上海市冠龙高级中学高三数学模拟试卷(一)
2022年上海市冠龙高级中学高三数学理月考试卷含解析
2022年上海市冠龙高级中学高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数y=lg|的大致图象为参考答案：D函数的定义域为，排除A,C.取特殊值，则，排除B,选D.2. 已知是同一球面上的四个点，其中是正三角形，平面，，则该球的体积为（）A． B． C. D．参考答案：A3. 已知是定义在上的奇函数,当时, ,若,则实数的取值范围是( )A. B. C. D.参考答案：B略4. 设a，b≠0，则“a＞b”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：D 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】?＜0?ab（b﹣a）＜0与a＞b相互推不出．【解答】解：?＜0?ab（b﹣a）＜0与a＞b相互推不出．∴“a＞b”是“”的既不充分也不必要条件．故选：D．5. 过抛物线C：的焦点F的直线l与抛物线C交于P，Q两点，与抛物线准线交于M，且，则（）A．B．C．D．参考答案：C设准线与x轴交于点E,作PA,QB分别垂直准线于A,B，设FP=t,则PM=2t,PA=t,EF=2,由相似比得，解得，选C.6. （理科）地球北伟45°纬度圈上有A、B两点，点A在东经30°处，点B在东经120°处，如图，若地球半径为R，则A、B两点在纬度圈上的劣弧长与A、B两点的球面距离之比是（）A．4：3 B．C． D．参考答案：D略7. 设随机变量X～N(2，32)，若P(X≤c)＝P(X>c)，则c等于A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：C8. 已知三个数a=0.32，b=log20.3，c=20.3，则a，b，c之间的大小关系是（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．b＜c＜a参考答案：A9. 当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（）A． B． C． D．参考答案：C略10. 已知向量=（1，2），2+=（3，2），则=（）A．（1，2）B．（1，﹣2）C．（5，6）D．（2，0）参考答案：B【考点】平面向量的坐标运算．【专题】计算题；对应思想；向量法；平面向量及应用．【分析】根据向量的坐标的运算法则计算即可．【解答】解： =（1，2），2+=（3，2），则=（2+）﹣2=（3，2）﹣2（1，2）=（3，2）﹣（2，4）=（3﹣2，2﹣4）=（1，﹣2），故选：B．【点评】本题考查了向量的坐标运算，关键是掌握运算法则，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在一个长方体的三条棱长分别为3、8、9，若在该长方体上面钻一个圆柱形的孔后其表面积没有变化，则圆孔的半径为．参考答案：3【分析】设半径为r，由题意得减少的2个圆的面积=圆柱的侧面积，由此列出方程能求出圆孔的半径．【解答】解：设半径为r，∵在一个长方体的三条棱长分别为3、8、9，在该长方体上面钻一个圆柱形的孔后其表面积没有变化，∴减少的2个圆的面积=圆柱的侧面积，∴2πr2=2πr×3，解得r=3．∴圆孔的半径为3．故答案为：3．12. 某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入.若该公司2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是—______年（参考数据：，，）参考答案：202013. 对任意实数，若不等式恒成立，则的取值范围是_________．参考答案：略14. 现有一半球形原料，若通过切削将该原料加工成一正方体工件，则所得工件体积与原料体积之比的最大值为．参考答案：【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】设球半径为R，正方体边长为a，求出当正方体体积最大时对应的球半径，由此能求出结果．【解答】解：设球半径为R，正方体边长为a，由题意得当正方体体积最大时：，∴，∴所得工件体积与原料体积之比的最大值为：．故答案为：．【点评】本题考查工件体积与原料体积之比的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．15. （1+）6的展开式中第4项的系数为．参考答案：略16. 若不等式与不等式的解集相同，则参考答案：17. 设有序集合对满足：，记分别表示集合的元素个数，则符合条件的集合的对数是________.参考答案：44对由条件可得。
上海冠龙高级中学2006-2007学年上学期12月高三数学第二次月考试卷
上海冠龙高级中学2006-2007学年上学期高三数学第二次月考试卷 2006.12.11一、填空题：（4分×12＝48分）1、函数y=sinx·cos(x+4π)+cosx·sin(x+4π)的周期是 。
2、设集合A ＝｛5，log 2（x ＋3）｝，B ＝｛x ，y ｝，若A∩B ＝｛2｝，则A ∪B ＝ 。
3、设等比数列｛n a ｝的公比为q ＝12，且)(lim 1231-∞→+++n n a a a ，则1a ＝ 。
4、等差数列｛n a ｝中，,n m a m a n ==，则m n a += 。
5、已知P （－1，－5），向量a ＝｛2，3｝，若PQ ＝3a ，则Q 的坐标 。
6、a ∈R ，若关于x 的方程2210ax x -+=至多有一个实根，则a 取值为 。
7、若123n a n =++++,111(1)(1)(1)23n b n=---（n ∈N ）, 则2lim n n n b a ⋅∞→= 。
8、已知x ∈(－2π,0)，cosx=54，则2tg x = 。
9、函数2()48f x x x =-+，x ∈[1,a]，若它的最大值为()f a ，则实数a 的取值范围 。
10、若直线2320x y a ++=与2(1)820ax a y a --++=平行，则实数a = 。
11、已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且(2)()f x f x +=，当x ∈[0,1]时，()21x f x =-，则12(log 24)f = 。
12、数列｛n a ｝是首项为1a ，前n 项和为n s 的等差数列。
将n a a S n n ⋅+=21整理为11122n n s a a n =+后，可知点111(,)1s P a ， 222(,)2sP a ))(,(N n nS a P n n n ∈都在直线 11122y x a =+上。
类似的若｛n a ｝是首项为1a ，公比为q 的等比数列(q≠1)，则点在直线P 1(a 1,s 1), P 2(a 2,s 2),…, P n (a n ,s n )… (n ∈N)在直线 上。
上海市冠龙高级中学高三数学模拟试卷一
上海市冠龙高级中学高三数学模拟试卷(一)一、填空题(满分48分,每小题4分)1、已知集合A={(x ，y)|y=sinx ，x ∈(0，2π)}，B={(x ，y)|y=a ，a ∈R}，则集合A∩B 的子集个数量多有 个.2、若函数f （x ）=2log 21x 的值域是[-1，1]，则函数f -1（x ）的值域为 .3、(文)若 x≤2，y≤2 则目标函数z=x+2y 的取值范围是 .x+y≥2(理)将曲线 x=2cosθ（θ为参数，θ∈R ）上所有点的横坐标扩大到原来 y=2sinθ 的2倍，纵坐标缩小到原来的21倍后，得到的曲线的焦点坐标为 . 4、在等差数列{a n }中，中若a 1<0,S n 为前n 项之和，且S 7=S 17，则S n 为最小时的n 的值为 .5、函数f(x)= sin2x-4sin 3xcosx 的图象上相邻二条对称轴之间的见距离是 .6、设1e 和2e是互相垂直的单位向量，且212143,23e e b e e a ，则b a= . 7、若复数z 满足211 z z ，则1 i z 的最小值是 .8、在正三棱锥S －ABC 中，D 为AB 中点，且SD 与BC 所成角为 45，则SD与底面所成角的正弦值为 .9、一动圆与两圆(x+4)2+y 2=25和(x-4)2+y 2=4都外切，则动圆圆心M 的轨迹方程是 .10、f(x)是偶函数，且f(x)在(0，+∞)上是增函数，若x ∈[21,1]时，不等式f(ax+1)≤f(x -2)恒成立，则实数a 的取值范围是 .11、在三位数中,如果十位数字比个位和百位数字都小,则称这个三位数为凹数,如402,745等,那么各数位无重复数字的三位凹数共有 个.12、对于正整数n 和m(m<n)定义n n !=(n-m)(n-2m)(n-3m)┈(n-km)其中k 是丫满足n>km 的最大整数,则!20!1864=________. 二、选择题(满分16分,每小题4分)13、在△ABC 中，a B sin <bAsin 是A ＞B 成立的 （ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件14、甲命题：平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则平面α//平面γ；乙命题：平面α上不共线的三点到平面β的距离相等，则α//β.则 （ ） A ．甲真乙真 B ．甲真乙假 C ．甲假乙真 D ．甲假乙假15、已知ab ≠0，b a xx 12 （x ＞0，且x ≠1），则6)2(b a x x 展开式中的常数项为 （ ） A ．12 B ．60 C ．30 D ．16016、已知a ，b ，c ∈R ，若1 a c a b ，且2 aca b ，则下列结论成立的是A ．a ，b ，c 同号B ．b ，c 同号，a 与它们异号C ．b ，c 同号，a 不能确定D ．a ，b ，c 的符号都不能确定 三、解答题17、(12分)已知sin 2θ(1+ctg θ)+cos 2θ(1+tg θ)=2, θ∈(0,2π)，求tgθ的值18、(12分)如图，三棱柱111C B A ABC 的底面是边长为a 的正三角形，侧面11A ABB 是菱形且垂直于底面，∠AB A 1＝60°，M 是11B A 的中点．（1）求证：BM ⊥AC ；（2）求二面角111A C B B 的正切值； （3）求三棱锥CB A M 1 的体积．19、(14分)已知点F(1，0)，直线l ：x=2，设动点P 到直线l 的距离为d ，已知|PF|=22d 且2332 d . (1)求动点P 的轨迹方程；(2)若 =31，求向量OP 与OF 的夹角20、(14分)某工厂去年的某产品的年产量为100万只，每只产品的销售价为10元，固定成本为8元．今年，工厂第一次投入100万元（科技成本），并计划以后每年比上一年多投入100万元（科技成本），预计产量年递增10万只，第n 次投入后，每只产品的固定成本为1)(n kn g （k ＞0，k 为常数，Z n 且n ≥0），若产品销售价保持不变，第n 次投入后的年利润为)(n f 万元． （1）求k 的值，并求出)(n f 的表达式；（2）问从今年算起第几年利润最高?最高利润为多少万元?21、(16分)已知函数13)(2 bx x x f 是偶函数，c x x g 5)(是奇函数，正数数列 n a 满足11211 )a a a (g )a a (f ,a n n n n n n① 求 n a 的通项公式；②若 n a 的前n 项和为n S ，求n n Slim .22、(18分)直角梯形ABCD 中∠DAB ＝90°，AD ∥BC ，AB ＝2，AD ＝23，BC＝21．椭圆C 以A 、B 为焦点且经过点D ． （1）建立适当坐标系，求椭圆C 的方程；（2）（文）是否存在直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，且线段MN 的中点为C ，若存在，求l 与直线AB 的夹角，若不存在，说明理由． （理）若点E 满足EC 21AB ，问是否存在不平行AB 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点且||||NE ME ，若存在，求出直线l 与AB 夹角的范围，若不存在，说明理由．【答案】一、填空题1、42、[22,2] 3、[2，6] , （±15,0） 4、12 5、46、27、18、339、942x -5542y =1(x>0) 10、[-2,0] 11、240 12、215二、选择题13、C 14、D 15、D 16、A 三、解答题17、解法一：由tan sin cos cot cos sin， 由原式得：sin sin cos cos cos sin 222sin sin cos cos sin cos 2222122sin2102204，，， 22或2524或54tan 1解法二：由已知sin sin cot cos cos tan 22222 sin cot cos tan cos sin 2222两边同乘12costan tan tan 2210118、（1）证明：∵ 11A ABB 是菱形，∠AB A 1＝60° △B B A 11是正三角形又∵ 11111111111C B A BM C B A B B AA B A BM B A M 平面平面平面又的中点是，AC BE C A AC C A BM1111// 又（2）1111111C B BE C B A BM E C B ME M平面且交于点作过 ∴ ∠BEM 为所求二面角的平面角△111C B A 中，sin 1 MB ME 60°a 43，Rt △1BMB 中，tan 1 MB MB 60°a 23 ∴ 2tanME MBBEM ， ∴ 所求二面角的正切值是2； （3）321612343312121212111111a a a V V V V ABC A CB A A CB A B CB A M ．19、(1)所求的点P 轨迹方程为)3421(1222 x y x (2)向量与的夹角为11112arccos20、（1）由1)(n kn g ，当n ＝0时，由题意，可得k ＝8，所以)10100()(n n f n n 100)1810( ．（2）由0001100)1810)(10100()(n n n n f 8052092800001)191(800001)110(n n n n ．当且仅当1 n19 n ，即n ＝8时取等号，所以第8年工厂的利润最高，最高为520万元21、解：（1）)(x f 为偶函数 )()(x f x f 0 b13)(2 x x f)(x g 为奇函数 )()(x g x g 0 c x x g 5)(1)(51)(3)()(2121211 n n n n n n n n n n a a a a a a a a g a a f0232121 n n n n a a a a 0)23)((11 n n n n a a a a 321n n a a }a {n 是以1 n a 为首项，公比为32的等比数列. 1)32( n n a （2）n lim 33211n s22、解析：（1）如图，以AB 所在直线为x 轴，AB 中垂线为y 轴建立直角坐标系， A （-1，0），B （1，0）设椭圆方程为：12222 by a x令c b y C x 20 ∴322312b a a b C ∴ 椭圆C 的方程是：13422y x （2）（文）l ⊥AB 时不符合， ∴ 设l ：)0)(1(21k x k y 设M （1x ，1y ），N （2x ，2y ）1342121 y x ，1342222 y x 4))((2121x x x x03))((2121y y y y∵ 212122121y y x x ∴2314332121 x x y y ，即23k ， ∴ l ：)1(2321x y ，即223x y 经验证：l 与椭圆相交， ∴ 存在，l 与AB 的夹角是23arctan ．（理）0(21E AB EC ，)21，l ⊥AB 时不符，设l ：y ＝kx ＋m （k ≠0）由 01248)43(13422222m kmx x k y x mkx yM 、N 存在0)124()43(46402222 m k m k 2234m k设M （1x ，1y ），N （2x ，2y ），MN 的中点F （0x ，0y ） ∴ 22104342kkm x x x ，200433k mm kx y243143421433121||||22200k m k kkm k m k x y EF MN NE ME∴222)243(34k k ∴4342 k ∴102 k ∴11 k 且0 k ∴ l 与AB 的夹角的范围是0(，]41．。
上海市冠龙高级中学高三数学摸底考试试卷
上海市冠龙高级中学2008届高三数学摸底考试2007.8.31本试卷满分150分,考试时间120分钟一、填空题：（每题4分，共44分）1．函数y=lg(x -1)的定义域为 . 2. 函数y =cos (2x +4π)的最小正周期是3．等比数列{a n }中，2,211-==q a ，则a 3=4．直线3x -y +1=0的倾斜角为 5．椭圆22x +y 2=1的长轴长为6．已知向量a =(1,2), b =(-2,1),则a 与b 的夹角的大小为 7．若a >0,b >0,ab =4,则a+b 的最小值为 . 8．511213x y i i i+=---，x 、y ∈R,则x y += . 9．设函数f (x )=x 2+x ，若f (a )<0，则f (a +1)与0的大小关系是f (a +1) 0（填“>”或“<”）10．()f x 表示6x -+和2246x x -++中较小者，则函数()f x 的最大值是11．已知函数()sin(ω+)f x x =ϕ(πω0,||2>ϕ<),给出下列四个论断： ①()f x 的图象关于直线π12x =对称;②()f x 的图象关于点π(,0)3对称;③()f x 的周期为π; ④()f x 在π[,0]6-上是增函数，试以其中两个为条件,另两个为结论,写出一个你认为正确的命题 (填序号即可).二、选择题：（每题4分，共16分）12．已知a 、b 是两条不同的直线，α是平面，且a ⊥α，设命题p ：b //α；命题q ：a ⊥b ，则密 封 线 封 线 内线 内 不班班级学号题号 1-1112-15161718192021总分得分p 是q 的 ( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件13．过原点的直线与圆x 2+y 2-4x ＋3=0相切，若切点在第四象限，则该直线的方程是 ( ) A ．y =3xB ．y =33x C ．y =-3x D ．y =-33x 14．在△ABC 中，若a =2b cosC ，则△ABC 的形状是 ( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形15．设函数()y f x =是定义在R 上奇函数，且满足(2)()f x f x -=-对一切x R ∈都成立，又当[]1,1x ∈-时3()f x x =则下列四个命题：①函数()y f x =是以4为周期的周期函数②当[]1,3x ∈时3()(2)f x x =-③函数()y f x =图像的对称轴中有x=1④当[]3,5x ∈时3()(2)f x x =-其中正确的命题个数为 （ ）A 1B 2C 3D 4 三、解答题：（满分90分）16.（12分）如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中，AB ＝AC ＝1，AA 1 ＝2，AB ⊥AC ．求异面直线BC 1与AC 所成角的度数． .17. （14分）已知等差数列{}n a 中，21531=++a a a ，94=a ,求：(1)首项1a 和公差d ； (2)该数列的前8项的和8S 的值．（第16题）A 1A BB 1CC 118. （14分）已知函数()sin(θ)cos(θ)f x x x =++-的定义域为R. （1）当πθ=2时,求()f x 的单调增区间; （2）当θ[0,2]π∈,且()f x 为偶函数时,求θ的值.19.(14分) 某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车月租金为3000元时，可全租出，当每辆车月租金每增加50元未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需维护费150元，未租出车每辆每月需维护费用50元。
上海市2022届高三模拟卷(一)数学试题(高频考点版)
一、单选题二、多选题三、填空题1. 区间表示的集合是（ ）A ．或B．C．D．2.函数在实数集上连续可导，且在上恒成立，则以下不等式一定成立的是（ ）A．B．C．D．3. 已知为实数，使“”为假命题的一个充分不必要条件是（ ）A．B．C．D．4. 已知向量，，则下列结论错误的是（ ）A．B．与可以作为一组基底C．D ．与方向相反5. 下列四个函数中，在定义域上不是单调函数的是A．B．C．D．6. 已知的内角的对边分别为，若，则中线的长为（ ）A．B．C．D．7. 如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面平行的是（ ）A．B．C．D．8. 设圆O ，直线，P 为l 上的动点．过点P 作圆O 的两条切线PA ，PB ，切点为A ，B ，则下列说法中正确的是（ ）A ．直线l 与圆O 相交B ．直线AB恒过定点C ．当P 的坐标为时，最大D ．当最小时，直线AB的方程为上海市2022届高三模拟卷(一)数学试题(高频考点版)上海市2022届高三模拟卷(一)数学试题(高频考点版)四、解答题9.已知集合，，若，则符合条件的集合的个数为________.10. 已知，则__________.11. 在直角坐标系中，O 是原点，A (，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__.12.在中，内角的对边分别为，，，且满足，若为边上中线，，，则______.13.如图，在三棱柱中，已知平面，点分别是的中点，点是棱上的任一点.（1）求证：；（2）若平面与平面所成的锐角为，且，试确定点在棱上的位置，并说明理由.14. 一列火车自城驶往城，沿途有个车站（包括起点和终点），车上有一节邮政车厢，每停靠一站便要卸下前面各站发往该站的邮袋各一个，同时又要装上该站发往后面各站的邮袋各一个．(1)试说明：若列车从第站出发时，车厢内共有邮袋数为个；(2)试判断第几站的车厢内邮袋数最多，最多是多少？15. 在棱长为2的正方体中，截去三棱锥，求：(1)截去的三棱锥的表面积；(2)几何体的体积.16. 已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)若函数有两个极值点，，求当a 为何值时，取得最大值．。
上海高三高中数学高考模拟带答案解析
上海高三高中数学高考模拟班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.是第二象限角，则是第象限角．2.复数满足，则此复数所对应的点的轨迹方程是 .3.已知全集，集合,,若，则实数的值为 .4.一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与某一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为 .5.已知，则的值为 .6.定义在上的奇函数，，且当时，（为常数），则的值为 .7.公差不为零的等差数列中，，数列是等比数列，且，则等于 .8.设、满足约束条件，则的最小值是．9.已知等差数列的通项公式为，则的展开式中项的系数是数列中的第项．10.已知为实数，若复数是纯虚数，则的虚部为 .11.一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种 .12.棱长为1的正方体及其内部一动点，集合,则集合构成的几何体表面积为 .13.是双曲线的右支上一点，、分别是圆和上的点，则的最大值等于 .14.设为实数，且满足：，，则 .二、选择题1.已知，,如果∥，则实数的值等于（）A．B．C．D．2.已知、、是的三边长，且满足，则一定是（）．A．等腰非等边三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形3.“”是“函数（）在区间上为增函数”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4.如果函数在上的最大值和最小值分别为、，那么.根据这一结论求出的取值范围（）.A．B．C．D．三、解答题1.如图，直四棱柱底面直角梯形，∥，，是棱上一点，，，，，.（1）求直四棱柱的侧面积和体积；（2）求证：平面.2.已知椭圆，、是椭圆的左右焦点，且椭圆经过点.（1）求该椭圆方程；（2）过点且倾斜角等于的直线，交椭圆于、两点，求的面积.3.如图，、是两个小区所在地，、到一条公路的垂直距离分别为，，两端之间的距离为.（1）某移动公司将在之间找一点，在处建造一个信号塔，使得对、的张角与对、的张角相等，试确定点的位置.（2）环保部门将在之间找一点，在处建造一个垃圾处理厂，使得对、所张角最大，试确定点的位置.4.阅读：已知、，，求的最小值.解法如下：，当且仅当，即时取到等号，则的最小值为.应用上述解法，求解下列问题：（1）已知，，求的最小值；（2）已知，求函数的最小值；（3）已知正数、、，，求证：.5.已知数列和满足：，其中为实数，为正整数. （1）对任意实数，求证：不成等比数列；（2）试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论.（3）设为数列的前项和.是否存在实数，使得对任意正整数，都有?若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.上海高三高中数学高考模拟答案及解析一、填空题1.是第二象限角，则是第象限角．【答案】一或三【解析】是第二象限角，则有，于是，因此是第一、三象限角．【考点】象限角的概念．2.复数满足，则此复数所对应的点的轨迹方程是 .【答案】【解析】设，则由题意得，即，化简得．【考点】复数的模．3.已知全集，集合,,若，则实数的值为 .【答案】2【解析】由题意，则，由得，解得．【考点】集合的运算．4.一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与某一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为 .【答案】【解析】设底面半径为，则它们的高，，，，所以.【考点】旋转体的体积．5.已知，则的值为 .【答案】【解析】设，即，则.【考点】三角函数的变形与求值．6.定义在上的奇函数，，且当时，（为常数），则的值为 .【答案】【解析】由题意，，，则,，当时，，.【考点】奇函数的定义与性质，函数值.7.公差不为零的等差数列中，，数列是等比数列，且，则等于 .【答案】8192【解析】等差数列中，，则，，取，则.【考点】等差数列与等比数列的性质.8.设、满足约束条件，则的最小值是．【答案】【解析】试题分析:作出约束条件表示的可行域，如图内部（含边界），作直线，平移直线，当直线过点时，取得最小值.【考点】线性规划.9.已知等差数列的通项公式为，则的展开式中项的系数是数列中的第项．【答案】20【解析】项的系数为，，则.【考点】二项展开式的系数，数列的项与项数.10.已知为实数，若复数是纯虚数，则的虚部为 .【答案】【解析】则，.【考点】复数的概念.11.一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种 .【答案】186【解析】设取红球个，白球个，则，取法为.【考点】古典概型.12.棱长为1的正方体及其内部一动点，集合,则集合构成的几何体表面积为 .【答案】【解析】 .【考点】几何体的表面积.13.是双曲线的右支上一点，、分别是圆和上的点，则的最大值等于 .【答案】9【解析】两个圆心正好是双曲线的焦点，，，再根据双曲线的定义得的最大值为.【考点】双曲线的定义，距离的最值问题.14.设为实数，且满足：，，则 .【答案】4028【解析】，令，则是递增函数，且则，即.【考点】函数的单调性与函数值.二、选择题1.已知，,如果∥，则实数的值等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意，即.【考点】向量平行的充要条件.2.已知、、是的三边长，且满足，则一定是（）．A．等腰非等边三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【答案】B【解析】试题分析: 方程化为，即，也即，选.【考点】行列式，三角形的形状.3.“”是“函数（）在区间上为增函数”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】时，在上为增函数；反之，在区间上为增函数，则，故选.【考点】充分与必要条件.4.如果函数在上的最大值和最小值分别为、，那么.根据这一结论求出的取值范围（）.A．B．C．D．【答案】B【解析】函数在区间上最大值为1，最小值为，即，所以，，即取值范围为，选B.【考点】新定义概念与函数的最值.三、解答题1.如图，直四棱柱底面直角梯形，∥，，是棱上一点，，，，，.（1）求直四棱柱的侧面积和体积；（2）求证：平面.【答案】(1),；（2）证明见解析.【解析】（1）要求直棱柱的体积，高已知为，而底面是直角梯形，面积易求，故体积为，侧面积为底面周长乘以高，因此关键是求出斜腰的长，在直角梯形中也易求得；（2）要证明线面垂直，就要证直线与平面内的两条相交直线垂直，在平面内首先有，这由已知可直接得到，而证明可在直角梯形通过计算利用勾股定理证明，，，因此，得证.（1）底面直角梯形的面积， 2分过作交于，在中，，，则， 4分侧面积 6分（2）过作交于，在中，，，则，，，， 10分，.又，平面. 12分【考点】（1）棱柱的体积与侧面积；（2）线面垂直.2.已知椭圆，、是椭圆的左右焦点，且椭圆经过点.（1）求该椭圆方程；（2）过点且倾斜角等于的直线，交椭圆于、两点，求的面积.【答案】（1）；（2）．【解析】（1）求椭圆标准方程，就是要求，也即要找到关于的两个条件，本题中有，又有椭圆过点，把点坐标代入椭圆方程又得到一个关系式，解之即得；（2）本题是直线与椭圆相交问题，如果交点坐标能简单求出，那么我们就求出交点坐标，然后再解题，但一般情况下，这类问题中都含有参数，或者交战坐标很复杂，不易求得，这时我们采取“设而不求”的方法，即设交点为，，在把直线方程代入椭圆（或其他圆锥曲线）方程消去得关于的二次方程，则有，，则，本题有，由此可求出面积.（1），则椭圆方程为. 6分（2）设，，直线. 8分由， 10，. 14分【考点】（1）椭圆的标准方程；（2）直线与椭圆相交的综合问题.3.如图，、是两个小区所在地，、到一条公路的垂直距离分别为，，两端之间的距离为.（1）某移动公司将在之间找一点，在处建造一个信号塔，使得对、的张角与对、的张角相等，试确定点的位置.（2）环保部门将在之间找一点，在处建造一个垃圾处理厂，使得对、所张角最大，试确定点的位置.【答案】(1)；（2）．【解析】（1）设，我们只要利用已知列出关于的方程即可，而这个方程就是在两个三角形中利用正切的定义，，，因此有，解之得；实际上本题可用相似形知识求解，，则，由引开出方程解出；（2）要使得最大，可通过求，因为，只要设，则都可用表示出来，从而把问题转化为求函数的最值,同（1）可得，这里我们用换元法求最值，令，则有，注意到，可取负数，即为钝角，因此在取负值中的最小值时，取最大值.（1）设，，.依题意有，. 3分由，得，解得，故点应选在距点2处. 6分（2）设，，.依题意有，，10分令，由，得，，12分，，当，所张的角为钝角，最大角当，即时取得，故点应选在距点处. 14分【考点】(1)角相等的应用与列方程解应用题；（2）角与函数的最大值.4.阅读：已知、，，求的最小值.解法如下：，当且仅当，即时取到等号，则的最小值为.应用上述解法，求解下列问题：（1）已知，，求的最小值；（2）已知，求函数的最小值；（3）已知正数、、，，求证：.【答案】（1）9；（2）18；（3）证明见解析.【解析】本题关键是阅读给定的材料，弄懂弄清给定材料提供的方法（“1”的代换），并加以运用.主要就是，展开后就可应用基本不等式求得最值.（1）；（2）虽然没有已知的“1”，但观察求值式子的分母，可以凑配出“1”：，因此有，展开后即可应用基本不等式；（3）观察求证式的分母，结合已知有，因此有此式中关键是凑配出基本不等式所需要的两项，如与合并相加利用基本不等式有，从而最终得出.（1）， 2分而，当且仅当时取到等号，则，即的最小值为. 5分（2）， 7分而，，当且仅当，即时取到等号，则，所以函数的最小值为. 10分（3）当且仅当时取到等号，则. 16分【考点】阅读材料问题，“1”的代换，基本不等式.5.已知数列和满足：，其中为实数，为正整数.（1）对任意实数，求证：不成等比数列；（2）试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论.（3）设为数列的前项和.是否存在实数，使得对任意正整数，都有?若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）当时，数列是等比数列；（3）存在，且.【解析】（1）证明否定性命题，可用反证法.如本题中可假设存在，使成等比数列，则可由来求，若求不出，说明假设错误，结论是不存在，，但这个式子化简后为，不可能成立，即不存在；（2）要判定是等比数列，由题意可先求出的递推关系，，这时还不能说明就是等比数列，还要求出，，只有当时，数列才是等比数列，因此当时，不是等比数列，当时，是等比数列.（3）存在性命题的解法，都是假设存在，然后求解，由（2）当时，，则满足题意，当时，，，即，即，我们只要求出的最小值，从此式可看出最小值在为正奇数时取得，利用函数的单调性知时取最小值.（1）证明：假设存在一个实数，使是等比数列，则有,即矛盾.所以不成等比数列. 4分（2）因为6分又,所以当，，(为正整数)，此时不是等比数列. 8分当时，，由上式可知，∴(为正整数) ，故当时，数列是以为首项，－为公比的等比数列. 10分（3）由（2）知，当时，, 则，所以恒成立.当，得，于是 13分要使对任意正整数，都有成立，即，令，则当为正奇数时，当为正偶数时，∴的最大值为, 于是可得综上所述，存在实数，使得对任意正整数，都有 18分【考点】（1）反证法；（2）等比数列的判定；（3）存在性命题，数列与不等式恒成立、函数（数列）的最小值交汇问题.。
2018年高三最新 冠龙高级中学2018年高三数学综合测试(一) 精品
冠龙高级中学2018年高三数学综合测试（一）2018.1.7班级 学号 姓名一. 填空题：1、集合},132|{}.,32|{22R x x x y y B R x x x y y A ∈+-==∈+-==,那么B A = .2、若n S 是数列{}n a 的前n 项和，n S =2n ，则567a a a ++= . 3、n xx )23(-展开式中第9项为常数，则n 的值为 .4、不等式340x x x -+>的解集是 ．5、从3男5女共8个人中选出4人，若至少有一名男生被选在内的概率 是 .（用分数作答）6、函数y = y=log 0.5(x 2－ax+3)在[2，＋∞]上是减函数,则a 的取值范围是 .7、若关于x 的方程x 2-(2i -1)x+3m -i=0(m ∈R)有纯虚根，则m 的取值是 .8、直线l 与直线y=1,x-y-7=0分别交于P 、Q 两点，线段PQ 的中点坐标为(-1,-1)，那么直线l 的斜率为____________.9、将函数)(x f y =的图象各点纵坐标不变,横坐标扩大为原来的2倍,再左移4π个单位,得函数x y sin 21=的图象,原)(x f 的解析式为 . 10、函数的最小值是 .11、直线l 过抛物线)0)(1(2>+=a x a y 的焦点，并且与x 轴垂直，若l 被抛物线截得的线段长为4，则=a .12、设数列｛n a ｝，｛n b ｝分别为正项等比数列，T n ，R n 分别为数列｛lg n a ｝与｛lg n b ｝的前n 项和，且12+=n nR T n n ，则log 5b 5a 的数值为 ． 二.选择题：13、若log a (a 2+1)<log a 2a<0，则a 的取值范围是： （ ） A 、（0,1） B 、(21,1) C 、(0, 21) D 、(1，+∞)14、设,0≠abc ∞→n lim b an a cn ++=31,∞→n lim c bn bn an -+22=43,则∞→n lim a cn bn cbn cn +--+233= ( )（A ）4 （B ）94 （C ）41（D ）4915、函数f(x)=sinx+3cosx,x ∈[-2π,2π]的 ( ) A ．最大值是2，最小值是1- B. 最大值是1，最小值是12-C. 最大值是2，最小值是2-D. 最大值是1，最小值是1- 16、设函数的定义域为，对于任意，都有，当时，，则函数为 ( )A 、奇函数，且在上为增函数B 、 奇函数，且在上为减函数C 、 偶函数，且在上为增函数，在上为减函数 D 、偶函数，且在上为减函数，在上为增函数 三、解答题17、已知复数z 1满足(1+i)z 1=－1+5i, z 2=a －2－i, 其中i 为虚数单位,a ∈R, 若21z z -<1z ,求a 的取值范围.18、若A 、B 、C 是三角形内角,方程0sin cos sin 2=+-C B A x x 的两根α、β适合=+βααβ21,试判断三角形的形状.19、设数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知*).(),1(2,11N n n n na S a n n ∈--== （1）求证数列}{n a 为等差数列，并写出通项公式；（2）是否存在自然数n ，使得40032321=++++nS S S S n ?若存在，求出n 的值；若不存在，说明理由.20、某蛋糕厂生产某种蛋糕的成本为40元/个，出厂价60元/个，日销售量为1000个，为适应市场的需求，计划提高蛋糕的档次，适度增加成本，若每个蛋糕成本增加的百分率为x(0＜x ＜1),则每个蛋糕的出厂价相应提高的百分率为0.5x,同时预计且销售量增加的百分率为0.8x 已知日利润=(出厂价－成本)×日销售量,且设增加的成本后的日利为y (1) 写出y 与x 的关系式(2) 为使日利润有所增加，问x 应在什么范围内?21、已知函数f(x)=log 14225+++x cx ax (x ∈R)的值域为[0，1]．（1）求实数a 、c 的值；（2）求f (x )在[1,9]上的最大值．22、设1F 为椭圆1C ：11216)1(22=+-y x 的左焦点，M 是1C 上任意一点， P 是线段M F 1的中点.（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）若直线2-=kx y 交轨迹C 于A 、B 两点，（理）AB 的中垂线交y 轴于点),0(t Q ，求t 的范围.（文）AB 的中垂线交y 轴于点)31,0(Q ，求k 的值.答案一. 填空题：1、}2|{≥y y2、333、124、(1,)-+∞5、14136、（－32，32）7、－18、－529、)42sin(21π-=x y 10、－2 11、4 12、919二.选择题：13、B 14、C 15、A 16、B 三.解答题：17、解: 由题意得 z 1=ii ++-151=2+3i, 于是21z z -=i a 24+-=4)4(2+-a , 1z =13.4)4(2+-a <13,得a 2－8a+7<0, 解得1<a<7.18、解:⎩⎨⎧==+CB A sin cos sin αββα 又αββα21=+∴)sin(sin cos sin 2B A C B A +==B A B A sin cos cos sin += ∴0sin cos cos sin =-B A B A ∴0)sin(=-B A ∵A,B 是三角形的内角 ∴ππ<-<-B A ,只有0=-B A 即B A =故△ABC 是等腰三角形. 19. 解：（1）当2≥n 时，)1(4)1(11----=-=--n a n na S S a n n n n n ， 得)2(41≥=--n a a n n ，所以}{n a 为等差数列，且.34-=n a n（2）假设存在满足条件的自然数n ，则,2)(2121n n n a a S n n -=+=∴.12-=n n S n 所以2321)12(753132n n nS S SS n =-+++++=++++ ，由4002=n ，得.20=n20、解：(1)依题意可以得到：y=[60(1+0.5x)－40(1+x)]×1000(1+0.8x) =－8000x 2+6000x+20000(0<x<1)(2)依题意可以得：(60－40)×1000> y=[60(1+0.5x)－40(1+x)]×1000(1+0.8x) =－8000x 2+6000x+20000(0<x<1) ∴解得3(0,)4x ∈21、(1)1422+++x cx ax ∈[1,5],(y －a)x －4x+y －c=0对于x ∈R 有y ∈[1,5], △=16－4(y －a)(y －c)≥0, 作为关于y 的不等式的解集为[1,5]，整理得 y 2－(a +c )y +ac －4≤0，∴a +c =6，ac =9,又c >0, ∴a =c=3;（2）由（1）得f(x)=log 14225+++x c x ax =log 5(3+142+x x ),令g(x)= 142+x x, ∵xx 14+≤2, 则142+x x≤2, ∴f(x)=log 14225+++x c x ax ≤1 ∴f(x)最大值为1. 22、（1）设动点P 的坐标为),(y x ，椭圆1C 中，32,4==b a ，则2=c 。
上海市2022届高三模拟卷(一)数学试题
一、单选题1. 锐角的内角，，的对边分别为，，且，，若，变化时，存在最大值，则正数的取值范围是（ ）A．B．C．D．2. 已知函数的零点是以为公差的等差数列．若在区间上单调递增，则的取值范围为（ ）A．B．C．D．3. 现有茶壶九只，容积从小到大成等差数列，最小的三只茶壶容积之和为0.5升，最大的三只茶壶容积之和为2.5升，则从小到大第5只茶壶的容积为（ ）A ．0.25升B ．0.5升C ．1升D ．1.5升4. 如图，为正四棱锥的底面中心，，分别是，上的动点，若是边长为2的正三角形，则的最小值为（）A ．1B．C ．2D．5. 如图，在直四棱柱中，，，，，点，，分别在棱，，上，若，，，四点共面，则下列结论错误的是（）A ．任意点，都有B ．任意点，四边形不可能为平行四边形C ．存在点，使得为等腰直角三角形D ．存在点，使得平面6. 已知函数，设方程的四个实根从小到大依次为，对于满足条件的任意一组实根，下列判断中一定成立的是（ ）A．B．上海市2022届高三模拟卷(一)数学试题上海市2022届高三模拟卷(一)数学试题二、多选题三、填空题C．D．7.若将函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象，则的一个对称中心为( )A．B．C．D．8. 设是等差数列，，，则这个数列的前6项之和等于 （ ）A ．12B ．24C ．36D ．489. 下列不等式正确的是（ ）A．B．C．D．10. 已知定义在上的函数，对于给定集合，若，当时都有，则称是“封闭”函数.则下列命题正确的是（ ）A ．是“封闭”函数B ．定义在上的函数都是“封闭”函数C ．若是“封闭”函数，则一定是“封闭”函数D ．若是“封闭”函数，则不一定是“封闭”函数11. 已知数据①：，，，…，的平均数为10，方差为5，数据②：，，，…，，则下列说法正确的有（ ）A ．数据①与数据②的极差相同B．数据②的平均数为C ．数据①与数据②的中位数不同D．数据②的标准差为12. 若函数（，，）的图象如图，且，，则下列说法正确的是（）A ．函数的周期为5B．函数的对称轴为，C ．函数在内没有单调性D．若将的图象向左平移（）个单位长度，得到的函数图象关于轴对称，则的最小值为113. 是坐标原点，是双曲线右支上的一点，是的右焦点，延长分别交于两点，已知，且，则的离心率为______．14.已知函数的部分图象如图所示，若，，则__________．四、解答题15.若函数对定义域D内的每一个，都存在唯一的，使得成立，则称f (x )为“自倒函数”．给出下列命题：①是自倒函数；②自倒函数f (x )可以是奇函数；③自倒函数f (x )的值域可以是R ；④若都是自倒函数，且定义域相同，则也是自倒函数．则以上命题正确的是_______(写出所有正确命题的序号)．16.已知是数列的前项和，．(1)求数列的通项公式；(2)求．17. 经研究，中小学生户外活动时间太少，长时间看近处是导致近视的主要原因，现通过随机抽样的方式调查某地100名中小学生每天进行户外活动的时间和孩子的视力情况（规定每天户外活动时间不足1小时的为居家型，其余为户外型），经统计得到如下列联表：不近视近视合计居家型30户外型30总计50100(1)请将列联表补充完整，并判断是否有95％以上的把握认为“是否为居家型与近视与否”有关？(2)从这50名不近视的学生中按是否居家型采取分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本，现从这5名学生中随机选取3名做深度采访，求这3名学生中恰有2名居家型的概率．参考数据：0.0500.0100.0013.8416.63510.828（参考公式：，其中．）18.已知抛物线，其准线方程为，直线过点且与抛物线交于、两点，为坐标原点.（1）求抛物线方程；（2）证明：的值与直线倾斜角的大小无关；（3）若为抛物线上的动点，记的最小值为函数，求的解析式.19. 已知函数.（1）当时，求的单调区间；（2）讨论的零点的个数，并确定每个零点的取值范围（不要求范围“最小”）.20. 某校开展了“学党史”知识竞赛活动，竞赛试题由若干选择题和填空题两种题型构成，每位选手共需要回答三个问题.对于每一个问题，若回答错误得0分；若回答正确，填空题得30分，选择题得20分.现设置了两种活动方案供选手选择.方案一：只回答填空题；方案二：先回答填空题，后续选题按如下规则：若上一题回答正确，则下一次选择填空题；若上题回答错误，则下一次选择选择题.已知甲、乙两位同学能正确回答填空题的概率均为，能正确回答选择题的概率均为，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.(1)若甲同学采用方案一答题，求甲得分不低于60分的概率；(2)乙同学应该选择何种方案参加比赛更加有利？并说明理由.21. 根据社会人口学研究发现，一个家庭有个孩子的概率模型为：1230概率其中，.每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为且相互独立，事件表示一个家庭有个孩子（），事件表示一个家庭的男孩比女孩多（例如：一个家庭恰有一个男孩，则该家庭男孩多.）(1)为了调控未来人口结构，其中参数受到各种因素的影响（例如生育保险的增加，教育、医疗福利的增加等），是否存在的值使得，请说明理由；(2)若，求，并根据全概率公式，求.。
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上海市冠龙高级中学高三数学模拟试卷(一)一、填空题(满分48分,每小题4分)1、已知集合A={(x ，y)|y=sinx ，x ∈(0，2π)}，B={(x ，y)|y=a ，a ∈R}，则集合A∩B 的子集个数量多有 个.2、若函数f （x ）=2log 21x 的值域是[-1，1]，则函数f -1（x ）的值域为 .3、(文)若 x≤2，y≤2 则目标函数z=x+2y 的取值范围是 .x+y≥2(理) x=2cosθ（θ为参数，θ∈R ）上所有点的横坐标扩大到原来y=2sinθ 的2倍，纵坐标缩小到原来的21倍后，得到的曲线的焦点坐标为 .4、在等差数列{a n }中，中若a 1<0,S n 为前n 项之和，且S 7=S 17，则S n 为最小时的n 的值为 .5、函数f(x)= sin2x-4sin 3xcosx 的图象上相邻二条对称轴之间的见距离是 .6、设1e 和2e 是互相垂直的单位向量，且212143,23e e b e e a +-=+=， 则b a ⋅= .7、若复数z 满足211=-++z z ，则1-+i z 的最小值是 .8、在正三棱锥S －ABC 中，D 为AB 中点，且SD 与BC 所成角为︒45，则SD 与底面所成角的正弦值为 .9、一动圆与两圆(x+4)2+y 2=25和(x-4)2+y 2=4都外切，则动圆圆心M 的轨迹方程是 .10、f(x)是偶函数，且f(x)在(0，+∞)上是增函数，若x ∈[21,1]时，不等式f(ax+1)≤f(x -2)恒成立，则实数a 的取值范围是 .11、在三位数中,如果十位数字比个位和百位数字都小,则称这个三位数为凹数,如402,745等,那么各数位无重复数字的三位凹数共有 个.12、对于正整数n 和m(m<n)定义n n !=(n-m)(n-2m)(n-3m)┈(n-km)其中k 是丫满足n>km 的最大整数,则!20!1864=________. 二、选择题(满分16分,每小题4分) 13、在△ABC 中，a B sin <b A sin 是A ＞B 成立的 （ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件14、甲命题：平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则平面α//平面γ；乙命题：平面α上不共线的三点到平面β的距离相等，则α//β.则 （ ）A ．甲真乙真B ．甲真乙假C ．甲假乙真D ．甲假乙假15、已知ab ≠0，b a xx 12=（x ＞0，且x ≠1），则6)2(b a x x +展开式中的常数项为 （ ）A ．12B ．60C ．30D ．16016、已知a ，b ，c ∈R ，若1>⋅a c a b ，且2-≥+ac a b ，则下列结论成立的是 A ．a ，b ，c 同号 B ．b ，c 同号，a 与它们异号C ．b ，c 同号，a 不能确定D ．a ，b ，c 的符号都不能确定三、解答题17、(12分)已知sin 2θ(1+ctg θ)+cos 2θ(1+tg θ)=2, θ∈(0,2π)，求tgθ的值18、(12分)如图，三棱柱111C B A ABC -的底面是边长为a 的正三角形，侧面11A ABB 是菱形且垂直于底面，∠AB A 1＝60°，M 是11B A 的中点．（1）求证：BM ⊥AC ；（2）求二面角111A C B B --的正切值；（3）求三棱锥CB A M 1-的体积．19、(14分)已知点F(1，0)，直线l ：x=2，设动点P 到直线l 的距离为d ，已知|PF|=22d 且2332≤≤d .(1)求动点P 的轨迹方程；(2)若⋅=31，求向量与的夹角20、(14分)某工厂去年的某产品的年产量为100万只，每只产品的销售价为10元，固定成本为8元．今年，工厂第一次投入100万元（科技成本），并计划以后每年比上一年多投入100万元（科技成本），预计产量年递增10万只，第n 次投入后，每只产品的固定成本为1)(+=n k n g （k ＞0，k 为常数，Z ∈n 且n ≥0），若产品销售价保持不变，第n 次投入后的年利润为)(n f 万元．（1）求k 的值，并求出)(n f 的表达式；（2）问从今年算起第几年利润最高?最高利润为多少万元?21、(16分)已知函数13)(2++=bx x x f 是偶函数，c x x g +=5)(是奇函数，正数数列{}n a 满足11211=+-+=++)a a a (g )a a (f ,a n n n n n n① 求{}n a 的通项公式；②若{}n a 的前n 项和为n S ，求n n S ∞→lim .22、(18分)直角梯形ABCD 中∠DAB ＝90°，AD ∥BC ，AB ＝2，AD ＝23，BC ＝21．椭圆C 以A 、B 为焦点且经过点D ．（1）建立适当坐标系，求椭圆C 的方程；（2）（文）是否存在直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，且线段MN 的中点为C ，若存在，求l 与直线AB 的夹角，若不存在，说明理由．（理）若点E 满足EC 21=AB ，问是否存在不平行AB 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点且||||NE ME =，若存在，求出直线l 与AB 夹角的范围，若不存在，说明理由．【答案】一、填空题1、42、[22,2] 3、[2，6] , （±15,0） 4、12 5、4π 6、2 7、1 8、33 9、942x -5542y =1(x>0) 10、[-2,0] 11、240 12、215二、选择题13、C 14、D 15、D 16、A三、解答题17、解法一：由tan sin cos cot cos sin θθθθθθ==， 由原式得：sin sin cos cos cos sin 222θθθθθθ+⋅++⋅=∴++=∴+⋅=s i n s i n cos cos sin cos 2222122θθθθθθ∴=s i n21θ ()() θπθπ∈∴∈02204，，，∴=22θπ或252θπ= ∴=θπ4或θπ=54∴=tan θ1 解法二：由已知sin sin cot cos cos tan 22222θθθθθθ+++=∴+=+s i n c o t c o s t a n c o s s i n 2222θθθθθθ 两边同乘12cos θ ∴-+=∴=t a n t a n t a n 22101θθθ18、（1）证明：∵ 11A ABB 是菱形，∠AB A 1＝60°⇒△B B A 11是正三角形 又∵ 11111111111C B A BM C B A B B AA B A BM B A M 平面平面平面又的中点是，⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥∴ AC BE C A AC C A BM ⊥⇒⎭⎬⎫⊥∴1111// 又 （2）1111111C B BE C B A BM E C B ME M ⊥⇒⊥⊥⎭⎬⎫平面且交于点作过 ∴ ∠BEM 为所求二面角的平面角△111C B A 中，s i n 1⋅=MB ME 60°a 43=，Rt △1BMB 中，t a n 1⋅=MB MB 60°a 23=∴ 2tan ==∠MEMB BEM ， ∴ 所求二面角的正切值是2； （3）321612343312121212111111a a a V V V V ABC A CB A A CB A B CB A M =⨯⨯====⋅----． 19、(1)所求的点P 轨迹方程为)3421(1222≤≤=+x y x (2)向量与的夹角为11112arccos 20、（1）由1)(+=n k n g ，当n ＝0时，由题意，可得k ＝8，所以)10100()(n n f += n n 100)1810(-+-．（2）由0001100)1810)(10100()(=-+-+=n n n n f 80- 52092800001)191(800001)110(=⨯-≤+++-=++n n n n ．当且仅当1+n 19+=n ，即n ＝8时取等号，所以第8年工厂的利润最高，最高为520万元21、解：（1）)(x f 为偶函数 )()(x f x f =-∴ 0=∴b 13)(2+=x x f)(x g 为奇函数 )()(x g x g -=-∴ 0=∴c x x g 5)(=1)(51)(3)()(2121211=+⋅-++=+⋅-+∴++++n n n n n n n n n n a a a a a a a a g a a f0232121=-⋅+∴++n n n n a a a a 0)23)((11=-+∴++n n n n a a a a 321=∴+n n a a }a {n ∴是以1=n a 为首项，公比为32的等比数列. 1)32(-=n n a （2）∞→n lim 33211=-=n s22、解析：（1）如图，以AB 所在直线为x 轴，AB 中垂线为y 轴建立直角坐标系，⇒A （-1，0），B （1，0）设椭圆方程为：12222=+by a x 令c b y C x 20=⇒= ∴⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧==322312b a a b C ∴ 椭圆C 的方程是：13422=+y x （2）（文）l ⊥AB 时不符合，∴ 设l ：)0)(1(21≠-=-k x k y 设M （1x ，1y ），N （2x ，2y ）1342121=+⇒y x ，1342222=+y x 4))((2121x x x x -+⇒ 03))((2121=-++y y y y∵ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+212122121y y x x ∴ 2314332121-=⨯⨯-=--x x y y ，即23-=k ， ∴ l ：)1(2321--=-x y ，即223+-=x y 经验证：l 与椭圆相交， ∴ 存在，l 与AB 的夹角是23arctan ． （理）0(21E ⇒=，)21，l ⊥AB 时不符， 设l ：y ＝kx ＋m （k ≠0）由 01248)43(13422222=-+++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=m kmx x k y x m kx y M 、N 存在⇒ 0)124()43(46402222>-+-⇒>⋅m k m k 2234m k ≥+⇒ 设M （1x ，1y ），N （2x ，2y ），MN 的中点F （0x ，0y ）∴ 22104342k km x x x +-=+=，200433k m m kx y +=+= 243143421433121||||2200k m k k km k m k x y EF MN NE ME +-=⇒-=+--+⇒-=-⇒⊥⇒= ∴222)243(34k k +-≥+ ∴4342≤+k ∴102≤<k ∴11≤≤-k 且0≠k ∴ l 与AB 的夹角的范围是0(，]41．。