2.1随机变量及其分布函数

分布函数具有以下基本性质： 1、F ( x )为单调不减的函数 事实上：F ( x2 ) F ( x1 ) P{ x1 x x2 } 0
想 想 2、0 F ( x ) 1,且 lim F ( x ) 1，常记为F ( ) 1 为 x lim F ( x ) 0，常记为F ( ) 0 什 x 么 3、F ( x 0) F ( x )，即F ( x )为又连续函数 ？
容易知道对于任意实数x1 , x2 x1 x2），有 （ P{ x1 X x2 } P{ X x2 } P( X x1 ) F ( x2 ) F ( x1 ) 因此，若已知X 的分布函数，就能知道X 落在任一区间 (x1 , x2 ]上的概率，
在这个意义上说，分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性
概率论主要是利用随机变量来描述和研究随机现象， 而利用分布函数就能很好的表示各事件的概率
例如： P{ X a} 1 P{ X a} 1 F ( a ) P{ X a} F ( a 0) P{ X a} F ( a ) F ( a 0) P{a X b} F (b 0) F ( a )等等
在有些试验中，试验结果看来与数值无 关，但我们可以引进一个变量来表示它的各 种结果.也就是说，把试验结果数值化. 正如裁判员在运动场上不叫运动员的名 字而叫号码一样，二者建立了一种对应关系.
定义
设随机试验为 E ,其样本空间为
, 如果对于每个 ，都有一个实数
X ( ) 和它对应，于是就得到一个定义在 上的实值单值函数 X ( ) ，称 X ( ) 为随机变

二、随机变量与随机事件的关系 对所考察的随机现象，当引入随机变量以 后，随机事件即可用随机变量满足某关系式来 描述，反之，给出随机变量X满足某关系式， 它将表达随机现象中的某个事件。 比如：例1中，
例2中，事件{点数不少于3次}可表示为X 3.
X 1 X 0
表示该试验中“正面朝上”事件。
量。


X ( )
R
随机变量通常用大写字母 X,Y,Z或希腊字母ζ,η等表示
而表示随机变量所取的值 时,一般采用小写字母x,y,z等.
例如，从某一学校随机选 一学生，测量他的身高.
我们可以把可能的身高看作随机变量X, 然后我们可以提出关于X 的各种问题. 如 P(X>1.7)=？ P(X≤1.5)=? P(1.5<X<1.7)=?
表示该试验中“反面朝上”事件。
三、随机变量的分类 通常分为两类： 随 机 变 量 离散型随机变量
所有取值可以逐个 一一列举
连续型随机变量
全部可能取值不仅 无穷多，而且还不 能一一列举，而是 充满一个区间.
随机变量概念的产生是概率论发展史上的
重大事件。引入随机变量后，对随机现象统计
规律的研究，就由对事件及事件概率的研究扩
P{x1 X x2 }
但由于
P{x1 X x2} P{X x2} P{X x1}
由此可见要研究 P{x1 X x2} 就归结为研究形如
P{ X x2 }
的概率问题
不难看出 P{ X x}的值常随不同的x而变化， 他是x的函数，我们称这函数为分布函数 定义 2.2 设X 是随机变量，x是任意实数， F ( x ) P{ X x}称为X 的分布函数
大为对随机变量及其取值规律的研究。 这两种类型的随机变量因为都是随机变量， 自然有很多相同或相似之处，但因其取值方式
不同，又有其各自的特点。
学习时请注意它们各自的特点和描述方法。
四、分布函数 为了研究随机变量的概率规律，并由于随机变 量X的可能取值不一定能逐一列出，因此我们在 一般情况下需要研究随机变量落在某区间 ( x1 , x2 ] 中的概率，即求
, 2, 3, 4, 5, 6 1
这个试验结果本身就是一个数.（与数值有关） 我们引入一个变量 X
X X () k ,
当
是随机变量， k 时，X k ，这里 X
它是依试验结果的不同而随机地取值1，2， 3，4，5，6。
类似的例子： 七月份长沙的最高温度； 每天从长沙站下火车的人数； 昆虫的产卵数；
例1 投掷一枚硬币，观察出现正反面的 情形。试验有两个可能结果：
1 — 出现正面 2 — 出现反面
我们引入一个变量如下：
1, X X ( ) 0,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 2
这个变量可以看作是定义在样本空间
1 , 2
上的函数，称其为随机变量。实际上此变量 是依试验结果的不同而随机地取值1或0。 例2 掷一枚骰子面上出现的点数。
第一节
随机变量及分布函数
一、随机变量的定义
在上一章中，我们研究了随机事件与概率 的一些基本概念和理论。为了更深入地研究随 机试验的结果，揭示其相应的随机现象的统计 规律性，从本章起，我们将引进随机变量的概 念。其基本想法是把随机试验的结果数量化， 即用一个变量X 来描述试验的结果。先看下面 的例子。