苏教版高中数学教材必修4 第1章三角函数
苏教版高中数学教材必修4 三角函数·平面向量 金陵中学金凤义
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（四）数学应用 课本P26 例1 课本 例2 T＝ ＝
π
2
的周期吗？ 是y＝sinx的周期吗？ ＝ 的周期吗
试证明你的结论． 试证明你的结论． 已知f(x＋ ＝ 为常数， 例3 已知 ＋T)＝f(x) (T为常数， 为常数 T≠0)，求证 ＋2T)＝f(x)． ，求证f(x＋ ＝ ．
a⋅ a =| a |2 或| a |= a⋅ a 特别地
a⋅b （4） cosθ = ） | a || b |
（5）a · b ≤| a | · | b | ）
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数学应用
例 1 已知向量 a 与向量 b 的夹角为 θ， 且|a| ＝2，|b|＝3， ，分别在下列条件下,求 a•b (1) θ=135º ; (2) a∥b; (3) a⊥b. → 例 2 已知正 ∆ABC 的边长为 ，设BC＝a， BC a → → CA＝b，AB＝c，求 a•b＋b•c＋c•a． ＋ ＋
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（二）意义建构 由单位圆中的三角函数线可知， 由单位圆中的三角函数线可知，正、 余弦函数值的变化呈现出周期现象， 余弦函数值的变化呈现出周期现象，每 当角增加（或减少） ， 当角增加（或减少）2π，所得角的终边 与原来角的终边相同，故两角的正、 与原来角的终边相同，故两角的正、余 弦函数值也分别相同．即有sin（ ＋ ） 弦函数值也分别相同．即有 （2π＋x） ）＝cosx， ＝sinx，cos（2π＋x）＝ ， （ ＋ ）＝ ， 正弦函数和余弦函数所具有的这种 性质称为周期性． 性质称为周期性．
规定：零向量与任意向量的数量积为 即 a ⋅ 0 = 0． 规定：零向量与任意向量的数量积为0，即
数量， 向量， （ 1）两向量的数量积是一个 数量 ， 而 不 是 向量 ， 符号由夹 ） 两向量的数量积是一个数量 角决定； 角决定； （2）一种新的运算法则，以前所学的运算律、性质不一定适合 ）一种新的运算法则，以前所学的运算律、 不能写成 （3） a · b不能写成 ×b ，a×b 表示向量的另一种运算 ） 不能写成a× × 表示向量的另一种运算．
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(五)课堂练习 五 课堂 课堂练习 求下列三角函数的周期： π (1) y＝sin(x＋3)； (2) y＝cos2x； x π (3) y＝3sin(2＋5)．
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2.4向量的数量积 向量的数量积
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一、问题情景
一个物体在力F 一个物体在力 的作用下产生的位移 s，且F与s的夹角为θ ,那么力 所做的功应 ， 那么力F 与 的夹角为 那么力 当怎样计算？ 当怎样计算？ F θ sbO源自r bθa
r a
A
r O b B θr= 0o r a 与 b 同向
r a
注意: 注意:在两向量的 夹角定义中, 夹角定义中,两向 量必须是“共起点” 量必须是“共起点” 的 B
r a
A
r b
r O A B b 180 θ =r o r
O
r θ a
θ = 90oA
a 与 b 反向
记作
r r a 与 b 垂直， r 垂直， r
W =| F || s | cos θ
其中力F 和位移s 是向量， 的夹角，而功是数量. θ 其中力 和位移 是向量， 是F 与s 的夹角，而功是数量 数量
F s cos θ
叫做力 与位移s的数量积 叫做力F 与位移 的数量积
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θ
θ
a A B1
B1
O
O
a A
θ
O( B1 ) a A θ为直角时， 为直角时， 为直角时 | b | cosθ=0
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θ为锐角时， 为锐角时， 为锐角时 | b | cosθ＞0
θ为钝角时， 为钝角时， 为钝角时 | b | cosθ＜0
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物理上力所做的功实际上是将力正交分解， 物理上力所做的功实际上是将力正交分解，只有在位移方 向上的力做功． 向上的力做功． 过点B作 OB 作OA = a， = b ，过点 作 BB1 垂直于直线OA， 垂直于直线 ，垂足为 B1，则 OB1 = | b | cosθ | b | cosθ叫向量 在a 方向上的投影． 叫向量b 方向上的投影． 叫向量 B B B b b b F θ s
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（三）数学理论 一般地，对于函数f(x)，如果存在一 一般地，对于函数 ，如果存在一 非零常数T，使得定义域内的每一个 每一个x 个非零常数 ，使得定义域内的每一个 都满足f(x＋ ＝ 值，都满足 ＋T)＝f(x)，那么函数 ，那么函数f(x) 就叫做周期函数 非零常数T叫做这个 周期函数， 就叫做周期函数，非零常数 叫做这个 函数的周期 周期． 函数的周期． 对于一个周期函数f(x)，如果在它所 对于一个周期函数 ， 有的周期中存在一个最小的正数 最小的正数， 有的周期中存在一个最小的正数，那么 这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 这个最小正数就叫做 的最小正周期．
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1 π 的周期． 例7 求 y＝2sin(2x－6)的周期． ＝ － 的周期
y＝Asin(ωx＋φ)的周期 (其中 的周期． 例8 求y＝Asin(ωx＋φ)的周期．(其中 A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0， 为常数， ， ， 为常数 ， ＞ ， x∈R) ∈
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数学理论 平面向量的数量积的定义 已知两个非零向量a 已知两个非零向量 和b ，它们的夹角为θ ，我们把数量 | a || b | cosθ 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a · b ，即 叫做 的数量积（或内积） 记作 a ⋅ b =| a || b | cosθ
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（一）情境引入 1．问题： ．问题： （1）今天是星期二，则过了七天是星期 ）今天是星期二， 过了十四天呢？ 几？过了十四天呢？…… （2）物理学中的单摆振动、圆周运动中 ）物理学中的单摆振动、 质点运动，规律如何呢？ 质点运动，规律如何呢？ 2．我们学过的函数中哪些函数也具有这 ． 周而复始”的基本特征呢？ 种“周而复始”的基本特征呢？怎样 从数学的角度研究函数的周期现象呢？ 从数学的角度研究函数的周期现象呢？
θ
O a
B1
θ
A
B1
θ
a A O( B1 ) a A θ为直角时， 为直角时， 为直角时 | b | cosθ=0
O
θ为锐角时， 为锐角时， 为锐角时 | b | cosθ＞0
θ为钝角时， 为钝角时， 为钝角时 | b | cosθ＜0
叫向量b 方向上的投影． 定义：| b | cosθ叫向量 在a 方向上的投影． 叫向量
2
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证明f(x)＝sinx(x∈R)的最小正周 例4 证明 ＝ ∈ 的最小正周 期是2π． 期是 ． 求函数y＝3cosx的周期 的周期． 例5 求函数y＝3cosx的周期． 的周期． 例6 求y＝sin2x的周期． ＝ 的周期
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【教学目标】 教学目标】 （1）了解周期现象在现实中广泛存在， ）了解周期现象在现实中广泛存在， 感受周期现象对实际工作的意义； 感受周期现象对实际工作的意义； （2）了解周期函数的概念，会判断一些 ）了解周期函数的概念， 简单的、常见的函数的周期性， 简单的、常见的函数的周期性，并会求 一些简单三角函数的周期； 一些简单三角函数的周期； （3）培养及渗透数形结合思想，培养辩 ）培养及渗透数形结合思想， 证唯物主义观点． 证唯物主义观点．
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(六)课堂小结（回顾反思） 六 课堂小结 回顾反思） 课堂小结（ (七)课堂巩固与课后作业（略） 七 课堂巩固与课后作业 课堂巩固与课后作业（ 【课堂教学设计说明】 课堂教学设计说明】
1．此教学方案是按照“教师为主导，学生为主体”的原则，以“感受理解、 ．此教学方案是按照“教师为主导，学生为主体”的原则， 感受理解、 思考运用、探究拓展”为主线而设计的．教师通过为学生创设问题情境， 思考运用、探究拓展”为主线而设计的．教师通过为学生创设问题情境，激 发学生的求知欲，指引探索的途径，引导学生不断地提出新问题， 发学生的求知欲，指引探索的途径，引导学生不断地提出新问题，解决新问 题． 2．函数周期性概念的教学是本节课的重点 也是本节课的难点．概念教学是 也是本节课的难点． ．函数周期性概念的教学是本节课的重点,也是本节课的难点 中学数学教学的一项重要内容，既不能因其易而轻视． 中学数学教学的一项重要内容，既不能因其易而轻视．也不能因其难而回 概念教学应面向全体学生，但由于函数周期的概念比较抽象， 避．概念教学应面向全体学生，但由于函数周期的概念比较抽象，所以学生 对它的认识不可能一下子就十分深刻．因此，进行概念教学时， 对它的认识不可能一下子就十分深刻．因此，进行概念教学时，除了逐字逐 句分析，还要通过不同的例题，让学生暴露出问题， 句分析，还要通过不同的例题，让学生暴露出问题，通过老师的引导使学生 对概念的理解逐步深入． 对概念的理解逐步深入．
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（四）数学应用 课本P26 例1 课本 例2 T＝ ＝
π
2
的周期吗？ 是y＝sinx的周期吗？ ＝ 的周期吗
试证明你的结论． 试证明你的结论． 已知f(x＋ ＝ 为常数， 例3 已知 ＋T)＝f(x) (T为常数， 为常数 T≠0)，求证 ＋2T)＝f(x)． ，求证f(x＋ ＝ ．
a⋅ a =| a |2 或| a |= a⋅ a 特别地
a⋅b （4） cosθ = ） | a || b |
（5）a · b ≤| a | · | b | ）
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数学应用
例 1 已知向量 a 与向量 b 的夹角为 θ， 且|a| ＝2，|b|＝3， ，分别在下列条件下,求 a•b (1) θ=135º ; (2) a∥b; (3) a⊥b. → 例 2 已知正 ∆ABC 的边长为 ，设BC＝a， BC a → → CA＝b，AB＝c，求 a•b＋b•c＋c•a． ＋ ＋
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（二）意义建构 由单位圆中的三角函数线可知， 由单位圆中的三角函数线可知，正、 余弦函数值的变化呈现出周期现象， 余弦函数值的变化呈现出周期现象，每 当角增加（或减少） ， 当角增加（或减少）2π，所得角的终边 与原来角的终边相同，故两角的正、 与原来角的终边相同，故两角的正、余 弦函数值也分别相同．即有sin（ ＋ ） 弦函数值也分别相同．即有 （2π＋x） ）＝cosx， ＝sinx，cos（2π＋x）＝ ， （ ＋ ）＝ ， 正弦函数和余弦函数所具有的这种 性质称为周期性． 性质称为周期性．
规定：零向量与任意向量的数量积为 即 a ⋅ 0 = 0． 规定：零向量与任意向量的数量积为0，即
数量， 向量， （ 1）两向量的数量积是一个 数量 ， 而 不 是 向量 ， 符号由夹 ） 两向量的数量积是一个数量 角决定； 角决定； （2）一种新的运算法则，以前所学的运算律、性质不一定适合 ）一种新的运算法则，以前所学的运算律、 不能写成 （3） a · b不能写成 ×b ，a×b 表示向量的另一种运算 ） 不能写成a× × 表示向量的另一种运算．
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(五)课堂练习 五 课堂 课堂练习 求下列三角函数的周期： π (1) y＝sin(x＋3)； (2) y＝cos2x； x π (3) y＝3sin(2＋5)．
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2.4向量的数量积 向量的数量积
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一、问题情景
一个物体在力F 一个物体在力 的作用下产生的位移 s，且F与s的夹角为θ ,那么力 所做的功应 ， 那么力F 与 的夹角为 那么力 当怎样计算？ 当怎样计算？ F θ sbO源自r bθa
r a
A
r O b B θr= 0o r a 与 b 同向
r a
注意: 注意:在两向量的 夹角定义中, 夹角定义中,两向 量必须是“共起点” 量必须是“共起点” 的 B
r a
A
r b
r O A B b 180 θ =r o r
O
r θ a
θ = 90oA
a 与 b 反向
记作
r r a 与 b 垂直， r 垂直， r
W =| F || s | cos θ
其中力F 和位移s 是向量， 的夹角，而功是数量. θ 其中力 和位移 是向量， 是F 与s 的夹角，而功是数量 数量
F s cos θ
叫做力 与位移s的数量积 叫做力F 与位移 的数量积
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θ
θ
a A B1
B1
O
O
a A
θ
O( B1 ) a A θ为直角时， 为直角时， 为直角时 | b | cosθ=0
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θ为锐角时， 为锐角时， 为锐角时 | b | cosθ＞0
θ为钝角时， 为钝角时， 为钝角时 | b | cosθ＜0
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物理上力所做的功实际上是将力正交分解， 物理上力所做的功实际上是将力正交分解，只有在位移方 向上的力做功． 向上的力做功． 过点B作 OB 作OA = a， = b ，过点 作 BB1 垂直于直线OA， 垂直于直线 ，垂足为 B1，则 OB1 = | b | cosθ | b | cosθ叫向量 在a 方向上的投影． 叫向量b 方向上的投影． 叫向量 B B B b b b F θ s
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（三）数学理论 一般地，对于函数f(x)，如果存在一 一般地，对于函数 ，如果存在一 非零常数T，使得定义域内的每一个 每一个x 个非零常数 ，使得定义域内的每一个 都满足f(x＋ ＝ 值，都满足 ＋T)＝f(x)，那么函数 ，那么函数f(x) 就叫做周期函数 非零常数T叫做这个 周期函数， 就叫做周期函数，非零常数 叫做这个 函数的周期 周期． 函数的周期． 对于一个周期函数f(x)，如果在它所 对于一个周期函数 ， 有的周期中存在一个最小的正数 最小的正数， 有的周期中存在一个最小的正数，那么 这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 这个最小正数就叫做 的最小正周期．
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1 π 的周期． 例7 求 y＝2sin(2x－6)的周期． ＝ － 的周期
y＝Asin(ωx＋φ)的周期 (其中 的周期． 例8 求y＝Asin(ωx＋φ)的周期．(其中 A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0， 为常数， ， ， 为常数 ， ＞ ， x∈R) ∈
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数学理论 平面向量的数量积的定义 已知两个非零向量a 已知两个非零向量 和b ，它们的夹角为θ ，我们把数量 | a || b | cosθ 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a · b ，即 叫做 的数量积（或内积） 记作 a ⋅ b =| a || b | cosθ
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（一）情境引入 1．问题： ．问题： （1）今天是星期二，则过了七天是星期 ）今天是星期二， 过了十四天呢？ 几？过了十四天呢？…… （2）物理学中的单摆振动、圆周运动中 ）物理学中的单摆振动、 质点运动，规律如何呢？ 质点运动，规律如何呢？ 2．我们学过的函数中哪些函数也具有这 ． 周而复始”的基本特征呢？ 种“周而复始”的基本特征呢？怎样 从数学的角度研究函数的周期现象呢？ 从数学的角度研究函数的周期现象呢？
θ
O a
B1
θ
A
B1
θ
a A O( B1 ) a A θ为直角时， 为直角时， 为直角时 | b | cosθ=0
O
θ为锐角时， 为锐角时， 为锐角时 | b | cosθ＞0
θ为钝角时， 为钝角时， 为钝角时 | b | cosθ＜0
叫向量b 方向上的投影． 定义：| b | cosθ叫向量 在a 方向上的投影． 叫向量
2
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证明f(x)＝sinx(x∈R)的最小正周 例4 证明 ＝ ∈ 的最小正周 期是2π． 期是 ． 求函数y＝3cosx的周期 的周期． 例5 求函数y＝3cosx的周期． 的周期． 例6 求y＝sin2x的周期． ＝ 的周期
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【教学目标】 教学目标】 （1）了解周期现象在现实中广泛存在， ）了解周期现象在现实中广泛存在， 感受周期现象对实际工作的意义； 感受周期现象对实际工作的意义； （2）了解周期函数的概念，会判断一些 ）了解周期函数的概念， 简单的、常见的函数的周期性， 简单的、常见的函数的周期性，并会求 一些简单三角函数的周期； 一些简单三角函数的周期； （3）培养及渗透数形结合思想，培养辩 ）培养及渗透数形结合思想， 证唯物主义观点． 证唯物主义观点．
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(六)课堂小结（回顾反思） 六 课堂小结 回顾反思） 课堂小结（ (七)课堂巩固与课后作业（略） 七 课堂巩固与课后作业 课堂巩固与课后作业（ 【课堂教学设计说明】 课堂教学设计说明】
1．此教学方案是按照“教师为主导，学生为主体”的原则，以“感受理解、 ．此教学方案是按照“教师为主导，学生为主体”的原则， 感受理解、 思考运用、探究拓展”为主线而设计的．教师通过为学生创设问题情境， 思考运用、探究拓展”为主线而设计的．教师通过为学生创设问题情境，激 发学生的求知欲，指引探索的途径，引导学生不断地提出新问题， 发学生的求知欲，指引探索的途径，引导学生不断地提出新问题，解决新问 题． 2．函数周期性概念的教学是本节课的重点 也是本节课的难点．概念教学是 也是本节课的难点． ．函数周期性概念的教学是本节课的重点,也是本节课的难点 中学数学教学的一项重要内容，既不能因其易而轻视． 中学数学教学的一项重要内容，既不能因其易而轻视．也不能因其难而回 概念教学应面向全体学生，但由于函数周期的概念比较抽象， 避．概念教学应面向全体学生，但由于函数周期的概念比较抽象，所以学生 对它的认识不可能一下子就十分深刻．因此，进行概念教学时， 对它的认识不可能一下子就十分深刻．因此，进行概念教学时，除了逐字逐 句分析，还要通过不同的例题，让学生暴露出问题， 句分析，还要通过不同的例题，让学生暴露出问题，通过老师的引导使学生 对概念的理解逐步深入． 对概念的理解逐步深入．
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高中苏教版数学必修4 第1章 1.3 1.3.2 第1课时 正弦、余弦函数的图象课件PPT
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1．用“五点法”作出函数 y＝3＋2cos x 在一个周期内的图象．
[解] 按五个关键点列表；描点并将它们用光滑的曲线连结起来．
x
cos x 3＋2cos x
0
π 2
π
3π 2
2π
1 0 －1 0
1
53 1
3
5
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利用正、余弦曲线解三角不等式 【例 2】 利用正弦曲线，求满足12＜sin x≤ 23的 x 的集合． 思路点拨：作出正弦函数 y＝sin x 在一个周期内的图象，然后借助图 象求解．
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[解] (1)列表如下：
x
0
π 2
π
3 2π
2π
sin x
010
－1
0
sin x－1
－1 0 －1
－2
－1
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描点连线，如图①所示． ①
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(2)列表如下：
x
0
π 2
π
3 2π
2π
cos x
1 0 －1 0
1
2＋cos x
32 1
2
3
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描点连线，如图②所示． ②
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(3)列表：
x
0
π 2
π
3π 2
2π
cos x
1
0 －1 0
1
－1－cos x
－2 －1 0 －1
－2
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描点作图，如图③所示： ③x＋b(A≠0)或 y＝Acos x＋b(A≠0)在[0,2π]上 的简图的步骤如下
(1)列表：
x
0
sin x(或 cos x)
所以12＜sin x≤ 23的解集为 xπ6＋2kπ＜x≤π3 ＋2kπ或23π＋2kπ≤x＜56π＋2kπ，k∈Z.
1．用“五点法”作出函数 y＝3＋2cos x 在一个周期内的图象．
[解] 按五个关键点列表；描点并将它们用光滑的曲线连结起来．
x
cos x 3＋2cos x
0
π 2
π
3π 2
2π
1 0 －1 0
1
53 1
3
5
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利用正、余弦曲线解三角不等式 【例 2】 利用正弦曲线，求满足12＜sin x≤ 23的 x 的集合． 思路点拨：作出正弦函数 y＝sin x 在一个周期内的图象，然后借助图 象求解．
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[解] (1)列表如下：
x
0
π 2
π
3 2π
2π
sin x
010
－1
0
sin x－1
－1 0 －1
－2
－1
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描点连线，如图①所示． ①
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(2)列表如下：
x
0
π 2
π
3 2π
2π
cos x
1 0 －1 0
1
2＋cos x
32 1
2
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描点连线，如图②所示． ②
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(3)列表：
x
0
π 2
π
3π 2
2π
cos x
1
0 －1 0
1
－1－cos x
－2 －1 0 －1
－2
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描点作图，如图③所示： ③x＋b(A≠0)或 y＝Acos x＋b(A≠0)在[0,2π]上 的简图的步骤如下
(1)列表：
x
0
sin x(或 cos x)
所以12＜sin x≤ 23的解集为 xπ6＋2kπ＜x≤π3 ＋2kπ或23π＋2kπ≤x＜56π＋2kπ，k∈Z.
高中数学苏教版必修4《第1章1.21.2.1任意角的三角函数》课件
6 ·tan 2π
6；
sin 3
(3)tan 120°·sin 269°.
[解] (1)∵108°是第二象限角，∴tan 108°＜0.
∵305°是第四象限角，∴cos 305°＞0.
从而 tan 108°·cos 305°＜0.
(2)∵56π是第二象限角，116π是第四象限角，23π是第二象限角，
的集合为α2kπ＋23π≤α≤2kπ＋34π，k∈Z
.
教师独具 1．本节课的重点是三角函数的定义、三角函数值的符号以及三角函 数线的画法、利用三角函数线解决问题，难点是三角函数的定义及应用， 对三角函数线概念的理解． 2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)三角函数的定义及应用； (2)三角函数值符号的判断； (3)三角函数线的画法及应用．
∴cos 56π＜0，tan116π＜0，sin 23π＞0.
5π 11π
cos 从而
6 ·tan 2π
6 ＞0.
sin 3
(3)∵120°是第二象限角，∴tan 120°＜0， ∵269°是第三象限角，∴sin 269°＜0. 从而 tan 120°sin 269°＞0.
应用三角函数线解三角不等式 [探究问题] 1．在单位圆中，满足 sin α＝12的正弦线有几条？试在 图中明确．
提示：两条，如图所示，MP1 与 NP2 都等于12.
2．满足 sin α≥12的角的范围是多少？试在上述单位圆中给予明确．
提示：如图中阴影部分所示，所求角 α 的取值范围为 α2kπ＋π6 ≤α≤2kπ＋56π，k∈Z.
【例 3】
求函数 f(x)＝
1－2cos
x＋lnsin
x－
22的定义域．
思考 2：若 P 为角 α 与单位圆的交点，sin α，cos α，tan α 的值怎样表 示？
高中数学苏教版必修4课件：第一章 三角函数 1.3.3.1
【解】
1 π y＝2sin2x＋3
1 π y＝3sin2x＋3 π y＝3sinx＋3 π π π y＝3sinx＋6＋3＝3sinx＋2＝3cos
x，
∴f(x)＝3cos x.
[ 构建· 体系]
1．已知简谐运动
φ 单位为 ω.
3明确平移的方向.
[ 再练一题] π 2．把函数 y＝f(x)的图象上各点向右平移 个单位，再把横坐标伸长到原来 6
1 π 2 的 2 倍，再把纵坐标缩短到原来的 倍，所得图象的解析式是 y＝2sin x＋ ，求 2 3 3
f(x)的解析式．
[ 基础· 初探] 教材整理 1 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 阅读教材 P34 有关内容，完成下列问题． 设物体做简谐运动时，位移 s 和时间 t 的关系为 s＝Asin(ωt＋φ)(A＞0，ω＞
平衡 位置的__________ 最大距离 ，称为振动的振幅；往复 0)，其中 A 是物体振动时离开_____
1 π y＝3sin x－ 的图象． 2 4
π (2)法一：①把 y＝sin x 图象上所有的点向右平移 个单位长度，得到 y＝ 4
π sinx－4 的图象；
②把 得到
π y＝sinx－4 图象上所有点的横坐标伸长到原来的
2 倍(纵坐标不变)，
横坐标变为 (2)×.y＝sin x―――――→ 1 y＝sin 2x. 原来的 2 纵坐标变为原来 (3)√.y＝sin x ―――――→ y＝2sin x. 的2倍
【答案】 (1)× (2)× (3)√
[ 质疑· 手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1：_______________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问 2：_______________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问 3：_______________________________________________________ 解惑：________________________________________________________
苏教版必修4高中数学第1章《三角函数》三角函数图象和性质(2)教学案
高中数学第1章《三角函数》三角函数图象和性质(2)教学案
苏教版必修4
教学目标：能借助函数图象理解正弦函数、余弦函数的性质（定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性）。
注重渗透数形结合数学思想。
教学重点：正、余弦函数的性质
教学难点：正、余弦函数的性质的理解与运用
教学过程：
一、问题情境，学生活动：
作出正、余弦函数图象，你能根据图象研究正弦函数与余弦函数的相关性质吗？
三、知识建构：
1、定义域：
2、值域：
3、周期性：
4、奇偶性：
5、单调性：
三、知识运用：
例1、求下列函数的定义域
（1）
2
y
2cos x
=
-
（2）
1
y sin x
2
=-
小结：
例2、求下列函数的最大值以及取得最大值时自变量x的集合
（1）x
y cos 3= （2）y 2sin 2x =-
小结：
例3、不求值，分别比较下列各组中两个三角函数值的大小：
,5sin ,7sin ).1(⎪⎭⎫
⎝⎛-⎪⎭⎫
⎝⎛-ππ ,85cos ,74cos ).2(ππ。
高中苏教版数学必修4 第1章 1.3 1.3.1 三角函数的周期性课件PPT
第1章 三角函数
1.3 三角函数的图象和性质 1.3.1 三角函数的周期性
栏目导航
学习目标
核 心 素 养(教师独具)
1.理解周期函数的定义．(难点)
2.知道正弦函数、余弦函数的最小正周期．(重 通过学习本节内容提升学
点)
生的数学运算和逻辑推理
3.会求函数 y＝sin(ωx＋φ)和 y＝cos(ωx＋φ)的 核心素养.
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利用公式求 y＝Asinωx＋φ或 y＝Acosωx＋φ的最小正周期时，要注 意 ω 的正负，公式可记为T＝|2ωπ|.
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±10 已知 f(x)＝cosωx－π6的最小正 ±10.]
[由题意可知|2ωπ|＝π5，ω＝
周期为π5，则 ω＝______.
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2．(变结论)本例条件不变，求 f－196π的值． [解] ∵f(x)的最小正周期为 π， ∴f－196π＝f－3π－π6＝f－π6， ∵f(x)是 R 上的偶函数， ∴f－π6＝fπ6＝sin π6＝12. ∴f－196π＝12.
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[解] (1)T＝21π＝6π，∴最小பைடு நூலகம்周期为 6π. 3
(2)T＝|－2π3|＝23π，∴最小正周期为23π. (3)由 y＝sin x 的周期为 2π，可猜想 y＝|sin x|的周期应为 π. 验证：∵|sin(x＋π)|＝|－sin x|＝|sin x|， ∴由周期函数的定义知 y＝|sin x|的最小正周期是 π. (4)T＝|22πa|＝|πa|，∴最小正周期为|πa|.
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1．思考辨析 (1)周期函数都一定有最小正周期．( ) (2)周期函数的周期只有唯一一个．( ) (3)周期函数的周期可以有无数多个．( )
1.3 三角函数的图象和性质 1.3.1 三角函数的周期性
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学习目标
核 心 素 养(教师独具)
1.理解周期函数的定义．(难点)
2.知道正弦函数、余弦函数的最小正周期．(重 通过学习本节内容提升学
点)
生的数学运算和逻辑推理
3.会求函数 y＝sin(ωx＋φ)和 y＝cos(ωx＋φ)的 核心素养.
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利用公式求 y＝Asinωx＋φ或 y＝Acosωx＋φ的最小正周期时，要注 意 ω 的正负，公式可记为T＝|2ωπ|.
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±10 已知 f(x)＝cosωx－π6的最小正 ±10.]
[由题意可知|2ωπ|＝π5，ω＝
周期为π5，则 ω＝______.
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2．(变结论)本例条件不变，求 f－196π的值． [解] ∵f(x)的最小正周期为 π， ∴f－196π＝f－3π－π6＝f－π6， ∵f(x)是 R 上的偶函数， ∴f－π6＝fπ6＝sin π6＝12. ∴f－196π＝12.
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[解] (1)T＝21π＝6π，∴最小பைடு நூலகம்周期为 6π. 3
(2)T＝|－2π3|＝23π，∴最小正周期为23π. (3)由 y＝sin x 的周期为 2π，可猜想 y＝|sin x|的周期应为 π. 验证：∵|sin(x＋π)|＝|－sin x|＝|sin x|， ∴由周期函数的定义知 y＝|sin x|的最小正周期是 π. (4)T＝|22πa|＝|πa|，∴最小正周期为|πa|.
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1．思考辨析 (1)周期函数都一定有最小正周期．( ) (2)周期函数的周期只有唯一一个．( ) (3)周期函数的周期可以有无数多个．( )
高中数学苏教版必修4第1章《1.2.1 任意角的三角函数》优质课教案省级比赛获奖教案公开课教师面试试讲教案
高中数学苏教版必修4第1章《1.2.1 任意角的三角函数》优质课教案省级比赛获奖教案公开课教师面试试讲教案
【名师授课教案】
1教学目标
1、知识与技能:
理解并掌握任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义;根据任意角的三角函数的定义认识其定义域,能够判断三角函数值的符号.
2、过程与方法:
学生经历从锐角三角函数定义过渡到任意角三角函数定义,体验三角函数概念的形成、发展过程,领悟直角坐标系的工具功能,渗透函数思想和数形结合的思想方法.
3、情感态度价值观:
通过学生积极参与知识的“再创造”过程,从中感悟数学概念的严谨性与科学性.
2学情分析
对于学习任意角三角函数而言,学生的认知困难主要体现在用终边上点的坐标表示三角函数,把锐角三角函数线段比的感性认识上升到坐标化的理性高度,这种由形到数的翻译,从直观到抽象的转变对高一的学生来说比较困难.
3重点难点
1、教学重点
任意角的正弦、余弦、正切函数的定义.
2、教学难点
用角终边上点的坐标定义任意角的三角函数.
4教学过程
4.1第一学时
教学活动
1【导入】一、设置情境引入新课
情景1.感受生活中周期性现象:周二的七天一循环、一岁一枯荣的小草、摩天轮等。
苏教版高中数学教材必修4第1章三角函数
例8 求y＝Asin(ωx＋φ)的周期．(其中 A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0， x∈R)
苏教版高中数学教材必修4 三角函数·平面向量
金陵中学金凤义
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(五)课堂练习 求下列三角函数的周期： (1) y＝sin(x＋3)； (2) y＝cos2x； x (3) y＝3sin(2＋5)．
a b | a || b | cos
规定：零向量与任意向量的数量积为0，即 a 0 0．
（ 1）两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹 角决定；
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2.4向量的数量积
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一、问题情景
一个物体在力F 的作用下产生的位移 s，且F与s的夹角为θ ,那么力F 所做的功应 当怎样计算？ F θ s
θ为钝角时， | b | cosθ＜0
θ为直角时， | b | cosθ=0
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苏教版高中数学教材必修4 三角函数·平面向量
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数学理论
平面向量的数量积的定义 已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为 ，我们把数量 | a || b | cos 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a ·b ，即
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（四）数学应用 例1 课本P26
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(五)课堂练习 求下列三角函数的周期： (1) y＝sin(x＋3)； (2) y＝cos2x； x (3) y＝3sin(2＋5)．
a b | a || b | cos
规定：零向量与任意向量的数量积为0，即 a 0 0．
（ 1）两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹 角决定；
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2.4向量的数量积
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一、问题情景
一个物体在力F 的作用下产生的位移 s，且F与s的夹角为θ ,那么力F 所做的功应 当怎样计算？ F θ s
θ为钝角时， | b | cosθ＜0
θ为直角时， | b | cosθ=0
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数学理论
平面向量的数量积的定义 已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为 ，我们把数量 | a || b | cos 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a ·b ，即
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（四）数学应用 例1 课本P26
高中数学苏教版必修4课件 第一章 三角函数 1.3.1 三角函数的周期性课件2
• 终边落在x轴正半轴的角的集合:
{α|α=2kπ,k∈Z}
• 终边落在x轴负半轴的角的集合: {α|α=（
2k-1）π,k∈Z}
• 终边落在y轴正半轴的角的集合:
{α|α=π/2+2kπ,k∈Z}
• 终边落在y轴负半轴的角的集合:
第九页，编辑于星期一：点 二十七分。
示？ 示？
终边落在x轴上的角的集合如何表
终边落在y轴上的角的集合如何表
终边落在坐标轴的角的集合如何
第十页，编辑于星期一：点 二十七分。
• 终边在x轴上的角的集合为：S1={α|α =n·180°,n∈Z}.
• 终边在y轴上的角的集合为： S2={α|α=n·180°+90°,n∈Z}.
• 终边在坐标轴上的角的集合为； S={α|α=k·90°,k∈Z}.
第十一页，编辑于星期一：点 二十七分。
课堂练习
• • -265°的终边相同角的集合是？ • -384°的 终边相同角的集合是？ • 3900°的终边相同角的集合是？ • 23°终边相同角的集合是？ • 4108°的终边相同的角的集合是？
第十二页，编辑于星期一：点 二十七分。
答案
•
1. -265°+k*360°（k∈z）
第一章 三角函数
§1.3.1 三角函数的周期性
高中数学必修4·同步课件
第一页，编辑于星期一：点 二十七分。
引入课题
• 讨论: 与30°终边相同的角还有哪些？都 可以用什么代数式表示？
• 探究：终边相同的角都可以表示成一个0°
到360°的角与K（k∈z）个周角的和
• 390°＝30°+360°（k=1）
（） • A．60°与-300° B．230°与950° • C．1050°与-300° D．-1000°与80°
高中数学苏教版必修4课件第一章 三角函数 1.3.3.2精选ppt课件
由图象关于 M34π，0对称可知， sin34πω＋π2＝0，则34πω＋π2＝kπ，k∈Z， 解得 ω＝43k－23，k∈Z. 又 f(x)在0，2π上是单调函数， ∴T≥π，即2ωπ≥π，∴ω≤2，又 ω＞0， ∴当 k＝1 时，ω＝23；当 k＝2 时，ω＝2.
【提示】 均相差半个周期．
已知函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,0≤φ≤π)是 R 上的偶函数，其图象 关于点 M34π，0对称，且在区间0，π2上是单调函数，求 φ 和 ω 的值．
【精彩点拨】 由 f(x)为偶函数求 φ，由对称中心及单调性求 ω. 【自主解答】 ∵f(x)在 R 上是偶函数， ∴当 x＝0 时，f(x)取得最大值或最小值． 即 sin φ＝±1，得 φ＝kπ＋2π，k∈Z， 又 0≤φ≤π，∴φ＝π2.
1.3 三角函数的图象和性质
1.3.3 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象
学 业
分
第 2 课时
函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质
层 测
评
1．能由三角函数的图象求出解析式．(重点，易错点) 2．掌握 y＝Asin(ωx＋φ)的图象和性质．(重点)
[基础·初探] 教材整理 y＝Asin(ωx＋φ)的性质 阅读教材 P37～P38 的有关内容，完成下列问题． 函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质如下：
且 2×71π2＋φ＝kπ＋π(k∈Z)，φ＝kπ－6π(k∈Z)． 又|φ|＜2π，∴φ＝－π6. 【答案】 2 －π6
3．已知 ω＞0,0＜φ＜π，直线 x＝4π和 x＝54π是函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)图象的两 条相邻的对称轴，则 φ＝________. 【导学号：06460034】
【答案】 ②③
苏教版高中数学必修4：第1章 三角函数 复习课件
(4)使用诱导公式时一定要注意三角函数值在各象限的 符号，特别是在具体题目中出现类似 kπ±α 的形式时，需要 对 k 的取值进行分类讨论，从而确定出三角函数值的正负．
(5)必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知 值，见值知角”．
3．方程思想的渗透 对于 sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α 这三个式子， 已知其中一个式子的值，其余二式的值可以求出． (sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α； (sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α； (sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2.
已知 sin α＋cos α＝13，α∈(0，π)，求 tan α 的值．
【思路点拨】 要求 tan α 的值，只需求得 sin α，cos α 的值．而由已知条件 sin α＋cos α＝13，α∈(0，π)，再利用 sin2α ＋cos2α＝1，求得 2sin αcos α 的值，进而求得 sin α－cos α 的值．
函数 y＝2a＋bsin x 的最大值是 3，最小值是 1，求函数 y＝－4asin b2x的最大值和最小值，以及相应的 x 的值．
【解】 当 b＝0 时，y＝2a，此时 ymax＝ymin，与题意不 符，故 b≠0.
若 b＞0，由题意得22aa＋－bb＝＝31，， 解得ab＝ ＝11， ， 此时 y＝－4asin b2x＝－4sin x2， 当 x＝4kπ－π(k∈Z)时，y 有最大值 4； 当 x＝4kπ＋π(k∈Z)时，y 有最小值－4.
【规范解答】 (1)由图象知 A＝－12－2－32＝12，k＝ －12＋2－32＝－1，T＝2×(23π－π6)＝π，
∴ω＝2Tπ＝2，∴y＝12sin(2x＋φ)－1. 当 x＝π6时，2×π6＋φ＝π2，∴φ＝π6， ∴所求函数的解析式为 y＝12sin(2x＋π6)－1.