2019年辽宁省鞍山市中考数学试卷

2019 年辽宁省鞍山市中考数学试卷一、选择题（本大题共 8小题，每小题 3分，共 24 分.在每小题给出的四个选项中，只有 项是符合题目要求的）1．（ 3分）在有理数 2，0，﹣ 1， 中，最小的是（ ）A ． 2B ． 0C ．﹣ 1D ．2．（3分）2019年 6月9日中央电视台新闻报道， 端午节期间天猫网共计销售粽子 123000000 个，将数据 123000000 用科学记数法表示为（7 A ．12.3× 108 B ．1.23×10 9 C ．1.23×10 9D ．0.123×107 个相同的小正方体搭成的几何体， 则这个几何体的左视图是 （ ）A ．（﹣ a 2）3＝﹣ a 6 2 3 6B ． 3a ?2a ＝ 6a3分）如图， AB ∥CD ，EF 与AB ，CD 分别交于点 G ，H ，∠ CHG 的平分线 HM 交AB 于点 M ，若∠ EGB ＝50°，则∠ GMH 的度数为（4． B ． 3 分）下列运算正确的是（ C ．5． 2 C ．﹣ a （﹣ a+1 ）＝﹣ a +a2 3 5 D ． a +a ＝ a 3 分）如图，某人从点 A 出发，前进 8m 后向右转 60°，再前进 8m 后又向右转 60°， 按照这样的方式一直走下去，当他第一次回到出发点 A 时，共走了B ．32mC ． 40mD ． 48m6．8．（3分）如图， 正方形 ABCD 和正方形 CGFE 的顶点 C ，D ，E 在同一条直线上， 顶点 B ， C ，G在同一条直线上． O 是 EG 的中点，∠ EGC 的平分线 GH 过点 D ，交 BE 于点 H ， 连接 FH 交 EG 于点 M ，连接 OH ．以下四个结论： ① GH ⊥BE ；② △EHM ∽△ GHF ；③ 1； ④ 2 ，其中正确的结论是（ ）A ．①②③B ．①②④C ． ①③④D ． ②③④二、填空题（本大题共 8小题，每小题 3 分，共 24分） 9．（ 3 分）函数 中，自变量 x 的取值范围是 ．10．（3 分）一个不透明的口袋中有红球和黑球共 25个，这些球除颜色外都相同．进行大量的摸球试验 （每次摸出 1个球） 后，发现摸到黑球的频率在 0.6 附近摆动， 据此可以估计 黑球为 个．211．（3 分）关于 x 的方程 x 2+3x+k ﹣1＝0 有两个相等的实数根，则 k 的值为 ． 12．（3 分）如图，在菱形 ABCD 中， E ，F 分别是 AD ，DC 的中点，若 BD ＝ 4，EF ＝ 3，则55° C ．60° D ．65°7．（3 分）如图，若一次函数 y ＝﹣ 2x+b 的图象与两坐标轴分别交于 A ，B 两点，点 A 的坐 标为（ 0， 3），则不等式﹣ 2x+b >0 的解集为（B ． x <C ．x >3D ．x <3A ． 50 °B ． A ． x >菱形ABCD 的周长为13．（3分）如图，AC是⊙O的直径，B，D 是⊙O 上的点，若⊙O的半径为3，∠ADB＝30°，14．（3 分）为了美化校园环境，某中学今年春季购买了A，B两种树苗在校园四周栽种，已知A 种树苗的单价比B 种树苗的单价多10 元，用600 元购买A 种树苗的棵数恰好与用450 元购买B 种树苗的棵数相同．若设A 种树苗的单价为x 元，则可列出关于x 的方程为．15．（3分）如图，正方形A0B0C0A1 的边长为1，正方形A1B1C1A2的边长为2，正方形A2B2C2A3 的边长为4，正方形A3B3C3A4 的边长为8⋯⋯依此规律继续作正方形A n B n?n A n+1，且点A0，A1，A2，A3，⋯，A n+1 在同一条直线上，连接A0C1交A1B1于点D1，连接A1C2交A 2B2 于点D 2，连接A2C3 交A3B3 于点D 3⋯⋯记四边形A0B0C0D 1 的面积为S1，四边形A1B1C1D2 的面积为S2，四边形A2B2C2D3 的面积为S3⋯⋯四边形A n﹣1B n﹣1C n﹣1D n 的面积为S n，则S2019＝．16．（3分）如图，在矩形ABCD 中，AB＝5，BC＝6，点M，N分别在AD ，BC上，且AM AD，BN BC，E为直线BC上一动点，连接DE，将△ DCE沿DE所在直线翻折得到△DC′E，当点C′恰好落在直线MN 上时，CE 的长为三、解答题（本大题共 2 小题，共 16 分.解答应写出必要的文字说明、 17．（8 分）先化简，再求值： （ ） ，其中 x ＝3 ．18．（8分）如图，△ ABC 的三个顶点的坐标分别是 A （2，4），B （1，1），C （3，2）．（1）作出△ ABC 向左平移 4 个单位长度后得到的△ A 1B 1C 1，并写出点 C 1的坐标．（2）已知△ A 2B 2C 2与△ ABC 关于直线 l 对称，若点 C 2的坐标为（﹣ 2，﹣ 3），请直接写 出直线 l 的函数解析式．注：点 A 1，B 1，C 1及点 A 2，B 2，C 2分别是点 A ，B ，C 按题中要求变换后对应得到的点．四、解答题（本大题共 2 小题，共 20分.解答应写出必要的文字说明、证明过19．（ 10 分）随着人民生活水平的不断提高，外出旅游已成为家庭生活的一种方式．某社区 为了解每户家庭旅游的消费情况，随机抽取部分家庭，对每户庭的年旅游消费金额进行 问卷调查，并根据调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图表． 组别家庭年旅游消费金额 x/元 户数 A0≤x ≤ 5000 36 B5000< x ≤10000 27 C10000< x ≤ 15000 m D15000< x ≤ 20000 33 E x > 20000 301）本次被调查的家庭有 户，表中 m ＝．证明过程或演算步骤）2）本次调查数据的中位数落在哪一组？请说明理由．3）在扇形统计图中， D 组所对应扇形的圆心角是多少度？4）若该社区有 3000 户家庭，请你估计年旅游消费在 10000 元以上的家庭户数．20．（ 10分）妈妈给小红和弟弟买了一本刘慈欣的小说 《流浪地球》 ，姐弟俩都想先睹为快． 是小红对弟弟说：我们利用下面中心涂黑的九宫格图案（如图所示）玩一个游戏，规则如 下：我从第一行，你从第三行，同时各自任意选取一个方格，涂黑，如果得到的新图案是轴对称图形．我就先读，否则你先读．小红设计的游戏对弟弟是否公平？请用画树状 图或列表的方法说明理由． （第一行的小方格从左至右分别用 A ， B ，C 表示，第三行的21．（10 分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y ＝ mx+n （ m ≠ 0）的图象与 y 轴交于点 C ，与反比例函数 y （ k ≠ 0）的图象交于 A ， B 两点，点 A 在第一象限，纵坐标为 4， 点 B 在第三象限， BM ⊥x 轴，垂足为点 M ，BM ＝OM ＝2．（1）求反比例函数和一次函数的解析式．（ 2）连接 OB ， MC ，求四边形 MBOC 的面积．证明过程或演算步22．（10分）如图为某海域示意图，其中灯塔 D 的正东方向有一岛屿C．一艘快艇以每小时20nmile 的速度向正东方向航行，到达A 处时得灯塔D 在东北方向上，继续航行0.3 h，到达B 处时测得灯塔D 在北偏东30°方向上，同时测得岛屿C 恰好在B 处的东北方向上，此时快艇与岛屿C的距离是多少？（结果精确到1nmile．参考数据： 1.41，1.73，六、解答题（本大题共2 小题，共20 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）23．（10 分）如图，在Rt△ ABC 中，∠ ACB＝90°，D 是AC 上一点，过B，C，D 三点的⊙O 交AB 于点E，连接ED ，EC，点F 是线段AE 上的一点，连接FD ，其中∠ FDE＝∠DCE．（1）求证：DF 是⊙O 的切线．（2）若D 是AC 的中点，∠ A＝30°，BC＝4，求DF 的长．24．（10分）某商场销售一种商品的进价为每件30 元，销售过程中发现月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系如图所示．（1）根据图象直接写出y 与x 之间的函数关系式．（2）设这种商品月利润为W（元），求W 与x 之间的函数关系式．25．（12分）在Rt△ABC 中，∠ ACB＝90°，D是△ ABC内一点，连接AD ，BD．在BD 左侧作Rt△ BDE ，使∠ BDE ＝90°，以AD和DE为邻边作? ADEF ，连接CD，DF．1）若AC＝BC，BD＝DE ．① 如图1，当B，D ，F 三点共线时，CD 与DF 之间的数量关系为．② 如图2，当B，D ，F 三点不共线时，① 中的结论是否仍然成立？请说明理由．（2）若BC＝2AC，BD＝2DE，，且E，C，F 三点共线，求的值．八、解答题（本大题共1 小题，共14 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）226．（14 分）在平面直角坐标系中，过点A（3，4）的抛物线y＝ax +bx+4 与x 轴交于点B （﹣1，0），与y轴交于点C，过点A作AD⊥x轴于点D．2）如图1，点P 是直线AB 上方抛物线上的一个动点，连接PD 交AB 于点Q，连接AP，当S△ AQD＝2S△APQ 时，求点P 的坐标．（3）如图2，G 是线段OC 上一个动点，连接DG ，过点G 作GM⊥DG 交AC 于点M，过点M 作射线MN，使∠ NMG ＝60°，交射线GD 于点N；过点G 作GH ⊥MN ，垂足为点H ，连接BH ．请直接写出线段BH 的最小值．2019 年辽宁省鞍山市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 8小题，每小题 3分，共 24 分.在每小题给出的四个选项中，只有 项是符合题目要求的）1．（ 3分）在有理数 2，0，﹣ 1， 中，最小的是（ ）A ． 2B ． 0C ．﹣ 1D ．【解答】 解：根据有理数比较大小的方法，可得﹣ 1< <0<2，故最小的有理数是﹣ 1．故选： C ．2．（3分）2019年 6月9日中央电视台新闻报道， 端午节期间天猫网共计销售粽子 123000000 个，将数据 123000000 用科学记数法表示为（）7 8 9 9 A ．12.3×10 B ．1.23×10C ． 1.23×10D ． 0.123×10 【解答】 解：将数据 1 2300 0000 用科学记数法表示为 1.23×108．故选： B ．解答】 解：从左面看第一层是三个小正方形，第二层左边一个小正方形．故选： C ．4．（3 分）下列运算正确的是（2 C ．﹣ a （﹣ a+1 ）＝﹣ a +a 7 个相同的小正方体搭成的几何体， 则这个几何体的左视图是 （ ）B ．C ．D ．A ．（﹣ a 2）3＝﹣ a 62 3 6 B ． 3a ?2a ＝ 6a2 3 5D ． a +a ＝ a意；第9页B 、原式＝ 6a ，不符合题意；2C 、原式＝ a ﹣a ，不符合题意；D 、原式不能合并，不符合题意， 故选： A ．5．（ 3分）如图，某人从点 A 出发，前进 8m 后向右转 60°，再前进 8m 后又向右转 60°， 按照这样的方式一直走下去，当他第一次回到出发点 A 时，共走了（ ）解答】 解：依题意可知，某人所走路径为正多边形，设这个正多边形的边数为n ， 则 60n ＝ 360，解得 n ＝ 6，故他第一次回到出发点 A 时，共走了： 8×6＝48（m ）． 故选： D ．6．（ 3分）如图， AB ∥CD ，EF 与AB ，CD 分别交于点 G ，H ，∠ CHG 的平分线 HM 交AB 于点M ，若∠ EGB ＝50°，则∠ GMH 的度数为（ ）A ．50°B ．55°C ． 60°D ． 65【解答】 解：∵ AB ∥CD ，∴∠ EHD ＝∠ EGB ＝50°，∴∠ CHG ＝ 180°﹣∠ EHD ＝ 180°﹣ 50°＝ 130°．∵HM 平分∠ CHG ，∴∠ CHM ＝∠ GHM ∠CHG ＝65°∵AB ∥CD ，∴∠ GMH ＝∠CHM ＝65°故选： D ．B ．32mC ． 40mD ．48m7．（3分）如图，若一次函数y＝﹣2x+b 的图象与两坐标轴分别交于A，B 两点，点A的坐标为（0，3），则不等式﹣2x+b>0 的解集为（）A ．x> B．x< C．x>3 D．x<3【解答】解：∵一次函数y＝﹣2x+b的图象交y 轴于点A（0，3），∴ b ＝3，令y＝﹣2x+3 中y＝0，则﹣2x+3＝0，解得：x ，∴点B（，0）．观察函数图象，发现：当x < 时，一次函数图象在x 轴上方，∴不等式﹣2x+b>0 的解集为x< ．8．（3 分）如图，正方形ABCD 和正方形CGFE 的顶点C，D，E 在同一条直线上，顶点B，C，G 在同一条直线上．O 是EG 的中点，∠EGC 的平分线GH 过点D ，交BE 于点H，OH ．以下四个结论：① GH⊥BE；② △EHM ∽△ GHF ；1；④ 2 ，其中正确的结论是（连接FH 交EG 于点M ，连接A ．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【解答】解：如图，∵四边形ABCD 和四边形CGFE 是正方形，∴BC＝CD，CE＝CG，∠ BCE＝∠ DCG ，在△ BCE 和△ DCG 中，∴△ BCE≌△ DCG（SAS），∴∠ BEC＝∠ BGH ，∵∠ BGH+∠CDG＝90°，∠ CDG ＝∠ HDE ，∴∠ BEC+∠ HDE ＝90°，∴GH⊥BE．故① 正确；∵△EHG 是直角三角形，O为EG的中点，∴ OH ＝OG＝OE，∴点H 在正方形CGFE 的外接圆上，∵EF＝FG，∴∠ FHG ＝∠ EHF ＝∠ EGF＝45°，∠ HEG ＝∠ HFG ，∴△ EHM ∽△GHF ，故② 正确；∵△ BGH≌△ EGH ，∴BH＝EH，又∵O是EG的中点，∴HO∥BG，∴△ DHN ∽△ DGC ，∴，设EC 和OH 相交于点N ．设HN ＝a，则BC＝2a，设正方形ECGF 的边长是2b，则NC＝b，CD ＝2a，∴，即a2+2ab﹣b2＝0，第12 页（共32 页）1，∴ 1 ，故③ 正确；∵△ BGH≌△ EGH ，∴EG＝BG，∵HO 是△ EBG 的中位线，∴ HO BG，∴ HO EG，设正方形ECGF 的边长是2b，∴EG＝2 b，∴ HO b，∵OH∥BG，CG∥EF，∴OH∥EF，∴△ MHO △MFE ，∴ EM OM，∴1，∴ 1 ，∵EO＝GO，∴ S△HOE＝S△HOG，∴ 1 ，故④ 错误，故选：A ．、填空题（本大题共 8小题，每小题 3 分，共 24分）【解答】 解：根据题意得： x+4≥ 0，解得： x ≥﹣ 4． 故答案为： x ≥﹣ 4．10．（3 分）一个不透明的口袋中有红球和黑球共 25个，这些球除颜色外都相同．进行大量的摸球试验 （每次摸出 1个球） 后，发现摸到黑球的频率在 0.6 附近摆动， 据此可以估计 黑球为 15 个．【解答】 解：由题意可得，黑球有： 25× 0.6＝15（个）， 故答案为： 15．211．（3 分）关于 x 的方程 x +3x+k ﹣1＝0 有两个相等的实数根，则 k 的值为 ．【解答】 解：根据题意得△＝ 32﹣4×1×（ k ﹣1）＝ 0，解得 k故答案为 ．12．（3 分）如图，在菱形 ABCD 中， E ，F 分别是 AD ，DC 的中点，若 BD ＝ 4，EF ＝ 3，则 菱形 ABCD 的周长为 4 ．解答】 解：如图，连接 AC ，∴AC ＝ 2EF ＝6，9．（3 分）函数 中，自变量 x 的取值范围是 x ≥﹣4∵ E ，F 分别是 AD ，DC 的中点， EF ＝3，∵四边形ABCD 为矩形，BD＝4，∴AC⊥ BD，AO＝3，BO＝2，∴ AB ，∴周长为4 ，故答案为：4 ．13．（3分）如图，AC是⊙O的直径，B，D 是⊙O 上的点，若⊙O 的半径为3，∠ADB＝30°，则的长为2 π ．解答】解：由圆周角定理得，∠ AOB＝2∠ADB ＝60∴∠ BOC＝180°﹣60°＝120°，2π，故答案为：2π．的长14．（3 分）为了美化校园环境，某中学今年春季购买了A，B两种树苗在校园四周栽种，已知A 种树苗的单价比B 种树苗的单价多10 元，用600 元购买A 种树苗的棵数恰好与用450 元购买B 种树苗的棵数相同．若设A 种树苗的单价为x 元，则可列出关于x 的方程为．【解答】解：设A种树苗的单价为x元，则B 种树苗的单价为（x﹣10）元，所以用600 元购买A 种树苗的棵数是，用450 元购买B 种树苗的棵数是．由题意，得．故答案是：．15．（3分）如图，正方形A0B0C0A1 的边长为1，正方形A1B1C1A2的边长为2，正方形A2B2C2A3第15 页（共32 页）的边长为4，正方形A3B3C3A4 的边长为8⋯⋯依此规律继续作正方形A n B n?n A n+1，且点A0，A1，A2，A3，⋯，A n+1 在同一条直线上，连接A0C1 交A1B1 于点D1，连接A1C2 交A2B2于点D2，连接A2C3 交A3B3于点D3⋯⋯记四边形A0B0C0D1的面积为S1，四边形A1B1C1D2 的面积为S2，四边形A2B2C2D3 的面积为S3⋯⋯四边形A n﹣1B n﹣1C n﹣1D n 的面积为S n，则S2019＝42018．【解答】解：∵四边形A0B0C0A1与四边形A1B1C1A2 都是正方形，∴A1D1∥ A2C1，∴ A1D 1 ，同理可得：A2 D2 ，∴ S1＝1 1 4040，S2＝4 4，S3＝4242，⋯，S n＝4n 14n1 n﹣14，2018∴ S2019 4 ，故答案为：42018．16．（3分）如图，在矩形ABCD 中，AB＝5，BC＝6，点M，N分别在AD ，BC上，且AM AD，BN BC，E为直线BC上一动点，连接DE，将△ DCE沿DE所在直线翻折得到△DC′E，当点C′恰好落在直线MN 上时，CE的长为或10 ．3，【解答】 解：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴DC ＝AB ＝5，∠ A ＝90°，AD ＝BC ＝6， ∵AM AD ＝2，BN BC ＝ 2，∴AM ＝BN ，∵AM ∥BN ，∴四边形 ABNM 的矩形，∴∠ NMA ＝∠ NMD ＝ 90 °， MN ＝ AB ＝ 5，∵将△ DCE 沿 DE 所在直线翻折得到△ DC ′E ， ∴ DC ′＝ DC ＝ 5，C ′E ＝CE ， ∵AM ＝2，∴ DM ＝ AD ﹣ AM ＝6﹣2＝ 4，如图 1，在 Rt △C ′MD 中， C ′M∴ C ′ N ＝MN ﹣ C ′ M ＝ 5﹣3＝2，∵∠ CDM ＝∠ DCN ＝∠ NMD ＝ 90°，∴四边形 CDMN 是矩形，∴CN ＝ DM ＝ 4，∠ CNM ＝90°，NE ＝CN ﹣CE ＝4﹣CE ，2 2 2在 Rt △C ′NE 中，∵ NE 2019+C ′N 2＝C ′ E 2，2019 2 2∴（ 4﹣ CE ）2+22＝CE 2，解得： CE ．如图 2，在 Rt △C ′MD 中， C ′M ∴C ′N ＝MN+C ′M ＝5+3＝8，∵∠ CDM ＝∠ DCN ＝∠ NMD ＝ 90°，∴四边形 CDMN 是矩形，3，∴CN＝DM＝4，∠CNM＝∠ MNE ＝90°，NE＝CE﹣CN＝CE﹣4，在Rt△C′NE 中，∵ NE2+C′N2＝C′ E2，2 2 2∴（CE﹣4）2+82＝CE2，解答：CE ＝10，故答案为：或10．三、解答题（本大题共2 小题，共16 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8 分）先化简，再求值：（），其中x＝3解答】解：原式＝[ ] ?当x＝3 时，原式．18．（8分）如图，△ ABC 的三个顶点的坐标分别是A（2，4），B（1，1），C（3，2）．（1）作出△ ABC 向左平移4 个单位长度后得到的△ A1B1C1，并写出点C1的坐标．（2）已知△ A2B2C2与△ ABC关于直线l 对称，若点C2的坐标为（﹣2，﹣3），请直接写出直线l 的函数解析式．注：点A1，B1，C1及点A2，B2，C2分别是点A，B，C 按题中要求变换后对应得到的点．解答】解：（1）如图，△ A1B1C1为所作，C1（﹣1，2）；2）如图，△ A2B2C2 为所作，∵C（3，2），C2（﹣3，﹣2），△A2B2C2与△ABC关于直线l 对称，∴直线l 垂直平分直线CC 2，∴直线l 的函数解析式为y＝﹣x．四、解答题（本大题共2 小题，共20分.解答应写出必要的文字说明、证明过19．（10 分）随着人民生活水平的不断提高，外出旅游已成为家庭生活的一种方式．某社区为了解每户家庭旅游的消费情况，随机抽取部分家庭，对每户庭的年旅游消费金额进行问卷调查，并根据调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图表．户数组别家庭年旅游消费金额x/元A 0≤x≤ 5000 36B 5000< x≤10000 27C 10000< x≤ 15000 mD 15000< x≤ 20000 33E x> 2000030请你根据统计图表提供的信息，解答下列问题：（1）本次被调查的家庭有150 户，表中m＝24 ．（2）本次调查数据的中位数落在哪一组？请说明理由．（3）在扇形统计图中，D 组所对应扇形的圆心角是多少度？（4）若该社区有3000户家庭，请你估计年旅游消费在10000 元以上的家庭户数．【解答】解：（1）本次被调查的家庭有：36÷24%＝150（户），m＝150﹣36﹣27﹣33﹣30＝24，故答案为：150，24；（2）本次调查数据的中位数落在 C 组，理由：∵本次抽查了150 户，36+27＝63，36+27+24 ＝87，∴本次调查数据的中位数落在C 组；（3）在扇形统计图中，D 组所对应扇形的圆心角是：360°79.2°；1740（户），答：年旅游消费在10000 元以上的家庭有1740 户．20．（10分）妈妈给小红和弟弟买了一本刘慈欣的小说《流浪地球》，姐弟俩都想先睹为快．是小红对弟弟说：我们利用下面中心涂黑的九宫格图案（如图所示）玩一个游戏，规则如下：我从第一行，你从第三行，同时各自任意选取一个方格，涂黑，如果得到的新图案是轴对称图形．我就先读，否则你先读．小红设计的游戏对弟弟是否公平？请用画树状4)3000第一行的小方格从左至右分别用A，B，C 表示，第三行的图或列表的方法说明理E，F 表示）【解答】解：不公平，理由如下：根据题意，画树状图如图：为（A、D）、（A、F）、（B、E）、（C、D）、（C、F）．由树状图可知，共有9 种等可能出现的情况，其中得到轴对称图案的情况有 5 种，分别∴P（小红先涂）P（弟弟先涂）∵＞．∴小红设计的游戏对弟弟不公平．五、解答题（本大题共2 小題，共20 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤21．（10 分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝mx+n（m≠ 0）的图象与y 轴交于点C，与反比例函数y （k≠ 0）的图象交于A，B 两点，点A 在第一象限，纵坐标为4，点B在第三象限，BM⊥x 轴，垂足为点M，BM＝OM＝2．（1）求反比例函数和一次函数的解析式．∴点B 的坐标为（﹣2，﹣2），∵反比例函数y （k≠ 0）的图象经过点B，第21 页（共32 页）则﹣2 ，得k＝4，∴反比例函数的解析式为y ，∵点A 的纵坐标是4，∴ 4 ，得x＝1，∴点A 的坐标为（1，4），∵一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象过点A（1，4）、点B（﹣2，﹣2），∴ ，解得，即一次函数的解析式为y＝2x+2 ；（2）∵y＝2x+2 与y轴交于点C，∴点C 的坐标为（0，2），∵点B（﹣2，﹣2），点M（﹣2，0），∴OC＝MB＝2，∵BM⊥x 轴，∴MB∥OC，∴四边形MBOC 是平行四边形，∴四边形MBOC 的面积是：OM ?OC＝4．22．（10分）如图为某海域示意图，其中灯塔 D 的正东方向有一岛屿C．一艘快艇以每小时20nmile 的速度向正东方向航行，到达A 处时得灯塔D 在东北方向上，继续航行0.3 h，到达B 处时测得灯塔D 在北偏东30°方向上，同时测得岛屿C 恰好在B 处的东北方向上，此时快艇与岛屿C的距离是多少？（结果精确到1nmile．参考数据： 1.41，1.73，【解答】解：过点D 作DE⊥ AB 于点E，过点C 作CF ⊥AB 于点F，如图所示．则DE∥CF，∠ DEA ＝∠ CFA＝90°．第22 页（共32 页）∴四边形CDEF 为平行四边形．又∵∠ CFE＝90°，∴? CDEF 为矩形，∴CF＝DE．根据题意，得：∠ DAB ＝45°，∠ DBE ＝60°，∠ CBF ＝45设DE ＝x（nmile ），在Rt△DEA 中，∵ tan∠ DAB ，AE x（nmile ）．∴在Rt△DEB 中，∵ tan∠ DBE ，BE x（nmile ）．∴∵AB＝20×0.3＝6（nmile），AE﹣BE＝AB，x x＝6，解得：x＝9+3 ，∴∴CF＝DE＝（9+3 ）nmile．在Rt△CBF 中，sin∠ CBF ，∴ BC 3 3 20（nmile ）．六、解答题（本大题共2 小题，共20 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）23．（10 分）如图，在Rt△ ABC 中，∠ ACB＝90°，D 是AC 上一点，过B，C，D 三点的⊙O 交AB 于点E，连接ED ，EC，点F 是线段AE 上的一点，连接FD ，其中∠ FDE＝∠DCE．（1）求证：DF 是⊙O 的切线．【解答】 解：（1）∵∠ ACB ＝90°，点 B ，D 在⊙O 上， ∴BD 是⊙O 的直径，∠ BCE ＝∠ BDE ，∵∠ FDE ＝∠ DCE ，∠ BCE+∠ DCE ＝∠ ACB ＝90°， ∴∠ BDE+∠FDE ＝90°， 即∠ BDF ＝ 90°， ∴DF ⊥ BD ，又∵BD 是⊙O 的直径， ∴ DF 是⊙O 的切线．（ 2）如图，∵∠ ACB ＝90°，∠ A ＝ 30°， BC ＝4，∵点 D 是 AC 的中点，∵ BD 是⊙O 的直径， ∴∠ DEB ＝ 90°，在 Rt △ BCD 中， 在 Rt △ BED 中， BE∴∠ DEA ＝ 180°﹣∠ DEB ＝90°，5，∴AB ＝2BC ＝2×4＝8，∵∠ FDE ＝∠ DCE，∠ DCE＝∠ DBE，∴∠ FDE ＝∠ DBE，∵∠ DEF ＝∠ BED＝90∴△ FDE ∽△ DBE，，即24．（10分）某商场销售一种商品的进价为每件30 元，销售过程中发现月销售量销售单价x（元）之间的关系如图所示．（1）根据图象直接写出y与x之间的函数关系式．（2）设这种商品月利润为W（元），求W与x之间的函数关系式．（3）这种商品的销售单价定为多少元时，月利润最大？最大月利润是多少？解答】解：（1）当40 ≤x≤ 60 时，设y与x 之间的函数关系式为y＝kx+b，将（40，140），（60，120）代入得解得：∴y 与x 之间的函数关系式为y＝﹣x+180；当60<x≤90 时，设y 与x 之间的函数关系式为y＝mx+n，将（90，30），（60，120）代入得，解得：∴ y＝﹣3x+300 ；y（件）与综上所述，y2（2）当 40≤x ≤60 时， W ＝（x ﹣30）y ＝（x ﹣30）（﹣ x+180）＝﹣ x +210x ﹣5400， 当60<x ≤90时， W ＝（ x ﹣30）（﹣ 3x+300）＝﹣ 3x 2+390x ﹣9000，综上所述， W ；<2（3）当 40≤x ≤60时， W ＝﹣ x 2+210x ﹣ 5400，∵﹣ 1< 0，对称轴 x 105，∴当 40≤ x ≤ 60时， W 随 x 的增大而增大，2∴当 x ＝60 时， W 最大＝﹣ 60 +210× 60﹣ 5400＝ 3600，2当 60<x ≤90 时，W ＝﹣ 3x 2+390x ﹣9000，∵﹣ 3< 0，对称轴 x 65，∵60<x ≤90，2∴当 x ＝65 时， W 最大＝﹣ 3×65 +390 × 65﹣ 9000＝ 3675，∵3675>3600，∴当 x ＝65 时， W 最大＝3675 ，答：这种商品的销售单价定为 65 元时，月利润最大，最大月利润是3675．七、解答题（本大题共 1 小题，共 12 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤25．（12分）在 Rt △ABC 中，∠ ACB ＝ 90°， D 是△ ABC 内一点，连接 AD ，BD ．在 BD 左 侧作 Rt △ BDE ，使∠ BDE ＝ 90°，以 AD 和 DE 为邻边作 ? ADEF ，连接 CD ，DF ．② 如图 2，当 B ，D ，F 三点不共线时， ① 中的结论是否仍然成立？请说明理由．2）若 BC ＝2AC ，BD ＝ 2DE ， ，且 E ，C ， F 三点共线，求 的值．解答】 解：（1）① 如图 1 中，连接 CF ．设 AC 交 BF 于 G ．CD 与 DF 之间的数量关系为DF CD① 如图 1，当 B ，D ，F 三点共线时，∵四边形AFED 是平行四边形，∴AF＝DE，DE∥AF，∵BD＝DE，∴AF＝BD，∵∠ BDE＝90°，∴∠ EDF＝∠ DFA＝90°＝∠ BCG ，∵∠ CGB＝∠ AGF ，∴∠ CBD ＝∠ CAF，∵BC＝AC，∴△ BCD≌△ ACF（SAS），∴∠ BCD＝∠ ACF，CD ＝CF，∴∠ BCA＝∠ DCF ＝90°，∴△ CDF 是等腰直角三角形，∴DF CD ．故答案为DF CD ．② 结论仍然成立．理由：如图2 中，连接CF．延长BD 交AF 的延长线于H，设AC 交BH 于G．∵四边形AFED 是平行四边形，∴AF＝DE，DE∥AF，∵BD＝DE，∴AF＝BD，∵∠ BDE＝90°，∴∠ DEH ＝∠ DHA ＝90°＝∠ BCG，∵∠ CGB＝∠ AGH ，∴∠ CBD ＝∠ CAF，∵BC＝AC，∴△ BCD≌△ ACF（SAS），∴∠ BCD＝∠ ACF，CD ＝CF，∴∠ BCA＝∠ DCF ＝90°，∴△ CDF 是等腰直角三角形，∴DF CD ．（2）如图3中，延长BD交AF 于H．设BH交AC于G．∵四边形AFED 是平行四边形，∴AF＝DE，DE∥AF，∵∠ BDE＝90°，∴∠ DEH ＝∠ DHA ＝90°＝∠ BCG，∵∠ CGB＝∠ AGH ，∴∠ CBD ＝∠ CAF，∵ 2 ，∴，∴△ CBD ∽△ CAF，∴2，∠ BCD＝∠ ACF，∴∠ BCA＝∠ DCF ＝90°，∵AD∥ EF，∴∠ ADC+∠DCF＝180°，∴∠ ADC＝90°，∵CD ：AC＝4：5，设CD ＝4k，AC＝5k，则AD＝EF＝3k，∴ CF CD ＝2k，∴ EC＝EF﹣CF ＝k，∴DE＝AF k，八、解答题（本大题共1 小题，共14 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）226．（14 分）在平面直角坐标系中，过点A（3，4）的抛物线y＝ax +bx+4 与x 轴交于点B （﹣1，0），与y轴交于点C，过点A作AD⊥x轴于点D．1）求抛物线的解析式．（2）如图1，点P 是直线AB 上方抛物线上的一个动点，连接PD 交AB 于点Q，连接AP，当S△ AQD＝2S△APQ 时，求点P 的坐标．（3）如图2，G 是线段OC 上一个动点，连接DG ，过点G 作GM⊥DG 交AC 于点M，过点M 作射线MN，使∠ NMG ＝60°，交射线GD 于点N；过点G 作GH ⊥MN ，垂足为点H ，连接BH ．请直接写出线段BH 的最小值．【解答】解：（1）将点A（3，4），B（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+4，得：，解得，2∴y＝﹣x +3x+4；2）如图1，过点P 作PE∥x 轴，交AB 于点E，∵A（3，4），AD⊥x 轴，∴ D（3，0），∵B（﹣1，0），∴ BD＝3﹣（﹣1）＝4，∵S△AQD＝2S△APQ，△AQD 与△APQ 是等高的两个三角形，∵PE∥x 轴，∴△ PQE∽△ DQB ，∴PE＝2，∴可求得直线AB 的解析式为y＝x+1，设 E （ x ，x+1），则 P （x ﹣2， x+1），22将点 P 坐标代入 y ＝﹣ x +3x+4 得﹣（ x+2） +3（x+2） +4＝ x+1， 解得 x 1＝ 3， x 2＝ 3当 x ＝ 3 时， x ﹣ 2＝ 3 2＝1，x+1＝ 3 1＝4 ∴点 P （ 1， 4 ）；当 x ＝ 3 时， x ﹣ 2＝ 3 2＝1 ，x+1＝ 31＝4 ∴P (1 ，4 ），∵点 P 是直线 AB 上方抛物线上的一个动点，∴﹣ 1< x ﹣ 2< 3，∴点 P 的坐标为（ 1 ，4 ）或（ 1 ， 4 ）；2（3）由（ 1）得，抛物线的解析式为 y ＝﹣x 2+3x+4，∴ C （ 0， 4），∵ A （ 3， 4），∴AC ∥x 轴，∴∠ OCA ＝ 90°，∴GH ⊥MN ，∴∠ GHM ＝ 90°，在四边形 CGHM 中，∠ GCM+∠GHM ＝180°，∴点 C 、 G 、 H 、M 共圆，则∠ GCH ＝∠ GMH ＝60°，∴点 H 在与 y 轴夹角为 60°的定直线上，∴当BH⊥CH 时，BH 最小，过点H 作HP⊥x轴于点P，并延长PH 交AC 于点Q，∵∠ GCH ＝60°，∴∠ HCM ＝30°，又BH⊥CH ，∴∠ BHC＝90°，∴∠ BHP＝∠ HCM ＝30°，设OP ＝a，则CQ ＝a，∴ QH a，∵B（﹣1，0），∴OB＝1，∴ BP ＝1+ a，在Rt△BPH 中，HP （a+1），BH2（1+a），∵QH+HP＝AD＝4，∴a （a+1）＝4，解得a ，∴ BH 最小＝2（1+a）．。