信号与系统§5.1 引言
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信号与系统-第五章概要
1
(a)
2
1 4
f (k)
y(k 2)
D
y(k 1)
D
y(k)
1
(b)
2
1 4
(a) y(k) f (k) 1 y(k 1) 1 y(k 2)
2
4
y(k) 1 y(k 1) 1 y(k 2) f (k)
2
4
为二阶差分方程 (后向差分 )
(b) y(k 2) f (k) 1 y(k 1) 1 y(k)
N=5
N=6
(5) 复指数序列
f (k) e jk cos k j sin k
同正弦序列一样，若复指数序列是一个周期序列，则 2
应为整数或有理数，否则不是周期序列。
二. 序列的基本运算与波形变换 (1) 相加
f (k) f1(k) f2 (k)
f1 (k )
1
-3 -2 -1 0 1 2 3 k
或：y(k 1) (1－T ) y(k) Tf (k)
y(k 1) (1－T ) y(k ) Tf (k )
利用计算机来求解 微分方程就是根据 这一原理来实现的
y(0) (1T ) y(1) Tf (1) y(1) (1T ) y(0) Tf (0) y(2) (1T ) y(1) Tf (1)
一个周期的正弦信号，经抽样后得到的正弦序列是否
也是周期信号呢？ 周期序列的定义：
f (k N) f (k) N为序列的周期，只能为整数。
Asin[(k N ) ] Asin[k N ]
在什么情况下等于 Asin[k＋]? N 2 即N 2 / ，对于周期序列 N必须为整数
■ 当正弦序列的2 / 为整数时，该序列为周期序列，周期为N。
信号与系统讲义第五章1引言及无失真传输条件
无失真：时域波形传输不变
e(t )
e(t)
线性网络
t
H ( j)
R( j) KE( j)e jt0 R( j) E( j)H ( j)
r (t )
t t0
r(t) K e(t t0 )
H ( j) R( j) Ke jt0 E( j)
频域无失真条件： H ( j) Ke jt0
H( j) K () t0
r(t) e(t)*h(t)
R( j) E( j)H( j) H ( j) LT[h(t)] H ( j) R( j)
E( j)
对稳定系统
H (s)
H ( j) H (s) s j
系统函数还可以通过对微分方程取傅氏变换而得到
求矩形脉冲通过低通滤波器的响应
v1 (t )
E
t
0
输入信号波形
R
傅里叶变换在现代通信系统中的应用非常多，典 型的应用就是——滤波、调制与解调、抽样
频域系统函数——系统的频率响应函数H(jw)
稳定系统：s域系统函数→频域系统函数
频域系统函数H(jw)描述了系统对信号的各频率
成份的加权
傅氏变换将信号分解为无穷多项ejwt信号的叠加
S域系统函数H(s)描述系统对复指数信号est的加
5.3 无失真传输
信号通过系统传输，由于系统对信号中各频率分 量幅度产生不同程度的衰减，使得响应中各频率 分量的相对幅度产生变化，引起幅度失真。
同样地，由于系统对输入信号各频率分量产生的 相移，信号也会出现失真，称为相位失真
频域由相于移系→统时对域信延号时各频率分量产生的相移不与频
输 输
入 出率成yx正((t相t))比对，ss位iinn使((置响11t产t )应生的s1变)in各(化s频i2，nt率()而分2t引量起在2的) 时失间真轴上的
信号与系统郑君里版第五章
系统的H（jw）为低通滤波器，不允许高频分 量通过，输出电压不能迅速变化，于是不再表现为 举行脉冲，而是以指数规律逐渐上升和下降。
二、无失真传输 1、信号失真
(1）幅度失真. 系统对信号中各频率分量幅度产生不同程度的衰减, 使响应各频率分量的相对幅度产生变化, 即引入幅度失真.
(2）相位失真. 系统对信号中各频率分量产生相移不与频率成正比, 使响应各频率分量在时间轴上的相对相对位置产生变化, 即引入相位失真.
求响应
V2 (
j)
gE jw jw
(1
e
jw
)
E(
1 jw
1
)(1 jw
e
jw
)
E 1 (1 e jw ) E (1 e jw )
jw
jw
又Q E (1 e j ) F1 E u(t) u(t )
j
E F1 Eetu(t)
j
u2 (t) Eu(t) u(t ) E etu(t) e(t )u(t )
φ(t)=Kpm(t) 其中Kp是常数。于是，调相信号可表示为
sPM(t)=Acos［ωct+Kpm(t)］
(2)频率调制，是指瞬时频率偏移随调制信号m(t)而
线性变化，即
d(t)
dt
k
f
t
m( )d
其中Kf是一个常数
相位偏移为： 可得调频信号为：
FM和PM非常相似， 如果预先不知道调制信号 m(t)的具体形式，则无法判断已调信号是调相信号 还是调频信号。
如果将调制信号先微分，而后进行调频，则得到的是调相波， 这种方式叫间接调相；
如果将调制信号先积分，而后进行调相， 则得到的是调频 波，这种方式叫间接调频。
二、无失真传输 1、信号失真
(1）幅度失真. 系统对信号中各频率分量幅度产生不同程度的衰减, 使响应各频率分量的相对幅度产生变化, 即引入幅度失真.
(2）相位失真. 系统对信号中各频率分量产生相移不与频率成正比, 使响应各频率分量在时间轴上的相对相对位置产生变化, 即引入相位失真.
求响应
V2 (
j)
gE jw jw
(1
e
jw
)
E(
1 jw
1
)(1 jw
e
jw
)
E 1 (1 e jw ) E (1 e jw )
jw
jw
又Q E (1 e j ) F1 E u(t) u(t )
j
E F1 Eetu(t)
j
u2 (t) Eu(t) u(t ) E etu(t) e(t )u(t )
φ(t)=Kpm(t) 其中Kp是常数。于是，调相信号可表示为
sPM(t)=Acos［ωct+Kpm(t)］
(2)频率调制，是指瞬时频率偏移随调制信号m(t)而
线性变化，即
d(t)
dt
k
f
t
m( )d
其中Kf是一个常数
相位偏移为： 可得调频信号为：
FM和PM非常相似， 如果预先不知道调制信号 m(t)的具体形式，则无法判断已调信号是调相信号 还是调频信号。
如果将调制信号先微分，而后进行调频，则得到的是调相波， 这种方式叫间接调相；
如果将调制信号先积分，而后进行调相， 则得到的是调频 波，这种方式叫间接调频。
信号与系统ppt课件
X5
信号与系统
§4.2 系统频率响应 ➢ §4.3 无失真系统 ➢ §4.4 理想低通滤波器 ➢ §4.5 系统的因果性 ➢ §4.6 相关函数 ➢ §4.7 激励与响应的谱关系 ➢ §4.8 实用性抽样系统分析模型 ➢ §4.9 幅度调制与解调
——系统函数 ➢ §5.8 连续时间系统的结构框图 ➢ §5.9 s域零极点分布与时域特性的关系 ➢ §5.10 s域系统稳定性判断 ➢ §5.11复频域与频域相结合的系统特性分析
X7
信号与系统
第六章 离散时间系统的时域分析
➢ §6.1 引言 ➢ §6.2 离散时间序列 ➢ §6.3 离散时间系统 ➢ §6.4 常系数线性差分方程的求解 ➢ §6.5 零输入响应与零状态响应 ➢ §6.6 系统单位样值响应 ➢ §6.7 卷积和
X8
信号与系统
第七章 离散时间信号与系统变换域分析
➢ §7.1 引言 ➢ §7.2 Z变换 ➢ §7.3 Z变换的性质 ➢ §7.4 逆Z变换 ➢ §7.5 利用Z变换求解离散系统离散时间系统响应 ➢ §7.6 单位样值响应Z变换 ➢ §7.7 离散时间系统的因果性及稳定性 ➢ §7.8 序列的傅里叶变换 ➢ §7.9 离散时间系统的频率响应 ➢ §7.10 利用离散系统离散时间系统实现对模拟信号的滤波
信号与系统
X2
第一章 信号与系统概论
➢ §1.1 引言 ➢ §1.2 信号的描述和分类 ➢ §1.3 信号的运算 ➢ §1.4 基本信号 ➢ §1.5 系统的描述 ➢ §1.6 系统的特性与分类
信号与系统
X3
信号与系统
第二章 连续时间系统的时域分析
➢ §2.1 引言 ➢ §2.2 常系数线性微分方程 ➢ §2.3 零输入响应与零状态响应 ➢ §2.4 单位冲激响应 ➢ §2.5 信号的时间轴分解 ➢ §2.6 卷积及其性质和计算 ➢ §2.7 基于单位冲激响应的系统特性分析
信号与系统
§4.2 系统频率响应 ➢ §4.3 无失真系统 ➢ §4.4 理想低通滤波器 ➢ §4.5 系统的因果性 ➢ §4.6 相关函数 ➢ §4.7 激励与响应的谱关系 ➢ §4.8 实用性抽样系统分析模型 ➢ §4.9 幅度调制与解调
——系统函数 ➢ §5.8 连续时间系统的结构框图 ➢ §5.9 s域零极点分布与时域特性的关系 ➢ §5.10 s域系统稳定性判断 ➢ §5.11复频域与频域相结合的系统特性分析
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信号与系统
第六章 离散时间系统的时域分析
➢ §6.1 引言 ➢ §6.2 离散时间序列 ➢ §6.3 离散时间系统 ➢ §6.4 常系数线性差分方程的求解 ➢ §6.5 零输入响应与零状态响应 ➢ §6.6 系统单位样值响应 ➢ §6.7 卷积和
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第七章 离散时间信号与系统变换域分析
➢ §7.1 引言 ➢ §7.2 Z变换 ➢ §7.3 Z变换的性质 ➢ §7.4 逆Z变换 ➢ §7.5 利用Z变换求解离散系统离散时间系统响应 ➢ §7.6 单位样值响应Z变换 ➢ §7.7 离散时间系统的因果性及稳定性 ➢ §7.8 序列的傅里叶变换 ➢ §7.9 离散时间系统的频率响应 ➢ §7.10 利用离散系统离散时间系统实现对模拟信号的滤波
信号与系统
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第一章 信号与系统概论
➢ §1.1 引言 ➢ §1.2 信号的描述和分类 ➢ §1.3 信号的运算 ➢ §1.4 基本信号 ➢ §1.5 系统的描述 ➢ §1.6 系统的特性与分类
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信号与系统
第二章 连续时间系统的时域分析
➢ §2.1 引言 ➢ §2.2 常系数线性微分方程 ➢ §2.3 零输入响应与零状态响应 ➢ §2.4 单位冲激响应 ➢ §2.5 信号的时间轴分解 ➢ §2.6 卷积及其性质和计算 ➢ §2.7 基于单位冲激响应的系统特性分析
信号与系统-连续系统的复频域分析
连续系统的复频域分析
内容提要
l 拉普拉斯变换 l 系统的拉氏变换分析法
– 零输入响应 – 零状态响应
l 系统稳定条件
§5.1 拉普拉斯变换
一 拉普拉斯变换的定义及收敛域 ①定义 双边拉普拉斯变换对
∞ F (s) = ∫ f ( t ) e st d t −∞ σ + j∞ 1 st F ( s ) e ds f (t ) = ∫ − ∞ σ j 2π j
− st
。
③时移和尺度变换都有时：
1 s f (at − b) ⇔ F ( )e a a
b −s a
④f(t)时间微分，积分函数的拉普拉斯变换不 仅与 F(s)有关，还与 t-0 点函数值 f(0)，函数的 微分值 f (0) 或 函数的积分值 f
n (−n)
(0) 有关。这
一点需要与傅立叶变焕相区分(这里的 n 取整数)
at
才收敛，所以收敛坐标为 σ 0 = a 。 ④右边信号的收敛域在收敛轴以右的 s 平面,既
σ >a
⑤左边信号的收敛域在收敛轴以左的 s 平面， 既σ < β ⑥双边信号的收敛域为 s 平面的带状区域，即
α <σ < β
另外， 对所有拉普拉斯变换来 说，ROC 内部不包括任何极点； 如果信号的收敛域包括虚轴， 则 这个信号的傅立叶变换和拉普 拉斯变换都存在。
⑤初值定理和终值定理应用的条件 关于初值定理，要注意所求的初值是 f(t)在 t=0+时刻的值,而不是 f(t)在 t=0-和 t=0 时刻的值,无论拉氏变换 F(s) 是采用 0-系统的结果还是采用 0-系统 的结果,所求的初值总是 f(0+).
另外，用初值定理 f (0+ ) = lim sF ( s ) 求函数
内容提要
l 拉普拉斯变换 l 系统的拉氏变换分析法
– 零输入响应 – 零状态响应
l 系统稳定条件
§5.1 拉普拉斯变换
一 拉普拉斯变换的定义及收敛域 ①定义 双边拉普拉斯变换对
∞ F (s) = ∫ f ( t ) e st d t −∞ σ + j∞ 1 st F ( s ) e ds f (t ) = ∫ − ∞ σ j 2π j
− st
。
③时移和尺度变换都有时：
1 s f (at − b) ⇔ F ( )e a a
b −s a
④f(t)时间微分，积分函数的拉普拉斯变换不 仅与 F(s)有关，还与 t-0 点函数值 f(0)，函数的 微分值 f (0) 或 函数的积分值 f
n (−n)
(0) 有关。这
一点需要与傅立叶变焕相区分(这里的 n 取整数)
at
才收敛，所以收敛坐标为 σ 0 = a 。 ④右边信号的收敛域在收敛轴以右的 s 平面,既
σ >a
⑤左边信号的收敛域在收敛轴以左的 s 平面， 既σ < β ⑥双边信号的收敛域为 s 平面的带状区域，即
α <σ < β
另外， 对所有拉普拉斯变换来 说，ROC 内部不包括任何极点； 如果信号的收敛域包括虚轴， 则 这个信号的傅立叶变换和拉普 拉斯变换都存在。
⑤初值定理和终值定理应用的条件 关于初值定理，要注意所求的初值是 f(t)在 t=0+时刻的值,而不是 f(t)在 t=0-和 t=0 时刻的值,无论拉氏变换 F(s) 是采用 0-系统的结果还是采用 0-系统 的结果,所求的初值总是 f(0+).
另外，用初值定理 f (0+ ) = lim sF ( s ) 求函数
信号系统-附录A 离散时间信号与系统的基本知识
图A7 系统输入输出的时域关系
同样，卷积和也满足交换律、分配 律和结合律。
其计算步骤也与卷积分十分类似， 可分为如下5步。
（1）将参与卷积的两个序列的变量由n改 写为k，得到x(k)和h(k)。
（2）任选其中一个序列关于k=0进行折叠 反转，得到逆时间序列，例如h(−k)。
（3）将h(−k)右移n位（n现在是参数，不 是自变量）得h(n−k)。
系统频率特性概念也完全类似于连 续时间域，用于表征单频复正弦序列通 过系统时系统对其所产生的作用。
对于x(n) ejn (∞ n ∞) ，系统 h(n)的输出为
y(n) x(n) * h(n)
∞
h(k )e j(nk)
k ∞
∞
ejn
h(k)e jk
k ∞
（A29） (∞ n ∞)
（4）对所有k值求出乘积 x(k)h(n k)并求
和，得到相应n值时的输出序列值y(n)。
（5）对所有可能的n值重复上述过程（如
涉及 n 0 的情况，将h(−k)左移n位），
得到全部的序列值y(n)。
A2.5 差分方程表示的LSI系统
在不少情况下，LSI系统输出的卷积 和形式可以得到进一步的改进，如对于因
在S域中，esT代表了一个延迟时间等 于T的延迟器，而T是信号采样时的采样 间隔，也即各个样本之间的间隔，因此
z1 应该是单位延迟器在Z域中的表示。
事实上，对序列 x(n 1) 来说，其
Z变换为
∞
∞
L x(n 1) x(n 1)zn z1 x(k)zk z1X (z)（A35）
n∞
k ∞
4．单边实指数序列
x(n) an (n) (0 a 1) (n 0, 1, 2, )（A9）
第五章-拉普拉斯变换-前5节
第五章：拉普拉斯变换§5.1 定义、存在性（《信号与系统》第二版（郑君里）4.2）问题的提出：信号()f t 的傅里叶变换存在要求：()[]1L ,f t ∈-∞+∞，但有些信号不绝对可积，例如()1sgn L t ∉。
当时的处理方法是乘以双边指数函数，把符号函数“拉”下来，使相乘以后的信号绝对可积。
(){}(){}||0sgn lim sgn 0t t e t σσσ-→=>F F ，。
因此，便考虑将t e σ-纳入积分核，使非绝对可积信号可以做频谱分析。
为使问题简化，仅考虑t > 0的情形，即因果信号、单边变换。
对因果信号()()()f t f t u t =，(){}()()()j -j 00d d t tttef t f t eet f t e t σωσσω+∞+∞-+--⎡⎤==⎣⎦⎰⎰F()(){}0d stf t e t f t +∞-==⎰L（5-1）定义信号()f t 的（单边）拉普拉斯变换为：()(){}()0d j st F s f t f te t s σω+∞-=+⎰@@，L（5-2）()()()j j 01d d 2t t t f tef t e t e σωσωωπ+∞+∞-+--∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 令j s σω=+，σ为常数，d jd s ω=()()()j j j 1d 2jt f t F s e s σσωσπ+∞+-∞=⎰()(){}()j 1j 1d 2j st f t F s F se s σσπ+∞--∞⎰@@L（5-3）（4-2）式和（4-3）式是一对拉普拉斯变换式，()f t 称为原函数，()F s 称为像函数。
定义（指数阶函数）：指()f t 分段连续（存在有限个第一类间断点），且00M T ∃>>，，使()0t f t Me σ≤，对t T ∀>。
注：()()0O t f t e σ=。
()F s 存在：()F s <∞。
§5.1.系统函数H(jw)
H ( ) Ke jt0
即 H ( j ) K , ( ) t 0 K和t 0均为实常数
X
•低频部分变化不大 显示了网络的低通特性。
V1
E
o
V2
o
X
5．求v2(t)
v 2 t F 1 V2 为了便于求反变换 V2 对进行变形 j E V2 ( ) sin e 2 j 2 2 j j 2 2 j 2E e e e 2 j 2j E 1 e j j j 1 1 j E 1 e j j
E ut ut Ee t ut Ee t ut E 1 e ut E 1 e
t t
ut
v 1( t )
v 2(t )
E
0
E
t
0
t
X
二．正弦信号激励下的响应
X
结论
v1 ( t ) 是单一频率的信号， v 2 (t )是与v1 (t ) 同频率的信号， V2 ( )的幅度由 H ( 0 )加权，相 与 v1 (t ) sin 0 t 相比， H ( ) 代表了系统对信号的处理效果。 移 ( 0 ) 。
傅氏分析从频谱改变的观点说明激励与响应波形的差 异，系统对信号的加权作用改变了信号的频谱，即改 变了信号特征。
X
总结
系统可以看作是一个信号处处理器：
H 是一个加权函数， 对信号各频率分量进行 加权。
，
信号的幅度由 H ( ) 加权， 信号的相位由 修正。
对于不同的频率 ，有不同的加权作用，这也是信 号分解，求响应再叠加的过程。
即 H ( j ) K , ( ) t 0 K和t 0均为实常数
X
•低频部分变化不大 显示了网络的低通特性。
V1
E
o
V2
o
X
5．求v2(t)
v 2 t F 1 V2 为了便于求反变换 V2 对进行变形 j E V2 ( ) sin e 2 j 2 2 j j 2 2 j 2E e e e 2 j 2j E 1 e j j j 1 1 j E 1 e j j
E ut ut Ee t ut Ee t ut E 1 e ut E 1 e
t t
ut
v 1( t )
v 2(t )
E
0
E
t
0
t
X
二．正弦信号激励下的响应
X
结论
v1 ( t ) 是单一频率的信号， v 2 (t )是与v1 (t ) 同频率的信号， V2 ( )的幅度由 H ( 0 )加权，相 与 v1 (t ) sin 0 t 相比， H ( ) 代表了系统对信号的处理效果。 移 ( 0 ) 。
傅氏分析从频谱改变的观点说明激励与响应波形的差 异，系统对信号的加权作用改变了信号的频谱，即改 变了信号特征。
X
总结
系统可以看作是一个信号处处理器：
H 是一个加权函数， 对信号各频率分量进行 加权。
，
信号的幅度由 H ( ) 加权， 信号的相位由 修正。
对于不同的频率 ，有不同的加权作用，这也是信 号分解，求响应再叠加的过程。
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混合系统
混合系统： 连续时间系统与离散时间系统联合应用。如自控 系统、数字通信系统。 需要A/D、D/A转换。
不能认为数字技术将取代一切连续时间系统的应用 •人类在自然界中遇到的待处理信号相当多的是连 续时间信号，需经A/D、D/A转换。 •当频率较高时，直接采用数字集成器件尚有一些 困难，有时，用连续时间系统处理或许比较简便。 •最佳地协调模拟与数字部件已成为系统设计师的 首要职责。
离散时间信号、离散时间系统
离散时间信号： 时间变量是离散的， 函数只在某些规定的时刻 有确定的值，在其他时间 没有定义。
f t k
t 2 t 1 o
t1 t 2 t 3
tk
离散信号可以由模拟信号抽样而得，也可以由实际系 统生成。 离散时间系统： 系统的输入、输出都是离散的时间信号。如数字 计算机。
本章内容
•离散时间信号及其描述、运算； •离散时间系统的数学模型——差分方程； •线性差分方程的时域解法； •离散时间系统的单位样值响应； •离散卷积。
学习方法
注意离散系统与连续系统分析方法上的联系、 区别、对比，与连续系统有并行的相似性。和前几 章对照，温故而知新。
§5.1 引言
四川文理学院 物理与工程技术系 2009.9
连续时间信号、连续时间系统
连续时间信号： f(t)是连续变化的t的函数，除若干不连续点之外对 于任意时间值都可以给出确定的函数值。函数的波形都 是具有平滑曲线的形状，一般也称模拟信号。 模拟信号 抽样信号 量化信号 连续时间系统： 系统的输入、输出都是连续的时间信号。
量化
f t 4.2 3.1 1.5
f q t
3
采样过程就是对模拟信号的时间取离 散的量化值过程——得到离散信号。
0.9 2T 3T
o
T
4
t
幅值量化——幅值只能分级变化。
2
1
T
2T
3T
t
数字信号：离散信号在各离散点的幅值被量化的信号。
离散时间系统的优点
•便于实现大规模集成，从而在重量和体积方面显示其 优越性； •容易作到精度高，模拟元件精度低，而数字系统的精 度取决于位数； •可靠性好； •存储器的合理运用使系统具有灵活的功能； •易消除噪声干扰； •数字系统容易利用可编程技术，借助于软件控制，大 大改善了系统的灵活性和通用性； •易处理速率很低的信号。
离散时间系统的困难和缺点
高速时实现困难，设备复杂，成本高，通信系统由 模拟转化为数字要牺牲带宽。
应用前景
由于数字系统的优点，使许多模拟系统逐步被淘汰， 被数字（更多是模／数混合）系统所代替； 人们提出了“数字地球”、“数字化世界”、“数 字化生存”等概念，数字化技术逐步渗透到人类工作与 生活的每个角落。数字信号处理技术正在使人类生产和 生活质量提高到前所未有的新境界。
系统分析
连续时间系统——微分方程描述
经典法：齐次解 特解 时域分析 零输入响应 零状态响应 变换域分析 : 拉氏变换法\（傅里叶变换法）
离散时间系统——差分方程描述 差分方程的解法与微分方程类似
经典法：齐次解 特解 时域分析 零输入响应 零状态响应 变换域分析: z变换法