等的充要条件．
栏 目 链 接
栏 目 链 接
基 础 梳 理
1．虚数单位 i.
－1 ； (2)实数可以与它进行四则运算．进行四则运 (1)i2＝________
)
D．既不充分也不必要条件
栏 目 链 接
解析：若 a＋bi(a，b∈R)为纯虚数，则 a＝0，b≠0. ∴a＋bi(a， b∈R)为纯虚数是 a＝0 的充分不必要条件． 答案：A
自 测 自 评
2．下列说法正确的是( ) A．如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于 0， 那么这两个复数相等 B．若 a，b∈R 且 a＞b，则 ai＞bi C．如果复数 x＋yi 是实数，则 x＝0，y＝0 D．复数 a＋bi 不是实数
解得 x≠－3 且 x≠5.
2 x －x－6 x＋3 ＝0， (3) 要使该复数是纯虚数，需满足 x2－2x－15≠0.
a＋bi(a，b∈R) 的数叫做复数，a 叫做 2．复数的定义：形如_________________
实部 ，b 叫做复数的________ 虚部 ．全体复数所成的集合叫做 复数的________ 复数集 b＝ 0 ________， 用字母 C 表示． 对于复数 a＋bi(a， b∈R)， 当且仅当______ b≠0 时，复数 z＝a＋bi 时，复数 z＝a＋bi(a，b∈R)是实数 a；当________ a＝0且b≠0 时，z＝bi 叫做纯虚数；当且仅当________ a＝b＝0 叫做虚数；当____________
第三章
数系的扩充与复数的引入
3.1 数系的扩充和复数的概念 3．1.1 数系的扩充和复数的相关概念
栏 目 链 接
1．理解复数的基本概念． 2．理解复数相等的充要条件．
栏 目 链 接
栏 目 链 接
基 础 梳 理
1．虚数单位 i.
－1 ； (2)实数可以与它进行四则运算．进行四则运 (1)i2＝________
)
D．既不充分也不必要条件
栏 目 链 接
解析：若 a＋bi(a，b∈R)为纯虚数，则 a＝0，b≠0. ∴a＋bi(a， b∈R)为纯虚数是 a＝0 的充分不必要条件． 答案：A
自 测 自 评
2．下列说法正确的是( ) A．如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于 0， 那么这两个复数相等 B．若 a，b∈R 且 a＞b，则 ai＞bi C．如果复数 x＋yi 是实数，则 x＝0，y＝0 D．复数 a＋bi 不是实数
解得 x≠－3 且 x≠5.
2 x －x－6 x＋3 ＝0， (3) 要使该复数是纯虚数，需满足 x2－2x－15≠0.
3.1.1数系的扩充和复数的概念
数系的扩充
方程x 1 0有解吗？
2
i
i 1
2
虚数单位
规定： i 与实数可以进行四则运算，在进行运算时，原 有的加、乘运算律仍然成立．
数系的扩充
实数a与i做加法， 结果记为a i
实数b与i做乘法， 结果记为bi
设a, b R, 则：
a +b i 记作
C a bi a, b R
复数z a bi可以分类如下： b 0 实数 复数z b 0 虚数 (a 0纯虚数)
下列复数中哪些是实数，哪些是虚数，哪些是 纯虚数？
3 2i
1 3 i 2
- 5
1 3 i 2
1 3i 2
0.2i
i( 2 1)
1 3i 2
i
2
(i)
2
例题1：实数m取什么值时，复数
3.1.1 数系的扩充和复数的概念
数系的扩充
为了解决测量、分配中遇到的将某些量进 行等分的问题人们引进了分数，为了表示 各种具有相反意义的量，又引进了负数
自然数集N
用正方形的边长去度量它的对角线所得的结 果，无法用有理数表示，为了解决这个矛盾， 人们又引进了无理数.
有理数集Q
实数集R
实数集还需要进一步扩充吗？怎样扩充？
x, y
的值
小结：
2 1.数系扩充：复数集 i 2 1 ，（-i） 1
2.复数的代数形式：z a bi 1)实数
b0 2）虚数 b 0 3）纯虚数 b 0, 且a 0
z1 a bi, z2 c di z1 z2 a c, 且b=d
3.复数相等的充要条件：
a +bi
数系的扩充和复数的概念(省实验中学)
人教版选2修017
第三章 3.1.1 数系的扩充和复数的概念
广东实验中学数学科 张 曙
一、数系的扩充
1.自然数N : {0，1,2,3...}
对减法不封闭：2 - 3的结果不在自然数集中
2.整数Z :{ - 3,-2,-1,0, 1,2,3 }
对除法不封闭：2 3的结果不在整数集中
3.有理数Q :{x | x p , p、q Z} q
对开方运算不封闭：x Q时，x2 2无解（也可以说对极限 运算不封闭）
4.实数R : (-,)
x R时,方程x2 1无解
一、数系的扩充
引入这样一个数 i ，把 i 叫做虚数单位，并且规定： •• 实数可以与 进行四则运算，在进行四则运算时， 原有的加法与乘法的运算率 包括交换律、结合律 和分配律 仍然成立 • i 与实数b 相乘得bi , 规定0• i =0 • i 与实数a相加得a+i • bi=0+bi，a=a+0i，i=0+1i
三、题型探究
解析： ①错，复数由实数与虚数构成，在虚数中又分为纯虚数和
非纯虚数. ②错，只有当m，n∈R时，才能说复数z＝3m＋2ni的实部与 虚部分别为3m,2n. ③ 正 确 ， 复 数 z ＝ x ＋ yi(x ， y∈R) 为 纯 虚 数 的 条 件 是 x ＝ 0 且 y≠0，只要x≠0，则复数z一定不是纯虚数. ④错，只有当a∈R，且a≠－3时，(a＋3)i才是纯虚数.
m2m－＋m3－6＝0， m2＋5m＋6≠0
⇔mm＝ ≠－ －23或 且mm＝ ≠3－，2 ⇔m＝3.
∴当m＝3时，复数z是纯虚数.
谢谢观看！
三、题型探究
2.复数分类的应用
例2.求当实数m为何值时，z＝ m2－m－6＋(m2＋5m＋6)i分别是：
第三章 3.1.1 数系的扩充和复数的概念
广东实验中学数学科 张 曙
一、数系的扩充
1.自然数N : {0，1,2,3...}
对减法不封闭：2 - 3的结果不在自然数集中
2.整数Z :{ - 3,-2,-1,0, 1,2,3 }
对除法不封闭：2 3的结果不在整数集中
3.有理数Q :{x | x p , p、q Z} q
对开方运算不封闭：x Q时，x2 2无解（也可以说对极限 运算不封闭）
4.实数R : (-,)
x R时,方程x2 1无解
一、数系的扩充
引入这样一个数 i ，把 i 叫做虚数单位，并且规定： •• 实数可以与 进行四则运算，在进行四则运算时， 原有的加法与乘法的运算率 包括交换律、结合律 和分配律 仍然成立 • i 与实数b 相乘得bi , 规定0• i =0 • i 与实数a相加得a+i • bi=0+bi，a=a+0i，i=0+1i
三、题型探究
解析： ①错，复数由实数与虚数构成，在虚数中又分为纯虚数和
非纯虚数. ②错，只有当m，n∈R时，才能说复数z＝3m＋2ni的实部与 虚部分别为3m,2n. ③ 正 确 ， 复 数 z ＝ x ＋ yi(x ， y∈R) 为 纯 虚 数 的 条 件 是 x ＝ 0 且 y≠0，只要x≠0，则复数z一定不是纯虚数. ④错，只有当a∈R，且a≠－3时，(a＋3)i才是纯虚数.
m2m－＋m3－6＝0， m2＋5m＋6≠0
⇔mm＝ ≠－ －23或 且mm＝ ≠3－，2 ⇔m＝3.
∴当m＝3时，复数z是纯虚数.
谢谢观看！
三、题型探究
2.复数分类的应用
例2.求当实数m为何值时，z＝ m2－m－6＋(m2＋5m＋6)i分别是：
数学：3.1《数系扩充和复数概念》PPT课件(新人教选修2-2)
a
一一对应
面 y 向 量
b
o
x
复数的绝对值 (复数的模)的几何意义: 对应平面向量 OZ 的模| OZ |，即复数 z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的 距离。
y
| z | = a 2 b2
z=a+bi Z (a,b)
O
| z || z | a2 b2
练习1:
设z1,z2∈C, |z1|= |z2|=1
|z2+z1|=
2,
求|z2-z1|
2
练习2:复数z1,z2分别对应复 平面内的点M1,M2,,且| z2+ z1|=
| z2- z1|,线段M1M2,的中点M对应
的复数为4+3i,求|z1|2+ |z2|2
y
满 足 |z|=5(z∈C) 的 复 +yi(x,y∈R)
5
5 O x
0 3 4 5 4 3 0 y 5 4 3 0 3- 4- 5- x
5 2 y 2x z
–5
复数的几何意义（一）
复数z=a+bi （数） z=a+bi Z(a,b)
引言：在人和社会的发展过程中，常 常需要立足今天，回顾昨天，展望明天。 符合客观发展规律的要发扬和完善，不符 合的要否定和抛弃。那么，在实数集向复 数集发展的过程中，我们应该如何发扬和 完善，否定和抛弃呢？
如何探索复数集的性质和特点？ 探索途径： (1) 实数集原有的有关性质和特点能否
推广到复数集？
2．“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)所对 C 应的点在虚轴上”的（ ）。 (A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件 (C)充要条件 (D)不充分不必要条件
一一对应
面 y 向 量
b
o
x
复数的绝对值 (复数的模)的几何意义: 对应平面向量 OZ 的模| OZ |，即复数 z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的 距离。
y
| z | = a 2 b2
z=a+bi Z (a,b)
O
| z || z | a2 b2
练习1:
设z1,z2∈C, |z1|= |z2|=1
|z2+z1|=
2,
求|z2-z1|
2
练习2:复数z1,z2分别对应复 平面内的点M1,M2,,且| z2+ z1|=
| z2- z1|,线段M1M2,的中点M对应
的复数为4+3i,求|z1|2+ |z2|2
y
满 足 |z|=5(z∈C) 的 复 +yi(x,y∈R)
5
5 O x
0 3 4 5 4 3 0 y 5 4 3 0 3- 4- 5- x
5 2 y 2x z
–5
复数的几何意义（一）
复数z=a+bi （数） z=a+bi Z(a,b)
引言：在人和社会的发展过程中，常 常需要立足今天，回顾昨天，展望明天。 符合客观发展规律的要发扬和完善，不符 合的要否定和抛弃。那么，在实数集向复 数集发展的过程中，我们应该如何发扬和 完善，否定和抛弃呢？
如何探索复数集的性质和特点？ 探索途径： (1) 实数集原有的有关性质和特点能否
推广到复数集？
2．“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)所对 C 应的点在虚轴上”的（ ）。 (A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件 (C)充要条件 (D)不充分不必要条件
2014年人教A版选修1-2课件3 .1 数系的扩充和复数的概念
本章内容
3.1 数系的扩充和复数的概念 3.2 复数代数形式的四则运算 第三章 小结
3.1 数系的扩充和复数的概念
3.1.1 数系的扩充和复数的概念 3.1.2 复数的几何意义
3.1.1 数系的扩充和复数的概念
返回目录
1. 什么是虚数? 它的结构形式是怎样的? 2. 什么是虚单位? 它有什么特点?
3. 什么是复数? 它的范围包括哪些数?
问题1. 方程 x2=2 和 x2= -2 在什么样的数系范围 内有解? 在什么样的数系范围内无解? 如果要使它 们都有解, 怎么办? x2=2 在有理数范围内无解, 将数系扩充到实数 范围内就有解: x = 2 . x2= -2 在有理数范围内无解, 将数系扩充到实数 范围还是无解. 要使 x2= -2 有解, 考虑把数系再扩充.
3. 如果 (x+y)+(y-1)i = (2x+3y)+(2y+1)i, 求实数 x, y 的值.
解: 两复数相等, 必须实部与实部相等, 且虚部 与虚部相等, 则得方程组 x + y = 2 x + 3 y, y - 1 = 2 y + 1. 解方程组得 x=4, y= -2.
即得两相等复数为 2-3i = 2-3i.
. 实数 m 取什么值时, 复数 z=m+1+(m-1)i 是 (1) 实数; (2) 虚数; (3) 纯虚数. 解: (1) 当 m-1=0 时, z 是实数, 即 m=1 时, z=2 是实数.
(2) 当 m-1≠0 时, z 是虚数,
即 m≠1 时, z=m+1+(m-1)i 是虚数. (3) 当 m+1=0 且 m-1≠0 时, z 是纯虚数, 即 m= -1 时, z= -2i 是纯虚数.
3.1 数系的扩充和复数的概念 3.2 复数代数形式的四则运算 第三章 小结
3.1 数系的扩充和复数的概念
3.1.1 数系的扩充和复数的概念 3.1.2 复数的几何意义
3.1.1 数系的扩充和复数的概念
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1. 什么是虚数? 它的结构形式是怎样的? 2. 什么是虚单位? 它有什么特点?
3. 什么是复数? 它的范围包括哪些数?
问题1. 方程 x2=2 和 x2= -2 在什么样的数系范围 内有解? 在什么样的数系范围内无解? 如果要使它 们都有解, 怎么办? x2=2 在有理数范围内无解, 将数系扩充到实数 范围内就有解: x = 2 . x2= -2 在有理数范围内无解, 将数系扩充到实数 范围还是无解. 要使 x2= -2 有解, 考虑把数系再扩充.
3. 如果 (x+y)+(y-1)i = (2x+3y)+(2y+1)i, 求实数 x, y 的值.
解: 两复数相等, 必须实部与实部相等, 且虚部 与虚部相等, 则得方程组 x + y = 2 x + 3 y, y - 1 = 2 y + 1. 解方程组得 x=4, y= -2.
即得两相等复数为 2-3i = 2-3i.
. 实数 m 取什么值时, 复数 z=m+1+(m-1)i 是 (1) 实数; (2) 虚数; (3) 纯虚数. 解: (1) 当 m-1=0 时, z 是实数, 即 m=1 时, z=2 是实数.
(2) 当 m-1≠0 时, z 是虚数,
即 m≠1 时, z=m+1+(m-1)i 是虚数. (3) 当 m+1=0 且 m-1≠0 时, z 是纯虚数, 即 m= -1 时, z= -2i 是纯虚数.