方法技巧训练三 几何中与角平分线有关的计算或证明
几何形的角平分线认识角平分线的性质与应用
几何形的角平分线认识角平分线的性质与应用几何形的角平分线几何学中，角平分线是指将一个角分成两个相等角的线段。
本文将探讨角平分线的性质和应用。
一、角平分线的定义定义：角AOB的一条射线OC被称为角AOB的一条平分线，当且仅当OC把角AOB分成两个相等的角。
二、角平分线的性质1. 角平分线的两个性质（1）在一定平面内，如果一条线段OC是一角AOB的平分线，那么它必定只有一条。
（2）如果在一条角的内部取一点C，那么OC是AB的平分线，当且仅当∠AOC=∠BOC。
2. 角平分线定理角平分线定理是指：一个点在角的平分线上，当且仅当它到两条角的边距离相等。
（1）a在OC上，则AO=BO；（2）d在OE上，则OD=OE。
3. 角平分线的应用（1）内角平分线的应用在三角形ABC中，D为边BC上一点，AD是∠BAC的平分线，AE是∠CAD的平分线，如图所示。
[图]根据角平分线定理:AD是∠BAC的平分线，则AB/AC=BD/CD；AE是∠CAD的平分线，则AC/AB=CE/BE。
故有 BD/CD=CE/BE，两边同乘BC，可得 BD·BC=CE·BC，即BD·DC=CE·BE，这就是角平分线定理的应用。
（2）角平分线定理的推论在三角形ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE ⊥ AB，DF ⊥AC，则BD/CD=BF/CE。
因为三角形ADE与三角形BDF和三角形CDE都相似，所以BD/CD=BF/CE。
（3）外角平分线的应用在三角形ABC中，D和E分别为BC和AC的延长线上的点，AF是∠A的外角平分线，如图所示。
[图]连接DE并延长到与AF相交于点G，根据梅涅劳斯定理可得：BD/CD·AE/CE·AF/BF=1又根据角平分线定理可得：BD/CD=AB/ACAE/CE=AB/BCAF/BF=AB/BC带入可得：AB/AC·AB/BC·AB/BC=1，整理可得： AB²=AC·BC，这就是外角平分线应用的定理。
三角形的高 中线与角平分线
供货商的品牌或价格特色；
供地货位商 ；的 供战货略商中之本间企的业关的系；供应商
从供货商之间转移的成本
竞争者
新进 入者
客户
本企业的部件或原材 料产品占买方成本的 比例；各买方之间是 否有联合的危险；本 企业与买方是否具有 战略合作关系
进入本行业有哪些壁垒它们阻碍 新进入者的作用有多大本企业怎 样确定自己的地位 自己进入或 者阻止对手进入
构造SWOT矩阵
在构造SWOT过程中,将那些对公司发展有直接的、重要的、大量的、迫切的、 久远的影响因素优先排列出来,而将那些间接的、次要的、少许的、不急的、短 暂的影响因素排列在后面。
案例：1997年香港邮政对特快专递业务单元做的SWOT分析
•特快专递服务推出较早
•特快专递过去的形象不太
需要注意的是一定要从消费者的 角度出发,寻找与竞争者或行业 平均水平比较,公司的产品与服 务有什么优势/劣势；而不是从 公司的角度出发,衡量企业的竞 争优势。
根据SW分析,公司建立并维持自身的竞争优势
通过一定努力, 建立自身竞争 优势
竞争优势受到 削弱,寻找新的 策略增强自身 竞争优势
引起竞争者 注意,开始 作出反应
线.
D C ∴AD⊥BC
∠ADB=∠ADC=90°.
A ∵ AD是△ABC的BC上
的中线.
D C ∴ BD=CD= ½BC.
A ∵.AD是△ABC的∠BAC
2 1 的平分线
D C ∴ ∠1=∠2= ½ ∠BAC
1.课本习题第3题 2.跟踪第8题 3.完成随堂练习的题目
课后反思：
本节课学习气氛活跃,同学们踊跃动手做图, 效果很好,但是针对有关训练题还有待提高。
∵AD是 △ ABC的角平分线
八年级数学上册 第十二章 全等三角形 专题训练(五)作辅助线构造三角形全等的常见技巧课件
(2)过点 A 作 AD⊥x 轴，垂足为 D，过点 C 作 CE⊥AD，垂足为 E.同(1) 可证△ACE≌△BAD，∴AE＝BD，CE＝AD.∵A(1，3)，B(－1，0)，∴BD ＝2，AD＝3.∴CE＝3，DE＝AD－AE＝1，∴C(4，1)
(3)过点 A 作 AD⊥x 轴，AE⊥ y 轴，垂足分别为 D， E.同(1)可证 △BAD≌△CAE，∴CE＝BD，AE＝AD.∵B(－4，0)，C(0，－1)，∴OB＝4， OC＝1，∴AE＝OB－BD＝OB－CE＝OB－(OC＋OE)＝3－AE，∴AE＝32 ， ∴A(－32 ，32 )
∠CFP＝∠DEP， 在△CFP 和△DEP 中，PF＝PE，
∠1＝∠2，
∴△CFP≌△DEP(ASA)，∴PC＝PD
第四页，共二十二页。
2．如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD＝CD，若BD平分(píngfēn)∠ABC，求证：∠A ＋∠C＝180°.
第五页，共二十二页。
证明：过点 D 作 DE⊥BC 于点 E，过点 D 作 DF⊥AB 交 BA 的延长线于 点 F，
(2)∵AB－BE<AE<AB＋BE，∴AB－AC<2AD<AB＋AC，又AB＝5，AC＝3， ∴2<2AD<8.∴1<AD<4
第十五页，共二十二页。
方法2：倍延过中点的线段 8．如图，在△ABC中，D是BC边上(biān shànɡ)的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF 交AC于点F，连接EF. 求证：BE＋CF＞EF.
(一)结合“ 过角平分线上一点作角两边的垂线”模型(móxíng)构造全等三角形 1．如图，已知∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，将三角尺的直角顶点P在射线 OM上滑动，两直角边分别与OA，OB交于点C，D.求证：PC＝PD.
八年级数学上册《角平分线的性质和判定定理》教案、教学设计
-如果一个角的平分线同时也是这个角的垂直平分线，那么这个角有什么特殊的性质？请给出证明；
-如果一个角的平分线同时也是另一个角的平分线，那么这两个角之间有什么关系？请给出证明。
4.实践活动：
-与同学合作，设计一个关于角平分线的数学小报，内容包括定义、性质、判定定理以及生活中的应用等；
-利用所学知识，尝试解决实际生活中的问题，如测量角度、划分土地等，并撰写解题报告。
2.学生在运用角平分线判定定理解决问题时的逻辑思维能力和解题技巧；
3.学生在合作交流、动手操作等方面的学习习惯和团队协作能力。
针对学情，教师应采取以下策略：
1.设计富有启发性的问题，引导学生主动探究角平分线的性质；
2.创设生活情境，让学生在实际问题中体会角平分线判定定理的应用；
3.注重个体差异，给予学生个性化的指导，提高学生的自主学习能力；
4.加强课堂讨论与交流，培养学生的团队合作意识和解决问题的能力。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.重点：角平分线的性质及其应用，角平分线的判定定理。
2.难点：理解并灵活运用角平分线的性质和判定定理解决实际问题。
（二）教学设想
1.创设情境，激发兴趣：
-通过引入生活中的实例，如折纸、剪纸等，让学生感受角平分线的存在和应用，激发学生的学习兴趣；
作业要求：
1.请同学们认真完成作业，书写规范，保持卷面整洁；
2.作业完成后，进行自查，确保解题过程和答案正确；
3.遇到问题时，与同学讨论，或向老师请教，及时解决疑问；
4.作业提交时间：课后第二天。
二、学情分析
八年级学生在前期的数学学习中，已经掌握了角的初步知识，如角的分类、角的度量等。在此基础上，学生对角平分线的性质和判定定理的学习具备了一定的基础。然而，由于学生的认知水平和思维能力存在差异，部分学生可能在理解角平分线的性质和判定定理方面存在困难。
角平分线三个定理-概述说明以及解释
角平分线三个定理-概述说明以及解释1.引言1.1 概述角平分线三个定理是解决与角度相关的几何问题时，非常重要且常用的定理。
它们分别应用于角的平分线问题，帮助我们更深入地理解角的性质与构造。
这三个定理不仅在数学学科中有广泛的应用，而且在实际生活中也具有重要的意义。
在解释这三个定理之前，我们先回顾一下角的基本概念。
在几何学中，角是由两条线段或射线共享一个公共端点而形成的图形。
以公共端点为中心，可以将角分为两个部分，分别称为角的两个腿。
角的大小通常用度或弧度来表示，这取决于所用的单位。
第一个定理是角的平分线定理，它指出：如果一条直线将一个角平分成两个相等的角，那么这条直线称为这个角的平分线。
换句话说，平分线将角分为两个相等的部分。
这个定理有广泛的应用，例如在三角形中，利用角平分线定理可以证明角的大小相等，从而推导出三角形的一些特殊性质。
第二个定理是外角平分线定理，它指出：如果一条直线通过一个三角形的外角的顶点，并将外角的两个邻角平分成两个相等的角，那么这条直线称为该三角形的外角平分线。
这个定理在解决外角问题时非常有用，它保证了外角平分线的存在性，并简化了我们分析与推导相关问题的步骤。
第三个定理是内角平分线定理，它指出：如果一条直线通过一个三角形的内角的顶点，并将内角的两个邻角平分成两个相等的角，那么这条直线称为该三角形的内角平分线。
这个定理与外角平分线定理类似，但是涉及的是三角形的内角。
利用内角平分线定理，我们可以简化三角形内角相关问题的分析过程。
角平分线三个定理在几何学中占据着重要的地位，是研究角度关系和解决几何问题的基础。
它们不仅具有理论意义，还具有广泛的应用价值。
通过深入理解和熟练运用这三个定理，我们能够提高问题解决的效率，并在实际生活中更好地应用几何知识。
1.2文章结构文章结构：本文主要介绍了角平分线的三个定理，分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分首先概述了角平分线的意义和应用，以及本文的目的。
专题03 解题技巧专题：判定三角形全等的基本思路(解析版)
专题03解题技巧专题：判定三角形全等的基本思路类型一已知两边对应相等解题思路类型二已知两角对应相等解题思路类型三已知一边一角对应相等解题思路类型一已知两边对应相等基本解题思路：已知两边对应相等：①找夹角对应相等（SAS）；②找第三边对应相等（SSS）.例题：（2022·江苏宿迁·七年级期末）如图，AB AE=，AC DE=，AB DE∥．(1)求证：AD BC=；(2)若70DAB∠=︒，AE平分DAB∠，求B的度数．【答案】(1)见解析(2)35°【解析】【分析】（1）根据AB DE∥，可得DEA CAB∠=∠，进而证明DEA CAB≌，即可得证；（2）根据角平分线的定义可得35DAE CAB∠=∠=︒，根据（1）的结论可得B DAE∠=∠，即可求解．(1)证明：AB DE∥，∴DEA CAB∠=∠，在DEA△与CAB△中，AB AECAB DEAAC DE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴DEA CAB≌()SAS，∴AD BC=；(2)解：70DAB∠=︒，AE平分DAB∠，35DAE CAB∴∠=∠=︒DEA CAB≌，35B DAE∴∠=∠=︒【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，角平分线的意义，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．【变式训练】1．（2021·新疆·七年级期末）如图，点A，E，F，C在同一直线上，AD CB=，AE CF=，DF BE=．求证：B D∠=∠．【答案】证明见详解【解析】【分析】由已知AE CF=可知AF=CE，从而根据SSS判定定理可证明△ADF△△CBE即可．【详解】证明：△AE=CE，△AE+EF=CE+EF，即AF=CE，在△ADF和△CBE中，AF CEAD CBDF BE=⎧⎪=⎨⎪=⎩，△△ADF△△CBE（SSS），△△D=△B．【点睛】本题考查三角形全等碰与性质，掌握三角形全等判定方法与性质是解题关键．2．（2021·广西·靖西市教学研究室八年级期末）如图，已知AB＝DC，AB△CD，E、F是AC上两点，且AE ＝CF．(1)求证：△ABF△△CDE；(2)若△BCF＝30°，△CBF＝72°，求△CED的度数．【答案】(1)见解析(2)102°【解析】【分析】（1）证明△BAF＝△ECD，AF＝CE，再结合AB＝CD，可得结论；（2）利用三角形的外角的性质先求解△AFB＝102°，结合△ABF△△CDE，可得△CED＝△AFB＝102°．(1)证明：△AB△CD，△△BAF＝△ECD，△AE＝CF，△AE-EF＝CF-EF△AF＝CE，又△AB＝CD，△△ABF△△CDE（SAS）．(2)解：△△BCF＝30°，△CBF＝72°，△△AFB＝△BCF+△CBF＝30°+72°＝102°，△△ABF△△CDE，△△CED＝△AFB＝102°．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，掌握“利用SAS证明三角形全等”是解本题的关键．类型二已知两角对应相等基本解题思路：已知两角对应相等：①找夹边对应相等（ASA）；②找非夹边的边对应相等（AAS）.例题：（2022·云南昭通·八年级期末）如图，已知：△1=△2，△C=△D．求证：BC=BD．【答案】证明见解析．【解析】【分析】先根据“AAS”直接判定三角形全等，然后根据全等三角形对应边相等，可以证明BC=BD．【详解】证明：在△ABC和△ABD中12C D AB AB∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ABC△△ABD（AAS），△BC=BD．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．【变式训练】1．（2021·湖南长沙·八年级期中）如图，△A=△D，△B=△C，BF=CE，求证：AB=DC．【答案】证明见解析．【解析】【分析】利用AAS证明△ABE△△DCF，即可得到结论．【详解】证明：△BF=CE△BF+EF=CE+EF，即：BE=CF，在△ABE和△DCF中A DB C BE CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ABE △△DCF (AAS )，△AB =DC ．【点睛】此题考查了全等三角形的判定及性质，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．2．（2022·四川泸州·八年级期末）已知：,12,B C AB AC ∠=∠∠=∠=．求证：BE CD =．【答案】见解析【解析】【分析】证明△CAD =△BAE ；直接运用SAS 公理，证明△CAD △△EAB ，即可解决问题．【详解】证明：如图，△12∠=∠，△1323∠+∠=∠+∠，即BAE CAD ∠=∠，△在ABE △和ACD △中，B C AB ACBAE CAD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩△ABE ACD △≌△，△BE CD =．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质问题，解题的关键是准确找出图形中隐含的相等关系．类型三 已知一边一角对应相等基本解题思路：（1）有一边和该边的对角对应相等：找另一角对应相等(AAS ).（2）有一边和改边的领角对应相等：①找夹该角的另一边对应相等(SAS );②找另一角对应相等(AAS 或ASA ).例题：（2021·四川南充·一模）如图，点E ，F 在BC 上，BE ＝CF ，AB ＝DC ，△B ＝△C ，求证：AF ＝DE ．【答案】见解析【解析】【分析】利用BE CF ＝推出BF CE ＝，通过“边角边”证明ABF DCE ∆≅∆，利用全等三角形的性质即可证明AF ＝DE ．【详解】证明：BE CF ＝，BE EF CF EF ∴++＝，BF CE ∴＝，在ABF ∆和DCE ∆中，BF CE B C AB DC ⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩＝，ABF DCE ∴∆≅∆，AF DE ∴=．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，属于简单题，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．【变式训练】1．（2022·山东济宁·八年级期末）如图，在△ABC 和△DCE 中，AC DE =，90B DCE ∠=∠=︒，点A ，C ，D 依次在同一直线上，且AB DE ∥．(1)求证：△ABC △△DCE ．(2)连结AE ，当5BC =，12AC =时，求△ACE 的面积．【答案】(1)见解析(2)30【解析】【分析】（1）利用AAS 可证明结论；（2）由（1）得：△ABC ≌△DCE ，则BC ＝CE ＝5，即可求出△ACE 的面积．(1)证明：∵AB ∥DE ，∴∠BAC ＝∠D ，在△ABC 和△DCE 中，B DCE BACD AC DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△DCE （AAS ）；(2)解：由（1）得：△ABC ≌△DCE ，∴BC ＝CE ＝5，∴△ACE 的面积为12×12×5＝30．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．2．（2021·重庆市第九十五初级中学校七年级阶段练习）如图，已知A B ∠=∠，AE BE =，点D 在AC 边上，12∠=∠，AE 和BD 相交于点O．(1)求证：AEC BED ≌△△；(2)若85AEC ∠=°，30AED ∠=︒，求△ADB 的度数．【答案】(1)见解析(2)55︒【解析】【分析】（1）根据全等三角形的判定即可判断AEC BED ∆≅∆；（2）根据85AEC ∠=°，30AED ∠=︒，求出155∠=︒，根据12,2ADB ∠=∠∠=∠，即可求出ADB ∠．(1)解：证明：AE ∵和BD 相交于点O ，AOD BOE ∴∠=∠．在AOD ∆和BOE ∆中，A B ∠=∠，2BEO ∴∠=∠．又12∠=∠，1BEO ∴∠=∠，AEC BED ∴∠=∠．在AEC ∆和BED ∆中，A B AE BE AEC BED ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()AEC BED ASA ∴∆≅∆；(2)解：85AEC ∠=°，30AED ∠=︒，1853055AEC AED ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，12,2ADB ∠=∠∠=∠，155ADB ∴∠=∠=︒．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练运用全等三角形的性质与判定．一、解答题1．（2022·四川成都·七年级期末）如图，AE ，AF 分别是ABC 和ABD △的高，BC BD=，AEAF =．求证：AC AD =．（每行都要写理由）【答案】证明见详解【分析】由角平分线的判定定理可知△ABE =△ABF ，根据SAS 可证明△ABC △△ABD ，由全等三角形的性质可得出结论．【详解】证明：△AE ，AF 分别是△ABC 和△ABD 的高，（已知）△AE △BC ，AF △BD ，（三角形高的定义）△AE =AF ，（已知）△△ABE =△ABF ，（角平分线的判定定理）在△ABC 和△ABD 中，AB AB ABC ABD BC BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ABC △△ABD (SAS )，△AC =AD ．（全等三角形的对应边相等）【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，三角形高的定义等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．2．（2022·全国·八年级专题练习）如图，ABC 中，AD BC ⊥于D ，BF AC ⊥于F ，AD 与BF 交于点E ，5AD BD ==，3DC =，求AE 的长度．【答案】2【分析】先证△ADC △△BDE (ASA )，再由全等三角形的对应边相等得DE =DC =3，再根据AE =AD -DE 即可求解．【详解】解：△AD BC ⊥，BF AC ⊥△△ADC =△BDE =90°，△AFE =90°，又△△AEF =△BED ，△△CAD =△EBD在△ADC 与△BDE 中CAD EBD AD BDADC BDE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩△△ADC △△BDE (ASA )，△DC =DE ，又DC =3，△DE =3，又AD =5，△AE =AD -DE =5-3=2．故答案为：2．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解题关键是理清题意进行合理推理．3．（2022·浙江丽水·八年级期中）如图，AC 和BD 相交于点O ，OA ＝OC ，OB ＝OD ．求证：(1)△AOB △△COD ．(2)AB DC ∥．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据题意可知OA ＝OC ，△AOB ＝△COD ，OB ＝OD ，由SAS 即可证明△AOB △△COD ； （2）根据全等三角形的性质，可得△A ＝△C ，再根据内错角相等，两直线平行，即可证明AB △DC ． （1）证明：（1）在△AOB 与△COD 中OA OC AOB COD OB OD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ， △△AOB △△COD （SAS ）；（2）△△AOB △△COD ，△△A＝△C，△AB DC∥．【点睛】本题考查全等三角形的判断和性质，平行线的判断，属于基础证明题，理解全等三角形的判断和性质是解题的关键．4．（2022·陕西西安·七年级期末）如图，AC与BD交于点O，连接AB、AD、BC，△D＝△C．(1)要使ABD BAC≌△△，只需添加一个条件是______．(2)根据（1）中你所添加的条件，你能说明△ABD与△BAC全等吗？【答案】(1)OA=OB（答案不唯一）；(2)△ABD与△BAC全等；说明见解析【分析】（1）根据题意，可以添加条件OA=OB即可；（2）先证明△AOD△△BOC（AAS），从而可得BD=AC，△OAB=△OBA，根据ASA证明△ABD△△BAC即可．（1）解：根据题意，可以添加一个条件：OA=OB，故答案为：OA=OB（答案不唯一）；（2）证明：在△AOD和△BOC中，D CDOA COBOA OB∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△AOD△△BOC（AAS），△OD=OC，△OA=OB，△BD=AC，△OAB=△OBA，在△ABD和△BAC中，D CBD ACOBA OAB∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，△△ABD△△BAC（ASA）．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．5．（2022·山东青岛·七年级期末）已知：,OA OB OC OD==．(1)求证：OAD OBC ≅；(2)若85,25O C ∠=︒∠=︒，求BED ∠的度数．【答案】(1)证明见解析(2)45BED ∠=︒【分析】（1）直接利用SAS 定理即可得证；（2）先根据三角形的外角性质可得110DBE ∠=︒，再根据全等三角形的性质可得25D C ∠=∠=︒，然后根据三角形的内角和定理即可得．（1）证明：在OAD △和OBC 中，OA OB O O OD OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS OAD OBC ∴≅．（2）解：85,25O C ∠=︒∠=︒，110DBE O C ∴∠=∠+∠=︒，由（1）已证：OAD OBC ≅，25D C ∴∠=∠=︒，18045BED DBE D ∴∠=︒-∠-∠=︒．【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、三角形的外角性质、三角形的内角和定理，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键．6．（2021·浙江温州·八年级期中）如图，点C 、E 、F 、B 在同一直线上，AB ∥CD ，AE ＝DF ，△AEB ＝△DFC ．(1)求证：△ABE △△DCF ．AB CDAB CD△()ABE DFE ASA≌故答案为：ABE≌△（2）解：△ABE DFE≌△△==4AB DF，BC＝5，CD＝6，(1)ABD△与ACE全等吗？请说明理由；，延长CE交线段的垂直平分线上，求∠全等，理由见解析90︒）由BAC∠在线段AC证明：BAC∠=BAC BAE CAE ∠=∠+∠ ，DAE BAE BAD ∠=∠+∠，BAD CAE ∴∠=∠，在ABD △和ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABD ACE SAS ∴≅；（2）解：点E 在线段AC 的垂直平分线上，AE CE ∴=，30CAE C ∴∠=∠=︒ ，90CAG ∴∠=︒ ，由（1）可得B C ∠=∠，BGF AGC ∠=∠ ，90BFC CAG ∴∠=∠=︒ ．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质，解题的关键是明确垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．9．（2022·四川成都·七年级期末）如图，在ABC 和ADE 中，AB AC =，AD AE =，AB AE ≠，38BAC DAE ∠=∠=︒．连接BD ，CE 交于点O ．(1)求证：BD CE =；(2)求BOC ∠的度数：(3)小明同学对该题进行了进一步研究，他连接了AO ，并提出了下面结论：OA 平分∠BOE ．请给予证明．【答案】(1)见解析(2)38°(3)见解析【分析】（1）由“SAS ”可证△BAD ≅△CAE ，由全等角形的性质可得出BD ＝CE ；（2）由全等三角形的性质可得△ABD＝△ACE，由三角形外角性质可得出答案；（3）过点A作AG⊥BD于点G，AH⊥CE于点H，可证明AGB AHC≅△△（AAS），可得AG＝AH，由角平分线的性质可得OA平分∠BOE．（1）解：如图所示标注角度：△1238∠=∠=︒△12CAD CAD∠+∠=∠+∠即BAD CAE∠=∠在BAD和CAE中AB ACBAD CAEAD AP=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△BAD CAE≅△△（SAS）△BD CE=（2）解：△BAD CAE≅△△△34∠=∠设BD交AC于点F，则6∠是FAB和FOC的外角△613∠=∠+∠，654∠=∠+∠△51∠=∠△138∠=︒△538∠=︒即BOC∠的度数是38°（3）证明：过点A作AG BD⊥于G，AH CE⊥于H，则790∠=︒，890∠=︒△78∠=∠在AGB和AHC中(1)如图①，延长AD到点E，使DE=AD，连接BE．求证：ΔACD△ΔEBD由（1）得△ACD△△EBD由（1）得△AOE △△BME ，△ODC △△NDB△△AOE=△BME ，△OCD=△NBD ，AO =BM△AO △BM ，OC △NB ，△△MBO =△BON ，△MOB =△NBO在△MOB 和△NBO 中MBO BON OB OB MOB NBO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， △△MOB △△NBO (ASA )△MB =NO△AO=2OD【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，三角形的中线，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．。
基本曲线角平分线-概述说明以及解释
基本曲线角平分线-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分的内容可按照以下方式进行撰写：概述：基本曲线角平分线是数学中一个重要的概念，它在几何学、代数学和计算机图形学等领域都有广泛的应用。
基本曲线指的是曲线当中最基本的类型，例如直线、圆、椭圆等等。
而角平分线则是将一个角分成两个相等的角的线段，它在解决几何问题、构造图形和计算角度等方面发挥着关键作用。
文章结构：本文将围绕基本曲线角平分线展开讨论，主要包括两个要点：第一个要点是基本曲线角平分线的定义和性质，我们将介绍其数学表达式、几何特征以及相关公式的推导；第二个要点是基本曲线角平分线的应用，我们将探讨它在几何问题求解中的具体应用实例，并介绍一些计算机图形学中的应用。
目的：本文的目的是帮助读者加深对基本曲线角平分线的理解与应用。
通过详细阐述其概念、定义、性质以及具体应用示例，希望能够提供读者对于该概念的全面认识，并激发读者进一步探索与应用基本曲线角平分线的兴趣。
通过以上内容的阐述，读者将能够全面了解基本曲线角平分线的概念及其应用领域，为后续的论述和实例引入做好准备。
1.2 文章结构文章结构部分的内容如下：2. 文章结构本文将在引言部分对基本曲线角平分线进行概述，并说明文章的目的。
接下来的正文部分将涵盖两个要点，分别介绍基本曲线角平分线的定义、性质和求解方法。
最后的结论部分将对文章的要点进行总结，并展望基本曲线角平分线在未来的应用前景。
2.1 第一个要点在这一部分，我们将详细介绍基本曲线角平分线的定义和基本性质。
首先，我们将阐述什么是基本曲线角平分线，以及为什么它在数学和几何中起着重要的角色。
接着，我们将介绍基本曲线角平分线的性质，如其对称性、平行性等。
此外，我们还将探讨一些实例和应用，以帮助读者更好地理解和应用基本曲线角平分线。
2.2 第二个要点在这一部分，我们将分享基本曲线角平分线的求解方法和计算技巧。
我们将介绍几种常见的求解方法，包括使用几何方法和代数方法。
《 角的平分线的性质(第一课时)》精品教案 2022年公开课一等奖
学过程设计教探究二：角的平分线的性质实验：1.让学生在已经画好的角平分线上任取一点P.2.分别过P点向OA、OB边作垂线PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E。
3.测量PD和PE的长，观察PD与PE的数量关系。
，并试着说明理由。
归纳角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
应用：如图，ABC中，D为BC中点，且AD恰好平分∠BAC。
求证：AB=AC三、课堂训练1.如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于点O，假设∠1=∠2，求证OB=OC.2.如图，四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠A+∠C=180°，求证：AD=CD四、小结归纳1.用尺规作图法作出角的角平分线的方法；2.角的平分线的性质；3.角的平分线的性质是证明线段相等的又一种方法。
学生做练习。
学生画图，教师巡视指导。
观察、讨论PD与PE的数量系。
学生通过三角形全等，说明PD=PE。
教师引导学生归纳出角的平分线的性质。
教师引导，学生思考并解题，写出证明过程。
学生充分讨论，综合运用所学知识解决问题。
学生小结本节所学的知识点及知识点的应用。
线的方法。
通过学生实验得到结论，重视知识的发生开展过程。
使学生明确角的平分线的性质是证明线段相等的又一种方法。
稳固本节课所学知识及提升综合应用所学知识解决问题的能力。
从总体上把握学知识。
五、作业设计1.教材习题11.3第2、4小题；2.补充作业：①如图，AB ∥CD ，∠BAC 与∠ACD 的平分线交于点O ，OE ⊥AC 于E ，且OE =2，求AB 、CD 间的距离.②如图，在△ABC 中∠C=90°,AC=BC,AD 平分∠CAB 交BC 于点D ，DE ⊥AB ，垂足为E ，且AB=6㎝，那么△DEB 的周长为_________㎝。
EDBCA②思考题：：如图，任意ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线。
求证：BD ∶DC =AB ∶AC〔提示：可参照例题［点拨］，利用面积证明〕课题 11.3 角的平分线的性质一、角的平分线的作法： 作角的角平分线 例题分析 二、角的平分线的性质：教 学 反 思年级八年级课题13.1 平方根〔2〕课型新授教学媒体多媒体教学目标知识技能1．了解有的正数的算术平方根开不尽方；2．了解无限不循环小数特点；3．会用计算器算术求平方根；4．会比较开不尽方的正数的算术平方根与有理数的大小.过程方法通过拼正方形，体验解决问题方法的多样性，开展学生的形象思维和抽象思维；探究2的大小，培养估算意识，了解从两个方向无限逼近的数学思想，并学会比较开不尽方的正数的算术平方根与有理数的大小.情感态度认识数学和生活实际的密切关系，建立自信心，提高学习热情.教学重点初步感受无理数，能进行比较教学难点探究2大小教学过程设计教学程序及教学内容师生行为设计意图一、情境引入用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形，并求出这个大正方形的边长.二、探究新知1.拼法：按以下图所示，很容易用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形.2．问题：①拼成的大正方形的边长是多少？②你能像上节课那样得到一个平方等于2的正有理数吗？③我们只能把边长表示为2，那么2是多大呢？2的大小：∵12=1,22=4，∴1<2<4；∵22=2.25，∴1.4<2<1.5；∵22=2.0164，∴1.41<2<1.42；∵22=2.002225，∴1.414<2<1.415；……教师提出问题，组织学生动手拼剪.教师参与学生活动，适当帮助指导学生完成拼图活动，并及时肯定学生各种割、拼的方法.教师设计并向学生提出问题，组织学生思考，交流，并引导学生尝试总结归纳，估算出2的大小，理解无限不循环小数的特点.调动学生思维的积极性，通过拼图活动，经历发现无理数的过程.通过形的研究来感受无理数的存在.从而对数的认识进一步加深，为实现从有理数到实数的过渡作好铺垫.教师设计问题，逐层深入，对学生进行启发引导，通过对2的大小估计，再次从数的角度来感受无理数的存在性.培养学生的估算能力，渗透估算的思想和方法，感受从两端无限逼近的数学思想.如此进行下去，可以得到2的更精确地近似值.事实上，2=1.414 213 56…，同π一样，是一个无限不循环小数，这样的数与以前学的有理数一样吗？得到：小数位数无限且小数局部不循环的小数叫无限不循环小数.像7,5,3,2这样，所有开方开不尽的正数的算术平方根都是无限不循环小数. 4.用计算器计算算术平方根的三个步骤：①进入()；②输入(被开方数)；③输出()用计算器计算，并将计算结果填在表中. 0625.0 625.025.6 5.62 625 6250 观察上表，你发现什么了吗？(1)被开方数增大，算术平方根怎样变化？ (2)被开方数与算术平方根的小数点有何移动规律？(3)直接写出：_____625000;_____62500==. 得到：被开方数增大(或减小)，那么算术平方根也增大(或减小)；被开方数的小数点向左〔右〕移动两位，它的算术平方根的小数点也相应的向左〔右〕移动一位.用一块面积为400cm 2的正方形纸片沿边的方向，能否裁出一块面积为300cm 2的长方形纸片， 使它的长宽之比为3：2？分析：大正方形的面积为400 cm 2， 可求出其边长为400=20cm ；要裁出面积为300cm 2的长方形纸片，并使其长宽之比为3：2，通过列方程可求得长和宽须分别为cm cm 502,503，用计算器求得1.750≈，所以3.21503≈，而21.3>20,即要裁出的长方形的长大于正方形的边长，故不能裁出.如果不使用计算器，因为21493503=>>20,所以不能裁出.不用计算器，估计一个整数的算术平方根的技巧：将这个整数a 拆成两个整数m 、n 的积，那么a 的算术平方根必在m 、n 之间，m 、n 越接近，估值越精确.如，24的算术平方根在4、6之间；56的算术平方根在7、8之间，这种方法虽然简便，但对有的数只能估计一个粗略范围，如50的算术平方根只能估计在5、10之间。
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方法技巧训练三几何中与角平分线有关的计算或证明
[方法概述]1.与角平分线有关的判定和性质(1)角平分线的判定和性质.
(2)角平分线的夹角:①三角形两内角的平分线的夹角等于90°与第三角一半的和;②三角形两外角的平分线的夹角等于90°与第三角一半的差;③三角形一内角与另一外角的平分线的夹角等于第三角的一半。
(3)三角形的内心及其性质.(4)圆中弧、圆心角、圆周角之间的关系.
2.与角平分线有关的图形或辅助线
(1)角平分线“加”平行线构成等腰三角形.(2)角平分线“加”垂线构成等腰三角形.
(3)过角平分线上的点作角两边的垂线.
[方法训练]
1. (2017●滨州)如图,直线AC//BD,AO,B0分别是∠BAC,∠ABD的平分线,那么下列结论错误的是( )A.∠BAO与∠CA0相等 B.∠BAC与∠ABD互补
C.∠BAO与∠ABO互余
D.∠ABO与∠DBO不等
2. (2017●襄阳)如图，BD//AC, BE平分∠ABD,交AC于点E.若∠A=50°,则∠1的度数为( ) A:65° B.60° C.55° D.50
3.如图，在△ABC中,AB =AC,BD平分∠ABC交AC于点D,AE//BD交CB的延长线于点E,若∠E= 35°，则∠BAC的度数为( )
A.40°
B.45°
C.60°
D.70°
4. (2017.无锡)如图，已知AB//CD,0A,0C分别平分∠BAC和∠ACD,OE⊥AC于点E，且OE=2,则AB,CD之间的距离为( )
A.2
B.4
C.6
D.8
5. (2017 ●盐城)如图,0是△ABC中∠ABC,∠ACB的平分线的交点,0D//AB交BC于点D,OE//AC 交BC 于点E,若BC= 10 cm,则△ODE的周长是_cm.
6.如图,在△ABC中,AB=8 cm,AC=5 cm,AD平分∠BAC,且AD⊥CD,E为BC中点，则DE= cm
7.如图,已知△ABC的∠B和∠C的外角平分线交于D,∠A=40°,那么∠D=_ .度.
8.(2017，黄石)如图，00是△ABC的外接圆,BC为00的直径,点E为△ABC的内心，连接AE 并延长交00于D点,连接BD并延长至点F,使得BD=DF,连接CF,BE.
(1)求证:DB =DE; (2)求证:直线CF为00的切线.。