2019-2020学年江苏省南京师大附中树人学校九年级(上)月考数学试卷(12月份) 解析版

合集下载

师大附中2019-2020学年(秋)九上第三次月考-数学解析版

3 CD BC = 4
3Байду номын сангаас
∴ CD BC = 4
∵ AC 是四边形 ABCD 的相似对角线 ∴ BCA∽ACD ， BC = AC ，即 AC2 = CD BC
AC DC ∴ AC2 = 4 ，即 AC = 2
由点 C 的坐标为 (3,1) 可知，点 A 的坐标为 (1,1)
将
A
，
C
两点的坐标代入抛物线
22.【解析】(1)连接 OD ∵ ODA = DAB = B = 30
∴ ODB = 180 − ODA − DAB − B = 180 − 30 − 30 − 30 = 90
∴直线 BD 与 O 相切 (2)由(1)知， ODA = DAB = 30
∴ DOB = ODA + DAB = 60 又∵ OC = OD ∴ DOC 是等边三角形 ∴ OA = OD = CD = 5 又∵ B = 30 ， ODB = 90 ∴ OB = 2OD = 10 ∴ AB = OA + OB = 5 +10 = 15 23.【解析】(1)设 A 、 B 两种型号的计算器每只进价分别是 x 、 y 元，根据题意，得
② BAO = AOP = 30 ， ABO = PAO = 60
( ) 此时，可求得点 P 3, − 3 ，将 P 点坐标代入 y = k ，得 k = −3 3 x
③当 APO = OAB = 30 ， AOP = ABO = 60
( ) 此时，可求得点 P 4, −4 3 ，将 P 点坐标代入 y = k ，得 k = −16 3 x
解之，得 m 12.5 所以，该经销商至少要采购 B 型计算器13 只. 24.【解析】(1)∵ CAE = DAB = 60 ∴ DAC = BAE 在 ADC 和 ABE 中 ∵ AD = AB ， DAC = BAE ， AC = AE ∴ ADC≌ABE (2)在四边形 ABCD 中 ADC + ABC = 360 − DAB − DCB = 270 ∵ ADC≌ABE ∴ ADC = ABE ， CD = BE ∴ ABC + ABE = ABC + ADC = 270

2019-2020学年江苏省南京师大附中树人学校九年级(下)月考数学试卷(3月份)

2019-2020学年江苏省南京师大附中树人学校九年级（下）月考数学试卷（3月份）一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分，在每小题所给出的四个选中，恰有一项是符合题目要求的）1．（2分）下列计算正确的是（）A．a+a＝a2B．（2a）3＝6a3C．（a﹣1）2＝a2﹣1D．a3÷a＝a22．（2分）从2013年到2017年，这五年间我国脱贫攻坚取得重大进展，全国贫困人口减少68000000，数据68000000用科学记数法表示为（）A．680×105B．68×106C．6.8×107D．0.68×1083．（2分）如图，以直角三角形a、b、c为边，向外作等边三角形，半圆，等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S1+S2＝S3图形个数有（）A．1B．2C．3D．44．（2分）某科普小组有5名成员，身高分别为（单位：cm）：160，165，170，163，167．增加1名身高为165cm 的成员后，现科普小组成员的身高与原来相比，下列说法正确的是（）A．平均数不变，方差不变B．平均数不变，方差变大C．平均数不变，方差变小D．平均数变小，方差不变5．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝56°．以BC为直径的⊙O交AB于点D．E是⊙O上一点，且＝，连接OE．过点E作EF⊥OE，交AC的延长线于点F，则∠F的度数为（）A．92°B．108°C．112°D．124°6．（2分）估计（2﹣）•的值应在（）A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程）7．（2分）在，，π，﹣1.6，这五个数中，有理数有个．8．（2分）分解因式：（a+b）2﹣4ab＝．9．（2分）在函数y＝+（x﹣2）0中，自变量x的取值范围是．10．（2分）如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：cm），根据图中所示数据计算这个几何体的表面积是．11．（2分）一元二次方程x2+mx+2m＝0的两个实根分别为x1，x2，若x1+x2＝1，则x1x2＝．12．（2分）如图，点A是双曲线y＝﹣在第二象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB 为底作等腰△ABC，且∠ACB＝120°，随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y＝上运动，则k＝．13．（2分）如图，在平面直角坐标系中，已知一圆弧过小正方形网格的格点A、B、C，已知A点的坐标是（﹣3，5），则该圆弧所在圆的圆心坐标是．14．（2分）若函数y＝mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是．15．（2分）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝6，D是BC上一点，CD＝2，过点D的直线l将△ABC分成两部分，使其所分成的三角形与△ABC相似，若直线l与△ABC另一边的交点为点P，则DP＝．16．（2分）在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，斜边AB＝2，动点P在AB边上，动点Q在AC边上，且∠CPQ＝90°，则线段CQ长的最小值＝．三、解答题（本大题共11小题，共88分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（7分）先化简再求值：．其中a＝1．18．（7分）解不等式组，并写出该不等式组的整数解．19．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+3m﹣6＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根是负数，求m的取值范围．20．（8分）如图，在平面直角坐标系中有三点（1，2），（3，1），（﹣2，﹣1），其中有两点同时在反比例函数y＝的图象上，将这两点分别记为A，B，另一点记为C．（1）求出k的值；（2）求直线AB对应的一次函数的表达式；（3）设点C关于直线AB的对称点为D，P是x轴上的一个动点，直接写出PC+PD的最小值（不必说明理由）．21．（8分）小玲和弟弟小东分别从家和图书馆同时出发，沿同一条路相向而行，小玲开始跑步中途改为步行，到达图书馆恰好用30min．小东骑自行车以300m/min的速度直接回家，两人离家的路程y（m）与各自离开出发地的时间x（min）之间的函数图象如图所示（1）家与图书馆之间的路程为m，小玲步行的速度为m/min；（2）求小东离家的路程y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；（3）求两人相遇的时间．22．（8分）为积极响应“弘扬传统文化”的号召，某学校倡导全校1200名学生进行经典诗词诵背活动，并在活动之后举办经典诗词大赛，为了解本次系列活动的持续效果，学校团委在活动启动之初，随机抽取部分学生调查“一周诗词诵背数量”，根据调查结果绘制成的统计图（部分）如图所示．大赛结束后一个月，再次抽查这部分学生“一周诗词诵背数量”，绘制成统计表一周诗词诵3首4首5首6首7首8首背数量人数101015402520请根据调查的信息分析：（1）活动启动之初学生“一周诗词诵背数量”的中位数为；（2）估计大赛后一个月该校学生一周诗词诵背6首（含6首）以上的人数；（3）选择适当的统计量，从两个不同的角度分析两次调查的相关数据，评价该校经典诗词诵背系列活动的效果．23．（8分）在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共60个，它们除颜色不同外，其余都相同，王颖做摸球实验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，经过大量重复上述摸球的过程，发现摸到白球的频率定于0.25（1）请估计摸到白球的概率将会接近；（2）计算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个？（3）如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？24．（8分）如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB 为x米，面积为S平方米．（1）求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；（2）已知墙的最大可用长度为8米；①求所围成花圃的最大面积；②若所围花圃的面积不小于20平方米，请直接写出x的取值范围．25．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，以CD为直径的⊙O分别交AC、BC 于点M、N，过点N作NE⊥AB，垂足为E．（1）若⊙O的半径为，AC＝6，求BN的长；（2）求证：NE与⊙O相切．26．（9分）如图，在矩形纸片ABCD中，已知AB＝1，BC＝，点E在边CD上移动，连接AE，将多边形ABCE 沿直线AE翻折，得到多边形AB′C′E，点B、C的对应点分别为点B′、C′．（1）当B′C′恰好经过点D时（如图1），求线段CE的长；（2）若B′C′分别交边AD，CD于点F，G，且∠DAE＝22.5°（如图2），求△DFG的面积；（3）在点E从点C移动到点D的过程中，求点C′运动的路径长．27．（9分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝4x+4与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线y＝ax2+bx﹣3a经过点A，将点B向右平移5个单位长度，得到点C．（1）求点C的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．2019-2020学年江苏省南京师大附中树人学校九年级（下）月考数学试卷（3月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分，在每小题所给出的四个选中，恰有一项是符合题目要求的）1．【解答】解：A，a+a＝2a≠a2，故该选项错误；B，（2a）3＝8a3≠6a3，故该选项错误C，（a﹣1）2＝a2﹣2a+1≠a2﹣1，故该选项错误；D，a3÷a＝a2，故该选项正确，故选：D．2．【解答】解：数据68000000用科学记数法表示为6.8×107．故选：C．3．【解答】解：（1）S1＝a2，S2＝b2，S3＝c2，∵a2+b2＝c2，∴a2+b2＝c2，∴S1+S2＝S3．（2）S1＝a2，S2＝b2，S3＝c2，∵a2+b2＝c2，∴a2+b2＝c2，∴S1+S2＝S3．（3）S1＝a2，S2＝b2，S3＝c2，∵a2+b2＝c2，∴a2+b2＝c2，∴S1+S2＝S3．（4）S1＝a2，S2＝b2，S3＝c2，∵a2+b2＝c2，∴S1+S2＝S3．综上，可得面积关系满足S1+S2＝S3图形有4个．故选：D．4．【解答】解：＝＝165，S2原＝，＝＝165，S2新＝，平均数不变，方差变小，故选：C．5．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝56°，∴∠ABC＝34°，∵＝，∴2∠ABC＝∠COE＝68°，又∵∠OCF＝∠OEF＝90°，∴∠F＝360°﹣90°﹣90°﹣68°＝112°．故选：C．6．【解答】解：（2﹣）•＝2﹣2＝﹣2，∵4＜＜5，∴2＜﹣2＜3，故选：B．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程）7．【解答】解：在，，π，﹣1.6，这五个数中，有理数有：，﹣1.6，共3个．故答案为：3．8．【解答】解：（a+b）2﹣4ab＝a2+2ab+b2﹣4ab＝a2+b2﹣2ab＝（a﹣b）2．故答案为：（a﹣b）2．9．【解答】解：由题意得，x+2＞0且x﹣2≠0，解得x＞﹣2且x≠2．故答案为：x＞﹣2且x≠2．10．【解答】解：由主视图和左视图为三角形判断出是锥体，由俯视图是圆形可判断出这个几何体应该是圆锥；根据三视图知：该圆锥的母线长为cm，底面半径为1cm，故表面积＝πrl+πr2＝π×1×3+π×12＝4πcm2，故答案为：4πcm2，11．【解答】解：根据题意得x1+x2＝﹣m＝1，x1x2＝2m，所以m＝﹣1，所以x1x2＝﹣2．故答案为﹣2．12．【解答】解：如图，连接CO，过点A作AD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥x轴于点E，由题可得AO＝BO，AC＝BC，且∠ACB＝120°，∴CO⊥AB，∠CAB＝30°，∴Rt△AOC中，OC：AO＝1：，∵∠AOD+∠COE＝90°，∠DAO+∠AOD＝90°，∴∠DAO＝∠COE，又∵∠ADO＝∠CEO＝90°，∴△AOD∽△OCE，∴＝（）2＝3，∵点A是双曲线y＝﹣在第二象限分支上的一个动点，∴S△AOD＝|﹣3|＝，∴S△OCE＝×＝，即|k|＝，∴k＝±1，又∵k＞0，∴k＝1．故答案为：1．13．【解答】解：圆弧所在圆的圆心是AB与BC的垂直平分线的交点．AB的垂直平分线是x＝﹣1，点B的坐标是（1，5），C的坐标是（4，2），BC的垂直平分线与x＝﹣1的交点的纵坐标是0，因而该圆弧所在圆的圆心坐标是（﹣1，0）．14．【解答】解：①若m＝0，则函数y＝2x+1，是一次函数，与x轴只有一个交点；②若m≠0，则函数y＝mx2+2x+1，是二次函数．根据题意得：△＝4﹣4m＝0，解得：m＝1．故答案为：0或1．15．【解答】解：如图1，若DP∥AB，∴△CDP∽△CBA，∴，∴∴DP＝1；如图2，若DP∥AC，∴△BDP∽△BCA，∴，∴∴PD＝；如图3，若∠CPD＝∠B，且∠C＝∠C，∴△CDP∽△CAB，∴，∴，∴PD＝，故答案为：1或或．16．【解答】解：以CQ为直径作⊙O，当⊙O与AB边相切动点P时，CQ最短，∴OP⊥AB，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠POA＝60°，∵OP＝OQ，∴△POQ为等边三角形，∴∠POQ＝60°，∴∠APQ＝30°，∴PQ＝OQ＝AQ＝OC设PQ＝OQ＝AQ＝OC＝r，则3r＝AC＝cos30°•AB＝×＝3，∴CQ＝2，∴CQ的最小值为2．故答案为2．三、解答题（本大题共11小题，共88分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【解答】解：原式＝•﹣＝﹣，当a＝1时，原式＝﹣1．18．【解答】解：解不等式+3≥x+1，得：x≤1，解不等式1﹣3（x﹣1）＜8﹣x，得：x＞﹣2，则不等式组的解集为﹣2＜x≤1，所以不等式组的整数解为﹣1、0、1．19．【解答】（1）证明：∵关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+3m﹣6＝0，∴△＝[﹣（m+1）]2﹣4（3m﹣6）＝m2﹣10m+25＝（m﹣5）2≥0，∴方程总有两个实数根；（2）解：由求根公式可求得x＝3或x＝m﹣2，若方程有一个根为负数，则m﹣2＜0，解得m＜2．综上可知，若方程有一个根是负数，m的取值范围为m＜2．20．【解答】解：（1）∵反比例函数y＝的图象上的点横坐标与纵坐标的积相同，∴A（1，2），B（﹣2，﹣1），C（3，1）∴k＝2．（2）设直线AB的解析式为y＝mx+n，则，解得，∴直线AB的解析式为y＝x+1（3）∵C、D关于直线AB对称，∴D（0，4）作D关于x轴的对称点D′（0，﹣4），连接CD′交x轴于P，此时PC+PD的值最小，最小值＝CD′＝＝21．【解答】解：（1）结合题意和图象可知，线段CD为小东路程与时间函数图象，折线O﹣A﹣B为小玲路程与时间图象则家与图书馆之间路程为4000m，小玲步行速度为2000÷20＝100m/min．故答案为：4000，100（2）∵小东从离家4000m处以300m/min的速度返回家，则xmin时，∴他离家的路程y＝4000﹣300x自变量x的范围为0≤x≤（3）由图象可知，两人相遇是在小玲改变速度之前∴4000﹣300x＝200x解得x＝8∴两人相遇时间为第8分钟．22．【解答】解：（1）本次调查的学生有：20÷＝120（名），背诵4首的有：120﹣15﹣20﹣16﹣13﹣11＝45（人），∵15+45＝60，∴这组数据的中位数是：（4+5）÷2＝4.5（首），故答案为：4.5首；（2）大赛后一个月该校学生一周诗词诵背6首（含6首）以上的有：1200×＝850（人），答：大赛后一个月该校学生一周诗词诵背6首（含6首）以上的有850人；（3）活动启动之初的中位数是4.5首，众数是4首，大赛比赛后一个月时的中位数是6首，众数是6首，由比赛前后的中位数和众数看，比赛后学生背诵诗词的积极性明显提高，这次举办后的效果比较理想．23．【解答】解：（1）根据题意得：当n很大时，摸到白球的概率将会接近0.25；假如你摸一次，你摸到白球的概率为0.25；故答案为：0.25；（2）60×0.25＝15，60﹣15＝45；答：盒子里白、黑两种颜色的球分别有15个、45个；（3）设需要往盒子里再放入x个白球；根据题意得：，解得：x＝15；经检验x＝15是原方程的解，答：需要往盒子里再放入15个白球．24．【解答】解：（1）S＝x（24﹣4x）＝﹣4x2+24x（0＜x＜6）（2）①S＝﹣4x2+24x＝﹣4（x﹣3）2+36由，解得4≤x＜6当x＝4时，花圃有最大面积为32②令﹣4x2+24x＝20时，解得x1＝1，x2＝5∵墙的最大可用长度为8，即24﹣4x≤8∴x≥4∴4≤x≤5．25．【解答】解：（1）连接DN，ON∵⊙O的半径为，∴CD＝5∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，∴BD＝CD＝AD＝5，∴AB＝10，∴BC＝＝8∵CD为直径∴∠CND＝90°，且BD＝CD∴BN＝NC＝4（2）∵∠ACB＝90°，D为斜边的中点，∴CD＝DA＝DB＝AB，∴∠BCD＝∠B，∵OC＝ON，∴∠BCD＝∠ONC，∴∠ONC＝∠B，∴ON∥AB，∵NE⊥AB，∴ON⊥NE，∴NE为⊙O的切线．26．【解答】解：（1）如图1中，设CE＝EC′＝x，则DE＝1﹣x，∵∠ADB′+∠EDC′＝90°，∠B′AD+∠ADB′＝90°，∴∠B′AD＝∠EDC′，∵∠B′＝∠C′＝90°，AB′＝AB＝1，AD＝，∴DB′＝＝，∴△ADB′∽△DEC′，∴＝，∴＝，∴x＝﹣2．∴CE＝﹣2．（2）如图2中，∵∠BAD＝∠B′＝∠D＝90°，∠DAE＝22.5°，∴∠EAB＝∠EAB′＝67.5°，∴∠B′AF＝∠B′F A＝45°，∴∠DFG＝∠AFB′＝∠DGF＝45°，∴DF＝DG，在Rt△AB′F中，AB′＝FB′＝1，∴AF＝AB′＝，∴DF＝DG＝﹣，∴S△DFG＝（﹣）2＝﹣．（3）如图3中，点C的运动路径的长为的长，在Rt△ADC中，∵tan∠DAC＝＝，∴∠DAC＝30°，AC＝2CD＝2，∵∠C′AD＝∠DAC＝30°，∴∠CAC′＝60°，∴的长＝＝π．27．【解答】解：（1）与y轴交点：令x＝0代入直线y＝4x+4得y＝4，∴B（0，4），∵点B向右平移5个单位长度，得到点C，∴C（5，4）；（2）与x轴交点：令y＝0代入直线y＝4x+4得x＝﹣1，∴A（﹣1，0），∵点B向右平移5个单位长度，得到点C，将点A（﹣1，0）代入抛物线y＝ax2+bx﹣3a中得0＝a﹣b﹣3a，即b＝﹣2a，∴抛物线的对称轴x＝﹣＝﹣＝1；（3）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）且对称轴x＝1，由抛物线的对称性可知抛物线也一定过A的对称点（3，0），①a＞0时，如图1，将x＝0代入抛物线得y＝﹣3a，∵抛物线与线段BC恰有一个公共点，∴﹣3a＜4，a＞﹣，将x＝5代入抛物线得y＝12a，∴12a≥4，a≥，∴a≥；②a＜0时，如图2，将x＝0代入抛物线得y＝﹣3a，∵抛物线与线段BC恰有一个公共点，∴﹣3a＞4，a＜﹣；③当抛物线的顶点在线段BC上时，则顶点为（1，4），如图3，将点（1，4）代入抛物线得4＝a﹣2a﹣3a，解得a＝﹣1．综上所述，a≥或a＜﹣或a＝﹣1．。

2020届江苏省南京师大附中高三上学期12月月考数学试题(解析版)

2020届江苏省南京师大附中高三上学期12月月考数学试题一、填空题1．函数y =_______.【答案】[1,)+∞【解析】根据被开方数是非负数，解不等式即可. 【详解】要使得函数有意义，则10x -≥，解得[)1,x ∈+∞.故答案为：[)1,+∞. 【点睛】本题考查具体函数的定义域，涉及被开方数是非负的求解，属基础题.2．已经复数z 满足(2)1z i i -=+（i 是虚数单位），则复数z 的模是________．【解析】【详解】(2)1z i i -=+Q ，11323,i iz i i i++∴=+==-z =.3．某算法的流程图如图所示，则物出的n 的值为_______．【答案】4【解析】循环代入n p 、的值，直到10p >时输出p 的值. 【详解】第一次循环：2,5n p ==；第二次循环：3,10n p ==；第三次循环，4,17n p ==，此时满足10p >可退出循环得：4n =. 【点睛】本题考查程序框图循环结构中的判断问题，难度较易.程序框图问题主要是两种处理方法：（1）逐步列举，将退出循环前的情况依次列举；（2）根据循环结构中的特殊形式简化运算.4．某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40，50），［50，60)，［60，70)，［70，80），［80，90），［90，100〕，则图中x 的值为_______【答案】0.018【解析】根据频率和为1来计算x 的值. 【详解】因为(0.00630.010.054)101x ⨯+++⨯=，所以0.018x =. 【点睛】本题考查频率分布直方图中频率总和为1这一知识点，难度较易.5．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自选择其中一个参加，且每位同学参加各个兴趣小组的可能性相同，则这两位同学参加了不同的兴趣小组的概率为______ 【答案】23【解析】甲、乙参加了不同的兴趣小组的可能数与可能的情况总数的比值即为对应概率. 【详解】甲、乙参加了不同的兴趣小组的情况有23A =6种，总的可能情况有339⨯=种，则概率62=93P =.【点睛】本题考查古典概型的概率计算，难度较易.古典概型的概率计算公式为：P =待求事件包含的基本事件个数可能出现的事件总数.6．把一个底面半径为3cm ，高为4 cm 的钢质实心圆柱熔化，然后铸成一个实心钢球(不计损耗），则该钢球的半径为_______cm 【答案】3【解析】根据熔化前后的体积不变求解钢球的半径即可. 【详解】圆柱体积：=94=36V ππ⨯⨯圆柱，球的体积：34=3V r π球，所以34363r ππ=，解得3r =.【点睛】圆柱的体积公式：2V r h π=；球的体积公式：343V r π=. 7．在平面直角坐标系xoy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条准线与两条渐近线恰能围成一个等边三角形，则该双曲线的离心率为______．【答案】3【解析】根据准线与两条渐近线恰能围成一个等边三角形得到渐近线的斜率，然后再计算离心率的值. 【详解】由题意可知其中一条渐近线倾斜角为：30︒，所以tan 30b a =︒=3c e a ===.【点睛】本题考查双曲线的离心率计算，难度较易.求解离心率的时候如果涉及到几何图形，可借助几何图形的特点去分析问题. 8．若函数()2sin()(0)6f x x πωω=->的最小正周期为π，则当[0,]2x π∈时，()f x 的值域为_______．【答案】［－1，2］【解析】先根据最小正周期求出ω的值，再利用给定区间分析函数()f x 的最值. 【详解】因为2||T ππω==，所以2ω=，则()2sin(2)6f x x π=-；又[0,]2x π∈ ，所以5(2)[,]666x πππ-∈-，则max ()2sin22f x π==，min ()2sin()16f x π=-=-. 所以()f x 的值域为：[1,2]-. 【点睛】本题考查三角函数的周期以及值域，难度较易.对于求解()sin()f x A x ωϕ=+在给定区间D 上的值域：先分析x D ∈时，x ωϕ+的范围，再根据sin y x =的单调性求解()f x 的值域.9．若锐角α满足tan （α＋4π）＝3tanα＋1，则tan 2α的值为_____．【答案】34【解析】先计算tan α的值，再利用二倍角公式计算2tan α的值. 【详解】由题意可知：1tan 3tan 11tan ααα+=+-，则1tan 3α=或tan 0α=（舍，α为锐角），则22122tan 33tan 211tan 41()3ααα⨯===--. 【点睛】常用的二倍角公式：2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-，sin 22sin cos ααα=，22tan tan21tan ααα=-.10．已知函数2(),||2x f x x R x +=∈+，则()22(34)f x x f x -<-的解集是______.【答案】(1,2)【解析】讨论x 的值，去掉绝对值，作出函数图像，由图象可得原不等式234020x x x -⎧⎨-<⎩…或2234020234x x x x x x -<⎧⎪-<⎨⎪-<-⎩，分别求出它们，再求并集即可. 【详解】根据题意，当0x …时，1()11x f x x +==+，当0x <时，12()111x f x x x +==----由函数()f x 的图象可得()f x 在(,0)-∞上递增，不等式()22(34)f x x f x -<-即为234020x x x -⎧⎨-<⎩…或2234020234x x x x x x -<⎧⎪-<⎨⎪-<-⎩，化简得4302x x ⎧⎪⎨⎪<<⎩…或430214x x x ⎧<⎪⎪<<⎨⎪<<⎪⎩，解得423x <„或413x <<，即12x <<，故解集为(1,2)。

南京市南师附中2023年九上月考数学试卷+答案

南京市南京师范大学附属中学树人学校2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试卷注意事项：1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．3．答选择题必须用2B 铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 4．作图必须用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡．．．相应位置．．．．上）1．将一元二次方程2x 2＋7＝9x 化成一般式后，二次项系数和一次项系数分别为A ．2，9B ．2，7C ．2，－9D ．2x 2，－9x2．下列说法：①三点确定一个圆；②等腰三角形的外心一定在三角形内；③长度相等的弧是等弧；④圆的切线垂直于半径．其中正确的有（） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个3．如图，数轴上点A 、B 表示方程(3x －9)2－37＝0的两个根a 、b （a ＞b ），它们在数轴上的对应点的位置可以是 A ．B ．C ．D ．4．若自行车的车轮形如正方形，使车轮能平稳行驶，则地面形状大致为A ．B ．C ．D ．AB 0A B 0AB 0AB5．如图，PA 、PB 分别为⊙O 1、⊙O 2的切线，切点为A 、B ，连接AB 交⊙O 1、⊙O 2于C 、D ．若∠AO 1C ＝60°，∠BO 2D ＝40°，则∠P 的度数为A ．128°B ．129°C ．130°D ．131°6．如图，7×5的网格中的小正方形的边长都相等，小正方形的顶点叫格点，△ABC 的三个顶点都在格点上，过点C 作△ABC 外接圆的切线，则该切线经过的格点个数是 A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相．．．．应位置．．．上） 7．某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额共282万元．设二、三月份每月的平均增长率为x ，则根据题意列出的方程是 ▲ ．8．设x 1、x 2是方程x 2－5x ＋m ＝0的两个根．若x 1＋x 2－x 1x 2＝2，则m ＝ ▲ ． 9．已知⊙O 的半径是3．若OP ＝3，过点P 的直线记为l ，则圆心O 到直线l 的距离d 的取值范围是 ▲ ．10．如图，点A ，B ，C 在⊙O 上．若∠A ＝24°，则∠O ＝ ▲ °．11．如图，⊙O 的弦AB 、半径OC 延长线交于点D ，且BD ＝OA ．若∠AOC ＝105°，则∠D ＝ ▲ °．（第5题）（第6题）O 1PABO 2C D A CBAOBCODABC（第10题）（第11题）12．下表是某同学求代数式ax 2＋bx （a ，b 为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知方程ax 2＋bx ＝6的根是 ▲ ．x －2 －1 0 1 2 3 … ax 2＋bx6226…13．如图，在⊙O 中，P 为弦AB 与弦CD 的交点．若∠APC ＝84°，⌒AC的度数为74°，则⌒BD 的度数为 ▲ °．14．如图，点C 是AE 的中点，在AE 同侧分别以AC 、CE 为直径作半⊙B 、半⊙D ．直线l ∥AE ，与两个半圆依次相交于F 、M 、N 、G 不同的四点．若AE ＝10，FG ＝x ，MN ＝y ，则y 与x 之间的函数表达式为 ▲ ．15．如图，在正方形ABCD 中，点P 、Q 为以A 为圆心，AB 为半径的圆弧上两点，过P 、Q 向CD 作垂线，垂足分别为E 、F ，向CB 作垂线，垂足分别为M 、N ，PM 、QF 交于点H ．若四边形EPHF ，HFCM ，HMNQ 均是边长为3的正方形，则AB ＝ ▲ ．16．如图，已知⊙O 和射线AB ，∠OAB ＝90°，动点P 在⊙O 上，动点Q 在射线AB 上，PQ ＝32 cm ．若AQ 的最小值为20 cm ，最大值为36 cm ，则⊙O 的半径为 ▲ cm ．ABCDOPACEG N M F lBD（第14题）（第13题）（第16题）（第15题）ABCDPQ NMFE H ABQOP三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）解方程：（1）x 2－6x ＋3＝0；（2）x (x －2)＝x －2．18．（7分）如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，延长AD 、BC 交于点E ，∠DCB ＝100°，∠B ＝50°．求证：△CDE 是等腰三角形．19．（7分）如图，四边形ABCD 是平行四边形，⊙O 是△ACD 的外接圆，∠CAP＝∠B ．求证：直线AP 与⊙O 相切．20．（7分）等腰直角△ABC 中，AB ＝BC ＝8 cm ，动点P 从A 点出发，沿AB 向B移动．过点P 作平行于BC ，AC 的直线与AC ，BC 分别交于R 、Q ．当□PQCR 的面积等于16 cm 2时，求AP 的长．21．（8分）已知关于x 的一元二次方程x 2＋mx ＋n ＋1＝0的一根为2．（1）用m 的代数式表示n ；（2）求证：关于y 的一元二次方程y 2＋my ＋n ＝0总有两个不相等的实数根．A BCDEO（第18题） BCDAOP（第19题）RQPC B A （第20题）22．（8分）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在圆上，D 是CA 延长线上一点，∠BAD的平分线交⊙O 于点E ．不使用圆规，请你仅用．．一把不带刻度的直尺作出∠BAC 的平分线，并说明理由．23．（8分）如图，在以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 、AC 切小圆于点M 、N ．（1）求证AB ＝AC ；（2）若两圆半径分别为3和5，则BC ＝ ▲ ．24．（9分）如图，AB 是⊙O 的弦，半径OD ⊥AB ，垂足为H ，BC ⊥AB ，交AD 延长线于点C ．（1）求证：D 是AC 的中点；（2）若AB ＝6，AC ＝213，求⊙O 的半径．25．（8分）第19届亚运会于9月23日在杭州盛大开幕，亚运会吉祥物“江南忆”由三只灵动的机器人组成．某电商在对一款成本价为40元的亚运会吉祥物进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件售价每降低5元，日销售量增加10件．如果日利润保持不变，商家想尽快销售完该款亚运会吉祥物造型商品，每件售价应定为多少元？ABCDEO （第22题）OABCMN（第23题） OAB CDH（第24题）26．（9分）如图，一个边长为8 m 的正方形花坛由4块全等的小正方形组成．在小正方形ABCD 中，点G ，E ，F 分别在CD ，AD ，AB 上，且DG ＝1 m ，AE ＝AF ＝x ，在△AEF ，△DEG ，五边形EFBCG 三个区域上种植不同的花卉，每平方米的种植成本分别是20元、20元、10元．（1）五边形EFBCG 的面积为 ▲ ．（结果用含有x 的代数式表示）（2）当x 为何值时，大正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元？27．（9分）（1）如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，O 是AB 上一点．求作⊙O ，使得⊙O 过点A ，且与BC 相切．要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图痕迹，写出必要的文字说明．（2）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠CBA ＝30°，AC ＝1，D 是边AB 上一点（点D 与点A 不重合）．若在Rt △ABC 的直角边上存在不同的点分别和点A 、D 构成直角三角形，直接写出不同的点的个数及对应的AD 的长的取值范围．ABFG D CE （第26题）A CB AC B AC B（第27题）（备用图1）（备用图2）九年级数学学科作业参考答案及评分标准说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分．一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）题号 1 2 3 4 5 6答案 C A D C C C二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）7．200(1＋x)2＝282 8．3 9．0≤d≤3 10．48 11．2512．x1＝－2，x2＝3 13．94 14．y＝10－x15．15 16．7三、解答题（本大题共11小题，共88分）17．（本题8分）解：（1）移项，得x2－6x＝－3．配方，得x2－6x＋9＝－3＋9，(x－3)2＝6．··········································································· 2分由此可得x－3＝±6，∴x1＝3＋6，x2＝3－6．····································································· 4分（2）x(x－2)－(x－2)＝0，(x－2) (x－1)＝0．···················································································· 6分x－2＝0或x－1＝0，∴x1＝2，x2＝1．·················································································· 8分18．（本题7分）证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠CDA＋∠B＝180°．∵∠B＝50°，∴∠CDA＝180°－50°＝130°．································································· 2分∴∠CDE＝180°－∠CDA＝180°－130°＝50°． ············································ 3分∵∠DCB＝100°，∴∠CDE＋∠E＝100°．∴∠E＝50°．······················································································· 6分∴∠E＝∠CDE．∴CD＝CE．∴△CDE是等腰三角形．······································································· 7分19．（本题7分）证明：连接AO 并延长交⊙O 于E ，连接CE ．∴ ∠ACE ＝90°．∴ ∠E ＋∠EAC ＝90°． ··········································································· 2分 ∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴ ∠B ＝∠D ． ∵ ⌒AC＝ ⌒AC ， ∴ ∠E ＝∠D ． ∵ ∠CAP ＝∠B ，∴ ∠CAP ＝∠E ． ·················································································· 4分 ∵ ∠E ＋∠EAC ＝90°， ∴ ∠CAP ＋∠EAC ＝90°．∴ ∠OAP ＝90°． ··················································································· 6分 ∴ OA ⊥OP ． ∵ 点A 在⊙O 上，∴ PC 是⊙O 的切线． ············································································ 7分20．（本题7分）解：设动点P 从A 点出发移动x cm 时，□PQCR 的面积等于16 cm 2．根据题意，得x (8－x )＝16． ······································································· 4分解这个方程，得x 1＝x 2＝4．答：当□PQCR 的面积等于16 cm 2时，AP 的长为4 cm ． ································ 7分21．（本题8分）解：（1）∵ 2为一元二次方程x 2＋mx ＋n ＋1＝0的一根，∴ 4＋2m ＋n ＋1＝0． ············································································· 1分 ∴ n ＝－2m －5． ··················································································· 3分（2）∵ b 2－4ac ＝m 2－4n ＝m 2－4(－2m －5)＝m 2＋8m ＋20 ······························· 5分＝(m ＋4)2＋4＞0． ······························································ 7分∴ 关于y 的一元二次方程y 2＋my ＋n ＝0总有两个不相等的实数根． ················ 8分22．（本题8分）作法：1．作直径EF 交⊙O 于F ； ···································································· 2分 2．连接AF ，则AF 是∠BAC 的平分线． ······················································ 3分理由是：∵ EF 是⊙O 的直径，∴ ∠EAF ＝90°．BC D AOPEA B C DEOF即 ∠EAO ＋∠OAF ＝90°． ∵ AE 平分∠BAD ， ∴ ∠DAE ＝∠EAO ． ∴ ∠CAF ＝∠OAF ．∴ AF 是∠BAC 的平分线． ······································································ 8分23．（本题8分）解：（1）连接OM 、ON 、OA ． ····································································· 1分∵ 大圆的弦AB 、AC 分别切小圆于点M 、N ， ∴ OM ⊥AB ，ON ⊥AB ，OM ＝ON ．∴ ∠AMO ＝∠ANO ＝90°，AM ＝12AB ，AN ＝12AC ．∵ OA ＝OA ， ∴ △AMO ≌△ANO ． ∴ AM ＝AN ．∴ AB ＝AC ． ···················································································· 6分（2）9.6． ··························································································· 8分（直接用切线长定理不扣分）24．（本题9分）证明：如图，连接BD ．∵ AB 是⊙O 的弦，半径OD ⊥AB ， ∴ D 是 ⌒AB 的中点． ∴ ⌒AD＝ ⌒BD ． ∴ AD ＝BD ． ························································································ 2分∴ ∠BAD ＝∠ABD ． ∵ BC ⊥AB ， ∴ ∠ABC ＝90°．∴ ∠BAD ＋∠C ＝90°，∠ABD ＋∠DBC ＝90°． ∴ ∠C ＝∠DBC ． ∴ BD ＝CD ． ∴ AD ＝CD ．即D 为AC 的中点． ················································································· 5分（2）如图，连接OA ．∵ 半径OD ⊥AB ，垂足为H ，AB ＝6， ∴ AH ＝3．∵ D 是AC 的中点，AC ＝213， ∴ AD ＝13．OA BCM NO AB CD H∴ DH ＝2． ·························································································· 6分在Rt △OAF 中，OH 2＋AH 2＝OA 2．设OD ＝OA ＝r ，则OH ＝r －2，∴ (r －2)2＋32＝r 2． ··············································································· 8分 ∴ r ＝134．即⊙O 的半径为134． ················································································· 9分25．（本题8分）解：设每件售价应定为x 元，根据题意，得(x －40)(140－2x )＝(60－40)×20． ············································· 4分整理，得x 2－110x ＋3000＝0，解这个方程，得x 1＝50，x 2＝60． ······························································· 7分 ∵ 商家想尽快销售完该款亚运会吉祥物造型商品， ∴ x 2＝60不合题意，舍去．答：每件售价应定为50元． ······································································ 8分26．（本题9分）解：（1）－12x 2＋12x ＋14． ················································································ 2分（2）根据题意，得4×[20×12x 2＋20×(2－12x )＋10×(－12x 2＋12x ＋14)]＝715． ········ 6分整理，得4x 2－4x ＋1＝0．解这个方程，得x 1＝x 2＝12． ······································································· 8分答：当AE ＝AF ＝12米时，正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元．27．（本题9分）解：（1）作△BAC 的角平分线AM ； ·································································· 2分过点M 作MO ⊥BC ，MO 与AB 交于点O ； ··················································· 4分以O 为圆心，OA 为半径作圆，则⊙O 为所求作圆． ······································· 5分（2）当存在2个点时，0＜AD ＜43；当存在3个点时， AD ＝43；当存在4个点时，43＜AD ＜2；当存在1个点时，AD ＝2． ········································································ 9分。

2020-2021学年江苏省南京师大附中树人学校九年级(下)月考数学试卷(3月份)(附答案详解)

2020-2021学年江苏省南京师大附中树人学校九年级（下）月考数学试卷（3月份）1.8的立方根为()A. 2√2B. ±2√2C. 2D. ±22.下列计算错误的是()A. (−3ab2)2=9a2b4B. −6a3b÷3ab=−2a2C. a2b3⋅4a2b=4a4b4D. (a2)3+(−a3)2=03.如图，一、二两组同学将本组最近5次数学平均成绩分别绘制成折线统计图.由统计图可知，成绩进步幅度大的组是()A. 一组B. 二组C. 一组、二组进步幅度一样大D. 无法判断4.关于x的一元二次方程x2−(4−m)x+m=0的两个实数根分别为x1，x2，且x1+x2=5，则x1x2的值是()A. 1B. −1C. 5D. 05.如图是由5个立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上的小立方块的个数，则这个几何体的主视图是()A. B. C. D.6.如图，半径为3的⊙O内有一点A，OA=√3，点P在⊙O上，当∠OPA最大时，S△OPA等于()A. 32 B. 32√2 C. 32√3 D. 17. −2的相反数是______，−2的倒数是______．8. “北斗三号”最后一颗全球组网卫星的授时精度小于0.00000002秒，则0.00000002用科学记数法表示为______ ． 9. 计算：√12×√8=______．10. 化简：x 2+1x 2−1−xx+1= ______ ． 11. 关于x 的不等式组{2x +1>3a −x >1的解集为1<x <3，则a 的值为______．12. 已知{x =2y =−3是方程组{ax +by =2bx +ay =3的解，则a 2−b 2=______．13. 某航班每次约有100名乘客，一次飞行中飞机失事的概率约为P =0.00005.一家保险公司要为乘客保险，承诺飞机一旦失事，向每位乘客赔偿40万元人民币.平均来说，保险公司应收取的保险费至少为每人______ 元才能确保不亏本.(实际上，飞机失事的概率远低于0.00005)14. 圆锥的底面半径为2，母线长为6，圆锥的表面积为______ ． 15. 如图，AB 是⊙O 的弦，点C 在过点B 的切线上，OC ⊥OA 于点O ，OC 交AB 于点P.若∠BPC =70°，则∠BCO 的度数等于______ °.16. 二次函数y =−x 2+2mx +n(m,n 是常数)的图象与x 轴两个交点及顶点构成等边三角形，若将这条抛物线向下平移k 个单位后(k >0)，图象与x 轴两个交点及顶点构成直角三角形，则k 的值是______． 17. 解答．(1)计算：(x +3)2−(x +3)(x −3)． (2)解方程：xx−3=2−33−x ．18.学校开展“书香校园”活动以来，受到同学们的广泛关注，学校为了解全校学生课外阅读的情况，随机调查了部分学生在一周内借阅图书的次数，并制成如图不完整的统计表．学生借阅图书的次数统计表借阅图书的次数0次1次2次3次4次及以上人数713a103请你根据统计图表中的信息，解答下列问题：(1)a=______，b=______．(2)该调查统计数据的中位数是______，众数是______．(3)请计算扇形统计图中“3次”所对应扇形的圆心角的度数；(4)若该校共有2000名学生，根据调查结果，估计该校学生在一周内借阅图书“4次及以上”的人数．19.利用抽签的方法从水平相当的3名同学中选1名同学去参加实心球比赛：先准备3张相同的纸条，并在其中1张纸条上画上记号，其余2张纸条不画记号.再把这3张纸条放在一个不透明的盒子中搅匀，然后让这3名同学先后从中各抽取一张纸条(抽出的纸条不放回)，抽到纸条上画有记号的同学将去参加比赛.先抽的人与后抽的人中签的概率一样吗？请用画树状图求概率的方法说理．(注：将3张相同的纸条分别标记为a，b，c，其中纸条a是有记号的，3名同学分别用甲、乙、丙表示)20.如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．(1)若a=20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长．(2)若a=40，求矩形菜园ABCD面积的最大值．21.解答下列问题．(1)如图，A(−1,3)，B(0,1)，求射线BA对应的函数表达式．(2)射线BA______ (填“是”或“不是”)函数y=|x−1|+|x|的图象的一部分．(3)直接画出函数y=|x−1|+|x|的图象．(4)若不等式|x−1|+|x|<a无解，则a的取值范围是______ ．22.如图，已知点M，O，N在同一直线上，OB，OC分别是∠AOM与∠AON的平分线，AB⊥OB，AC⊥OC，垂足分别为B，C，连接BC交AO于点E．(1)求证：四边形ACOB是矩形．(2)猜想BC与MN的位置关系，并证明你的结论．23.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，点D在AB的延长线上，且BD=3，过点D作DE⊥AD，交AC的延长线于点E，以DE为直径的⊙O交AE 于点F，交CD于点G.求⊙O的半径并证明G是CD的中点．24.如图，某海岸边有B，C两码头，C码头位于B码头的正东方向，距B码头60海里.甲、乙两船同时从A岛出发，甲船向位于A岛正北方向的B码头航行，乙船向位于A岛北偏东37°方向的C码头航行，当甲船到达距B码头40海里的E处时，乙船位于甲船北偏东60°方向的D处，求此时乙船与C码头之间的距离(结果精确到0.1海里)．(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin23°≈0.39，cos23°≈0.92，tan23°≈0.42，√3≈1.732)25.如图，将△ACD绕点C沿顺时针方向旋转90°得到△BCE，此时点B，D，E在同一直线上，设BC与AD交于点O，连接AB．(1)证明AD⊥BD．(2)若AC=BC=4，DC=CE=√2，求OA的长．26.如图1，若△DEF的三个顶点D，E，F分别在△ABC各边上，则称△DEF是△ABC的内接三角形．(1)如图2，点D，E，F分别是等边三角形ABC各边上的点，且AD=BE=CF，则△DEF是△ABC的内接______ ．A.等腰三角形B.等边三角形C.等腰三角形或等边三角形D.直角三角形(2)如图3，已知等边三角形ABC，请作出△ABC的边长最小的内接等边三角形DEF.(保留作图痕迹，不写作法)(3)问题：如图4，△ABC是不等边三角形，点D在AB边上，是否存在△ABC的内接等边三角形DEF？如果存在，如何作出这个等边三角形？①探究1：如图5，要使△DEF是等边三角形，只需∠EDF=60°，DE=DF.于是，我们以点D为角的顶点任作∠EDF=60°，且DE交BC于点E，DF交AC于点F．我们选定两个特殊位置考虑：位置1(如图6)中的点F与点C重合，位置2(如图7)中的点E与点C重合.在点E由位置1中的位置运动到位置2中点C的过程中，DE逐渐变大而DF逐渐变小后再变大，如果存在某个时刻正好DE=DF，那么这个等边三角形DEF就存在(如图8).理由：______ 是等边三角形．②探究2：在BC上任取点E，作等边三角形DEF(如图9)，并分别作出点E与点B、点C重合时的等边三角形DBF′和DCF″.连接FF′，FF″，证明：FF′+FF″=BC．③探究3：请根据以上的探究解决问题：如图10，△ABC是不等边三角形，点D 在AB边上，请作出△ABC的内接等边三角形DEF.(保留作图痕迹，不写作法27. 阅读：(1)若a <b ，则2a −3<2b −3，简述理由：小明的解法：∵a <b ，∴2a <2b ，(不等式性质2：______ )， ∴2a −3<2b −3，(不等式性质1)．小亮的解法：令y =2x −3， ∵k =2>0，∴y 随x 的增大而增大． ∵a <b ，∴2a −3<2b −3．小敏的解法：∵a <b ，观察函数y =2x −3的图象可知，图象上点(a,2a −3)在点(b,2b −3)的左边，而图象由左往右呈上升趋势， ∴2a −3<2b −3．(2)若a <b <0，请用两种不同的方法比较−2a 与−2b 的大小． (3)若a <b <0，比较(a +2)2+1与(b +2)2+1的大小，简述理由． (4)若a <b <0，且a ≠−2，b ≠−2，直接写出−2a+12a+4与−2b+12b+4的大小关系．答案和解析1.【答案】C【解析】解：8的立方根是√83=√233=2，故选：C ．根据立方根的定义求出√83的值，即可得出答案．本题考查了对立方根的定义的理解和运用，注意：a 的立方根是√a 3．2.【答案】D【解析】解：A 、原式=9a 2b 4，故A 选项正确． B 、原式=−2a 2，故B 选项正确． C 、原式=4a 4b 4，故C 选项正确． D 、原式=a 6+a 6=2a 6，故D 选项错误．故选：D ．根据整式的运算法则即可求出答案．本题考查整式的运算法则，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．3.【答案】A【解析】解：由统计图可知，一组从开始的70分进步到了90，进步了20分，二组从开始的70分进步到了85，进步了15分，所以一组的进步幅度大，故选：A ．根据统计结果，一组从开始的70分进步到了90，二组从开始的70分进步到了85，两者比较即可得出答案．本题主要考查统计图的读图能力，能根据图分析出数据的变化情况是做本题的关键，4.【答案】B【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2−(4−m)x+m=0的两个实数根分别为x1，x2，∴x1+x2=4−m，x1⋅x2=m，又x1+x2=5，∴4−m=5，∴m=−1，则x1⋅x2=−1，故选：B．由方程的系数结合根与系数的关系，即可得出x1+x2=4−m，x1⋅x2=m，代入x1+ x2=5可以得到关于m的方程，然后解方程即可．本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba ，x1x2=ca．5.【答案】A【解析】解：从正面看去，一共三列，左边有1竖列，中间有2竖列，右边是1竖列，主视图是．故选：A．先细心观察原立体图形中正方体的位置关系，从正面看去，一共三列，左边有1竖列，中间有2竖列，右边是1竖列，结合四个选项选出答案．本题考查了由三视图判断几何体及简单组合体的三视图，重点考查几何体的三视图及空间想象能力．6.【答案】B【解析】解：如图所示：∵OA、OP是定值，∴PA⊥OA时，∠OPA最大，在直角三角形OPA中，OA=√3，OP=3，∴PA=√OP2−OA2=√6，∴S△OPA=12OA⋅AP=12×√3×√6=32√2．故选：B．当PA⊥OA时，∠OPA取得最大值，在直角三角形OPA中利用勾股定理求PA的值，再根据三角形的面积公式即可得出答案．本题考查了解直角三角形．解答此题的关键是找出“当PA⊥OA时，∠OPA最大”这一隐含条件．7.【答案】2 −12【解析】【分析】本题考查根据相反数和倒数的定义分别进行求解即可．，此题考查了相反数和倒数，只有符号不同的两个数互为相反数；a(a≠0)的倒数为1a是一道基础题．【解答】解：−2的相反数是2；−2的倒数是−1；2．故答案为：2，−128.【答案】2×10−8【解析】解：0.00000002=2×10−8．故答案为：2×10−8．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．9.【答案】2【解析】解：原式=√12×8=√4=2．故答案为：2．先进行二次根式的乘法计算，然后化简就可以得出．本题考查了二次根式的乘除法计算，运用了公式√a×√b=√ab的计算，化简最简二次根式的方法的运用.本题是基础题，解答并不难．10.【答案】1x−1【解析】解：x2+1x2−1−xx+1=x2+1x2−1−x2−xx2−1=(x2+1)−(x2−x)x2−1=x+1x2−1=1x−1．故答案为：1x−1．首先通分，然后根据同分母分式的加减法的运算方法计算即可．此题主要考查了分式加减法的运算方法，要熟练掌握同分母、异分母分式加减法法则．11.【答案】4【解析】解：{2x+1>3 ①a−x>1 ②∵解不等式①得：x>1，解不等式②得：x<a−1，∵不等式组{2x+1>3a−x>1的解集为1<x<3，∴a−1=3，∴a=4故答案为：4．求出不等式组的解集，根据已知得出a−1=3，从而求出a的值．本题考查了一元一次不等式组，解一元一次方程的应用，关键是能求出a −1=3．12.【答案】1【解析】解：∵{x =2y =−3是方程组{ax +by =2bx +ay =3的解，∴{2a −3b =2①2b −3a =3②，解得，①−②，得 a −b =−15， ①+②，得 a +b =−5，∴a 2−b 2=(a +b)(a −b)=(−5)×(−15)=1，故答案为：1．根据{x =2y =−3是方程组{ax +by =2bx +ay =3的解，可以求得a +b 和a −b 的值，从而可以解答本题．本题考查二元一次方程组的解，解答本题的关键是明确二元一次方程组的解得意义，巧妙变形，利用平方差公式解答．13.【答案】20【解析】解：每次约有100名乘客，如飞机一旦失事，每位乘客赔偿40万人民币，共计4000万元，一次飞行中飞机失事的概率为P =0.00005，故赔偿的钱数为40000000×0.00005=2000元，故至少应该收取保险费每人2000100=20元，故答案为：20．先求出飞机失事时保险公司应赔偿的金额，再根据飞机失事的概率求出赔偿的钱数即可解答．此题考查了利用概率的求法估计总体个数，利用如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P(A)=mn 是解题关键．14.【答案】16π【解析】解：圆锥的底面周长=4πcm，圆锥的侧面积=12lr=12×4π×6=12πcm2，底面积为4πcm2，表面积为12π+4π=16πcm2，故答案为：16π．先求得圆锥的底面周长，再根据圆锥的侧面积等于12lr，求出圆锥的侧面积，根据圆锥的表面积等于侧面积+底面积计算即可．本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．15.【答案】40【解析】解：∵OC⊥OA，∴∠AOC=90°，∵∠APO=∠BPC=70°，∴∠A=90°−∠APO=20°，∵OB=OA，∴∠OBA=∠A=20°，∵BC为⊙O的切线，∴OB⊥BC，∴∠OBC=90°，∴∠PBC=∠OBC−∠OBA=90°−20°=70°，∵∠BCP+∠BPC+∠PBC=180°，∴∠BCP=180°−70°−70°=40°．故答案为40．先利用垂直的定义、对顶角的性质和计算出∠A=20°，则∠OBA=20°，再根据切线的性质得到∠OBC=90°，则可计算出∠PBC=70°，然后根据三角形内角和计算∠BCP的度数．本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．16.【答案】2【解析】【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b，c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质、等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质．先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为(m,m2+n)，根据抛物线与x轴的两交点的连线段的长度公式得到抛物线y=−x2+2mx+n(m,n是常数)的图象与x轴两个交点的距离为2√m2+n，根据等边三角形的性质得m2+n=√32⋅2√m2+n，解得m2+n=3，则此时抛物线的顶点的纵坐标为3；根据等腰直角三角形的性质得m2+n=12⋅2√m2+n，解得m2+n=1，则此时抛物线的顶点的纵坐标为1，从而得到k的值．【解答】解：∵y=−x2+2mx+n=−(x−m)2+m2+n，∴抛物线的顶点坐标为(m,m2+n)，抛物线与x轴的两交点的连线段的长度=√b2−4ac|a|=√4m2−4×(−1)×n|−1|=2√m2+n，当抛物线与x轴两个交点及顶点构成等边三角形时，m2+n=√32⋅2√m2+n，所以m2+n=3，此时抛物线的顶点的纵坐标为3；当抛物线与x轴两个交点及顶点构成等腰直角三角形时，m2+n=12⋅2√m2+n，所以m2+n=1，此时抛物线的顶点的纵坐标为1；∴k=3−1=2．故答案为2．17.【答案】解：(1)原式=x2+6x+9−(x2−9)=x2+6x+9−x2+9=6x+18；(2)方程两边都乘以(x−3)得：x=2(x−3)+3，解得：x=3，检验：当x=3时，x−3=0，∴x=3是原方程的增根，原方程无解．【解析】(1)根据完全平方公式和平方差公式化简即可；(2)解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．本题考查了平方差公式，完全平方公式，解分式方程，解题时注意运算顺序．18.【答案】17 20 2次2次【解析】解：(1)∵被调查的总人数为13÷26%=50人，×100%=20%，即b=20，∴a=50−(7+13+10+3)=17，b%=1050故答案为：17、20；(2)由于共有50个数据，其中位数为第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据均为2次，所以中位数为2次，出现次数最多的是2次，所以众数为2次，故答案为：2次、2次；(3)扇形统计图中“3次”所对应扇形的圆心角的度数为360°×20%=72°；=120人．(4)估计该校学生在一周内借阅图书“4次及以上”的人数为2000×350(1)先由1次的人数及其所占百分比求得总人数，总人数减去其他次数的人数求得a的值，用3次的人数除以总人数求得b的值；(2)根据中位数和众数的定义求解；(3)用360°乘以“3次”对应的百分比即可得；(4)用总人数乘以样本中“4次及以上”的人数所占比例即可得．本题考查的是扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．19.【答案】解：先抽的人与后抽的人中签的概率一样，画树状图如下，由树状图知，共有6种等可能结果，无论他们按怎么样的顺序抽签，抽到纸条上画有记号的概率都是13，所以先抽的人与后抽的人中签的概率一样．【解析】根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与甲、乙、丙三人抽中的情况，然后利用概率公式求得他们抽中的概率，即可得到答案．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．20.【答案】解：(1)设AB=x m，则BC=(100−2x)m，根据题意得x(100−2x)=450，解得x1=5，x2=45，当x=5时，100−2x=90>20，不合题意舍去；当x=45时，100−2x=10，答：AD的长为10m；(2)设AD=x m．∴S=12x(100−x)=−12(x−50)2+1250，∵a=40，∴x=40时，S的最大值为：−12(40−50)2+1250=−50+1250=1200(m²)．答：若a=40，矩形菜园ABCD面积的最大值为1200平方米．【解析】(1)设AB=xm，则BC=(100−2x)m，根据矩形的面积列方程即可解决问题；(2)根据矩形面积列出二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．本题考查一元二次方程、二次函数的性质等知识，解题的关键根据旧墙的长度判断函数最值．21.【答案】是 a ≤1【解析】解：(1)设射线BA 的函数关系式为y =kx +b ，将A(−1,3)，B(0,1)代入得{−k +b =3b =1，解得{k =−2b =1， ∴射线BA 的函数关系式为y =−2x +1(x ≤0)； (2)函数y =|x −1|+|x|为分段函数 ①当x −1≥0，x ≥0时，y =2x −1； ②当x −1≤0，x ≥0时，y =1； ③当x −1≤0时，y =−2x +1 ∴y ={2x −1(x ≥1)1(0≤x ≤1)−2x +1(x ≤0)，∴射线BA 是(填“是”或“不是”)函数y =|x −1|+|x|的图象的一部分．故答案为是；(3)如图，根据(2)中求得的关系式可得；(4)由图象可知y =|x −1+|x|的图象均位于y =1上方，因此，没有小于1的部分，即|x −1|+|x|≥1，因此a 取a ≤1时，不等式|x +1+|x|<a 无解，故答案为a ≤1．(1)根据待定系数法求得即可；(2)去掉绝对值求得y ={2x −1(x ≥1)1(0≤x ≤1)−2x +1(x ≤0)，即可得到结论；(3)画出函数图象即可；(4)由图象可知y =|x −1+|x|的图象均位于y =1上方，即|x −1|+|x|≥1，即可求得a ≤1．本题考查了绝对值的意义，一次函数的图象，作出函数的图象是解题的关键．22.【答案】(1)证明：∵OB ，OC 分别是∠AOM 与∠AON 的平分线，∴∠AOM =2∠AOB ，∠AON =2∠AOC ，∵点M ，O ，N 在同一直线上，∴∠AOM +∠AON =180°，∴2∠AOB +2∠AOC =180°，∴∠AOB +∠AOC =90°，∴∠BOC =90°，∵AB ⊥OB ，AC ⊥OC ，∴∠ABO =∠ACO =90°=∠BOC ，∴四边形ACOB 是矩形；(2)解：BC//MN ，证明如下：由(1)知，四边形ACOB 是矩形，∴OE =CE ，∴∠AOC =∠BCO ，∵OC 是∠AON 的角平分线，∴∠AOC =∠NOC ，∴∠BCO =∠NOC ，∴BC//MN ．【解析】(1)先利用角平分线和平角的定义，判断出∠BOC =90°再判断出∠ABO =∠ACO =90°，即可得出结论；(2)利用(1)的结论得出∠AOC =∠BCO ，再判断出∠ACO =∠NOC ，即可得出结论．本题考查了矩形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的判定以及角平分线定义等知识；熟练掌握矩形的判定和性质是解题的关键．23.【答案】解：连接DG，如图：∵∠ACB=90°，AB=5，BC=3，∴AC=√AB2−BC2=4，∵DE⊥AD，∠ACB=90°，∴∠ACB=∠ADE=90°，而∠A=∠A，∴△ACB∽△ADE，∴ACAD =BCDE，即48=3DE，解得DE=6，∴⊙O的半径为3，在Rt△ADE中，AE=√AD2+DE2=10，∴EC=AE−AC=6，∴EC=DE，∵DE是⊙O的直径，∴EG⊥CD，∴G是CD的中点．【解析】连接DG，由△ACB∽△ADE，得ACAD =BCDE，即48=3DE，即得DE=6，⊙O的半径为3，在Rt△ADE中，AE=√AD2+DE2=10，可得EC=DE，且EG⊥CD，即得G 是CD的中点．本题考查圆的性质及应用，涉及勾股定理应用，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是运用△ACB∽△ADE，求出DE的长度．24.【答案】解：过D作DF⊥BE于F，∴∠DFE=90°∵∠DEF=60°，∴∠FDE=30°，∴DE=2FE，设FE=x海里，则DE=2x海里，∴DF=√3x海里，在Rt△ADF中，∠A=37°，∴AF=DF tan37∘≈√30.75x=43√3x，AD=DFsin37∘≈√3x0.60=53√3x，在Rt△ABC中，∠A=37°，BC=60海里，∴AB=BCtan37∘≈600.75=80(海里)，AC=BCsin37∘≈600.60=100(海里)，∵BE=AB−AF+EF，∴40=80−43√3x+x，解得x=160√3+12013，∴CD=AC−AD=100−53√3×160√3+12013≈11.8(海里)．答：乙船与C码头之间的距离为11.8海里．【解析】过D作DF⊥BE于F，根据题意可得∠FDE=30°，所以DE=2FE，设FE=x 海里，则DE=2x海里，可得DF=√3x海里，再根据锐角三角函数列出方程求出x的值，进而可得结果．本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，正确的识别图形是解题的关键．25.【答案】证明：(1)∵△ACD绕点C沿顺时针方向旋转90°得到△BCE，∴∠ACB=∠DCE=90°，△ACD≌△BCE，∴∠CAD=∠CBE，∵∠CAD+∠AOC=180°−∠ACB，∠CBE+∠BOD=180°−∠ADB，∠AOC=∠BOD，∴∠ADB=∠ACB=90°，∴AD⊥BD；(2)过点C作CF⊥AD于F，∵∠ACB=∠DCE=∠ADB=90°，CD=CE=√2，∴∠CDE=45°，∴∠ADC=45°，∵CF⊥AD，∴∠CFA=∠CFD=90°，∴△CFD是等腰直角三角形，∴CF=DF=√22CD=1，∴AF=√AC2−CF2=√16−1=√15，∴AD=AF+DF=√15+1．【解析】(1)由旋转的性质可得∠ACB=∠DCE=90°，△ACD≌△BCE，由三角形内角和可求(2)过点C作CF⊥AD于F，可证△CFD是等腰直角三角形，可得CF=DF=√22CD=1，在Rt△ACF中，由勾股定理可求AF的长，即可求解．本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，求出AF的长是解题的关键．26.【答案】B有一个角是60°的等腰三角形【解析】(1)∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°，∵AD=BE=CF，∴AB−AD=BC−BE=AC−CF，∴BD=CE=AF，在△ADF和△BED中，{AD=BE ∠A=∠B AF=BD，在△ADF和△CFE中，{AD=CF ∠A=∠C AF=CE，∴△ADF≌△CFE(SAS)，∴DF=EF，∴DF=DE=EF，∴△DEF是等边三角形，故答案为：B；(2)如图所示，△ABC的边长最小的内接等边△DEF即为所求；(3)①∵DE=DF，∠EDF=60°，∴△DEF是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)，故答案为：有一个角是60°的等腰三角形；②连接FF′和FF″，∵△DBF′、△DEF、△DCF″都是等边三角形，∴DB=DF′，DE=DF，DC=DF″，∠BDF′=∠EDF=∠CDF″=60°，∴∠BDE=∠F′DF，∠EDC=∠FDF″，在△DBE和△DF′F中，{DB=DF′∠BDE=∠F′DF DE=DF，∴△DBE≌△DF′F(SAS)，∴BE=F′F，在△DEC和△DFF″中，{DE=DF∠EDC=∠FDF″DC=DF″，∴BC=BE+EC=F′F+FF″，即FF′+FF″=BC；③以BD为边作等边△BDF′，以CD为边作等边△CDF″，连接F′F″交AC于点F，连接DF，在BC上截取BE=F′F，连接DE，DF，△DEF即为所求．(1)通过已知条件判断三角形全等即可；(2)过三点作对边的垂线即可；(3)①运用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形这一定理即可；②通过证明三角形全等得到BE=F′F和EC=FF″，即可证明FF′+FF″=BC；③运用②的结论，确定等边三角形一个点F，再通过截取确定点E，即可作出所求三角形．本题考查等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质以及尺规作图，构造全等三角形是解题的关键．27.【答案】不等式两边同时乘以一个正数，不等号方向不变【解析】解：(1)不等式两边同时乘以一个正数，不等号方向不变．(2)方法1：−2a −(−2b)=−2a+2b=2b−2a=2aab−2bab=2(a−b)ab∵a<b<0，∴ab>0，a−b<0．∴2(a−b)<0．∴2(a−b)ab<0．∴−2a <−2b．方法2：令y=−2x，∵k=−2<0，∴在第二象限内，y随x的增大而增大．∵a<b<0，∴−2a <−2b．(3)令y=(x+2)2+1，则该二次函数图象的对称轴是x=−2且开口向上．∴当x<−2时，y随着x的增大而减小；当x>−2时，y随着x增大而增大．∵a<b<0，∴当a<b<−2时，(a+2)2+1>(b+2)2+1；当−2<a<b<0时，(a+2)2+1<(b+2)2+1；当a<−2<b<0时，(a+2)2+1<(b+2)2+1．(4)2a+12a+4<2b+12b+4．通过题干中运用一次函数的性质解决具有一定特点的代数式比较大小的范例，迁移为运用二次函数图形的性质、反比例函数的性质来解决比较大小，从而解决该问题．本题考查二次函数图象的特点及反比例函数图象的特点，运用函数的思想解决该类比较大小的问题．。

【20套试卷合集】江苏省南京师范大学附属中学宿迁分校2019-2020学年数学九上期中模拟试卷含答案

2019-2020学年九上数学期中模拟试卷含答案（满分150分时间120分钟）一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填在答题卷相应位置．．．．．．．上） 1．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ▲ ）2．下列计算正确的是（ ▲ ）A.C.D.3+3．下列一元二次方程有实数根的是（ ▲ ）A.x 2＋x ＋1＝0 B.x 2＋3x ＋3＝0 C.3x 2＋3x ＋1＝0 D.x 2＋3x －1＝0 4．已知四边形ABCD 是平行四边形,下列结论中正确的是( ▲ )A.当AB=BC 时,它是矩形B.当AC ⊥BD 时,它是菱形C.当∠ABC=90°时,它是菱形D.当AC=BD 时,它是正方形5．在数轴上，点A 所表示的实数为3，点B 所表示的实数为a ，⊙A 的半径为2，下列说法中不正确的是（ ▲ ）A ．当a<5时，点B 在⊙A 内 B ．当1<a<5时，点B 在⊙A 内C ．当a<1时，点B 在⊙A 外D ．当a>5时，点B 在⊙A 外 6．如图，直角坐标系中，以点A （1，0）为圆心画圆，点M （4，4）在⊙A 上，若P 为⊙A 上一点，Q 为y 轴上一点，当△PQM 为等腰直角三角形时，则这样的点Q 位置有几个（ ▲ ）A ．3B ．4C ．5D ．6二．填空题（本大题共有10小题,每小题3分,共30分.请把答案直接写在答题卷相应位置．．．．．．．上） 7= ▲ .8x 的取值范围是 ▲ . 9．梯形的高为3厘米，中位线长为5厘米，则梯形的面积为 ▲ 平方厘米． 10．关于x 的方程（m 2-m-2）x 2+mx+1=0是一元二次方程的条件是 ▲ . 11．已知实数m 是关于x 的方程2x 2－3x －1=０的一根，则代数式m 2－23m －2值为_▲__． 12．如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB 的坡比是1堤坝高BC=60m ，则应水坡面AB 的长度是= ▲ m ． 13．若()()6322222=-+++y x y x ，则22y x += ▲ .第6题图14．如图,矩形ABCD 中，35AB BC ==，．过对角线交点O 作OE AC ⊥交BC 于E 则CE 的长是= ▲ .16．如图，A 、B 、C 、三点在正方形格线的交点处.若将△ACB 绕着点A 逆时针旋转到如图位置，得到△AC′B′，使A 、C 、B′三点共线。

江苏省扬州市广陵区树人中学2019-2020学年九年级(上)第二次月考数学试卷含解析

2019-2020学年九年级（上）第二次月考数学试卷一．选择题（共8小题）1．从一副完整的扑克牌中任意抽取1张，下列事件与抽到“A”的概率相同的是（）A．抽到“大王”B．抽到“Q”C．抽到“小王”D．抽到“红桃”2．方程x（x+2）＝0的解是（）A．x＝0 B．x＝2 C．x＝0或x＝2 D．x＝0或x＝﹣2 3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝1，AC＝2，则sin A的值为（）A．B．C．D．24．把二次函数y＝3x2的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是（）A．y＝3（x+2）2+1 B．y＝3（x+2）2﹣1C．y＝3（x﹣2）2﹣1 D．y＝3（x﹣2）2+15．如图，点A、B、C在⊙O上，过点A作⊙O的切线交OC的延长线于点P，∠B＝30°，OP ＝3，则AP的长为（）A．3 B．C．D．6．对于二次函数y＝﹣x2+x﹣4，下列说法正确的是（）A．当x＞0时，y随x的增大而增大B．图象的顶点坐标为（﹣2，﹣7）C．当x＝2时，y有最大值﹣3D．图象与x轴有两个交点7．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的格点上，AB，CD相交于点E，则cos∠AEC的值为（）A．B．C．D．8．如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB＝30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点，若⊙O的半径为8，则GE+FH的最大值为（）A．8 B．12 C．16 D．20二．填空题（共10小题）9．若∠A为锐角，且tan A＝1，则∠A的度数为．10．一组数据：5、4、3、4、6、8，这组数据的中位数是．11．关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣3＝0有两个实数根，则m的取值范围是．12．如图，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝58°，则∠BCD的度数是．13．直角三角形ABC中，若tan A＝，则sin A＝．14．如图是二次函数和一次函数y2＝kx+t的图象，当y1≥y2时，x的取值范围是．15．关于x的方程ax2+bx+2＝0的两根为x1＝2，x2＝3．则方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+2＝0的两根分别为．16．已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，若关于x的一元二次方程ax2+bx+c ＝0的一个根为2，则该方程的另一个根为．17．如图，在⊙O中，C是弦AB上一点，AC＝2，CB＝4．连接OC，过点C作DC⊥OC，与⊙O 交于点D，DC的长为．18．如图，正方形ABCD中，E是BC边上一点，以E为圆心，EC为半径的半圆与以A为圆心，AB为半径的圆弧外切，则sin∠EAB的值为．三．解答题（共10小题）19．（1）解方程：x2﹣2x＝2（2）计算：2sin60°+cos45°﹣tan30°20．如图，圆O的半径为1，过点A（2，0）的直线与圆O相切于点B，与y轴相交于点C．（1）求AB的长；（2）求直线AB的解析式．21．某校为了丰富学生课余生活，计划开设以下课外活动项目：A一版画，B一机器人，C 一航模，D一园艺种植．为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查（每位学生必须选且只能选一个项目），并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：（1）这次被调查的学生共有人；扇形统计图中，选“D一园艺种植”的学生人数所占圆心角的度数是°（2）请你将条形统计图补充完整；（3）若该校学生总数为1000人，试估计该校学生中最喜欢“机器人”和最喜欢“航模”项目的总人数．22．某地铁站有3个出站口，分别为1号、2号、3号，小华和小明先后在该地铁站下车，任意选择一个出站口出站．（1）小华从1号出站口出站的概率是；（2）列表或画树状图求两人不从同个出站口出站的概率．23．如图，在△ABC中，AD是BC上的高，tan B＝cos∠DAC．（1）求证：AC＝BD；（2）若sin∠C＝，BC＝12，求AD的长．24．已知：二次函数图象的顶点坐标是（3，5），且抛物线经过点A（1，3）．（1）求此抛物线的表达式；（2）如果点A关于该抛物线对称轴的对称点是B点，且抛物线与y轴的交点是C点，求△ABC的面积．25．小刘同学在课外活动中观察吊车的工作过程，绘制了如图所示的平面图形．已知吊车吊臂的支点O距离地面的高OO'＝2米，当吊臂顶端由A点抬升至A'点（吊臂长度不变）时，地面B处的重物（大小忽略不计）被吊至B'处，紧崩着的吊缆A'B'＝AB．AB垂直地面O'B于点B，A'B'垂直地面O'B于点C，吊臂长度OA'＝OA＝10米，且cos A＝，sin A'＝．（1）求此重物在水平方向移动的距离BC；（2）求此重物在竖直方向移动的距离B'C．（结果保留根号）26．如图，已知等边△ABC中，AB＝12．以AB为直径的半⊙O与边AC相交于点D．过点D 作DE⊥BC，垂足为E；过点E作EF⊥AB，垂足为F，连接DF．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）求EF的长；（3）求sin∠EFD的值．27．如图，二次函数y＝ax2+bx的图象经过点A（2，4）与B（6，0），（1）求a，b的值（2）点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x（0＜x＜2），写出四边形ACOB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值．28．如图，点C为△ABD的外接圆上的一动点（点C不在上，且不与点B，D重合），∠ACB＝∠ABD＝45°（1）求证：BD是该外接圆的直径；（2）连结CD，求证：AC＝BC+CD；（3）若△ABC关于直线AB的对称图形为△ABM，连接DM，试探究DM2，AM2，BM2三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．从一副完整的扑克牌中任意抽取1张，下列事件与抽到“A”的概率相同的是（）A．抽到“大王”B．抽到“Q”C．抽到“小王”D．抽到“红桃”【分析】利用概率公式计算出各事件的概率，然后进行判断．【解答】解：从一副完整的扑克牌中任意抽取1张，抽到“A”的概率为＝，从一副完整的扑克牌中任意抽取1张，抽到“Q”的概率为＝．故选：B．2．方程x（x+2）＝0的解是（）A．x＝0 B．x＝2 C．x＝0或x＝2 D．x＝0或x＝﹣2 【分析】利用因式分解的方法得到x＝0或x+2＝0，然后解两个一次方程即可．【解答】解：x＝0或x+2＝0，所以x1＝0，x2＝﹣2．故选：D．3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝1，AC＝2，则sin A的值为（）A．B．C．D．2【分析】首先利用勾股定理求得AB的长度，然后利用三角函数的定义求解．【解答】解：在直角△ABC中，AB＝＝，则sin A＝＝＝．故选：A．4．把二次函数y＝3x2的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是（）A．y＝3（x+2）2+1 B．y＝3（x+2）2﹣1C．y＝3（x﹣2）2﹣1 D．y＝3（x﹣2）2+1【分析】直接利用平移规律“左加右减，上加下减”解题．【解答】解：∵二次函数y＝3x2的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位，∴y＝3（x﹣2）2﹣1．故选：C．5．如图，点A、B、C在⊙O上，过点A作⊙O的切线交OC的延长线于点P，∠B＝30°，OP ＝3，则AP的长为（）A．3 B．C．D．【分析】连接OA，根据圆周角定理求出∠AOP，根据切线的性质求出∠OAP＝90°，解直角三角形求出AP即可．【解答】解：连接OA，∵∠B＝30°，∴∠AOC＝2∠B＝60°，∵过点A作⊙O的切线交OC的延长线于点P，∴∠OAP＝90°，∵OP＝3，∴AP＝OP sin60°＝3×＝，故选：D．6．对于二次函数y＝﹣x2+x﹣4，下列说法正确的是（）A．当x＞0时，y随x的增大而增大B．图象的顶点坐标为（﹣2，﹣7）C．当x＝2时，y有最大值﹣3D．图象与x轴有两个交点【分析】先把函数的解析式化成顶点式，再逐个判断即可．【解答】解：A、y＝﹣x2+x﹣4＝﹣（x﹣2）2﹣3，当x＜2时，y随x的增大而增大，故本选项不符合题意；B、顶点坐标为（2，﹣3），故本选项不符合题意；C、当x＝2时，y有最大值是﹣3，故本选项符合题意；D、∵顶点坐标为（2，﹣3），函数图象开口向下，∴图象和x轴没有交点，故本选项不符合题意；故选：C．7．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的格点上，AB，CD相交于点E，则cos∠AEC的值为（）A．B．C．D．【分析】连接格点D、F交AB于H，如图，利用勾股定理计算出AB＝3，CD＝，则AH＝，再根据平行线分线段成比例定理，由AC∥BD得到＝＝＝，则可计算出AE＝，DE＝，则计算出HE后可求出cos∠DEH，从而得到cos∠AEC 的值．【解答】解：连接格点D、F交AB于H，如图，AB＝＝3，CD＝＝，∴AH＝，∵AC∥BD，∴＝＝＝，∴AE＝AB＝，DE＝CD＝∴HE＝AH﹣AE＝﹣＝，在Rt△DEH中，cos∠DEH＝＝＝，∴cos∠AEC＝cos∠DEH＝．故选：B．8．如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB＝30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点，若⊙O的半径为8，则GE+FH的最大值为（）A．8 B．12 C．16 D．20【分析】连接OA、OB，根据圆周角定理，求出∠AOB＝2∠ACB＝60°，进而判断出△AOB 为等边三角形；然后根据⊙O的半径为8，可得AB＝OA＝OB＝8，再根据三角形的中位线定理，求出EF的长度；最后判断出当弦GH是圆的直径时，它的值最大，进而求出GE+FH 的最大值是多少即可．【解答】解：连接OA、OB，如图所示：∵∠ACB＝30°，∴∠AOB＝2∠ACB＝60°，∵OA＝OB，∴△AOB为等边三角形，∵⊙O的半径为8，∴AB＝OA＝OB＝8，∵点E，F分别是AC、BC的中点，∴EF＝AB＝4，要求GE+FH的最大值，即求GE+FH+EF（弦GH）的最大值，∵当弦GH是圆的直径时，它的最大值为：8×2＝16，∴GE+FH的最大值为：16﹣4＝12．故选：B．二．填空题（共10小题）9．若∠A为锐角，且tan A＝1，则∠A的度数为45°．【分析】直接根据tan45°＝1进行解答即可．【解答】解：∵∠A为锐角，且tan A＝1，tan45°＝1，∴∠A＝45°．故答案为：45°．10．一组数据：5、4、3、4、6、8，这组数据的中位数是 4.5 ．【分析】根据中位数的定义进行解答即可．【解答】解：把这组数据从小到大排列：3、4、4、5、6、8，最中间的数是4和5，则这组数据的中位数是（4+5）＝4.5；故答案为：4.5．11．关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣3＝0有两个实数根，则m的取值范围是m≤4 ．【分析】由方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣3＝0有两个实数根，∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（m﹣3）＝16﹣4m≥0，解得：m≤4．故答案为：m≤4．12．如图，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝58°，则∠BCD的度数是32°．【分析】根据直径所对的圆周角是直角得到∠ADB＝90°，求出∠A的度数，根据圆周角定理解答即可．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ABD＝58°，∴∠A＝32°，∴∠BCD＝32°，故答案为：32°．13．直角三角形ABC中，若tan A＝，则sin A＝．【分析】直接利用锐角三角三角函数关系表示出各边长，进而得出答案．【解答】解：如图所示：∵tan A＝＝，∴设BC＝3x，则AC＝4x，∴AB＝5x，则sin A＝＝＝．故答案为：．14．如图是二次函数和一次函数y2＝kx+t的图象，当y1≥y2时，x的取值范围是﹣1≤x≤2 ．【分析】根据图象可以直接回答，使得y1≥y2的自变量x的取值范围就是直线y1＝kx+m 落在二次函数y2＝ax2+bx+c的图象上方的部分对应的自变量x的取值范围．【解答】解：根据图象可得出：当y1≥y2时，x的取值范围是：﹣1≤x≤2．故答案为：﹣1≤x≤2．15．关于x的方程ax2+bx+2＝0的两根为x1＝2，x2＝3．则方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+2＝0的两根分别为x1＝3，x2＝4 ．【分析】观察给出的两个方程，得到2、3也是关于（x﹣1）的方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+2＝0的两个根，求出x即可．【解答】解：两个方程的系数、结构相同，所以2、3也是关于（x﹣1）的方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+2＝0的两个根，∴x﹣1＝2或x﹣1＝3，∴x1＝3，x2＝4．故答案为：x1＝3，x2＝4．16．已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，若关于x的一元二次方程ax2+bx+c ＝0的一个根为2，则该方程的另一个根为﹣4 ．【分析】先利用抛物线的对称性得到二次函数的图象与x轴的另一个交点为（﹣4，0），然后根据抛物线与x轴的交点问题得到关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的另一个根．【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根为2，即x＝2，y＝0，∴抛物线与x轴的一个交点坐标为（2，0），∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣4，0），∴该方程的另一个根为﹣4．故答案为﹣4．17．如图，在⊙O中，C是弦AB上一点，AC＝2，CB＝4．连接OC，过点C作DC⊥OC，与⊙O 交于点D，DC的长为2．【分析】延长DC交⊙O于点E．由相交弦定理构建方程即可解决问题．【解答】解：延长DC交⊙O于点E．∵OC⊥DE，∴DC＝CE，∵AC•CB＝DC•CE（相交弦定理，可以证明△ADC∽△EBC得到），∴DC2＝2×4＝8，∵DC＞0，∴DC＝2，故答案为2．18．如图，正方形ABCD中，E是BC边上一点，以E为圆心，EC为半径的半圆与以A为圆心，AB为半径的圆弧外切，则sin∠EAB的值为．【分析】利用勾股定理和锐角三角函数的定义、两圆相外切，圆心距等于两圆半径的和．【解答】解：设正方形的边长为y，EC＝x，由题意知，AE2＝AB2+BE2，即（x+y）2＝y2+（y﹣x）2，由于y≠0，化简得y＝4x，∴sin∠EAB＝＝＝＝．三．解答题（共10小题）19．（1）解方程：x2﹣2x＝2（2）计算：2sin60°+cos45°﹣tan30°【分析】（1）根据配方法即可求出答案．（2）根据特殊角的锐角三角函数的值即可求出答案．【解答】解：（1）∵x2﹣2x＝2，∴x2﹣2x+1＝3，∴（x﹣1）2＝3，∴（2）原式＝2×+×﹣＝20．如图，圆O的半径为1，过点A（2，0）的直线与圆O相切于点B，与y轴相交于点C．（1）求AB的长；（2）求直线AB的解析式．【分析】（1）由于直线AC是⊙O的切线，B为切点，所以需连接OB，利用切线的性质得OB⊥AB，在Rt△AOB中，利用勾股定理，求出AB的长．（2）要求直线AC的解析式，需知A、C两点的坐标，设解析式为y＝kx+b，将A、C两点代入求出k、b的值．【解答】解：（1）连接OB，则△OAB为直角三角形，∴AB＝．（2）∵∠A＝∠A，∠ABO＝∠AOC，∴△ABO∽△AOC．∴，即：．解得：OC＝，∴点C坐标为（0，）．设一次函数的解析式为：y＝kx+，将点A（2，0）代入，解得：k＝﹣，∴以直线AB为图象的一次函数的解析式为：y＝﹣x+．21．某校为了丰富学生课余生活，计划开设以下课外活动项目：A一版画，B一机器人，C 一航模，D一园艺种植．为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查（每位学生必须选且只能选一个项目），并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：（1）这次被调查的学生共有200 人；扇形统计图中，选“D一园艺种植”的学生人数所占圆心角的度数是72 °（2）请你将条形统计图补充完整；（3）若该校学生总数为1000人，试估计该校学生中最喜欢“机器人”和最喜欢“航模”项目的总人数．【分析】（1）从扇形统计图中可以得出A部分占整体的，从条形统计图中，A部分的有20人，从而求出调查总人数；D部分占整体的，可求出对应的圆心角的度数；（2）求出C组的人数，可以补全条形统计图；（3）先求出样本中最喜欢“机器人”和最喜欢“航模”项目占样本总数的百分比，即可求出1000人中最喜欢“机器人”和最喜欢“航模”项目的人数．【解答】解：（1）20÷＝200人；360°×＝72°，故答案为：200，72．（2）200﹣20﹣80﹣40＝60人，补全条形统计图如图所示；（3）1000×＝700人，答：该校1000名学生中最喜欢“机器人”和最喜欢“航模”项目人数有700人．22．某地铁站有3个出站口，分别为1号、2号、3号，小华和小明先后在该地铁站下车，任意选择一个出站口出站．（1）小华从1号出站口出站的概率是；（2）列表或画树状图求两人不从同个出站口出站的概率．【分析】（1）直接利用概率公式计算可得．（2）根据题意画出树状图得出所有等情况数和两人不从同个出站口出站的情况数，再根据概率公式求解即可．【解答】解：（1）∵共有3个出站口，分别为1号、2号、3号，∴小华从1号出站口出站的概率是故答案为：；（2）根据题意画图如下：共有9种等情况数，其中两人不从同个出站口出站的有6种，则两人不从同个出站口出站的概率是＝．23．如图，在△ABC中，AD是BC上的高，tan B＝cos∠DAC．（1）求证：AC＝BD；（2）若sin∠C＝，BC＝12，求AD的长．【分析】（1）由于tan B＝cos∠DAC，所以根据正切和余弦的概念证明AC＝BD；（2）设AD＝12k，AC＝13k，然后利用题目已知条件即可解直角三角形．【解答】（1）证明：∵AD是BC上的高，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∠ADC＝90°，在Rt△ABD和Rt△ADC中，∵tan B＝，cos∠DAC＝，又∵tan B＝cos∠DAC，∴＝，∴AC＝BD．（2）解：在Rt△ADC中，，故可设AD＝12k，AC＝13k，∴CD＝＝5k，∵BC＝BD+CD，又AC＝BD，∴BC＝13k+5k＝18k由已知BC＝12，∴18k＝12，∴k＝，∴AD＝12k＝12×＝8．24．已知：二次函数图象的顶点坐标是（3，5），且抛物线经过点A（1，3）．（1）求此抛物线的表达式；（2）如果点A关于该抛物线对称轴的对称点是B点，且抛物线与y轴的交点是C点，求△ABC的面积．【分析】（1）设顶点式y＝a（x﹣3）2+5，然后把A点坐标代入求出a即可得到抛物线的解析式；（2）利用抛物线的对称性得到B（5，3），再确定出C点坐标，然后根据三角形面积公式求解．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2+5，将A（1，3）代入上式得3＝a（1﹣3）2+5，解得a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣3）2+5，（2）∵A（1，3）抛物线对称轴为：直线x＝3∴B（5，3），令x＝0，y＝﹣（x﹣3）2+5＝，则C（0，），△ABC的面积＝×（5﹣1）×（3﹣）＝5．25．小刘同学在课外活动中观察吊车的工作过程，绘制了如图所示的平面图形．已知吊车吊臂的支点O距离地面的高OO'＝2米，当吊臂顶端由A点抬升至A'点（吊臂长度不变）时，地面B处的重物（大小忽略不计）被吊至B'处，紧崩着的吊缆A'B'＝AB．AB垂直地面O'B于点B，A'B'垂直地面O'B于点C，吊臂长度OA'＝OA＝10米，且cos A＝，sin A'＝．（1）求此重物在水平方向移动的距离BC；（2）求此重物在竖直方向移动的距离B'C．（结果保留根号）【分析】（1）作OH⊥AB于H，交A′C于G，根据余弦的定义求出AH，根据勾股定理求出OH，根据正弦的定义求出OG，结合图形计算得到答案；（2）根据勾股定理求出A′G，结合图形计算得到答案．【解答】解：（1）作OH⊥AB于H，交A′C于G，则BH＝CG＝OO'＝2，GH＝BC，在Rt△AOH中，cos A＝＝，即＝，解得，AH＝8，由勾股定理得，OH＝＝＝6，在Rt△A′OG中，sin A'＝＝，∴OG＝5，∴BC＝GH＝OH﹣OG＝6﹣5＝1，答：重物在水平方向移动的距离BC为1米；（2）由勾股定理得，A′G＝＝5，A'B'＝AB＝10，∴B'C＝A'G+GC﹣A′B′＝5﹣8，答：竖直方向移动的距离为（5﹣8）米．26．如图，已知等边△ABC中，AB＝12．以AB为直径的半⊙O与边AC相交于点D．过点D 作DE⊥BC，垂足为E；过点E作EF⊥AB，垂足为F，连接DF．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）求EF的长；（3）求sin∠EFD的值．【分析】（1）先判断出△AOD是等边三角形，进而得出OD∥BC，即可得出结论；（2）先求出CD＝6，进而求出CE，即可求出BE，即可得出结论；（3）先求出OG，DG，再求出BF，即可求出FG，利用勾股定理求出DF，即可得出结论．【解答】解：（1）如图1，连接OD，∴∠A＝∠ADO，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝60°，∴∠A＝∠ADO＝60°，∴△AOD是等边三角形，∴∠AOD＝60°＝∠B，∴OD∥BC，∵DE⊥BC，∴DE⊥OD，∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线；（2）由（1）知，OD∥BC，∵OA＝OB，∴AD＝CD，∵AC＝12，∴CD＝6，在Rt△CDE中，∠C＝60°，∴∠CDE＝30°，∴CE＝CD＝3，∴BE＝BC﹣CE＝9，在Rt△BEF中，∠B＝60°，∴∠BEF＝30°，∴EF＝BE•cos∠BEF＝9×cos30°＝；（3）如图2，连接DF，OD，过点D作DG⊥AB于G，∵EF⊥AB，∴∠EFD＝∠GDF，∵△AOD是等边三角形，∴OG＝OA＝3，∴DG＝OG tan∠AOD＝3，在Rt△BEF中，∠BEF＝30°，BE＝9，∴BF＝BE＝，∴OF＝OB﹣BF＝6﹣＝∴FG＝OG+OF＝，在Rt△DGF中，根据勾股定理得，DF＝＝，∴sin∠EFD＝sin∠GDF＝＝＝．27．如图，二次函数y＝ax2+bx的图象经过点A（2，4）与B（6，0），（1）求a，b的值（2）点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x（0＜x＜2），写出四边形ACOB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值．【分析】（1）将A（2，4）与B（6，0）代入y＝ax2+bx，得关于a和b的方程组，求解即可；（2）过A作x轴的垂线，垂足为D（2，0），连接CD，过C作CE⊥AD，CF⊥x轴，垂足分别为E，F，分别表示出S△OAD、S△ACD和S△BCD，再根据S＝S△OAD+S△ACD+S△BCD得出S关于x 的二次函数关系式，然后将其写成顶点式，则可得答案．【解答】解：（1）将A（2，4）与B（6，0）代入y＝ax2+bx，得：解得：．（2）如图，过A作x轴的垂线，垂足为D（2，0），连接CD，过C作CE⊥AD，CF⊥x轴，垂足分别为E，F，S△OAD＝OD•AD＝×2×4＝4；S△ACD＝AD•CE＝×4×（x﹣2）＝2x﹣4；S△BCD＝BD•CF＝×4×（﹣x2+3x）＝﹣x2+6x，则S＝S△OAD+S△ACD+S△BCD＝4+2x﹣4﹣x2+6x＝﹣x2+8x∴S关于x的函数表达式为S＝﹣x2+8x（2＜x＜6），∵S＝﹣x2+8x＝﹣（x﹣4）2+16，∴当x＝4时，四边形OACB的面积S有最大值，最大值为16．28．如图，点C为△ABD的外接圆上的一动点（点C不在上，且不与点B，D重合），∠ACB＝∠ABD＝45°（1）求证：BD是该外接圆的直径；（2）连结CD，求证：AC＝BC+CD；（3）若△ABC关于直线AB的对称图形为△ABM，连接DM，试探究DM2，AM2，BM2三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．【分析】（1）要证明BD是该外接圆的直径，只需要证明∠BAD是直角即可，又因为∠ABD＝45°，所以需要证明∠ADB＝45°；（2）在CD延长线上截取DE＝BC，连接EA，只需要证明△EAC是等腰直角三角形即可得出结论；（3）过点M作MF⊥MB于点M，过点A作AF⊥MA于点A，MF与AF交于点F，证明△AMF 是等腰三角形后，可得出AM＝AF，MF＝AM，然后再证明△ABF≌△ADM可得出BF＝DM，最后根据勾股定理即可得出DM2，AM2，BM2三者之间的数量关系．【解答】解：（1）∵＝，∴∠ACB＝∠ADB＝45°，∵∠ABD＝45°，∴∠BAD＝90°，∴BD是△ABD外接圆的直径；（2）在CD的延长线上截取DE＝BC，连接EA，∵∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD，∵∠ADE+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ABC＝∠ADE，在△ABC与△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE＝90°，∵＝∴∠ACD＝∠ABD＝45°，∴△CAE是等腰直角三角形，∴AC＝CE，∴AC＝CD+DE＝CD+BC；（3）过点M作MF⊥MB于点M，过点A作AF⊥MA于点A，MF与AF交于点F，连接BF，由对称性可知：∠AMB＝∠ACB＝45°，∴∠FMA＝45°，∴△AMF是等腰直角三角形，∴AM＝AF，MF＝AM，∵∠MAF+∠MAB＝∠BAD+∠MAB，∴∠FAB＝∠MAD，在△ABF与△ADM中，，∴△ABF≌△ADM（SAS），∴BF＝DM，在Rt△BMF中，∵BM2+MF2＝BF2，∴BM2+2AM2＝DM2．。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

2019-2020学年江苏省南京师大附中树人学校九年级（上）月考数学试卷（12月份）一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，怡有•项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填在答题卷相应位置上） 1．（2分）一元二次方程x（x﹣1）＝0的根是（） A．1 B．0 C．2和1 D．0和1 2．（2分）平面内，若⊙O的半径为2，OP＝，则点P在⊙O（） A．内 B．上 C．外 D．内或外 3．（2分）函数y＝x2+2的图象经过下列点中的（） A．（2，0） B．（0，2） C．（﹣2，0） D．（0，﹣2） 4．（2分）在一次比赛中，有8位同学参加了“8进4”的淘汰赛，他们的比赛成绩各不相同．其中一位同学要知道自己能否晋级，不仅要了解自己的成绩，还需要了解8位参赛同学成绩的（） A．平均数 B．加权平均数 C．众数 D．中位数 5．（2分）如图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD＝150°，则∠BCD的度数为（）

A．75° B．90° C．105° D．120° 6．（2分）已知路口某红绿灯按“红灯40s、绿灯17s、黄灯3s”循环亮灯．如图，小华背对着这个红绿灯，他随机转身看红绿灯的状态．下列说法正确的是（） A．他看到红灯的概率最小 B．他看到绿灯的概率最大 C．他看到黄灯的概率是

D．他看到红灯的概率是二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.无需写岀解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上） 7．（2分）若某个二次函数的图象开口向上，则它的表达式可以是．（写出一个即可） 8．（2分）已知扇形的圆心角为60°，半径为1，则扇形的弧长为． 9．（2分）已知⊙O半径为2，点P是直线l上任一点．若l和⊙O相切，则OP的最小值是． 10．（2分）圆锥的底面半径为2，母线长为5的侧面积为． 11．（2分）二次函数y＝x2﹣2x图象的顶点坐标是． 12．（2分）一元二次方程x2+kx﹣3＝0的一个根是x＝1，则另一个根是． 13．（2分）连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，两次都是反面朝上的的概率是． 14．（2分）如图是二次函数y＝﹣x2+bx+c的部分图象，若y＞0，则x的取值范围是．

15．（2分）学校食堂午餐供应10元、16元和20元3种价格的盒饭．若该食堂某天供应午餐盒饭的有关数据如图所示，则该天销售午餐盒饭的平均价格为元． 16．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示，下列说法中，正确的是．（只填序号） x … ﹣1 0 1 2 … y … 0 3 4 3 … ①该函数图象的顶点坐标为（1，4）；②a＞0；③方程ax2+bx+c＝0的根为x＝﹣1；④a：

b：c＝1：2：3；⑤16a+4b+c＜0．三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8分）解下列方程：（1）3x（x﹣1）＝2（x﹣1）；（2）x2+10x+16＝0． 18．（8分）根据下列条件，分别求出相应的二次函数表达式．（1）二次函数图象的顶点为（﹣1，3），图象经过（2，12）；（2）二次函数图象经过（﹣1，0）、（2，0）、（0，4）． 19．（8分）已知：如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB切小圆于点P．（1）求证AP＝BP；

（2）仅用无刻度直尺画出的中点M．

20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+3x+m＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若m为正整数，且该方程的两个根都是整数，求m的值． 21．（8分）一只不透明的袋子中有1个白球、3个红球，这些球除颜色外无其他差别．搅匀后从袋子中随机摸出2个球．（1）求两个球都是红球的概率；（2）随机摸出2个球，“两个球 ”的概率等于（1）中所求得的概率． 22．（8分）某家电销售商店第1～6周甲、乙两种品牌冰箱的周销售量如图所示（单位：台）．

（1）分别求该商店这段时间内甲、乙两种品牌冰箱周销售量的平均数和方差；（2）根据计算结果及折线统计图，请你对该商店今后采购这两种品牌冰箱的意向提出建议，并说明理由．

23．（8分）某花卉中心计划建造如图所示的矩形温室，要求长与宽的比为2：1．在温室前侧墙内保留3m宽的空地，其他三侧墙内各保留1m宽的通道．问：当矩形温室的长为多少时，花卉种植区域的面积恰是242m2？

24．（8分）如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且PB＝PD．求证：AB＝CD． 25．（8分）如图，一名运动员推铅球，已知铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系始终是y＝ax2+x+（a为常数，a＜0）．（1）解释上述函数表达式中“”的实际意义；（2）当a＝﹣时，这名运动员能把铅球推出多远？（3）若这名运动员某次将铅球推出的距离不小于（2）中的距离，写出此时a的取值范围．

26．（8分）已知二次函数y＝x2﹣（k+1）x+k，设它的图象为抛物线C，其顶点为P．（1）求证：不论k为何值，抛物线C与x轴总有公共点；（2）当抛物线C与x轴的公共点都在x轴右侧时，求k的取值范围；（3）对任意实数k，点P始终在函数的图象上． 27．（8分）已知点P在⊙O外．过点P求作⊙O的一条切线（仅限无刻度直尺和圆规）．（1）阅读方法1的作法并填写理由；

（2）结合课本上的已学内容，再用2种不同的方法过点P作出⊙O的一条切线（不写作法，保留作图痕迹）． 2019-2020学年江苏省南京师大附中树人学校九年级（上）月考数学试卷（12月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，怡有•项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填在答题卷相应位置上） 1．（2分）一元二次方程x（x﹣1）＝0的根是（） A．1 B．0 C．2和1 D．0和1 【分析】利用因式分解法把原方程转化为x＝0或x﹣1＝0，然后解两个一次方程即可．【解答】解：x（x﹣1）＝0， x＝0或x﹣1＝0，所以x1＝0，x2＝1．故选：D． 2．（2分）平面内，若⊙O的半径为2，OP＝，则点P在⊙O（） A．内 B．上 C．外 D．内或外【分析】根据半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内，可得答案．【解答】解：由题意得，d＝，r＝2． ∵d＜r， ∴点P在⊙O内，故选：A． 3．（2分）函数y＝x2+2的图象经过下列点中的（） A．（2，0） B．（0，2） C．（﹣2，0） D．（0，﹣2）【分析】把点的坐标代入函数解析式进行判断即可．【解答】解：A、当x＝2时，y＝22+2＝6≠0，故点（2，0）不在函数y＝x2+2的图象上； B、当x＝0时，y＝0+2＝2，故点（0，2）在函数y＝x2+2的图象上； C、当x＝﹣2时，y＝4+2＝6≠0，故点（﹣2，0）不在函数y＝x2+2的图象上； D、当x＝0时，y＝0+2＝2，故点（0，﹣2）不在函数y＝x2+2的图象上；故选：B． 4．（2分）在一次比赛中，有8位同学参加了“8进4”的淘汰赛，他们的比赛成绩各不相同．其中一位同学要知道自己能否晋级，不仅要了解自己的成绩，还需要了解8位参赛同学成绩的（） A．平均数 B．加权平均数 C．众数 D．中位数【分析】8人成绩的中位数是第4名和第5名同学的成绩的平均数．参赛选手要想知道自己是否能晋级，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．【解答】解：由于总共有8个人，且他们的分数互不相同，第4名和第5名同学的成绩的平均数是中位数，要判断是否能晋级，故应知道中位数的多少．故选：D． 5．（2分）如图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD＝150°，则∠BCD的度数为（）

A．75° B．90° C．105° D．120° 【分析】根据圆周角定理求出∠A，根据圆内接四边形的性质计算，得到答案．【解答】解：由圆周角定理得，∠A＝∠BOD＝×150°＝75°， ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠BCD＝180°﹣∠A＝180°﹣75°＝105°，故选：C． 6．（2分）已知路口某红绿灯按“红灯40s、绿灯17s、黄灯3s”循环亮灯．如图，小华背对着这个红绿灯，他随机转身看红绿灯的状态．下列说法正确的是（） A．他看到红灯的概率最小 B．他看到绿灯的概率最大 C．他看到黄灯的概率是

D．他看到红灯的概率是【分析】随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．计算后即可确定正确的选项．【解答】解：∵红灯40s、绿灯17s、黄灯3s． ∴他看到红灯的概率为：＝；

看到绿灯的概率为＝；看到黄灯的概率为：＝，故选：D．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.无需写岀解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上） 7．（2分）若某个二次函数的图象开口向上，则它的表达式可以是 y＝x2（答案不唯一）．（写出一个即可）【分析】直接利用二次函数开口方向得出a的值，即可得出答案．【解答】解：∵某个二次函数的图象开口向上， ∴它的表达式可以是：y＝x2（答案不唯一）．故答案为：y＝x2（答案不唯一）． 8．（2分）已知扇形的圆心角为60°，半径为1，则扇形的弧长为．【分析】根据弧长公式进行求解即可．【解答】解：弧长l＝

＝．故答案为：． 9．（2分）已知⊙O半径为2，点P是直线l上任一点．若l和⊙O相切，则OP的最小值是 2 ．【分析】根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系：若d＜r，则直线与圆相交；若d