高二第一次月考《立体几何》复习题(一)
高二数学第一次月考模拟(基础卷)(空间向量与立体几何+直线方程)(解析版)
2024-2025学年高二上学期第一次月考模拟(基础卷)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.(23-24高二上·重庆·月考)已知A 1,2,-3 ，则点A 关于xOy 平面的对称点的坐标是()A.-1,2,-3B.-1,-2,3C.-1,2,3D.1,2,3【答案】D【解析】点A 关于xOy 平面的对称点的坐标是(1,2,3)，故选：D ．2.(23-24高二上·河南·月考)若直线经过A 1,0 ,B 2,3 两点，则直线AB 的倾斜角为()A.30°B.45°C.60°D.135°【答案】C【解析】由直线经过A 1,0 ,B 2,3 两点，可得直线的斜率为3-02-1=3，设直线的倾斜角为θ，有tan θ=3，又0°≤θ<180°，所以θ=60°.故选：C .3.(23-24高二上·广东湛江·月考)已知a =1,2,-y ,b =x ,1,2 ，且a +2b ∥2a -b ，则()A.x =13,y =1 B.x =2,y =14C.x =12,y =-4 D.x =1,y =-1【答案】C【解析】向量a =1,2,-y ,b =x ,1,2 ，则a +2b =1+2x ,4,4-y ,2a -b =2-x ,3,-2y -2 ，因a +2b ⎳2a -b ，于是得1+2x 2-x =43=4-y -2y -2，解得x =12,y =-4，所以x =12,y =-4.故选：C .4.(23-24高二上·福建福州·期中)两条平行直线2x -y +3=0和ax -3y +6=0间的距离为d ，则a ,d 的值分别为()A.a =6,d =63B.a =-6,d =63C.a =-6,d =55D.a =6,d =55【答案】D【解析】由已知可得，2×-3 --1 ×a =0，解得a =6.代入ax -3y +6=0化简可得，2x -y +2=0.根据两条平行线之间的距离公式可得，d =3-222+-1 2=55.故选：D .5.(23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中)如图，空间四边形OABC 中，OA =a ，OB =b ，OC =c，点M在OA 上，且OM =23OA ，点N 为BC 中点，则MN等于()A.12a +12b -12c B.-23a +12b +12cC.-23a +23b -12cD.23a +23b -12c【答案】B【解析】由题意可得，MN =ON -OM =12OB +OC -23OA =-23a +12b +12c.故选：B6.(23-24高二上·山东·月考)过点P 0,-1 作直线l ，若直线l 与连接A -2,1 ，B 23,1 两点的线段总有公共点，则直线l 的倾斜角范围为()A.π4,π6B.π6,3π4C.0,π6∪3π4,πD.π6,π2 ∪3π4,π 【答案】B【解析】设直线l 的斜率为k ，倾斜角为θ，0≤θ<π，k P A =-1-10--2 =-1，k PB =1--1 23-0=33，因为直线l 经过点P 0,-1 ，且与线段AB 总有公共点，所以k ∈-∞,-1 ∪33,+∞ ，因为0≤θ<π，所以π6≤θ≤3π4.故选：B .7.(23-24高二上·天津河西·月考)以下各组向量中的三个向量，不能构成空间基底的是()A.a =1,0,0 ，b =0,2,0 ，c =12,-2,0 B.a =1,0,0 ，b =0,1,0 ，c=0,0,2C.a =1,0,1 ，b =0,1,1 ，c=2,1,2D.a =1,1,1 ，b =0,1,0 ，c=1,0,2【答案】A【解析】若空间三个向量a ，b ，c 能构成空间的基底，则向量a ，b ，c 不共面，反之亦然，对于A ，由a =1,0,0 ，b =0,2,0 ，c =12,-2,0 ，得c =12a -22b，即向量a ，b ，c共面，不能构成空间基底；对于B ，令c =xa +yb ，则(0,0,2)=(x ,y ,0)，不成立，即a ,b ,c不共面，可构成基底；对于C ，令c =xa +yb ，则(2,1,2)=(x ,y ,x +y )，即x =2y =1x +y =2 无解，即a ,b ,c不共面，可构成基底；对于D ，令c =xa +yb ，则(1,0,2)=(x ,x +y ,x )，即x =1x +y =1x =2无解，即a ,b ,c不共面，可构成基底.故选：A8.(23-24高二上·江苏南京·月考)点P (-2,-1)到直线l :(1+3λ)x +(1+λ)y -2-4λ=0(λ∈R )的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为()A.13；3x +2y -5=0B.11；3x +2y -5=0C.13；2x -3y +1=0D.11；2x -3y +1=0【答案】A【解析】将直线l :(1+3λ)x +(1+λ)y -2-4λ=0(λ∈R )变形得x +y -2+λ(3x +y -4)=0，由x +y -2=03x +y -4=0 ，解得x =1y =1 ，因此直线l 过定点A (1,1)，当AP ⊥l 时，点P (-2,-1)到直线l :(1+3λ)x +(1+λ)y -2-4λ=0(λ∈R )的距离最大，最大值为AP =(-2-1)2+(-1-1)2=13，又直线AP 的斜率k AP =-1-1-2-1=23，所以直线l 的方程为y -1=-32(x -1)，即3x +2y -5=0.故选：A二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.(23-24高二上·浙江嘉兴·月考)已知AB =(-2,1,4),AC =(4,2,0),AP =(1,-2,1),AQ=(0,4,4)，则下列说法正确的是()A.AP是平面ABC 的一个法向量B.A ,B ,C ,Q 四点共面C.PQ ∥BCD.BC =53【答案】AD【解析】AP ⋅AB =(-2)×1+1×(-2)+4×1=0,AP ⋅AC=1×4+(-2)×2+1×0=0，所以AP ⊥AB ,AP ⊥AC ,AB ∩AC =A ,AB ,AC ⊂平面ABC ，所以AP ⊥平面ABC ，所以AP是平面ABC 的一个法向量，故A 正确；设AB =λAC +μAQ，则-2=4λ1=2λ+4μ4=4μ，无解，所以A ,B ,C ,Q 四点不共面，故B 错误；PQ =AQ -AP =(-1,6,3),BC =AC -AB =(6,1,-4),-16≠61≠3-4，所以PQ 与BC 不平行，故C 错误；|BC|=62+12+(-4)2=53，故D 正确；故选：AD .10.(23-24高二上·河北保定·月考)已知直线l 1：x +a -1 y +1=0，直线l 2：ax +2y +2=0，则下列结论正确的是()A.l 1在x 轴上的截距为-1B.l 2过定点0,-1C.若l 1⎳l 2，则a =-1或a =2D.若l 1⊥l 2，则a =23【答案】ABD【解析】由l 1：x +a -1 y +1=0易知y =0⇒x =-1，故A 正确；由l 2：ax +2y +2=0⇒x =0,y =-1，故B 正确；若两直线平行，则有1×2=a a -1 且1×2≠a ×1，解得a =-1，故C 错误；若两直线垂直，则有a ×1+2×a -1 =0⇒a =23，故D 正确.故选：ABD11.(24-25高二上·湖南邵阳·开学考试)如图，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点P 是正方体的上底面A 1B 1C 1D 1内(不含边界)的动点，点Q 是棱BC 的中点，则以下命题正确的是()A.三棱锥Q -PCD 的体积是定值B.存在点P ，使得PQ 与AA 1所成的角为60°C.直线PQ 与平面A 1ADD 1所成角的正弦值的取值范围为0,22D.若PD 1=PQ ，则P 的轨迹的长度为354【答案】ACD【解析】对于A ，三棱锥Q -PCD 的体积等于三棱锥P -QCD 的体积，V 三棱锥P -QCD =13S △QCD ×AA 1=13×12×2×1×2=23是定值，A 正确；以A 1为坐标原点，A 1B 1,A 1D 1,AA 1分别为x ,y ,z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则Q (2,1,-2)，设P (x ,y ,0)(0<x <2,0<y <2)，则QP=(x -2,y -1,2)对于B ，AA 1=(0,0,2)，使得PQ 与AA 1所成的角α满足：cos α=QP ⋅AA 1 QP ⋅AA 1 =2×2x -2 2+y -1 2+4×2，因为0<x <2,0<y <2，故0<x -2 2+y -1 2<5，故cos α∈23,1，而cos60°=12∉23,1 ，B 错误；对于C ，平面A 1ADD 1的法向量n=(1,0,0)，所以直线PQ 与平面A 1ADD 1所成角β的正弦值为：sin β=x -2(x -2)2+(y -1)2+4，因为0<x <2,0<y <2，故-2<x -2<0故x -2 (x -2)2+5<x -2 (x -2)2+(y -1)2+4≤x -2(x -2)2+4，而x -2 (x -2)2+5=11+5(x -2)2∈0,23 ，x -2 (x -2)2+4=11+4(x -2)2∈0,22，故0<x -2(x -2)2+(y -1)2+4<22即sin β的取值范围为0,22，C 正确；对于D ，D 1(0,2,0),D 1P=(x ,y -2,0)，由PD 1=PQ ，可得x 2+(y -2)2=(x -2)2+(y -1)2+4，化简可得4x -2y -5=0，在xA 1y 平面内，令x =0，得y =32，令y =0，得x =54，则P 的轨迹的长度为2-54 2+32 2=354，D 正确；故选：ACD .三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.(23-24高二上·山东德州·月考)已知a =-2,1,3 ，b =-1,2,1 ，则a与b 夹角的余弦值为.【答案】216/1621【解析】∵a =-2,1,3 ，b =-1,2,1 ，∴cos <a ，b >=a ⋅b a b=2+2+314×6=216.13.(23-24高二下·江苏扬州·月考)在空间直角坐标系中，点M 0,0,1 为平面ABC 外一点，其中A 1,0,0 、B 0,2,1 ，若平面ABC 的一个法向量为1,y 0,-1 ，则点M 到平面ABC 的距离为．【答案】233/233【解析】因为A 1,0,0 、B 0,2,1 ，所以AB=-1,2,1 ,记平面ABC 的一个法向量为n=1,y 0,-1 ，则n ⋅AB=-1 ×1+2y 0+1×-1 =0，解得y 0=1，故平面ABC 的一个法向量为n=1,1,-1 .因为M 0,0,1 ，所以MA=1,0,-1 ,所以点M 到平面ABC 的距离为d =MA ⋅n n=1+0+1 1+1+1=233.14.(23-24高二上·四川达州·月考)直线l 1:x +m +1 y -2m -2=0与直线l 2:m +1 x -y -2m -2=0相交于点P ，对任意实数m ，直线l 1，l 2分别恒过定点A ，B ，则P A +PB 的最大值为【答案】4【解析】直线l 1:x +m +1 y -2m -2=0化为x +y -2+m y -2 =0，当y -2=0x +y -2=0，得x =0y =2 ，即直线l 1恒过点0,2 ，即点A 0,2 ，直线l 2:m +1 x -y -2m -2=0化为x -y -2+m x -2 =0，当x -y -2=0x -2=0，得x =2y =0 ，即直线l 2恒过点2,0 ，即点B 2,0 ，且两条直线满足1×m +1 +m +1 ×-1 =0,∴l 1⊥l 2,即P A ⊥PB ，∴P A 2+PB 2=AB 2=22+22=8,∴P A +PB ≤2P A 2+PB 2 =4,当且仅当P A =PB 时，等号成立，∴P A +PB 的最大值为4.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.(23-24高二上·广东湛江·月考)已知点P -2,0,2 ，Q -1,1,2 ，R -3,0,4 ，设a =PQ ，b =PR ，c=QR ．(1)若实数k 使ka +b 与c垂直，求k 值．(2)求a 在b上的投影向量．【答案】(1)k =2；(2)15,0,-25.【解析】(1)依题意，a =(1,1,0),b =(-1,0,2),c =(-2,-1,2)，ka +b=(k ,k ,0)+(-1,0,2)=(k -1,k ,2)，由ka +b 与c 垂直，得(ka +b )⋅c =-2(k -1)-k +2×2=0，解得k =2，所以k =2.(2)由(1)知，a ⋅b =-1，|b |=5，所以a 在b 上的投影向量为a ⋅b |b |2b =-15b =15,0,-25 .16.(23-24高二上·江苏南京·月考)已知△ABC 的三个顶点为A 4,0 ,B 0,2 ,C 2,6 .(1)求AC 边上的高BD 所在直线的方程；(2)求BC 边上的中线AE 所在直线的方程.【答案】(1)x -3y +6=0；(2)4x +3y -16=0.【解析】(1)因为△ABC 的三个顶点为A 4,0 ,B 0,2 ,C 2,6 ，所以直线AC 的斜率为k AC =6-02-4=-3，所以AC 边上的高BD 所在直线的斜率为k BD =13，所以直线BD 的方程为y -2=13x ，化为一般式方程为x -3y +6=0；(2)因为B 0,2 ,C 2,6 ，所以BC 的中点为E 1,4 ，又因为A 4,0 ,E 1,4 ，所以直线AE 的斜率为k =-43，所以直线AE 的点斜式方程为y -0 =-43x -4 ，化为一般式为4x +3y -16=0.17.(23-24高二上·安徽安庆·月考)已知平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1，底面是正方形，AD =AB =2,AA 1=1，∠A 1AB =∠DAA 1=60°,A 1C 1 =3NC 1 ,D 1B =2MB ，设AB =a ,AD =b ,AA 1 =c．(1)试用a ,b ,c表示AN ；(2)求MN 的长度．【答案】(1)AN =AA 1 +A 1N =23a +23b +c ；(2)MN =296【解析】(1)AN =AA 1 +A 1N =AA 1 +23(A 1B 1 +A 1D 1 )=c +23(a +b )=23a +23b +c.(2)AM =AB +12BD 1 =AB +12(BA +AD +DD 1 )=12a +12b +12c ，NM =AM -AN =12a +12b +12c -23a +23b +c =-16a -16b -12c ，所以|NM |=-16a -16b -12c 2=136a 2+136b 2+14c 2+118a ∙b +16a ∙c +16b ∙c=136×4+136×4+14×1+16×2×1×12+16×2×1×12=296.所以MN =296.18.(23-24高二上·湖北武汉·月考)已知直线l 过点P 4,1 且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点，(1)求三角形OAB 面积取最小值时直线l 的方程；(2)求OA +OB 取最小值时直线l 的方程．【答案】(1)x +4y -8=0；；(2)x +2y -6=0.【解析】(1)由题意设A a ,0 ，B (0,b )，其中a ，b 为正数，可设直线的方程为xa +y b=1，因为直线l 过点P 4,1 ，所以4a +1b =1，由基本不等式可得1=4a +1b ≥24a ⋅1b =4ab，所以ab ≥4，ab ≥16，当且仅当4a +1b =14a=1b即a =8b =2时，ab 取得最小值16，所以△AOB 面积S =12ab ≥8，所以当a =8，b =2时，△AOB 面积最小，此时直线l 的方程为x8+y 2=1，即x +4y -8=0，(2)因为4a +1b=1，a >0,b >0 ，所以OA +OB =a +b =a +b 4a +1b =5+4b a +ab ≥5+24b a ⋅a b=5+2×2=9，当且仅当4ba =ab 4a+1b =1即a =6b =3时等号成立，所以当a =6，b =3时，OA +OB 的值最小，此时直线l 的方程为x6+y 3=1，即x +2y -6=0．19.(24-25高二上·安徽阜阳·开学考试)如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，∠ADC =∠BCD =90°，BC =1，CD =3，PD =2，∠PDA =60°，∠P AD =30°，且平面P AD ⊥平面ABCD ，在平面ABCD 内过B 作BO ⊥AD ，交AD 于O ，连PO .(1)求证：PO ⊥平面ABCD ；(2)求二面角A -PB -C 的正弦值；(3)在线段P A 上存在一点M ，使直线BM 与平面P AD 所成的角的正弦值为277，求PM 的长.【答案】(1)证明见解析；(2)77；(3)32.【解析】(1)因为BO ⊥AD ，因为BC ⎳AD ，∠ADC =∠BCD =90°，所以四边形BODC 为矩形，在△PDO 中，PD =2，DO =BC =1，∠PDA =60°，则PO =PD 2+OD 2-2PD ⋅OD cos60°=3，∴PO 2+DO 2=PD 2，∴PO ⊥AD ，且平面P AD ⊥平面ABCD ，PO ⊂平面P AD 平面P AD ∩平面ABCD =AD ，∴PO ⊥平面ABCD ；(2)以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，∵PO =3，∠P AD =30°，可得AO =3，则O (0,0,0)，A (3,0,0)，P 0,0,3 ，B 0,3,0 ，C -1,3,0 ，设平面APB 的法向量为m=(x ,y ,z )，P A =3,0,-3 ，PB =0,3,-3 ，由P A ⋅m=3x -3z =0PB ⋅m =3y -3z =0，取m =1,3,3 .设平面CPB 的法向量为n=(a ,b ,c )，PC =-1,3,-3 ，由n ⋅PB=3b -3c =0n ⋅PC =-a +3b -3c =0，取n =(0,1,1)，cos m ,n =m ⋅n m n=237×2=427.∵二面角A -PB -C 是钝角，∴二面角A -PB -C 的正弦值为77.(3)设AM =λAP ，则BM =BA +AM =3,-3,0 +λ-3,0,3 =3-3λ,-3,3λ ，又平面P AD 的法向量为OB=0,3,0 ，直线BM 与平面P AD 所成的角的正弦值为cos OB ,BM =33×(3-3λ)2+3+3λ2=27，解得λ=34，∴PM =14AP =14PO 2+OA 2=32.。
上海立体几何配套复习题(一)
专题01空间点、直线、平面之间的位置关系综合题专练一、单选题1．（2021·上海市松江二中高二月考）已知直线a ，b 及平面 α，有下列命题：①//a b a b αα⊥⎧⇒⎨⊥⎩；②//a b a b αα⊥⎧⇒⊥⎨⎩；③//////a b a b αα⎧⇒⎨⎩；④//a b a b αα⎧⇒⊥⎨⊥⎩.则其中正确命题的个数为（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．4个2．（2021·上海杨浦·复旦附中高二期中）如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，①BM 与ED 平行；②CN 与BE 是异面直线；③CN 与BM 成60°；④DM 与BN 垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是（）A ．①②③B ．②④C ．③④D ．②③④3．（2021·长宁区·上海市延安中学高二期中）已知正方体1111ABCD A B C D -，P 为1CC 中点，对于下列两个命题：（1）过点P 有且只有一条直线与直线AB ，11A D 都相交；（2）过点P 有且只有一条直线与直线AB ，11A D 都成45°角．则以下判断正确的是（）A ．（1）为真命题；（2）为真命题B ．（1）为真命题；（2）为假命题C ．（1）为假命题；（2）为真命题D ．（1）为假命题；（2）为假命题4．（2021·上海普陀·曹杨二中高二月考）下列图形中，一定可以确定一个平面的是（）A ．四边形B ．空间三点C ．两两相交且交点均不相同的四条直线D ．交于同一点的三条直线5．（2021·上海市大同中学）已知a 和b 是成80 角的两条直面直线，则过空间一点且与a b 、都成50 角的直线共有（）A ．2条B ．3条C ．4条D ．无数条6．（2021·上海市杨浦高级中学高二期末）已知直线a 、b 是两条不重合的直线，α、β是两个不重合的平面，则下列命题正确的是（）A ．若a α⊥，a β⊥，则//αβB ．若//a α，//b β，//αβ，则//a bC ．若a b ⊥r r ，b α⊥，//a β，则//αβD ．若//αβ，a 与α所成角和b 与β所成角相等，则//a b7．（2021·上海市洋泾中学高二月考）关于直线l 、m 及平面α、β，下列命题中正确的是（）A ．若//l α，m αβ= ，则//l mB ．若l α⊥，//m α，则l m ⊥C ．若//l α，//m α，则//l mD ．若//l α，m l ⊥，则m α⊥8．（2021·上海市建平中学高二月考）ABC 的三边长分别3､4､5，P 为ABC 所在平面外一点，令集合Q ={P P 为ABC 所在平面外一点，且到三边所在直线的距离都是3}，则集合Q 的子集个数为（）A ．2B ．4C ．8D ．169．（2021·上海市亭林中学高二期中）设直线,a b 与平面α所成的角相等，则直线,a b 的位置关系为（）A ．平行B ．平行或异面C ．平行或相交D ．平行、相交或异面10．（2021·上海市进才中学高二期中）已知平面l αβ= ，B ，C l ∈，A α∈，且A l ∉，D β∈，且D l ∉，则下列叙述错误的是（）A ．直线AD 与BC 是异面直线B ．直线CD 在α上的射影可能与AB 平行C ．过AD 有且只有一个平面与BC 平行D ．过AD 有且只有一个平面与BC 垂直二、填空题11．（2021·上海奉贤区·高二期末）在《九章算术》中定义“底面为直角三角形而有一侧棱垂直于底面的三棱锥为鳖臑”．如图，在鳖臑ABCD 中，侧棱AB ⊥底面BCD ，1AB =，2BC =，1CD =，则异面直线AC 与BD 所成角的大小为______．12．（2021·上海市建平中学高二期中）已知圆锥的轴截面PAB 是等边三角形，C 为底面弧AB 的中点，D 为母线PB 的中点，则异面直线PA 和CD 所成角的大小为________13．（2021·上海静安·高二期末）如图，三棱锥P -ABC 中，PA ⊥底面ABC ，底面ABC 是边长为2的正三角形，且23PA =，若M 是BC 的中点，则异面直线PM 与AC 所成角的大小是__________（结果用反三角函数值表示）14．（2021·上海市复兴高级中学）四面体ABCD 中，2AB CD ==，4AC AD BC BD ====，则异面直线AB 与CD 的距离为________15．（2021·上海普陀区·曹杨二中高二期末）已知空间四边形ABCD ，2AB CD ==，且AB 与CD 所成的角为3π，设E 、F 分别是BC 、AD 的中点，则EF 的长度为______．16．（2021·徐汇区·上海中学高二月考）下列判断中：①三点确定一个平面；②一条直线和一点确定一个平面；③两条直线确定一个平面；④三角形和梯形一定是平面图形；⑤四边形一定是平面图形；⑥六边形一定是平面图形；⑦两两相交的三条直线确定一个平面.其中正确的是___________.17．（2021·上海市中国中学高二月考）一个正方体的展开图如图所示，B 、C 、D 为原正方体的顶点，A 为原正方体一条棱的中点，在原来的正方体中，直线CD 与AB 所成角的余弦值为______．18．（2021·上海市洋泾中学高二月考）如图，1111ABCD A B C D -是棱长为1的正方体，一个质点从A 出发沿正方体的面对角线运动，每走完一条面对角线称为“走完一段”，质点的运动规则如下：运动第i 段与第2i +所在直线必须是异面直线(其中i 是正整数)，质点走完的第99段与第1段所在的直线所成的角是___________.19．（2021·上海徐汇区·位育中学）在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M N 、分别是111A B CC 、的中点，用过D M N 、、三点的平面截正方体，则截面图像的周长为__________20．（2021·上海市建平中学高二月考）已知异面直线,a b 所成角为3π，过空间一点P 有且仅有2条直线与,a b 所成角都是θ，则θ的取值范围是___________.三、解答题21．（2021·上海市松江二中高二月考）在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，AB =2，过1A 、1C 、B 三点的平面截去正四棱柱的一个角后，得到如图所示的几何体111ABCD A C D -，且这个几何体的体积为203，点P ，Q 分别是1A D 和AC 的中点.（1）求异面直线1D P 与1C Q 所成角的大小；（2）求直线C 1D 与平面11A C B 所成角的大小.（用反三角函数表示）22．（2021·上海市西南位育中学高二期中）长方体1111ABCD A B C D -中，11,2AB AA AD ===，点E 是棱BC 的中点.（1）求异面直线1BB 与1D E 所成角的大小；（2）求点A 到平面1A DE 的距离.23．（2021·上海杨浦·复旦附中高二期中）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，若M ，N 分別是111,CC A D 的中点，作出过M ，N ，B 三点的截面，并求出这截面的周长.24．（2021·上海市奉贤区奉城高级中学高二期中）如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，2BC =，15CC =，M 为棱1CC 上一点．（1）若132C M =，求异面直线1A M 和11CD 所成角的正切值；（2）若11C M =．试证明：BM ⊥平面11A B M ．25．（2021·宝山区·上海交大附中高二期中）如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的正方形，侧棱长为1．（1）求直线1A C 与直线1AD 所成角的余弦值；（2）求二面角11D A C A --平面角大小的余弦值；（3）在直线1A C 上是否存在一个动点P ，使得P 在平面1D AC 的投影恰好为1D AC 的重心，若存在，求线段PC 的长度，若不存在，说明理由．26．（2021·上海市大同中学）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥面ABCD ，2,7AB BC AD CD ====，3,120,PA ABC G =∠=︒为线段PC 上的点.（1）证明：BD ⊥平面PAC ；（2）若G 是PC 的中点，求DG 与平面PAC 所成的角的正切值；（3）在（2）的条件下求异面直线BG 与PD 所成角的余弦值.27．（2021·上海市大同中学）已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为AA1和AB的中点．求证：（1）D1，M，N，C四点共面；（2）D1M、DA、CN三线共点．28．（2021·上海市中国中学高二月考）已知空间四边形SABC各边及对角线的长都是1．（1）求边SA、BC的距离；（2）求异面直线SB与AC所成角大小．29．（2021·上海市建平中学高二月考）如图，已在正四棱锥P ABCD -，4PA =，底面边长为4，Q 为PB 的中点.（1）求作平面QAD 与正四棱锥P ABCD -的截面；（2）求二面角Q AD B --的大小.30．（2021·上海徐汇区·位育中学）如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面是等腰直角三角形，90ACB ∠= ，12CA CB CC ===.点1D D ，分别是棱11AC A C ，的中点.（1）求证：11、、、D B B D 四点共面；（2）求直线1BC 与平面11DBB D 所成角的大小.。
高二上立体几何专题复习
高二上立体几何专题复习题型一：几何体的三视图与直观图1．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )．2．一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是 ( )．3．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱AA1⊥底面A1B1C1，正视图是边长为2的正方形，该三棱柱的侧视图面积为( )A．2 3 B. 3 C．2 2 D．44. 等腰梯形ABCD，上底CD＝1，腰AD＝CB＝2，下底AB＝3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为________．5．一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积(单位：cm2)为 A．48 B．64 C．80 D．1206.已知某几何体的直观图及三视图如图所示，三视图的轮廓均为正方形，则该几何体的表面积为________．7.某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a＋b的最大值为________．题型二：空间几何体的表面积和体积1.已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为 .2．已知S 、A 、B 、C 是球O 表面上的点，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，SA ＝AB ＝1，BC ＝2，则球O 的表面积等于__ ______．3.设是球的半径，是的中点，过且与成45°角的平面截球的表面得到圆。
若圆的面积等于，则球的表面积等于 . 4．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面为直角三角形，∠ACB ＝90°，AC ＝2，BC ＝CC 1＝2，P 是BC 1上一动点，如图所示，则CP ＋PA 1的最小值 ．5.有一容积为1 立方单位的正方体容器ABCD-A 1B 1C 1D 1，在棱AB 、BB 1及对角 线B 1C 的中点各有一小孔E 、F 、G ，若此容器可以任意放置，则该容器可装水的最大容积是✿6.如图，在三棱锥D ABC 中，已知BC⊥AD ，BC ＝2，AD ＝6，AB ＋BD ＝AC ＋CD ＝10，则三棱锥D ABC 的体积的最大值是________．题型三：空间点、直线、平面之间的位置关系1．.设l 是直线，α，β是两个不同的平面 ( )A.若l ∥α,l ∥β，则α∥βB.若l ∥α，l ⊥β，则α⊥βC.若α⊥β,l ⊥α,则l ⊥βD.若α⊥β, l //α,则l ⊥β2．设m 、n 是两条不同的直线，βα、是两个不同的平面. ( ) A.；则若n m n m //,//,//αα B.；则若βαβα//,//m ,//m C.；则若αα⊥⊥n m m ,,n // D.；则若ββαα⊥⊥m ,,//m 3．如图，四棱锥SABCD 的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中不正确的是( )． A ．AC ⊥SB B ．AB ∥平面SCDC ．SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角 D ．AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角4．已知a ，b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a ，b 在α上的射影有可能是：OA O M OA M OA O C C 74πO C 1 A B CDA 1 D 1B 1EG F①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．在上面结论中，正确结论的编号是__ ____(写出所有正确结论的编号)．5.如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BC ＝AC ，AC 1⊥A 1B ，M ，N 分别为A 1B 1，AB 的中点，给出下列结论：①C 1M ⊥平面A 1ABB 1；②A 1B ⊥AM ；③平面AMC 1∥平面CNB 1.其中正确的结论是题型四 ：空间向量1.已知空间四边形OABC 中，OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 中点，则MN ＝( )A.12a －23b ＋12c B ．－23a ＋12b ＋12c C.12a ＋12b －12c D.23a ＋23b －12c 2.△ABC 的顶点分别为A (1，－1,2)，B (5，－6,2)，C (1,3，－1)，则AC 边上的高BD 等于( ) A ．5 B.41 C ．4D ．2 53. 已知O (0,0,0)，A (1,2,3)，B (2,1,2)，P (1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，当QA ·QB 取最小值时，点Q 的坐标是________．4.在空间四边形OABC 中，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB ＝60°，求OA 与BC 所成角的余弦值．5. 将边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，若点P 满足BP →＝12BA →－12BC →＋BD →，则|BP →|2的值为( )题型五 ：空间角1.如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱CD ，CC 1的中点，则异面直线A 1M 与DN 所成的角的大小是________．2. 如图所示，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E ，F 分别是棱AB ，BB 1的中点，则直线EF 和BC 1所成的角是( )3. 已知二面角αl β为60°，AB ⊂α，AB ⊥l ，A 为垂足，CD ⊂β，C ∈l ，∠ACD ＝135°，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为________．4.如右图，正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1DD 的中点，F 是侧面11CDD C 上的动 点，且1B F //平面1A BE ，则1B F 与平面11CDD C 所成角的正切值的最小值是5.已知四棱锥S −ABCD 的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点(不含端点)，设SE 与BC 所成的角为θ1，SE 与平面ABCD 所成的角为θ2，二面角S −AB −C 的平面角为θ3，则( )A . θ1≤θ2≤θ3B . θ3≤θ2≤θ1C . θ1≤θ3≤θ2D . θ2≤θ3≤θ1六 :立体几何中的翻折，投影，轨迹等问题1、把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A 、B 、C 、D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成角的大小为_______.2、把长宽分别为2的长方形ABCD 沿对角线AC 折成60o的二面角，则顶点B 和D 的距离为_______.3、设M 、N 是直角梯形ABCD 两腰的中点，DE ⊥AB 于E (如下图)．现将△ADE 沿DE 折起，使二面角A －DE －B 为45°，此时点A 在平面BCDE 内的射影恰为点B ，则M 、N 的连线与AE 所成角的大小等于_____．✿4.矩形ABCD 中，AB ＜BC ，将△ABC 沿着对角线AC 所在的直线进行翻折，记BD 中点为M ，则在翻折过程中，下列说法错误．．的是（ ） A.存在AB ⊥DC 的位置 B.存在AB ⊥BD 的位置 C.存在AM ⊥DC 的位置 D.存在AM ⊥AC 的位置✿5.如图，正四面体ABCD 的棱长为1，棱AB//平面α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是________。
高二数学起点(1、2)段考复习题(立体几何)含答案
高二数学起点（Ⅰ、Ⅱ）段考复习题（1）姓名____________________2012.10.22 出题人：贺思轩1．下列说法正确的是 （ C ）A ．三点确定一个平面B ．四边形一定是平面图形C ．梯形一定是平面图形D ．平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点2．已知m 和n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m ⊥β 的是（ B ）A ．⊥αβ，且m ⊂α B ．m ∥n ，且n ⊥βC ．⊥αβ，且m ∥αD ．m ⊥n ，且n ∥β3．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ D ）A ．12B ．6C ． 4D ．24．将正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使平面ABD ⊥平面CBD ，E 是CD 中点，则AED ∠的大小为（ D ）A ．45B ．30C ．60D ．905．PA ，PB ，PC 是从P 引出的三条射线，每两条的夹角都是60º，则直线PC 与平面PAB 所成的角的余弦值为（ C ） A ．12BCD6．一个三棱锥S ABC -的三条侧棱SA 、SB 、SC 两两互相垂直，且长度分别为13，已知该三棱锥的四个顶点都在一个球面上，则这个球的表面积为（ A ）A ．16πB ． 32πC ． 36πD ． 64π7．有一个棱长为1的正方体，按任意方向正投影，其投影面积的最大值是（ D ）A ． 1B ．2 C ．D ．8．在正方体''''ABCD A B C D -中，若点P （异于点B ）是棱上一点，则满足BP 与'AC 所成的角为45 的点P 的个数为（ B ）A ．0B ．3C ．4D ．6A'B'C'D'AB CD9．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点，F 是侧面CDD 1C 1上的动点，且B 1F //面A 1BE ，则B 1F 与平面CDD 1C 1 所成角的正切值构成的集合是（ C ）A ． {}2B ．C ．{|22}t t ≤≤ D ．{|2}t t ≤≤ 10．若点C （21a +，1a +，2）在点P （2，0，0），A （1，-3，2），B （8，-1，4）确定的平面上，则a 的值为_______________。
高二数学会考立体几何专题
立体几何练习（一）1 在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AD ＝2AB ．若E ，F 分别为线段A 1D 1，CC 1的中点，则直线EF 与平面ABB 1A 1所成角的余弦值为（ ）323(D)132设l ，m 是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，则下列命题正确的是（ ） (A) 若l ⊥m ，m ⊥α，则l ⊥α或 l ∥α (B) 若l ⊥γ，α⊥γ，则l ∥α或 l ⊂α (C) 若l ∥α，m ∥α，则l ∥m 或 l 与m 相交 (D) 若l ∥α，α⊥β，则l ⊥β或 l ⊂β 3．已知两条直线m 、n 与两个平面α、β，下列命题正确的是（ ）A ．若m //α，n //α，则m //nB ． 若m //α，m //β，则α//βC ．若m ⊥α，m ⊥β，则α//βD ． 若m ⊥n ，m ⊥β，则n //β 4．如图，E 、F 分别是三棱锥P -ABC 的棱AP 、BC 的中点，PC ＝10，AB ＝6，EF ＝7，则异面直线AB 与PC 所成的角为（ ）A ．60°B ．45°C ．0°D ．120° 5. 四面体ABCD ，E 、F 分别是AC 、BD 的中点，若CD=2AB ，EF ⊥AB ，则EF 与CD 所成的角等于（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 6．如图，在三棱锥S -ABC 中，SA =SC =AB =BC ，则直线 SB 与AC 所成角的大小是（ ）(A) 30º (B) 45º (C) 60º(D) 90º7．一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是（ ）.A 异面 .B 相交 .C 平行 .D 不能确定 8. 一个空间几何体的三视图如右图 所示，该几何体的体积为（ ）A. 13B.23 C. 43 D. 83ACS9．某几何体的三视图如图所示，则 该几何体的体积是（ ）(A)π34(B)2(C)π38 (D)π31010．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ） .A 9π .B 10π .C 11π .D 12π11．一个空间几何体的三视图如图所示，这个 几何体的体积是（ ） (A) 18 (B)12(C)6 (D)412.给出以下四个命题：①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行. ②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面. ③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线相互平行. ④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直.其中真命题的个数是（ ）A .4B .3C .2D .113. 已知正四棱锥S ABCD -的底面边长和侧棱长均为2，E 是SB 的中点，则SD AE 、所成的角的余弦值为（ ）A.13D.2314．下图是一个几何体的三视图，那么这个几何体的表面积是__________.正视图俯视图侧视图正视图左视图俯视图15.在三棱锥ABC∆是边长为SAC⊥平面S-中，ABCABC，2SA，M、N分别为AB、SB的中点．==SC（1）证明：AC⊥SB；（2）求三棱锥CMNB-的体积.-中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，16.如图，四棱锥P ABCD且PD AB==2.（Ⅰ）求PB的长；（Ⅱ）求证：AC⊥平面PBD.17．如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF PB⊥交PB于点F。
高二数学月考试卷--立体几何
高二数学月考试卷――立体几何命题人：刘阳 华柳兵 审题人：殷晴霞一、选择题。
（共12题，每题5分）1．已知异面直线a 、b 分别在平面α、β内，βα⋂=c ，那么直线与a 、b 的关系是 （ ）A ．同时与a 、b 都相交B ．至多与a 、b 中的一条相交C ．至少与a 、b 中的一条相交D ．只与a 、b 中的一条相交 2．对于直线m 、n 和平面α、β，α⊥β的一个充分条件是 （ ） A ．m ⊥n ，m ∥α，n //β B ．m ⊥n ，α⋂β=m ，n ⊂α C ．m //n ，n ⊥β，m ⊂α D ．m //n ，m ⊥α，n ⊥β 3．若P 是等边三角形ABC 所在平面外一点，PA=PB=PC=,32△ABC 的边长为1，则PC 和平面ABC 所成的角是 （ ）A ．300B ．450C ．600D ．9004．A 、B 为球面上任意两点，则通过A 、B 可作的大圆个数是( )A 只能作一个B 无数个C 可能作一个或无数个D 以上都不对 5．正六棱锥底边长为1，侧棱与底面所成的角为450，则它的斜高等于( ) A27B 615C 23D 236．若三直线PA 、PB 、PC 两两垂直，且PA=PB=PC=3，则点P 到平面ABC 的距离为 （ ） A ．2 B ．3 C ．5 D ．77．已知长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的长、宽、高依次为5、4、3，则从顶点A 沿长方体表面到对角顶点C 1的最短距离是 （ ）A ．74B ．55C ．54D ．1038．一个锥体被平行于底面的平面所截，若截面积是底面积的一半，则锥体的高被截面分成的上下两部分之比为 ( )A 1:4B 1:()12+C 1:2D 1:()12-9．菱形ABCD 的边长为a ，锐角A 为600，将它沿对角线BD 折成600的二面角，那么AC 与BD 的距离为 （ ） A ．43a B ．43a C ．23a D ．46a 10．在半径为6cm 的球的内部有一点，该点到球心的距离为4cm ，过该点作球的截面，则截面面积的最小值是 （ ）A ． 11π2cm B ．20π2cm C ．32π 2cm D ．27π 2cm11．三棱锥的侧棱两两垂直，三个侧面三角形的面积分别为1S 、2S 、3S ，则三棱锥的体积是 （ ） A ．321S S S B ．3321S S S C ．32321S S S D ．322321S S S12．侧棱长为2a 3的正三棱锥V-ABC 的侧棱间的夹角为400，过顶点A 作截面AEF ，截面AEF 的最小周长为( )A 22 aB 6aC 4aD 123a二、填空题。
高中数学《立体几何》专题复习 (1)
高中数学《立体几何》专题复习一1．(2018·安徽东至二中段测)将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括()A．一个圆台、两个圆锥B．两个圆台、一个圆柱C．两个圆台、一个圆锥D．一个圆柱、两个圆锥答案 D解析把等腰梯形分割成两个直角三角形和一个矩形，由旋转体的定义可知所得几何体包括一个圆柱、两个圆锥．故选D.2．以下关于几何体的三视图的论述中，正确的是()A．正方体的三视图是三个全等的正方形B．球的三视图是三个全等的圆C．水平放置的正四面体的三视图都是正三角形D．水平放置的圆台的俯视图是一个圆答案 B解析画几何体的三视图要考虑视角，但对于球无论选择怎样的视角，其三视图总是三个全等的圆．3．如图所示，几何体的正视图与侧视图都正确的是()答案 B解析侧视时，看到一个矩形且不能有实对角线，故A，D排除．而正视时，有半个平面是没有的，所以应该有一条实对角线，且其对角线位置应为B中所示，故选B.4．一个几何体的三视图如图，则组成该几何体的简单几何体为()A．圆柱和圆锥B．正方体和圆锥C．四棱柱和圆锥D．正方体和球答案 C5．(2018·沧州七校联考)三棱锥S－ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB 的长为()A．16 3 B.38C．4 2 D．211答案 C解析由已知中的三视图可得SC⊥平面ABC，且底面△ABC为等腰三角形．在△ABC中，AC＝4，AC边上的高为23，所以BC＝4.在Rt△SBC中，由SC＝4，可得SB＝4 2. 6．(2017·衡水中学调研卷)已知一个四棱锥的高为3，其底面用斜二侧画法所画的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形，则此四棱锥的体积为()A．2 2 B．6 2C．1 D. 2答案 A解析因为底面用斜二侧画法所画的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形，所以在直角坐标系中，底面是边长为1和3的平行四边形，且平行四边形的一条对角线垂直于平行四边形的短边，此对角线的长为22，所以该四棱锥的体积为V＝13×22×1×3＝2 2.7.(2018·四川泸州模拟)一个正四棱锥的所有棱长均为2，其俯视图如图所示，则该正四棱锥的正视图的面积为()A. 2B. 3C．2 D．4答案 A解析由题意知，正视图是底边长为2，腰长为3的等腰三角形，其面积为12×2×（3）2－1＝ 2.8．(2018·湖南郴州模拟)一只蚂蚁从正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到顶点C1的位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图的是()A．①②B．③④C．①③D．②④答案 D解析由点A经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1的位置，共有6种路线(对应6种不同的展开方式)，若把平面ABB1A1和平面BCC1B1展到同一个平面内，连接AC1，则AC1是最短路线，且AC1会经过BB1的中点，此时对应的正视图为②；若把平面ABCD和平面CDD1C1展到同一个平面内，连接AC1，则AC1是最短路线，且AC1会经过CD的中点，此时对应的正视图为④.而其他几种展开方式对应的正视图在题中没有出现．故选D.9．某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是()答案 D解析依题意，此几何体为组合体，若上、下两个几何体均为圆柱，则俯视图为A；若上边的几何体为正四棱柱，下边几何体为圆柱，则俯视图为B；若上边的几何体为底面为等腰直角三角形的直三棱柱，下边的几何体为正四棱柱时，俯视图为C；若俯视图为D，则正视图中还有一条虚线，故该几何体的俯视图不可能是D，故选D.10．(2018·江西上馓质检)点M，N分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱A1B1，A1D1的中点，用过平面AMN和平面DNC1的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体如图，则该几何体的正(主)视图，侧(左)视图、俯视图依次为()A．①②③B．②③④C．①③④D．②④③答案 B解析由直视图可知，该几何体的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图依次为②③④，故选B. 11．(2018·四川宜宾期中)某几何体的三视图如图所示，则该几何体最长棱的长度为()A．4 B．3 2C．2 2 D．2 3答案 D解析由三视图可知，该几何体为如图所示的四棱锥P－ABCD，由图可知其中最长棱为PC，因为PB2＝PA2＋AB2＝22＋22＝8，所以PC2＝PB2＋BC2＝8＋22＝12，则PC＝23，故选D.12．(2018·北京东城区期末)在空间直角坐标系O－xyz中，一个四面体的顶点坐标分别为(0，0，2)，(2，2，0)，(0，2，0)，(2，2，2)．画该四面体三视图中的正视图时，以xOz平面为投影面，则得到的正视图可以为()答案 A解析设S(2，2，2)，A(2，2，0)，B(0，2，0)，C(0，0，2)，则此四面体S－ABC如图①所示，在xOz平面的投影如图②所示．其中S′是S在xOz平面的投影，A′是A在xOz平面的投影，O是B在xOz平面的投影，SB 在xOz平面的投影是S′O，并且是实线，CA在xOz平面的投影是CA′，且是虚线，如图③. 13．(2018·江西宜春模拟)某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积最大为()A．2 2 B．4C．2 3 D．2 6答案 C解析由三视图知该几何体为棱锥S－ABD，其中SC⊥平面ABCD，将其放在正方体中，如图所示．四面体S－ABD的四个面中△SBD的面积最大，三角形SBD是边长为22的等边三角形，所以此四面体的四个面中面积最大为34×8＝2 3.故选C.14．(2018·江苏张家港一模)若将一个圆锥侧面沿一条母线剪开，其展开图是半径为2 cm的半圆，则该圆锥的高为________cm.答案 3解析设圆锥的底面圆半径为r cm，则2πr＝2π，解得r＝1 cm，∴h＝22－1＝ 3 cm. 15．(2018·成都二诊)已知正四面体的俯视图如图所示，其中四边形ABCD是边长为2的正方形，则这个四面体的正视图的面积为________．答案2 2解析由俯视图可得，原正四面体AMNC可视作是如图所示的正方体的一内接几何体，则该正方体的棱长为2，正四面体的正视图为三角形，其面积为12×2×22＝2 2.16.(2018·上海长宁区、嘉定区质检)如图，已知正三棱柱的底面边长为2，高为5，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为________．答案13解析将正三棱柱ABC－A1B1C1沿侧棱AA1展开，再拼接一次，如图所示，在展开图中，最短距离是六个矩形形成的大矩形对角线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值．由已知求得矩形的长等于6×2＝12，宽等于5，由勾股定理得d＝122＋52＝13.17．某几何体的正(主)视图和侧(左)视图如图1，它的俯视图的直观图是矩形O1A1B1C1如图2，其中O1A1＝6，O1C1＝2，则该几何体的侧面积为________．答案96解析由俯视图的直观图可得y轴与C1B1交于D1点，O1D1＝22，故OD＝42，俯视图是边长为6的菱形，则该几何体是直四棱柱，侧棱长为4，则侧面积为6×4×4＝96. 1．(课本习题改编)如图为一个几何体的三视图，则该几何体是()A．四棱柱B．三棱柱C．长方体D．三棱锥答案 B解析由几何体的三视图可知，该几何体的直观图如图所示，即为一个平放的三棱柱．2．(2018·山东泰安模拟)某三棱锥的三视图如图所示，其侧视图为直角三角形，则该三棱锥最长的棱长等于()A．4 2 B.34C.41 D．5 2答案 C解析根据几何体的三视图，得该几何体是底面为直角三角形，有两个侧面垂直于底面，高为5的三棱锥，最长的棱长等于25＋16＝41，故选C.3．(2018·安徽毛坦厂中学月考)已知一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图是()答案 C解析A项中的几何体，正视图不符，侧视图也不符，俯视图中没有虚线；B项中的几何体，俯视图中不出现虚线；C项中的几何体符合三个视图；D项中的几何体，正视图不符．故选C.4．(2017·山东德州质检)如图是正方体截去阴影部分所得的几何体，则该几何体的侧视图是()答案 C解析此几何体的侧视图是从左边往右边看，故其侧视图应选C.5.(2017·广东汕头中学摸底)如图是一正方体被过棱的中点M，N，顶点A及过N，顶点D，C1的两个截面截去两角后所得的几何体，该几何体的正视图是()答案 B6．(2017·贵州七校联考)如图所示，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形，起辅助作用)，则四面体ABCD的三视图是(用①②③④⑤⑥代表图形)()A．①②⑥B．①②③C．④⑤⑥D．③④⑤答案 B解析正视图应该是边长为3和4的矩形，其对角线左下到右上是实线，左上到右下是虚线，因此正视图是①；侧视图应该是边长为5和4的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，因此侧视图是②；俯视图应该是边长为3和5的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，因此俯视图是③，故选B.7．(2014·课标全国Ⅰ)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是()A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱答案 B解析由题知，该几何体的三视图为一个三角形，两个四边形，经分析可知该几何体为三棱柱，故选B.8.用一个平行于水平面的平面去截球，得到如图所示的几何体，则它的俯视图是()答案 B解析D项为主视图或者侧视图，俯视图中显然应有一个被遮挡的圆，所以内圆是虚线，故选B.9．底面水平放置的正三棱柱的所有棱长均为2，当其正(主)视图有最大面积时，其侧(左)视图的面积为()A．2 3 B．3C. 3 D．4答案 A解析当正视图面积最大时，侧视图是一个矩形，一个边长为2，另一边长是三棱柱底面三角形的高为3，故侧视图面积为2 3.10．(2015·北京，文)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为()A．1 B. 2C. 3 D．2答案 C解析将三视图还原成几何体的直观图，如图，由三视图可知，底面ABCD是边长为1的正方形，SB⊥底面ABCD，SB＝AB＝1，由勾股定理可得SA＝SC＝2，SD＝SB2＋DB2＝1＋2＝3，故四棱锥中最长棱的棱长为 3.故选C. 11．(2017·南昌模拟)若一几何体的正视图与侧视图均为边长为1的正方形，则下列图形一定不是该几何体的俯视图的是()答案 D解析 若该几何体的俯视图为选项D ，则其正视图为长方形，不符合题意，故选D. 12．某几何体的正视图与侧视图如图所示，若该几何体的体积为13，则该几何体的俯视图可以是( )答案 D解析 通过分析正视图和侧视图，结合该几何体的体积为13，可知该几何体的底面积应为1，因为符合底面积为1的选项仅有D 选项，故该几何体为一个四棱锥，其俯视图为D. 13．(2018·兰州诊断考试)某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中x 的值是( )A ．2 B.92 C.32 D ．3答案 D解析 由三视图知，该几何体是四棱锥，底面是一个直角梯形，底面积S ＝12×(1＋2)×2＝3，高h ＝x ，所以其体积V ＝13Sh ＝13×3x ＝3，解得x ＝3，故选D.14．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，最大侧面的面积为( )A.12B.22C.52D.62答案 C解析 由三视图知，该几何体的直观图如图所示．平面AED ⊥平面BCDE ，四棱锥A －BCDE 的高为1.四边形BCDE 是边长为1的正方形，则S △AED ＝12×1×1＝12，S △ABC ＝S △ABE ＝12×1×2＝22，S △ACD ＝12×1×5＝52，故选C.15.(2017·山东师大附中月考)如图是各棱长均为2的正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的直观图，则此三棱柱侧视图的面积为________． 答案 2 3解析 依题意，得此三棱柱的侧视图是边长分别为2，3的矩形BB 1D 1D ，故其面积是2 3.16.(2017·北京西城区期末)已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧(左)视图如图所示，那么此三棱柱正(主)视图的面积为________． 答案 2 3解析 由正三棱柱三视图还原直观图可得正(主)视图是一个矩形，其中一边的长是侧(左)视图中三角形的高，另一边是棱长．因为侧(左)视图中三角形的边长为2，所以高为3，所以正视图的面积为2 3.17．用小立方块搭一个几何体，使它的正视图和俯视图如图所示，则它最多需要______个小立方块．答案14解析本题考查了三视图的有关知识．需要小立方块最多则：第一层最多6个，第二层最多5个，第三层最多3个，故最多用14个．18．(2017·湖南株洲质检)已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的()答案 C解析通过对以下四个四棱锥的三视图对照可知，只有选项C是符合要求．。
第一次月考(月)(空间立体几何、直线与圆)检测模拟试卷高二数学上学期选择性必修第一册)(解析版)
高二第一次月考（10月）模拟试卷(时间：120分钟，分值：150分，范围：选择性必修一第一、二章)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．与向量(1,1,2)n =-反向的单位向量的坐标为（）A ．663⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭B ．⎝⎭C ．(1,1,2)--D ．11,,122⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【分析】利用与向量n 反向的单位向量为n n-求解即可.【详解】因为n =，所以与向量n 反向的单位向量为nn -=⎛-= ⎝663⎛-- ⎝⎭．故选：A2．已知直线1:230l ax y -+=与直线()2:310l x a y +-+=，若12l l ⊥，则=a （）A ．6B ．6-C ．2D ．2-【答案】A【分析】根据两直线垂直的充要条件得到方程，求解方程得答案.【详解】解：因为直线1:230l ax y -+=与直线()2:310l x a y +-+=，且12l l ⊥，所以()()1230a a ⨯+-⨯-=，解得6a =，故选：A.3．若点()1,1P 在圆220x y x y k ++-+=的外部，则实数k 的取值范围是（）A ．()2-+∞，B ．12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()2,2-【答案】C【分析】根据点与圆的位置关系及方程表示圆列出方程组，从而可得出答案.【详解】解：因为点()1,1P 在圆220x y x y k ++-+=的外部，所以111101140k k ++-+>⎧⎨+->⎩，解得122k -<<.故选：C ．4．如图，三棱锥O ABC -中，M ，N 分别是AB ，OC 的中点，设OA a =，OB b =，OC c =，用a ，b ，c 表示MN ，则MN =（）A ．()12a b c -++B ．()12a b c +-C ．()12a b c -+D ．()12a b c --+【答案】D【详解】M ，N 分别是AB ，OC 的中点，()()111222O O M N O N OM OA B a b c C +-==--=-+++.故选：D.5．某直线l 过点(3,4)B -，且在x 轴上的截距是在y 轴上截距的2倍，则该直线的斜率是（）A ．43-B ．12-C ．43或12-D ．43-或12-【答案】D【分析】讨论在x 轴和y 轴上的截距均为0或均不为0，设直线方程并由点在直线上求参数，即可得直线方程，进而写出其斜率.【详解】当直线在x 轴和y 轴上的截距均为0时，设直线的方程为y kx =，代入点(3,4)B -，则43k =-，解得43k =-，当直线在x 轴和y 轴上的截距均不为0时，设直线的方程为12x y m m +=，代入点(3,4)B -，则3412m m-+=，解得52m =，所以所求直线的方程为1552x y+=，即250x y +-=，综上，该直线的斜率是43-或12-．故选：D6．若直线:10l ax by ++=始终平分圆22:4210M x y x y ++++=最小值为（）AB ．5C．D ．10【答案】A【解析】由直线过圆心得,a b 满足的关系式，说明点(,)a b 在一条直线上，由点到平面的距离公式可得最小值．【详解】由题意直线l 过已知圆的圆心，圆心为(2,1)--，∴210a b --+=，即210a b +-=，点(,)a b 在直线210x y +-=上，210x y +-=的点(,)a b 到点(2,2)的距离，=故选：A ．【点睛】方法点睛：本题考查二元函数的最值问题．解题方法是利用其几何意义：两点间距离求解，解题关键是求出,a b 满足的条件，得点(,)a b 在一条直线210x y +-=上，从而只要求得定点到直线的距离即可得．7．正四面体A BCD -的棱长为4，空间中的动点P满足PB PC +=AP PD ⋅的取值范围为（）A．44⎡-+⎣B．C．4⎡-⎣D ．[]14,2-【答案】D【分析】分别取BC ，AD 的中点E ，F ，由题意可得点P 的轨迹是以E为半径的球面，又AP PD ⋅=24PF -，再求出PF 的最值即可求解【详解】分别取BC ，AD 的中点E ，F，则2PB PC PE +==所以PE故点P 的轨迹是以E 为半径的球面，()()()()AP PD PF FA PF FD PF FA PF FA ⋅=-+⋅+=-+⋅-2224FA PF PF =-=-，又ED =EF ===所以minPFEF =，maxPF EF ==所以AP PD ⋅的取值范围为[]14,2-．故选：D ．8．若圆()()22:cos sin 1M x y θθ-+-=02θπ≤<（）与圆22:240N x y x y +--=交于A 、B两点，则tan ∠ANB 的最大值为（）A ．12B ．34C ．45D ．43【答案】D【分析】分析出AB 为圆M 与圆N 的公共弦，且圆M 的半径为1，2AB ≤，当M 的坐标为()1,0时，2AB =，2222103cos 2105NA NB AB AB ANB NA NB +--∠==≥⋅由余弦函数的单调性确定3cos 5ANB ∠=时，ANB ∠最大，此时tan ANB ∠最大，最大值为43.【详解】22240x y x y +--=可化为()()22125x y -+-=，故圆N 的圆心为()1,2由题意可知：AB 为圆M 与圆N 的公共弦，且圆M 的半径为1，所以2AB ≤且AB ≤，故2AB ≤，当M 的坐标为()1,0时，2AB =，在△NAB 中，2222103cos 2105NA NB AB AB ANB NA NB +--∠==≥⋅，又[]0,πANB ∠∈，cos y x =在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，故ANB ∠为锐角，且当3cos 5ANB ∠=时，ANB ∠最大，又tan y x =在ππ,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭所以当ANB ∠最大时，tan ANB ∠取得最大值，且最大值为43，故选：D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知空间中三点()2,1,1A -，()1,0,2B ，()0,3,1C -，则（）A ．AB =B ．AB AC⊥C ．cos 19ABC ∠=D ．A ，B ，C 三点共线【答案】AB【详解】易得()1,1,3AB =--，()2,2,0AC =-，()1,3,3CB =-，AB ∴=，A 正确;因为0AB AC ⋅=，所以AB AC ⊥，B 正确，D 错误;而cosAB CB ABC AB CB⋅∠==⋅，C 错误.故选:AB.10．若直线123:34,:0,:234l x y l x y l x my +=-=-=不能构成三角形，则m 的取值为（）A ．23B ．23-C ．29D ．29-【答案】ABD【分析】分1323,////l l l l ，3l 过1l 与2l 的交点三种情况讨论即可.【详解】因为直线123:34,:0,:234l x y l x y l x my +=-=-=不能构成三角形，所以存在1323,////l l l l ，3l 过1l 与2l 的交点三种情况，当13//l l 时，有314234m =≠-，解得29m =-；当23//l l 时，有110234m -=≠-，解得23m =；当3l 过1l 与2l 的交点，则联立340x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，代入3l ，得21314m ⨯-⨯=，解得23m =-；综上：29m =-或23m =或23m =-.故选：ABD.11．已知曲线E 的方程为22x y x y +=+，则（）A ．曲线E 关于直线y x =对称B ．曲线E 围成的图形面积为2π+C ．若点00(,)x y 在曲线E 上，则0x ≤D ．若圆222(0)x y r r +=>能覆盖曲线E ，则r 的最小值为122+【答案】ABC【分析】根据给定条件逐一分析每一个选项，推理、计算判断作答.【详解】对于A ，曲线E 上任意点(,)x y 有：22x y x y +=+，该点关于直线y x =的对称点(,)y x 有22y x y x +=+，即曲线E 上任意点(,)x y 关于直线y x =的对称点仍在曲线E 上，A 正确；对于B ，因点(,)x y 在曲线E 上，点(,)x y -，(,)x y -也都在曲线E 上，则曲线E 关于x 轴，y 轴对称，当0,0x y ≥≥时，曲线E 的方程为22111()()222x y -+-=，表示以点11(,)22为圆心，2为半径的圆在直线1x y +=上方的半圆(含端点)，因此，曲线E 是四个顶点为(1,0),(0,1),(1,0),(0,1)--的正方形各边为直径向正方形外所作半圆围成，如图，所以曲线E 围成的图形面积是211224()2222ππ⨯⨯+⨯⨯=+，B 正确；对于C ，点00(,)x y 在曲线E 上，则2200002200111(||)(||)222x y x y x y ⇔-+-+=+=，则有2011(||)22x -≤，即01||2x ≤，解得01122x +-≤≤，而11[,[22-⊆，C 正确；对于D ，曲线E ，圆222(0)x y r r +=>能覆盖曲线E ，则min r =，D 不正确.故选：ABC12．已知P 是圆O ：224x y +=上的动点，点Q (1，0)，以P 为圆心，PQ 为半径作圆P ，设圆P 与圆O 相交于A ，B 两点．则下列选项正确的是（）A ．当P 点坐标为(2,0)时，圆P 的面积最小B ．直线AB 过定点C ．点Q 到直线AB 的距离为定值D 42AB ≤≤【答案】ACD【分析】A 由题意圆P 的面积最小只需||PQ 最小，结合圆的性质判断；B 应用特殊点，讨论P 为圆O 在x 轴交点分别判断直线AB 的位置即可判断；C 由两圆相交弦所在直线的求法确定直线AB ，再由点线距离公式判断；D 由OP 垂直平分AB ，结合弦心距、半径、弦长关系得到||AB 关于圆P 半径的表达式，结合二次函数性质求范围.【详解】A ：根据圆的性质知：P 点坐标为(2,0)时||PQ 最小，此时圆P 的面积最小，正确；B ：若圆P 的半径为r 且13r ≤≤，如下图，当P 为圆O 在x 轴右侧交点，此时1r =，显然直线AB 垂直于x 轴，在Q 点右侧；如下图，当P 为圆O 在x 轴左侧交点，此时3r =，显然直线AB 也垂直于x 轴，在Q 点左侧；所以直线AB 不可能过定点，错误；C ：由对称性，不妨设(P m ，则222(1)452r m m m =-+-=-，所以圆P 方程为22()(52x m y m -+=-，又直线AB 为两圆相交弦，则圆P 、圆O 相减并整理得：直线:2230AB mx m +--=，所以Q 到直线AB 的距离34d =为定值，正确；D ：由题意，OP 与AB 交于C 且OP 垂直平分AB ，令PC m =，则2224(2)m r m --=-，可得24r m =，故||2AB =，所以15||[,4]2AB =，正确；故选：ACD【点睛】关键点点睛：选项C 利用两圆相交求相交弦所在直线方程，结合点线距离公式求距离，选项D 通过弦心距、弦长、半径的几何关系得到||AB 关于圆P 半径的表达式.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.13．把直线210x y -+-=(顺时针旋转45°后得到的直线的方程为______．【答案】310x y +-=【分析】利用差角正切公式求旋转后直线斜率，由点斜式写出直线方程.【详解】若α为已知直线倾斜角，将其顺时针旋转45°后的直线倾斜角为45α-︒，而1tan 2α=，故11tan tan 4512tan(45)11tan tan 453112ααα--︒-︒===-+︒+⨯，所以旋转后直线为1(1)3y x =--，则310x y +-=.故答案为：310x y +-=14．已知,A B 分别是221:(1)(3)1C x y -+-=，222:(5)(1)4C x y ++-=上的两个动点，点M 是直线0x y -=上的一个动点，则||||MA MB +的最小值为_____________.【答案】5【分析】运用数形结合思想，画图确定最值位置，再求解最小值即可.【详解】如图，圆3C 是圆1C 关于直线0x y -=的对称圆，所以圆3C 的方程为()()22311x y -+-=，圆心为()33,1C ，且由图知，1MA MB MA MB+=+213,,,,C B M A C ∴五点共线时，1MA MB +有最小值，此时，()231235minMA MBC C +=--==所以MA MB +的最小值为5.故答案为：5.15．设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，α为过直线1BD 的平面，则α截该正方体的截面面积的取值范围是________.【答案】⎡⎣【分析】建立空间直角坐标系，设α与棱1CC 的交点为P ，利用空间向量计算P 到1BD 的最小距离和最大距离可得面积的最值.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则()()12,2,2,0,0,0B D ，设α与棱1CC 的交点为P ，与棱1AA 的交点为G ，则四边形1BGD P 为平行四边形.在面α内过P 作1BD 的垂线，垂足为Q ，则截面的面积为1S BD PQ PQ ==.设(),,Q x x x ，()0,2,P y ，则()12,2,2D B =，(),2,PQ x x x y =--.因为1·0D B PQ =，故()()22220x x x y +-+-=即320x y --=，故32y x =-.因0322x ≤-≤，故2433x ≤≤.又PQ ===，其中2433x ≤≤，PQ ≤≤S ≤≤，填⎡⎣.【点睛】空间中点到直线的距离的计算，可把距离放在可解的几何图形中，利用解三角形等方法计算该距离，如果找不到合适的几何图形“安置”该距离，则可以建立空间直角坐标系，通过空间向量的方法计算该距离.16．已知直线l ：40x y -+=与x 轴相交于点A ，过直线l 上的动点P 作圆224x y +=的两条切线，切点分别为C ，D 两点，记M 是CD 的中点，则AM 的最小值为__________．【答案】【分析】利用圆的性质，结合图像，把问题转化为跟圆有关的最值问题进行处理.【详解】由题意设点(),4P t t +，()11,C x y ，()22,D x y ，因为PD ，PC 是圆的切线，所以OD PD ⊥，OC PC ⊥，所以,C D 在以OP 为直径的圆上，其圆的方程为:()222244()()224t t t t x y +++-+-=，又,C D 在圆224x y +=上，将两个圆的方程作差得直线CD 的方程为：()440tx t y ++=－，即()()410t x y y ++=－，所以直线CD 恒过定点()1,1Q －，又因为OM CD ⊥，M ，Q ，C ，D 四点共线，所以OM MQ ⊥，即M 在以OQ 为直径的圆22111((222x y ++-=上，其圆心为11',22O ⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径为r =:所以'2min AM AO r ==-=－所以AM 的最小值为故答案为：四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知圆C 经过()0,2A ，()0,8B 两点，且与x 轴的正半轴相切.(1)求圆C 的标准方程；(2)若直线l ：30x y -+=与圆C 交于M ，N ，求MN .【答案】(1)22(4)(5)25x y -+-=；(2)【分析】（1）由题意，设圆心(,)C m n 且半径||r n =，由圆所过的点列方程求参数，结合与x 轴的正半轴相切确定圆的方程；（2）利用弦心距、半径与弦长的关系求MN .（1）若圆心(,)C m n ，则圆的半径||r n =，即222()()x m y n n -+-=，又圆C 经过()0,2A ，()0,8B ，则222222441664m n n n m n n n ⎧+-+=⎪⎨+-+=⎪⎩，可得45m n =±⎧⎨=⎩，所以22(4)(5)25x y -+-=或22(4)(5)25x y ++-=，又圆与x 轴的正半轴相切，故圆C 的标准方程为22(4)(5)25x y -+-=.（2）由（1）知：(4,5)C 到直线l==5r ，所以MN ==18．（12分）如图，在边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为1,AB A C 的中点.(1)证明：1EF A CD ⊥平面；(2)求点1C 到平面1ACD 的距离.【答案】(1)见解析【分析】（1）建立坐标系求出点的坐标，利用向量的坐标运算求平面法向量即可求解，（2）利用向量法求解点面距离即可．（1）建立以D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD 分别为x ，y ，z 轴的空间直角坐标系如图：则(0D ，0，0)，(2A ，0，0)，(0C ，2，0)，(2B ，2，0)，1(2A ，0，2)，1(0D ，0，2)E ，F 分别为AB ，1AC 的中点，(2E ∴，1，0)，(1F ，1，1)，1(2DA =，0，2)，(0DC =，2，0)，设平面1ACD 的法向量为(),,m x y z =，则100m DA m DC ⎧⋅=⎨⋅=⎩,即22020x z y +=⎧⎨=⎩，令1x =，则()1,0,1m =-因为()=101，，EF -，=EF m -，所以//EF mEF ∴⊥平面1ACD ．（2）()10,0,2CC =,()1,0,1m =-,设点1C 到平面1ACD 的距离为d，所以1CC m d m ⋅===19．（12分）已知ABC 中，点()1,5A -，边BC 所在直线1l 的方程为7180x y --=，边AB 上的中线所在直线2l 的方程为y x =.(1)求点B 和点C 的坐标；(2)以()3,2M 为圆心作一个圆，使得A ，B ，C 三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，一个点在圆外，求这个圆的方程.【答案】(1)()2,4B -，()3,3C (2)()()223225x y -+-=【分析】（1）由题意，设所求点的坐标，结合中点坐标公式，代入对应直线方程，解得答案；（2）由题意，分别求点M 到,,A B C 的距离，比较大小，可得答案.（1）设()11,B x y ，()22,C x y ，AB 的中点1115,22x y D -+⎛⎫ ⎪⎝⎭，由题意可得直线CD 的直线方程：2:l y x =，则22227180y x x y =⎧⎨--=⎩，解得2233x y =⎧⎨=⎩，111115227180x y x y -+⎧=⎪⎨⎪--=⎩，解得1124x y =⎧⎨=-⎩，故()2,4B -，()3,3C .（2）5AM ==，BM =1CM ==，由15<<()()223225x y -+-=.20．（12分）如图，已知PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，2PA AD AB ===，M ，N 分别为AB ，PC 的中点.(1)求证：//MN 平面PAD ；(2)求PD 与平面PMC 所成角的正弦值；(3)求平面PMC 与平面PAD 的夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)3.【分析】（1）若E 为PD 中点，连接,NE AE ，易证AMNE 为平行四边形，则//MN AE ，根据线面平行的判定证结论；（2）构建空间直角坐标系，求PD 的方向向量与平面PMC 的法向量，应用向量夹角坐标表示求线面角的正弦值；（3）由(1,0,0)n =是面PAD 的一个法向量，结合（2）并应用向量夹角坐标表示求面面角的余弦值；（1）若E 为PD 中点，连接,NE AE ，又M 、N 为AB 、PC 的中点，底面ABCD 为矩形，所以//NE CD 且12NE CD =，而1122AM AB CD ==且//AM CD ，所以//NE AM 且NE AM =，故AMNE 为平行四边形，故//MN AE ，又MN ⊄面PAD ，AE ⊂面PAD ，则//MN 面PAD .（2）由题意，可构建如下图示的空间直角坐标系，2PA AD AB ===，所以(0,0,2)P ，(0,2,0)D ，(1,0,0)M ，(2,2,0)C ，则(0,2,2)PD =-uu u r ，(1,0,2)PM =-，(2,2,2)PC =-，若(,,)m x y z =是面PMC 的一个法向量，则202220m PM x z m PC x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，令2x =，故(2,1,1)m =-，所以PD 与平面PMC 所成角的正弦值为||3|cos ,|3||||PD m PD m PD m ⋅<>===.（3）由（2）知：(2,1,1)m =-是面PMC 的一个法向量，又(1,0,0)n =是面PAD 的一个法向量，所以cos ,||||m n m n m n ⋅<>==PMC 与平面PAD 的夹角的余弦值3.21．（12分）如图，已知圆22:430M x x y -++=，点(1,)P t -为直线:1l x =-上一动点，过点P 引圆M 的两条切线，切点分别为A ，B(1)求直线AB 的方程，并写出直线AB 所经过的定点的坐标；(2)求线段AB 中点的轨迹方程；(3)若两条切线,PA PB 与y 轴分别交于,S T 两点，求ST 的最小值.【答案】(1)5,03⎛⎫ ⎪⎝⎭(2)22111(2)636x y x ⎛⎫-+=≠ ⎪⎝⎭(3)22【分析】（1）把直线AB 看成圆P 和圆M 公共弦所在的直线，求出直线方程即可得到定点；（2）利用几何的知识得到AB 中点的轨迹，根据轨迹求方程即可；（3）设切线方程，利用圆心到切线的距离为半径得到12k k +，12k k ，再把ST 表示出来求最小值即可.（1）因为PA ，PB 为圆M 的切线，所以90PBM PAM ∠=∠=︒，所以点,A B 在以PM 为直径的圆P 上，又点,A B 在圆M 上，所以线段AB 为圆P 和圆M 的公共弦，因为圆M ：22430x x y -++=①，所以()2,0M ，PM =，PM 中点为1,22t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则圆P ：22219224t t x y +⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得2220x x y ty -+--=②，②-①得直线AB 的方程为350x ty --=，所以(35)0x ty --=，所以直线AB 过定点5,03⎛⎫ ⎪⎝⎭.（2）∵直线AB 过定点5,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，AB 的中点为直线AB 与直线MP 的交点，设AB 的中点为F 点，直线AB 过的定点为H 点，易知HF 始终垂直于FM ，所以F HM 为直径的圆，5,03H ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(2,0)M ，∴点F 的轨迹方程为22111(2)636x y x ⎛⎫-+=≠ ⎪⎝⎭；（3）设切线方程为(1)y t k x -=+，即0kx y k t -++=，故(2,0)M 到直线0kx y k t -++=的距离1d ==，即228610k kt t ++-=，设PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则1234t k k +=-，21218t k k -=，把0x =代入0kx y k t -++=，得y k t =+，则()121284ST k t k t k k =+-+=-=，故当0=t 时，ST 取得最小值为2．22．（12分）已知圆22:1O x y +=，圆()()221:231O x y -+-=过1O 作圆O 的切线，切点为T （T 在第二象限）.（1）求1OOT ∠的正弦值；（2）已知点(),P a b ，过P 点分别作两圆切线，若切线长相等，求,a b 关系；（3）是否存在定点(),M m n ，使过点M 有无数对相互垂直的直线12,l l 满足12l l ⊥，且它们分别被圆O 、圆1O 所截得的弦长相等？若存在，求出所有的点M ；若不存在，请说明理由.【答案】（1（2）46130a b +-=；（3）M 存在且其坐标为51,22⎛⎫ ⎪⎝⎭或者15,22⎛⎫- ⎪⎝⎭.【分析】（1）连接1O O ，利用1Rt OO T ∆可求1OOT ∠的正弦值.（2）利用直线与圆相切求出过P 且与两圆相切的切线长，整理后可得所求的,a b 关系式.（3）设1l 的斜率为k 且0k ≠，利用1l 、2l 分别被圆O 、圆1O 所截得的弦长相等且两圆半径相等得到()23n km m n k -=-+-对无穷多个k 恒成立，整理后可得关于,m n 的方程组，从而可求M 的坐标.【详解】（1）连接1O O ，因为1O T 与O 相切于T ，故1OT OT ⊥.又1OO 在1Rt OO T ∆中，1OT =，故1sin OO T ∠（2）因为过(),P a b 作两圆的切线且切线长相等，=46130a b +-=，故,a b 的关系为46130a b +-=.（3）设1l 的斜率为k 且0k ≠，则1:0l kx y n km -+-=，2:0l x ky kn m +--=，因为它们分别被圆O 、圆1O 所截得的弦长相等且两圆半径相等，所以O 到直线1l 的距离等于1O 到直线2l的距离，=()23n km m n k -=-+-对无穷多个k 恒成立，所以()()()()22222322320m n k mn m n k n m ⎡⎤---+--+--=⎡⎤⎣⎦⎣⎦对无穷多个k 恒成立.故()()()()22223023020m n mn m n n m ⎧--=⎪⎪+--=⎨⎪--=⎪⎩，解得5212m n ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩或者1252m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.17．故M 存在且其坐标为51,22⎛⎫ ⎪⎝⎭或者15,22⎛⎫- ⎪⎝⎭.。
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高二第一次月考数学复习卷（一）
班级 姓名 得分
一、选择题
1、用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是( )
A ．圆柱
B ．圆锥
C ．球体
D ．圆台
2、给出以下说法：①圆锥的母线只有一条；②圆台的上底面缩小为一点时(下底面不变)，圆台就变成了圆 锥；③球面就是球；④过空间四点总能作一个球．其中正确说法的个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
3、下列命题不正确的是( )
A ．圆柱所有的母线都相等，并且母线与底面垂直
B ．用平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是与底面全等的圆面
C ．用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面也是一个圆面
D ．以一个矩形对边中点的连线为旋转轴，将各边旋转180°形成的曲面围成的几何体是圆柱
4、如图所示最左边的几何体由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得 到的．现用一个竖直的平面去截这个几何体，则所截得的图形可能是( )
A ．(1)(2)
B ．(1)(3)
C ．(1)(4)
D ．(1)(5)
5、下列命题正确的个数为( )
①圆柱的轴是过圆柱上、下底面圆的圆心的直线；
②圆柱的母线是连接圆柱上底面上一点和下底面上一点的直线；
③矩形的任意一条边都可以作为轴，其他边绕其旋转围成圆柱；
④矩形绕任意一条直线旋转，都可以围成圆柱．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
6、已知集合A ＝{棱柱}，集合B ＝{正棱柱}，集合C ＝{斜棱柱}，集合D ＝{直棱柱}，则( )
A ．A ⊃C ⊃
B B ．A ⊃D ⊃B
C ．A ⊃C ⊃
D D ．A ⊃D ⊃C
7、在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
8、观察图中四个几何体，其中判断正确的是( )
A ．(1)是棱台
B ．(2)是圆台
C ．(3)是棱锥
D ．(4)不是棱柱
9、纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北，现
在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平，得到右侧的平面图形，
则标“△”的面的方位是( )
A ．南
B ．北
C ．西
D ．下
10、下列说法正确的个数是( )
①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；
③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形．
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
11、如上图所示，正方形ABCD 在直角坐标系xOy 中，点B 的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的此正方形的直观图中，顶点B ′到x ′轴的距离为( )
A.12
B.22 C ．1 D. 2
12、已知点A ，直线a ，平面α，①A ∈a ，a ∉α⇒A ∉α；②A ∈a ，a ∈α⇒A ∈α；③A ∉a ，a ⊂α⇒A ∉α；④A ∈a ，a ⊂α⇒A ⊂α，以上命题表达正确的真命题的个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
二、填空题
1、等腰三角形绕底边上的高旋转180°，所得几何体的结构特征是________．
2、给出下列四个命题：
①直角三角形绕一条边旋转得到的旋转体是圆锥；②夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体；③圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台；④通过圆台侧面上一点，有无数条母线
其中正确命题的序号是________．
3、用一个平面去截一个正方体，截面边数最多是________条．
4、如图为水平放置的△ABO 的直观图，由图判断原三角形中AB 、BO 、BD 、
OD 由小到大的顺序为 .
5、若一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积是原三
角形面积的________倍．
6、在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知BC=22,CD=142
，DD1=5,则A1C 和B1D1所成的角等于 度。
三、解答题
1、如图，已知直线a ，b ，c 不共面，且a ∩b ∩c=P, A ∈a ，D ∈a ，B ∈b ，C ∈c ，求证：直线BD 和AC 异面。
2、已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,G 分别为AA1,CC1的中点，求证：四边形BGD1E 为平行四边形。
3、如图，平面α∩平面β=l ，A ∈l ，C ∈l ，B ∈α,D ∈β ,E,F,G,H 分别在AB,BC,CD,DA 上，若EF ∩HG=P ,求证：EF,HG,AC 三线共点。
D B A C P D C B
D1 C1 A1 B1 A G
E D β α G
H P E C
A B
F E。