江苏省高中数学竞赛校本教材[全套](共30讲,含详细答案)-苏教版
高中数学竞赛校本教材[全套](共30讲
实用标准文案高中数学竞赛校本教材[ 全套 ]( 共 30 讲，含详细答案 )目录§1 数学方法选讲（1）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 §2 数学方法选讲（2）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11 §3 集合⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯22 §4 函数的性质⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯30 §5 二次函数 (1) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯41 §6 二次函数 (2) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯55 §7 指、对数函数 , 幂函数⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯63 §8 函数方程⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯73§9 三角恒等式与三角不等式⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯76§10 向量与向量方法⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯85§11 数列⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯95 §12 递推数列⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯102§13 数学归纳法⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯105§14 不等式的证明⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯111§15 不等式的应用⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯122§16 排列，组合⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯130§17 二项式定理与多项式⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯134§18 直线和圆，圆锥曲线⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯143§19 立体图形，空间向量⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯161§20 平面几何证明⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯173文档大全实用标准文案§21 平面几何名定理⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯180 §22 几何变换⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯186 §23 抽屉原理⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯194 §24 容斥原理⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯205 §25 奇数偶数⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯214 §26 整除⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯222 §27 同余⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯230 §28 高斯函数⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯238 §29 覆盖⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯245 §29 涂色问题⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯256 §30 组合数学选讲⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯265§1 数学方法选讲（1）同学们在阅读课外读物的时候，或在听老师讲课的时候，书上的例题或老师讲解的例题他都能听懂，但一遇到没有见过面的问题就不知从何处入手。
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＝
a2c2+b2d2+b2c2+a2d2
＝
a2c2+2ac · bd+b2d2+b2c2-2bc · ad+a2d2 ＝
(ac+bd)2+(bc-ad)2
又 a、b、c、d∈Z，故 ac+bd、bc-ad ∈ Z，从而
X1X2∈A
练习 :
1. 设两个集合 S={x|x=12m+8n ， m， n∈ Z} ，
分析：解题地关键在于求出 X 和 Y 地值，而 X 和 Y 分别是集合 M与 S 中地元素。这一类根据集合 地关系反过来确定集合元素地问题，要求我们要对 集合元素地基本性质即确定性、异性、无序性及集 合之间地基本关系 ( 子、全、补、交、异、空、等 ) 有本质地理解，对于两个相等地有限集合 ( 数集 ) ，
当 X＝1 时， M＝{1 ，1，0} ，S＝{0 ，1，1} ，这 与同一个集合中元素地互异性矛盾， 故 X＝1 不满足 题目要求；
当 X＝－ 1 时， M＝{ － 1，1，0} ，S＝{0 ，1，－
1} ，M＝ S，从而 X＝－ 1 满足题目要求， 此时 Y＝－ 1，
于是 X2K＋1＋ 1/Y2K＋1＝－ 2(K＝0，1，2，…… ) ，
∩ C)-card(B ∩C)+card(A ∩B∩C)
问题：开运动会时，高一某班共有 28 名同学参 加比赛，有 15 人参加游泳比赛，有 8 人参加田径比 赛，有 14 人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田 径比赛地有 3 人，同时参加游泳比赛和球类比赛地 有 3 人，没有人同时参加三项比赛，问同时参加田 径比赛和球类比赛地有多少人？只参加游泳一项比 赛地有多少人？
2n-1 次，故得
数学竞赛校本2
§12递推数列1、概念：①、递归式：一个数列}{n a 中的第n 项n a 与它前面若干项1-n a ，2-n a ，…，k n a -（n k <）的关系式称为递归式。
②、递归数列：由递归式和初始值确定的数列成为递归数列。
2、常用方法：累加法，迭代法，代换法，代入法等。
3、思想策略：构造新数列的思想。
4、常见类型： 类型Ⅰ：⎩⎨⎧=≠+=+为常数）a a a n p n q a n p a n n ()0)(()()(11（一阶递归）其特例为：（1）)0(1≠+=+p q pa a n n （2）)0()(1≠+=+p n q pa a n n（3）)0()(1≠+=+p q a n p a n n解题方法：利用待定系数法构造类似于“等比数列”的新数列。
类型Ⅱ：⎩⎨⎧==≠≠+=++为常数）b a b a a a q p qa pa a n n n ,(,)0,0(2112（二阶递归）解题方法：利用特征方程q px x +=2，求其根α、β，构造n n n B A a βα+=，代入初始值求得B A ,。
类型Ⅲ：)(1n n a f a =+其中函数)(x f 为基本初等函数复合而成。
解题方法：一般情况下，通过构造新数列可转化为前两种类型。
例题讲解1．已知数列}{n a 满足以下递归关系⎩⎨⎧=+=+14311a a a n n ，求通项n a 。
2．已知数列}{n a 满足⎩⎨⎧=-+=+2)12(211a n a a n n ，求通项n a 。
3．已知数列}{n a 满足⎩⎨⎧=≥+=+1)2(211a n na a n n ，求通项n a 。
4．已知数列}{n a 满足⎩⎨⎧==-=++2,1232112a a a a a nn n ，求通项n a 。
5．由自然数组成的数列}{n a ，满足11=a ，mn a a a n m n m ++=+，求n a 。
6．已知数列}{n a 满足101=a ，4411n n a nn a +=+（1≥n ），求n a 。
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超级资源（共30套65页）苏教版高中数学必修一（全册）精品获奖教案汇总1.1 集合的含义及其表示教学目标：1．使学生理解集合的含义, 知道常用集合及其记法；2．使学生初步了解“属于”关系和集合相等的意义, 初步了解有限集、无限集、空集的意义；3．使学生初步掌握集合的表示方法, 并能正确地表示一些简单的集合．教学重点：集合的含义及表示方法．教学过程：一、问题情境 1．情境．新生自我介绍：介绍家庭、原毕业学校、班级． 2．问题．在介绍的过程中, 常常涉及像“家庭”、“学校”、“班级”、“男生”、“女生”等概念, 这些概念与“学生×××”相比, 它们有什么共同的特征？二、学生活动 1．介绍自己；2．列举生活中的集合实例；3．分析、概括各集合实例的共同特征． 三、数学建构1．集合的含义：一般地, 一定范围内不同的．．．、确定的．．．对象的全体组成一个集合．构成集合的每一个个体都叫做集合的一个元素．2．元素与集合的关系及符号表示：属于∈, 不属于∉．3．集合的表示方法： 另集合一般可用大写的拉丁字母简记为“集合A 、集合B ”．4．常用数集的记法：自然数集N, 正整数集N*, 整数集Z, 有理数集Q, 实数集R ． 5．有限集, 无限集与空集． 6．有关集合知识的历史简介． 四、数学运用 1．例题．例1 表示出下列集合：（1）中国的直辖市；（2）中国国旗上的颜色． 小结：集合的确定性和无序性列举法描述法图示法 个体与群体群体是由个体组成自然语言描述 如{15的正整数约数}数学语言描述 规范格式为{x |p (x )}例2 准确表示出下列集合： （1）方程x 2―2x －3=0的解集； （2）不等式2－x ＜0的解集；（3）不等式组2+3511x x >⎧⎨->⎩-的解集；（4）不等式组⎩⎨⎧2x －1≤－33x ＋1≥0的解集．解：略．小结：（1）集合的表示方法——列举法与描述法；（2）集合的分类——有限集⑴, 无限集⑵与⑶, 空集⑷ 例3 将下列用描述法表示的集合改为列举法表示： （1）{(x , y )| x ＋y = 3, x ∈N , y ∈N } （2）{(x , y )| y = x 2－1, |x |≤2, x ∈Z } （3）{y | x ＋y = 3, x ∈N , y ∈N } （4）{ x ∈R | x 3－2x 2＋x =0} 小结：常用数集的记法与作用． 例4 完成下列各题：（1）若集合A ＝{ x ｜ax ＋1＝0}＝∅, 求实数a 的值； （2）若－3∈{ a －3, 2a －1, a 2－4}, 求实数a ． 小结：集合与元素之间的关系． 2．练习：（1）用列举法表示下列集合： ①{ x ｜x ＋1＝0}； ②{ x ｜x 为15的正约数}； ③{ x ｜x 为不大于10的正偶数}； ④{(x , y )｜x ＋y ＝2且x －2y ＝4}； ⑤{(x , y )｜x ∈{1, 2}, y ∈{1, 3}}； ⑥{(x , y )｜3x ＋2y ＝16, x ∈N, y ∈N}． （2）用描述法表示下列集合：①奇数的集合；②正偶数的集合；③{1, 4, 7, 10, 13}五、回顾小结（1）集合的概念——集合、元素、属于、不属于、有限集、无限集、空集；（2）集合的表示——列举法、描述法以及Venn图；（3）集合的元素与元素的个数；（4）常用数集的记法．六、作业课本第7页练习3, 4两题．1.2 子集、全集、补集（1）教学目标：1．使学生进一步理解集合的含义, 了解集合之间的包含关系, 理解掌握子集的概念；2．理解子集、真子集的概念和意义；3．了解两个集合之间的相等关系, 能准确地判定两个集合之间的包含关系．教学重点：子集含义及表示方法；教学难点：子集关系的判定．教学过程：一、问题情境1．情境．将下列用描述法表示的集合改为用列举法表示：A＝{x|x2≤0}, B＝{ x|x＝(－1)n＋(－1)n+1, n∈Z}；C＝{ x|x2－x－2＝0}, D＝{ x|－1≤x≤2, x∈Z}2．问题．集合A与B有什么关系？集合C与D有什么关系？二、学生活动1．列举出与C 与D 之间具有相类似关系的两个集合； 2．总结出子集的定义；3．分析、概括两集合相等和真包含的关系的判定． 三、数学建构1．子集的含义：一般地, 如果集合A 的任一个元素都是集合B 的元素, （即 若a ∈A 则a ∈B ）, 则称集合A 为集合B 的子集, 记为A ⊆B 或B ⊇A ．读作集合A 包含于集合B 或集合B 包含集合A ．用数学符号表示为：若a ∈A 都有a ∈B , 则有A ⊆B 或B ⊇A ． （1）注意子集的符号与元素与集合之间的关系符号的区别： 元素与集合的关系及符号表示：属于∈, 不属于∉； 集合与集合的关系及符号表示：包含于⊆．（2）注意关于子集的一个规定：规定空集∅是任何集合的子集．理解规定 的合理性．（3）思考：A ⊆B 和B ⊆A 能否同时成立？ （4）集合A 与A 之间是否有子集关系？ 2．真子集的定义：（1）A ⊆B 包含两层含义：即A ＝B 或A 是B 的真子集． （2）真子集的wenn 图表示 （3）A ＝B 的判定（4）A 是B 的真子集的判定 四、数学运用例1 （1）写出集合{a , b }的所有子集； （2）写出集合{1, 2, 3}的所有子集； {1, 3}⊂≠{1, 2, 3}, {3}⊂≠{1, 2, 3},小结：对于一个有限集而言, 写出它的子集时, 每一个元素都有且只有两种可能：取到或没取到．故当集合的元素为n 个时, 子集的个数为2n．例2 写出N, Z, Q, R 的包含关系, 并用Venn 图表示．例3 设集合A ＝{－1, 1}, 集合B ＝{x ｜x 2－2ax ＋b ＝0}, 若B ≠∅, B ⊆A , 求a , b 的值．元素与集合是个体与群体的关系, 群体是由个体组成；子集是小集体与大集体的关系．小结：集合中的分类讨论．练习：1．用适当的符号填空．（1）a＿{a}；（2）d＿{a, b, c}；（3）{a}＿{a, b, c}；（4）{a, b}＿{b, a}；（5）{3, 5}＿{1, 3, 5, 7}；（6）{2, 4, 6, 8}＿{2, 8}；（7）∅＿{1, 2, 3}, （8）{x|－1＜x＜4}__{x|x－5＜0} 2．写出满足条件{a}⊆M{a, b, c, d}的集合M．3．已知集合P = {x | x2＋x－6=0}, 集合Q = {x | ax＋1=0}, 满足Q P, 求a所取的一切值．4．已知集合A＝{x｜x＝k＋12, k∈Z}, 集合B＝{x｜x＝2k＋1, k∈Z}, 集合C＝{x｜x＝12k+, k∈Z}, 试判断集合A、B、C的关系．五、回顾小结1．子集、真子集及对概念的理解；2．会用Venn图示及数轴来解决集合问题．六、作业教材P10习题1, 2, 5．1.2 子集、全集、补集（2）教学目标：1．使学生进一步理解集合及子集的意义, 了解全集、补集的概念；2．能在给定的全集及其一个子集的基础上, 求该子集的补集；3．培养学生利用数学知识将日常问题数学化, 培养学生观察、分析、归纳等能力．教学重点：补集的含义及求法．教学重点：补集性质的理解．教学过程：一、问题情境 1． 情境．（1）复习子集的概念；（2）说出集合{1, 2, 3}的所有子集． 2．问题．相对于集合{1, 2, 3}而言, 集合{1}与集合{2, 3}有何关系呢？ 二、学生活动1．分析、归纳出全集与补集的概念； 2．列举生活中全集与补集的实例． 三、数学建构1．补集的概念：设A ⊆S , 由S 中不属于A 的所有元素组成的集合称为S 的子集A 的补集, 记为SA (读作“A 在S 中的补集”), 即SA ＝{ x ｜x ∈S , 且x ∉A },SA 可用右图表示．2．全集的含义：如果集合S 包含我们研究的各个集合, 这时S 可以看作一个全集, 全集通常记作U ．3．常用数集的记法：自然数集N, 正整数集N*, 整数集Z, 有理数集Q, 实数集R ．则无理数集可表示为RQ ．四、数学运用 1．例题．例1 已知全集S ＝Z, 集合A ＝{x |x ＝2k , k ∈Z}, B ＝{ x |x ＝2k ＋1, k ∈Z}, 分别写出集合A , B 的补集∁S A 和∁S B ．例2 不等式组⎩⎨⎧2x －1＞13x －6≤0的解集为A , S ＝R, 试求A 及SA , 并把它们表示在数轴上．例3 已知全集S ＝{1, 2, 3, 4, 5}, A ＝{ x ∈S ｜x 2－5qx ＋4＝0}． （1）若SA ＝S , 求q 的取值范围； （2）若SA 中有四个元素, 求SA 和q 的值； （3）若A 中仅有两个元素, 求SA 和q 的值．2．练习：（1）S A在S中的补集等于什么？即S(SA)＝．（2）若S＝Z, A＝{x｜x＝2k, k∈Z}, B＝{x｜x＝2k＋1, k∈Z}, 则SA＝,SB＝．（3）S ＝,SS＝．五、回顾小结1．全集与补集的概念；2．任一集合对于全集而言, 其任意子集与其补集一一对应．六、作业教材第10页习题3, 4．1.3 交集、并集教学目标：1．理解交集、并集的概念, 掌握交集、并集的性质；2．理解掌握区间与集合的关系, 并能应用它们解决一些简单的问题．教学重点：理解交集、并集的概念．教学难点：灵活运用它们解决一些简单的问题．教学过程：一、情景设置1．复习巩固：子集、全集、补集的概念及其性质．2．用列举法表示下列集合：（1）A＝{ x|x3－x2－2x＝0}；（2）B＝{ x|(x＋2)(x＋1)(x－2)＝0}．思考：集合A与B之间有包含关系么？用图示如何反映集合A与B之间的关系呢？A ∪BABA ∪B二、学生活动 1．观察与思考； 2．完成下列各题．（1）用wenn 图表示集合A ＝{－1, 0, 2}, B ＝{－2, －1, 2}, C ＝{－1, 2}之间的关系．（2）用数轴表示集合A ＝{x ｜x ≤3}, B ＝{ x ｜x ＞0 }, C ＝{x ｜0＜x ≤3}之间的关系． 三、数学建构 1．交集的概念．一般地, 由所有属于集合A 且属于集合B 的元素构成的集合, 称为A 与B 的交集, 记为A ∩B (读作“A 交B ”), 即A ∩B ＝{ x ｜x ∈A 且x ∈B }2．并集的概念．一般地, 由所有属于集合A 或属于集合B 的元素构成的集合, 称为A 与B 的并集, 记为A ∪B (读作“A 并B ”), 即A ∪B ＝{ x ｜x ∈A 或x ∈B }3．交、并集的性质．A ∩B ＝B ∩A , A ∩∅＝∅, A ∩A ＝A , A ∩B ⊆A , A ∩B ⊆B ,若A ∩B ＝A , 则A ⊆B , 反之, 若A ⊆B , 则A ∩B ＝A ．即A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ．A ∪B ＝B ∪A , A ∪∅＝A , A ∪A ＝A , A ⊆A ∪B , B ⊆A ∪B ,若A ∪B ＝B , 则A ⊆B , 反之, 若A ⊆B , 则A ∩B ＝B ．即A ⊆B ⇔A ∩B ＝B ．思考：集合A ＝{x |－1＜x ≤3}, B ＝{y |1≤y ＜5}, 集合A 与集合B 能进行交、并的计算呢？4．区间的概念．一般地, 由所有属于实数a 到实数b (a ＜b )之间的所有实数构成的集合, 可表示成一个区间, a 、b 叫做区间的端点．考虑到端点, 区间被分为开区间、闭区间或半开半闭区间． 5．区间与集合的对应关系．[a , b ]＝{x | a ≤x ≤b }, (a , b )＝{x | a ＜x ＜b }, [a , b )＝{x | a ≤x ＜b }, (a , b ]＝{x | a ＜x ≤b },ABA ∩B(a, ＋∞)＝{x | x＞a }, (－∞, b)＝{x | x＜b},(－∞, ＋∞)＝R．四、数学运用1．例题．例1 （1）设A＝{－1, 0, 1}, B＝{0, 1, 2, 3}, 求A∩B和A∪B．（2）已知A∪B＝{－1, 0, 1, 2, 3}, A∩B＝{－1, 1}, 其中A＝{－1, 0, 1}, 求集合B．（3）已知A＝{( x, y)| x＋y＝2}, B＝{( x, y)| x－y＝4}, 求集合A∩B．（4）已知元素(1, 2)∈A∩B, A＝{( x, y)| y2＝ax＋b}, B＝{( x, y)| x2－ay－b＝0}, 求a, b的值并求A∩B．例2 学校举办了排球赛, 某班45名学生中有12名同学参赛．后来又举办了田径赛, 这个班有20名同学参赛．已知两项都参赛的有6名同学．两项比赛中, 这个班共有多少名同学没有参加过比赛？例3 （1）设A＝(0, ＋∞), B＝(－∞, 1], 求A∩B和A∪B．（2）设A＝(0, 1], B＝{0}, 求A∪B．2．练习：（1）若A＝{x |2x2＋3ax+2＝0}, B＝{x |2x2＋x+b＝0}, A∩ B＝{0, 5}, 求a与A∪ B．（2）交集与并集的运算性质．五、回顾小结交集和并集的概念和性质；区间的表示及其与集合的关系．六、作业教材第13页习题2, 3, 5, 7．2.1.1 函数的概念和图象（1）教学目标：1．通过现实生活中丰富的实例, 让学生了解函数概念产生的背景, 进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型, 在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数的概念, 掌握函数是特殊的数集之间的对应；2．了解构成函数的要素, 理解函数的定义域、值域的定义, 会求一些简单函数的定义域和值域；3．通过教学,逐步培养学生由具体逐步过渡到符号化, 代数式化, 并能对以往学习过的知识进行理性化思考, 对事物间的联系的一种数学化的思考．教学重点：两集合间用对应来描述函数的概念；求基本函数的定义域和值域．教学过程：一、问题情境 1．情境．正方形的边长为a , 则正方形的周长为 , 面积为 ． 2．问题．在初中, 我们曾认识利用函数来描述两个变量之间的关系, 如何定义函数？常见的函数模型有哪些？如图, A (－2, 0), B (2, 0), 点C 在直线y ＝2上移动．则△ABC 的面积S 与点C 的横坐标x 之间的变化关系如何表达？面积S 是C 的横坐标x 的函数么？二、学生活动1．复述初中所学函数的概念；2．阅读课本23页的问题（1）、（2）、（3）, 并分别说出对其理解； 3．举出生活中的实例, 进一步说明函数的对应本质． 三、数学建构1．用集合的语言分别阐述23页的问题（1）、（2）、（3）； 问题1 某城市在某一天24小时内的气温变化情况如下图所示, 试根据函数图象回答下列问题：（1）这一变化过程中, 有哪几个变量？ （2）这几个变量的范围分别是多少？ 问题2 略．问题3 略（详见23页）．2．函数：一般地, 设A 、B 是两个非空的数集, 如果按某种对应法则f , 对于集合A 中的每一个元素x , 在集合B 中都有惟一的元素y 和它对应, 这样的对应叫做从A 到B 的一个函数, 通常记为y ＝f (x ), x ∈A ．其中, 所有输入值x 组成的集合A 叫做函数y ＝f (x )的定义域．（1）函数作为一种数学模型, 主要用于刻画两个变量之间的关系； （2）函数的本质是一种对应；（3）对应法则f 可以是一个数学表达式, 也可是一个图形或是一个表格（4）对应是建立在A 、B 两个非空的数集之间．可以是有限集, 当然也就可以是单元集, 如f (x )＝2x , (x ＝0)．3．函数y ＝f (x )的定义域：（1）每一个函数都有它的定义域, 定义域是函数的生命线；（2）给定函数时要指明函数的定义域, 对于用解析式表示的集合, 如果没 有指明定义域, 那么就认为定义域为一切实数．四、数学运用例1．判断下列对应是否为集合A 到 B 的函数：（1）A ＝{1, 2, 3, 4, 5}, B ＝{2, 4, 6, 8, 10}, f ：x →2x ； （2）A ＝{1, 2, 3, 4, 5}, B ＝{0, 2, 4, 6, 8}, f ：x →2x ； （3）A ＝{1, 2, 3, 4, 5}, B ＝N , f ：x →2x ． 练习：判断下列对应是否为函数： （1）x →2x, x ≠0, x ∈R ；（2）x →y , 这里y 2＝x , x ∈N , y ∈R . 例2 求下列函数的定义域：（1）f (x )＝x -1；（2）g(x )＝x ＋1＋1x.例3 下列各组函数中, 是否表示同一函数？为什么？函数的本质是对应, 但并非所有的对应都是函数，一个必须是建立在两个非空数集间的对应，二是对应只能是单值对应．判断两个函数是否为同一函数, 一看对应A．y＝x与y＝(x)2；B．y＝x2与y＝3x3；C．y＝2x－1(x∈R)与y＝2t－1(t∈R)；D．y＝x＋2·x－2与y＝x2－4练习：课本26页练习1～4, 6．五、回顾小结1．生活中两个相关变量的刻画→函数→对应(A→B)2．函数的对应本质；3．函数的对应法则和定义域．六、作业：课堂作业：课本31页习题2.1（1）第1, 2两题．2.1.1 函数的概念和图象（2）教学目标：1．进一步理解用集合与对应的语言来刻画的函数的概念, 进一步理解函数的本质是数集之间的对应；2．进一步熟悉与理解函数的定义域、值域的定义, 会利用函数的定义域与对应法则判定有关函数是否为同一函数；3．通过教学, 进一步培养学生由具体逐步过渡到符号化, 代数式化, 并能对以往学习过的知识进行理性化思考, 对事物间的联系的一种数学化的思考．教学重点：用对应来进一步刻画函数；求基本函数的定义域和值域．教学过程：一、问题情境1．情境．复述函数及函数的定义域的概念．2．问题．概念中集合A为函数的定义域, 集合B的作用是什么呢？二、学生活动1．理解函数的值域的概念；2．能利用观察法求简单函数的值域；3．探求简单的复合函数f(f(x))的定义域与值域．三、数学建构1．函数的值域：（1）按照对应法则f, 对于A中所有x的值的对应输出值组成的集合称之为函数的值域；（2）值域是集合B的子集．2．x→ g(x)⇒ f(x) → f(g(x)), 其中g(x)的值域即为f(g(x))的定义域；四、数学运用（一）例题．例1 已知函数f (x)＝x2＋2x, 求f (－2), f (－1), f (0), f (1)．例2 根据不同条件, 分别求函数f(x)＝(x-1)2＋1的值域．（1）x∈{－1, 0, 1, 2, 3}；（2）x∈R；（3）x∈[－1, 3]；（4）x∈(－1, 2]；（5）x∈(－1, 1)．例3 求下列函数的值域：①y；②y．例4 已知函数f(x)与g(x)分别由下表给出：分别求f (f (1)), f (g (2)), g(f (3)), g (g (4))的值．（二）练习．（1）求下列函数的值域：①y＝2－x2；②y＝3－|x|．（2）已知函数f(x)＝3x2－5x＋2, 求f(3)、f(－2)、f(a)、f(a＋1)．（3）已知函数f(x)＝2x＋1, g(x)＝x2－2x＋2, 试分别求出g(f(x))和f(g(x))的值域, 比较一下, 看有什么发现．（4）已知函数y＝f(x)的定义域为[－1, 2], 求f(x)＋f(－x)的定义域．（5）已知f(x)的定义域为[－2, 2], 求f(2x), f(x2＋1)的定义域．五、回顾小结函数的对应本质, 函数的定义域与值域；利用分解的思想研究复合函数．六、作业课本P31-5, 8, 9．2.1.2 函数的表示方法（1）教学目标：1．进一步理解函数的概念, 了解函数表示的多样性, 能熟练掌握函数的三种不同的表示方法；2．在理解掌握函数的三种表示方法基础上, 了解函数不同表示法的优缺点, 针对具体问题能合理地选择表示方法；3．通过教学, 培养学生重要的数学思想方法——分类思想方法．教学重点：函数的表示．教学难点：针对具体问题合理选择表示方法．教学过程：一、问题情境1．情境．下表的对应关系能否表示一个函数：2．问题．如何表示一个函数呢？二、学生活动1．阅读课本掌握函数的三种常用表示方法； 2．比较三种表示法之间的优缺点． 3．完成练习 三、数学建构 1．函数的表示方法： 2．三种不同方法的优缺点：3．三种不同方法的相互转化：能用解析式表示的, 一般都能列出符合条件的表、画出符合条件的图, 反之亦然；列表法也能通过图形来表示．四、数学运用 （一）例题例1 购买某种饮料x 听, 所需钱数为y 元．若每听2元, 试分别用解析法、列表法、图象法将y 表示成x (x ∈{1, 2, 3, 4})的函数, 并指出该函数的值域．跟踪练习：某公司将进货单价为8元一个的商品按10元一个销售, 每天可卖出100个, 若这种商品的销售价每个上涨1元, 则销售量就减少10个．（1）列表：（2）图象： （3）解析式：将条件变换成：“某公司将进货单价为8元一个 的商品按10元一个销售, 每天可卖出110个”例2 如图, 是一个二次函数的图象的一部分, 试根据图象 中的有关数据, 求出函数f (x )的解析式及其定义域．列表法—用列表来表示两个变量之间函数关系的方法 解析法—用等式来表示两个变量之间函数关系的方法 图象法—用图象来表示两个变量之间函数关系的方法（二）练习：1．1 nmile(海里)约为1854m, 根据这一关系, 写出米数y关于海里数x的函数解析式．2．用长为30cm的铁丝围成矩形, 试将矩形的面积S(cm2)表示为矩形一边长x(cm)的函数, 并画出函数的图象．3．已知f(x)是一次函数, 且图象经过(1, 0)和(－2, 3)两点, 求f(x)的解析式．4．已知f(x)是一次函数, 且f(f(x))＝9x－4, 求f(x)的解析式．五、回顾小结1．函数表示的多样性；2．函数不同表示方法之间的联系性；3．待定系数法求函数的解析式．六、作业课堂作业：课本35页习题1, 4, 5．2.1.2 函数的表示方法（2）教学目标：1．进一步理解函数的表示方法的多样性, 理解分段函数的表示, 能根据实际问题列出符合题意的分段函数；2．能较为准确地作出分段函数的图象；3．通过教学, 进一步培养学生由具体逐步过渡到符号化, 代数式化, 并能对以往学习过的知识进行理性化思考, 对事物间的联系的一种数学化的思考．教学重点：分段函数的图象、定义域和值域．教学过程：一、问题情境1．情境．复习函数的表示方法；已知A＝{1, 2, 3, 4}, B＝{1, 3, 5}, 试写出从集合A到集合B的两个函数．2．问题．函数f(x)＝|x|与f(x)＝x是同一函数么？区别在什么地方？二、学生活动1．画出函数f(x)＝|x|的图象；2．根据实际情况, 能准确地写出分段函数的表达式．三、数学建构1．分段函数：在定义域内不同的部分上, 有不同的解析表达式的函数通常叫做分段函数．（1）分段函数是一个函数, 而不是几个函数；（2）分段函数的定义域是几部分的并；（3）定义域的不同部分不能有相交部分；（4）分段函数的图象可能是一条连续但不平滑的曲线, 也可能是由几条曲线共同组成；（5）分段函数的图象未必是不连续, 不连续的图象表示的函数也不一定是分段函数, 如反比例函数的图象；（6）分段函数是生活中最常见的函数．四、数学运用1．例题．例1 某市出租汽车收费标准如下：在3km以内(含3km)路程按起步价7元收费, 超过3km以外的路程按2.4元/km收费．试写出收费额关于路程的函数解析式．例2 如图, 梯形OABC各顶点的坐标分别为O(0, 0), A(6, 0), B(4, 2), C(2, 2)．一条与y轴平行的动直线l从O点开始作平行移动, 到A Array点为止．设直线l与x轴的交点为M, OM＝x, 记梯形被直线l截得的在l左侧的图形的面积为y．求函数y＝f(x)的解析式、定义域、值域．例3 将函数f(x)＝ | x＋1|＋| x－2|表示成分段函数的形式, 并画出其图象, 根据图象指出函数f(x)的值域．2．练习：练习1：课本35页第7题, 36页第9题．练习2：（1）画出函数f (x )＝ 的图象．（2） 若f (x )＝ 求f (－1), f (0), f (2), f (f (－1)), f (f (0)), f (f (12))的值．（3）试比较函数f (x )＝|x ＋1|＋|x |与g (x )＝|2x ＋1|是否为同一函数．（4）定义[x ]表示不大于x 的最大整数, 试作出函数f (x )＝[x ] (x ∈[－1, 3))的图象．并将其表示成分段函数．练习3：如图, 点P 在边长为2的正方形边上按A →B →C →D →A 的方向移动, 试将AP 表示成移动的距离x 的函数．五、回顾小结分段函数的表示→分段函数的定义域→分段函数的图象； 含绝对值的函数常与分段函数有关； 利用对称变换构造函数的图象． 六、作业课堂作业：课本35页习题第3题, 36页第10, 12题；课后探究：已知函数f (x )＝2x －1（x ∈R ）, 试作出函数f (|x |), |f (x )|的图象．2.2 函数的简单性质（1）教学目标：1．在初中学习一次函数、二次函数的性质的基础上, 进一步感知函数的单调性, 并能结合图形, 认识函数的单调性；2．通过函数的单调性的教学, 渗透数形结合的数学思想, 并对学生进行初步的辩证唯物论的教育；3．通过函数的单调性的教学, 让学生学会理性地认识与描述生活中的增长、递减等现象．教学重点：用图象直观地认识函数的单调性, 并利用函数的单调性求函数的值域．x 2－1，x ≥0， 2x ＋1，x ＜0． x －1 (x ≥0)1－x (x ＜0)BC P教学过程：一、问题情境如图（课本37页图2-2-1）, 是气温θ关于时间t 的函数, 记为θ＝f (t ), 观察这个函数的图象, 说出气温在哪些时间段内是逐渐升高的或是下降的？问题：怎样用数学语言刻画上述时间段内“随时间的增大气温逐渐升高”这一特征？ 二、学生活动1．结合图2―2―1, 说出该市一天气温的变化情况；2．回忆初中所学的有关函数的性质, 并画图予以说明；3．结合右侧四幅图, 解释函数的单调性． 三、数学建构 1．增函数与减函数：一般地, 设函数y ＝f (x )的定义域为A , 区间I ⊆A ．如果对于区间I 内的任意两个值x 1, x 2, 当x 1＜x 2时, 都有f (x 1)＜f (x 2), 那么就说y ＝f (x )在区间I 是单调增函数, 区间I 称为y ＝f (x )的单调增区间．如果对于区间I 内的任意两个值x 1, x 2, 当x 1＜x 2时, 都有f (x 1)＞f (x 2), 那么就说y ＝f (x )在区间I 是单调减函数, 区间I 称为y ＝f (x )的单调减区间．2．函数的单调性与单调区间：如果函数y ＝f (x )在区间I 是单调增函数或单调减函数, 那么就说函数y ＝f (x )在区间I 上具有单调性．单调增区间与单调减区间统称为单调区间．注：一般所说的函数的单调性, 就是要指出函数的单调区间, 并说明在区间上是单调增函数还是单调减函数．四、数学运用例1 画出下列函数的图象, 结合图象说出函数的单调性．)))1．y ＝x 2＋2x －12．y ＝2x例2 求证：函数f (x )＝－1x－1在区间(－∞, 0)上是单调增函数．练习：说出下列函数的单调性并证明． 1．y ＝－x 2＋2 2．y ＝2x＋1五、回顾小结利用图形, 感知函数的单调性→给出单调性的严格意义上的定义→证明一个函数的单调性．六、作业课堂作业：课本44页1, 3两题．2.2 函数的简单性质（2）教学目标：1．进一步理解函数的单调性, 能利用函数的单调性结合函数的图象, 求出有关函数的最小值与最大值, 并能准确地表示有关函数的值域；2．通过函数的单调性的教学, 让学生在感性认知的基础上学会理性地认识与描述生活中的增长、递减等现象．教学重点：利用函数的单调性求函数的值域．教学过程：一、问题情境 1．情境．（1）复述函数的单调性定义； （2）表述常见函数的单调性． 2．问题．结合函数的图象说出该天的气温变化范围．二、学生活动 1．研究函数的最值；2．利用函数的单调性的改变, 找出函数取最值的情况； 三、数学建构1．函数的值域与函数的最大值、最小值：一般地, 设y ＝f (x )的定义域为A ．若存在x 0∈A , 使得对任意x ∈A , f (x )≤f (x 0)恒成立, 则称f (x 0)为y ＝f (x )的最大值, 记为y max ＝f (x 0)．若存在定值x 0∈A , 使得对任意x ∈A , f (x )≥f (x 0)恒成立, 则称f (x 0)为y ＝f (x )的最小值, 记为y min ＝ f (x 0)．注：（1）函数的最大值、最小值分别对应函数图象上的最高点和最低点, 典型的例子就是二次函数y ＝ax 2＋bx －c (a ≠0), 当a ＞0时, 函数有最小值；当a ＜0时, 函数有最大值．（2）利用函数的单调性, 并结合函数的图象求函数的值域或函数的最值是求函数的值域或函数的最值的常用方法．2．函数的最值与单调性之间的关系：已知函数y ＝f (x )的定义域是[a , b ], a ＜c ＜b ．当x ∈[a , c ]时, f (x )是单调增函数；当x ∈[c , b ] 时, f (x )是单调减函数．则f (x )在x ＝c 时取得最大值．反之, 当x ∈[a , c ]时, f (x )是单调减函数；当x ∈[c , b ] 时, f (x )是单调增函数．则f (x )在x ＝c 时取得最小值．四、数学运用例1 求出下列函数的最小值：（1）y ＝x 2－2x ；（2）y ＝1x, x ∈[1, 3]．变式：（1）将y ＝x 2－2x 的定义域变为(0, 3]或[1, 3]或[－2, 3], 再求最值． （2）将y ＝1x的定义域变为(－2, －1], (0, 3]结果如何？跟踪练习：求f (x )＝－x 2＋2x 在[0, 10]上的最大值和最小值．例2 已知函数y ＝f (x )的定义域为[a , b ], a ＜c ＜b ．当x ∈[a , c ]时, f (x )是单调增2函数；当x∈[c, b]时, f(x)是单调减函数．试证明f(x)在x＝c时取得最大值．变式：已知函数y＝f(x)的定义域为[a, b], a＜c＜b．当x∈[a, c]时, f(x)是单调减函数；当x∈[c, b]时, f(x)是单调增函数．试证明f(x)在x＝c时取得最小值．例3 求函数f(x)＝x2－2ax在[0, 4]上的最小值．练习：如图, 已知函数y＝f(x)的定义域为[－4, 7], 根据图象, 说出它的最大值与最小值．求下列函数的值域：（1）yx∈[0, 3]；（2） y＝11x-, x∈[2, 6]；（3）y（4）y＝11(1)x x--．五、回顾小结利用图形, 感知函数的单调性→证明一个函数的单调性→确定一个函数的最值→确定一个函数的值域．六、作业课堂作业：课本40页第3题, 44页第3题．2.2 函数的简单性质（3）教学目标：1．进一步认识函数的性质, 从形与数两个方面引导学生理解掌握函数奇偶性的概念, 能准确地判断所给函数的奇偶性；2．通过函数的奇偶性概念的教学, 揭示函数奇偶性概念的形成过程, 培养学生观察、归纳、抽象的能力, 培养学生从特殊到一般的概括能力, 并渗透数形结合的数学思想方法；3．引导学生从生活中的对称联想到数学中的对称, 师生共同探讨、研究, 从代数的角度给予严密的代数形式表达、推理, 培养学生严谨、认真、科学的探究精神．教学重点：函数奇偶性的概念及函数奇偶性的判断． 教学难点：函数奇偶性的概念的理解与证明．教学过程：一、问题情境 1．情境．复习函数的单调性的概念及运用．教师小结：函数的单调性从代数的角度严谨地刻画了函数的图象在某范围内的变化情况, 便于我们正确地画出相关函数的图象, 以便我们进一步地从整体的角度, 直观而又形象地反映出函数的性质．在画函数的图象的时候, 我们有时还要注意一个问题, 就是对称（见P41）．2．问题．观察函数y ＝x 2和y ＝1x（x ≠0）的图象, 从对称的角度你发现了什么？二、学生活动1．画出函数y ＝x 2和y ＝1x（x ≠0）的图象2．利用折纸的方法验证函数y ＝x 2图象的对称性 3．理解函数奇偶性的概念及性质． 三、数学建构1．奇、偶函数的定义：一般地, 如果对于函数f (x )的定义域内的任意的一个x , 都有f (－x )＝f (x ), 那么称函数y ＝f (x )是偶函数；如果对于函数f (x )的定义域内的任意的一个x , 都有f (－x )＝－f (x ), 那么称函数y ＝f (x )是奇函数；2．函数的奇偶性：如果函数f (x )是奇函数或偶函数, 我们就说函数f (x )具有奇偶性, 而如果一个函数既不是奇函数, 也不是偶函数(常说该函数是非奇非偶函数), 则说该函数不具有奇偶性．3．奇、偶函数的性质：。
江苏省高中数学竞赛校本教材[全套](共30讲,含详细答案)-苏教版
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江苏省高中数学竞赛校本教材[全套](共30讲，含详细答案)-苏教版目录§1数学方法选讲（1） (1)§2数学方法选讲（2） (11)§3集合 (22)§4函数的性质 (30)§5二次函数(1) (41)§6二次函数(2) (55)§7指、对数函数,幂函数 (63)§8函数方程 (73)§9三角恒等式与三角不等式 (76)§10向量与向量方法 (85)§11数列 (95)§12递推数列 (102)§13数学归纳法 (105)§14不等式的证明 (111)§15不等式的应用 (122)§16排列，组合 (130)§17二项式定理与多项式 (134)§18直线和圆，圆锥曲线 (143)§19立体图形，空间向量 (161)§20平面几何证明 (173)§21平面几何名定理 (180)§22几何变换 (186)§23抽屉原理 (194)§24容斥原理 (205)§25奇数偶数 (214)§26整除 (222)§27同余 (230)§28高斯函数 (238)§29覆盖 (245)§29涂色问题 (256)§30组合数学选讲 (265)§1数学方法选讲（1）同学们在阅读课外读物的时候，或在听老师讲课的时候，书上的例题或老师讲解的例题他都能听懂，但一遇到没有见过面的问题就不知从何处入手。
看来，要提高解决问题的能力，要能在竞赛中有所作为，首先得提高分析问题的能力，这就需要学习一些重要的数学思想方法。
例题讲解一、从简单情况考虑华罗庚先生曾经指出：善于―退‖，足够的―退‖，退到最原始而又不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍。
苏教版高中数学课程标准教科书各册内容介绍
苏教版高中数学课程标准教科书各册内容介绍数学1第1章集合1.1集合的含义及其表示1.2子集、全集、补集1.3交集、并集第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ2.1函数的概念和图象函数的概念和图象函数的表示方法函数的简单性质映射的概念2.2指数函数分数指数幂指数函数2.3对数函数对数对数函数**幂函数**函数与方程二次函数与一元二次方程用二分法求方程的近似解**函数模型及其应用数学2第3章立体几何初步**空间几何体棱柱、棱锥和棱台圆柱、圆锥、圆台和球中心投影和平行投影直观图画法空间图形的展开图柱、锥、台、球的体积**点、线、面之间的位置关系平面的基本性质空间两条直线的位置关系直线与平面的位置关系平面与平面的位置关系第4章平面解析几何初步**直线与方程直线的斜率直线的方程两条直线的平行与垂直两条直线的交点平面上两点间的距离点到直线的距离**圆与方程圆的方程直线与圆的位置关系圆与圆的位置关系**空间直角坐标系空间直角坐标系空间两点间的距离数学3第5章算法初步**算法的意义**流程图**基本算法语句**算法案例第6章统计**抽样方法**总体分布的估计**总体特征数的估计**线性回归方程第7章概率7.1随机事件及其概率**古典概型**几何概型**互斥事件及其发生的概率数学4第8章三角函数**任意角、弧度**任意角的三角函数**三角函数的图象和性质第9章平面向量**向量的概念及表示**向量的线性运算**向量的坐标表示**向量的数量积**向量的应用第10章 三角恒等变换**两角和与差的三角函数**二倍角的三角函数**几个三角恒等式数学5第11章 解三角形11．1正弦定理11．2余弦定理11．3正弦定理、余弦定理的应用第12章 数列12．1等差数列12．2等比数列12．3数列的进一步认识第13章 不等式13．1不等关系13．2一元二次不等式13．3二元一次不等式组与简单的线性规划问题13．4基本不等式(0,0)2a b ab a b +≤≥≥ 选修系列11-1第1章 常用逻辑用语1．1命题及其关系1．2简单的逻辑联结词1．3全称量词与存在量词第2章 圆锥曲线与方程2．1圆锥曲线2．2椭圆2．3双曲线2．4抛物线2．5圆锥曲线与方程第3章 导数及其应用3．1导数的概念3．2导数的运算3．3导数在研究函数中的应用3．4导数在实际生活中的应用1-2第1章统计案例1．1假设检验1．2独立性检验1．3线性回归分析1．4聚类分析第2章推理与证明2．1合情推理与演绎推理2．2直接证明与间接证明2．3公理化思想第3章数系的扩充与复数的引入3．1数系的扩充3．2复数的四则运算3．3复数的几何意义第4章框图4．1流程图5．2结构图选修系列22-1第1章常用逻辑用语1．1命题及其关系1．2简单的逻辑连接词1．3全称量词与存在量词第2章圆锥曲线与方程2．1圆锥曲线2．2椭圆2．3双曲线2．4抛物线2．5圆锥曲线的统一定义2．6曲线与方程第3章空间向量与立体几何3．1空间向量及其运算3．2空间向量的应用2-2第1章导数及其应用1．1导数的概念1．2导数的运算1．3导数在研究函数中的应用1．4导数在实际生活中的应用1．5定积分第2章推理与证明2．1合情推理与演绎推理2．2直接证明与间接证明2．3数学归纳法2．4公理化思想第3章数系的扩充与复数的引入6．1数系的扩充3．2复数的四则运算3．3复数的几何意义2-3第1章计数原理1．1两个基本原理1．2排列1．3组合1．4计数应用题1．5二项式定理第2章概率2．1随机变量及其概率分布2．2超几何分布2．3独立性2．4二项分布2．5离散型随机变量的均值与方差2．6正态分布第3章统计案例3．1假设检验3．2独立性检验3．3线性回归分析4．4聚类分析。
【提优教程】江苏省高中数学竞赛 第03讲 二次函数的应用教案
第3讲 二次函数的应用本讲内容包括一元二次方程根的分布问题及二次函数的综合运用。
若二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的图象与x 轴有交点，则相应的二次方程)0(02≠=++a c bx ax有根，而且方程的根就是二次函数c bx ax x f ++=2)(的图象在x 轴上的截距。
应用二次函数图象是解二次方程根的分布问题的重要方法。
如由二次函数的图象可以直观的得到：对于二次函数c bx ax x f ++=2)(，若)(0)()(n m n f m f <<⋅，则二次方程2=++c bx ax 在],[n m 上有一个根。
A 类例题例1 若方程05)2(2=-+-+m x m x的根满足下列条件，分别求出实数m的取值范围。
（1） 方程两实根均为正数； （2） 方程有一正根一负根。
分析 讨论二次方程根的分布，应在二次方程存在实根的条件下进行。
代数方法与图象法是研究二次方程根的分布问题的主要方法。
解1 （1）由题意，得.45244050)2(0)5(4)2(00022121-≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧<<≥-≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧>->--≥---⇒⎪⎩⎪⎨⎧>>+≥∆m m m m m m m m m x x x x 或所以，当4-≤m时，原方程两实根均为正数；（2）由题意，得.505021>⇒<-⇒⎩⎨⎧<≥∆m m x x 所以，当5>m时，原方程有一正根一负根。
解2 二次函数m x m x y -+-+=5)2(2的图象是开口向上的抛物线。
（1）如图，由题意，得4052)2(4)2(022050)2(020)0(22-≤⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤-+--->-->-⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤->->m m m m m m a b f a b f 。
所以，当4-≤m时，原方程两实根均为正数；（2）如图，由题意，得5050)0(>⇒<-⇒<m m f 。
高中数学竞赛校本教材[全套共30讲].pdf
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高中数学竞赛校本教材目录§1数学方法选讲（1） (1)§2数学方法选讲（2） (11)§3集合 (22)§4函数的性质 (30)§5二次函数(1) (41)§6二次函数(2) (55)§7指、对数函数,幂函数 (63)§8函数方程 (73)§9三角恒等式与三角不等式 (76)§10向量与向量方法 (85)§11数列 (95)§12递推数列 (102)§13数学归纳法 (105)§14不等式的证明 (111)§15不等式的应用 (122)§16排列，组合 (130)§17二项式定理与多项式 (134)§18直线和圆，圆锥曲线 (143)§19立体图形，空间向量 (161)§20平面几何证明 (173)§21平面几何名定理 (180)§22几何变换 (186)§23抽屉原理 (194)§24容斥原理 (205)§25奇数偶数 (214)§26整除 (222)§27同余 (230)§28高斯函数 (238)§29覆盖 (245)§29涂色问题 (256)§30组合数学选讲 (265)§1数学方法选讲（1） 同学们在阅读课外读物的时候，或在听老师讲课的时候，书上的例题或老师讲解的例题他都能听懂，但一遇到没有见过面的问题就不知从何处入手。
看来，要提高解决问题的能力，要能在竞赛中有所作为，首先得提高分析问题的能力，这就需要学习一些重要的数学思想方法。
例题讲解一、从简单情况考虑 华罗庚先生曾经指出：善于“退”，足够的“退”，退到最原始而又不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍。
从简单情况考虑，就是一种以退为进的一种解题策略。
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江苏省高中数学竞赛校本教材[全套](共30讲，含详细答案)-苏教版目录§1数学方法选讲（1） (1)§2数学方法选讲（2） (11)§3集合 (22)§4函数的性质 (30)§5二次函数(1) (41)§6二次函数(2) (55)§7指、对数函数,幂函数 (63)§8函数方程 (73)§9三角恒等式与三角不等式 (76)§10向量与向量方法 (85)§11数列 (95)§12递推数列 (102)§13数学归纳法 (105)§14不等式的证明 (111)§15不等式的应用 (122)§16排列，组合 (130)§17二项式定理与多项式 (134)§18直线和圆，圆锥曲线 (143)§19立体图形，空间向量 (161)§20平面几何证明 (173)§21平面几何名定理 (180)§22几何变换 (186)§23抽屉原理 (194)§24容斥原理 (205)§25奇数偶数 (214)§26整除 (222)§27同余 (230)§28高斯函数 (238)§29覆盖 (245)§29涂色问题 (256)§30组合数学选讲 (265)§1数学方法选讲（1）同学们在阅读课外读物的时候，或在听老师讲课的时候，书上的例题或老师讲解的例题他都能听懂，但一遇到没有见过面的问题就不知从何处入手。
看来，要提高解决问题的能力，要能在竞赛中有所作为，首先得提高分析问题的能力，这就需要学习一些重要的数学思想方法。
例题讲解一、从简单情况考虑华罗庚先生曾经指出：善于―退‖，足够的―退‖，退到最原始而又不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍。
从简单情况考虑，就是一种以退为进的一种解题策略。
1. 两人坐在一张长方形桌子旁，相继轮流在桌子上放入同样大小的硬币。
条件是硬币一定要平放在桌子上，后放的硬币不能压在先放的硬币上，直到桌子上再也放不下一枚硬币为止。
谁放入了最后一枚硬币谁获胜。
问：先放的人有没有必定取胜的策略？2．线段AB上有1998个点（包括A，B两点），将点A染成红色，点B染成蓝色，其余各点染成红色或蓝色。
这时，图中共有1997条互不重叠的线段。
问：两个端点颜色相异的小线段的条数是奇数还是偶数？为什么？3．1000个学生坐成一圈，依次编号为1，2，3，…，1000。
现在进行1，2报数：1号学生报1后立即离开，2号学生报2并留下，3号学生报1后立即离开，4号学生报2并留下……学生们依次交替报1或2，凡报1的学生立即离开，报2的学生留下，如此进行下去，直到最后还剩下一个人。
问：这个学生的编号是几号？4．在6×6的正方形网格中，把部分小方格涂成红色。
然后任意划掉3行和3列，使得剩下的小方格中至少有1个是红色的。
那么，总共至少要涂红多少小方格？二、从极端情况考虑从问题的极端情况考虑，对于数值问题来说，就是指取它的最大或最小值；对于一个动点来说，指的是线段的端点，三角形的顶点等等。
极端化的假设实际上也为题目增加了一个条件，求解也就会变得容易得多。
5．新上任的宿舍管理员拿着20把钥匙去开20个房间的门，他知道每把钥匙只能打开其中的一个门，但不知道哪一把钥匙开哪一个门，现在要打开所有关闭的20个门，他最多要开多少次？6．有n名（n≥3）选手参加的一次乒乓球循环赛中，没有一个全胜的。
问：是否能够找到三名选手A，B，C，使得A胜B，B胜C，C胜A？7．n（n≥3）名乒乓球选手单打比赛若干场后，任意两个选手已赛过的对手恰好都不完全相同。
试证明，总可以从中去掉一名选手，而使余下的选手中，任意两个选手已赛过的对手仍然都不完全相同。
8．在一个8×8的方格棋盘的方格中，填入从1到64这64个数。
问：是否一定能够找到两个相邻的方格，它们中所填数的差大于4？三、从整体考虑从整体上来考察研究的对象，不纠缠于问题的各项具体的细节，从而能够拓宽思路，抓住主要矛盾，一举解决问题。
9．右图是一个4×4的表格，每个方格中填入了数字0或1。
按下列规则进行―操作‖：每次可以同时改变某一行的数字：1变成0，0变成1。
问：能否通过若干次―操作‖使得每一格中的数都变成1？10．有三堆石子，每堆分别有1998，998，98粒。
现在对这三堆石子进行如下的―操作‖：每次允许从每堆中各拿掉一个或相同个数的石子，或从任一堆中取出一些石子放入另一堆中。
按上述方式进行―操作‖，能否把这三堆石子都取光？如行，请设计一种取石子的方案；如不行，请说明理由。
11．我们将若干个数x，y，z，…的最大值和最小值分别记为max（x，y，z，…）和min（x，y，z，…）。
已知a+b+c+d+e+f+g=1，求min[max（a+b+c，b+c+d，c+d+e，d+e+f，e+f+g）]课后练习1.方程x1+x2+x3+…+x n-1+x n=x1x2x3…x n-1x n一定有一个自然数解吗？为什么？2.连续自然数1，2，3，…，8899排成一列。
从1开始，留1划掉2和3，留4划掉5和6……这么转圈划下去，最后留下的是哪个数？3.给出一个自然数n，n的约数的个数用一个记号A（n）来表示。
例如当n=6时，因为6的约数有1，2，3，6四个，所以A（6）=4。
已知a1，a2，…，a10是10个互不相同的质数，又x 为a1，a2，…，a10的积，求A（x）。
4.平面上有100个点，无三点共线。
将某些点用线段连结起来，但线段不能相交，直到不能再连结时为止。
问：是否存在一个以这些点中的三个点为顶点的三角形，它的内部没有其余97个点中的任何一个点？5.在一块平地上站着5个小朋友，每两个小朋友之间的距离都不相同，每个小朋友手上都拿着一把水枪。
当发出射击的命令后，每人用枪射击距离他最近的人。
问：射击后有没有一个小朋友身上是干的？为什么？6.把1600粒花生分给100只猴子，请你说明不管怎样分，至少有4只猴子分的花生一样多。
7.有两只桶和一只空杯子。
甲桶装的是牛奶，乙桶装的是酒精（未满）。
现在从甲桶取一满杯奶倒入乙桶，然后从乙桶取一满杯混合液倒入甲桶，这时，是甲桶中的酒精多，还是乙桶中的牛奶多？为什么？8.在黑板上写上1，2，3，…，1998。
按下列规定进行―操作‖：每次擦去其中的任意两个数a 和b，然后写上它们的差（大减小），直到黑板上剩下一个数为止。
问：黑板上剩下的数是奇数还是偶数？为什么？课后练习答案1.有。
解：当n=2时，方程x1+x2=x1x2有一个自然数解：x1=2，x2=2；当n=3时，方程x1+x2+x3=x1x2x3有一个自然数解：x1=1，x2=2，x3=3；当n=4时，方程x1+x2+x3+x4=x1x2x3x4有一个自然数解：x1=1，x2=1，x3=2，x4=4。
一般地，方程x1+x2+x3+…+x n-1+x n=x1x2x3…x n-1x n有一个自然数解：x1=1，x2=1，…，x n-2=1，x n-1=2，x n=n。
2.3508。
解：仿例3。
当有3n个数时，留下的数是1号。
小于8899的形如3n的数是38=6561，故从1号开始按规则划数，划了8899-6561=2338（个）数后，还剩下6561个数。
下一个要划掉的数是2388÷2×3+1=3507，故最后留下的就是3508。
3.1024。
解：质数a1有2个约数：1和a，从而A（a1）=2；2个质数a1，a2的积有4个约数：1，a1，a2，a1a2，从而A（a1×a2）=4=22；3个质数a1，a2，a3的积有8个约数：1，a1，a2，a3，a1a2，a2a3，a3a1，a1a2a3，从而A（a1×a2×a3）=8=23；……于是，10个质数a1，a2，…，a10的积的约数个数为A（x）=210=1024。
4.存在。
提示：如果一个三角形内还有别的点，那么这个点与三角形的三个顶点还能连结，与已―不能再连结‖矛盾。
5.有。
解：设A和B两人是距离最近的两个小朋友，显然他们应该互射。
此时如果有其他的小朋友射向他们中的一个，即A，B中有一人挨了两枪，那么其他三人中必然有一人身上是干的。
如果没有其他的小朋友射向A或B，那么我们再考虑剩下的三个人D，E，F：若D，E的距离是三人中最近的，则D，E互射，而F必然射向他们之间的一个，此时F身上是干的。
6.假设没有4只猴子分的花生一样多，那么至多3只猴子分的花生一样多。
我们从所需花生最少情况出发考虑：得1粒、2粒、3粒……32粒的猴子各有3只，得33粒花生的猴子有1只，于是100只猴子最少需要分得花生3×（0+1+2+…+32）+33=1617（粒），现在只有1600粒花生，无法使得至多3只猴子分的花生一样多，故至少有4只猴子分的花生一样多。
7.一样多。
提示：从整体看，甲、乙两桶所装的液体的体积没有发生变化。
甲桶里有多少酒精，就必然倒出了同样体积的牛奶入乙桶。
所以，甲桶中的酒精和乙桶中的牛奶一样多。
8.奇数。
解：黑板上开始时所有数的和为S=1+2+3+…+1998=1997001，是一个奇数，而每一次―操作‖，将（a+b）变成了（a-b），实际上减少了2b，即减少了一个偶数。
因为从整体上看，总和减少了一个偶数，其奇偶性不变，所以最后黑板上剩下一个奇数。
例题答案：1．分析与解：如果桌子大小只能容纳一枚硬币，那么先放的人当然能够取胜。
然后设想桌面变大，注意到长方形有一个对称中心，先放者将第一枚硬币放在桌子的中心，继而把硬币放在后放者所放位置的对称位置上，这样进行下去，必然轮到先放者放最后一枚硬币。
2．分析：从最简单的情况考虑：如果中间的1996个点全部染成红色，这时异色线段只有1条，是一个奇数。
然后我们对这种染色方式进行调整：将某些红点改成蓝点并注意到颜色调整时，异色线段的条数随之有哪些变化。
由于颜色的调整是任意的，因此与条件中染色的任意性就一致了。
解：如果中间的1996个点全部染成红色，这时异色线段仅有1条，是一个奇数。
将任意一个红点染成蓝色时，这个改变颜色的点的左右两侧相邻的两个点若同色，则异色小线段的条数或者增加2条（相邻的两个点同为红色），或者减少2条（相邻的两个点同为蓝色）；这个改变颜色的点的左右两侧相邻的两个点若异色，则异色小线段的条数不变。
综上所述，改变任意个点的颜色，异色线段的条数的改变总是一个偶数，从而异色线段的条数是一个奇数。
3．分析：这个问题与上一讲练习中的第8题非常相似，只不过本例是报1的离开报2的留下，而上讲练习中相当于报1的留下报2的离开，由上讲练习的结果可以推出本例的答案。