2018-2019第一学期南京市鼓楼区九年级期末数学试卷(含答案)
2018-2019第一学期南京市联合体九年级期末数学试卷(含答案)
2018-2019学年第一学期南京市联合体九年级期末考试数学注意事项：1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上． 3．答选择题必须用2B 铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效．4．作图必须用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡．．．相应位置．．．．上） 1．一元二次方程x 2＋x ＝0的根是A ．x 1＝0，x 2＝1B ．x 1＝0，x 2＝﹣1C ．x 1＝x 2＝0D ．x 1＝x 2＝12．为了解某初中学校学生的视力情况，需要抽取部分学生进行调查，下列抽取学生的方法最合适的是A ．随机抽取该校一个班级的学生B ．随机抽取该校一个年级的学生C ．随机抽取该校一部分男生D ．分别从该校初一、初二、初三年级中各班随机抽取10%的学生 3．如图，DE 是△ABC 的中位线，则△ADE 与△ABC 的面积的比是A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶4D ．1∶94．关于x 的一元二次方程x 2－（k ＋1）x ＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为A ．k ＞－1B ．k ＜－1C ．k≠－1D ．k 为任意实数AE DCB（第3题）（第5题）5. 如图，点A 、B 、C 、D 、E 都是⊙O 上的点，AC ⌒ ＝AE ⌒，∠B ＝118°，则∠D 的度数为A ．128°B ．126°C ．124°D ．122°6. 在二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表：则m 、n 的大小关系为A ．m ＞nB. m ＜nC. m ＝nD.无法确定二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置．．．．．．．上） 7．方程（x －2）2＝9的解为▲．8．甲、乙、丙三名射击运动员在某场测试中各射击10次，三人的测试成绩如下： 甲： 7 7 8 8 8 9 9 9 10 10 乙： 7 7 7 8 8 9 9 10 10 10丙： 7 8 8 8 8 9 9 9 9 10这三人10次射击命中的环数的平均数_ x 甲＝_ x 乙＝_x 丙＝8.5，则测试成绩比较稳定的 是▲．（填“甲”或“乙”或“丙”）9．已知四条线段a 、2、6、a ＋1成比例，则a 的值为▲ ．10．如图，在△ABC 中，点E 、D 分别为AB 与AC 边上两个点，请添加一个条件 ▲ ，使得△ADE ∽△ABC .11. 关于x 的一元二次方程x 2＋mx ＋2＝0的一个根为，则另一个根为 ▲ ，m 的值为 ▲ . 12. 现有一个半径长为4cm 的半圆，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计）．该圆锥底面圆的半径为▲ cm ．13. 如图，在⊙O 中，直径EF ⊥CD ，垂足为M ，EM•MF ＝12，则CD 的长度为 ▲.14．从地面竖直向上抛出一个小球.小球的高度h （单位：m ）与小球运动时间t （单位：s ）之间的关系式是h ＝24t －4t 2.小球运动的高度最大为▲m .2 （第10题） （第13题）（第16题）15. 在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝2，∠BAC ＝120°，则△ABC 外接圆的半径长度为 ▲. 16. 如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象的对称轴为直线x ＝﹣1.下列结论正确的 有▲.①若图象过点（﹣3，y 1）、（2，y 2），则y 1＜y 2； ②ac ＜0； ③ 2a －b ＝0； ④b ²－4ac ＜0.三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）解下列方程（1）x 2－2x －15＝0 ；（2） 2x （x －3）＝6－2 x .18．（8分）光明中学全体学生1100人参加社会实践活动，从中随机抽取50人的社会实践活动成绩制成如图所示的条形统计图，结合图中所给信息解答下列问题： （1）填写下表：（2）估计光明中学全体学生社会实践活动成绩的总分．19.（8分）小明的书包里只放了A4大小的试卷共4张，其中语文2张、数学1张、英语1（1）若随机地从书包中抽出2张，求抽出的试卷中有英语试卷的概率． （2）若随机地从书包中抽出3张，抽出的试卷中有英语试卷的概率为▲.20．（8分）如图，四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点E ，且∠ABD ＝∠ACD ． （1）求证EB EC ＝EA ED ；（2）求证∠DAC ＝∠CBD ．（第18题）21.（8分）用20㎝长的铁丝围矩形．（1）若所围矩形的面积是16㎝2，求所围矩形的长宽分别为多少cm？（2）能围成一个面积是30㎝2的矩形吗？若能请求长宽分别为多少cm，若不能请说明理由.22．（8分）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），该函数y与自变量x的部分对应值如下表：（1）求该二次函数的表达式；（2）不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为；不等式ax2＋bx＋c＜3的解集为.23．（8分）如图，AC是⊙O的直径，AB与⊙O相切于点A．四边形ABCD是平行四边形，BC交⊙O于点E．（1）证明直线CD与⊙O相切；（2）若⊙O的半径为5cm，弦CE的长为8cm，求AB的长．24．（8分）某商场以每个60元的价格进了一批玩具，当售价为100元时，商场平均每天可售出40个．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取降价措施，经调查发现：在一定范围内，玩具的单价每降低1元，商场每天可多售出玩具2个．设每个玩具售价下降了x元，但售价不得低于玩具的进价，商场每天的销售利润为y元．（1）若降价3元后商场平均每天可售出个玩具；（2）求y与x的函数表达式，并直接写出自变量x的取值范围；（3）商场将每个玩具的售价定为多少元时，可使每天获得的利润最大？最大利润是多少元？25 （9分）下面从认知、延伸、应用三个层面来研究一种几何模型. 【认知】如图1，已知点E 是线段BC 上一点，若∠AED ＝∠B ＝∠C. 求证△ABE ∽△ECD.【延伸】如图2，已知点E 、F 是线段BC 上两点，AE 与DF 交于点H ，若∠AHD ＝∠B ＝∠C. 求证△ABE ∽△FCD.【应用】如图3，⊙O 是等边△ABC 的外接圆，点D 是BC ⌒上一点，连接BD 并延长交AC 的延长线于点E ；连接CD 并延长交AB 的延长线于点F . 猜想B F 、BC 、CE 三线段的关系，并说明理由.图1 图2图326．（8分）已知二次函数y＝(x－m)2－1（m为常数）．（1）求证：不论m为何值，该函数图象与x轴总有两个公共点；（2）请根据m的不同取值，探索该函数图象过哪些象限?（直接写出答案）（3）当1≤x≤3时，y的最小值为3，求m的值．27．（9分）如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，BC＝20，点D为AB边上一动点，若AD的长度为m，且m的范围为0＜m＜9，在AC与BC边上分别取两点E、F，满足ED ⊥AB，FE⊥ED.（1）求DE的长度；（用含m的代数式表示）（2）求EF的长度；（用含m的代数式表示）（3）请根据m的不同取值，探索过D、E、F三点的圆与△ABC三边交点的个数.2018-2019学年第一学期九年级期末考试数学试卷参考答案及评分标准说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分．一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7．5或﹣1． 8．丙． 9．3． 10．∠ADE ＝∠B 等． 11．﹣1、3． 12．2． 13．43．14．36． 15．2． 16．①②③． 三、解答题（本大题共11小题，共88分） 17．（本题6分）（1）解：x 2－2x －15＝0（x －5）（x ＋3）＝0 …………………………………………………1分 x －5＝0或x ＋3＝0x 1＝5，x 2＝﹣3…………………………………………………3分（2）解： 2x （x －3）＝6－2 x（x －3）（2x ＋2）＝0…………………………………………………1分 x －3＝0或2x ＋2＝0x 1＝3，x 2＝﹣1…………………………………………………3分18．（本题8分）（1）4、4…………………………………………………………………4分 （2）1×2＋2×9＋3×13＋4×14＋5×12＝175（分）…………………………6分175÷50×1100＝3850（分）…………………………………………………8分 答：全校成绩总分为3850分 19. （本题8分）（1） 所有可能出现的结果有：（语1，语2）、（语1，数）、（语1，英）、（语2，数）、（语2，英）、（数，英）共有6种，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足“有英语试卷”（记为事件A ）的结果有3种，所以P (A )＝12．………………… 6分（备注：如果用树状图正确得3分，列出所有结果或在树状图上有结果再得1分，出现它们是等可能再得1分，计算结果再得1分，否则均扣1分） （2）34. ………………………………………………… 8分20．（本题8分）（1）证明：∵∠ABD ＝∠ACD ，………………………………………………… 1分 又∵∠AEB ＝∠DEC ，………………………………………………… 2分 ∴△AEB ∽△DEC ，………………………………………………… 3分 ∴EB EC ＝EAED. ………………………………………………… 4分（2）证明：∵EB EC ＝EA ED ，∴EB EA ＝ECED ，…………………5分（备注：如果不转换，均扣1分）又∵∠AED ＝∠BEC ，……………………………………………6分∴△AED ∽△BEC ，………………………………………………7分∴∠DAC ＝∠CBD .……………………………………………8分 21（本题8分）（1）解：设矩形一边长为x cm ，由题意得：（10－x ）x ＝16…………………………………………………2分 解得x 1＝2，x 2＝8……………………………………4分 答：矩形的长和宽分别为8cm 和2cm.（3）设矩形一边长为x cm ，由题意得:（10－x ）x ＝30…………………6分 x 2－10x ＋30＝0，a ＝1，b ＝﹣10，c ＝30，则b 2－4ac ＝﹣20＜0……………………………………………7分 ∴此方程无解. ………………………………………………… 8分 答：不能围成一个面积是30㎝2的矩形. （如果两问均没有答，总体扣1分）22.（本题8分） 解：（1）设该二次函数的关系式为y ＝a （x －m ）2＋n ， ∵顶点坐标为（2，﹣1），∴y ＝a （x －2）2－1，………………………1分∵该二次函数过点（1，0），∴0＝a （1－2）2－1.…………………3分 解得a ＝1，…………………………………………………4分 即y ＝（x －2）2－1.（2）x ＜1或x ＞3…………………………………………………6分（只答一个给1分）0＜x ＜4…………………………………………………8分 （只答一半比如0＜x 或x ＜4不给分）23.（本题8分） 解：（1）直线CD 与⊙O 相切．理由如下：∵AC 是⊙O 的直径，AB 与⊙O 相切于点A ， ∴AC ⊥AB …………………………………………………1分 ∴∠CAB ＝90º．…………………………………………………2分 ∵在□ABCD 中，AB ∥CD ，∴∠ACD ＝90º，∴AC ⊥CD ．…………………3分 ∵点C 在⊙O 上，∴直线CD 是⊙O 切线．…………………………………………………4分 （如果不讲点C 在⊙O 上或直线CD 经过半径的外端点C 就扣1分） （2图1图2过点O 作OF ⊥CE ，垂足为F （如图1），则EF ＝CF ＝4cm ………………………………5分 在Rt △C OF 中，OF ＝OC 2－CF 2＝3cm ．……………………………6分由△COF ∽△CBA ，得OF AB ＝CFCA ，…………………………………………………7分∴AB ＝7.5cm ．…………………………………………………8分 解法二：连接AE （如图2），则AE ⊥BC ．………………………………………5分在Rt △C AE 中，AE ＝AC 2－CE 2＝6cm ．……………………………6分由△CAE ∽△CBA ，得AE AB ＝CECA ，…………………………………………………7分∴AB ＝7.5cm ．…………………………………………………8分 （其他方法参照给分） 24．（本题8分)（1）46；…………………………………………………2分 （2）y ＝（100－x －60）（40＋2x ）（或y ＝－2x 2＋40x ＋1600或y ＝－2（x －10）2＋1800）…………………………………………………3分（0≤x≤40）…………………………………………………4分 （3）y ＝（100－x －60）（40＋2x ）＝－2x 2＋40x ＋1600＝－2（x －10）2＋1800………6分 ∵a ＝﹣20＜0，∴当x ＝10时y 有最大值1800元. ………………………………………7分 100－10＝90…………………………………………………8分 答：售价定为90元时，可使每天获得的利润最大1800元. 25 （本题9分） 【认知】证明：∵∠AEC 是△ABE 的外角，∴∠AEC ＝∠A ＋∠B ，又∵∠AEC ＝∠AED ＋∠DEC ，∴∠A ＋∠B ＝∠AED ＋∠DEC ， ∵∠B ＝∠AED ，…………………………………………………1分 ∴∠A ＝∠DEC ，又∵∠B ＝∠C ，∴△ABE ∽△ECD.…………2分 【延伸】证明：∵∠AEC 是△ABE 的外角，∴∠AEC ＝∠A ＋∠B ，………………………………………1分 ∵∠HEC 是△EFH 的外角，∴∠AEC ＝∠HFE ＋∠FHE ，…………………………………2分∴∠A ＋∠B ＝∠HFE ＋∠FHE ，…………………………………………………3分 ∵∠B ＝∠AHD ，∠AHD ＝∠HFE ，∴∠B ＝∠FHE ，∴∠A ＝∠HFE ，………4分 ∵∠B ＝∠C ，∴△ABE ∽△FCD. ………………………………5分 【应用】证明：∵四边形ABDC 是⊙O 的内接四边形，∴∠BDC ＋∠A ＝180°，∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A ＝∠ACB ＝∠ABC ＝60°，∴∠BDC ＝120°，………………………………6分 ∵∠FDC 是△CDE 的外角，∴∠FDC ＝∠E ＋∠DCE ， ∴∠E ＋∠DCE ＝120°，∵∠ACB ＝∠ABC ＝60°，∴∠CBF ＝∠ECB ＝120°， ∴∠DCB ＋∠DCE ＝120°，∴∠E ＋∠DCE ＝∠DCB ＋∠DCE ， ∴∠E ＝∠DCB ，…………………………………………………7分 又∵∠ACB ＝∠ABC ＝60°，∴△FBC ∽△BCE ，…………………………………………………8分 ∴BC CE ＝FBCB，∴BC 2＝BF ×CE . …………………………………………………9分 26．（本题8分）（1）解：y ＝(x －m )2－1y ＝x 2－2mx ＋m 2－1，令y ＝0，x 2－2mx ＋m 2－1＝0…………………………1分 ∵a ＝1，b ＝－2m ，c ＝m 2－1，∴b 2－4ac ＝4m 2－4（m 2－1）＝4＞0，此方程有两个不相等的实数根，∴该函数图象与x 轴总有两个公共点.…………………………………………2分 （备注：如果没有令y ＝0，即x 2－2mx ＋m 2－1＝0这一步必须扣1分）（2）解：当m ≤﹣1时，图象过一、二、三；……………………………………………3分当﹣1＜m ＜1时，图象过一、二、三、四；…………………………………4分 当m ≥1时，图象过一、二、四. …………………………………………………5分 （3）解：∵a ＝1＞0，图象开口向上，又∵对称轴为直线x ＝m ，∴当m ≤1时，y 随x 增大而增大，当x ＝1时y 有最小值3， 即3＝(1－m )2－1，解得m 1＝﹣1，m 2＝3＞1（舍去）；………………………6分 当1＜m ＜3时，当x ＝m ，时y 有最小值﹣1，y 的最小值为3不可能；………7分 当m ＞3时，y 随x 增大而减小，当x ＝3时y 有最小值3， 即3＝(3－m )2－1，解得m 1＝1＜3（舍去），m 2＝5.……………………………8分 答：当1≤x ≤3时，y 的最小值为3，m 的值为﹣1或5． 27．（本题9分）（1）解：∵ED ⊥AB ，∴∠EDA ＝90°，∴∠EDA ＝∠C ＝90°，∵∠A ＝∠A ，∴△ADE ∽△ACB ，…………………………………………………1分 ∴AD AC ＝DE CB ，∴m 15＝DE 20，∴DE ＝4m3；…………………………………………………2分 （2）解：△ADE ∽△ACB ，∴AD AC ＝AE AB ，∴m 15＝AE 25，∴AE ＝5m3，…………………3分 ∵ED ⊥AB ，FE ⊥ED ∴∠EDA ＝∠DEF ＝90°，∴EF ∥AB ，∴∠A ＝∠CEF ，又∵∠EDA ＝∠C ，△ADE ∽△ECF ，………………………4分∴AD EC ＝AE EF ，∴m ：（15－5m 3）＝5m 3：EF ，∴EF ＝25－25m 9.…………5分 （3）当ED ：EF=3:4，⊙O 与AC 相切于点E ，4m 3：（25－25m 9）=3:4，m ＝22541，…………………………………………………6分 当ED ：EF=4:3，⊙O 与BC 相切于点F ，4m 3：（25－25m 9）=4:3，m ＝22534，…………………………………………………7分 情况一、当0＜m ＜22541时，⊙O 与△ABC 有六个交点； 情况二、当m ＝22541时，⊙O 与△ABC 有五个交点； 情况三、当22541＜m ＜22534时，⊙O 与△ABC 有六个交点； 情况四、当m ＝22534时，⊙O 与△ABC 有五个交点； 情况五、当22534＜m ＜9时，⊙O 与△ABC 有六个交点……………………………9分 （备注：分类两种情况正确可以给1分，全对给2分）。
南京市鼓楼区2018~2019 学年度第一学期期末试卷九年级数学(含答案)
A． 5 1
B． 3 5
C． 5 1 2
D． 3 5 2
6．如图，Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AB=5，AC=4，CD⊥AB 于 D，则 tan∠BCD 的值为（ ）
A． 4 5
B． 5 4
C． 4 3
D． 3 4
二、填空题(本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分)
1
7．若 sinA= ，则∠A=
°．
2
8．若 a 3 ，则 a b 的值为
．
b2
b
9．若四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，∠A=120°，则∠C 的度数是
．
10．若一元二次方程 x2 mx 3 0（m 为常数）的一个根是 x=1，则另一个根是
．
11．二次函数 y x2 4x 图像的顶点坐标为
23．（8 分）已知二次函数 y a x 22 1的图像经过点(0，3)．
⑴求这个二次函数的表达式； ⑵直接写出 y＞0 时 x 的取值范围； ⑶该函数的图像通过左右平移可以经过原点，写出所有的平移方案．
24．（8 分）如图，为测量某建筑物 EF 的高度，小明在楼 AB 上选择观测点 A、C，从 A 测 得建筑物的顶部 E 的仰角为 37°，从 C 测得建筑物的顶部 E 的仰角为 45°，A 处高度为 20m，C 处高度为 10m．求建筑物 EF 的高度（精确到 1m）． （参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75， 2 1.4 ）
4
3
…
15．如图，△ABC 中，AB=6，AC=12，点 D、E 分别在 AB、AC 上，其中 BD=x，AE=2x．当
△ADE 与△ABC 相似时，x 的值可能是
南京市联合体2018~2019学年度第一学期期末九年级数学练习模考卷(含答案)
九年级上学期数学期末练习卷（满分：120分 考试时间：120分钟）一、选择题（共6小题，每小题2分，共12分） 1．下列哪个方程是一元二次方程（ ▲ ）A ．2s ＋t ＝1B ．x 2－xy ＝－1C ．x 2＋1x＝3D ．m 2＝m －5 2．关于x 的二次函数y ＝x 2－2x ＋1与x 轴的交点情况是（ ▲ ）A ．有两个交点B ．有1个交点C ．没有交点D ．无法判断3．如图，有三条绳子穿过一片木板，两同学分别站在木板的左、右两边，各选该边的一条绳子．若每边每条绳子被选中的机会相等，则两人选到同一条绳子的概率是 （ ▲ ）A ．12B ．13C ．16D ．194．随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，抽样 调查显示，截止2017年底某市汽车拥有量为16.9万辆．己知2015年底该市汽车拥有量为10万辆，设2015年底至2017年底该市汽车拥有量的年平均增长率为x ，根据题意列方程得 （ ▲ ）A ．10＋10(1＋x )＋10(1＋x )2＝16.9B ．10(1＋2x )＝16.9C ．10(1＋x )2＝16.9D ．10(1＋x )＋10(1＋x )2＝16.95．如图，在三角形纸片ABC 中，AB =6，BC =8，AC =4．沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC 相似的是 （ ▲ ）6．已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的部分对应值如图所示，下列结论：①该抛物线开口向下；②b 2－4ac ＞0；③2a ＋b ＝0；④m ＞n ；⑤方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个解x 1的范围是－1＜x 1＜0，另一个解x 2的范围是2＜x 2＜3．其中正确的有（ ▲ ）A ．①②③B ．②③⑤C ．②④⑤D ．②③二、填空题（共10小题，每小题2分，共20分） 7．若x y ＝35 ，则xx ＋y ＝ ▲ ．A.B.C.D.(第3题)(第6题)8．已知平面上一条线段OA 的长度为6，以O 为圆心，r 为半径作⊙O ，若要使得A 点在⊙O 内，写出一个可能的r 的值： ▲ ．9．已知m 、n 是一元二次方程ax 2－2x －3＝0的两个根，若m ＋n ＝1，则mn ＝ ▲ ．10．如图，正方形ABCD 的边长为8，以BC 为直径向正方形内部画半圆，EF 切半圆于点G ，分别交AB 、CD 于点E 、F ．则四边形AEFD 的周长 ▲ ．11．如图，□ABCD 中，∠B ＝70°，BC ＝6，以AD 为直径的圆O 交CD 于点E ，则 ⌒DE 的长为 ▲ ． 12．如图，平行四边形ABCD 中，点E 是AB 延长线上的一点，DE 交BC 于点F ，已知BE :AB ＝2︰3,S △BEF ＝4，则S □ABCD ＝ ▲ ． 13．如果从半径为3的圆形纸片上剪去 13圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的高是 ▲ ．14．如图，⊙M 与x 轴相切于点A ，与y 轴分别交于点B （0，2）和点C （0，8），则圆心M 的坐标是▲ ．15．如图，直线l 1、l 2分别经过正五边形ABCDE 的顶点A 、B ，且l 1∥l 2，若∠1＝58°，则∠2＝ ▲ °． 16．如图，已知A ，B 两点的坐标分别为(2，0)，(0，2)，⊙C 的圆心坐标为(－1，0)，半径为1．若D是⊙C 上的一个动点，线段DA 与y 轴交于点E ，则△ABE 面积的最小值是 ▲ ．三、解答题（共11小题，共88分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8分）解方程：（1）2x 2－4x －3＝0； （2）3x (x －1)＝1－x ．(第16题)(第15题)(第14题)(第10题)(第11题)(第12题)F ECBAD18．（8分）小明为爸爸煮汤圆作早点：一个芝麻馅，一个红豆馅，两个花生馅．（1）爸爸吃的第一个的汤圆是花生馅的概率为▲ ．（2）求爸爸吃前两个汤圆的刚好都是花生馅的概率．（3）若给爸爸再增加一个花生馅的汤圆，则爸爸吃前两个汤圆都是花生馅的可能性▲ ．（填“变大”、“变小”或“不变”）．19．（8分）甲、乙两名队员参加射击训练，成绩分别被制成下列两个统计图,根据以上信息，整理分析数据如下：（1）填写表格．（2）分别运用表中的四个统计量，简要分析这两名队员的射击训练成绩．若选派其中一名参赛，你认为应选哪名队员？请说明理由．20．（7分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，点C的坐标为(0，－1)．（1）在如图的方格纸中把△ABC以点O为位似中心扩大，使放大前后的位似比为1︰2，画出△A1B1C1(△ABC与△A1B1C1在位似中心O点的两侧，A，B，C的对应点分别是A1，B1，C1)；（2）利用方格纸标出△A1B1C1外接圆的圆心P，P点坐标是▲ ，⊙P的半径＝▲ ．21．（7分）如图，已知CD ⊥AB ， CD 2＝BD·AD ．求证：∠ACB ＝90°．22．（7分）如图所示，已知⊙O 的弦AB ，E ，F 是 ⌒AB上两点， ⌒AE 与 ⌒BF 相等，OE 、OF 分别交AB 于C 、D ．求证：AC ＝BD ．23．（8分）旅游公司在景区内配置了50辆观光车供游客租赁使用，初定每辆车的日租金为100元，营运过程中，发现规律如下：若每辆车的日租金每增加5元，租出去的观光车就会减少1辆，设实际每辆车的日租金为x 元，所有观光车每天的管理费是1000元：（1）设每日的利润为w 元，请写出w 与x 之间的函数关系式，并求出日租金为多少时，每日利润最大？ （2）若每日的利润不低于3680元，请直接．．写出日租金x 的取值范围．24．（9分）已知二次函数y ＝(x －m )2－2(x －m )（m 为常数）． （1）求证：该抛物线的图像与x 轴有两个交点； （2）求该二次函数图像的顶点P 的坐标；（3）如将该函数的图像向左平移3个单位，再向上平移1个单位，得到了函数y ＝x 2的图像，那么，m ＝ ▲ ．CBD A(第21题)(第22题)25．（9分）如图，△ABC 中，AB ＝AC ，以AC 为直径的⊙O 与边AB 、BC 分别交于点D 、E ．过点E的直线与⊙O 相切，与AC 的延长线交于点G ，与AB 交于点F ． （1）求证：△BDE 为等腰三角形； （2）求证：GF ⊥AB ；（3）若⊙O 半径为3，DF ＝1，求CG 的长．26．（8分）在四边形ABCD 中，P 为CD 边上一点，且△ADP ∽△PCB ．分别在图①和图②中用尺规作出所有满足条件的点P ．（保留作图痕迹，不写作法） （1）如图①，四边形ABCD 是矩形；（2）如图②，在四边形ABCD 中，∠D ＝∠C ＝60°．CBABC(第26题)①②(第25题)27．（9分）如图，二次函数y＝ax2+bx－3的图像与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，该抛物线的顶点为M．（1）求该抛物线的函数关系式；（2）判断△BCM的形状，并说明理由；（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以点P、A、C为顶点的三角形与△BCM相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．(第27题)九年级上学期数学期末练习卷答案一、选择题（共6小题，每小题2分，共12分）二、填空题（共10小题，每小题2分，共20分）7. 38； 8. r 大于6即可，如r ＝7；9.－32；10. 24； 11. 23 π；12.30； 13. 5；14.（4,5）；15. 22°； 16. 2－22三、解答题（共11小题，共88分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（1）∵ b 2－4ac ＝(－4)2－4×2×(－3) ＝40；…………………………………………………….…2分∴ x ＝4±404；∴ x 1＝1＋102，x 2＝1－102． ……………………………………………………………..…….4分（2）3x (x －1)＋(x －1)＝0；(3x +1)(x －1)＝0； ……………………………………………………………………………. 6分∴ x 1＝1，x 2＝－13． (8)分18. 解：（1） 12 (2)分（2）分别用A ，B ，C 表示芝麻馅、红豆馅、花生馅的汤圆，画树状图得： (2)分∵ 共有12种等可能的结果，爸爸吃前两个汤圆刚好都是花生馅的有2种情况，∴ 爸爸吃前两个汤圆刚好都是花生馅的概率为212＝16 (6)分（3）变大 ……………………………………………………………………………………………. 8分 19. （1）……………………………………………………………………………………………………….……5分（2）从平均成绩看甲、乙二人的成绩相等均为7环，从中位数看甲射中7环以上的次数小于乙，从众数看甲射中7环的次数最多而乙射中8环的次数最多，从方差看甲的成绩比乙的成绩稳定，综合以上各因素，若选派一名学生参加比赛的话，可选择乙参赛，因为乙获得高分的可能更大． …………………………………………………………………………………………………. 8分20.（1）△A 1B 1C 1就是所求的图形．……………………………………………..………………………….3分（2）（3，1）， (5)分10． .……………………………………………………………………………………..…………7分21.∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠CDB＝90°， (1)分∵CD2＝AD•DB，∴CD︰AD＝BD︰CD， (2)分∴△ADC∽△CDB， (4)分∴∠ACD＝∠B， (5)分∵∠B＋∠DCB＝90°，∴∠ACD＋∠DCB＝90°， (6)分即∠ACB＝90°． (7)分22. 证明：连接OA、OB则OA＝OB∴∠OAC＝∠OBD ………………………………………….1分∵⌒AE＝⌒BF，∴∠AOE＝∠BOF ………………………………………….3分在△AOC与△BOD中∵∠OAC＝∠OBD，OA＝OB，∠AOC＝∠BOD∴△AOC≌△BOD (6)分∴AC＝BD (7)分23.（1）w ＝(50－x－1005)x－1000 (3)分＝－15x 2＋70x －1000 (4)分＝－15(x －175)2＋5125，当x ＝175时，w 的最大值为5125. (6)分（2）90≤x ≤260 (8)分24. 解：（1）令y ＝0(x －m )2－2(x －m )＝0 (1)分(x －m )2－2(x －m －2)＝0x 1＝m ，x 2＝m (3)分∴ 该方程有两个不相等的实数根；∴ 该抛物线的图像与x 轴有两个交点.（拆开亦可） (4)分（2）y ＝(x －m )2－2(x －m )＋1－1＝(x －m －1)2－1 (6)分∴ P （m ＋1，－1）（公式法亦可） (7)分（3）2 (9)分25. 证明：（1）∵ 四边形ACDE 是圆的内接四边形，∴ ∠ACB ＋∠ADE ＝180°， ∵ ∠BDE ＋∠ADE ＝180°，∴ ∠BDE ＝∠ACB ， ………………….…………………….……………………………1分∵ AB ＝AC ，∴ ∠B ＝∠ACB ． (2)分∴ ∠B ＝∠BDE ，∴ △BDE 为等腰三角形；…………………………………….…………………………3分（2）连结OE ，∵ 直线FG 与⊙O 相切，∴ ∠OEG ＝90°，………………………………………………………………………..1分∵ OC ＝OE ，∴∠OEC ＝∠ACB ，∵ ∠B ＝∠ACB ，∴ ∠B ＝∠OEC ，…………………………………………………………………………2分∴ OE ∥AB ，∴∠AFG ＝∠OEG ＝90°，即 GF ⊥AB ；…………………………………………………………………………….. 6分（3）∵ △BDE 为等腰三角形，GF ⊥AB ，∴ BF ＝DF ＝1，AF ＝AB －BF ＝AC －BF ＝5，…………………….…………………7分∵ OE ∥AB ，∴△GOE ∽△GAF ，∴OE AF ＝OG AG∴ 35＝x ＋3x ＋6……………………………………….………………………….…………8分解得x ＝32，即CG ＝32. ……………………….…………………………………………9分26．（1）如图①，点P 1，P 2即为所求． ………………………………………………….…………………4分（2）如图②，点P 1，P 2即为所求． ………………………………………………………….…………8分27. 解：（1）∵ 函数y ＝ax 2＋bx －3的图像经过点A （－1，0），B （3，0），∴ ⎩⎨⎧=-+=--033903b a b a …………………………………………………………..……………2分 解得：⎩⎨⎧-==21b a∴ 二次函数关系式为y ＝x 2－2x －3 (3)分（2）解：△BCM 为直角三角形．如图1，作MF ⊥y 轴于F ，ME ⊥x 轴于E∵ y ＝x 2－2x －3＝（x －1）2－4，∴顶点M （1，－4）．当x ＝0时，y ＝－3，∴ C （0，－3）． …………………………………………………………………..……4分∴ 在Rt △CMF 中，CM 2＝CF 2＋MF 2＝12＋12＝2，在Rt △CBO 中，CB 2＝OC 2＋OB 2＝32＋32＝18，在Rt △EMB 中，BM 2＝ME 2＋BE 2＝42＋22＝20，∴ CM 2＋CB 2＝BM 2，∴ ∠MCB ＝90°，∴ △BCM 为直角三角形．（也可以根据∠FCM ＝∠BCO ＝45°推出） …………………………………..…………6分（3）如图2，在坐标轴上存在点P ，使得以点P ，A ，C 为顶点的三角形与△BCM 相似．如图分三种情形：① 若假设点P 在x 轴上，构成以AC 为斜边的Rt △ACP ，由△P AC ∽△CMB ，得52102,==AP MC AP MB AC ，∴ AP ＝1． 由A （－1，0）与点P 在x 轴上，可知P 与原点重合，即点P 的坐标为（0，0）． ……………………………………………………………………………………………7分② 假设点P 在x 轴上，构成以AC 为直角边的Rt △ACP ，由△ACP ∽△MCB ，得21052,==PA BM PA MC AC ∴ P A ＝10，∴ PO ＝9，∴ P (9，0）． …………………………………………………………………………8分③ 若假设点P 在y 轴上，构成以 AC 为直角边的 Rt △ACP ，由△ACP ∽△CBM ，得231052,==PC BM PC BC AC ，∴PC ＝310，∴PO ＝31，∴P (0，31） 综上，P (0，0)，(9，0)，(0，31).`…………………………………………………9分。
南京鼓楼区2018—2019数学一模试卷
300 280 260 240 220 200 180 160一、选择题【鼓楼区】2019 年中考模拟卷（一）九年级数学1．4 的算术平方根是（ ）A ． ±2B ．2C ． -2D ．162. 鼓楼区公益项目“在线伴读”平台开通以来，累计为学生在线答疑 15000 次.用科学记数法表示 15000 是（ ）A ． 0.15 ⨯106 3．计算(-a )2⋅ (a2)3B ．1.5 ⨯105的结果是（ ）C ．1.5 ⨯104D ．15 ⨯103A ． a 8B ． -a 8C ． a 7D ． -a 74.若顺次连接四边形 ABCD 各边中点所得的四边形是菱形，则下列结论中正确的是（ ）A. AB ∥CDB. AB ⊥ BCC. AC ⊥ BDD. AC = BD5.下图是某家庭 2018 年每月交通费支出的条形统计图，若该家庭 2018 年月交通费平均支出为 a 元，则下列结论中正确的是（ ）1月2月 3月4月 5月 6 月 7 月 8 月9月 10月 11月 12月 月份A ． 200 ≤ a ≤ 220B ． 220 ≤ a ≤ 240（第5题）C ． 240 ≤ a ≤260D ． 260 ≤ a ≤ 2806.A 、B 两地相距 900km ，一列快车以 200km/h 的速度从 A 地匀速驶往 B 地，到达 B 地后立刻原路返回 A 地，一列慢车以 75km/h 的速度从 B 地匀速驶往 A 地.两车同时出发， 截止到它们都到达终点时，两车恰好相距 200km 的次数是（ ） A ．5B ．4C ．3D ．2二、填空题 7. -3的绝对值是．8. 若式子 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是．⎨⎪x - 3( x - 2) ≥ 49.计算 - 的结果是 ．10. 方程 1 x + 2 = 2的解是 ．x11.正五边形的每个外角的大小是°．12.已知关于 x 的方程 x 2 + mx - 2 = 0 有一根是 2，则另一根是， m = ．13．如图，AB ∥EG ∥CD ，EF 平分∠BED ，若∠D =69°，∠GEF =21°，则∠B =°．14.如图，圆锥底面圆心为 O ，半径 OA =1，顶点为 P ，将圆锥置于平面上，若保持顶点 P位置不变，将圆锥顺时针滚动三周后点 A 恰好回到原处，则圆锥的高 OP = ． 15.如图，点 A 、B 、C 、D 在⊙O 上，B 是 AC 的中点，过 C 作⊙O 的切线交 AB 的延长线于点 E .若∠AEC =84°，则∠ADC =°．A GACD（第13题）（第14题）DEC（第15题）16.在△ ABC 中，AB =5，AC =4，BC =3.若点 P 在△ ABC 内部（含边界）且满足PC ≤ PA ≤ PB ,则所有点 P 组成的区域的面积为 ．三、解答题17．（7 分）解不等式组⎧⎪3x > 2x - 2 ．⎩19．（8 分）⑴解方程 x 2 - x - 1 = 0 ．⑵在实数范围内分解因式 x 2 - x - 1 = 0 的结果为 ．2720．（8分）如图，AB=AD，AC=AE，BC=DE，点E在BC上⑴求证△ABC≌△ADE；A⑵求证∠EAC =∠DEB.DB E C(第20题）21.（8 分）⑴两只不透明的袋子中均有红球、黄球、白球各 1 个，这些球除颜色外无其他差别.分别从每个袋子中随机摸出一个球，求摸出两个球都是红球的概率.⑵鼓楼区实施全面均衡分班，某校为七年级各班随机分配任课教师.已知该校七年级共有10 个班，语文洪老师、数学胡老师都执教该年级，则他俩都任教七⑴班的概率为.22．（8分）妈妈准备用5万元投资金融产品，她查询到有A、B两款“利滚利”产品，即上一周产生的收益将计入本金以计算下一周的收益。
南京市联合体2018-2019学年九年级上期末数学试卷及答案
2019–2019学年度第一学期期末学情分析样题九年级数学(考试时间120分钟，试卷满分120分)一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．16 的值等于（ ▲ ）A ．4B ．–4C ．±4D ．2 2．二次函数y = x 2－2x +3的图象的顶点坐标是（ ▲ ）A ．（－1，－2）B ．（1，－2）C ．（－1，2）D ．（1，2）3．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ▲ ）A ．对角线相等B ．对角线互相平分C ．对角线平分一组对角D ．对角线互相垂直4．顺次连接等腰梯形ABCD 各边中点E 、F 、G 、H ，则四边形EFGH 的形状为（ ▲ ）A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．平行四边形5．如图，在△ABC 中，点O 为△ABC 的内心，则∠OAC +∠OCB +∠OBAA ．45°B ．60°C ．90°D ．120° 6．如图，四边形OABC 为菱形，点B 、C 在以点O 为圆心的 ⌒EF 上， 若OA ＝2cm ，∠1＝∠2，则 ⌒EF的长为（ ▲ ） A ．π3 cm B ．2π3 cmC ．4π3 cmD ．8π3 cm二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分. 不需写出解答过程，请把答案填写在题中横线上．．．．．） 7．要使2–x 在实数范围内有意义，那么x 的取值范围是 ▲ ．8．如图，AB 是⊙O 的一条弦，AB =6，圆心O 到AB 的距离为4，则⊙O 的半径为 ▲ ． 9．如图，从圆O 外一点P 引圆O 的两条切线PA PB ，，切点分别为A B ，． 如果60APB ∠=，8PA =，那么弦AB 的长是 ▲ ．10．已知圆锥的底面半径为1cm ，母线长为3cm ，则其侧面积为 ▲ cm 2．第8题第6题A P第9题11．如图，海边有两座灯塔A 、B ，暗礁分布在经过A 、B 两点的弓形（弓形的弧是⊙O 的一部分）区域内，∠AOB =80°，为了避免触礁，轮船P 与A 、B 的张角∠APB 的最大值应为___▲__°． 12．已知关于x 的一元二次方程（k +1）x 2+2x －1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ▲ ． 13．等腰梯形的两条对角线互相垂直，中位线长为8cm ，则它的高为 ▲ cm ．14．如图，两个半径为2cm 的等圆互相重叠，且各自的圆心都在另一个圆上，则两圆重叠部分的面积是 ▲cm 2．(结果保留π)15．二次函数y =－x 2+bx +c 的部分图象如图所示，图象的对称轴为过点（－1，0）且平行于y 轴的直线，图象与x 轴交于点（1，0），则一元二次方程－x 2+bx +c =0的根为 ▲ ．16．如图，平行于x 轴的直线AC 分别交函数y 1=x 2（x ≥0）与y 2=x 23（x ≥0）的图象于B 、C 两点，过点C作y 轴的平行线交y 1的图象于点D ，直线DE ∥AC ，交y 2的图象于点E ，则DEAB = ▲ .三、解答题（本大题共11小题，共计88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分）计算：（212 －313）×6 ．18．（6分）解方程： 2x 2＋4x －1＝0 ．19．（6分）解方程： x (x –1)=2–2x ．20．（6分）为了迎接2019年江苏省“时代杯”数学竞赛，某校要从小孙和小周两名同学中挑选一人参加比第14题第11题赛，在最近的五次选拔测试中，两人的成绩等有关信息如下表所示： （1）根据题中已知信息，完成上述统计表（填入上表即可，不写过程）；（2）根据以上信息，若你是数学老师，你会选择谁参加比赛，理由是什么？ （参考公式：s 2= 1n[（x 1－_x )2+（x 2－_x )2+ … +（x n －_x )2] ．）21．（7分）已知二次函数y = x 2－2x ．（1）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象； （2）根据图象，写出当y ＜0时，x 的取值范围； （3）若将此图象沿x 轴向右平移3个单位，再沿y 轴向上平移1个单位，请直接写出平移后图象所对应的函数关系式．22．（8分）如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，垂足分别是E 、F ，且DE =DF ． （1）求证：△ADE ≌△CDF ；（2）判断四边形ABCD 的形状，并说明理由．23．（9分）如图，AP 是∠MAN 的平分线，B 是射线AN 上的一点，以AB 为直径作⊙O 交AP 于点C ，过第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 平均分 方差 小孙 75 90 75 90 70 70 小周708080908080AC点C 作CD ⊥AM 于点D ．（1）判断直线DC 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）若OA = 6，AD = 10，求CD 的长．24．（9分）如图，函数y =x －3的图象分别交x 轴、y 轴于点A 、B ，点C 坐标为（–1，0）．一条抛物线经过A 、B 、C 三点．（1）求抛物线所对应的函数关系式；（2）设点D 是线段AB 上的动点，过点D 作y 轴的平行线交抛物线于点E ，求线段DE 长度的最大值．25．（9分）七年级我们学过三角形的相关知识，在动手实践的过程中，发现了一个基本事实：A三角形的三条高（或三条高所在直线）相交于一点．其实，有很多八年级、九年级的问题均可用此结论解决．【运用】如图，已知：△ABC 的高AD 与高BE 相交于点F ，且∠ABC =45°，过点F 作FG ∥BC 交AB 于点G ，求证：FG +CD =BD ．小方同学在解答此题时，利用了上述结论，她的方法如下： 连接CF 并延长，交AB 于点M ， ∵△ABC 的高AD 与高BE 相交于点F ， ∴CM 为△ABC 的高.（请你在下面的空白处完成小方的证明过程.）【操作】如图AB 是圆的直径，点C 在圆内，请仅用无刻度的直尺．．．．．．．．画出△ABC 中AB 边上的高．BAAE CDG BFBCA D EF G M HN 26．（11分）如图，梯形ABCD 是某世纪广场的示意图，上底AD=90m ，下底BC =150m ，高100m ，虚线MN 是梯形ABCD 的中位线．要设计修建宽度均x m 的一条横向和两条纵向大理石通道，横向通道EGHF 以MN 为中心线，两条纵向通道均与BC 垂直． （1）试用含x 的代数式表示横向通道EGHF 的面积1s ；（2）若三条通道的面积之和恰好是梯形ABCD 面积的14时，求通道宽度x ； （3）经测算大理石通道的修建费用1y （万元）与通道宽度为x m 的关系式为：114y x ，广场其余部分的绿化修建费用为0.05万元／2m ,若设计要求通道宽度x ≤8m ，则宽度x 为多少时，世纪广场修建总费用最少？最少费用为多少？27．（11分）如图，在矩形ABCD 中，AB =6，BC =8，动点P 以2个单位/秒的速度从A 点出发，沿对角线AC 向C 移动，同时动点Q 以1个单位/秒的速度从C 点出发，沿CB 向点B 移动，当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t 秒．（1）求△CPQ 的面积S 与时间t 之间的函数关系式；（2）以P 为圆心，P A 为半径的圆与以Q 为圆心，QC 为半径的圆相切时，求出t 的值． （3）在P 、Q 移动的过程中，当△CPQ 为等腰三角形时，直接写出．．．．t 的值；备用图2019－2019学年第一学期期末学情分析样题(2)九年级数学答卷纸(考试时间120分钟，试卷满分120分)注意事项：1．答题前务必将密封线内的项目填写清楚．2．请用钢笔或圆珠笔（蓝色或黑色）在答卷纸上按照题号顺序，在各题目的答题区域内作答书写，字体工整、笔迹清楚．在草稿纸、试卷上答题无效．一、选择题（每小题2分，共16分）二、填空题（每小题2分，共16分）7．．12．．8．．13．．9．．14．．10．．15．．11．．16．．三、计算与求解17．（6分）计算：（212 －313）×6 ．18．（6分）解方程：2x2＋4x－1＝0 ．19．（6分）解方程：x(x–1)=2–2x．20．平均分方差小孙70小周80数学试卷21．22． 23．AAC数学试卷24．25．运用：连接CF 并延长，交AB 于点M ， ∵△ABC 的高AD 与高BE 相交于点F ， ∴CM 为△ABC 的高.BAAE CDGBF数学试卷BCA D E F G M HN 26． 27．备用图2019–2019学年度第一学期期末学情试卷参考答案及评分标准九年级数学说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分．一、选择题（每题2分，共12分）1．A 2．D 3．B 4．B 5．C 6．C二、填空题 (每小题2分，共20分)7．x ≤2 8．5 9．8 10．3π 11．40 12．k ＞－2且k ≠－113．8 14．83π－2 3 15．x 1=1，x 2=－3 16．3－ 3 三、解答题 (共88分)17．解：原式=（43－3）×6………………………………………………………………2分=33×6 …………………………………………………………………………4分= 9 2 …………………………………………………………………………6分18．解：(x +1)2 = 32………………………………………………………………………………3分 x 1=－1+62，x 2=－1－62………………………………………………………………6分 19．解：(x +2)( x －1)=0 …………………………………………………………………………3分x 1 =－2, x 2 = 1……………………………………………………………………………6分20．解：（1）80； 40． ………………………………………………………………………4分（2）选择小周参加比赛． ……………………………………………………………5分理由：小孙、小周两人成绩的平均数相同，但小周成绩的方差小于小孙，因此小周的成绩更稳定，所以选择小周参加数学比赛．……………………………………………6分21．解：（1）画图正确；…………………………………………………………………………2分（2）0＜x ＜2； …………………………………………………………………………4分（3）y =(x －4)2．（或y =x 2－8x+16）……………………………………………………7分22．解：（1）∵DE ⊥AB ，DF ⊥BC ∴∠AED =∠CFD =90°， ……………………………1分∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠A =∠C ，………………………………………………………………………3分在△AED 和△CFD 中, ∠AED =∠CFD ,∠A =∠C ,DE =DF ,∴△AED ≌△CFD （AAS ）； ……………………………………………………5分（2）四边形ABCD 是菱形． …………………………………………………………6分理由如下：∵△AED ≌△CFD ∴AD =CD ， ……………………………………7分又∵四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD 是菱形． ………………8分23．解：（1）直线DC 与⊙O 相切． …………………………1分理由如下：连接OC ， …………………………2分在⊙O 中，OA=OC ，∴∠OAC = ∠OCA ，∵AP 平分∠MAN ，∴∠DAC = ∠CAO ，∴∠DAC = ∠OCA ，∴AD ∥OC ， ……………3分又∵AD ⊥CD ，∴OC ⊥CD ，且OC 为⊙O 半径，∴直线DC 与⊙O 相切． ………………………4分（2）解法一：连接CB ，………………………………………………………………5分∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB =90°， …………………………………………6分∵AD ⊥CD ，∴∠ADC =90°，又∵∠DAC = ∠CAB ，∴△DAC ∽△ CAB ， …………………………………7分∴DA CA = CA BA ，即10CA = CA 12，CA 2=120， ………………………………………8分 ∴在Rt △ADC 中，CD =AC 2－AD 2 =20=25．………………………………9分解法二：作OE ⊥AD 于E ，………………………………………………………5分证OEDC 为矩形，…………………………………………………………………7分在Rt △OAE 中，OE =AO 2－AE 2=25=CD ．……………………………………9分24．解：（1）令x = 0，则y =－3，∴B （0, －3）；…………………………1分令y = 0，则x =3，∴A （3，0）…………………………………2分设抛物线所对应的函数关系式为y =ax 2+bx +c ，……………3分由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ c =－3 0 =9a +3 b + c 0 = a － b + c ． 解之，得a = 1，b =－2 ，c = －3， 故函数的关系式为y = x 2 －2x －3．………………………………………5分（2）设D （x ，x －3），E （x ，x 2 －2x －3），(0≤x ≤3) ………………………6分则DE = x －3－（x 2 －2x －3）……………………………………………7分=－x 2 +3x =－(x －32)2+94， ………………………………………8分 故x = 32 时，DE 的最大值为 94 ． ……………………………………9分A25．解：（1）在Rt △ADB 中，AD =BD ，………………………1分∵在Rt △BCM 中，∠MBC =45°，∴∠BCM =45°，即∠DCF =45°，…………………2分∴在Rt △CFD 中，CD =DF ， ……………………3分∵FG ∥BC ，∴∠AGF =∠ABC =45°，∴在Rt △AFG 中，AF =FG ，………………………4分∴FG +CD =AF +DF =AD =BD ． ……………………5分（2）如右图，CG 即为所画的高，画图正确． ………9分26．解：（1）1120s x = ……………………………………………………2分（2）根据题意得： 21112021002(90150)10042x x x +⨯-=⨯⨯+⨯ …………4分 解得：110x =，2150x =（不合题意，舍去） ……………6分（3）y=0.05(12000-320x+2x 2)+14x ……………7分20.1(10)590x =-+ ……………9分∵x ≤8∴当x =8时，y 有最小值590．4（万元）． ……………11分27．解：在矩形ABCD 中，∠B =90°，AB =6，BC =8，则AC =10，由题意得：AP =2t ，CP =10－2t ，CQ =t ，（1）过点P 作PF ⊥BC 于F ，可得△CPF ∽△ CAB ，∴PF AB = CP CA ，即PF 6 = 10－2t 10， ∴PF =6－65t ， ………2分 ∴S =12×QC ×PF =－35t 2+3t （0≤t ≤5）． ……………………3分 （2）∵△PCF ∽△ACB ， ∴PF PC FC AB AC BC ==，即1026108PF t FC -==，∴PF =665t -，FC =885t -， 则在Rt △PFQ 中，2222226841(6)(8)56100555PQ PF FQ t t t t t =+=-+--=-+． …………4分 ①当⊙P 与⊙Q 外切时，有PQ =P A +QC =3t ， 此时222415610095PQ t t t =-+=，整理得：2701250t t +-=， 解得t 1=156－35， t 2=－156－35（舍去）．………………………………6分A②当⊙P 与⊙Q 内切时，有PQ =P A －QC =t ， 此时22241561005PQ t t t =-+=，整理得：29701250t t -+=， 解得t 1= 259，t 2=5．……………………………………………………………8分 综上所述：⊙P 与⊙Q 相切时t =259或t =5或t =156－35． （3）当t = 103秒（此时PC =QC ），t = 259秒（此时PQ =QC ），或t = 8021秒（此时PQ =PC ）△CPQ 为等腰三角形． ……………………………………………………………………11分。
鼓楼初三期末数学试卷答案
一、选择题（每题3分，共15分）1. 已知等差数列{an}的公差为d，若a1=2，a5=16，则d=（）A. 2B. 4C. 6D. 8答案：B2. 已知函数f(x)=x^2+2x+1，则f(-1)=（）A. 0B. 1C. 2D. 3答案：A3. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，c=5，则sinA+sinB+sinC=（）A. 9B. 12C. 15D. 18答案：B4. 若方程x^2-3x+2=0的两根为x1、x2，则x1+x2=（）A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B5. 若等比数列{an}的公比为q，若a1=2，a4=16，则q=（）A. 1/2B. 2C. 4D. 8答案：C二、填空题（每题5分，共25分）6. 若函数f(x)=x^2-4x+3的图象与x轴有两个交点，则f(0)=______。
答案：37. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5=20，a1=1，则d=______。
答案：38. 在△ABC中，若a=5，b=7，c=8，则cosA=______。
答案：7/259. 若方程x^2-2x+1=0的两根为x1、x2，则x1^2+x2^2=______。
答案：210. 若等比数列{an}的公比为q，若a1=3，a4=81，则q=______。
答案：3三、解答题（共60分）11. （15分）已知函数f(x)=2x^2-4x+3，求函数的顶点坐标和开口方向。
解：首先，将函数f(x)写成顶点式，即f(x)=a(x-h)^2+k。
其中，顶点坐标为(h,k)。
f(x)=2x^2-4x+3=2(x^2-2x)+3=2(x^2-2x+1)-2+3=2(x-1)^2+1。
所以，顶点坐标为(1,1)，开口方向向上。
12. （15分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5=20，a1=1，求第10项an。
解：由等差数列的前n项和公式得，Sn=n(a1+an)/2。
江苏省南京市2018-2019年九年级数学上期末模拟题含答案
九年级数学上册期末模拟题一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1.某市2014年1月21日至24日每天的最高气温与最低气温如表：其中温差最大的一天是( )A．1月21日B．1月22日C．1月23日D．1月24日2.2015年我国大学生毕业人数将达到7 490 000人，这个数据用科学记数法表示为( )A．7.49³107B．7.49³106C．74.9³105D．0.749³1073.．下列四个图形中，不是中心对称图形的是( )A．B．C．D．4.用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，原方程应变形为（）A．（x+1）2=6 B．（x+2）2=9 C．（x﹣1）2=6 D．（x﹣2）2=95.把代数式ax2﹣4ax+4a分解因式，下列结果中正确的是（）A．a（x﹣2）2 B．a（x+2）2 C．a（x﹣4）2 D．a（x+2）（x﹣2）6.下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，不能摆成三角形的一组是（）A．2，3，5 B．3，4，6 C．4，5，7 D．5，6，87.函数y=中，自变量x的取值范围是（）A．x≥1 B．x＞1 C．x≥1且x≠2 D．x≠28.如图，经过原点O的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB=A. 80°B. 90°C. 100°D. 无法确定9.某中学举行校园歌手大赛，7位评委给选手小明的评分如下表：若比赛的计分方法是：去掉一个最高分，去掉一个最低分，其余分数的平均值作为该选手的最后得分，则小明的最后得分为 ( )A．9．56 B．9．57 C．9．58 D．9．5910.明君社区有一块空地需要绿化，某绿化组承担了此项任务，绿化组工作一段时间后，提高了工作效率．该绿化组完成的绿化面积S（单位：m2）与工作时间t（单位：h）之间的函数关系如图所示，则该绿化组提高工作效率前每小时完成的绿化面积是（）A．300m2 B．150m2 C．330m2 D．450m211.如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象,由图象可知不等式ax2+bx+c＜0解集是( )A．﹣1＜x＜5 B．x＞5 C．x＜﹣1且x＞5 D．x＜﹣1或x＞5 12.已知抛物线和直线l在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线x=﹣1，P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是抛物线上的点，P3（x3，y3）是直线l上的点，且﹣1＜x1＜x2，x3＜﹣1，则y1、y2、y3的大小关系为（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y1＜y2C．y3＜y2＜y1D．y2＜y1＜y3二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13.比较大小：12-____5-； 2_____(2)----． 14.如图，点C 是线段AB 上一点，AC ＜CB ，M 、N 分别是AB 和CB 的中点，AC=8，NB=5，则线段MN= ．15.已知a 4b 2n 与2a 3m+1b 6是同类项，则m= ，n= ．16.在一副扑克牌中，拿出红桃2，红桃3，红桃4，红桃5四张牌，洗匀后，小明从中随机摸出一张，记下牌面上的数字为x ，然后放回并洗匀，再由小华随机摸出一张，记下牌面上的数字为y ，组成一对数（x ，y ）．则小明、小华各摸一次扑克牌所确定的一对数是方程x+y=5的解的概率为 ．17.方程2x 7x 5-=的解是________________. 18.若函数y=mx 2+2x+1的图象与x 轴只有一个公共点,则常数m 的值是三、计算题（本大题共1小题，共6分）19.计算：四、解答题（本大题共5小题，共42分）20. “先化简，再求值：，其中，x=﹣3”．小玲做题时把“x=﹣3”错抄成了“x=3”，但她的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事？21.如图，E F 、是平行四边形ABCD 对角线AC 上两点，BE DF ∥，求证：AF CE ．DC AB EF22.为了丰富同学们的课余生活，某学校举行“亲近大自然”户外活动，现随机抽取了部分学生进行主题为“你最想去的景点是？”的问卷调查，要求学生只能从“A（植物园），B （花卉园），C（湿地公园），D（森林公园）”四个景点中选择一项，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图．请解答下列问题：（1）本次调查的样本容量是；（2）补全条形统计图；（3）若该学校共有3600名学生，试估计该校最想去湿地公园的学生人数．23.如图，已知AB为⊙O的直径，AC为⊙O的切线，OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于点E．（1）求证：∠1=∠CAD；（2）若AE=EC=2，求⊙O的半径．24.如图,二次函数y=ax2-4x+c的图象过原点,与x轴交于点A(-4,0).(1)求此二次函数的解析式.(2)在抛物线上存在点P,满足S△AOP=8,请直接写出点P的坐标.25.如图，AC是矩形ABCD的对角线，过AC的中点O作EF⊥AC，交BC于点E，交AD于点F，连接AE，CF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若AB=，∠DCF=30°，求四边形AECF的面积．（结果保留根号）五、综合题（本大题共1小题，共12分）26.如图，一小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数y=﹣x2+4x刻画，斜坡可以用一次函数y=x刻画．（1）请用配方法求二次函数图象的最高点P的坐标；（2）小球的落点是A，求点A的坐标；（3）连接抛物线的最高点P与点O、A得△POA，求△POA的面积；（4）在OA上方的抛物线上存在一点M（M与P不重合），△MOA的面积等于△POA的面积．请直接写出点M的坐标．九年级数学上册期末模拟题答案1.B2.B3.C4.C5.A ．6.A7.C ．8.B9.C 10.B. 11.D ． 12.D 13.___>__；__<_;14.4 ;15.答案为：1，3．16.P(和等于5)=．17.x=-518. 答案:1或019.略20.解：原式=(+)•(x+2)(x ﹣2)=•(x+2)(x ﹣2)=x 2+4，∵(﹣3)2+4=32+4=9+4，∴她的计算结果也是正确的．21.证明：平行四边形ABCD 中，AD BC ∥，AD BC =，ACB CAD ∴∠=∠．又BE DF ∥，BEC DFA ∴∠=∠，BEC DFA ∴△≌△，∴CE AF =【解析】略22.【解答】解：（1）本次调查的样本容量是15÷25%=60；（2）选择C 的人数为：60﹣15﹣10﹣12=23（人），补全条形图如图：（3）³3600=1380（人）．答：估计该校最想去湿地公园的学生人数约由1380人．故答案为：60．23.【解答】（1）证明：∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADO+∠BDO=90°，∵AC为⊙O的切线，∴OA⊥AC，∴∠OAD+∠CAD=90°，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∵∠1=∠BDO，∴∠1=∠CAD；（2）解：∵∠1=∠CAD，∠C=∠C，∴△CAD∽△CDE，∴CD：CA=CE：CD，∴CD2=CA•CE，∵AE=EC=2，∴AC=AE+EC=4，∴CD=2，设⊙O的半径为x，则OA=OD=x，则Rt△AOC中，OA2+AC2=OC2，∴x2+42=（2+x）2，解得：x=．∴⊙O的半径为．24.【解析】(1)依题意,得解得∴二次函数的解析式为y=-x2-4x.(2)令P(m,n),则S△AOP=AO²|n|=³4|n|=8,解得n=±4,又∵点P(m,n)在抛物线y=-x2-4x上,∴-m2-4m=±4,分别解得m1=-2,m2=-2+2和m3=-2-2,∴P1(-2,4),P2(-2+2,-4),P3(-2-2,-4).25.【解答】（1）证明：∵O是AC的中点，且EF⊥AC，∴AF=CF，AE=CE，OA=OC，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AFO=∠CEO，在△AOF和△COE中，，∴△AOF≌△COE（AAS），∴AF=CE，∴AF=CF=CE=AE，∴四边形AECF是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=，在Rt△CDF中，cos∠DCF=，∠DCF=30°，∴CF==2，∵四边形AECF是菱形，∴CE=CF=2，∴四边形AECF是的面积为：EC•AB=2．26.解答：解：（1）由题意得，y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，故二次函数图象的最高点P的坐标为（2，4）；（2）联立两解析式可得：，解得：，或．故可得点A的坐标为（，）；（3）如图，作PQ⊥x轴于点Q，AB⊥x轴于点B．S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA=³2³4+³（+4）³（﹣2）﹣³³=4+﹣=；（4）过P作OA的平行线，交抛物线于点M，连结OM、AM，则△MOA的面积等于△POA的面积．设直线PM的解析式为y=x+b，∵P的坐标为（2，4），∴4=³2+b，解得b=3，∴直线PM的解析式为y=x+3．由，解得，，∴点M的坐标为（，）．。
2018-2019学年九年级(上)期末数学试卷(有答案和解析)
2018-2019学年九年级（上）期末数学试卷一、选择题（每小题4分，共40分）1．下列图形是我们日常生活中经常看到的一些标志，则其中是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．若关于x的一元二次方程x2﹣ax＝0的一个解是﹣1，则a的值为（）A．1B．﹣2C．﹣1D．23．下列事件中是必然事件的是（）A．投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数为50次B．任意一个六边形的外角和等于720°C．同时掷两枚质地均匀的骰子，两个骰子的点数相同D．367个同学参加一个集会，他们中至少有两个同学的生日是同月同日4．如图，在⊙O中，M是弦CD的中点，EM⊥CD，若CD＝4cm，EM＝6cm，则⊙O的半径为（）A．5B．3C．D．45．抛物线y＝x2﹣4x+6的顶点坐标是（）A．（﹣2，2）B．（2，﹣2）C．（2，2）D．（﹣2，﹣2）6．已知方程x2+2018x﹣3＝0的两根分别为α和β，则代数式α2+αβ+2018α的值为（）A．1B．0C．2018D．﹣20187．如图，△ABC中，∠CAB＝70°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB'C'的位置，使得C′C∥AB，则∠CAB'等于（）A．30°B．25°C．15°D．10°8．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠A＝80°，∠OBC＝60°，则∠ODC的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．30°9．已知a、b是等腰三角形的两边，且a、b满足a2+b2+29＝10a+4b，则△ABC的周长为（）A．14B．12C．9或12D．10或1410．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0），对称轴为直线l，则下列结论：①abc＞0；②a+b+c ＞0；③a+c＞0；④a+b＞0，正确的是（）A．①②④B．②④C．①③D．①④二、填空题（8小题，每小题4分，共32分）11．在直角坐标系中，点（﹣1，2）关于原点对称点的坐标是．12．抛物线y＝x2的对称轴是直线．13．一元二次方程x（x﹣2）＝x﹣2的根是．14．小明和他的哥哥、姐姐共3人站成一排，小明与哥哥相邻的概率是．15．圣诞节，小红用一张半径为24cm，圆心角为120°的扇形红色纸片做成一个圆锥形的帽子，则这个圆锥形帽子的高为cm．16．已知关于x的方程x2+x﹣m＝0有实数解，则m的取值范围是．17．某校规划在一个长16m，宽9m的矩形场地ABCD上修建同样宽度的三条小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草，如果草坪部分的总面积为112m2，设小路的宽为xm，那么x满足的方程是．18．已知二次函数y＝ax2+bx﹣2自变量x的部分取值和对应的函数值y如下表，则在实数范围内能使得y﹣1＞0成立的x的取值范围是．三、解答题：（7个小题，共78分）19．（8分）解方程（1）x2﹣2x﹣48＝0．（2）2x2﹣4x＝﹣1．20．（10分）将抛物线y1＝2x2先向下平移2个单位，再向右平移3个单位得到抛物线y2．（1）直接写出平移后的抛物线y2的解析式；（2）求出y2与x轴的交点坐标；（3）当y2＜0时，写出x的取值范围．21．（12分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（3，4）、B（1，2）、C（5，3）（1）将△ABC平移，使得点A的对应点A1的坐标为（﹣2，4），在如图的坐标系中画出平移后的△A1B1C1；（2）将△A1B1C1绕点C1逆时针旋转90°，画出旋转后的△A2B2C1并直接写出A2、B2的坐标；（3）求△A2B2C1的面积．22．（12分）传统节日“元宵节”时，小丽的妈妈为小丽盛了一碗汤圆，其中一个汤圆是花生馅，一个汤圆是黑芝麻馅，两个汤圆草莓馅，这4个汤圆除了内部馅料不同外，其他均相同．（1）若小丽随意吃一个汤圆，刚好吃到黑芝麻馅的概率是多少？（2）小丽喜欢草莓馅的汤圆，妈妈在盛了4个汤圆后，又为小丽多盛了2个草莓馅的汤圆，若小丽吃2个汤圆，都是草莓馅的概率是多少？23．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径作⊙O，交AB于点D，E为BC 的中点，连接DE并延长交AC的延长线于点E．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若CF＝2，DF＝4，求⊙O的半径．24．（12分）一年一度的“春节”即将到来，某超市购进一批价格为每千克3元的桔子，根据市场预测，该种桔子每千克售价4元时，每天能售出500千克，并且售价每上涨0.1元，其销售量将减少10千克，物价部门规定，该种桔子的售价不能超过进价的200%，请你利用所学知识帮助超市给这种桔子定价，使得超市每天销售这种桔子的利润为800元．25．（12分）抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与直线y＝kx+c（k≠0）相交于A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点，且抛物线与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）求出C、D两点的坐标（3）在第四象限抛物线上有一点P，若△PCD是以CD为底边的等腰三角形，求出点P的坐标．2018-2019学年九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共40分）1．【分析】根据中心对称的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，结合选项即可得出答案．【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；B、不是中心对称图形，故本选项错误；C、是中心对称图形，故本选项正确；D、不是中心对称图形，故本选项错误．故选：C．【点评】此题考查了中心对称的知识，解答本题一定要熟练中心对称的定义，关键是寻找中心对称点，要注意和轴对称区分开来．2．【分析】把x＝﹣1代入方程x2﹣ax＝0得1+a＝0，然后解关于a的方程即可．【解答】解：把x＝﹣1代入方程x2﹣ax＝0得1+a＝0，解得a＝﹣1．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．3．【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．【解答】解：A、投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面向上的次数为50次是随机事件；B、任意一个六边形的外角和等于720°是不可能事件；C、任同时掷两枚质地均匀的骰子，两个骰子的点数相同是随机事件；D、367个同学参加一个集会，他们中至少有两个同学的生日是同月同日是必然事件；故选：D．【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．4．【分析】如图，连接OC．设⊙O的半径为r．首先证明EN经过圆心O，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【解答】解：如图，连接OC．设⊙O的半径为r．∵CM＝DM＝2cm，EM⊥CD，∵EM经过圆心O，在Rt△COM中，∵OC2＝OM2+CM2，∴r2＝22+（6﹣r）2，∴r＝，故选：C．【点评】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．5．【分析】已知抛物线的一般式，利用配方法转化为顶点式，直接写成顶点坐标．【解答】解：∵y＝x2﹣4x+6＝x2﹣4x+4+2＝（x﹣2）2+2，∴抛物线y＝x2﹣4x+6的顶点坐标为（2，2）．故选：C．【点评】此题考查了二次函数的性质，二次函数y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k）；此题还考查了配方法求顶点式．6．【分析】由根与系数的关系得到α+β＝﹣2018，将其代入整理后的代数式求值．【解答】解：依题意得：αβ＝﹣3，α+β＝﹣2018，α2+2018α﹣3＝0，所以α2+αβ+2018α＝α（α+β）+2018α＝﹣2018α+2018α＝0．故选：B．【点评】考查了根与系数的关系，一元二次方程的解的定义，解题的巧妙之处在于将所求的代数式转化为α（α+β）+2018α的形式，然后代入求值．7．【分析】先根据平行线的性质得∠ACC′＝∠CAB＝70°，再根据旋转的性质得AC＝AC′，∠CAC′＝∠BAB′，根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠CAC′＝40°，所以∠BAB′＝40°，然后计算∠CAB′＝∠CAB﹣∠BAB′即可．【解答】解：∵C′C∥AB，∴∠ACC′＝∠CAB＝70°，∵△ABC绕点A旋转到△AB'C'的位置，∴AC＝AC′，∠CAC′＝∠BAB′，∴∠ACC′＝∠AC′C＝70°，∴∠CAC′＝180°﹣70°﹣70°＝40°，∴∠BAB′＝40°，∴∠CAB′＝∠CAB﹣∠BAB′＝70°﹣40°＝30°．故选：A．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．8．【分析】在四边形OBCD中，利用四边形内角和定理即可解决问题．【解答】解：∵∠A＝80°，∴∠C＝180°﹣80°＝100°，∠BOD＝2∠A＝160°，∴∠ODC＝360°﹣160°﹣60°﹣100°＝40°，故选：A．【点评】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．9．【分析】利用配方法分别求出a、b，根据三角形三边关系、等腰三角形的概念计算．【解答】解：a2+b2+29＝10a+4b，a2﹣10a+25+b2﹣4b+4＝0，（a﹣5）2+（b﹣2）2＝0，a﹣5＝0，b﹣2＝0，解得，a＝5，b＝2，∵2、2、5不能组成三角形，∴这个等腰三角形的周长为：5+5+2＝12，故选：B．【点评】本题考查的是配方法、非负数的性质、等腰三角形的性质以及三角形三边关系，掌握配方法、完全平方公式是解题的关键．10．【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：①抛物线的对称轴位于y轴的右侧，则a、b异号，即ab＜0．抛物线与y轴交于负半轴，则c＜0．所以abc＞0．故正确；②如图所示，当x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0，故错误；③由图可知，当x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0，x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0，所以a+a+c+c＜0．所以2a+2c＜0．所以a+c＜0．故错误；④由图可知，当x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0．当x＝2时，y＞0，即4a+2b+c＞0，所以4a+2b+b﹣a＞0，所以3a+3b＞0．所以a+b＞0．故正确．故选：D．【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换．二、填空题（8小题，每小题4分，共32分）11．【分析】根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），可得答案．【解答】解：在直角坐标系中，点（﹣1，2）关于原点对称点的坐标是（1，﹣2），故答案为：（1，﹣2）．【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．12．【分析】直接利用y＝ax2图象的性质得出其对称轴．【解答】解：抛物线y＝x2的对称轴是直线y轴或（x＝0）．故答案为：y轴或（x＝0）．【点评】此题主要考查了二次函数的性质，正确掌握简单二次函数的图象是解题关键．13．【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：x（x﹣2）＝x﹣2，x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，（x﹣2）（x﹣1）＝0，x﹣2＝0，x﹣1＝0，x1＝2，x2＝1，故答案为：1或2．【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．14．【分析】根据题意可以写出所有的可能性，从而可以解答本题．【解答】解：设小明为A，哥哥为B，姐姐为C，则所有的可能性是：（ABC），（ACB），（BAC），（BCA），（CAB），（CBA），∴他的哥哥相邻的概率是＝，故答案为：．【点评】此题考查的是用树状图法求概率的知识．注意树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．15．【分析】根据圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长是16π，列出方程求解即可求得半径，然后利用勾股定理求得高即可．【解答】解：半径为24cm、圆心角为120°的扇形弧长是：＝16π，设圆锥的底面半径是r，则2πr＝16π，解得：r＝8cm．所以帽子的高为＝16故答案为：16．【点评】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．16．【分析】方程有解时△≥0，把a、b、c的值代入计算即可．【解答】解：依题意得：△＝12﹣4×1×（﹣m）≥0．解得m≥﹣．故答案是：m≥﹣．【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是注意：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．17．【分析】设小路的宽为xm，则草坪部分可合成长为（16﹣x）m，宽为（9﹣2x）m的矩形，根据矩形的面积公式结合草坪部分的总面积为112m2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：设小路的宽为xm，则草坪部分可合成长为（16﹣x）m，宽为（9﹣2x）m的矩形，依题意，得：（16﹣x）（9﹣2x）＝112．整理，得：2x2﹣41x+32＝0．故答案为：2x2﹣41x+32＝0．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．18．【分析】根据图表求出函数对称轴，再根据图表信息和二次函数的对称性得出y＝1的自变量x 的值即可．【解答】解：∵x＝0，x＝2的函数值都是﹣3，相等，∴二次函数的对称轴为直线x＝1，∵x＝﹣1时，y＝1，∴x＝3时，y＝1，根据表格得，自变量x＜1时，函数值逐点减小，当x＝1时，达到最小，当x＞1时，函数值逐点增大，∴抛物线的开口向上，∴y﹣1＞0成立的x取值范围是x＜﹣1或x＞3，故答案为：x＜﹣1或x＞3．【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，读懂图表信息，求出对称轴解析式是解题的关键．此题也可以确定出抛物线的解析式，再解不等式或利用函数图形来确定．三、解答题：（7个小题，共78分）19．【分析】（1）直接利用十字相乘法分解因式解方程即可；（2）直接利用配方法将原式变形，进而解方程即可．【解答】解：（1）x2﹣2x﹣48＝0（x+6）（x﹣8）＝0，解得：x1＝﹣6，x2＝8；（2）2x2﹣4x＝﹣1（x2﹣2x）＝﹣（x﹣1）2＝，则x﹣1＝±，解得：x1＝1+，x2＝1﹣．【点评】此题主要考查了十字相乘法、配方法解方程，正确分解因式是解题关键．20．【分析】（1）利用点平移规律写出平移后的顶点坐标为（3，﹣2），然后利用顶点式写出抛物线y2的解析式；（2）通过解方程2（x﹣3）2﹣2＝0得y2与x轴的交点坐标；（3）利用函数图象写出抛物线在x轴上方对应的自变量的范围即可．【解答】解：（1）平移后的抛物线y2的解析式为y2＝2（x﹣3）2﹣2；（2）当y2＝0时，2（x﹣3）2﹣2＝0，解得x1＝2，x2＝4，所以y2与x轴的交点坐标为（2，0），（4，0）；（3）当2＜x＜4时，y2＜0．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．21．【分析】（1）由点A及其对应点A1的位置得出平移方向和距离，再将点B和点C分别按此方式平移得出其对应点，继而首尾顺次连接即可得；（2）由旋转的性质作出变换后的对应点，再首尾顺次连接即可得；（3）利用割补法求解可得．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．（2）如图所示，△A2B2C1即为所求，其中A2的坐标为（﹣1，1）、B2的坐标为（1，﹣1）；（3）△A2B2C1的面积为2×4﹣×2×2﹣×1×2﹣×1×4＝3．【点评】本题主要考查作图﹣旋转变换和平移变换，解题的关键是掌握旋转变换和平移变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应点．22．【分析】（1）直接利用概率公式计算可得；（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．【解答】解：（1）所有等可能结果中，满足吃一个汤圆，吃到黑芝麻馅的结果只有1种，∴吃到黑芝麻馅的概率为；（2）列表如下：由表知，共有30种等可能结果，2个都是草莓馅的结果有12种，所以都是草莓馅的概率是．【点评】此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．23．【分析】（1）连接OD、CD，由AC为⊙O的直径知△BCD是直角三角形，结合E为BC的中点知∠CDE＝∠DCE，由∠ODC＝∠OCD且∠OCD+∠DCE＝90°可得答案；（2）设⊙O的半径为r，由OD2+DF2＝OF2，即r2+42＝（r+2）2可得r＝3，即可得出答案．【解答】解：（1）如图，连接OD、CD，∵AC为⊙O的直径，∴△BCD是直角三角形，∵E为BC的中点，∴BE＝CE＝DE，∴∠CDE＝∠DCE，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∵∠ACB＝90°，∴∠OCD+∠DCE＝90°，∴∠ODC+∠CDE＝90°，即OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）设⊙O的半径为r，∵∠ODF＝90°，∴OD2+DF2＝OF2，即r2+42＝（r+2）2，解得：r＝3，∴⊙O的半径为3．【点评】本题主要考查切线的判定与圆周角定理、直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握切线的判定与圆周角定理是解题的关键．24．【分析】设每千克桔子的定价为x元时，每天的利润为800元，则每天可售出（500﹣10×）千克桔子，根据总利润＝每千克利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合售价不能超过进价的200%即可确定x的值，此题得解．【解答】解：设每千克桔子的定价为x元时，每天的利润为800元，则每天可售出（500﹣10×）千克桔子，依题意，得：（x﹣3）（500﹣10×）＝800，整理，得：x2﹣12x+35＝0，解得：x1＝5，x2＝7．∵售价不能超过进价的200%，∴x≤3×200%，即x≤6，∴x＝5．答：每千克桔子的定价为5元时，每天的利润为800元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．25．【分析】（1）把A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点坐标代入y＝ax2+bx﹣3可得抛物线解析式．（2）当x＝0时可求C点坐标，求出直线AB解析式，当x＝0可求D点坐标．（3）由题意可知P点纵坐标为﹣2，代入抛物线解析式可求P点横坐标．【解答】解：（1）把A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点坐标代入y＝ax2+bx﹣3可得解得∴y＝x2﹣2x﹣3（2）把x＝0代入y＝x2﹣2x﹣3中可得y＝﹣3∴C（0，﹣3）设y＝kx+b，把A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点坐标代入解得∴y＝﹣x﹣1∴D（0，﹣1）（3）由C（0，﹣3），D（0，﹣1）可知CD的垂直平分线经过（0，﹣2）∴P点纵坐标为﹣2，∴x2﹣2x﹣3＝﹣2解得：x＝1±，∵x＞0∴x＝1+．∴P（1+，﹣2）【点评】本题是二次函数综合题，用待定系数法求二次函数的解析式，把x＝0代入二次函数解析式和一次函数解析式可求图象与y轴交点坐标，知道点P纵坐标带入抛物线解析式可求点P的横坐标．。
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2018-2019（上）南京市鼓楼区九年级期末数学试卷 数 学注意事项：本试卷共6页，全卷满分120分，考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卷指定位置，答在本试卷上无效．一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填在答题卷相应位置．．．．．．．上） 1．一元二次方程x (x －5)＝0的解是A ．0B ．5C ．0和5D ．0和－5 2．下列四点中，在函数y ＝x 2＋1的图像上的是A ．（1，0）B ．（0，1）C ．（0，－1）D ．（－1，0） 3．若△ABC ∽△DEF ，相似比为1∶2,则△ABC 与△DEF 的面积的比为 A ．1∶2 B ．1∶4 C ．2∶1 D ．4∶1 4．已知扇形的圆心角为60°，半径．．为1，则扇形的弧长．．为 A ．π6B ．π4C ．π3D ．π25．若点P 是线段AB 的黄金分割点，AP ＞BP ，AB ＝2，则AP 的长度是 6．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5，AC ＝4，CD ⊥AB 于D ，则tan ∠BCD 的值为 A ．45B ．54C ．43D ．34二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．无需写出解答过程，请把答案直接 填写在答题卷相应位置．．．．．．．上） 7．若sin A ＝12，则∠A ＝ ▲ °．A ．5－1B ．3－5C ．5－12D ．3－52C（第6题）AD（第5题）ABPab＝32，则a－bb的值为▲．8．若9．若四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∠A ＝120°，则∠C 的度数是 ▲ ．10．若一元二次方程x 2＋mx －3＝0（m 为常数）的一个根是x ＝1，则另一个根是 ▲ ． 11．二次函数y ＝x 2－4x 图像的顶点坐标为 ▲ ．12．一个圆锥的底面半径为2，母线长为5，则其侧面积为 ▲ ． 13．如图，△ABC 的中线BE 、CD 交于点G ，则 DGGC 的值为 ▲ ．14．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图像上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如表格所示．当y ＝0时，x 的值是 ▲ ．15．如图，△ABC 中，AB ＝6，AC ＝12，点D 、E 分别在AB 、AC 上，其中BD ＝x ，AE ＝2x ．当△ADE 与△ABC 相似时，x 的值可能是 ▲ ．16．如图，⊙O 的两条弦AB 和CD 相交于点P ，若AC ⌒、BD ⌒的度数分别为60°、40°，则∠APC的度数为 ▲ ．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卷指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8分）求下列各式的值：（1）sin 230°＋cos230°； （2）sin45°cos45°＋4tan30°sin60°．18．（8分）解下列方程：（1）x 2－16＝0； （2）x 2－5x －6＝0．ABDG（第13题） E （第12题）ABCDE（第15题）（第16题）19．（7分）如图，在阳光下，身高1.7 m 的小明AB 在地面上的影长BC 为3.4 m ．在同一时刻，测得旗杆在地面的影长EF 为24 m ，求旗杆DE 的高度．20．（8分）△ABC 中，D 在边AC 上，∠ABD ＝∠C ．（1）求证：△ADB ∽△ABC ； （2）若AB ＝6，AD ＝4，求AC 的长．21．（8分）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，AE ＝1，CD ＝4，连接O C ．（1）求⊙O 的半径； （2）求sin ∠COA 的值．DA BECF（第19题）ABCD（第20题）（第21题）22．（8分）一块长方形菜地的面积是150 m2．如果它的长减少5 m，那么它就成为正方形菜地．求这个长方形菜地的长和宽．23．（8分）已知二次函数y＝a(x－2)2－1的图像经过点（0，3）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）直接写出y＞0时x的取值范围；（3）该函数的图像通过左右平移可以经过原点，写出所有可能的平移方案．24．（8分）如图，为测量某建筑物EF的高度，小明在楼AB上选择观测点A、C，从A测得建筑物的顶部E的仰角为37°，从C测得建筑物的顶部E的仰角为45°．A处高度为20 m，C 处高度为10 m．求建筑物EF的高度（精确到1 m）．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，2≈1.4．）ABC（第24题）E F25．（8分）△ABC 中，BC ＝12，高AD ＝8，矩形EFGH 的一边GH 在BC 上，顶点E 、F 分别在AB 、AC 上，AD 与EF 交于点M ． （1）求证：AM AD ＝EFBC；（2）设EF ＝x ，EH ＝y ，写出y 与x 之间的函数表达式；（3）设矩形EFGH 的面积为S ，求S 与x 之间的函数表达式，并写出S 的最大值．26．（8分）如图，AB 为⊙O 直径，C 、D 为⊙O 上的点，∠ACD ＝2∠A ，CE ⊥DB 交DB 的延长线于点E ．（1）求证：直线CE 与⊙O 相切； （2）若AC ＝8，AB ＝10，求CE 的长．（第26题）ABCDEFHG（第25题）M27．（9分）下图是某同学对一道作业题的解题思路，课堂上师生据此展开了讨论．可以优化吗？（1）同学们发现不需要证“∠OAB ＝90°”也能求解，简要说明理由；有什么收获？（2）面积法是图形问题中确定数量关系的有效方法，请利用面积法求解：如图1，⊙O 与△ABC的边BA 、B C 边的延长线AE 、CF 相切，切点分别为D 、E 、F ．设△ABC 的面积为S ，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，请用含S 、a 、b 、c 的式子表示⊙O 的半径R ，直接写出结果．还能怎么解？（3）几位同学提出了不同的思路：①甲说：S △AOC 和S △ABC 的面积之比既是OC CB ，又是AO AB ，从而OC CB ＝AOAB ；②乙说：在AB 边上取点G ，使AG ＝AO ，连CG ，可知BG 的长即为所求； ③丙说：延长AC 交△AOB 的外接圆于N ，再利用一次函数或相似求出O C ． 请你选择其中一种解法，利用图2和已有步骤．．．．完成解答． 【答卷纸上给出，试卷上不给出】（3）解：同原解法可得AO ＝2，AB ＝23，OB ＝4，∠AOB ＝60°，∠ABO ＝30°．（第27题图1）九上期末考试数学试题参考答案及评分标准说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分．一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）7．30． 8．12． 9．60．10．－3．11．（2，－4）． 12．10π．13．12．14．－1或3． 15．3或65．16．50．三、解答题（本大题共11小题，共68分） 17．（本题8分）（1）解：原式＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫322............................................................................................. 2分＝1．............................................................................................................ 4分（2）解：原式＝22×22＋4×33×32.......................................................................... 3分 ＝52．............................................................................................................ 4分18．（本题8分）（1）解：x 2＝16． .............................................................................................................. 1分 ∴x 1＝4，x 2＝－4 ． ................................................................................................ 4分（2）解法1：⎝⎛⎭⎫x －522＝494． ............................................................................................ 2分 x －52＝72或x －52＝－72． ........................................................................................... 3分 ∴ x 1＝6，x 2＝－1． ............................................................................................ 4分（2）解法2：(x －6)(x ＋1)＝0． ........................................................................................ 3分∴ x 1＝6，x 2＝－1． ............................................................................................ 4分19．（本题7分）解：根据“在平行光的照射下，在同一时刻，不同物体的物高与影长成比”， 得 DE EF ＝AB CB ，即 DE 24＝1.73.4， ........................................................................................... 4分∴ DE ＝12 m ． .................................................................................................................. 7分 答：旗杆DE 的高度为12 m ．（1）证明：在△ADB 和△ABC 中， ∵ ∠ABD ＝∠C ，∠A ＝∠A ，∴ △ADB ∽△AB C ． ........................................................................................................ 4分 （2）解：∵ △ADB ∽△ABC ，∴ AB AC ＝AD AB ． ..................................................................................................................... 6分∴ AB 2＝AD •A C ． 即 62＝4A C ．∴ AC ＝9． ........................................................................................................................ 8分21．（本题8分）（1）解：∵ AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，∴ CE ＝DE ＝12CD ＝2． .................................................................................................... 2分⊙O 中，设OC ＝OA ＝r ，则OE ＝r －1． ∵ Rt △OED 中，∠CEO ＝90°，∴ (r －1)2＋22＝r 2． .......................................................................................................... 3分 解得 r ＝52．即 ⊙O 的半径为52． .......................................................................................................... 6分（2）解：∵ 在Rt △OEC 中，∠CEO ＝90°，∴ sin ∠COA ＝CE CO ＝45． ................................................................................................... 8分22．（本题8分）解：设长方形的宽为x m ，则长为(x ＋5) m ． .................................................................. 2分 由题意列方程得：x (x ＋5)＝150． ..................................................................................... 5分 解得：x 1＝10，x 2＝－15（舍去）． ................................................................................... 7分 答：长方形菜地宽为10 m ，长为15 m. ........................................................................... 8分23．（本题8分）（1）解：把x ＝0，y ＝3代入y ＝a (x －2)2－1中，解得a ＝1． .................................... 3分 ∴ 这个函数的表达式为y ＝(x －2)2－1． ....................................................................... 4分 （2）x ＜1或x ＞3． ............................................................................................................ 6分 （3）方案1：将该函数的图像向左平移1个单位； ....................................................... 7分 方案2：将该函数的图像向左平移3个单位． ................................................................. 8分解：作AD ⊥EF ，CG ⊥EF ，垂足分别是D 、G ． ........................................................... 1分 ∵ 在Rt △AED 中，tan37°＝DEAD， ∴ AD ＝DEtan37°． .3分∵ 在Rt △CEG 中，tan45°＝EGCG， ∴ CG ＝EG tan45°．5分 又 四边形ACGD 是矩形，∴ CG ＝AD ，AC ＝G D ．∴ EG tan45°＝DE tan37°， ..................................................................................................... 6分∴ 10＋DE ＝DE0.75．∴ DE ＝30． ...................................................................................................................... 7分 答：建筑物EF 的高度高度EF 为50 m ． ......................................................................... 8分 25．（本题8分）（1）证明：∵ AD ⊥BC ， ∴ ∠ADB ＝90°．∵ 四边形EGHF 是矩形，且GH 在BC 上，∴ EF ∥B C ． ..................................................................................................................... 1分 ∴ ∠AME ＝∠ADB ＝90°． ∴ AM 是△AEF 的高． ∵ EF ∥BC ，∴ △AEF ∽△AB C ． ......................................................................................................... 2分∴ AM AD ＝EF BC ． ..................................................................................................................... 3分（2）解：∵ 四边形EGHF 是矩形， ∴ ∠EHD ＝∠HEM ＝90°． ∵ ∠ADB ＝90°，∴ 四边形EMDH 是矩形． ∴ MD ＝EH ＝y ，AM ＝8－y ．由（1）得8－y 8＝x 12， .......................................................................................................... 3分∴ y ＝－2x3＋8． ................................................................................................................ 5分（3）解：S ＝x •y ＝x ⎝⎛⎭⎫－2x 3＋8＝－23(x －6)2＋24． ......................................................... 7分∴ 当x ＝6时，S 取最大值，S 的最大值是24． ........................................................... 8分（1）证明：连接OC ．∵ ⊙O 中，OC ＝OA ，∴ ∠1＝∠A ． ................................................................................................................... 1分 ∵ ∠ACD ＝2∠A ， ∴ ∠2＋∠1＝2∠A ． 即 ∠2＝∠A ． ∵ ∠A ＝∠3，∴ ∠2＝∠3．2分 ∴ OC ∥BE ．3分 ∴ ∠OCE ＋∠E ＝180°. ∵ CE ⊥DB ， ∴ ∠E ＝90°．∴ ∠OCE ＝90°，即OC ⊥CE ． ...................................................................................... 4分 又 点C 在⊙O 上，∴ 直线CE 与⊙O 相切． ................................................................................................. 5分 （2） 解：连接B C ． ∵ AB 是直径， ∴ ∠ACB ＝90°． ∴ BC ＝AB 2－AC 2＝6． ∵ ∠E ＝90°，∴ ∠ACB ＝∠E ．.............................................................................................................. 6分 ∵ ∠OCE ＝90°， ∴ ∠BCE ＝∠1＝∠A ． ∵ ∠ACB ＝∠E ，∠BCE ＝∠A ，∴ △ACB ∽△CEB ． ...................................................................................................... 7分∴ AC EC ＝AB CB ．即 8EC ＝106．解得 EC ＝245． .................................................................................................................. 8分（1）因为计算△AOB 的面积用OB •AD 即可，不需要OA •BO ． ................................. 2分 （2）R ＝2Sa ＋c －b． ............................................................................................................. 5分（3）解法①：……作AD ⊥OB ，CE ⊥AB ，CF ⊥AO ．∵ S △AOC S △ABC ＝OC CB ，S △AOC S △ABC ＝AO AB ， .......................................................................................... 6分∴ OC CB ＝AO AB． ..................................................................................................................... 7分 即OC 4－OC ＝223． ............................................................................................................. 8分 解得：OC ＝23－2． ......................................................................................................... 9分解法②：……在AB 上取点G ，使AG ＝AO ． ∵ AC 平分∠OAB ， ∴ ∠OAC ＝∠GAC ． 又 AC ＝AC ，∴ △AOC ≌△AGC ． ........................................................................................................ 6分 ∴ AG ＝AO ＝2，CG ＝OC ，∠AGC ＝∠AOC ＝60°. ∴ ∠GCB ＝∠AGC －∠GBC ＝30°．∴ ∠GCB ＝∠GBC ． ........................................................................................................ 7分 ∴ GC ＝GB ． ..................................................................................................................... 8分 ∴ OC ＝GB ＝AB －AG ＝23－2． .................................................................................. 9分 解法③：……作△AOB 的外接圆⊙M ，延长AC 交⊙O 于点N ． ∵ ∠OAB ＝90°， ∴ OB 是⊙M 的直径． ∵ OB ＝4，∴ M （2,0）． ..................................................................................................................... 6分 ∵ AC 平分∠OAB ， ∴ ∠OAC ＝∠BAC ．∴ ∠OMN ＝∠BMN ＝12×180°＝90°．∴MN⊥OB．又OM＝2，MN＝2，∴N（2，－2）．............................................................................................................... 7分设直线AC：y＝kx＋b．将（1, 3）和（2，－2）代入，解得k＝－3－2，b＝23＋2．∴AC：y＝－(3＋2)x＋23＋2．................................................................................. 8分当y＝0时，x＝23－2．即OC＝23－2． ................................................................................................................ 9分作AD⊥O B．∵AD⊥OB，∴∠ADO＝∠ADB＝90°ABD＝3 3．∴cos∠AOD＝12，tan∠∴∠AOD＝60°，∠ABD＝30°.（第27题③）。