高中数学竞赛校本教材[全套](共30讲
高中数学竞赛校本教材【全套共30讲】(原创Word版,含答案,278页)
高中数学竞赛校本教材目录§1数学方法选讲（1） (1)§2数学方法选讲（2） (11)§3集合 (22)§4函数的性质 (30)§5二次函数(1) (41)§6二次函数(2) (55)§7指、对数函数,幂函数 (63)§8函数方程 (73)§9三角恒等式与三角不等式 (76)§10向量与向量方法 (85)§11数列 (95)§12递推数列 (102)§13数学归纳法 (105)§14不等式的证明 (111)§15不等式的应用 (122)§16排列，组合 (130)§17二项式定理与多项式 (134)§18直线和圆，圆锥曲线 (143)§19立体图形，空间向量 (161)§20平面几何证明 (173)§21平面几何名定理 (180)§22几何变换 (186)§23抽屉原理 (194)§24容斥原理 (205)§25奇数偶数 (214)§26整除 (222)§27同余 (230)§28高斯函数 (238)§29覆盖 (245)§29涂色问题 (256)§30组合数学选讲 (265)§1数学方法选讲（1）同学们在阅读课外读物的时候，或在听老师讲课的时候，书上的例题或老师讲解的例题他都能听懂，但一遇到没有见过面的问题就不知从何处入手。
看来，要提高解决问题的能力，要能在竞赛中有所作为，首先得提高分析问题的能力，这就需要学习一些重要的数学思想方法。
例题讲解一、从简单情况考虑华罗庚先生曾经指出：善于“退”，足够的“退”，退到最原始而又不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍。
从简单情况考虑，就是一种以退为进的一种解题策略。
攻略高中数学联赛赛程、时间安排、25本数竞书单
攻略⾼中数学联赛赛程、时间安排、25本数竞书单挤进清北等优质名校是众多⾼中⽣的梦想，有梦想是好的，但现实很残酷，这些⾼校招⽣名额有限！尤其在招⽣⽅式改⾰后，⾼考裸分被录取的可能性更⼩。
因此，通过学科竞赛拿奖牌获得降分优惠或直接被保送，成为许多考⽣的必然选择。
但你知道，学科竞赛应该如何备考才能拿到⾼含⾦量的奖牌吗？学科竞赛⽹（jingsai985）根据多年经验，总结出⼀份⾼含⾦量的数学竞赛备考秘籍。
我们从不轻易告诉外⼈，但今天很⾼兴与你分享，因为我们是⾃家⼈！（⼀）先看赛程数学预选赛（初赛）在各地市学校举⾏，评选出的奖项分为市⼀、市⼆、市三，考核优秀的学⽣晋级参加数学联赛。
数学联赛（⼀试、⼆试）全省在指定的⼀个或⼏个地⽅进⾏选拔考试，评选出的奖项分为省⼀（含省队）、省⼆、省三，考核优秀的学⽣晋级参加全国数学决赛，即冬令营（CMO）。
冬令营全国统⼀指定⼀个地⽅进⾏选拔考核，评选出的奖项分为国⼀（含集训队）、国⼆、国三，考核优秀的学⽣晋级参加国家集训队。
最终选出6名优秀选⼿代表中国参加IMO。
IMO全世界在指定的⼀个地⽅进⾏选拔考核，评选出国际⾦牌，国际银牌，国际铜牌。
（⼆）重点看时间安排和阶段备考内容⾼中学业较之前本来就繁重，还要挤出时间备战数竞，因此，进⾏科学规划显得尤为重要。
从初赛到国决⼤略可分为以下五个阶段：1、第⼀阶段：初三暑假到⾼⼀上学期⼤部分学⽣的竞赛之路是从初三毕业那个暑假开始的，虽然某些省份呈低龄化趋势，但并⾮主流。
这个阶段多数竞赛⽣学习必备知识，由于预选赛（初赛）和⼀试的内容均是⾼中知识，且初赛难度较⼩，所以，⽆需单独备考初赛，准备⼀试即可。
此阶段，你需要配合⽼师的课堂教学，以最短时间尽可能⾃学完成⾼考要求掌握的数学知识，同时要注意做题训练。
可以从数学53（五年⾼考三年模拟）【⽂末附详细书单】开始练习，若做起来⽐较顺⼿，就跳过直接刷浙⼤版《⾼中数学竞赛培优教程：⼀试》（第四版），偶尔选53重要题型练⼿感；若做起来有难度，还是要坚持先把53弄懂吃透，奠定⾼考基础。
高中数学竞赛书籍
高中数学竞赛书籍
高中数学竞赛是一项需要大量练习和理解的活动，为此需要一些优质的竞赛书籍作为辅助资料。
以下是一些推荐的高中数学竞赛书籍： 1. 《高中数学竞赛全书》
这本书是一本全面介绍高中数学竞赛知识的工具书，内容涵盖了数学竞赛的各个领域，包括代数、几何、概率与统计等。
书中配有大量的例题和试题，非常适合准备参加竞赛的学生使用。
2. 《高中数学竞赛辅导书》
这本书是一本全面介绍高中数学竞赛知识的辅导资料，内容涵盖了数学竞赛的各个领域，包括代数、几何、概率与统计等。
书中配有大量的例题和试题，并配有详细的讲解与解答，非常适合准备参加竞赛的学生使用。
3. 《高中数学竞赛题解汇编》
这本书是一本收集了大量高中数学竞赛试题的题解汇编，内容非常全面，包括代数、几何、概率与统计等多个领域。
书中题目难度各异，适合不同水平的竞赛学生学习。
4. 《高中数学竞赛例题精选》
这本书是一本精选了大量高中数学竞赛例题的参考书，内容涵盖了代数、几何、概率与统计等多个领域。
书中的例题难度适中，既有挑战性，又不失可操作性，提供了很好的练习机会。
总之，以上这些书籍都是非常优质的高中数学竞赛资料，可以帮助学生更好地理解和掌握数学竞赛知识，提高竞赛水平。
数学竞赛完整课程教案高中
数学竞赛完整课程教案高中1. 学生能够掌握数学竞赛中常见的解题技巧和方法；2. 学生能够熟练运用数学知识解决竞赛中的问题；3. 学生能够提升自信心和解决问题的能力。
教学内容：1. 数论2. 代数3. 几何4. 统计教学过程：第一课：数论1. 介绍数论的基本概念和常见的解题技巧；2. 给出一些数论题目并引导学生解决；3. 分析解题思路和方法，引导学生总结经验。
第二课：代数1. 讲解代数的基本知识和解题技巧；2. 给出一些代数题目供学生练习；3. 分析解题思路和方法，帮助学生提升解题能力。
第三课：几何1. 引导学生理解几何知识和解题技巧；2. 给出一些几何题目供学生练习；3. 分析解题思路和方法，帮助学生提升几何解题能力。
第四课：统计1. 讲解统计知识和解题技巧；2. 给出一些统计题目供学生练习；3. 分析解题思路和方法，帮助学生提升统计解题能力。
第五课：综合练习1. 给出一些综合性的竞赛题目供学生练习；2. 帮助学生分析解题思路和方法；3. 鼓励学生多练习，提高解题速度和准确性。
评价方法：1. 平时的课堂练习；2. 期中和期末的考试；3. 数学竞赛的模拟比赛。
教学资源：1. 数学竞赛教材和习题集；2. 电子教学资源；3. 纸质习题和答案。
教学建议：1. 鼓励学生多练习，勤奋钻研；2. 注重引导学生理解数学知识，而不是死记硬背；3. 鼓励学生互相合作，相互学习。
以上是数学竞赛完整课程教案的高中范本，希朅能对您有所帮助。
高中数学竞赛讲义(免费)(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。
全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。
几何不等式。
几何极值问题。
几何中的变换：对称、平移、旋转。
圆的幂和根轴。
面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。
2.代数周期函数，带绝对值的函数。
三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。
递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
第二数学归纳法。
平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。
复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。
多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。
n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代，简单的函数方程*3. 初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。
4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。
组合计数，组合几何。
抽屉原理。
容斥原理。
极端原理。
图论问题。
集合的划分。
覆盖。
平面凸集、凸包及应用*。
注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。
三、高中数学竞赛基础知识第一章 集合与简易逻辑一、基础知识定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素x 在集合A 中，称x 属于A ，记为A x ∈，否则称x 不属于A ，记作A x ∉。
数学竞赛书目
s004 高中数学竞赛培训教材高一分册 浙江大学 22
s005 高中数学竞赛培训教材高二分册 浙江大学 23
s006 高中数学竞赛培训教材高三分册 浙江大学 26
高中各科竞赛实战演练丛书
s015 国内高中数学竞赛真题库 浙江大学 14
s016 国外数学竞赛真题库 浙江大学 25
s017 高中数学竞赛2000题 浙江大学 40
特级教师解密
s064 奥赛小丛书.高中卷14 组合几何 华东师大 7
s065 奥赛小丛书.高中卷15 图论 华东师大 9
s066 奥赛小丛书.高中卷16 组合极值.论证与构造 华东师大 10
s052 奥数小丛书.高中卷2 函数与函数方程 华东师大 12
s053 奥数小丛书.高中卷3 三角函数 华东师大 13
s054 奥数小丛书.高中卷4 平均值不等式与柯西不等式 华东师大 11
s055 奥数小丛书.高中卷5 不等式的解题方法与技巧 华东师大 12
《赛前集训》系列
s049 高中数学联赛专题辅导 华东师大 15
s050 高中数学联赛考前集训 华东师大 7
《数学奥林匹克小丛书》
s051 奥数小丛书.高中卷1 集合 华东师大 12
高中各学科竞赛丛书国家数学奥林匹克竞赛学会审定
s001 高中数学竞赛培优教程(一试) 浙江大学 26
s002 高中数学竞赛培优教程(专题讲座) 浙江大学 26
s003 高中数学竞赛题典 浙江大学 14
《高中奥赛试题评析》丛书
s029 高中数学奥赛试题评析 南京师大 18
启东中学奥赛训练教程
s030 启东中学奥赛训练教程.高中数学 南京师大 24
高中数学竞赛书籍排行
高中数学竞赛书籍排行
以下是一些高中数学竞赛的经典书籍，排名不分先后：
1. 《高中数学竞赛专题讲座》（共10本）：这套书是数学竞赛的经典教材之一，包括了许多经典的数学竞赛题目和解题方法。
2. 《高中数学竞赛全解》：这本书是数学竞赛的必备参考书之一，包含了高中数学竞赛的所有知识点和经典题目，非常适合学生自学或复习。
3. 《高中数学竞赛真题解析》：这本书收录了大量的数学竞赛真题，并进行了详细的解析，是提高学生解题能力的很好参考书。
4. 《高中数学竞赛不等式选讲》：这本书主要介绍了高中数学竞赛中的不等式问题，包括了许多经典的不等式题目和解题方法。
5. 《高中数学竞赛数论与组合分册》：这本书是数学竞赛数论和组合部分的经典教材之一，包含了大量的经典题目和解题方法。
以上书籍都是高中数学竞赛的经典教材和参考书，对于提高学生的数学竞赛水平有很大帮助。
当然，每个人的学习情况不同，需要根据自己的实际情况选择适合自己的书籍。
高中数学竞赛校本教材[全套共30讲].pdf
![高中数学竞赛校本教材[全套共30讲].pdf](https://img.taocdn.com/s3/m/cd48785bf78a6529657d5306.png)
高中数学竞赛校本教材目录§1数学方法选讲（1） (1)§2数学方法选讲（2） (11)§3集合 (22)§4函数的性质 (30)§5二次函数(1) (41)§6二次函数(2) (55)§7指、对数函数,幂函数 (63)§8函数方程 (73)§9三角恒等式与三角不等式 (76)§10向量与向量方法 (85)§11数列 (95)§12递推数列 (102)§13数学归纳法 (105)§14不等式的证明 (111)§15不等式的应用 (122)§16排列，组合 (130)§17二项式定理与多项式 (134)§18直线和圆，圆锥曲线 (143)§19立体图形，空间向量 (161)§20平面几何证明 (173)§21平面几何名定理 (180)§22几何变换 (186)§23抽屉原理 (194)§24容斥原理 (205)§25奇数偶数 (214)§26整除 (222)§27同余 (230)§28高斯函数 (238)§29覆盖 (245)§29涂色问题 (256)§30组合数学选讲 (265)§1数学方法选讲（1） 同学们在阅读课外读物的时候，或在听老师讲课的时候，书上的例题或老师讲解的例题他都能听懂，但一遇到没有见过面的问题就不知从何处入手。
看来，要提高解决问题的能力，要能在竞赛中有所作为，首先得提高分析问题的能力，这就需要学习一些重要的数学思想方法。
例题讲解一、从简单情况考虑 华罗庚先生曾经指出：善于“退”，足够的“退”，退到最原始而又不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍。
从简单情况考虑，就是一种以退为进的一种解题策略。
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高中数学竞赛校本教材[全套](共30讲，含详细答案)目录§1数学方法选讲（1） (1)§2数学方法选讲（2） (11)§3集合 (22)§4函数的性质 (30)§5二次函数(1) (41)§6二次函数(2) (55)§7指、对数函数,幂函数 (63)§8函数方程 (73)§9三角恒等式与三角不等式 (76)§10向量与向量方法 (85)§11数列 (95)§12递推数列 (102)§13数学归纳法 (105)§14不等式的证明 (111)§15不等式的应用 (122)§16排列，组合 (130)§17二项式定理与多项式 (134)§18直线和圆，圆锥曲线 (143)§19立体图形，空间向量 (161)§20平面几何证明 (173)§21平面几何名定理 (180)§22几何变换 (186)§23抽屉原理 (194)§24容斥原理 (205)§25奇数偶数 (214)§26整除 (222)§27同余 (230)§28高斯函数 (238)§29覆盖 (245)§29涂色问题 (256)§30组合数学选讲 (265)§1数学方法选讲（1）同学们在阅读课外读物的时候，或在听老师讲课的时候，书上的例题或老师讲解的例题他都能听懂，但一遇到没有见过面的问题就不知从何处入手。
看来，要提高解决问题的能力，要能在竞赛中有所作为，首先得提高分析问题的能力，这就需要学习一些重要的数学思想方法。
例题讲解一、从简单情况考虑华罗庚先生曾经指出：善于“退”，足够的“退”，退到最原始而又不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍。
从简单情况考虑，就是一种以退为进的一种解题策略。
1. 两人坐在一张长方形桌子旁，相继轮流在桌子上放入同样大小的硬币。
条件是硬币一定要平放在桌子上，后放的硬币不能压在先放的硬币上，直到桌子上再也放不下一枚硬币为止。
谁放入了最后一枚硬币谁获胜。
问：先放的人有没有必定取胜的策略？2．线段AB上有1998个点（包括A，B两点），将点A染成红色，点B染成蓝色，其余各点染成红色或蓝色。
这时，图中共有1997条互不重叠的线段。
问：两个端点颜色相异的小线段的条数是奇数还是偶数？为什么？3．1000个学生坐成一圈，依次编号为1，2，3，…，1000。
现在进行1，2报数：1号学生报1后立即离开，2号学生报2并留下，3号学生报1后立即离开，4号学生报2并留下……学生们依次交替报1或2，凡报1的学生立即离开，报2的学生留下，如此进行下去，直到最后还剩下一个人。
问：这个学生的编号是几号？4．在6×6的正方形网格中，把部分小方格涂成红色。
然后任意划掉3行和3列，使得剩下的小方格中至少有1个是红色的。
那么，总共至少要涂红多少小方格？二、从极端情况考虑从问题的极端情况考虑，对于数值问题来说，就是指取它的最大或最小值；对于一个动点来说，指的是线段的端点，三角形的顶点等等。
极端化的假设实际上也为题目增加了一个条件，求解也就会变得容易得多。
5．新上任的宿舍管理员拿着20把钥匙去开20个房间的门，他知道每把钥匙只能打开其中的一个门，但不知道哪一把钥匙开哪一个门，现在要打开所有关闭的20个门，他最多要开多少次？6．有n名（n≥3）选手参加的一次乒乓球循环赛中，没有一个全胜的。
问：是否能够找到三名选手A，B，C，使得A胜B，B胜C，C胜A？7．n（n≥3）名乒乓球选手单打比赛若干场后，任意两个选手已赛过的对手恰好都不完全相同。
试证明，总可以从中去掉一名选手，而使余下的选手中，任意两个选手已赛过的对手仍然都不完全相同。
8．在一个8×8的方格棋盘的方格中，填入从1到64这64个数。
问：是否一定能够找到两个相邻的方格，它们中所填数的差大于4？三、从整体考虑从整体上来考察研究的对象，不纠缠于问题的各项具体的细节，从而能够拓宽思路，抓住主要矛盾，一举解决问题。
9．右图是一个4×4的表格，每个方格中填入了数字0或1。
按下列规则进行“操作”：每次可以同时改变某一行的数字：1变成0，0变成1。
问：能否通过若干次“操作”使得每一格中的数都变成1？10．有三堆石子，每堆分别有1998，998，98粒。
现在对这三堆石子进行如下的“操作”：每次允许从每堆中各拿掉一个或相同个数的石子，或从任一堆中取出一些石子放入另一堆中。
按上述方式进行“操作”，能否把这三堆石子都取光？如行，请设计一种取石子的方案；如不行，请说明理由。
11．我们将若干个数x，y，z，…的最大值和最小值分别记为max（x，y，z，…）和min （x，y，z，…）。
已知a+b+c+d+e+f+g=1，求min[max（a+b+c，b+c+d，c+d+e，d+e+f，e+f+g）]课后练习1.方程x1+x2+x3+…+x n-1+x n=x1x2x3…x n-1x n一定有一个自然数解吗？为什么？2.连续自然数1，2，3，…，8899排成一列。
从1开始，留1划掉2和3，留4划掉5和6……这么转圈划下去，最后留下的是哪个数？3.给出一个自然数n，n的约数的个数用一个记号A（n）来表示。
例如当n=6时，因为6的约数有1，2，3，6四个，所以A（6）=4。
已知a1，a2，…，a10是 10个互不相同的质数，又x为a1，a2，…，a10的积，求 A（x）。
4.平面上有100个点，无三点共线。
将某些点用线段连结起来，但线段不能相交，直到不能再连结时为止。
问：是否存在一个以这些点中的三个点为顶点的三角形，它的内部没有其余97个点中的任何一个点？5.在一块平地上站着5个小朋友，每两个小朋友之间的距离都不相同，每个小朋友手上都拿着一把水枪。
当发出射击的命令后，每人用枪射击距离他最近的人。
问：射击后有没有一个小朋友身上是干的？为什么？6.把1600粒花生分给100只猴子，请你说明不管怎样分，至少有4只猴子分的花生一样多。
7.有两只桶和一只空杯子。
甲桶装的是牛奶，乙桶装的是酒精（未满）。
现在从甲桶取一满杯奶倒入乙桶，然后从乙桶取一满杯混合液倒入甲桶，这时，是甲桶中的酒精多，还是乙桶中的牛奶多？为什么？8.在黑板上写上1，2，3，…，1998。
按下列规定进行“操作”：每次擦去其中的任意两个数a和b，然后写上它们的差（大减小），直到黑板上剩下一个数为止。
问：黑板上剩下的数是奇数还是偶数？为什么？课后练习答案1.有。
解：当n=2时，方程x1+x2=x1x2有一个自然数解：x1=2，x2=2；当n=3时，方程x1+x2+x3=x1x2x3有一个自然数解：x1=1，x2=2，x3=3；当n=4时，方程x1+x2+x3+x4=x1x2x3x4有一个自然数解：x1=1，x2=1，x3=2，x4=4。
一般地，方程x1+x2+x3+…+x n-1+x n=x1x2x3…x n-1x n有一个自然数解：x1=1，x2=1，…，x n-2=1，x n-1=2，x n=n。
2.3508。
解：仿例3。
当有3n个数时，留下的数是1号。
小于8899的形如3n的数是38=6561，故从1号开始按规则划数，划了8899-6561=2338（个）数后，还剩下6561个数。
下一个要划掉的数是2388÷2×3+1=3507，故最后留下的就是3508。
3.1024。
解：质数a1有2个约数：1和a，从而A（a1）=2；2个质数a1，a2的积有4个约数：1，a1，a2，a1a2，从而A（a1×a2）=4=22；3个质数a1，a2，a3的积有8个约数：1，a1，a2，a3，a1a2，a2a3，a3a1，a1a2a3，从而A（a1×a2×a3）=8=23；……于是，10个质数a1，a2，…，a10的积的约数个数为A（x）=210=1024。
4.存在。
提示：如果一个三角形内还有别的点，那么这个点与三角形的三个顶点还能连结，与已“不能再连结”矛盾。
5.有。
解：设A和B两人是距离最近的两个小朋友，显然他们应该互射。
此时如果有其他的小朋友射向他们中的一个，即A，B中有一人挨了两枪，那么其他三人中必然有一人身上是干的。
如果没有其他的小朋友射向A或B，那么我们再考虑剩下的三个人D，E，F：若D，E的距离是三人中最近的，则D，E互射，而F必然射向他们之间的一个，此时F身上是干的。
6.假设没有4只猴子分的花生一样多，那么至多3只猴子分的花生一样多。
我们从所需花生最少情况出发考虑：得1粒、2粒、3粒……32粒的猴子各有3只，得33粒花生的猴子有1只，于是100只猴子最少需要分得花生3×（0+1+2+…+32）+33=1617（粒），现在只有1600粒花生，无法使得至多3只猴子分的花生一样多，故至少有4只猴子分的花生一样多。
7.一样多。
提示：从整体看，甲、乙两桶所装的液体的体积没有发生变化。
甲桶里有多少酒精，就必然倒出了同样体积的牛奶入乙桶。
所以，甲桶中的酒精和乙桶中的牛奶一样多。
8.奇数。
解：黑板上开始时所有数的和为S=1+2+3+…+1998=1997001，是一个奇数，而每一次“操作”，将（a+b）变成了（a-b），实际上减少了2b，即减少了一个偶数。
因为从整体上看，总和减少了一个偶数，其奇偶性不变，所以最后黑板上剩下一个奇数。
例题答案：1．分析与解：如果桌子大小只能容纳一枚硬币，那么先放的人当然能够取胜。
然后设想桌面变大，注意到长方形有一个对称中心，先放者将第一枚硬币放在桌子的中心，继而把硬币放在后放者所放位置的对称位置上，这样进行下去，必然轮到先放者放最后一枚硬币。
2．分析：从最简单的情况考虑：如果中间的1996个点全部染成红色，这时异色线段只有1条，是一个奇数。
然后我们对这种染色方式进行调整：将某些红点改成蓝点并注意到颜色调整时，异色线段的条数随之有哪些变化。
由于颜色的调整是任意的，因此与条件中染色的任意性就一致了。
解：如果中间的1996个点全部染成红色，这时异色线段仅有1条，是一个奇数。
将任意一个红点染成蓝色时，这个改变颜色的点的左右两侧相邻的两个点若同色，则异色小线段的条数或者增加2条（相邻的两个点同为红色），或者减少2条（相邻的两个点同为蓝色）；这个改变颜色的点的左右两侧相邻的两个点若异色，则异色小线段的条数不变。
综上所述，改变任意个点的颜色，异色线段的条数的改变总是一个偶数，从而异色线段的条数是一个奇数。
3．分析：这个问题与上一讲练习中的第8题非常相似，只不过本例是报1的离开报2的留下，而上讲练习中相当于报1的留下报2的离开，由上讲练习的结果可以推出本例的答案。