绵阳南山中学-三角函数解三角形课外(文科)试题
四川省绵阳市南山2024届高三下学期二模数学(文)试题含答案
绵阳南山高2021级高三下期高考仿真演练（二）数学（文科）试题（答案在最后）命题：高三文科数学组将试卷放在屁股下坐一坐——一定过！将试卷亲一下——稳过！祝你考试成功！注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.本试卷满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，请将答题卡交回.一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1,3,5A =，{}23B x x =∈Z ≤，则A B = （）A.{}1,0,1,3,5-B.{}1C.{}3,1,3,5- D.{}1,3,52.欧拉公式i ecos isin θθθ=+把自然对数的底数e ，虚数单位i ，cos θ和sin θ联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学中的天桥”.则i e 1π+=（）A.1- B.0C.1D.i3.下图是某地区2016~2023年旅游收入（单位：亿元）的条形图，则下列说法正确的是（）A.该地区2020~2023年旅游收入逐年递增B.该地区2016~2023年旅游收入的中位数是3.50亿元C.经历了疫情之后，该地区2023年旅游收入恢复到接近2018年水平D.该地区2016~2019年旅游的平均收入约为4.11亿元4.已知m ，n 是空间两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，有下列命题：p ：若m α∥，n α⊂，则m n ∥；q ：若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥.则下列命题是真命题的是（）A.p q ∧B.q p ⌝∨C.q p⌝∧ D.()p q ⌝∨⌝5.一般地，任意给定一个角α∈R ，它的终边OP 与单位圆的交点P 的坐标，无论是横坐标x 还是纵坐标y ，都是唯一确定的，所以点P 的横坐标x 、纵坐标y 都是关于角α的函数.下面给出这些函数的定义：①把点P 的纵坐标y 叫作α的正弦函数，记作sin α，即sin y α=；②把点P 的横坐标x 叫作α的余弦函数，记作cos α，即cos x α=；③把点P 的纵坐标y 的倒数叫作α的余割函数，记作csc α，即1csc y α=；④把点P 的横坐标x 的倒数叫作α的正割函数，记作sec α，即1sec xα=.下列结论错误的是（）A.sin csc 1αα⋅=B.2πsec23=-C.函数()sec f x x =的定义域为{}π,x x k k ≠∈Z D.2222secsin csc cos 5αααα+++≥6.函数()2cos sin 1x x xf x x +=+的部分图象为（）A. B.C.D.7.已知直线2y x m =+与圆22:4O x y +=交于A ，B 两点，则“m >AOB △为锐角三角形”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.一个几何体的三视图如图所示，S 为该几何体的外接球表面上一点，则点S 到该几何体每个面距离的最大值是（）A.32+ B.42- C.42+ D.32-9.已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足AF BF ⊥，线段AB的上一点M 满足AM MB = ，M 在l 上的投影为N ，则MNAB的最大值是（）A.2B.12C.1D.210.已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，π2ϕ<）的部分图象如图所示，()5,0D ，()2,B A ，BC CD ⊥，则()4f =（）A.4C. D.11.设函数()f x 的定义域为D ，对于函数()f x 图象上一点()00,x y ，集合()(){}0,k k x x yf x x D ∈-+∀∈R ≥只有一个元素，则称函数()f x 具有性质0x F .则下列函数中具有性质1F 的函数是（）A.()1f x x =--B.()lg f x x =-C.()3f x x =D.()πsin2x f x =12.定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x -=，()12f =，()32f x +为奇函数，有下列结论：①直线1x =为曲线()y f x =的对称轴；②点2,03⎛⎫⎪⎝⎭为曲线()y f x =的对称中心；③函数()f x 是周期函数；④()200410i f i ==∑；⑤函数()f x 是偶函数.其中，正确结论的个数是（）A.1B.2C.3D.4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量()3,4a = ，()2,b k = ，且()a b a +∥，则实数k =_________.14.已知函数()sin cos f x x x =-，且()()003f x f x ='，则sin 21cos 2x x =-___________.15.加斯帕尔·蒙日是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆222:17x y C a +=，若直线:43200l x y -+=上存在点P ，过P 可作C 的两条互相垂直的切线，则椭圆离心率的取值范围是_________.16.若函数()ln xf x x=的图象上存在与直线y kx =平行的切线，则k 的取值范围是_________.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、说明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23为条块分割考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.2024年，全国政协十四届二次会议于3月4日下午3时在人民大会堂开幕，3月10日上午闭幕；十四届全国人大二次会议于3月5日上午开幕，11日上午闭幕.为调查居民对两会相关知识的了解情况，某小区开展了两会知识问答活动，现将该小区参与该活动的240位居民的得分（满分100分）进行了统计，得到如下的频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图，估计全体居民得分的方差（各组以区间中点值作代表）；（2）为鼓励小区居民学习两会精神，移动公司计划为参与本次活动的居民进行奖励，奖励分为以下两种方案：方案一：参与两会知识问答的所有居民每人奖励20元话费充值卡；方案二：问答活动得分低于平均分的居民奖励15元话费充值卡，得分不低于平均分的居民奖励25元话费充值卡.你认为哪种方案，小区居民所得的奖励更多，请说明理由.18.已知1223111112n n n p a a a a a a a +++++=- （n ∈N 且1n ≥，p 为常数）.（1）数列{}n a 能否是等比数列？若是，求1a 的值（用p 表示）；否则，说明理由；（2）已知11a p ==，求数列{}n a 的前n 项和n S .19.已知函数()e cos x f x k x =-，其中k 为常数.（1）当1k =时，讨论函数()f x 在()0,+∞上的单调性；（2）若π0,2x ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，()1f x >，求实数k 的取值范围.20.如图，空间中有一个平面α和两条互相垂直的异面直线m 、n ，其中m 、n 与α的交点分别为A 、B ，直线m 、n 都与直线PQ 垂直，垂足分别为P 、Q ，且PQ α∥.（1）证明：直线m 、n 与平面α所成角之和为定值；（2）若1PQ =，令AB d =（1d >），求点P 到平面α距离的最大值关于d 的函数()f d .21.梅内克缪斯在研究著名的“倍立方问题”时，第一次提出圆锥曲线的概念并加以研究，研究发现，一个平面以不同方式与圆锥相截时，得到的截口曲线不一样.如图，已知两个底面半径2，高为图放置，用一个与圆锥轴12O O 平行的经过母线EF 中点A 的平面去截两个圆锥，得截口曲线是双曲线C 的一部分.以双曲线C 的实轴为x 轴，对称中心为原点建立平面直角坐标系.（1）求双曲线C 的标准方程；（2）若A 为双曲线的右顶点，且关于原点的对称点为B ，过点()3,0的直线与曲线C 交于M ，N 两点，直线MA 与NB 的交点为P ，证明：点P 在定直线上.（二）选作题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，曲线C 的方程是：cos 1ρθ=+，且与x 、y 轴正半轴交于A 、B 两点.点P 为曲线C 上任意一点，将OP 绕原点逆时针旋转π2，且长度变为原来的一半，得到点1P ，点1P 的轨迹为曲线1C .射线：θα=与曲线C 交于点T ，与曲线1C 交于点N .以极点为原点，极轴为x 轴建立直角坐标系.（1）求直线AB 的一个参数方程及曲线1C 的极坐标方程；（2）求线段TN 的最大值.23.[选修4-5：不等式选讲]已知函数()121f x x x =+--.（1）请画出函数()f x 的图象，并求()1f x ≥的解集；（2）()0,x ∀∈+∞，()f x ax b >+，求a b +的最大值.绵阳南山高2021级高三下期高考仿真演练（二）数学（文科）参考答案1.解答A.因为{}1,0,1B =-，所以{}1,0,1,3,5A B =- ，故选择A.2.解答B.iπe 1cos πisin π1110+=++=-+=，故选择B.3.解答C.由图可知2020-2023年旅游收入不是逐年递增，故A 选项错误；2016-2023年旅游收入的中位数为4.255亿元，故B 选项错误；从图表可知2023年旅游收入为4.91亿元，接近2018年的5.13亿元；2016-2019年旅游收入的平均数为4.8425亿元，故D 选项错误.故选择C.4.解答D.因为p 是假命题，q 是真命题，所以p q ⌝∨⌝是真命题，故选择D.5.解答C.1sin csc sin 1sin αααα⋅=⋅=，A 正确；2π11sec22π3cos 3x ===-，B 正确；函数()1sec cos f x x x ==的定义域为ππ,2k x x k ⎧⎫⎨⎬⎩⎭≠+∈Z ，C 错误；2222222221114sec sin csc cos 1115cos sin sin cos sin 2ααααααααα+++=++=+=+≥，当sin 21α=±时，等号成立，D 正确；故选择C.6.解答B.由题意可知：()f x 的定义域为R ，且()()()()()22cos sin cos sin 11x x x x x xf x f x xx --+----===-++-，所以()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，排除A ；当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos sin 0x x x +>，所以()0f x >，排除D ；当3ππ,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos sin 0x x x +<，所以()0f x <，排除C.故选择B.7.解答D.因为AOB △是等腰三角形，所以，当且仅当AOB ∠为锐角时，该三角形是锐角三角形.所以，只需π24AOB ∠<，所以O 到AB 的距离d 2d <<，即2<<m <<以m >是三角形为锐角三角形的既不充分也不必要条件，故选择D.8.解答C.直观图如图所示，外接球的球心为PB 的中点，于是2R PB ===，球心到平面ABCD 的距离等于32，到平面PAD 与平面PCD 的距离都是2，所以球心到各个面距离的最大值等于2，于是外接球表面上的点S 到各个面的最大距离等于41422R ++=.故选择C.9.解答A.令A ，B 在准线上的投影分别为A '，B '，设AF a =，BF b =，则AA a '=，BB b '=.所以22AB a b =+，因为AM MB = ，所以2a bMN +=.所以222MN AB a b =+，则()()()222222212111114424MN a b ab a b a b AB+⎡⎤==++=⎢⎥++⎣⎦≤，所以22MN AB≤，故选择A.10.解答B.由图象可知5234T =-=，则12T =，所以2ππ6T ω==，所以()πsin 6f x A x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由()5π5sin 06f A ϕ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，得5π2ππ6k ϕ+=+，k ∈Z ，即π2π6k ϕ=+，k ∈Z ，因为π2ϕ<，所以π6ϕ=，则()ππsin 66f x A x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则0,2A C ⎛⎫⎪⎝⎭，因为BC CD ⊥，2,2A BC ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，5,2A CD ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，所以21004A BC CD ⋅=-+= ，解得10A =（负根舍去），所以()ππ21066f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()()40102Af f ===故选择B.11.解答D.对于A 作出函数()1f x x =--与()1y k x =-的图象，知满足条件的k 有无数多个；对于B 作出函数()lg f x x =-与()1y k x =-的图象，这样的k 不存在；对于C 作出函数()3f x x =与()11y k x =-+的图象，这样的k 不存在；对于D 作出函数()πsin2xf x =与()11y k x =-+的图象，这样的k 只有一个即0k =.故选择D.12.解答C.由()()2f x f x -=知直线1x =为曲线()y f x =的对称轴，①正确；由()32f x +为奇函数有()()3232f x f x -+=-+，令3t x =得()()22f t f t -+=-+，则()f x 的图象关于点()2,0对称，②错误；因为()()()22f t f t f t +=--=-，所以()f x 是周期为4的周期函数，③正确；令0t =，则()()22f f =-，所以()20f =，在()()2f x f x -=中，令0x =，则()()200f f ==.于是()12f =，()20f =，()()312f f =-=-，()()400f f ==，则()()()()12340f f f f +++=，所以()200410i f i ==∑，④正确；因为()f x 的图象关于点()2,0对称()()4f x f x ⇒=--，因为周期为4，所以()()f x f x =--，所以()f x 为奇函数，⑤错误.故选择C.13.解答()5,4a b k +=+ ，由()a b a + ∥得4453k +=，解得83k =.14.解答求导得()cos sin f x x x '=+，由()()003f x f x ='得，()sin cos 3cos sin x x x x -=+，解得0tan 2x =-，所以0002000sin 22sin cos 111cos 22sin tan 2x x x x x x ===--.15.解答,13⎫⎪⎪⎣⎭.由题可知，点P 在椭圆的蒙日圆上，又因为点P 在直线上，所以，问题转化为直线和蒙日圆有公共点.由椭圆方程22217x y a +=可知：b =，当如图长方形的边与椭圆的轴平行时，长方形的边长分别为2a和，因此蒙日圆半径为，所以蒙日圆方程为2227x y a +=+，因此，需满足圆心到直线的距离不大于半径，即20529a ≥，所以椭圆离心率2272e 19a =-≥，所以e 13<≤.16.解答()()ln 0x f x x x =>求导得()()21ln 0x f x x x -'=>，只需21ln xk x-=在()0,+∞上有解即可.令()()21ln 0x g x x x -=>，求导得()32ln 3x g x x-'=，所以当320e x <<时，()0g x '<，当32e x >时，()0g x '>，所以()g x 在320,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在32e ,⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，则()3231e 2e g x g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭≥，且当0x →时，()g x →+∞，于是312e k -≥，所以k 的取值范围是31,2e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.17.解答（1）依题意，550.1650.3750.3850.2950.174μ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.()()()()()22222255740.165740.375740.385740.295740.1129.S =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=（2）得分低于74的概率为0.10.340.030.52++⨯=，得分高于74分的概率为0.48.因此，方案一所需充值费用为：240204800⨯=元；方案二所需充值费用为：0.52240150.48240254725⨯⨯+⨯⨯=元.所以方案一小区居民所得的奖励更多.18.解答（1）已知1223111112n n n p a a a a a a a +++++=- .当2n ≥时，122311112n n np a a a a a a a -+++=- ，两式相减得：111n n n n p p a a a a ++=-，()1111n n n n n n p a a a a a a +++-=，显然0p ≠，所以()1102n n a a n p+-=≠≥.于是{}n a 可能是等差数列，若又是等比数列，则{}n a 必为非零常数数列，则10n n a a +-=，因110n n a a p+-=≠，故{}n a 不可能是等比数列.（2）由（1）知()1112n n a a n p +-==≥，且21121a a =-，即211122a a =+，21a =.1,11,2n n a n n =⎧=⎨-⎩≥，所以当1n =时，111S a ==.当2n ≥，123n n S a a a a =++++ ，()()()2111122n n a a n n n S +--=+=+.而当1n =时，111S a ==，所以()112n n n S -=+，n ∈N ，且1n ≥.19.解答（1）1k =时，()e cos x f x x =-，()e sin xf x x '=+，因为()0,x ∈+∞，所以()e sin 0xf x x '=+>，于是函数()f x 在()0,+∞上是单调递增的函数.（2）解法一()1f x >等价于，e cos 10x k x -->.因为π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 0x >，于是e 1cos x k x -<.令()e 1cos x g x x-=，则()()2sin cos e sin cos x x x x g x x +-'=.当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()πsin cos e sin e sin e sin 04x x x x x x x x x ⎛⎫+-=+->-> ⎪⎝⎭，于是()0g x '>，所以()g x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数，()()00g x g >=，所以0k ≤.解法二令()()1e cos 1x g x f x k x =-=--，()e sin x g x k x '=+.当0k >时，()0g x '>，()g x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数，()()0g x g k >=-.当0x →时，()g x x →-，而0k -<，不满足条件；当0k =时，()e 10x g x =->在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立；当0k <时，()()e 1cos 0x g x k x =-->在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立.综上：0k ≤.解法三令()()1e cos 1x g x f x k x =-=--，由()00g k =-≥得0k ≤.下证当0k ≤时，()0g x >.因为0k ≤且π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()()e 1cos e 10x x g x k x =--->≥.所以0k ≤.20.解答（1）如图所示，过P 作直线PD QB ∥交平面α于点D ，联结DB 、DA .因为直线PQ α∥，过PQ 的平面PQBD 与α交于BD ，于是PQ BD ∥，且PQ BD =.因为PQ 与m 、n 都垂直，可得BD PD ⊥，BD PA ⊥，于是直线BD 垂直平面APD ，进而平面PAD α⊥.所以PAD ∠就是直线m 与平面α所成的角，同理PDB ∠是直线n 与平面α所成的角.因为m 、n 互相垂直，所以APD ∠为直角，故π2PAD PDA ∠+∠=.所以直线m 、n 与平面α所成角之和为定值.（2）在直角三角形ABD中，AD =.过P 作PM AD ⊥交AD 于M ，因为平面PAD α⊥，所以PM α⊥，即PM 是P 到平面α的距离.令PA x =，PD y =，在直角三角形PAD 中，xy PM AD =⨯，解得xy PM AD ==.又22212x y d xy +=-≥，所以212d xy -≤.故()21212d PM d -==>，即()()12f d d =>.21.解答（1）如图，可知)A，点(在曲线上，所以a =221231a b -=，所以21b =，故曲线C 的标准方程为2213x y -=.（2）设直线MN的方程为x my =+，代入曲线C 的方程，整理得：()22390m y -++=.由题知：0∆>，设()11,M x y ，()22,N x y .则1223y y m +=--，12293y y m =-，所以()12124my y y y =-+.因为)A，()B ，直线MA的方程为：y x =-，直线NB的方程为：y x =+，联立两直线方程，得：12y x +=.1212y x y my +==()()121121233933333344443444y y y y y y -++--=-，3=-，解得2x =.故点P 在定直线2x =上.22.解答（1）在cos 1ρθ=+中令0θ=，得2ρ=，所以()2,0A .令π2θ=，得1ρ=，所以()0,1B .直线AB 的一个参数方程为：21x t y t =⎧⎨=-⎩（答案不唯一，如：25255x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩等）令()1,P ρθ，由条件知点P 的坐标为2,2πρθ⎛⎫- ⎪⎝⎭.因为点22π,P ρθ⎛⎫- ⎪⎝⎭在cos 1ρθ=+上，所以π2cos 12ρθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，化简得曲线1C 的极坐标方程为()11:sin 12C ρθ=+.（2）当θα=时，()111sin cos 1222N T TN ρραααϕ=-=+--=--，其中tan 2ϕ=.所以当π2αϕ=-+时，TN 有最大值12+.23.解答（1）如图，2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）[)2,a b +∈+∞.（1）∵()121f x x x =+--，∴()3,131,113,1x x f x x x x x -<-⎧⎪=--⎨⎪-+>⎩≤≤.函数图象如右所示：由图可知()1f x ≥的解集为2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（2）由（1）知，()f x 的图象与y 轴交点的纵坐标为1-，且各部分所在直线斜率的最小值为1-，故当且仅当1b -≤，1a -≤时，()f x ax b >+恒成立，此时a b +有最大值2-.于是a b +的最大值是2-.。
2020年四川省绵阳市南山中学高考数学三诊试卷(文科)
2020年四川省绵阳市南山中学高考数学三诊试卷（文科）一、单项选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分）1．（5分）设集合{1M =-，0，1}，2{|}N x x x =„，则(M N =I )A ．{0}B ．{0，1}C ．{1-，1}D ．{1-，0，1} 2．（5分）已知复数(32a i z a R i -=∈+，i 是虚数单位）为纯虚数，则实数a 的值等于( ) A ．23 B ．32 C ．23- D ．32-3．（5分）已知(0,)2πθ∈，sin θcos2(tan θθ= ) A ．310- B ．310 C ．65- D ．654．（5分）下列叙述中正确的是( )A ．若a ，b ，c R ∈，则“20ax bx c ++…”的充分条件是“240b ac -„”B ．若a ，b ，c R ∈，则“22ab cb >”的充要条件是“a c >”C ．命题“对任意x R ∈，有20x …”的否定是“存在x R ∈，有20x …”D ．l 是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l α⊥，l β⊥，则//αβ5．（5分）已知3log 0.5a =，0.5log 0.6b =，0.23c =，则( )A ．a b c <<B ．b c a <<C ．b a c <<D ．c a b <<6．（5分）若向量a r 、b r 、c r 两两所成的角相等，且||1a =r ，||1b =r ，||3c =r ，则||a b c ++r r r 等于( )A ．2B ．5C ．2或5 D7．（5分）德国数学家莱布尼兹(1646年1716-年）于1674年得到了第一个关于π的级数展开式，该公式于明朝初年传入我国．在我国科技水平业已落后的情况下，我国数学家、天文学家明安图(1692年1765-年）为提高我国的数学研究水平，从乾隆初年(1736年）开始，历时近30年，证明了包括这个公式在内的三个公式，同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式，著有《割圆密率捷法》一书，为我国用级数计算π开创了先河．如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于π的级数展开式”计算π的近似值（其中P 表示π的近似值），若输入10n =，则输出的结果是( )A ．11114(1)35717P =-+-+⋯+B ．11114(1)35719P =-+-+⋯-C ．11114(1)35721P =-+-+⋯+D ．11114(1)35721P =-+-+⋯- 8．（5分）设函数()f x 在R 上可导，其导函数()f x '，且函数()f x 在2x =-处取得极小值，则函数()y xf x ='的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．9．（5分）在区间[0，2]中随机取两个数，则两个数中较大的数大于23的概率为( ) A ．89 B ．79 C ．49D ．19 10．（5分）已知直三棱柱111ABC A B C -，90ABC ∠=︒，12AB BC AA ===，1BB 和11B C 的中点分别为E 、F ，则AE 与CF 夹角的余弦值为( )A 3B ．25C ．45D 15 11．（5分）已知不等式2230x y ->所表示的平面区域内一点(,)P x y 到直线3y x =和直线3y x =-的垂线段分别为PA 、PB ，若三角形PAB 33，则点P 轨迹的一个焦点坐标可以是( )A ．(2,0)B ．(3,0)C ．(0,2)D ．(0,3)12．（5分）函数2()3f x x x a =-+-，2()2x g x x =-，若[()]0f g x …对[0x ∈，1]恒成立，则实数a 的范围是( )A ．(-∞，2]B ．(-∞，]eC ．(-∞，2]lnD ．[0，1)2 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．（5分）某时段内共有100辆汽车经过某一雷达测速区域，将测得的汽车时速绘制成如图所示的频率分布直方图．根据图形推断，该时段时速超过50/km h 的汽车辆数为 ．14．（5分）函数3sin 2cos 2y x x =-的图象向右平移(0)2πϕϕ<<个单位长度后，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 为偶函数，则ϕ的值为 ． 15．（5分）已知抛物线24y x =，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，则||||AC BD +的最小值为 ．16．（5分）已知正三棱锥P 一ABC 的侧面是直角三角形，P ABC -的顶点都在球O 的球面上，正三棱锥P 一ABC 的体积为36，则球O 的表面积为 ．三、解答题（本大题共5小题，共70分）17．（10分）如图（a ），在直角梯形ABCD 中，90ADC ∠=︒，//CD AB ，4AB =，2AD CD ==，将ADC ∆沿AC 折起，使平面ADC ⊥平面ABC ，得到几何体D ABC -，如图（b ）所示．。
2020年四川省绵阳市南山中学高考数学三诊试卷(文科)(附答案详解)
2020年四川省绵阳市南山中学高考数学三诊试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合M={−1,0,1}，N={x|x2≤x}，则M∩N=()A. {0}B. {0,1}C. {−1,1}D. {−1,0,1}2.已知复数z=a−i3+2i(a∈R,i是虚数单位)为纯虚数，则实数a的值等于()A. 23B. 32C. −23D. −323.已知θ∈(0,π2)，sinθ=√55，则cos2θtanθ=()A. −310B. 310C. −65D. 654.下列叙述中正确的是()A. 若a，b，c∈R，则“ax2+bx+c≥0”的充分条件是“b2−4ac≤0”B. 若a，b，c∈R，则“ab2>cb2”的充要条件是“a>c”C. 命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2≥0”D. l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α//β5.已知a=log30.5，b=log0.50.6，c=30.2，则()A. a<b<cB. b<c<aC. b<a<cD. c<a<b6.若向量a⃗、b⃗ 、c⃗两两所成的角相等，且|a⃗|=1，|b⃗ |=1，|c⃗|=3，则|a⃗+b⃗ +c⃗|等于()A. 2B. 5C. 2或5D. √2或√57.德国数学家莱布尼兹(1646年−1716年)于1674年得到了第一个关于π的级数展开式，该公式于明朝初年传入我国．在我国科技水平业已落后的情况下，我国数学家、天文学家明安图(1692年−1765年)为提高我国的数学研究水平，从乾隆初年(1736年)开始，历时近30年，证明了包括这个公式在内的三个公式，同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式，著有《割圆密率捷法》一书，为我国用级数计算π开创了先河．如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于π的级数展开式”计算π的近似值(其中P表示π的近似值)，若输入n=10，则输出的结果是()A. P=4(1−13+15−17+⋯+117)B. P=4(1−13+15−17+⋯−119)C. P=4(1−13+15−17+⋯+121)D. P=4(1−13+15−17+⋯−121)8.设函数f(x)在R上可导，其导函数f′(x)，且函数f(x)在x=−2处取得极小值，则函数y=xf′(x)的图象可能是()A. B.C. D.9.在区间[0,2]中随机取两个数，则两个数中较大的数大于23的概率为()A. 89B. 79C. 49D. 1910.已知直三棱柱ABC−A1B1C1，∠ABC=90°，AB=BC=AA1=2，BB1和B1C1的中点分别为E、F，则AE与CF夹角的余弦值为()A. √35B. 25C. 45D. √15511.已知不等式3x2−y2>0所表示的平面区域内一点P(x,y)到直线y=√3x和直线y=−√3x的垂线段分别为PA、PB，若三角形PAB的面积为3√316，则点P轨迹的一个焦点坐标可以是()A. (2,0)B. (3,0)C. (0,2)D. (0,3)12.函数f(x)=−x2+3x−a，g(x)=2x−x2，若f[g(x)]≥0对x∈[0,1]恒成立，则实数a的范围是()A. (−∞,2]B. (−∞,e]C. (−∞,ln2]D. [0,12)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.某时段内共有100辆汽车经过某一雷达测速区域，将测得的汽车时速绘制成如图所示的频率分布直方图．根据图形推断，该时段时速超过50km/ℎ的汽车辆数为)个单位长度后，得到函数14.函数y=√3sin2x−cos2x的图象向右平移φ(0<φ<π2g(x)的图象，若函数g(x)为偶函数，则φ的值为______．15.已知抛物线y2=4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，则|AC|+|BD|的最小值为______．16.已知正三棱锥P−ABC的侧面都是直角三角形，P−ABC的顶点都在球O的球面上，正三棱锥P−ABC的体积为36，则球O的表面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图(a)，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD//AB，AB=4，AD=CD=2，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D−ABC，如图(b)所示．(Ⅰ)求证：BC⊥平面ACD；(Ⅱ)求点A到平面BCD的距离ℎ．18.某商店为了更好地规划某种商品进货的量，该商店从某一年的销售数据中，随机抽取了8组数据作为研究对象，如下图所示(x(吨)为该商品进货量，y(天)为销售天数x 2 3 4 5 6 8 9 11 y12334568(Ⅰ)根据上表数据在下列网格中绘制散点图；(Ⅱ)根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ̂=b ̂x +a ̂；(Ⅲ)在该商品进货量x(吨)不超过6(吨)的前提下任取两个值，求该商品进货量x(吨)恰有一个值不超过3(吨)的概率．参考公式和数据：b ̂=∑(ni=1x i −x −)(y i −y −)∑(n i=1x i−x −)2，a ̂=y −−b ̂x −．∑x i 28i=1=356,∑x i 8i=1y i =24119. 已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且4S n =a n 2+2a n −3．(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式； (Ⅱ)设b n =1a n a n+1(n ∈N ∗)，T n 是{b n }的前n 项和，求使T n <215成立的最大正整数n ．20. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为2√23，左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点．(Ⅰ)若以线段AF 1为直径的动圆内切于圆x 2+y 2=9，求椭圆的长轴长； (Ⅱ)当b =1时，问在x 轴上是否存在定点T ，使得TA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅TB ⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值？如果存在，求出定点和定值；如果不存在，请说明理由．21. 已知函数f(x)=ax 2+(1−2a)x −lnx(a ∈R)．(1)当a >0时，求函数f(x)的单调增区间；(2)当a <0时，求函数f(x)在区间[12,1]上的最小值；(3)记函数y =f(x)图象为曲线C ，设点A(x 1,x 2)，B(x 2,y 2)是曲线C 上不同的两点，点M 为线段AB 的中点，过点M 作x 轴的垂线交曲线C 于点N.试问：曲线C 在点N 处的切线是否平行于直线AB ？并说明理由．22. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为{x =−5+√2costy =3+√2sint(t 为参数)，在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ+π4)=−√2．(Ⅰ)求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(Ⅱ)设直线l 与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，点P 是圆C 上任一点，求△PAB 面积的23.设函数f(x)=|x−1|，x∈R．(1)求不等式f(x)≤3−f(x−1)的解集；)⊆M，求实(2)已知关于x的不等式f(x)≤f(x+1)−|x−a|的解集为M，若(1,32数a的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：因为N={x|x2≤x}={x|0≤x≤1}，M={−1,0,1}，所以M∩N={0,1}．故选B．求出集合N，然后直接求解M∩N即可．本题考查集合的基本运算，考查计算能力，送分题．2.【答案】A【解析】解：∵z=a−i3+2i =(a−i)(3−2i)(3+2i)(3−2i)=3a−213−2a+313i是纯虚数，∴{3a−2=02a+3≠0，解得a=23．故选：A．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】D【解析】解：∵θ∈(0,π2)，sinθ=√55，∴cosθ=√1−sin2=2√55，tanθ=sinθcosθ=12，则cos2θtanθ=cos2θ−sin2θtanθ=2025−52512=65，故选：D．由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得要求式子的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题．4.【答案】D【解析】【分析】体难度不大，属于基础题．本题先用不等式的知识对选项A、B中命题的条件进行等价分析，得出它们的充要条件，再判断相应命题的真假；对选项以中的命题否定加以研究，判断其真假，在考虑全称量词的同时，要否定命题的结论；对选项D利用立体几何的位置关系，得出命题的真假，可知本题的正确答案．【解答】解：A.若a，b，c∈R，当“ax2+bx+c≥0”对于任意的x恒成立时，则有：①当a=0时，要使ax2+bx+c≥0恒成立，需要b=0，c≥0，此时b2−4ac=0，符合b2−4ac≤0；②当a≠0时，要使ax2+bx+c≥0恒成立，必须a>0且b2−4ac≤0．∴若a，b，c∈R，“ax2+bx+c≥0”是“b2−4ac≤0”充分不必要条件，“b2−4ac≤0”是“ax2+bx+c≥0”的必要条件，但不是充分条件，即必要不充分条件．故A错误；B.当ab2>cb2时，b2≠0，且a>c，∴“ab2>cb2”是“a>c”的充分条件．反之，当a>c时，若b=0，则ab2=cb2，不等式ab2>cb2不成立．∴“a>c”是“ab2>cb2”的必要不充分条件．故B错误；C.结论要否定，注意考虑到全称量词“任意”，命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定应该是“存在x∈R，有x2<0”.故C错误；D.命题“l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α//β.”是两个平面平行的一个判定定理．故D正确．故选D．5.【答案】A【解析】解：∵log30.5<log31=0，0=log0.51<log0.50.6<log0.50.5=1，30.2>30= 1，∴a<b<c．故选：A．容易得出log30.5<0,0<log0.50.6<1,30.2>1，从而得出a，b，c的大小关系．考查对数函数、指数函数的单调性，以及增函数和减函数的定义．6.【答案】C【解析】解：由向量a⃗、b⃗ 、c⃗两两所成的角相等，设向量所成的角为α，由题意可知α=0°或α=120°则(|a⃗+b⃗ +c⃗|) 2=|a⃗|2+|b⃗ |2+|c⃗|2+2(a⃗⋅b⃗ +a⃗⋅c⃗+b⃗ ⋅c⃗ )=11+2(|a⃗|⋅|b⃗ |cosα+|a⃗|⋅|c⃗|cosα+|b⃗ |⋅|c⃗|cosα)=11+14cosα所以当α=0°时，原式=5；当α=120°时，原式=2．故选C设向量所成的角为α，则先求出(|a⃗+b⃗ +c⃗|) 2的值即可求出，考查学生会计算平面向量的数量积，灵活运用a⃗⋅b⃗ =|a⃗|⋅|b⃗ |cosα的公式．7.【答案】B【解析】解：由程序框图知：算法的功能是求P=4S=4[(−1)02×1−1+(−1)12×2−1+(−1)22×3−1…+(−1)92×10−1]的值，∵输入n=10，∴跳出循环的i值为11，∴输出P=4S=4[(−1)02×1−1+(−1)12×2−1+(−1)22×3−1…+(−1)92×10−1]=4(1−13+15−⋯−119).故选：B．模拟程序的运行可得算法的功能是求P=4S=4[(−1)02×1−1+(−1)12×2−1+(−1)22×3−1…+(−1)92×10−1]的值，根据条件确定跳出循环的i值，即可计算得解．本题考查程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：∵函数f(x)在R上可导，其导函数f′(x)，且函数f(x)在x=−2处取得极小值，∴当x>−2时，f′(x)>0；当x=−2时，f′(x)=0；当x<−2时，f′(x)<0．∴当x>−2时，xf′(x)<0；当x=−2时，xf′(x)=0；故选：A ．由题设条件知：当x >−2时，xf′(x)<0；当x =−2时，xf′(x)=0；当x <−2时，xf′(x)>0.由此观察四个选项能够得到正确结果．本题考查利用导数研究函数的极值的应用，解题时要认真审题，注意导数性质和函数极值的性质的合理运用．9.【答案】A【解析】解：在区间[0,2]中随机地取一个数，这个数小于23的概率为232=13，∴在区间[0,2]中随机地取两个数，则这两个数都小于23的概率为13×13=19， ∴这两个数中较大的数大于23的概率为P =1−19=89， 故选：A ．先根据几何概型的概率公式求出在区间[0,2]中随机地取一个数，这个数小于23的概率，从而得到这两个数都小于23的概率，最后根据对立事件的概率公式可求出所求 本题主要考查了几何概型，简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型10.【答案】B【解析】解：分别以直线BA ，BC ，BB 1为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则：∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,1),CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,2)， ∴cos <AE⃗⃗⃗⃗⃗ ,CF ⃗⃗⃗⃗⃗ >=AE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CF ⃗⃗⃗⃗⃗ |AE⃗⃗⃗⃗⃗ ||CF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√5×√5=25，∴AE 与CF 夹角的余弦值为25． 故选：B ．根据题意，可以点B 为原点，直线BA ，BC ，BB 1分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，然后可求出AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,1),CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,2)，然后可求出cos <AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CF ⃗⃗⃗⃗⃗ >=25，从而可得出AE 与CF 夹角的余弦值．本题考查了直三棱柱的定义，通过建立空间直角坐标系，利用向量坐标解决异面直线所成角的问题的方法，向量夹角的余弦公式，异面直线所成角的定义，考查了计算能力，属于基础题．11.【答案】A【解析】解：如图所示，不等式3x 2−y 2>0所表示的平面区域内一点P(x,y)，可得点P 的轨迹为直线y =±√3x 之间并且包括x 轴在内的区域． |PA|=|√3x−y|2，|PB|=|√3x+y|2，∵三角形PAB 的面积为3√316，∴12|PA||PB|sin60°=3√316， 化为：x 2−y 23=1．则点P 轨迹的一个焦点坐标可以是(2,0)． 故选：A ．如图所示，不等式3x 2−y 2>0所表示的平面区域内一点P(x,y)，可得点P 的轨迹为直线y =±√3x 之间并且包括x 轴在内的区域．利用12|PA||PB|sin60°=3√316，即可得出． 本题考查了线性规划的有关知识、双曲线的标准方程及其性质、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．12.【答案】A【解析】【分析】本题考查函数恒成立问题，训练了利用导数研究函数的单调性及最值，考查了利用分离变量法求解证明取值范围问题，属中档题．利用导数可得g(x)在x∈[0,1]上的取值范围为[1,g(x0)]，其中g(x0)<2，令t=g(x)换元，把f[g(x)]≥0对x∈[0,1]恒成立转化为−t2+3t−a≥0对t∈[1,g(x0)]恒成立，分离参数a后利用函数单调性求出函数−t2+3t的最小值得答案．【解答】解：g(x)=2x−x2，g′(x)=2x ln2−2x，∵g′(0)=ln2>0，g′(1)=2ln2−2<0，∴g′(x)在(0,1)上有零点，又[g′(x)]′=ln22⋅2x−2<0在[0,1]上成立，∴g′(x)在(0,1)上有唯一零点，设为x0，则当x∈(0,x0)时，g′(x)>0，当x∈(x0,1)时，g′(x)<0，∴g(x)在x∈[0,1]上有最大值g(x0)<2，又g(0)=g(1)=1，∴g(x)∈[1,g(x0)]，令t=g(x)∈[1,g(x0)]，要使f[g(x)]≥0对x∈[0,1]恒成立，则f(t)≥0对t∈[1,g(x0)]恒成立，即−t2+3t−a≥0对t∈[1,g(x0)]恒成立，分离a，得a≤−t2+3t，，又g(x0)<2，函数−t2+3t的对称轴为t=32∴(−t2+3t)min=2，则a≤2．则实数a的范围是(−∞,2]．故选：A．13.【答案】77【解析】解：根据频率分布直方图，得；时速超过50km/ℎ的汽车的频率为(0.039+0.028+0.010)×10=0.77；∴时速超过50km/ℎ的汽车辆数为100×0.77=77．故答案为：77．根据频率分布直方图，求出时速超过50km/ℎ的汽车的频率，即可求出对应的汽车辆数．本题考查了频率分布直方图的应用问题，解题时应根据频率分布直方图，会计算样本数据，频率与频数的大小，是基础题．14.【答案】π6【解析】解：由已知得y=√3sin2x−cos2x=2(sin2x⋅√32−cos2x⋅12)=2sin(2x−π6)．所以g(x)=2sin[2(x−φ)−π6]，由g(x)是偶函数得g(0)=2sin(−2φ−π6)=±2，∴−2φ−π6=π2+kπ,k∈Z，∴φ=−π3−kπ2，k∈Z，当k=−1时，φ=π6即为所求．故答案为：π6．先将y=√3sin2x−cos2x化为y=2sin(2x−π6)，然后再利用图象平移知识，求出g(x)，根据g(x)是偶函数，则g(0)取得最值，求出φ．本题考查三角函数图象变换的方法以及性质，将奇偶性、对称性与函数的最值联系起来，是此类问题的常规思路，属于中档题．15.【答案】2【解析】解：由题意知，F(1,0)，由抛物线的定义知，|AC|+|BD|=|AF|+|BF|−2=|AB|−2，若|AC|+|BD|取得最小值，则|AB|取得最小值，而当|AB|为通径，即|AB|=2p=4时，取得最小值，所以|AC|+|BD|的最小值为2．故答案为：2．先有抛物线的定义，可得|AC|+|BD|=|AF|+|BF|−2=|AB|−2，再找|AB|的最小值，而当|AB|为抛物线的通径时，|AB|最小，故而得解．本题考查抛物线的定义、通径等，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．16.【答案】108π【解析】【分析】本题考查多面体外接球的体积的求法，关键是“补形思想”的应用，是中档题．由已知可知该三棱锥三条侧棱两两互相垂直，且PA=PB=PC，设PA=PB=PC=a，由棱锥体积公式求得a，然后利用补形法求三棱锥外接球的半径，代入球的表面积公式得答案．【解答】解：由三棱锥P−ABC是正三棱锥，且侧面是直角三角形，如图，可知该三棱锥三条侧棱两两互相垂直，即PA⊥PB，PB⊥PC，PA⊥PC，且PA=PB=PC，设PA=PB=PC=a，则13×12a3=36，即a=6，把三棱锥补形为正方体，则其对角线长为√62+62+62=6√3，∴三棱锥P−ABC的外接球的半径R=3√3．∴球O的表面积为4π×(3√3)2=108π．故答案为：108π．17.【答案】解：(Ⅰ)证明：∵在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD//AB，AB=4，AD=CD=2，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D−ABC，∴AC=BC=2√2，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，∵平面ADC ⊥平面ABC ，平面ADC ∩平面ABC =AC ，BC ⊂平面ABC ， ∴BC ⊥平面ACD ．(Ⅱ)解：由(1)知，BC 为三棱锥B −ACD 的高，BC =2√2， S △ACD =2，∴V B−ACD =13S △ACD ⋅BC =13×2×2√2=4√23，∵S △BCD =2√2，设点A 到平面BCD 的距离ℎ.由V B−ACD =V A−BCD ，得： 点A 到平面BCD 的距离ℎ=4√2313×2√2=2．【解析】(Ⅰ)推导出AC ⊥BC ，由平面ADC ⊥平面ABC ，能证明BC ⊥平面ACD ． (Ⅱ)设点A 到平面BCD 的距离ℎ.由V B−ACD =V A−BCD ，能求出点A 到平面BCD 的距离． 本题考查线面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，属于中档题．18.【答案】解析：(Ⅰ)散点图如图所示：(Ⅱ)依题意，x −=18(2+3+4+5+6+8+9+11)=6y −=18(1+2+3+4+5+6+6+8)=4∑x i 28i=1=356,∑x i 8i=1y i =241：b̂=∑(n i=1x i −x −)(y i −y −)∑(n i=1x i −x −)2=241−8×6×7356−8×6×6=4968∴a ̂=y −−b ̂x −=4−4968×6=−1134故得回归直线方程为y =4968x −1134．(Ⅲ) 由题意知，在该商品进货量不超过6吨共有5个，设为编码1，2，3，4，5号，任取两个有(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(2,3)(2,4)(2,5)(3,4)(3,5)(4,5)共10种，该商品进货量不超过3吨的有编号1，2号，超过3吨的是编号3，4，5号，该商品进货量恰有一次不超过3吨有(1,3)(1,4)(1,5)(2,3)(2,4)(2,5)共6种，故该商品进货量恰有一次不超过3吨的概率为P =610=35．【解析】(Ⅰ)根据上表数据绘制散点图；(Ⅱ)由题意求出x −，y −，∑x i 28i=1，∑x i 8i=1y i ，代入公式求值，从而得到回归直线方程；(2)在该商品进货量不超过6吨共有5个，设为编码1，2，3，4，5号，抽取2个，写出所有事件，即可求解恰有一个值不超过3(吨)的概率． 本题考查了散点图与线性回归方程的应用问题，是中档题19.【答案】解：(Ⅰ)由4S n =a n 2+2a n −3，可得4S n−1=a n−12+2a n−1−3，n ≥2， 两式相减可得4a n =4S n −4S n−1=a n 2+2a n −a n−12−2a n−1，可化为(a n +a n−1)(a n −a n−1−2)=0， 由a n >0，可得a n −a n−1=2，由4a 1=4S 1=a 12+2a 1−3，解得a 1=3(−1舍去)，于是{a n }是首项为3，公差为2的等差数列， 则a n =2n +1，n ∈N ∗； (Ⅱ)b n =1an a n+1=1(2n+1)(2n+3)=12(12n+1−12n+3)，则T n =12(13−15+15−17+⋯+12n+1−12n+3)=12(13−12n+3)=n3(2n+3)， 由n3(2n+3)<215，解得n <6， 则所求的最大正整数n 为5．【解析】(Ⅰ)运用数列的递推式：n =1时，a 1=S 1，n ≥2时，a n =S n −S n−1，化简整理，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求通项公式；(Ⅱ)求得b n =1(2n+1)(2n+3)=12(12n+1−12n+3)，由数列的裂项相消求和，计算可得T n ，再解不等式可得n 的最大值．本题考查数列的递推式的运用，等差数列的定义和通项公式的求法，考查数列的裂项相消求和，以及化简运算能力，属于中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)设AF 1的中点M ，连接OM ，AF 2，在三角形AF 1F 2中，O 为F 1F 2的中点，所以OM 为中位线， 所以|OM|=12|AF 2|=12(2a −|AF 1|)=a −12|AF 1|， 又因为圆M 与圆O 内切，所以圆心距|OM|为两个半径之差，即|OM|=3−12|AF 1|，所以a −12|AF 1|=3−12|AF 1|，可得a =3， 所以椭圆的长轴长为2a =6； (Ⅱ)由e =c a=2√23，b =1，a 2=b 2+c 2可得a 2=9，所以椭圆的方程为：x 29+y 2=1；可得左焦点F 1(−2√2,0)，当直线AB 的斜率不为0时，设直线AB 的方程为：x =my −2√2，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2) 联立直线AB 与椭圆的方程{x =my −2√2x 2+9y 2−9=0，整理可得(9+m 2)y 2−4√2m −1=0，可得y 1+y 2=4√2m 9+m 2，y 1y 2=−19+m 2，假设存在T(t,0)满足条件，则TA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅TB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−t,y 1)(x 2−t,y 2)=(x 1−t)(x 2−t)+y 1y 2=(my 1−2√2−t)(my 2−2√2−t)+y 1y 2=(1+m 2)y 1y 2−m(2√2+t)(y 1+y 2)+(2√2+t)2=−(1+m 2)9+m 2−4√2m 2(2√2+t)9+m 2+(2√2+t)2m 2+9(2√2+t)29+m 2=m 2[(2√2+t)2−1−4√2(2√2+t)]+9(2√2+t)2−19+m 2，要使TA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅TB⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值，则9(2√2+t)2−19=(2√2+t)2−1−4√2(2√2+t)，解得t =−19√29，即T(−19√29,0)，这时9(2√2−19√29)2−19=−781；当直线的斜率为0时，即直线AB 为x 轴，与椭圆的交点A ，B 分别为：(−3,0)，(3,0)， 这时TA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅TB⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3+19√29,0)⋅(3+19√29,0)=(19√29)2−9=−781， 综上所述：在x 轴上存在定点T(−19√29,0)使得TA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅TB ⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值−781．【解析】(Ⅰ)设AF 1的中点为M ，连接OM 可得OM 为三角形AF 1F 2的中位线，可得|OM|=12|AF 2|=12(2a −|AF 1|)=a −12|AF 1|，再由圆M 与圆O 内切，所以圆心距|OM|为两个半径之差可得|OM|的表达式，两个式子可得a 的值，进而求出长轴长；(Ⅱ)由离心率和b 的值及a ，b ，c 之间的关系，求出a 的值，进而求出椭圆的方程；假设存在定点T(t,0)，分直线AB 的斜率为0和不为0两种情况讨论：当直线AB 的斜率不为0时设直线AB 的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出TA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅TB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的表达式，由其为定值可得分子分母对应项的系数成比例，可得t 的值，进而求出TA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅TB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值，当直线AB 的斜率为0时，求出A ，B 的坐标，也可得TA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅TB ⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值． 本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，考查数量积为定值的性质，即分子分母对应项的系数成比例，属于中档题．21.【答案】解：(1)∵f(x)=ax 2+(1−2a)x −lnx ，∴f ′(x)=2ax +(1−2a)−1x=2ax 2+(1−2a)x−1x=(2ax+1)(x−1)x，∵a >0，x >0，∴2ax +1>0，解f′(x)>0，得x >1， ∴f(x)的单调增区间为(1,+∞)；(2)当a <0时，由f′(x)=0，得x 1=−12a ，x 2=1， ①当−12a >1，即−12<a <0时，f(x)在(0,1)上是减函数， ∴f(x)在[12,1]上的最小值为f(1)=1−a ． ②当12≤−12a ≤1，即−1≤a ≤−12时，f(x)在[12,−12a ]上是减函数，在[−12a ,1]上是增函数， ∴f(x)的最小值为f(−12a )=1−14a +ln(−2a)． ③当−12a <12，即a <−1时，f(x)在[12,1]上是增函数， ∴f(x)的最小值为f(12)=12−34a +ln2． 综上，函数f(x)在区间[12,1]上的最小值为：f(x)min={12−34a +ln2 a <−11−14a +ln(−2a) −1≤a ≤−121−a −12<a <0 (3)设M(x 0,y 0)，则点N 的横坐标为x 0=x 1+x 22，直线AB 的斜率k 1=y 1−y2x 1−x 2=1x1−x 2[a(x 12−x 22)+(1−2a)(x 1−x 2)+lnx 2−lnx 1]=a(x 1+x 2)+(1−2a)+lnx 2−lnx 1x 1−x 2，曲线C 在点N 处的切线斜率k 2=f ′(x 0)=2ax 0+(1−2a)−1x 0=a(x 1+x 2)+(1−2a)−2x1+x 2，假设曲线C 在点N 处的切线平行于直线AB ，则k 1=k 2， 即lnx 2−lnx 1x 1−x 2=−2x1+x 2，∴ln x 2x 1=2(x 2−x 1)x 1+x 2=2(x 2x 1−1)1+x 2x 1，不妨设x 1<x 2，x2x 1=t >1，则lnt =2(t−1)1+t ，令g(t)=lnt −2(t−1)1+t (t >1)，则g ′(t)=1t −4(1+t)2=(t−1)2t(1+t)2>0，∴g(t)在(1,+∞)上是增函数，又g(1)=0， ∴g(t)>0，即lnt =2(t−1)1+t不成立，∴曲线C 在点N 处的切线不平行于直线AB ．【解析】(1)求出函数f(x)的导函数，由a >0，定义域为(0,+∞)，再由f′(x)>0求得函数f(x)的单调增区间；(2)当a <0时，求出导函数的零点−12a ,1，分−12a >1，12≤−12a ≤1，−12a <12讨论函数f(x)在区间[12,1]上的单调性，求出函数的最小值，最后表示为关于a 的分段函数； (3)设出线段AB 的中点M 的坐标，得到N 的坐标，由两点式求出AB 的斜率，再由导数得到曲线C 过N 点的切线的斜率，由斜率相等得到ln x 2x 1=2(x 2−x 1)x 1+x 2=2(x 2x 1−1)1+x 2x 1，令x2x 1=t 后构造函数g(t)=lnt −2(t−1)1+t (t >1) 由导数证明ln x 2x 1=2(x 2−x 1)x 1+x 2=2(x 2x 1−1)1+x 2x 1不成立．本题考查利用导数求函数的单调区间，考查了利用导数求函数的最值，体现了分类讨论的数学思想方法，训练了利用构造函数法证明等式恒成立问题，特别是对于(3)的证明，要求学生较强的应变能力，是压轴题．22.【答案】解：(1)圆C 的参数方程为{x =−5+√2costy =3+√2sint(t 为参数)，消去参数t ，转换为直角坐标方程为(x +5)2+(y −3)2=2．直线l 的极坐标方程为ρcos(θ+π4)=−√2.整理得√22ρcosθ−√22ρsinθ=−√2，根据：{x =ρcosθy =ρsinθρ2=x 2+y 2，转换为直角坐标方程为x −y +2=0．(2)直线l 与x 轴和y 轴的交点坐标为A(−2,0)，B(0,2)． 所以|AB|=√22+(−2)2=2√2点P(−5+√2cosα,3+√2sinα)到直线l 的距离d =√2cosα−3−√2sinα+2|√2=|−6+2cos(α+π4)|√2，当cos(α+π4)=−1时，d max =√2=2√2，所以S△PAB=12×d max×|AB|=12×2√2×2√2=4．【解析】(Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(Ⅱ)利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换和三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.【答案】解：(1)因为f(x)≤3−f(x−1)，所以|x−1|≤3−|x−2|，⇔|x−1|+|x−2|≤3，⇔{x<13−2x≤3或{1≤x≤21≤3或{x>22x−3≤3解得0≤x<1或1≤x≤2或2<x≤3，所以0≤x≤3，故不等式f(x)≤3−f(x−1)的解集为[0,3]．(2)因为(1,32)⊆M，所以当x∈(1,32)时，f(x)≤f(x+1)−|x−a|恒成立，而f(x)≤f(x+1)−|x−a|⇔|x−1|−|x|+|x−a|≤0⇔|x−a|≤|x|−|x−1|，因为x∈(1,32)，所以|x−a|≤1，即x−1≤a≤x+1，由题意，知x−1≤a≤x+1对于x∈(1,32)恒成立，所以12≤a≤2，故实数a的取值范围[12,2]．【解析】(1)通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出即可；(2)由f(x)≤f(x+1)−|x−a|⇔|x−a|≤|x|−|x−1|，得到x−1≤a≤x+1对于x∈(1,32)恒成立，求出a的范围即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查函数恒成立以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．。
2024届绵阳市南山中学实验高三数学(文)上学期一诊试卷附答案详析
2024届绵阳市南山中学实验高三数学（文）上学期一诊试卷（试卷满分150分．考试用时120分钟）2023.10一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合2{|20}P x x x =-<，{N |1}Q x x =∈≥，则P Q = （）A ．{1,2}B ．{1}C ．{2,3}D ．{1,2,3}2．已知向量(1,)a m = ，(,2)b m = ，若4a b ⋅= ，则实数m 等于（）A ．2-B ．0C ．1D ．433．下列函数中，既是奇函数，又在[0,1]上单调递减的是（）A ．sin y x =-B ．3y x=C ．1y x x =+D ．||ex y =4．设nS 是等差数列{}n a 的前n 项和，若25815a a a ++=，则9S =（）A ．15B ．30C ．45D ．605．“0a b <<”是“11a b >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知β是第三象限角，则点()cos ,sin 2Q ββ位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．执行如图所示的程序框图，若输出的a 的值为17，则输入的最小整数t 的值为（）A ．9B ．12C ．14D ．168．已知命题p ：在ABC 中，若sin sin A B >，则A B >；q ：若0a >，则1(1)(1a a ++4≥，则下列命题为真命题的是（）A ．p q∧B ．p q∧⌝C ．p q⌝∧D ．p q⌝∧⌝9．函数y ＝2xx e (其中e 为自然对数的底数)的大致图像是()A．B ．C．D．10．纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通､安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert 提出铅酸电池的容量C 、放电时间t 和放电电流I 之间关系的经验公式：C I t λ=，其中λ为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert 常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为15A 时，放电时间为30h ；当放电电流为50A 时，放电时间为7.5h ，则该蓄电池的Peukert 常数λ约为（）（参考数据：lg20.301≈，lg30.477≈）A ．0.82B ．1.15C ．3.87D ．5.511．已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减，则ω的取值范围是（）A ．15[,24B ．13[,]24C ．1(0,2D ．(0,2]12．设函数()e xf x x -=-，直线y ax b =+是曲线()y f x =的切线，则2a b +的最小值为（）A ．12e-B ．211e -C ．212e -D ．212e +二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知π4cos sin 65αα⎛⎫--= ⎪⎝⎭，则2πsin 3α⎛⎫+=⎪⎝⎭.14．等比数列{}n a 中，144a a +=，3612a a +=，则710a a +=．15．如图，在ABC 中，2AD DB = ，P 为CD 上一点，且满足12AP m AC AB=+()m R ∈，则m 的值为．16．已知函数()y f x =是R 上的奇函数，对任意x R ∈，都有(2)()f x f x -=成立，当12,,1[]0x x ∈，且12x x ≠时，都有1212()()f x f x x x ->-，有下列命题：①(1)(2)(3)(2019)0f f f f ++++= ；②函数()y f x =图象关于直线5x =-对称；③函数()y f x =在[7,7]-上有5个零点；④函数()y f x =在[5,3]--上为减函数．则以上结论正确的是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．设{}n a 是公差不为0的等差数列，38a =，1311,,a a a 成等比数列．(1)求{}n a 的通项公式：(2)设13n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n S ．18．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+π0,0,||2A ωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示．(1)求函数()f x 的解析式；(2)将函数()f x 的图象向右平移π3个单位长度，得到()g x 的图象，求函数()y g x =在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的单调递减区间．19．记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin()sin2B C a A B c ++=．(1)求A ；(2)已知3c =，1b =，边BC 上有一点D 满足3ABD ADC S S = ，求AD ．20．已知函数f （x ）＝x3＋ax2＋bx ＋c 在x ＝－23与x ＝1时都取得极值（1）求a 、b 的值与函数f （x ）的单调区间（2）若对[]x 1,2∈-，不等式()2c f x <恒成立，求c 的取值范围.21．已知函数()1ln f x x a x x =-+，R a ∈．(1)若()f x 在区间()3,+∞上单调递减，求实数a 的取值范围；(2)若0a >，()f x 存在两个极值点1x ，2x ，证明：()()12122f x f x a x x -<--．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()224ρθπ+=.（1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求PQ 的最小值以及此时P 的直角坐标.[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()212f x x x =--+.（1）求不等式()3f x ≥的解集；（2）若关于x 的不等式()23f x t t ≥-在[]0,1上无解，求实数t 的取值范围.1．B【分析】化简集合A ，再根据交集的定义可求得结果.【详解】220x x -<，02x ∴<<，{}02A x x ∴=<<，又{}N 1B x x =∈≥，{}1A B ∴⋂=.故选：B.2．D【分析】利用向量数量积的坐标表示，列式计算即得.【详解】向量(1,)a m = ，(,2)b m = ，则234a b m m m ⋅=+== ，解得43m =，所以实数m 等于43.故选：D3．A【分析】由正弦函数、幂函数、对勾函数性质判断各函数的奇偶性、区间单调性即可.【详解】由sin y x =-定义域为R 且sin()sin x x --=，易知sin y x =-为奇函数，又π[0,1][0,2⊆，故sin y x =-在[0,1]上递减，A 符合.由3y x =在[0,1]上递增，B 不符合；由1y x x =+定义域为{|0}x x ≠，显然区间[0,1]不满足定义域，C 不符合；由||e x y =定义域为R 且||||e e x x -=，即||e x y =为偶函数，D 不符合；故选：A 4．C【分析】根据等差数列的性质求出5a ，再根据等差数列前n 项和公式即可得解.【详解】由题意得2585315a a a a ++==，所以55a =，所以()199599452a a S a +===.故选：C.5．A【分析】根据充分、必要性定义，结合不等式的推出关系判断题设条件间的关系.【详解】由0a b <<，则11a b >成立，充分性成立；由11a b >，若1,1a b ==-，显然0a b <<不成立，必要性不成立；所以“0a b <<”是“11a b >”的充分不必要条件.故选：A6．B【分析】根据角所在象限结合二倍角正弦公式即可判断答案.【详解】因为β是第三象限角，故sin 0,cos 0ββ<<，则sin 22sin cos 0βββ=>，故()cos ,sin 2Q ββ在第二象限，故选：B 7．A【分析】根据流程框图代数进行计算即可，当进行第四次循环时发现输出的a 值恰好满足题意，然后停止循环求出t 的值.【详解】第一次循环，2213a =⨯-=，3a t =>不成立；第二次循环，2315a =⨯-=，5a t =>不成立；第三次循环，2519a =⨯-=．9a t =>不成立；第四次循环，29117a =⨯-=，17a t =>，成立，所以917t <≤，输入的最小整数t 的值为9．故选：A 8．A【分析】根据条件分别判断命题p ，命题q的真假，然后结合复合命题的真假关系进行判断即可.【详解】命题p ：在ABC 中，若sin sin A B >，由正弦定理得a b >，所以A B >，为真命题，当0a >，对于()11111222a a a a a a ⎛⎫++=++≥+⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当1a =时等号成立，所以命题q ：若0a >，则1(1)(1)a a ++4≥，为真命题，所以p q ∧为真命题，p q ∧⌝假命题，p q ⌝∧假命题，p q ⌝∧⌝假命题，故选：A.9．B【分析】方法一：排除法，根据函数值的特点，排除即可；方法二：根据导数和函数的单调性即可判断.【详解】方法一：排除法：当0x =时，0y =，排除C ，当0x ≠时，0y >恒成立，排除A 、D ，故选B.方法二：222(2)'x x xx x e x e x x y e e ⋅-⋅-==，由'0y > ，可得02x <<，令'0y <，可得0x <或2x >，所以函数在(,0),(2,)-∞+∞上单调递减，在(0,2)上单调递增，所以只有B 符合条件，故选B.【点睛】该题考查的是有关函数图象的识别问题，注意在识别函数图象的过程中，可以从函数的定义域，函数的单调性，函数图象的对称性，函数图象所过的特殊点以及函数值的符号等方面来确定.10．B【分析】根据题意可得31104λ⎪⎝⎭=⎛⎫，再结合对数式与指数式的互化及对数运算即可求解.【详解】根据题意可得1530507.5C C λλ⎧=⨯⎨=⨯⎩，两式相除可得31104λ⎪⎝⎭=⎛⎫，所以31lg lg104λ=，可得1lg2lg 220.3014 1.153lg 310.4771lg 10λ--⨯==≈=--⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：B.11．A【详解】由题意可得,322,22442k k k Z ππππππωπωπ+≤+<+≤+∈，∴1542,24k k k Zω+≤≤+∈，0ω> ，1524ω∴≤≤．故A 正确．考点：三角函数单调性．12．C【分析】先设切点写出切线方程，再求2a b +的解析式，最后通过求导判断单调性求出最小值.【详解】令()f x 的切点为()0,e x x x--，因为()1e x f x -'=+，所以过切点的切线方程为()()()0000e 1e x x y x x x ----=+-，即()()001e e 1x x y x x --=+-+，所以()0001e e 1xx a b x --⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩，所以002e e 2x xa b x --+=-++，令()e e 2x x g x x --=-++，则()()e e e e 2x x x x g x x x ----'=-+-=-，所以当(),2x ∈-∞时()0g x '<恒成立，此时()g x 单调递减，当()2,x ∈+∞时()0g x '>恒成立，此时()g x 单调递增，所以()()2min 22e g x g -==-，所以()22min 122e 2e a b -+=-=-，故选：C13．45##0.8【分析】对已知式子利用三角函数恒等变换公式化简变形可得答案.【详解】由π4cos sin 65αα⎛⎫--=⎪⎝⎭，得ππ4cos cossin sin sin 665ααα+-=，314cos sin 225αα-=，所以2π2π4sincos cos sin 335αα+=，所以2π4sin 35α⎛⎫+=⎪⎝⎭，故答案为：4514．108【分析】根据等比数列的性质可得23614a a q a a +=+，求得2q ，继而根据471036()a a q a a +=+求得答案.【详解】由题意等比数列{}n a 中，144a a +=，3612a a +=，设等比数列{}n a 的公比为q ，则236141234a a q a a +===+，故471036()912108a a q a a +=+=⨯=，故答案为：10815．14【分析】12AP mAC AB=+ 改为向量的终点在同一直线上，再利用共线定理的推论即可得到参数m 的方程，解之即可.【详解】因为12AP mAC AB =+ ，2AD DB = 即，32AB AD=所以1324AP m AC AB m AC AD=+=+ ,又,,C P D 三点共线，所以314m +=，解得14m =.故答案为：14.16．①②【分析】由题意分析()f x 的对称性、单调性、周期性，对结论逐一判断.【详解】根据题意，函数()y f x =是R 上的奇函数，则(0)0f =；由(2)()f x f x -=得()()(11)(11)f x f x --=+-，即(1)(1)f x f x -=+所以1x =是函数()f x 的一条对称轴；又由()f x 为奇函数，则(2)()()f x f x f x -==--，变形可得(2)()f x f x +=-，则有(4)(2)()f x f x f x +=-+=，故函数()f x 是周期为4的周期函数，当[]12,0,1x x ∈，且22x x ≠时，都有1212()()f x f x x x ->-，则函数()f x 在区间[]0,1上为增函数，又由()y f x =是R 上的奇函数，则()f x 在区间[1,1]-上单调递增；据此分析选项：对于①，(2)()f x f x +=-，则(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=，()()()()12320195040(1)(2)(3)0f f f f f f f ++++=⨯+++= ，故①正确；对于②，1x =是函数()f x 的一条对称轴，且函数()f x 是周期为4的周期函数，则5x =是函数()f x 的一条对称轴，又由函数为奇函数，则直线5x =-是函数()y f x =图象的一条对称轴，故②正确；对于③，函数()y f x =在[]7,7-上有7个零点：分别为6-，4-，2-，0，2，4，6，故③错误；对于④，()f x 在区间[1,1]-上为增函数且其周期为4，函数()y f x =在[5,3]--上为增函数，故④错误；故答案为：①②．17．(1)31n a n =-(2)364n n S n =+【分析】（1）设{}n a 的公差为d ，然后根据已知条件列方程可求出1,a d ，从而可求出通项公式，（2）由（1）得13113132n n n b a a n n +==--+，再利用裂项相消法可求得结果.【详解】（1）设{}n a 的公差为d ，因为1311,,a a a 成等比数列，所以23111a a a =⋅又因为38a =，所以()()288288d d =-+，所以230d d -=．因为0d ≠，所以3d =，所以11268a d a +=+=，得12a =，故()23131n a n n =+-=-．（2）因为()()1331131323132n n n b a a n n n n +===--+-+，所以11111125573132n S n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11323264n n n =-=++．18．(1)π()323f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)5ππ,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据函数图象求出3A =πT =，进而得出ω.根据“五点法”，即可求出ϕ的值；（2）先求出π()323g x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，根据已知得出22333x πππ-≤-≤.结合正弦函数的单调性，解ππ2π2233x ≤-≤，即可得出答案.【详解】（1）由图易知3A =5π262π3πT =-=，所以πT =，2π2π2πT ω===．易知π44T =，故函数()f x 的图象经过点π312M ⎛ ⎝，π32312ϕ⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭又π2ϕ<，∴π3ϕ=．∴π()323f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．（2）由题意，易知πππ()323sin 2333g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为02x π≤≤时，所以22333x πππ-≤-≤.解ππ2π2233x ≤-≤可得，5ππ122x ≤≤，此时π()323g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递减，故函数()y g x =的单调递减区间为5ππ,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦.19．(1)π3A =(2)334AD =【分析】（1）根据三角形内角和定理、诱导公式，结合正弦定理、正弦的二倍角公式进行求解即可；（2）根据三角形面积公式，结合余弦定理进行求解即可.【详解】（1）∵sin()sin 2B C a A B c ++=，由正弦定理，有sin sin()sin sin2B CA ABC ++=，即sin sin sin cos2AA C C =，又sin 0C ≠，即有sin cos2A A=，2sin cos cos222A A A =，π(0,)22A ∈ ，cos 02A ≠，所以1sin 22A =，π26A =，故π3A =．（2）设BDA α∠=，πADC α∠=-，由（1）知π3A =，在△ABC 中，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，可知21912312BC =+-⨯⨯⨯，∴7BC =又3ABD ADC S S = ，可知3734BD DC ==，在△ABD 中，2222cos AB BD AD BD AD α=+-⋅⋅，即263379cos 162AD α=+-⋅，①在△ACD 中，2771cos()16AD πα=+⋅-，即2771cos 162AD AD α=+⋅，②联立①②解得334AD =.20．（1）1,22a b =-=-，单调递增区间为2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭和(1,)+∞，单调递减区间为2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）1c <-或2>c 【分析】（1）求出函数导数，由题可得203(1)0f f ⎧⎛⎫-=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪='⎩'即可求出,a b ；（2）求出()f x 在[1,2]x ∈-的最大值即可建立关系求解.【详解】（1）32()f x x ax bx c =+++ ，∴()232f x x ax b '=++，()f x 在23x =-与1x =时都取得极值，21240393(1)320f a b f a b ⎧⎛⎫-=-+=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=++=''⎩∴，解得122a b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，2()32(32)(1)f x x x x x '∴=--=+-，令()0f x '>可解得23x <-或x 1>；令()0f x '<可解得213x -<<，()f x ∴的单调递增区间为2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭和(1,)+∞，单调递减区间为2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）[]321()2,1,22f x x x x c x =--+∈-，由（1）可得当23x =-时，22()27f x c=+为极大值，而(2)2f c =+，所以()()max 22f x f c==+，要使2()f x c <对[1,2]x ∈-恒成立，则22c c >+，解得1c <-或2>c .21．(1)10,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦(2)证明见解析【分析】（1）由题意可得221()0x ax f x x -+'=-≤在()3,+∞上恒成立，转化为1a x x ≤+在()3,+∞上恒成立，构造函数()1h x x x =+，利用导数可求出其最小值，（2）由（1）知：1x ，2x 满足210x ax -+=，121=x x ，不妨设120x x <<，则21x >，则()()12212222ln 21f x f x x ax x x x --=-+--，所以只需证22212ln 0x x x -+<成立，构造函数()12ln g x x x x =-+，利用求出其出其最大值小于零即可.【详解】（1）∵()222111a x ax f x x x x -+'=--+=-，又()f x 在区间()3,+∞上单调递减，∴221()0x ax f x x -+'=-≤在()3,+∞上恒成立，即210x ax -+≥在()3,+∞上恒成立，∴1a x x ≤+在()3,+∞上恒成立；设()1h x x x =+，则()211h x x '=-，当3x >时，()0h x '>，∴()h x 单调递增，∴()()1033h x h >=，∴103a ≤，即实数a 的取值范围是10,3⎛⎤-∞⎝⎦．（2）由（1）知：1x ，2x 满足210x ax -+=．∴121=x x ，不妨设120x x <<，则21x >．∴()()12121221212121222ln ln ln ln 2ln 11221f x f x x x x x x a a ax x x x x x x x x x ----=--+=--=-+----，则要证()()12122f x f x a x x -<--，即证2222ln 1x aax x -<-，即证22212ln x x x <-，也即证22212ln 0x x x -+<成立．设函数()12ln g x x xx =-+，则()()22211210x g x x x x -'=--+=-<，∴()g x 在()0,∞+单调递减，又()10g =．∴当()1,x ∈+∞时，()0g x <，∴22212ln 0x x x -+<，即()()12122f x f x a x x -<--.【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性，考查利用导数证明不等式，解（2）问解题的关键是根据题意将问题转化为证22212ln 0x x x -+<成立，构造函数()12ln g x x x x =-+，利用导数求出其最值即可，考查数学转化思想，属于较难题.22．（1）1C ：2213x y +=，2C ：40x y +-=；（2）min 2PQ =31(,22P .【详解】试题分析：（1）1C 的普通方程为2213x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=；（2）由题意，可设点P 的直角坐标为(3,sin )αα⇒P 到2C的距离3π()2|sin()2|32d αα=+-⇒当且仅当π2π()6k k α=+∈Z 时，()d α2，此时P 的直角坐标为31(,22.试题解析：（1）1C 的普通方程为2213x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=.（2）由题意，可设点P 的直角坐标为(3,sin )αα，因为2C 是直线，所以||PQ 的最小值即为P 到2C的距离()d α的最小值，3π()2|sin()2|32d αα=+-.当且仅当π2π()6k k α=+∈Z 时，()d α2P 的直角坐标为31(,22.考点：坐标系与参数方程.【方法点睛】参数方程与普通方程的互化：把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法；加减消参法；平方和（差）消参法；乘法消参法；混合消参法等．把曲线C 的普通方程0(),F x y =化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性．注意方程中的参数的变化范围．23．（1）[)4,6,3⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦;（2）3535,,22⎛⎛⎫-+-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【详解】试题分析：（1）将()f x 的表达式以分段函数的形式写出，将原题转化为求不等式组的问题，最后对各个解集求并集得出原不等式的解集；（2）()23f x t t≥-在[]0,1上无解相当于()2max 3f x t t <-，从而得到关于的一元二次不等式，解得t 的范围.试题解析：（1）由题意得()13,21{31,223,2x x f x x x x x -≥=---≤≤-<-.则原不等式转化为1{233x x ≥-≥或12{2313x x -≤<--≥或2{33x x <--≥.∴原不等式的解集为][4,6,3⎛⎫-∞-⋃+∞⎪⎝⎭.（2）由题得()2max 3f x t t <-，由（1）知，()f x 在[]0,1上的最大值为1-，即()2max 13f x t t =-<-，解得35t +>或35t -<，即t 的取值范围为3535,,22⎛⎛⎫+-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.。
四川省绵阳南山中学实验学校2023届高考模拟六(文科)数学试题 (2)
一、单选题1. 已知条件p：直线与直线平行，条件q：，则p 是q 的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件2. 设复数z满足=i ，则|z|=A ．1B．C．D ．23. 下列命题中正确的是( )A ．一组数据1，2，3，3，4，5的众数大于中位数B．对一组数据，如果将它们变为，其中，则平均数和标准差均发生改变C ．有甲､乙､丙三种个体按的比例分层抽样调查，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为30D ．若随机变量X服从正态分布，，则4. 对于方程为的曲线给出以下三个命题:（1）曲线关于原点对称；（2）曲线关于轴对称，也关于轴对称，且轴和轴是曲线仅有的两条对称轴；（3）若分别在第一、第二、第三、第四象限的点，都在曲线上，则四边形每一条边的边长都大于2；其中正确的命题是（ ）A ．（1）（2）B ．（1）（3）C ．（2）（3）D ．（1）（2）（3）5. 把函数图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一个对称中心为（ ）A．B．C．D．6. 已知，则（ ）A．B．C．D．7.已知函数,则函数的图象大致为（ ）A．B．C．D．8. 2022年4月26日下午，神舟十三号载人飞船返回舱在京完成开舱．据科学计算，运载“神十三”的“长征二号”遥十三运载火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2千米，以后每秒钟通过的路程都增加2千米，在达到离地面380千米的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间大约是（ ）A ．10秒B ．13秒C ．15秒D ．19秒四川省绵阳南山中学实验学校2023届高考模拟六（文科）数学试题 (2)四川省绵阳南山中学实验学校2023届高考模拟六（文科）数学试题 (2)二、多选题三、填空题9. 已知函数的最小正周期为，则（ ）A．B．将的图象向左平移个单位长度可得到的图象C．的图象在区间上存在对称轴D ．在区间上单调递增10. 社区卫生服务中心（站）是我国医疗卫生服务和公共卫生应急管理体系的网底，是政府履行提供基本卫生服务职能的平台.社区卫生服务中心（站）可促进社区居民的基本需求（如疫苗接种、基本诊疗等）就近在社区得到解决，图中记录的是从2010年起十二年间我国社区卫生服务中心（站）的个数，根据此图可得关于这十二年间卫生服务中心（站）个数的结论正确的是（）A ．逐年增多B ．中位数为34324C ．每年相对于前一年的增量连续增大D ．从2013年到2021年的增幅约6%11. 下列命题中正确的是（ ）A ．已知一组数据6，6，7，8，10，12，则这组数据的50%分位数是7.5B．已知随机变量，且，则C．已知随机变量，则D ．已知经验回归方程，则y 与x 具有负线性相关关系12. 教育部办公厅“关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知”中指出，各地要加强对学生体质健康重要性的宣传，中小学校要通过体育与健康课程、大课间、课外体育锻炼、体育竞赛、班团队活动，家校协同联动等多种形式加强教育引导，让家长和中小学生科学认识体质健康的影响因素．了解运动在增强体质、促进健康、预防肥胖与近视、锤炼意志、健全人格等方面的重要作用，提高学生体育与健康素养，增强体质健康管理的意识和能力，某学校共有2000名男生，为了了解这部分学生的身体发育情况，学校抽查了100名男生的体重情况．根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示，则下列结论正确的是（）A．样本的众数为B．样本的中位数为C ．样本的平均值为66D ．该校男生体重超过70公斤的学生大约为600人13. 已知，则______；若，则______．14. 已知内角所对的边分别为面积为，且的中点为，则的长是__________．四、解答题15. 抛物线的准线方程是________16. 随着生活节奏的加快､生活质量的提升，越来越多的居民倾向于生活用品的方便智能.如图是根据2016—2020年全国居民每百户家用汽车拥有量（单位：辆）与全国居民人均可支配收入（单位：万元）绘制的散点图.(1)由图可知，可以用线性回归模型拟合与的关系，求关于的线性回归方程；（过程和结果保留两位小数）(2)已知2020年全国居民人均可支配收入为32189元，若从2020年开始，以后每年全国居民人均可支配收入均以6%的速度增长，预计哪一年全国居民每百户家用汽车拥有量可以达到50辆.参考数据：2.8232.560.46 5.27，，.参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.17. 已知椭圆：的一个焦点为，离心率为．设是椭圆长轴上的一个动点，过点且斜率为的直线交椭圆于，两点.（1）求椭圆的方程；（2）求的最大值.18. 某学校研究性学习小组对该校高二学生视力情况进行调查，在高二的全体名学生中随机抽取了名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图.年级名次是否近视近视不近视(1)若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在以下的人数；(2)学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在名和名的学生进行了调查，得到右表中数据，根据分布概率表中的数据，能否有的把握认为视力与学习成绩有关系？请说明理由；(3)在（2）中调查的名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了人进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这人中任取人，记名次在的学生人数为，求的分布列和数学期望.附：.其中.19. 如图，在三棱锥中，．(1)证明：平面平面BCD；(2)若，当直线AB与平面ACD所成的角最大时，求三棱锥的体积．20. 已知函数.(1)讨论的单调性；(2)证明：当时，.21. 设三棱锥的每个顶点都在球的球面上，是面积为的等边三角形，，，且平面平面.（1）确定的位置（需要说明理由），并证明：平面平面.（2）与侧面平行的平面与棱，，分别交于，，，求四面体的体积的最大值.。
2020年绵阳南山中学高三三诊模拟文科数学试题及答案
则函数 y xf (x) 的图象可能是 ( )
A．
B．
C．
D．
【答案】 C
【解析】 根据函数 f ( x) 在 x 2 处取得极小值， 得到在 x 2 的左侧附近， f ( x) 0 ，
在 x 2 的右侧附近， f ( x) 0 ，然后再确定 y xf ( x) 在 x 2 附近的正负 .
【详解】
1 D ． [0, )
2
【解析】 利用导数可得 g x 在 x 0,1 上的取值范围为 1, g x0 ，其中 g x0 2 ，
令 t g x 换元，把 f g x 0 对 x 0,1 恒成立转化为 t2 3t a 0 对
t 1, g x0 恒成立，分离参数 a 后利用函数单调性求出函数
案. 【详解】
，则 / /
【答案】 D
【解析】试题分析： 当 a 0 时，" b2 4ac 0" 推不出 " ax 2 bx c 0" ，A 错，当 b 0
时， " a c " 推不出 " ab2 cb2 " ， B 错，命题 “对任意 x R ，有 x2 0 ”的否定是 “存
在 x R ，有 x2 0 ”， C 错，因为与同一直线垂直的两平面平行，所以
【考点】 充要关系
D 正确 .
5．已知 a log3 0.5 ， b log 0.5 0.6 ， c 30.2 ，则（）
A． a b c
【答案】 A
B． b c a
C． b a c
D． c a b
【解析】 根据对数函数和指数函数单调性，利用临界值
0 和 1可得到 a, b, c 所处的大致
范围，从而得到结果 . 【详解】
2020年四川省绵阳市南山中学高考(文科)数学第三次诊断试卷 (解析版)
2020年高考数学三诊试卷（文科）一、选择题（共12小题）1．设集合M ＝{﹣1，0，1}，N ＝{x |x 2≤x }，则M ∩N ＝（ ） A ．{0} B ．{0，1} C ．{﹣1，1} D ．{﹣1，0，1}2．已知复数z =a−i3+2i（a ∈R ，i 是虚数单位）为纯虚数，则实数a 的值等于（ ） A ．23B ．32C ．−23D ．−323．已知θ∈（0，π2），sin θ=√55，则cos2θtanθ=（ ）A ．−310B ．310C ．−65D ．654．下列叙述中正确的是（ ）A ．若a ，b ，c ∈R ，则“ax 2+bx +c ≥0”的充分条件是“b 2﹣4ac ≤0”B ．若a ，b ，c ∈R ，则“ab 2＞cb 2”的充要条件是“a ＞c ”C ．命题“对任意x ∈R ，有x 2≥0”的否定是“存在x ∈R ，有x 2≥0”D ．l 是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β 5．已知a ＝log 30.5，b ＝log 0.50.6，c ＝30.2，则（ ） A ．a ＜b ＜cB ．b ＜c ＜aC ．b ＜a ＜cD ．c ＜a ＜b6．若向量a →、b →、c →两两所成的角相等，且|a →|＝1，|b →|＝1，|c →|＝3，则|a →+b →+c →|等于（ ）A ．2B ．5C ．2或5D ．√2或√57．德国数学家莱布尼兹（1646年﹣1716年）于1674年得到了第一个关于π的级数展开式，该公式于明朝初年传入我国．在我国科技水平业已落后的情况下，我国数学家、天文学家明安图（1692年﹣1765年）为提高我国的数学研究水平，从乾隆初年（1736年）开始，历时近30年，证明了包括这个公式在内的三个公式，同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式，著有《割圆密率捷法》一书，为我国用级数计算π开创了先河．如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于π的级数展开式”计算π的近似值（其中P 表示π的近似值），若输入n ＝10，则输出的结果是（ ）A ．P =4(1−13+15−17+⋯+117) B ．P =4(1−13+15−17+⋯−119)C ．P =4(1−13+15−17+⋯+121)D ．P =4(1−13+15−17+⋯−121) 8．设函数f （x ）在R 上可导，其导函数f ′（x ），且函数f （x ）在x ＝﹣2处取得极小值，则函数y ＝xf ′（x ）的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．9．在区间[0，2]中随机取两个数，则两个数中较大的数大于23的概率为（ ）A ．89B ．79C ．49D ．1910．已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝AA 1＝2，BB 1和B 1C 1的中点分别为E 、F ，则AE 与CF 夹角的余弦值为（ ） A ．√35B ．25C ．45D ．√15511．已知不等式3x 2﹣y 2＞0所表示的平面区域内一点P （x ，y ）到直线y =√3x 和直线y =−√3x的垂线段分别为PA 、PB ，若三角形PAB 的面积为3√316，则点P 轨迹的一个焦点坐标可以是（ ） A ．（2，0）B ．（3，0）C ．（0，2）D ．（0，3）12．函数f （x ）＝﹣x 2+3x ﹣a ，g （x ）＝2x ﹣x 2，若f [g （x ）]≥0对x ∈[0，1]恒成立，则实数a 的范围是（ ） A ．（﹣∞，2]B ．（﹣∞，e ]C ．（﹣∞，ln 2]D ．[0，12）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．某时段内共有100辆汽车经过某一雷达测速区域，将测得的汽车时速绘制成如图所示的频率分布直方图．根据图形推断，该时段时速超过50km /h 的汽车辆数为 ．14．函数y =√3sin2x ﹣cos2x 的图象向右平移φ（0＜φ＜π2）个单位长度后，得到函数g （x ）的图象，若函数g （x ）为偶函数，则φ的值为 ．15．已知抛物线y 2＝4x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，则|AC |+|BD |的最小值为 ．16．已知正三棱锥P 一ABC 的侧面是直角三角形，P ﹣ABC 的顶点都在球O 的球面上，正三棱锥P 一ABC 的体积为36，则球O 的表面积为 ． 三、解答题（本大题共5小题，共70分）17．如图（a ），在直角梯形ABCD 中，∠ADC ＝90°，CD ∥AB ，AB ＝4，AD ＝CD ＝2，将△ADC 沿AC 折起，使平面ADC ⊥平面ABC ，得到几何体D ﹣ABC ，如图（b ）所示．（Ⅰ）求证：BC ⊥平面ACD ； （Ⅱ）求点A 到平面BCD 的距离h ．18．某商店为了更好地规划某种商品进货的量，该商店从某一年的销售数据中，随机抽取了8组数据作为研究对象，如下图所示（x （吨）为该商品进货量，y （天）为销售天数）： x 2 3 4 5 6 8 9 11 y12334568（Ⅰ）根据上表数据在下列网格中绘制散点图；（Ⅱ）根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y =bx +a ； （Ⅲ）在该商品进货量x （吨）不超过6（吨）的前提下任取两个值，求该商品进货量x （吨）恰有一个值不超过3（吨）的概率． 参考公式和数据：b =∑ n i=1(x i −x)(y i −y)∑ ni=1(x i −x)2，a =y −b x ．∑ 8i=1x i 2=356，∑ 8i=1x i y i ＝24119．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且4S n ＝a n 2+2a n ﹣3． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n =1a n a n+1（n ∈N *），T n 是{b n }的前n 项和，求使T n ＜215成立的最大正整数n ．20．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为2√23，左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点．（Ⅰ）若以线段AF 1为直径的动圆内切于圆x 2+y 2＝9，求椭圆的长轴长；（Ⅱ）当b ＝1时，问在x 轴上是否存在定点T ，使得TA →•TB →为定值？如果存在，求出定点和定值；如果不存在，请说明理由．21．已知函数f （x ）＝ax 2+（1﹣2a ）x ﹣lnx （a ∈R ）． （1）当a ＞0时，求函数f （x ）的单调增区间；（2）当a ＜0时，求函数f （x ）在区间[12，1]上的最小值；（3）记函数y ＝f （x ）图象为曲线C ，设点A （x 1，x 2），B （x 2，y 2）是曲线C 上不同的两点，点M 为线段AB 的中点，过点M 作x 轴的垂线交曲线C 于点N ．试问：曲线C 在点N 处的切线是否平行于直线AB ？并说明理由．请考生在第22、23题中任选一题作答，若两题都做，按第一题给分，作答时一定要用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑（都没涂黑的视为选做第22题）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为{x =−5+√2costy =3+√2sint （t 为参数），在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρcos （θ+π4）=−√2．（Ⅰ）求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，点P 是圆C 上任一点，求△PAB 面积的最大值． [选修4-5：不等式选讲]23．设函数f （x ）＝|x ﹣1|，x ∈R ．（1）求不等式f （x ）≤3﹣f （x ﹣1）的解集；（2）已知关于x 的不等式f （x ）≤f （x +1）﹣|x ﹣a |的解集为M ，若(1，32)⊆M ，求实数a 的取值范围．参考答案一、单项选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分） 1．设集合M ＝{﹣1，0，1}，N ＝{x |x 2≤x }，则M ∩N ＝（ ） A ．{0}B ．{0，1}C ．{﹣1，1}D ．{﹣1，0，1}【分析】求出集合N ，然后直接求解M ∩N 即可． 解：因为N ＝{x |x 2≤x }＝{x |0≤x ≤1}，M ＝{﹣1，0，1}， 所以M ∩N ＝{0，1}． 故选：B ．【点评】本题考查集合的基本运算，考查计算能力，送分题． 2．已知复数z =a−i3+2i（a ∈R ，i 是虚数单位）为纯虚数，则实数a 的值等于（ ） A ．23B ．32C ．−23D ．−32【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0求解． 解：∵z =a−i3+2i =(a−i)(3−2i)(3+2i)(3−2i)=3a−213−2a+313i 是纯虚数， ∴{3a −2=02a +3≠0，解得a =23．故选：A ．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．已知θ∈（0，π2），sin θ=√55，则cos2θtanθ=（ ）A ．−310B ．310C ．−65D ．65【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得要求式子的值．解：∵θ∈（0，π2），sin θ=√55，∴cos θ=√1−sin 2=2√55，tan θ=sinθcosθ=12，则cos2θtanθ=cos 2θ−sin 2θtanθ=2025−52512=65，故选：D ．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题． 4．下列叙述中正确的是（ ）A ．若a ，b ，c ∈R ，则“ax 2+bx +c ≥0”的充分条件是“b 2﹣4ac ≤0”B．若a，b，c∈R，则“ab2＞cb2”的充要条件是“a＞c”C．命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2≥0”D．l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β【分析】本题先用不等式的知识对选项A、B中命题的条件进行等价分析，得出它们的充要条件，再判断相应命题的真假；对选项以中的命题否定加以研究，判断其真假，在考虑全称量词的同时，要否定命题的结论；对选项D利用立体几何的位置关系，得出命题的真假，可知本题的正确答案．解：A、若a，b，c∈R，当“ax2+bx+c≥0”对于任意的x恒成立时，则有：①当a＝0时，要使ax2+bx+c≥0恒成立，需要b＝0，c≥0，此时b2﹣4ac＝0，符合b2﹣4ac≤0；②当a≠0时，要使ax2+bx+c≥0恒成立，必须a＞0且b2﹣4ac≤0．∴若a，b，c∈R，“ax2+bx+c≥0”是“b2﹣4ac≤0”充分不必要条件，“b2﹣4ac≤0”是“ax2+bx+c≥0”的必要条件，但不是充分条件，即必要不充分条件．故A错误；B、当ab2＞cb2时，b2≠0，且a＞c，∴“ab2＞cb2”是“a＞c”的充分条件．反之，当a＞c时，若b＝0，则ab2＝cb2，不等式ab2＞cb2不成立．∴“a＞c”是“ab2＞cb2”的必要不充分条件．故B错误；C、结论要否定，注意考虑到全称量词“任意”，命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定应该是“存在x∈R，有x2＜0”．故C错误；D、命题“l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β．”是两个平面平行的一个判定定理．故D正确．故选：D．【点评】本题考查了命题、充要条件的知识，考查到了不等式、立体几何知识，有一定容量，总体难度不大，属于基础题．5．已知a＝log30.5，b＝log0.50.6，c＝30.2，则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．c＜a＜b【分析】容易得出log30.5＜0，0＜log0.50.6＜1，30.2＞1，从而得出a，b，c的大小关系．解：∵log30.5＜log31＝0，0＝log0.51＜log0.50.6＜log0.50.5＝1，30.2＞30＝1，∴a＜b＜c．故选：A．【点评】考查对数函数、指数函数的单调性，以及增函数和减函数的定义．6．若向量a→、b→、c→两两所成的角相等，且|a→|＝1，|b→|＝1，|c→|＝3，则|a→+b→+c→|等于（）A．2B．5C．2或5D．√2或√5【分析】设向量所成的角为α，则先求出(|a→+b→+c→|)2的值即可求出，解：由向量a→、b→、c→两两所成的角相等，设向量所成的角为α，由题意可知α＝0°或α＝120°则(|a→+b→+c→|)2=|a→|2+|b→|2+|c→|2+2（a→⋅b→+a→⋅c→+b→⋅c→）＝11+2（|a→|•|b→|cosα+|a→|•|c→|cosα+|b→|•|c→|cosα）＝11+14cosα所以当α＝0°时，原式＝5；当α＝120°时，原式＝2．故选：C．【点评】考查学生会计算平面向量的数量积，灵活运用a→⋅b→=|a→|•|b→|cosα的公式．7．德国数学家莱布尼兹（1646年﹣1716年）于1674年得到了第一个关于π的级数展开式，该公式于明朝初年传入我国．在我国科技水平业已落后的情况下，我国数学家、天文学家明安图（1692年﹣1765年）为提高我国的数学研究水平，从乾隆初年（1736年）开始，历时近30年，证明了包括这个公式在内的三个公式，同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式，著有《割圆密率捷法》一书，为我国用级数计算π开创了先河．如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于π的级数展开式”计算π的近似值（其中P表示π的近似值），若输入n＝10，则输出的结果是（）A．P=4(1−13+15−17+⋯+117)B．P=4(1−13+15−17+⋯−119)C．P=4(1−13+15−17+⋯+121)D．P=4(1−13+15−17+⋯−121)【分析】模拟程序的运行可得算法的功能是求P＝4S＝4（(−1)02×1−1+(−1)12×2−1+(−1)22×3−1⋯+(−1)92×10−1）的值，根据条件确定跳出循环的i值，即可计算得解．解：由程序框图知：算法的功能是求P＝4S＝4（(−1)02×1−1+(−1)12×2−1+(−1)22×3−1⋯+(−1)92×10−1）的值，∵输入n＝10，∴跳出循环的i值为11，∴输出P＝4S＝4（(−1)02×1−1+(−1)12×2−1+(−1)22×3−1⋯+(−1)92×10−1）＝4（1−13+15−⋯−119）．故选：B．【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键，属于基础题．8．设函数f（x）在R上可导，其导函数f′（x），且函数f（x）在x＝﹣2处取得极小值，则函数y＝xf′（x）的图象可能是（）A．B．C ．D ．【分析】由题设条件知：当x ＞﹣2时，xf ′（x ）＜0；当x ＝﹣2时，xf ′（x ）＝0；当x ＜﹣2时，xf ′（x ）＞0．由此观察四个选项能够得到正确结果． 解：∵函数f （x ）在R 上可导，其导函数f ′（x ）， 且函数f （x ）在x ＝﹣2处取得极小值， ∴当x ＞﹣2时，f ′（x ）＞0； 当x ＝﹣2时，f ′（x ）＝0； 当x ＜﹣2时，f ′（x ）＜0． ∴当x ＞﹣2时，xf ′（x ）＜0； 当x ＝﹣2时，xf ′（x ）＝0； 当x ＜﹣2时，xf ′（x ）＞0． 故选：A ．【点评】本题考查利用导数研究函数的极值的应用，解题时要认真审题，注意导数性质和函数极值的性质的合理运用．9．在区间[0，2]中随机取两个数，则两个数中较大的数大于23的概率为（ ）A ．89B ．79C ．49D ．19【分析】先根据几何概型的概率公式求出在区间[0，2]中随机地取一个数，这个数小于23的概率，从而得到这两个数都小于23的概率，最后根据对立事件的概率公式可求出所求 解：在区间[0，2]中随机地取一个数，这个数小于23的概率为232=13， ∴在区间[0，2]中随机地取两个数，则这两个数都小于23的概率为13×13=19，∴这两个数中较大的数大于23的概率为P ＝1−19=89，故选：A ．【点评】本题主要考查了几何概型，简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型10．已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝AA 1＝2，BB 1和B 1C 1的中点分别为E 、F ，则AE 与CF 夹角的余弦值为（ ） A ．√35B ．25C ．45D ．√155【分析】根据题意，可以点B 为原点，直线BA ，BC ，BB 1分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，然后可求出AE →=(−2，0，1)，CF →=(0，−1，2)，然后可求出cos ＜AE →，CF →＞=25，从而可得出AE 与CF 夹角的余弦值．解：分别以直线BA ，BC ，BB 1为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则：A （2，0，0），E （0，0，1），C （0，2，0），F （0，1，2），∴AE →=(−2，0，1)，CF →=(0，−1，2)， ∴cos ＜AE →，CF →＞=AE →⋅CF →|AE →||CF →|=2√5×√5=25，∴AE 与CF 夹角的余弦值为25． 故选：B ．【点评】本题考查了直三棱柱的定义，通过建立空间直角坐标系，利用向量坐标解决异面直线所成角的问题的方法，向量夹角的余弦公式，异面直线所成角的定义，考查了计算能力，属于基础题．11．已知不等式3x 2﹣y 2＞0所表示的平面区域内一点P （x ，y ）到直线y =√3x 和直线y =−√3x的垂线段分别为PA 、PB ，若三角形PAB 的面积为3√316，则点P 轨迹的一个焦点坐标可以是（ ）A ．（2，0）B ．（3，0）C ．（0，2）D ．（0，3）【分析】如图所示，不等式3x 2﹣y 2＞0所表示的平面区域内一点P （x ，y ），可得点P的轨迹为直线y =±√3x 之间并且包括x 轴在内的区域．利用12|PA ||PB |sin60°=3√316，即可得出．解：如图所示，不等式3x 2﹣y 2＞0所表示的平面区域内一点P （x ，y ）， 可得点P 的轨迹为直线y =±√3x 之间并且包括x 轴在内的区域．|PA |=|√3x−y|2，|PB |=|√3x+y|2，∵三角形PAB 的面积为3√316，∴12|PA ||PB |sin60°=3√316，化为：x 2−y 23=1．则点P 轨迹的一个焦点坐标可以是（2，0）． 故选：A ．【点评】本题考查了线性规划的有关知识、双曲线的标准方程及其性质、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．12．函数f （x ）＝﹣x 2+3x ﹣a ，g （x ）＝2x ﹣x 2，若f [g （x ）]≥0对x ∈[0，1]恒成立，则实数a 的范围是（ ） A ．（﹣∞，2]B ．（﹣∞，e ]C ．（﹣∞，ln 2]D ．[0，12）【分析】利用导数可得g （x ）在x ∈[0，1]上的取值范围为[1，g （x 0）]，其中g （x 0）＜2，令t ＝g （x ）换元，把f [g （x ）]≥0对x ∈[0，1]恒成立转化为﹣t 2+3t ﹣a ≥0对t ∈[1，g （x 0）]恒成立，分离参数a 后利用函数单调性求出函数﹣t 2+3t 的最小值得答案． 解：g （x ）＝2x ﹣x 2，g ′（x ）＝2x ln 2﹣2x ，∵g′（0）＝ln2＞0，g′（1）＝2ln2﹣2＜0，∴g′（x）在（0，1）上有零点，又[g′（x）]′＝ln22•2x﹣2＜0在[0，1]上成立，∴g′（x）在（0，1）上有唯一零点，设为x0，则当x∈（0，x0）时，g′（x）＞0，当x∈（x0，1）时，g′（x）＜0，∴g（x）在x∈[0，1]上有最大值g（x0）＜2，又g（0）＝g（1）＝1，∴g（x）∈[1，g（x0）]，令t＝g（x）∈[1，g（x0）]，要使f[g（x）]≥0对x∈[0，1]恒成立，则f（t）≥0对t∈[1，g（x0）]恒成立，即﹣t2+3t﹣a≥0对t∈[1，g（x0）]恒成立，分离a，得a≤﹣t2+3t，函数﹣t2+3t的对称轴为t=32，又g（x0）＜2，∴（﹣t2+3t）min＝2，则a≤2．则实数a的范围是（﹣∞，2]．故选：A．【点评】本题考查函数恒成立问题，训练了利用导数研究函数的单调性，考查了利用分离变量法求解证明取值范围问题，属中档题．二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．某时段内共有100辆汽车经过某一雷达测速区域，将测得的汽车时速绘制成如图所示的频率分布直方图．根据图形推断，该时段时速超过50km/h的汽车辆数为77．【分析】根据频率分布直方图，求出时速超过50km /h 的汽车的频率，即可求出对应的汽车辆数．解：根据频率分布直方图，得； 时速超过50km /h 的汽车的频率为 （0.039+0.028+0.010）×10＝0.77； ∴时速超过50km /h 的汽车辆数为 100×0.77＝77． 故答案为：77．【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，解题时应根据频率分布直方图，会计算样本数据，频率与频数的大小，是基础题．14．函数y =√3sin2x ﹣cos2x 的图象向右平移φ（0＜φ＜π2）个单位长度后，得到函数g （x ）的图象，若函数g （x ）为偶函数，则φ的值为π6．【分析】先将y =√3sin2x −cos2x 化为y =2sin(2x −π6)，然后再利用图象平移知识，求出g （x ），根据g （x ）是偶函数，则g （0）取得最值，求出φ．解：由已知得y =√3sin2x ﹣cos2x =2(sin2x ⋅√32−cos2x ⋅12)=2sin(2x −π6)．所以g （x ）=2sin[2(x −φ)−π6]，由g （x ）是偶函数得g （0）=2sin(−2φ−π6)=±2， ∴−2φ−π6=π2+kπ，k ∈Z ，∴φ=−π3−kπ2，k ∈Z ，当k ＝﹣1时，φ=π6即为所求． 故答案为：π6．【点评】本题考查三角函数图象变换的方法以及性质，将奇偶性、对称性与函数的最值联系起来，是此类问题的常规思路，属于中档题．15．已知抛物线y 2＝4x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，则|AC |+|BD |的最小值为 2 ．【分析】先有抛物线的定义，可得|AC |+|BD |＝|AF |+|BF |﹣2＝|AB |﹣2，再找|AB |的最小值，而当|AB |为抛物线的通径时，|AB |最小，故而得解． 解：由题意知，F （1，0），由抛物线的定义知，|AC |+|BD |＝|AF |+|BF |﹣2＝|AB |﹣2，若|AC |+|BD |取得最小值，则|AB |取得最小值， 而当|AB |为通径，即|AB |＝2p ＝4时，取得最小值， 所以|AC |+|BD |的最小值为2． 故答案为：2．【点评】本题考查抛物线的定义、通径等，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．16．已知正三棱锥P 一ABC 的侧面是直角三角形，P ﹣ABC 的顶点都在球O 的球面上，正三棱锥P 一ABC 的体积为36，则球O 的表面积为 108π ．【分析】由已知可知该三棱锥三条侧棱两两互相垂直，且PA ＝PB ＝PC ，设PA ＝PB ＝PC ＝a ，由棱锥体积公式求得a ，然后利用补形法求三棱锥外接球的半径，代入球的表面积公式得答案．解：由三棱锥P ﹣ABC 是正三棱锥，且侧面是直角三角形， 如图，可知该三棱锥三条侧棱两两互相垂直，即PA ⊥PB ，PB ⊥PB ，PA ⊥PC ， 且PA ＝PB ＝PC ，设PA ＝PB ＝PC ＝a ， 则13×12a 3=36，即a ＝6，把三棱锥补形为正方体，则其对角线长为√62+62+62=6√3， ∴三棱锥P ﹣ABC 的外接球的半径R =3√3． ∴球O 的表面积为4π×(3√3)2=108π． 故答案为：108π．【点评】本题考查多面体外接球的体积的求法，关键是“补形思想”的应用，是中档题． 三、解答题（本大题共5小题，共70分）17．如图（a ），在直角梯形ABCD 中，∠ADC ＝90°，CD ∥AB ，AB ＝4，AD ＝CD ＝2，将△ADC 沿AC 折起，使平面ADC ⊥平面ABC ，得到几何体D ﹣ABC ，如图（b ）所示．（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACD；（Ⅱ）求点A到平面BCD的距离h．【分析】（Ⅰ）推导出AC⊥BC，由平面ADC⊥平面ABC，能证明BC⊥平面ACD．（Ⅱ）设点A到平面BCD的距离h．由V B﹣ACD＝V A﹣BCD，能求出点A到平面BCD的距离．解：（Ⅰ）证明：∵在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD ＝2，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D﹣ABC，∴AC=BC=2√2，∴AC2+BC2＝AB2，∴AC⊥BC，∵平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC＝AC，BC⊂平面ABC，∴BC⊥平面ACD．（Ⅱ）解：由（1）知，BC为三棱锥B﹣ACD的高，BC＝2√2，S△ACD＝2，∴V B−ACD=13S△ACD⋅BC=13×2×2√2=4√23，∵S△BCD=2√2，设点A到平面BCD的距离h．由V B﹣ACD＝V A﹣BCD，得：点A到平面BCD的距离h=4√2313×22=2．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，属于中档题．18．某商店为了更好地规划某种商品进货的量，该商店从某一年的销售数据中，随机抽取了8组数据作为研究对象，如下图所示（x（吨）为该商品进货量，y（天）为销售天数）：x234568911y12334568（Ⅰ）根据上表数据在下列网格中绘制散点图；（Ⅱ）根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程y=b x+a；（Ⅲ）在该商品进货量x（吨）不超过6（吨）的前提下任取两个值，求该商品进货量x （吨）恰有一个值不超过3（吨）的概率．参考公式和数据：b=∑n i=1(x i−x)(y i−y)∑n i=1(x i−x)2，a=y−b x．∑8i=1x i2=356，∑8i=1x i y i＝241【分析】（Ⅰ）根据上表数据绘制散点图；（Ⅱ）由题意求出x，y，∑8i=1x i2，∑8i=1x i y i，代入公式求值，从而得到回归直线方程；（2）在该商品进货量不超过6吨共有5个，设为编码1，2，3，4，5号，抽取2个，写出所有事件，即可求解恰有一个值不超过3（吨）的概率．【解答】解析：（Ⅰ）散点图如图所示：（Ⅱ）依题意，x=18(2+3+4+5+6+8+9+11)=6y=18(1+2+3+4+5+6+6+8)=4∑8i=1x i2=356，∑8i=1x i y i＝241：b=∑ni=1(x i−x)(y i−y)∑n i=1(x i−x)2=241−8×6×7356−8×6×6=4968∴a=y−b x=4−4968×6=−1134故得回归直线方程为y=4968x−1134．（Ⅲ）由题意知，在该商品进货量不超过6吨共有5个，设为编码1，2，3，4，5号，任取两个有（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（2，3）（2，4）（2，5）（3，4）（3，5）（4，5）共10种，该商品进货量不超过3吨的有编号1，2号，超过3吨的是编号3，4，5号，该商品进货量恰有一次不超过3吨有（1，3）（1，4）（1，5）（2，3）（2，4）（2，5）共6种，故该商品进货量恰有一次不超过3吨的概率为P=610=35．【点评】本题考查了散点图与线性回归方程的应用问题，是中档题19．已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且4S n＝a n2+2a n﹣3．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=1a n a n+1（n∈N*），T n是{b n}的前n项和，求使T n＜215成立的最大正整数n．【分析】（Ⅰ）运用数列的递推式：n＝1时，a1＝S1，n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1，化简整理，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求通项公式；（Ⅱ）求得b n=1(2n+1)(2n+3)=12（12n+1−12n+3），由数列的裂项相消求和，计算可得T n，再解不等式可得n的最大值．解：（Ⅰ）由4S n＝a n2+2a n﹣3，可得4S n﹣1＝a n﹣12+2a n﹣1﹣3，n≥2，两式相减可得4a n＝4S n﹣4S n﹣1＝a n2+2a n﹣a n﹣12﹣2a n﹣1，可化为（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）＝0，由a n＞0，可得a n﹣a n﹣1＝2，由4a1＝4S1＝a12+2a1﹣3，解得a1＝3（﹣1舍去），于是{a n}是首项为3，公差为2的等差数列，则a n＝2n+1，n∈N*；（Ⅱ）b n =1a n a n+1=1(2n+1)(2n+3)=12（12n+1−12n+3）， 则T n =12（13−15+15−17+⋯+12n+1−12n+3）=12（13−12n+3）=n3(2n+3)，由n 3(2n+3)＜215，解得n ＜6，则所求的最大正整数n 为5．【点评】本题考查数列的递推式的运用，等差数列的定义和通项公式的求法，考查数列的裂项相消求和，以及化简运算能力，属于中档题． 20．已知椭圆C ：x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的离心率为2√23，左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点．（Ⅰ）若以线段AF 1为直径的动圆内切于圆x 2+y 2＝9，求椭圆的长轴长；（Ⅱ）当b ＝1时，问在x 轴上是否存在定点T ，使得TA →•TB →为定值？如果存在，求出定点和定值；如果不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）设AF 1的中点为M ，连接OM 可得OM 为三角形AF 1F 2的中位线，可得|OM |=12|AF 2|=12（2a ﹣|AF 1|）＝a −12|AF 1|，再由圆M 与圆O 内切，所以圆心距|OM |为两个半径之差可得|OM |的表达式，两个式子可得a 的值，进而求出长轴长；（Ⅱ）由离心率和b 的值及a ，b ，c 之间的关系，求出a 的值，进而求出椭圆的方程；假设存在定点T （t ，0），分直线AB 的斜率为0和不为0两种情况讨论：当直线AB 的斜率不为0时设直线AB 的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出TA →•TB →的表达式，由其为定值可得分子分母对应项的系数成比例，可得t 的值，进而求出TA →•TB →的值，当直线AB 的斜率为0时，求出A ，B 的坐标，也可得TA →•TB →为定值． 解：（Ⅰ）设AF 1的中点M ，连接OM ，AF 2，在三角形AF 1F 2中，O 为F 1F 2的中点，所以OM 为中位线， 所以|OM |=12|AF 2|=12（2a ﹣|AF 1|）＝a −12|AF 1|，又因为圆M 与圆O 内切，所以圆心距|OM |为两个半径之差，即|OM |＝3−12|AF 1|， 所以a −12|AF 1|＝3−12|AF 1|，可得a ＝3， 所以椭圆的长轴长为2a ＝6；（Ⅱ）由e =c a =2√23，b ＝1，a 2＝b 2+c 2可得a 2＝9，所以椭圆的方程为：x 29+y 2＝1；可得左焦点F 1（﹣2√2，0），当直线AB 的斜率不为0时，设直线AB 的方程为：x ＝my ﹣2√2，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）联立直线AB 与椭圆的方程{x =my −2√2x 2+9y 2−9=0，整理可得（9+m 2）y 2﹣4√2m ﹣1＝0，可得y 1+y 2=4√2m 9+m2，y 1y 2=−19+m2， 假设存在T （t ，0）满足条件，则TA →⋅TB →=（x 1﹣t ，y 1）（x 2﹣t ，y 2）＝（x 1﹣t ）（x 2﹣t ）+y 1y 2＝（my 1﹣2√2−t ）（my 2﹣2√2−t ）+y 1y 2＝（1+m 2）y 1y 2﹣m （2√2+t ）（y 1+y 2）+（2√2+t ）2=−(1+m 2)9+m 2−4√2m 2(2√2+t)9+m 2+(2√2+t)2m 2+9(2√2+t)29+m 2=m 2[(2√2+t)2−1−4√2(2√2+t)]+9(2√2+t)2−19+m 2，要使TA →⋅TB →为定值，则9(2√2+t)2−19=（2√2+t ）2﹣1﹣4√2（2√2+t ），解得t =−19√29，即T （−19√29，0），这时9(2√2−19√29)2−19=−781； 当直线的斜率为0时，即直线AB 为x 轴，与椭圆的交点A ，B 分别为：（﹣3，0），（3，0），这时TA →⋅TB →=（﹣3+19√29，0）•（3+19√29，0）＝（19√29）2﹣9=−781，综上所述：在x 轴上存在定点T （−19√29，0）使得TA →⋅TB →为定值−781．【点评】本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，考查数量积为定值的性质，即分子分母对应项的系数成比例，属于中档题．21．已知函数f （x ）＝ax 2+（1﹣2a ）x ﹣lnx （a ∈一、选择题）． （1）当a ＞0时，求函数f （x ）的单调增区间；（2）当a ＜0时，求函数f （x ）在区间[12，1]上的最小值；（3）记函数y ＝f （x ）图象为曲线C ，设点A （x 1，x 2），B （x 2，y 2）是曲线C 上不同的两点，点M 为线段AB 的中点，过点M 作x 轴的垂线交曲线C 于点N ．试问：曲线C 在点N 处的切线是否平行于直线AB ？并说明理由．【分析】（1）求出函数f （x ）的导函数，由a ＞0，定义域为（0，+∞），再由f ′（x ）＞0求得函数f （x ）的单调增区间； （2）当a ＜0时，求出导函数的零点−12a ，1，分−12a ＞1，12≤−12a≤1，−12a ＜12讨论函数f （x ）在区间[12，1]上的单调性，求出函数的最小值，最后表示为关于a 的分段函数；（3）设出线段AB 的中点M 的坐标，得到N 的坐标，由两点式求出AB 的斜率，再由导数得到曲线C 过N 点的切线的斜率，由斜率相等得到ln x 2x 1=2(x 2−x 1)x 1+x 2=2(x2x 1−1)1+x 2x 1，令x 2x 1=t 后构造函数g(t)=lnt −2(t−1)1+t(t ＞1)由导数证明ln x 2x 1=2(x 2−x 1)x 1+x 2=2(x2x 1−1)1+x 2x 1不成立． 解：（1）∵f （x ）＝ax 2+（1﹣2a ）x ﹣lnx ，∴f′(x)=2ax +(1−2a)−1x =2ax 2+(1−2a)x−1x =(2ax+1)(x−1)x，∵a ＞0，x ＞0，∴2ax +1＞0，解f ′（x ）＞0，得x ＞1， ∴f （x ）的单调增区间为（1，+∞）；（2）当a ＜0时，由f ′（x ）＝0，得x 1=−12a ，x 2＝1，①当−12a ＞1，即−12＜a ＜0时，f （x ）在（0，1）上是减函数， ∴f （x ）在[12，1]上的最小值为f （1）＝1﹣a ． ②当12≤−12a≤1，即﹣1≤a ≤−12时，f （x ）在[12，−12a ]上是减函数，在[−12a ，1]上是增函数， ∴f （x ）的最小值为f(−12a )=1−14a+ln(−2a)．③当−12a ＜12，即a ＜﹣1时，f （x ）在[12，1]上是增函数， ∴f （x ）的最小值为f(12)=12−34a +ln2． 综上，函数f （x ）在区间[12，1]上的最小值为：f(x)min={12−34a +ln2a ＜−11−14a +ln(−2a)−1≤a ≤−121−a −12＜a ＜0（3）设M （x 0，y 0），则点N 的横坐标为x 0=x 1+x 22， 直线AB 的斜率k 1=y 1−y2x 1−x 2=1x 1−x 2[a(x 12−x 22)+(1−2a)(x 1−x 2)+lnx 2−lnx 1]=a(x 1+x 2)+(1−2a)+lnx 2−lnx 1x 1−x 2， 曲线C 在点N 处的切线斜率k 2=f′(x 0)=2ax 0+(1−2a)−1x 0=a(x 1+x 2)+(1−2a)−2x 1+x 2，假设曲线C 在点N 处的切线平行于直线AB ，则k 1＝k 2， 即lnx 2−lnx 1x 1−x 2=−2x 1+x 2，∴ln x2x 1=2(x 2−x 1)x 1+x 2=2(x2x 1−1)1+x 2x 1，不妨设x 1＜x 2，x 2x 1=t ＞1，则lnt =2(t−1)1+t，令g(t)=lnt −2(t−1)1+t (t ＞1)，则g′(t)=1t −4(1+t)2=(t−1)2t(1+t)2＞0， ∴g （t ）在（1，+∞）上是增函数，又g （1）＝0，∴g （t ）＞0，即lnt =2(t−1)1+t不成立，∴曲线C 在点N 处的切线不平行于直线AB ．【点评】本题考查利用导数求函数的单调区间，考查了利用导数求函数的最值，体现了分类讨论的数学思想方法，训练了利用构造函数法证明等式恒成立问题，特别是对于（3）的证明，要求学生较强的应变能力，是压轴题．请考生在第22、23题中任选一题作答，若两题都做，按第一题给分，作答时一定要用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑（都没涂黑的视为选做第22题）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为{x =−5+√2costy =3+√2sint （t 为参数），在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρcos （θ+π4）=−√2．（Ⅰ）求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，点P 是圆C 上任一点，求△PAB 面积的最大值．【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换和三角形的面积公式的应用求出结果．解：（1）圆C 的参数方程为{x =−5+√2costy =3+√2sint（t 为参数），消去参数t ，转换为直角坐标方程为（x +5）2+（y ﹣3）2＝2．直线l 的极坐标方程为ρcos （θ+π4）=−√2．整理得√22ρcosθ−√22ρsinθ=−√2，根据：{x =ρcosθy =ρsinθρ2=x 2+y 2，转换为直角坐标方程为x ﹣y +2＝0．（2）直线l 与x 轴和y 轴的交点坐标为A （﹣2，0），B （0，2）． 所以|AB |=√22+(−2)2=2√2点P （−5+√2cosα，3+√2sinα）到直线l 的距离d =|−5+√2cosα−3−√2sinα+2|√2=|−6+2cos(α+π4)|2，当cos （α+π4）＝﹣1时，d max =4√2=2√2， 所以S △PAB =12×d max ×|AB|=12×2√2×2√2=4． 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． [选修4-5：不等式选讲]23．设函数f （x ）＝|x ﹣1|，x ∈R ．（1）求不等式f （x ）≤3﹣f （x ﹣1）的解集；（2）已知关于x 的不等式f （x ）≤f （x +1）﹣|x ﹣a |的解集为M ，若(1，32)⊆M ，求实数a 的取值范围．【分析】（1）通过讨论x 的范围，得到关于x 的不等式组，解出即可；（2）由f （x ）≤f （x +1）﹣|x ﹣a |⇔|x ﹣a |≤|x |﹣|x ﹣1|，得到x ﹣1≤a ≤x +1对于x ∈(1，32)恒成立，求出a 的范围即可． 解：（1）因为f （x ）≤3﹣f （x ﹣1）， 所以|x ﹣1|≤3﹣|x ﹣2|，⇔|x ﹣1|+|x ﹣2|≤3， ⇔{x ＜13−2x ≤3或{1≤x ≤21≤3或{x ＞22x −3≤3 解得0≤x ＜1或1≤x ≤2或2＜x ≤3， 所以0≤x ≤3，故不等式f （x ）≤3﹣f （x ﹣1）的解集为[0，3]． （2）因为(1，32)⊆M ，所以当x ∈(1，32)时，f （x ）≤f （x +1）﹣|x ﹣a |恒成立，而f （x ）≤f （x +1）﹣|x ﹣a |⇔|x ﹣1|﹣|x |+|x ﹣a |≤0⇔|x ﹣a |≤|x |﹣|x ﹣1|， 因为x ∈(1，32)，所以|x ﹣a |≤1，即x ﹣1≤a ≤x +1， 由题意，知x ﹣1≤a ≤x +1对于x ∈(1，32)恒成立，所以12≤a ≤2，故实数a 的取值范围[12，2]．【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查函数恒成立以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．。
四川省绵阳市南山中学2023届高三高考冲刺卷(二)文科数学试题
21．已知点 A 是圆 C : x 12 y2 16 上的任意一点，点 F 1, 0 ，线段 AF 的垂直平分
线交 AC 于点 P． (1)求动点 P 的轨迹 E 的方程；
(2)若过点 G 3, 0 且斜率不为 O 的直线 l 交（1）中轨迹 E 于 M、N 两点，O 为坐标原点，
点 B 2, 0 ．问：x 轴上是否存在定点 T，使得 MTO NTB 恒成立．若存在，请求出
A．
2
1 3
B．
1
23
C．
2
2 3
D．
2
2 3
11．如图 1，某建筑物的屋顶像抛物线，建筑师通过抛物线的设计元素赋予了这座建筑
轻盈､极简和雕塑般的气质.若将该建筑外形弧线的一段按照一定的比例处理后可看成
图 2 所示的抛物线 C : x2 2 py( p 0) 的一部分， P 为抛物线 C 上一点， F 为抛物线 C 的焦点，若 OFP 120o，且 OP 21 ，则 p （ ）
M
2
有且仅有两个公共点，
求 a 的取值范围．
23．已知函数 f x x 1 x 1 .
(1)若 f x 的最小值为 t ，求 t 的值；
(2)在（1）的条件下， a ， b ， c 为正实数，且 1 1 1 1，求证： a 2b c 1 .
ta 2tb 3tc
9 9 32
试卷第 6 页，共 6 页
而变成公共资源的一系列活动的总称．已知某种垃圾的分解率 ν 与时间 t（月）满足函
数关系式 v a bt （其中 a，b 为非零常数）．若经过 6 个月，这种垃圾的分解率为 5%，
经过 12 个月，这种垃圾的分解率为 10%，那么这种垃圾完全分解（分解率为 100%）至
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高三后期课外专项训练 三角函数 解三角形1 时间：40分钟
1
．若cos 2sin()4
αα=-，则cos sin αα+的值为( ) （A
） （B ）12- （C ）12
（D
2．设函数()sin()cos()f x x x ωϕωϕ=+++(0,)2ωϕπ><的最小正周期为π，()()f x f x -=，则( )
（A ）()y f x =在区间(0,)2π上单调递减（B ）()y f x =在区间3(,)44
ππ上单调递减 （C ）()y f x =在区间(0,)2π上单调递增（D ）()y f x =在区间3(,)44
ππ上单调递增 3.
设2()sin cos cos f x x x m x n ++(0m >)在区间[0,]4
π上的值域为[1,2]，则()f x 的单调递增区间为( ) （以下k ∈Z ） A.]43,4[πππ
π+-k k B.]3,6[ππ- C. [,]36k k ππππ-+ D.]3
,6[ππππ+-k k 4．如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分
别为67°，30°，此时气球的高是46m ，则河流的宽度BC 约等于
_______m ．
（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：
sin 670.92︒≈，cos 670.39︒≈，
sin 370.60︒≈，cos370.80︒≈
1.73≈）
5．设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ．若2b c a +=，3sin 5sin ,A B =则角C =_________．
6.设4()
sin(2)cos(2),63
g x x x x R ππ=+--∈（1）求函数()g x 的最小正周期及单减区间; （2）若将函数()g x 先左平移76
π个单位，再将其纵坐标伸长到原来的2倍得到函数()f x ，当],83[λπ-∈x 时，()f x 的值域恰好为]4,22[-，求λ的取值范围;
6．如图所示，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种
路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车
到B ，然后从B 沿直线步行到C ．现有甲、乙两位游客从A 处下山，
甲沿AC 匀速步行，速度为50米/分钟．在甲出发2分钟后，乙从A
乘缆车到B ，在B 处停留1分钟后，再从B 匀速步行到C ．假设缆车匀速直线运动的速度为130米/分钟，山路AC 长为1260米，经测量，12cos 13A =
，3cos 5
C =． (Ⅰ) 求索道AB 的长；
(Ⅱ) 乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
(Ⅲ) 为使两位游客在C 处相互等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？
高三后期课外专项训练 三解函数 解三角形2 时间：40分钟
一．选择题：
1．若△ABC 的对边分别为a 、b 、C 且1a =，45B ∠=，2ABC S =△，则b =（ ）
A.5
B.25
D.2．在ABC ∆中，若222sin sin sin A B C ->，则ABC ∆的形状是 （ ）
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．等腰直角三角形
3．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若ABC ∆的面积为S ,且222()S a b c =+-, 则tan C 等于（ ） A.34 B.43 C. 43- D .34
- 4．在ABC ∆中,80,100,45a b A ︒===,则此三角形解的情况是 （ ）
A.一解
B.两解
C.一解或两解
D.无解
5．如图所示,为测一建筑物的高度,在地面上选取A,B 两点,从A,B 两点分别测得建筑物顶端的仰角为30°,45°,且A,B 两点间的距离为60m,则该建筑物的高度为 ( )
A.(30+30)m
B.(30+15)m
C.(15+30)m
D.(15+15)m
6．在ABC ∆中,04,30,AB BC ABC AD ==∠=是边BC 上的高，则AD AC ⋅的值等于（ ）
A ．0
B ．4
C ．8
D ．4- 二．填空题： 7．在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tan A ，当A ＝π6
时，△ABC 的面积为 ． 8．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为a b c ,,，若2,3b c ==，ABC ∆的面积为2，则sin A = .
9．在ABC ∆中，若222,8AB AC BC =+=，则ABC ∆的面积的最大值为 .
三．解答题：
10. △ABC 中内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos C ＋c sin B .
(1)求B ；
(2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值．
备选题：1.在三角形ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若m =(b, 3cosB)，n =(sinA, －a)，且⊥.
（1）求角B 的大小；
（2）若b=3，sinC=2sinA ，求△ABC 的面积.
2. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，角B 为锐角，且322sin =
B （1）求B
C A 2cos 2
sin 2++的值； （2）若2b =，求ac 的最大值。