矩阵乘法的法则
矩阵数学运算
矩阵的数学运算包括加法、减法、数乘、乘法、转置、共轭和共轭转置等。
矩阵的加法满足A+B=B+A；
数乘是保持矩阵加法满足交换律的运算；
乘法是线性运算，满足结合律，不满足交换律和消去律；
转置是矩阵的一种运算，把矩阵A的行和列互相交换所产生的矩阵称为A的转置矩阵，这一过程称为矩阵的转置；
共轭是复数的一个运算，一个复数乘上它的共轭是与原来的复数模长相等的；
共轭转置是复数矩阵的一种运算，一个矩阵乘上它的共轭转置是与原来的矩阵模长相等的。
矩阵与行列式的运算与特性总结
矩阵与行列式的运算与特性总结矩阵与行列式是线性代数中重要的概念，它们在许多数学和科学领域中都有广泛的应用。
本文将对矩阵与行列式的运算法则和特性进行总结。
一、矩阵的定义与运算矩阵是一个按照矩形排列的数的集合，常用大写字母表示。
一个m×n 的矩阵 A 可以表示为：A = [a[ij]](m×n)，其中 a[ij] 表示矩阵 A 的第 i 行第 j 列的元素。
常见的矩阵运算有加法、减法和数乘运算。
1. 矩阵的加法：两个相同大小的矩阵相加，只需对应元素相加。
A +B = [a[ij] + b[ij]](m×n)2. 矩阵的减法：两个相同大小的矩阵相减，只需对应元素相减。
A -B = [a[ij] - b[ij]](m×n)3. 矩阵的数乘：将矩阵的每个元素都乘以一个实数 k。
kA = [ka[ij]](m×n)二、矩阵的乘法矩阵的乘法是一个重要的运算，不同于加法和减法，矩阵的乘法需要满足一定的条件。
设 A 是一个 m×n 的矩阵，B 是一个 n×p 的矩阵，则矩阵 A 与矩阵B 的乘积 C 是一个 m×p 的矩阵，记作 C = AB。
矩阵乘法的计算方法是，C 中第 i 行第 j 列的元素等于矩阵 A 的第 i 行与矩阵 B 的第 j 列对应位置的元素乘积之和。
即 C 的元素 c[ij] 等于 a[i1]×b[1j] + a[i2]×b[2j] + ... + a[in]×b[nj]。
三、行列式的定义、特性与运算行列式是一个与矩阵对应的数，它在线性代数中有广泛的应用，常用竖线括起来表示。
一个 n 阶行列式的定义如下：D = |a[ij]|(n×n)，其中 a[ij] 表示行列式 D 的第 i 行第 j 列的元素。
行列式具有以下的特性与运算法则：1. 行列式的性质：(1) 互换行列式的两行（列），行列式的值变号。
矩阵的基本运算法则
矩阵的基本运算法则1、矩阵的加法矩阵加法满足下列运算规律（设A 、B 、C 都是m n ⨯矩阵，其中m 和n 均为已知的正整数）：（1）交换律：+=+A B B A（2）结合律：()()++++A B C =A B C注意：只有当两个矩阵为同型矩阵（两个矩阵的行数和列数分别相等）时，这两个矩阵才能进行加法运算。
2、数与矩阵相乘数乘矩阵满足下列运算规律（设A 、B 是m n ⨯矩阵，λ和μ为数）：（1）结合律：()λμλμ=A A（2）分配律：()λμλμ+=+A A A（3）分配律：()λλλ+=+A B A B注意：矩阵相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵的线性运算。
3、矩阵与矩阵相乘矩阵与矩阵的乘法不满足交换律、但是满足结合律和分配率（假设运算都是可行的）：（1）交换律：≠AB BA （不满足）（2）结合律：()()=AB C A BC（3）结合律：()()()λλλλ==其中为数AB A B A B（4）分配律：()(),+=++=+A B C AB AC B C A BA CA4、矩阵的转置矩阵的转置满足下述运算规律（假设运算都是可行的，符号()T g 表示转置）：（1）()T T =A A（2）()T T T +=+A B A B（3）()TT λλ=A A（4）()T T T =AB B A 5、方阵的行列式由A 确定A 这个运算满足下述运算法则（设A 、B 是n 阶方阵，λ为数）：（1）T =A A（2）n λλ=A A（3）=AB A B6、共轭矩阵共轭矩阵满足下述运算法则（设A 、B 是复矩阵，λ为复数，且运算都是可行的）：（1）+=+A B A B（2）λλ=A A（3）=AB AB7、逆矩阵方阵的逆矩阵满足下述运算规律：（1）若A 可逆，则1-A 亦可逆，且()11--=A A（2）若A 可逆，数0λ≠，则λA 可逆，且()111λλ--=A A（3）若A 、B 为同阶矩阵且均可逆，则AB 亦可逆，且()111---=AB B A参考文献：【1】线性代数（第五版），同济大学。
高中数学中的矩阵定义及其运算法则
高中数学中的矩阵定义及其运算法则矩阵是一种常见的数学工具，可以描述线性方程组、向量、转化为矢量空间等等。
在高中数学中，矩阵是一个重要的概念。
本文将会引导您深入了解矩阵的定义、性质及其运算法则。
一、矩阵的定义矩阵可以用一个矩形的数字表格表示，该表格中的每一个数字称为矩阵的一个元素。
矩阵的大小由它的行数和列数来确定。
例如，一个名为A的矩阵可以写作：A = [a11 a12 a13][a21 a22 a23][a31 a32 a33]在上面的矩阵中，a11、a12、a13等数字是矩阵的元素，第一行的三个数字是第一行中的三个元素。
同样，第一列的三个数字是第一列中的三个元素。
二、矩阵的特殊矩阵有几种特殊的矩阵在高中数学中具有重要的地位，下面是其中一些：1. 零矩阵零矩阵也称为零矩阵或零矩阵，表示所有元素都是0。
例如：0 0 00 0 00 0 02. 单位矩阵单位矩阵也称为单位矩阵或标准矩阵，表示矩阵的对角线上的元素都是1和其他元素都是0。
例如：1 0 00 1 00 0 13. 对称矩阵如果一个矩阵A等于其转置矩阵AT，则称矩阵A是对称矩阵。
例如：1 2 32 0 43 4 5三、矩阵的运算法则在高中数学中，矩阵的运算法则包括加法、减法、数与矩阵的乘法和矩阵之间的乘法。
这里将一一介绍。
1. 矩阵的加法矩阵的加法规则很简单，对应元素相加。
例如，如果有两个矩阵A和B：A = [1 2 3]B = [2 4 6][4 5 6] [2 2 2][7 8 9] [1 1 1]A和B的和是：A +B = [3 6 9][6 7 8][8 9 10]2. 矩阵的减法矩阵的减法规则也很简单，对应元素相减。
例如，如果有两个矩阵A和B：A = [1 2 3]B = [2 4 6][4 5 6] [2 2 2][7 8 9] [1 1 1]A和B的差是：A -B = [-1 -2 -3][2 3 4][6 7 8]3. 数与矩阵的乘法数与矩阵的乘法非常简单，只需要将每个元素乘以该数即可。
矩阵的运算及其运算规则
矩阵的运算及其运算规则矩阵是线性代数中的基本概念之一，它是一个由数个数按照矩形排列的数表。
矩阵的运算是对矩阵进行各种数学操作的过程，通过矩阵的运算可以实现对数据的处理和分析，广泛应用于各个领域。
矩阵的基本运算包括矩阵的加法、矩阵的乘法和矩阵的转置。
矩阵的加法是指将两个矩阵对应元素相加得到一个新的矩阵。
矩阵的乘法是指将两个矩阵按照一定规则相乘得到一个新的矩阵。
矩阵的转置是指将矩阵的行和列对调得到一个新的矩阵。
矩阵的运算规则包括加法的交换律和结合律，乘法的结合律和分配律。
加法的交换律指两个矩阵相加的结果与顺序无关；加法的结合律指三个矩阵相加的结果与加法的顺序无关。
乘法的结合律指三个矩阵相乘的结果与乘法的顺序无关；乘法的分配律指一个数与两个矩阵相乘的结果等于这个数与每个矩阵相乘后再相加的结果。
矩阵运算的应用非常广泛，特别是在线性代数、概率论和统计学中。
在线性代数中，矩阵的运算可以用于求解线性方程组、计算矩阵的秩和行列式、求解特征值和特征向量等问题。
在概率论和统计学中，矩阵的运算可以用于计算协方差矩阵、相关矩阵和条件概率矩阵，从而帮助我们分析和理解数据的关系和分布。
除了基本的矩阵运算外，还有一些特殊的矩阵运算。
例如，矩阵的逆运算是指对于一个可逆矩阵，可以找到一个矩阵使得两个矩阵相乘等于单位矩阵。
矩阵的转置运算是指将矩阵的行和列对调得到一个新的矩阵。
矩阵的迹运算是指矩阵主对角线上元素的和。
这些特殊的矩阵运算在实际应用中也有着重要的作用。
总的来说，矩阵的运算及其运算规则是线性代数中的重要内容，通过对矩阵的运算可以实现对数据的处理和分析，广泛应用于各个领域。
矩阵的运算规则包括加法的交换律和结合律，乘法的结合律和分配律。
除了基本的矩阵运算外，还有一些特殊的矩阵运算，如矩阵的逆运算、转置运算和迹运算。
这些矩阵运算在实际应用中具有重要作用，可以帮助我们解决各种数学和统计问题。
二阶矩阵的乘法运算法则
二阶矩阵的乘法运算法则矩阵是现代数学中非常重要的概念之一，它在各个领域都有着广泛的应用。
而矩阵的乘法运算法则是矩阵运算中最基础、最重要的一条规则。
本文将详细介绍二阶矩阵的乘法运算法则，并通过具体的例子进行解析，以帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
二阶矩阵是指具有2行2列的矩阵，可以表示为如下形式：A = [a11 a12][a21 a22]B = [b11 b12][b21 b22]其中，a11、a12、a21、a22分别代表矩阵A中的元素，b11、b12、b21、b22分别代表矩阵B中的元素。
二阶矩阵的乘法运算法则可以总结为以下几点：1. 乘法顺序：先计算第一个矩阵的行与第二个矩阵的列的对应元素的乘积，然后将乘积相加得到结果矩阵的元素。
2. 结果矩阵的大小：乘法运算的结果矩阵是一个2行2列的矩阵。
3. 计算过程：对于结果矩阵中的每个元素，利用乘法顺序依次计算得到。
下面通过一个具体的例子来说明二阶矩阵的乘法运算法则。
例子：计算矩阵A和矩阵B的乘积。
已知矩阵A为：A = [2 1][3 4]矩阵B为：B = [5 6][7 8]根据乘法运算法则，我们可以得到结果矩阵C：C = A * B计算结果矩阵C的第一个元素c11：c11 = a11 * b11 + a12 * b21= 2 * 5 + 1 * 7= 10 + 7= 17然后，计算结果矩阵C的第二个元素c12：c12 = a11 * b12 + a12 * b22= 2 * 6 + 1 * 8= 12 + 8= 20接着，计算结果矩阵C的第三个元素c21：c21 = a21 * b11 + a22 * b21= 3 * 5 + 4 * 7= 15 + 28= 43计算结果矩阵C的第四个元素c22：c22 = a21 * b12 + a22 * b22= 3 * 6 + 4 * 8= 18 + 32= 50结果矩阵C为：C = [17 20][43 50]通过以上例子的计算过程，我们可以清晰地看到二阶矩阵的乘法运算法则的具体应用。
矩阵的乘法运算法则例题
矩阵的乘法运算法则例题
矩阵的乘法运算法则是一个非常重要的数学概念，它可以用于解
决各种线性代数问题和求解复杂的矩阵表达式。
乘法运算法则涉及矩
阵乘法的基本规则，接下来我们就以一个典型的例子来讨论这个概念。
假设我们有两个矩阵A=[aij]和B=[bij]，它们的乘积就是C=[cij]（其中i,j分别表示矩阵的行号和列号），那么C=[cij]的每一个元素
cij都可以表示为aikbkj，其中k是在A,B两个矩阵相乘时出现的新
索引（一般将k写成0,1,2...）。
也就是说，cij=∑k=0n−1aikbkj,
其中n是A和B矩阵的列数或者行数（大小相等）。
在乘法的定义中，数学家们使用这个公式来解释矩阵乘法运算法则。
接下来我们将以一个简单的例子来演示矩阵乘法运算法则：假设
有两个3×3的矩阵A和B，其中A为：
A=
|1 2 3|
|1 1 2|
|2 1 3|
B=
|2 1 2|
|0 1 1|
|1 1 0|
那么，A乘以B的结果就是：
C=
|5 4 6|
|3 5 5|
|7 3 8|
现在，为了验证这一结果，我们来看cij元素的计算过程，以c13
元素为例：
c13=a10b01+a11b11+a12b21=2×0+1×1+3×1=7
由上面的例子我们可以看出，c13的值的正确性得到了很好的证明，因此矩阵乘法运算法则被证明是正确的。
总之，矩阵乘法运算法则很容易理解，但是它也是一种非常复杂
的概念，要正确地将它应用到实际计算中，需要花费一点时间和心思。
矩阵的运算及其运算规则
矩阵的运算及其运算规则矩阵是现代数学中的一种重要工具，它在线性代数、图论、物理学等领域中都有广泛的应用。
矩阵的运算是研究矩阵性质和解决实际问题的基础。
本文将介绍矩阵的运算及其运算规则。
（一）矩阵的加法矩阵的加法是指将两个相同大小的矩阵对应位置的元素相加。
假设有两个矩阵A和B，它们的大小都是m行n列，记作A = [aij]m×n，B = [bij]m×n，则矩阵A和B的加法C = A + B定义为C = [cij]m×n，其中cij = aij + bij。
例如，对于矩阵A = [1 2 3; 4 5 6]和矩阵B = [7 8 9; 10 11 12]，它们的加法结果为C = [8 10 12; 14 16 18]。
矩阵的加法满足以下运算规则：1. 加法满足交换律，即A + B = B + A。
2. 加法满足结合律，即(A + B) + C = A + (B + C)。
3. 存在一个零矩阵0，使得A + 0 = A。
4. 对于任意矩阵A，存在一个相反矩阵-B，使得A + (-B) = 0。
（二）矩阵的数乘矩阵的数乘是指将一个矩阵的每个元素都乘以一个数。
假设有一个矩阵A和一个实数k，记作kA，则矩阵kA定义为kA = [kaij]m×n。
例如，对于矩阵A = [1 2 3; 4 5 6]和实数k = 2，它们的数乘结果为kA = [2 4 6; 8 10 12]。
矩阵的数乘满足以下运算规则：1. 数乘满足结合律，即k(lA) = (kl)A，其中k和l分别为实数。
2. 数乘满足分配律，即(k + l)A = kA + lA，其中k和l分别为实数。
3. 数乘满足分配律，即k(A + B) = kA + kB，其中k为实数，A和B 为矩阵。
（三）矩阵的乘法矩阵的乘法是指将一个m行n列的矩阵A和一个n行p列的矩阵B 相乘得到一个m行p列的矩阵C。
假设有两个矩阵A和B，它们的大小分别为m行n列和n行p列，记作A = [aij]m×n，B = [bij]n×p，则矩阵A和B的乘法C = AB定义为C = [cij]m×p，其中cij= ∑(ai1 * b1j)。
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第六节．矩阵乘法的法则
教学目标：
（1）通过几何变换，使学生理解矩阵乘法不满足交换律（但并不是绝对的）。
（2）通过实例，了解矩阵的乘法满足结合律。
教学重点：理解矩阵乘法不满足交换律。
教学难点：从图形变换的角度理解矩阵的乘法不满足交换律。
教学过程：
一、引入：对上节课的练习的讨论：
已知三角形ABC 的三个顶点的坐标分别为：A （0，0），B （2，0），C （2，
2），先将三角形作以原点为中心的反射变换（变换矩阵为⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡--1001），再以x 轴为基准，将所得图形压缩到原来的一半（变换矩阵为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡21001），试求：（1）这连续两次变换所对应的变换矩阵U ；
问：U=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1001⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣
⎡21001=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--21001 U=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡21001⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1001=⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡--21001 问题：矩阵的乘法是否满足交换律呢？
2、例题
例1．已知矩阵A 、B ，计算AB 及BA ，并比较他们是否相同，能否从几何变换的角度给予解释？
（1）A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2001，B=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡-0110； （2）A=⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡21001，B=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1003。
解：（1）AB=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2001⎥⎦⎤⎢⎣⎡-01
10=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0210，BA=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0110⎥⎦⎤⎢⎣⎡2001=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-0120 显然，AB ≠BA 。
从几何变换的角度，AB 表示先作反射变换（变换矩阵为B ），后作伸缩变换（变换矩阵为A ）；而BA 表示先作伸缩变换（变换矩阵为A ），后作反射变换（变换矩阵为B ）。
当连续进行一系列变换时，交换变换次序得到的结果，一般说会不相同。
仍以正方形（顶点分别为A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)）为例，如下图：
显然，变换顺序不同，所得的结果也不同。
（2）AB =
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
2
1
1
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
1
3
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
2
1
3
，BA=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
1
3
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
2
1
1
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
2
1
3
显然，AB = BA
从几何变换的角度，AB表示先作伸缩变换B（变换矩阵为B），再作伸缩变换A（变换矩阵为A）；而BA表示先作伸缩变换A（变换矩阵为A），后作伸缩变换B（变换矩阵为B），将这两个变换交换次序后，得到的结果仍相同。
仍以正方形（顶点分别为A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)）为例，如下图：
图1. 先旋转，再伸缩
先作伸缩变换B，再作伸缩变换A
先作伸缩变换A，后作伸缩变换B
由此 ，我们不难看出：一般来说，在矩阵乘法中，AB ≠BA ，即：矩阵乘法不满足交换律，但在某些特定的情况下，如连续两次旋转或连续两次压缩，变换是可以交换顺序的，即此时矩阵乘法可以交换顺序。
矩阵的乘法满足结合律。
即：
A （BC ）=（A
B ）C
证明请同学自己验证。
例2．（1）求证：⎥⎦⎤⎢
⎣⎡00c b =⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110⎥⎦⎤⎢⎣⎡100c ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡b 001 （2）若ad ≠0，求证：⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡100a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡d 001⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡101d c ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-ad bc 1001⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡101a b 证明：由矩阵乘法的结合律
（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110⎥⎦⎤⎢⎣⎡100c ⎥⎦⎤⎢⎣⎡b 001=⎥⎦⎤⎢⎣⎡010c ⎥⎦⎤⎢⎣⎡b 001=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡00c b （2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡100a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡d 001⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡101d c ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-ad bc 1001⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡101a b =⎥⎦⎤⎢⎣⎡d a 00⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡101d c ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-ad bc 1001⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡101a b =⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c a 0⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-ad bc 1001⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡101a b =⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎣⎡-a bc d c a 0⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡101a b =⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a 观察例2所证等式右端的矩阵，它们都是我们在前面所学过的基本变换矩阵，事实上：任何一个二阶矩阵，都可以分解为一些基本变换矩阵的乘积，即任意的一个矩阵变换都相当于是连续实施前面所讲过的一些常见的变换。
（对这问题不作严格论证，也决不应要求学生把任一个二阶矩阵分解为上述基本变换矩阵的乘积。
）
三、小结：矩阵的乘法不满足交换律，满足结合律。
教学设计说明：
1、矩阵乘法不满足交换律，这是一个崭新的提法，是学生从来没有接触过的。
引导学生从具体的运算中找出反例；观察图形的变化情况，运用变换矩阵的理论分析变换过程，使学生从数和形两个方面深化认识，有助于培养学生从多角度认识问题。
2、矩阵乘法满足结合律，不要求学生能证明，只要能了解即可。
3、例题2的价值在于：任何一个二阶方阵都能分解成几个学生熟悉的二阶变换矩阵的乘积。
因此，对于二阶变换矩阵的讨论不是片面的。