矩阵的基本运算
矩阵的运算
矩阵的运算矩阵的运算是线性代数中的基本概念之一，广泛应用于各个领域，例如物理学、工程学和计算机科学等。
矩阵是一个二维的数学对象，由行和列组成。
矩阵运算包括加法、减法、乘法和转置等常见操作。
一、矩阵的定义矩阵是由m行n列元素排列而成的一个矩形数组。
记作A=[a_ij]，其中a_ij表示矩阵A的第i行第j列的元素。
行数m表示矩阵的行数，列数n表示矩阵的列数。
例如，一个3行2列的矩阵可以表示为：A = |a_11 a_12||a_21 a_22||a_31 a_32|二、矩阵的加法矩阵的加法是指对应位置元素相加的操作。
两个相同大小的矩阵A和B可以相加得到一个新的矩阵C，记作C=A+B。
具体操作为将A和B对应位置的元素相加得到C的对应位置元素。
例如：A = |a_11 a_12|B = |b_11 b_12||a_21 a_22| |b_21 b_22||a_31 a_32| |b_31 b_32|C = A + B = |a_11+b_11 a_12+b_12||a_21+b_21 a_22+b_22||a_31+b_31 a_32+b_32|三、矩阵的减法矩阵的减法是指对应位置元素相减的操作。
两个相同大小的矩阵A和B可以相减得到一个新的矩阵C，记作C=A-B。
具体操作为将A和B对应位置的元素相减得到C的对应位置元素。
例如：A = |a_11 a_12|B = |b_11 b_12||a_21 a_22| |b_21 b_22||a_31 a_32| |b_31 b_32|C = A - B = |a_11-b_11 a_12-b_12||a_21-b_21 a_22-b_22||a_31-b_31 a_32-b_32|四、矩阵的乘法矩阵的乘法是指根据一定的规则将两个矩阵相乘得到一个新的矩阵。
矩阵乘法的规则是：若矩阵A为m行n列，矩阵B为n 行p列，则A和B的乘积矩阵C为m行p列，其中C的第i行第j列元素为矩阵A第i行与矩阵B第j列对应元素的乘积之和。
数学矩阵的基本运算
数学矩阵的基本运算引言：在数学中，矩阵是一种非常重要的工具，它在多个学科和领域都有广泛的应用。
矩阵不仅可以表示线性方程组，还可以描述向量空间的变换。
矩阵的基本运算是我们学习矩阵的第一步，掌握了这些基本运算，我们才能在后续的学习中更好地应用矩阵解决问题。
本次教案将系统地介绍数学矩阵的基本运算，包括加法、减法、数乘和乘法，并结合具体的例子进行解释和演示。
第一节加法运算1.1 矩阵加法的定义矩阵加法是指将两个具有相同行数和列数的矩阵对应位置上的元素相加，得到一个新的矩阵。
例如，对于两个3行2列的矩阵A和B，它们的加法运算可以表示为：C=A+B。
C矩阵中的每个元素c(i,j)等于矩阵A中元素a(i,j)和矩阵B中元素b(i,j)的和。
1.2 矩阵加法的性质矩阵加法具有以下性质：- 结合律：(A+B)+C=A+(B+C)，即矩阵加法满足结合律。
- 交换律：A+B=B+A，即矩阵加法满足交换律。
- 零矩阵：对于任意的矩阵A，都有A+O=A，其中O是全零矩阵。
1.3 矩阵加法的例子考虑以下两个矩阵：A = [1 2 34 5 6]B = [7 8 910 11 12]它们的加法运算为：C = A + B = [8 10 1214 16 18]解释：C矩阵中的第一个元素c(1,1)等于矩阵A中元素a(1,1)和矩阵B中元素b(1,1)的和，即1+7=8，以此类推。
第二节减法运算2.1 矩阵减法的定义矩阵减法是指将两个具有相同行数和列数的矩阵对应位置上的元素相减，得到一个新的矩阵。
例如，对于两个3行2列的矩阵A和B，它们的减法运算可以表示为：C=A-B。
C矩阵中的每个元素c(i,j)等于矩阵A中元素a(i,j)和矩阵B中元素b(i,j)的差。
2.2 矩阵减法的性质矩阵减法具有以下性质：- 结合律：(A-B)-C=A-(B-C)，即矩阵减法满足结合律。
- 零矩阵：对于任意的矩阵A，都有A-O=A，其中O是全零矩阵。
矩阵的基本运算
如果 AT A 则矩阵A称为反对称矩阵.
由此可知，反对称矩阵旳对角元必为零，即 aii = 0
0 5 4
例如
B
5
0 1 是3阶反对称矩阵.
4 1 0
例 设列矩阵 X x1, x2 , , xn T 满足 X T X 1,
E为n阶单位矩阵, H E 2XX T , 证明 H是对称矩阵, 且HH T E.
(i 1, 2, m; j 1, 2, , n)
把此乘积记作 C AB
例如
C 2 1
4 2
222 3
4
16
?
32
622 8 16 22
1 0
例
若
A
1
1
0 5
求AB.
1 3 1
2
0
4
0
B
1
3
1
3 2 1 2
4
1
1
1
解
因
A
aij
,B
34
bij
证 因为 H T (E 2 XX T )T ET 2( XX T )T E 2XX T H
所以H 是对称矩阵. HH T H 2 (E 2 XX T )2
E 4XX T 4( XX T )( XX T ) E 4XX T 4X ( X T X )X T E 4XX T 4XX T E
(3) (AB)( A)B A(B) (其中为常数)
(4) AE EA A
注 矩阵乘法不满足互换律,即 AB BA
例如
设
A
1
1
,
B
1
1
1 1
1 1
两个非零矩阵旳 乘积可能是零矩阵
则
第二章矩阵的运算及与矩阵的秩
第1页，共80页。
一、矩阵的线性运算
§2.1 矩阵的基本运算
A=(aij ) m×n ，B=(bij ) m×n ，l为给定的数． （1）加法：C=(aij+bij)为矩阵A与B相加的和，记作A+B
（2）数乘：C=l(aij)为数 l与矩阵A相乘的积，记作lA
l 0 0
§2.1 矩阵的基本运算 ➢ 推论：若m×n矩阵A与B等价，则存在若干个m×m初等矩阵Pi(i=1,2-----,s)和若干个n×n初等矩阵Qj(j=1,2-----,t)使得
P 1 P 2 P sA Q 1 Q 2 Q tB
第26页，共80页。
三、矩阵的转置 定义2.3：把m×n矩阵A的行和列依次互换得到的一个n×m 矩阵，称为A的转置，记作AT或A’.
001 a 31a 32a 33a 3 4 a 31 a 32 a 33 a 34
100 a 11 a 12 a 13 a 1 4a 11 a 12 a 13 a 14 E ( 2 ,3 ( k )A ) 01k a 21 a 22 a 23 a 2 4 a 2 1 k3a 1 a 2 2 k3a 2 a 2 3 k3a 3 a 2 4 k3 a 4
上述过程也可以等同于：
a11 a12 a13 a14
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24 r 2 r3 a31 a32 a33 a34
a31 a32 a33 a34
a21 a22 a23 a24
第20页，共80页。
§2.1 矩阵的基本运算
100 a 11a 12a 13a 1 4 a 11 a 12 a 13 a 14 E (2 (k)A ) 0k0 a 21a 22a 23a 2 4 k2a 1k2a 2k2a 3k2a 4
矩阵的基本运算
例如
1 3 5
2 2 8
19316
6 0
8 不存在. 1
乘积AB 维的关系
A
B
m n
n s
C ms
=
A
8
注 两个矩阵相乘, 乘积有可能是一个数.
1
2
3
3 2
1 3 2 2 3 1 10.
1
练习 计算下列矩阵的乘积，并观察结果.
1
1 2 1 4 1 2 1 4
1
5
8
0
2
5
8
0
2
13310 1 3 734 10 1 3 7 34
1
1 2 1 4
5
10
8 1
0 3
2 734
1
1
A
1
144
5 10
2 8
1
1 0 3
4
2
7
9
34
1
2
a11 a12 L a1s
a21
a22
L
a2s
O M M M M
nnnan1
an2
L
2an2
L na1n
L
na2n
M M
L
nann
nn
A
11
a1
b1
a2
b2
O
O
an nn
bn nn
a1b1
a2b2 O
anbn nn
结论 两个n 阶对角阵之积仍为n 阶对角阵.
结论 两个n阶上（下）三角阵A之积仍为n阶上（下）三角阵12 .
❖矩阵乘法的运算规律 (1 )结 合 律 :(A B )C A (B C )
矩阵的计算方法总结
矩阵的计算方法总结矩阵是线性代数中的重要概念，广泛应用于各个科学领域。
矩阵的计算方法主要包括矩阵的基本运算、矩阵的乘法、矩阵的逆以及特殊矩阵的计算等。
本文将对这些计算方法进行详细的总结。
首先，矩阵的基本运算包括矩阵的加法和减法。
矩阵的加法和减法都是对应位置上的元素进行相加或相减的操作。
具体而言，对于两个相同大小的矩阵A和B，矩阵的加法计算公式为C = A + B，其中C的第i行第j列的元素等于A的第i行第j列的元素加上B的第i行第j列的元素。
矩阵的减法同样遵循相同的规则。
接下来，矩阵的乘法是比较复杂的计算方法。
矩阵的乘法不遵循交换律，即AB不一定等于BA。
矩阵的乘法计算公式为C= AB，其中A是m×n矩阵，B是n×p矩阵，C是m×p矩阵。
具体来说，在矩阵乘法中，C的第i行第j列的元素等于A的第i行的元素与B的第j列的元素进行内积运算得到的结果。
在进行矩阵乘法计算时，需要注意两个矩阵的维度是否满足相乘的条件。
若A的列数不等于B的行数，则无法进行矩阵乘法运算。
矩阵的逆是指对于一个n阶方阵A，通过运算求解另一个方阵B，使得AB = BA = I，其中I为单位矩阵。
矩阵的逆是在求解线性方程组和矩阵方程时经常使用的工具。
具体来说，对于一个n阶非奇异矩阵A，如果存在一个矩阵B，使得AB = BA = I，那么矩阵B就是矩阵A的逆矩阵，记作A^-1。
逆矩阵的计算可以使用高斯-约旦消元法、伴随矩阵法等多种方法，其中伴随矩阵法是逆矩阵计算的一种常用方法。
此外，还有一些特殊矩阵的计算方法。
例如，对称矩阵是指矩阵的转置等于它本身的矩阵。
对称矩阵的特殊性质使得其在计算中有着很多便利，例如，对称矩阵一定可以对角化，即可以通过相似变换变为对角矩阵。
对角矩阵是指非对角线上的元素都为0的矩阵，对角线上的元素可以相同也可以不同。
对角矩阵的计算相对简单，只需要对角线上的元素进行相应的运算即可。
综上所述，矩阵的计算方法包括矩阵的基本运算、矩阵的乘法、矩阵的逆以及特殊矩阵的计算等。
矩阵的定义与基本运算
矩阵的定义与基本运算矩阵是线性代数中的重要概念，广泛应用于各个领域，如数学、物理、计算机科学等。
它是由一组数按照规定的排列方式组成的矩形阵列。
在本文中，我们将探讨矩阵的定义、基本运算以及其在实际应用中的重要性。
一、矩阵的定义矩阵可以用一个大写字母表示，如A、B等。
一个m行n列的矩阵可以表示为A=[a_ij]，其中1 ≤ i ≤ m，1 ≤ j ≤ n。
矩阵中的每个元素a_ij都是一个实数或复数。
矩阵的行数m和列数n分别称为矩阵的维数，记作m×n。
二、矩阵的基本运算1. 矩阵的加法矩阵的加法是指对应位置上的元素相加。
如果两个矩阵A和B的维数相同，即都是m×n，则它们的和记作C=A+B，其中C的维数也是m×n。
具体而言，C的第i行第j列的元素等于A的第i行第j列的元素与B的第i行第j列的元素之和。
2. 矩阵的数乘矩阵的数乘是指将矩阵的每个元素都乘以一个常数。
如果矩阵A的维数是m×n，常数k是一个实数或复数，则kA表示将A的每个元素都乘以k得到的新矩阵。
具体而言，kA的第i行第j列的元素等于k乘以A的第i行第j列的元素。
3. 矩阵的乘法矩阵的乘法是指将两个矩阵相乘得到一个新的矩阵。
如果矩阵A的维数是m×n，矩阵B的维数是n×p，则它们的乘积记作C=AB，其中C的维数是m×p。
具体而言，C的第i行第j列的元素等于A的第i行的元素与B的第j列的元素分别相乘后再相加得到的结果。
4. 矩阵的转置矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。
如果矩阵A的维数是m×n，则它的转置记作A^T，维数是n×m。
具体而言，A^T的第i行第j列的元素等于A的第j行第i列的元素。
三、矩阵在实际应用中的重要性矩阵在实际应用中具有广泛的重要性。
以下是矩阵在几个领域中的应用示例：1. 线性代数矩阵在线性代数中起着重要的作用。
线性方程组的求解可以通过矩阵的运算来实现。
矩阵的运算与应用
矩阵的运算与应用矩阵作为数学中的重要概念，在现代科学与工程领域中有着广泛的应用。
矩阵不仅仅是一种数学工具，更是一种思维方式，通过矩阵的运算，我们可以更好地理解和解决现实世界中的问题。
本文将从矩阵的基本运算开始，探讨矩阵的应用领域，并介绍一些常见的矩阵应用案例。
一、矩阵的基本运算矩阵的基本运算包括加法、减法、数乘和乘法。
矩阵的加法和减法是按元素进行的，即对应位置的元素相加或相减。
数乘是指将矩阵的每个元素都乘以一个常数。
而矩阵的乘法是一种更为复杂的运算，它不同于数的乘法，而是通过行与列的组合来计算。
矩阵的乘法有两种形式，分别是左乘和右乘。
左乘指的是将一个矩阵乘以另一个矩阵的过程，结果矩阵的行数与左矩阵相同，列数与右矩阵相同。
右乘则是将一个矩阵乘以另一个矩阵的过程，结果矩阵的行数与右矩阵相同，列数与左矩阵相同。
矩阵的乘法满足结合律，但不满足交换律，即A*B不一定等于B*A。
二、矩阵的应用领域矩阵的应用领域非常广泛，几乎涵盖了所有科学与工程领域。
以下是一些常见的矩阵应用领域：1. 线性代数：矩阵在线性代数中有着重要的地位，它是线性方程组的基本工具。
通过矩阵的运算，我们可以求解线性方程组的解，进而解决实际问题。
2. 图像处理：图像处理中常用到矩阵的运算。
例如，将一幅图像表示为一个矩阵，可以通过矩阵的变换来实现图像的旋转、缩放、平移等操作。
3. 机器学习：机器学习中的很多算法都基于矩阵的运算。
例如，通过矩阵的特征分解可以实现主成分分析（PCA）算法，通过矩阵的奇异值分解可以实现推荐系统等。
4. 信号处理：信号处理中的很多算法也离不开矩阵的运算。
例如，通过矩阵的傅里叶变换可以实现信号的频域分析和滤波。
5. 优化问题：优化问题中常用到矩阵的运算。
例如，通过矩阵的求逆可以求解最小二乘问题，通过矩阵的特征值分解可以求解特征值问题。
三、矩阵应用案例1. 图像压缩：在图像压缩中，可以利用矩阵的奇异值分解来实现图像的压缩。
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E 2XX T H 所以H是对称矩阵.
HH T H 2 (E 2 XX T )2 E 4 XX T 4( XX T )( XX T ) E 4XX T 4X (X T X )X T E 4XX T 4XX T E
坐标分别为 和 , 它们有如 y′
yA x′
下关系：
x x 'cos y 'sin
y x 'sin y 'cos
α
O
x
写成矩阵形式，记为
过渡矩阵
x cos
y
s
i
n
sin x '
cos
y
'
例 （线性代数方程组）一般形式的线性方程组，即
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1
C
2
2
2
2
有
A
B
0
0
0 ,
AC
0
0
0
0
0
则 A B A C , 但是
BC
注 该例也说明 A B 0 不 能 推 出 A 0 或 B 0
定义 (方阵的幂次) 若A是n 阶方阵, 则Ak为A的
的k次幂,即
Ak
A 14
A 2
L43A
,
并且
k个
A m A k A m k , A m k A m k ( m , k 为 正 整 数 )
例 对 于 任 意 的 n阶 矩 阵 A .证 明 :
(1) A AT 是 对 称 矩 阵 , A AT 是 反 对 称 矩 阵 .
(2) A可 表 示 为 对 称 矩 阵 和 反 对 称 矩 阵 之 和 .
证 (1) ( A AT )T ( A )T ( AT )T
AT A A AT ( A AT )T ( A )T ( AT )T
4
4
3
3
8
3
2
1
3
3
3 2
81
6
1
9
❖矩阵加法的运算规律 设A B C都是mn矩阵 则 (1) ABBA (2) (AB)CA(BC)
设矩阵A(aij) 记A(aij) A称为矩阵A的负矩阵； 另，把元全为零的矩阵称为零矩阵，记作O；
(3) A= A+O = O+A
由此，规定矩阵的减法为ABA(B)，例如
a1b1
a 2 b2
O
anbn nn
结论 两个n 阶对角阵之积仍为n 阶对角阵.
结论 两个n阶上（下）三角阵之积仍为n阶上（下）三角阵.
❖矩阵乘法的运算规律
(1) 结 合 律 : ( A B )C A( B C )
( 2 ) 分 配 律 : A ( B＋ C ) A B A C (左乘分配律) ( B＋ C ) A B A C A (右乘分配律)
(1) 1 A A;
(2) ( ) A ( A);
(3) ( ) A A A;
(4) ( A B ) A B.
矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算.
❖矩阵乘法
设 A ( a ij )是一个m×s矩阵,
B ( bij ), 是一个s×n矩阵, 那么规定矩阵A与矩阵B的
3 2 1 2 2 2 3 2 1 2 2 2 1 0 1
4
5
6
1
2
3
4
5
6
1
2
3
3
3
3
❖矩阵的数乘
数 与矩阵 A 的乘积记作 A 或 A , 规定为
a11
a12
A
A
a 21
a 22
a
m
1
a m1
❖矩阵数乘的运算规律
a1n
a2n
.
a mn
如 果 AT A 则 矩 阵 A称 为 反 对 称 矩 阵 .
由此可知，反对称矩阵的对角元必为零，即 aii = 0
0 5 4
例如
B
5
0
1
是3阶反对称矩阵.
4 1 0
例 设列矩阵 X x1 , x 2 ,L , x n T 满足 X T X 1,
E 为 n阶 单 位 矩 阵 , H E 2 X X T , 证 明 H 是对称矩阵,且HH T E.
6 22
8
16 2 2
0 3 4
例
1 0 1 2
若
A
1
1
3
0
0
5
1
4
B
1
3
2
1
1 1
求AB.
1 2 1
解 因 A a
,B b
,故 C c
.
ij 3 4
ij 4 3
ij 3 3
0 3 4
1 0 1 2
C AB 1
0
1 5
3 1
0 4
b 21
a 22 b22
a m1
bm1
am 2 bm 2
a1n
b1n
a2n b2n
a mn
bmn
注 只有当两个矩阵是同型矩阵时, 才能进行加法运算.
10 3 5 1 8 9 10 1 3 8 5 9 11 11 4
1
9
0
6
5
4
1
6
9 5
0
4
7
的元素相等,即
a ij bij i 1,2 , , m ; j 1,2 , , n ,
则称矩阵A与矩阵B相等，记作 A B
❖矩阵的加法
设有两个mn矩阵A(aij)和B(bij) 矩阵A与B的和记 为AB 规定为AB(aijbij ) 即
a 11
b11
a12 b12
A
B
a 21
BT AT
7
2
0
0
3
14
1
3
.
1
3
1
1
2
3
1
0
定义 (对称阵) 设A为n阶方阵,如果满足 A A T 即 a ij a ji ( i , j 1, 2 , L , n ) ，那么A称为对称阵.
12 6 1
例如 A 6 8 0 为对称阵 .
1
0
6
注 对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等.
a 11
a 12
L
a 21
a 22
L
a 1n
a 2n
1
2
M M M M
O
an1
a n2
L
a nn
nn
n
nn
1a11
1a 21
M
1an1
2a12 2a22
M
2an2
L na1n
L
na2n
M M
L
na nn nn
a1
a2
O
b1
b2
O
an nn
bn nn
k2
2
k k1
k 2
k
1 0
例
设A
0
1
,
求
Ak
.
0
0
k
k k1
k
k
1
k2
解
归纳出
Ak 0
k
2
k k1
k 2
0
0
k
用数学归纳法证明: 假设 k = n 时成立, 则k = n + 1 时,
n
An1 An A 0
n n1 n
n
n
1
n2
2
n n1
0
1
0
1
§2.2 矩阵的基本运算
1、运算定义&运算规则 2、矩阵应用举例
1、运算定义&运算规则
同型矩阵与矩阵相等的概念 1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵.
1
例如 5
3
2 14
6 与 8
7
3
3
4
为同型矩阵.
9
2.两个矩阵 A aij 与 B bij 为同型矩阵,并且对应
结论 在矩阵的乘法中必须注意矩阵相乘的顺序 “左乘” & “右乘”
但也有例外，比如设
A
2
0 ,
1 B
1 ,
0 2
1 1
则有 AB
2 2
,
2 2
BA
2 2
2 2
AB
BA .
定义 满足AB=BA的矩阵称为可交换的.
结论 两个同阶对角矩阵是可交换的.
结论 n阶单位矩阵与任意n阶矩阵是可交换的.即
a1n 1
a2n
1
L
O
ann
a ij
A
nn
1
注 此例表明单位矩阵在矩阵乘法中的地位与数1在 数的乘法中的地位相当. 即
E m Amn Amn E n
注 矩阵乘法不满足消去律，即
AB AC , A 0 不能推出 B C
例如
设A
1
1
1 ,
1
B
1
1
1
,
1
当 A B B A 时 , (1) A B k A k B k ;
(2) A B 2 A2 2 AB B 2.
注 显然只有方阵的幂才有意义
定义 (方阵的多项式)fBiblioteka (x)a xk k
ak1 x k1
L
a xa
1
0
f (A)
a Ak k
ak1 A k1
L
a Aa E
1
0