上海市上海实验学校2020-2021学年高三第一学期数学周练1(PDF版,答案不全)
上海市嘉定区2020-2021学年高三上学期一模数学试题+答案+全解全析
嘉定区2020学年高三年级第一次质量调研测试数 学 试 卷考生注意：1．答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码． 2．解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分．3．本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．已知集合{}4,2,0=A ，()∞+=，0B ，则=B A ____________． 2．抛物线x y 42=的焦点坐标为____________．3．不等式014≤xx 的解为____________．4．已知复数z 满足()2i 1=⋅+z （i 为虚数单位），则=z ___________． 5．已知角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边经过点)4,3(P ，则=+)2πtan(α____________． 6．设函数)12)(1>-=+a ax f x （的反函数为)(1x fy -=，若()121f -=，则=)2(f ____________．7．设各项均为正数的无穷等比数列{}n a 满足：121321=+=a a a ，，则数列{}n a 2的各项的和为____________．8．在ABC △中，9034A AB AC ∠=︒==，，，将ABC △绕边AC 所在直线旋转一周得到几何体Γ，则Γ的侧面积为____________． 9．在ABC △中，2,1==AC AB ，3261+=，则=⋅BC AE ____________． 10．甲和乙等五名志愿者参加进博会A 、B 、C 、D 四个不同的岗位服务，每人一个岗位，每个岗位至少一人，且甲和乙不在同一岗位服务，则共有_______种不同的参加方法（结果用数值表示）．11．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，首项01>a ，公差0<d ，若对任意的*N ∈n ，总存在*N ∈k ，使n k S k S )12(12-=-，则n k 3-的最小值为_____________．12．已知函数x a x x x f 3||)(+-=．若存在]4,3[-∈a ，使得关于x 的方程)()(a tf x f =有三个不相等的实数根，则实数t 的取值范围是____________．二．选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．已知0≠x ，*N ∈n ，则“2=n ”是“nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+1的二项展开式中存在常数项”的（ ）．A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件14．已知R ∈b a 、，且b a >，则下列不等式恒成立的是 （ ）．ABC1A 1C 1D 1B D 1A 1D 1C ABD C1B A ．ba 11< B ．b a ln ln > C ．22b a > D ．b a 22> 15．过双曲线12222=-by a x C ： （0,0>>b a ）的右顶点作x 轴的垂线与C 的一条渐近线相交于点A ．若以C 的右焦点为圆心、以2为半径的圆经过O A 、两点（O 为坐标原点），则双曲线C 的方程为 （ ）．A ．1322=-y x B ．1322=-y x C ．12222=-y x D ．16222=-y x 16．如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，点P 是该正方体棱上一点．若满足m PC PB =+1||（0>m ）的点P 的个数为4，则m 的取值范围是 （ ）．A ．]4,22[B ．]322,4[+C ．]24,4[D ．]24322[，+三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，正四棱柱1111D C B A ABCD -的底面边长为2，41=D A ．（1）求该正四棱柱的表面积和体积；（2）求异面直线D A 1与AC 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）．18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数)(cos )(x x f ω= （0>ω）的最小正周期为π．（1）求ω的值及函数)()4π(3)(x f x f x g --=，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2π,0x 的值域；（2）在ABC △中，内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，若⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2π,0A ， 21)(-=A f ，ABC △的面积为33，2=-c b ，求a 的值．19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）提高隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况．在一般情况下，隧道内的车流速度v （单位：千米/小时）和车流密度x （单位：辆/千米）满足关系式：⎪⎩⎪⎨⎧≤<--≤<=12020,14060,20050x x kx v ，（R ∈k ）． 研究表明：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是0千米/小时．（1）若车流速度v 不小于40千米/小时，求车流密度x 的取值范围；（2）隧道内的车流量y （单位时间内通过隧道的车辆数,单位：辆/小时）满足v x y ⋅=， 求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）．20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆)0(12222>>=+Γb a by a x ：的长轴长为6，且经过点）3,23(Q ．A 为左顶点，B 为下顶点，椭圆上的点P 在第一象限，PA 交y 轴于点C ，PB 交x 轴于点D ．（1）求椭圆Γ的标准方程；（2）若02=+，求线段AP 的长；（3）试问：四边形ABDC 的面积是否为定值？若是，理由．21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）若项数为k 的有穷数列{}n a 满足：k a a a a <⋅⋅⋅<<<≤3210()3,*≥∈k k N ，且对任意的()1i j i j k ≤≤≤、，j i a a +与i j a a -至少有一个是数列{}n a 中的项，则称数列{}n a 具有性质P ．（1）判断数列8,4,2,1是否具有性质P ，并说明理由；（2）设项数为()*,3k k k ∈≥N 的数列{}n a 具有性质P ，求证：)(2121k k k a a a a ka ++⋅⋅⋅++=-；（3）若项数为()*,3k k k ∈≥N 的数列{}n a 具有性质P ，写出一个当4=k 时，{}n a 不是等差数列的例子，并证明当4>k 时，数列{}n a 是等差数列.嘉定区2020学年高三年级第一次质量调研测试数 学 试 卷考生注意：1．答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码． 2．解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分．3．本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．已知集合{}4,2,0=A ，()∞+=，0B ，则=B A ____________． 【答案】{}4,2【解析】由题意得，=B A {}4,22．抛物线x y 42=的焦点坐标为____________． 【答案】()0,1【解析】由抛物线性质得，焦点坐标()0,1 3．不等式014≤xx 的解为____________．【答案】22≤≤-x【解析】由240x -≤得，22≤≤-x4．已知复数z 满足()2i 1=⋅+z （i 为虚数单位），则=z ___________． 【答案】2 【解析】由()()()1i 21i 1+i 1+i i 21z -===--得，=z 2 5．已知角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边经过点)4,3(P ，则=+)2πtan(α____________．【答案】43-【解析】因为终边经过点)4,3(P ，所以4tan 3α==+)2πtan(α3cot 4α-=-6．设函数)12)(1>-=+a ax f x （的反函数为)(1x fy -=，若()121f -=，则=)2(f ____________． 【答案】6【解析】根据反函数定义得，若()121f-=，则(1)2f =所以1122,2aa +-==所以3(2)226f =-=7．设各项均为正数的无穷等比数列{}n a 满足：121321=+=a a a ，，则数列{}n a 2的各项的和为____________． 【答案】32【解析】设等比数列公比为q ，则由121321=+=a a a ，得()21221210a q q q q +=⇒+-= 解得12q =或1q =- 又因为数列{}n a 各项均为正数，所以12q =，即112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭所以数列{}n a 2的各项的和为1221314=-8．在ABC △中，9034A AB AC ∠=︒==，，，将ABC △绕边AC 所在直线旋转一周得到几何体Γ，则Γ的侧面积为____________． 【答案】15π【解析】因为9034A AB AC ∠=︒==，，所以旋转后的圆锥母线的长为5，底面半径为3 所以此面积为5315S ππ=⨯⨯=9．在ABC △中，2,1==AC AB ，CA CB CE 3261+=，则=⋅BC AE ____________． 【答案】21【解析】特殊化ABC △以A 为直角的直角三角形建系得，()()()()0,0,0,1,2,0,,A B C E x y由CA CB CE 3261+=得，11,36x y ==所以=⋅BC AE 21 10．甲和乙等五名志愿者参加进博会A 、B 、C 、D 四个不同的岗位服务，每人一个岗位，每个岗位至少一人，且甲和乙不在同一岗位服务，则共有_______种不同的参加方法（结果用数值表示）． 【答案】216【解析】由题意得，每个岗位至少一人的情况有2454C P 种甲和乙不在同一岗位服务有44P 种所以共有244544216C P P -=种11．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，首项01>a ，公差0<d ，若对任意的*N ∈n ，总存在*N ∈k ，使n k S k S )12(12-=-，则n k 3-的最小值为_____________．【答案】8- 【解析】由题意得n k S k a a k )122))(12121-=+--（（，则得 n kS k a k )122)12-=⋅-（（，即 n k S a =．令2=n 得 2S a k =，即 d a d k a +=-+112)1(（*），即得 da k 12=-． 因为首项01>a ，公差0<d ，则得 021<=-da k ，即 2<k ． 又因为 *N ∈k ，所以 1=k ，代入（*）得1a d -=． 当1a d -=时，由n k S a =得 2)1()1(1111a n n na a k a --=--，即 12)2)(1(+--=n n k ，所以 2292132+-=-n n n k ，即 277292132-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-=-n n k ， 因此当4=n 或5时，n k 3-的最小值为 8-12．已知函数x a x x x f 3||)(+-=．若存在]4,3[-∈a ，使得关于x 的方程)()(a tf x f =有三个不相等的实数根，则实数t 的取值范围是____________． 【答案】⎪⎭⎫ ⎝⎛4849,1 【解析】【法一】由题意得⎪⎩⎪⎨⎧<++-≥-+=ax x a x a x x a x x f ,)3(,,)3()(22，且关于x 的方程at x f 3)(=有三个不相等的实数根． （1）当33≤≤-a 时，2323+≤≤--a a a ，且23023+≤≤--a a ，可知)(x f 在),(∞+-∞上是增函数，此时关于x 的方程at x f 3)(=不可能有三个不相等的实数解；（2）当43≤<a 时，a a a <+<--<23230， 可知)(x f 在区间⎥⎦⎤ ⎝⎛+∞-23,a 、),[∞+a 上分别是 增函数，而在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡+a a ,23上是减函数（如右图所示），当且仅当4)3(332+<<a at a 时，方程at x f 3)(=有三个不相等的实数解．即⎪⎭⎫⎝⎛++=+<<6912112)3(12a a a a t ．令a a a g 9)(+=，则)(a g 在]4,3(∈a 时是增函数，则得425)4()(max ==g a g ． 所以，所求实数t 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛4849,1．【法二】at x a x x 33||=+-33||-=-xata x ①0>at ：由图得0>a3)3(332=++-⇒-=+-at x a x xata x 214312012)3(2++=⇒=-+=∆a a t at a 484921163124=++<∴t at x xat=⇒=-033 48491<<⇒<∴t at a②0<at ：由图得0<a3)3(332=---⇒-=-at x a x xat a x 214312012)3(2+--=⇒=+-=∆a a t at a 121123123=++--<∴t t at a <⇒>∴1，矛盾48491<<∴t 二．选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．已知0≠x ，*N ∈n ，则“2=n ”是“nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+1的二项展开式中存在常数项”的（ ）．A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件 【答案】A【解析】因为二项式n x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+1通项为211(0)n rr r r r nr n n T C x C x r n x --+⎛⎫==≤≤ ⎪⎝⎭所以nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+1的二项式展开式中存在常数项2n r n ⇔=⇔为正偶数，因为2n n =⇒为正偶数，n 为正偶数推不出2n =所以“2=n ”是“nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+1的二项展开式中存在常数项”的充分非必要条件14．已知R ∈b a 、，且b a >，则下列不等式恒成立的是 （ ）．A ．ba 11< B ．b a ln ln > C ．22b a > D ．b a 22> 【答案】D【解析】由不等式性质得，b a 22>恒成立，故选D15．过双曲线12222=-by a x C ： （0,0>>b a ）的右顶点作x 轴的垂线与C 的一条渐近线相交于点A ．若以C 的右焦点为圆心、以2为半径的圆经过O A 、两点（O 为坐标原点），则双曲线C 的方程为 （ ）．A ．1322=-y x B ．1322=-y x C ．12222=-y x D ．16222=-y x1A 1D 1C ABD C1B 1A 1D 1C ABDC1B 22 22442424 322+ 322+【答案】B【解析】因为以C 的右焦点为圆心、半径为2的圆经过两点,A O （O 为坐标原点），所以半径2R c ==，圆的标准方程为22(2)4x y -+=因为(,0),,bA a y a b a=⋅=即(,)B a b 则22(2)4a b -+= 即22444a a b -++= 即240,c a -=即44a = 则21,413a b ==-= 则双曲线C 的方程为2213yx -=，故答案选B16．如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，点P 是该正方体棱上一点．若满足m PC PB =+1||（0>m ）的点P 的个数为4，则m 的取值范围是 （ ）．A ．]4,22[B ．]322,4[+C ．]24,4[D ．]24322[，+ 【答案】B【解析】先计算正方体的8个顶点到B 、1C 两点的距离 （如右图所示），则得：（1）当点P 分别在棱1BB 、BC 、1CC 、11C B 上运动时，m 的取值范围是]422[，；（2）当点P 分别在棱11D C 、AB 上运动时，m 的取值范围是]32222[+，；（3）当点P 分别在棱11B A 、CD 上运动时，m 的取值范围是]244[，； （4）当点P 分别在棱11D A 、1DD 、AD 、1AA 上运动时，m 的取值范围是]24322[，+．由几何直观可知，点P 在正方体的每一条棱上运动时，它所在的位置与m 的值是一一对应的，则当m PC PB =+1||（0>m ）的点P 的个数为4时，则m 的取值范围是]322,4[+．ABC1A 1C 1D 1B DABC 1A 1C 1D 1B D三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，正四棱柱1111D C B A ABCD -的底面边长为2，41=D A ．（1）求该正四棱柱的表面积和体积；（2）求异面直线D A 1与AC 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）．【解析】（1）由题意得 322211=-=AD D A AA则该正四棱柱的表面积为31684322222+=⋅⋅+⋅=全S ，体积为 383222=⋅=V ．（2）联结111,DC C A ，则AC ∥11C A ，所以直线D A 1与11C A 所成的角就是异面直线D A 1与AC 所成的角．在11DC A △中，22,321111===C A DC D A , 由余弦定理得1112121121112cos C A D A DC C A D A C DA ⨯⨯-+=∠ 4222424)22(4222=⨯⨯-+=，则得42arccos 11=∠C DA ，所以，异面直线D A 1与AC 所成的角的大小42arccos． 18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数)(cos )(x x f ω= （0>ω）的最小正周期为π．（1）求ω的值及函数)()4π(3)(x f x f x g --=，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2π,0x 的值域；（2）在ABC △中，内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，若⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2π,0A ， 21)(-=A f ，ABC △的面积为33，2=-c b ，求a 的值．【解析】（1）因为函数)(cos )(x x f ω=的最小正周期为π，由 π||π2==ωT ，2||=ω， 又因为0>ω，所以2=ω． 此时x x f 2cos )(=，则得 x x x g 2cos 4π2cos 3)(-⎪⎭⎫⎝⎛-=，即 x x x g 2cos 2sin 3)(-=，即)6π2sin(2)(-=x x g ． 当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2π,0x 时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈-65π,6π6π2x ，[]2,1)6π2sin(2-∈-x ， 所以所求函数的值域为[]2,1-．（2）由题意得 212cos -=A ．因为⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2π,0A ，则得 ()π,02∈A ，所以 32π2=A ，解得 3π=A ． 因为ABC △的面积为33，则得 33sin 21=A bc ，即 333πsin 21=bc ， 即 12=bc ．又因为 2=-c b ，由余弦定理，得 bc c b A bc c b a -+=-+=2222cos 2bc c b +-=2)(41222=+=，所以 4=a ．19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）提高隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况．在一般情况下，隧道内的车流速度v （单位：千米/小时）和车流密度x （单位：辆/千米）满足关系式：⎪⎩⎪⎨⎧≤<--≤<=12020,14060,20050x x kx v ，（R ∈k ）． 研究表明：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是0千米/小时．（1）若车流速度v 不小于40千米/小时，求车流密度x 的取值范围；（2）隧道内的车流量y （单位时间内通过隧道的车辆数,单位：辆/小时）满足v x y ⋅=， 求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）．【解析】（1）由题意知 当120=x （辆/千米）时，0=v （千米/小时），代入 x kv --=14060 得 120140600--=k ，解得 1200=k ，所以 ⎪⎩⎪⎨⎧≤<--≤<=.12020,140120060,20050x x x v ，当200≤<x 时，4050≥=v ，符合题意； 当12020≤<x 时，令 40140120060≥--x，解得 80≤x ，所以 8020≤<x ．综上，800≤<x ．答：若车流速度v 不小于40千米/小时，则车流密度x 的取值范围是]80,20(．（2）由题意得 ⎪⎩⎪⎨⎧≤<--≤<=.12020,140120060,20050x x xx x x y ，当200≤<x 时，x y 50=为增函数，所以10005020=⨯≤y ，等号当且仅当20=x 成立； 当12020≤<x 时，⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--=x x x x x x y 1402060140120060⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+=x x x 1402800)140(2060 ⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=x x 14028002060()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--=x x 140280014016060 ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯--≤x x 1402800140216060()74016060-=3250≈，即 3250≤y ，等号当且仅当xx -=-1402800140，即]120,20(87720140∈≈-=x 成立． 综上，y 的最大值约为3250，此时x 约为87．答：隧道内车流量的最大值约为3250辆/小时，此时车流密度约为87辆/千米．20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆)0(12222>>=+Γb a by a x ：的长轴长为6，且经过点）3,23(Q ．A 为左顶点，B 为下顶点，椭圆上的点P 在第一象限，PA 交y 轴于点C ，PB 交x 轴于点D ．（1）求椭圆Γ的标准方程；（2）若02=+，求线段AP 的长；（3）试问：四边形ABDC 的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【解析】（1）解：由题意得 62=a ，解得 3=a 分把点Q 的坐标代入椭圆C 的方程 12222=+b y a x ，得134922=+b a ，由于 3=a ，解得 2=b ．所以所求的椭圆的标准方程为 14922=+y x ． （2）解：因为02 =+OC OB ， 则得 )1,0(21=-=OB OC ，即)1,0(C ，又因为 )0,3(-A ，所以直线AP 的方程为 )3(31+=x y ．由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=149)3(3122y x x y 解得 ⎩⎨⎧=-=03y x （舍去）或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==15241527y x ，即得 ），（15241527P ．所以 ()151024152431527||22=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=AP ， 即线段AP 的长为151024． （3）【解法一】由题意知，直线PB 的斜率存在，可设直线2-=kx y PB ： （32>k ）． 令0=y ，得)0,2kD （．由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=149,222y x kx y 得 036)94(22=-+kx x k ，解得 0=x （舍去）或29436k k x +=， 所以 2294818kk y +-=，即)94818,9436222k k k k P +-+（． 于是直线AP 的方程为)3(3413694818222+⨯+++-=x k k k k y ，即 )3()233)23(2++-=x k k y （． 令0=x ,得23)23(2+-=k k y ，即⎪⎭⎫⎝⎛+-23)23(2,0k k C ．所以四边形ABDC 的面积等于||||21BC AD ⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=223)23(23221k k k 623122321=+⋅+⋅=k k k k ， 即四边形ABDC 的面积为定值．【解法二】由题意知，设),(00y x P （20,3000<<<<y x ）， 则直线PB 的方程为 )0(2200-+=+x x y y ，即2200-⋅+=x x y y ．令0=y ，得)0,2200+y x D （． 又直线PA 的方程为)3(300++=x x y y ， 令0=x ,得3300+=x y y ，即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+33,000x y C ． 所以四边形ABDC 的面积等于||||21BC AD ⨯⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅=233322210000x y y x )2()3)632(2100200+⋅+++⋅=y x y x （ )2()33636241294210000002020+⋅++++++⋅=y x y x y x y x （ （*） 因为点P 在椭圆Γ上，则得 1492020=+y x ，所以 20204369x y -=，代入（*）得 6)2()3)2()36)2()336362412942100000000002020=+⋅++⋅+=+⋅++++++⋅y x y x y x y x y x y x （（（，即四边形ABDC 的面积为定值．21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）若项数为k 的有穷数列{}n a 满足：k a a a a <⋅⋅⋅<<<≤3210()3,*≥∈k k N ，且对任意的()1i j i j k ≤≤≤、，j i a a +与i j a a -至少有一个是数列{}n a 中的项，则称数列{}n a 具有性质P ．（1）判断数列8,4,2,1是否具有性质P ，并说明理由；（2）设项数为()*,3k k k ∈≥N 的数列{}n a 具有性质P ，求证：)(2121k k k a a a a ka ++⋅⋅⋅++=-；（3）若项数为()*,3k k k ∈≥N 的数列{}n a 具有性质P ，写出一个当4=k 时，{}n a 不是等差数列的例子，并证明当4>k 时，数列{}n a 是等差数列． 【解析】（1）数列8,4,2,1不具有性质P ．因为84210<<<≤，但是514=+、314=-，它们均不是数列8,4,2,1中的项， 所以数列8,4,2,1不具有性质P ．（2）证明：因为M a a k k ∉+，所以M a a k k ∈-，即 M ∈0，所以01=a ． 设k i ≤≤2，因为M a a i k ∉+，所以M a a i k ∈-．则得12210a a a a a a a a a a k k k k k k k k -<-<⋅⋅⋅<-<-<-=--． 因为12310k k a a a a a -≤<<<⋅⋅⋅<<，所以1k k a a a -=，12k k a a a --=，23k k a a a --=，…….，21k k a a a --=，1k k a a a -=， 将上面的式子相加得k k k k k k a a a a a a a a a a ka +⋅⋅⋅+++=++⋅⋅⋅+++----13211221)(，所以 )(2121k k k a a a a ka ++⋅⋅⋅++=-．（3）数列5,4,1,0具有性质P ，但该数列不是等差数列．（答案不惟一）下面证明当4>k ，即5≥k 时，数列{}n a 是等差数列． 由（2）得 01=a ． ①设2i k ≤≤，由（2）知 12210a a a a a a a a a a k k k k k k k k -<-<⋅⋅⋅<-<-<-=--． 因为12310k k a a a a a -≤<<<⋅⋅⋅<<，所以1k k a a a -=，12k k a a a --=，23k k a a a --=，…….，21k k a a a --=，1k k a a a -=， 因此 ()111k k i i a a a i k -+-=≤≤-． (*) ②设23-≤≤k i ，则112k i k k a a a a a --+>+=，所以1k i a a M -+∉，得1k i a a M --∈． 由111213320k k k k k k k a a a a a a a a a ------=-<-<⋅⋅⋅<-<-= 及123320k k a a a a a --≤<<<⋅⋅⋅<<，可得 111k k a a a ---=，122k k a a a ---=，133k k a a a ---=，…….，133k k a a a ---=． 所以 )31(1-≤≤=---k i a a a i i k k ．因为5k ≥，由上知，111k k a a a ---=，且 122k k a a a ---=， 所以111k k a a a ---=，且122k k a a a ---=，所以)11(1-≤≤=---k i a a a i i k k ． (**) 由(*)知 ()111k k i i a a a i k -+-=≤≤-， 两式相减得()1111k k i i a a a a i k -+-=-≤≤-，所以当4>k 时，123,,,,k a a a a ⋅⋅⋅是等差数列．已知实数s t、21 =⎭则实数t的取值范围是s的取值范围是。
上海市2020-2021学年青浦区高三数学一模试卷附官方标答
青浦区2020学年第一学期高三年级期终学业质量调研测试数 学 试 卷（时间 120 分钟，满分 150 分） 2020.12学生注意：1． 本试卷包括试题纸和答题纸两部分．2． 在试题纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题． 3． 可使用符合规定的计算器答题．一. 填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分. 1．已知集合{}1,2,3,4A =，{}0,2,4,6,8B =，则A B = ．2．函数2xy =的反函数是 ．3．行列式123456789中，元素3的代数余子式的值为 ．4．已知复数z 满足40z z+=，则||z = . 5．圆锥底面半径为cm 1，母线长为cm 2，则其侧面展开图扇形的圆心角=θ ．6．已知等差数列{}n a 的首项11a =，公差2d =，其前n 项和为n S ，则2()limn n na S →∞= ． 7．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为b a 和d c(),,,a b c d ∈*N ，则b d a c ++是x 的更为精确的近似值．己知15722π507<<，试以上述π的不足近似值15750和过剩近似值227为依据，那么使用两次．．“调日法”后可得π的近似分数为____________． 8．在二项式()521)0a ax>的展开式中5x -的系数与常数项相等，则a 的值是__ __．9．点A 是椭圆221:12516x y C +=与双曲线222:145x y C -=的一个交点，点12,F F 是椭圆1C 的两个焦点，则12||||AF AF ⋅的值为 ．10．盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个大小、形状、材质均相同的小球，从中随机任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是 ．（结果用最简分数表示） 11．记m a 为数列{}3n在区间(]()*0,m n ∈N 中的项的个数，则数列{}m a 的前100项的和100S=_________．12．已知向量e 的模长为1，平面向量,m n 满足：|2|2,||1m e n e -=-=，则m n ⋅的取值范围是_________．二. 选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13．已知,a b ∈R ，则“a b =”是“2a b+=”的………………………………（ ）． （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件14．类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出空间中有下列结论： ①垂直于同一条直线的两条直线互相平行； ②垂直于同一条直线的两个平面互相平行； ③垂直于同一个平面的两条直线互相平行； ④垂直于同一个平面的两个平面互相平行．其中正确的是……………………………………………………………………………（ ）． （A ）①②（B ）①④（C ）②③（D ）③④15．已知顶点在原点的锐角α绕原点逆时针转过π6后，终边交单位圆于1(,)3P y -，则s in α的值为………………………………………………………………………………………（ ）．（A ）223- （B ）223+ （C ）261- （D ）261+ 16．设函数,()1,x x P f x x M x -∈⎧⎪=⎨∈⎪⎩，其中,P M 是实数集R 的两个非空子集，又规定()(){},A P y y f x x P ==∈，()(){},A M y y f x x M ==∈，则下列说法：（1）一定有()()A P A M =∅；（2）若P M ≠R ，则()()A P A M ≠R ；（3）一定有PM =∅；（4）若PM =R ，则()()A P A M =R ．其中正确的个数是………………………………………………………………………（ ）． （A ） 1 （B ） 2 （C ） 3 （D ） 4三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分.如图，长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA =，点P 为1DD 的中点． （1）求证：直线1//BD 平面PAC ； （2）求异面直线1BD 与AP 所成角的大小．18．（本题满分14分）第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分.设函数2()||f x x x a =+-，a 为常数． （1）若)(x f 为偶函数，求a 的值； （2）设0>a ，xx f x g )()(=，],0(a x ∈为减函数，求实数a 的取值范围．19.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分.如图，矩形ABCD 是某个历史文物展览厅的俯视图，点E 在AB 上，在梯形DEBC 区域内部展示文物，DE 是玻璃幕墙，游客只能在△ADE 区域内参观．在AE 上点P 处安装一可旋转的监控摄像头，MPN ∠为监控角，其中M 、N 在线段DE （含端点）上，且点M 在点N 的右下方．经测量得知：6AD =米，6AE =米，2AP =米，4MPN π∠=．记EPM θ∠=（弧度），监控摄像头的可视区域△PMN 的面积为S 平方米．（1）分别求线段PM 、PN 关于θ的函数关系式，并写出θ的取值范围； （2）求S 的最小值．20.(本题满分16分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分.已知动点M 到直线20x +=的距离比到点(1,0)F 的距离大1． （1）求动点M 所在的曲线C 的方程；（2）已知点(1,2)P ，A B 、是曲线C 上的两个动点，如果直线PA 的斜率与直线PB 的斜率互为相反数，证明直线AB 的斜率为定值，并求出这个定值；（3）已知点(1,2)P ，A B 、是曲线C 上的两个动点，如果直线PA 的斜率与直线PB 的斜率之和为2，证明：直线AB 过定点．21.(本题满分18分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分.若无穷数列{}n a 和无穷数列{}n b 满足：存在正常数A ，使得对任意的n ∈*N ，均有n n a b A -≤，则称数列{}n a 与{}n b 具有关系()P A ．（1）设无穷数列{}n a 和{}n b 均是等差数列，且2n a n =，()2n b n n =+∈*N ，问：数列{}n a 与{}n b 是否具有关系()1P ？说明理由； （2）设无穷数列{}n a 是首项为1，公比为13的等比数列，11n n b a +=+，n ∈*N ，证明：数列{}n a 与{}n b 具有关系()P A ，并求A 的最小值；（3）设无穷数列{}n a 是首项为1，公差为()R d d ∈的等差数列，无穷数列{}n b 是首项为2，公比为()q q ∈*N 的等比数列，试求数列{}na 与{}nb 具有关系()P A 的充要条件．青浦区2020学年第一学期高三年级期终学业质量调研测试数学参考答案 2020.12一.填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.1．{}2,4； 2．2log y x =； 3．3-； 4．2； 5．π；6．4； 7．20164；8．2；9. 21；10.1318； 11．284；12. []1,8-.二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 13. B ；14. C ； 15．D ；16. B .三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分. （1）证明：设AC 和BD 交于点O ，则O 为BD 的中点，连结PO ，又因为P 是1DD 的中点，故1//PO BD 又因为PO ⊂平面PAC ，1BD ⊄平面PAC 所以直线1//BD 平面PAC（2）由（1）知，1//PO BD ，所以异面直线1BD 与AP 所成的角就等于PO 与AP 所成的角，故APO ∠即为所求； 因为2PA PC ==，212AO AC ==且PO AO ⊥所以1sin 2AO APO AP ∠===.30APO ∴∠=︒ 即异面直线1BD 与AP 所成角的大小为π6（30︒）． 18．（本题满分14分）第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分. 解：（1）因为)(x f 为偶函数，且x ∈R ，所以()()f x f x -= 即()22||||x x a x x a -+--=+- 即22||||||||x a x a x a x a --=-⇔--=- 所以40ax =对一切x ∈R 成立，所以0=a （2）因为0>a ，且],0(a x ∈所以22()()1x x a f x x a x ag x x x x x x+-+-====+-， 任取120x x a <<≤，121212()()a ag x g x x x x x -=+-- 211212121212()()()()a x x x x a x x x x x x x x --=-+=-因为120x x a <<≤，所以120x x -<且2120x x a <<又()g x 在区间(0,]a 上为减函数，所以120x x a -< 即12a x x >，所以2a a ≥又0>a ，所以10≤<a ．19.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分. 解：（1）在∆PME 中，EPM θ∠=，PE =AE -AP =4米，4PEM π∠=，34PME πθ∠=-， 由正弦定理得sin sin PM PEPEM PME=∠∠，所以sin 4sin sin cos sin()4PE PEM PM PME θθθ⨯∠===∠+-， 同理在∆PNE 中，由正弦定理得sin sin PN PEPEN PNE=∠∠，所以sin sin cos sin()2PE PEN PN PNE πθθ⨯∠===∠-， 当M 与E 重合时，0θ=；当N 与D 重合时，tan 3APD ∠=,即arctan3APD ∠=，π3ππtan 3tan 344arc arc θ=--=-，所以3π0tan 34arc θ≤≤-； （2）∆PMN 的面积S 1sin 2PM PN MPN =⨯⨯∠24cos sin cos θθθ=+ 41cos 21sin 222θθ=++88sin 2cos 2)4πθθθ==++1++1， 因为3π0tan 34arc θ≤≤-，所以当242ππθ+=即30,tan 384atc ππθ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦时， S1)= 所以可视区域∆PMN面积的最小值为1)平方米．20.(本题满分16分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分. 解：（1）已知动点M 到直线20x +=的距离比到点(1,0)F 的距离大1，等价于动点M 到直线1x =-的距离和到点(1,0)F 的距离相等，由抛物线的定义可得曲线C 的方程为24y x =（2）设直线PA 的斜率为k ，因为直线PA 的斜率与直线PB 的斜率互为相反数，所以直线PB 的斜率为k -，则2(1)PA l y k x -=-：，2(1)PB l y k x -=--：222(1)44804y k x ky y k y x-=-⎧⇒--+=⎨=⎩或()()222224420k x k k x k --++-= 即()()2420ky k y +--=⎡⎤⎣⎦，所以可得()22242,k k A k k ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭同理得222(1)44804y k x ky y k y x-=--⎧⇒+--=⎨=⎩或()()222224420k x k k x k -++++= 即()()2420ky k+y +-=⎡⎤⎣⎦，所以可得()22242,k k B k k ⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭()()22224242122ABk kk k k k k k k ----∴==-+-- 即直线AB 的斜率为定值1-；（3）设直线PA 的斜率为k ，所以直线PB 的斜率为2k -， 则2(1)PA l y k x -=-：，2(1)PB l y k x -=--：222(1)44804y k x ky y k y x-=-⎧⇒--+=⎨=⎩ 即()()2420ky k y +--=⎡⎤⎣⎦，所以可得()22242,k k A k k ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭同理得 ()()2222(1)24404y k x k y y k y x⎧-=--⎪⇒--+=⎨=⎪⎩ 即()()2220k y k y ---=⎡⎤⎣⎦，所以可得()222,22k k B k k ⎛⎫⎪ ⎪--⎝⎭()()22222242(2)22222ABk kk k k k k k k k kk k ----∴==-+--- ()2222(2)2222AB k k k k l y x k k k k ⎛⎫-∴-=- ⎪ ⎪--+-⎝⎭：，()2(2)122k k y x k k -=+-+ 所以直线AB 恒过()1,0-21.(本题满分18分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分.解：（1）因为2n a n =，()*2N n b n n =+∈，若数列{}n a 与{}n b 具有关系()1P ，则对任意的*N n ∈，均有1n n a b -≤，即()221n n -+≤，亦即21n -≤，但4n =时，221n -=>， 所以数列{}n a 与{}n b 不具有关系()1P ．（2）证明：因为无穷数列{}n a 是首项为1，公比为13的等比数列，所以113n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为121n n b +=+，所以113nn b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以1112111333n nn n n a b -⎛⎫⎛⎫-=--=-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以数列{}n a 与{}n b 具有关系()P A ．设A 的最小值为0A ，0n n a b A -≤，因为1n n a b -<，所以01A ≤． 若001A <<，则当302log 1n A >-时，0231n A >-，则0213n A ->，这与“对任意的*N n ∈，均有0n n a b A -≤”矛盾， 所有01A =，即A 的最小值为1．（3）因为数列{}n a 是首项为1，公差为()R d d ∈为等差数列，无穷数列{}n b 是首项为2，公比为()*N q q ∈的等比数列， 所以()111n a a n d dn d =+-=+-，112n n n b b q q q-==⋅， 设1d a -=，20b q=>，则n a dn a =+，n n b bq =，*N n ∈． 数列{}n a 与{}n b 具有关系()P A ，即存在正常数A ，使得对任意的*N n ∈，均有n n a b A -≤．（Ⅰ）当0d =，1q =时，1211n n a b -=-=≤，取1A =， 则n n a b A -≤，数列{}n a 与{}n b 具有关系()P A ；（Ⅱ）当0d =，2q ≥时，假设数列{}n a 与{}n b 具有关系()P A ， 则存在正常数A ，使得对任意的*N n ∈，均有n n a b A -≤． 因为n n n n b a a b -≤-，所以，对任意的*N n ∈，n n b a A -≤，即1n bq A ≤+，1n A q b +≤，所以1log q A n b+≤， 这与“对任意的*N n ∈，均有n n b a A -≤”矛盾，不合；（Ⅲ）当0d ≠，1q =时，假设数列{}n a 与{}n b 具有性质()P A ，则存在正常数A ，使得对任意的*N n ∈，均有n n a b A -≤． 因为n n n n a b a b -≤-，所以，对任意的*N n ∈，n n a b A -≤， 即2n a A ≤+，2dn a A +≤+，所以2dn a A -≤+，2a A n d++≤， 这与“对任意的*N n ∈，均有n n a b A -≤”矛盾，不合；（Ⅳ）当0d ≠，2q ≥时，假设数列{}n a 与{}n b 具有性质()P A ，则存在正常数A ，使得对任意的*N n ∈，均有n n a b A -≤． 因为n n n n b a a b -≤-，所以，对任意的*N n ∈，n n b a A -≤， 所以n bq dn a A d n a A ≤++≤++，所以n d a A q n b b+≤+， 设0d b λ=>，0a A bμ+=>，则对任意的*N n ∈，n q n λμ≤+． 因为，2n n q ≥，所以，对任意的*N n ∈，2n n λμ≤+，可以证明：存在1N >，当n N >时，22n n >．（利用()22n f n n =-单调性）又2n n λμ≤+，所以2n n λμ<+，即20n n λμ--<，解得0n << 这与对任意的*N n ∈，2nn λμ≤+矛盾，不合．综上所述，数列{}n a 与{}n b 具有关系()P A 的充要条件为0d =，1q =．。
2020-2021上海奉贤区实验中学高三数学上期中模拟试卷含答案
1) 4n
2 3
，
4
∴ k 2 ．故 k 的取值范围是[ 2 , ) ．选 D．
3
3
2．B
解析：B
【解析】
【分析】
先由 ABC 的三个内角 A, B, C 成等差数列，得出 B , A C 2 ,又因为 sin A 、
3
3
sin B 、 sin C 成等比数列，所以 sin2 B sin Asin C 3 ，整理计算即可得出答案. 4
1．D
解析：D 【解析】
设等比数列an的公比为 q ，则 q3
a4 a1
1 8 ，解得 q
1 2
，
∴ an
1 2n1
，
∴ anan1
1 2n1
1 2n
1 22n1
，
∴数列{anan1} 是首项为
1 2
，公比为
1 4
的等比数列，
∴ a1a2
a2a3
anan1
1 2
(1
1 4n
1 1
)
2 (1 3
三、解答题
21．在 ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,已知 sinB sinC msinAmR ,且
a2 4bc 0 ． (1)当 a 2, m 5 时,求 b, c 的值;
4 (2)若角 为锐角,求 m 的取值范围． 22．设 ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c ，已知 a cos B (2c b)cos A． （Ⅰ）求角 A 的大小； （Ⅱ）若 a 4 ， BC 边上的中线 AM 2 2 ，求 ABC 的面积．
选项 A 错误， x 可能为负数，没有最小值；
选项 B 错误，化简可得 y 2
2020-2021上海上海市实验学校东校高中必修一数学上期末试题(附答案)
t3
6
y
1
1
t3
t3
故函数 f x 的“上界值”是 1；
故选 C
【点睛】
本题背景比较新颖，但其实质是考查复合函数的值域求解问题，属于基础题，解题的关键
是利用复合函数的单调性法则判断其单调性再求值域或
通过换元法求解函数的值域 .
7．D
解析： D
【解析】
【分析】
利用不等式性质及函数单调性对选项依次求值域即可．
x 1 ，所以 t 2x x2 在 0,1 上单调递
增，在 1,2 上单调递减，
根据复合函数“同增异减”的原则函数
f 2x x2 的单调减区间为 0,1 .
故选 C.
点睛：形如 y f g x 的函数为 y g x , y f x 的复合函数， y g x 为内层函
数, y f x 为外层函数 .
当内层函数 y g x 单增，外层函数 y f x 单增时，函数 y f g x 也单增；
【解析】
分析：由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果
.
详解：由题意结合对数函数的性质可知：
a log2 e 1， b ln 2 据此可得： c a b .
1 log 2 e
1
0,1 ， c
log 1
2
3
log 2 3
log 2 e，
本题选择 D 选项 .
点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因
18． 若幂函数 f ( x) = xa 的图象经过点 (3 ，1) ，则 a 2 __________.
9
19． 若函数 f x a2x 4ax 2 （ a 0 ， a 1 )在区间 1,1 的最大值为 10，则
上海市实验学校2021-2022学年高三上学期第一次月考数学试卷
9．如图，某地要在矩形区域 OABC 内建造三角形池塘 OEF ，E 、 C
F
B
F 分别在 AB 、 BC 边上．OA 5 米，OC 4 米，EOF ，
4
E
设 CF x ， AE y ．则写 出 y 关 于 x 的 函 数 解 析 式 ，并 写
O
A
出 x 的 取 值 范 围 ： ______________________
2．不等式
≥4 的解集是______________ （2，12]
3．命题“若 ab≠0，则 a≠0 且 b≠0”的逆否命题为____________________________ “若 a＝0 或 b＝0，则 ab＝0”
4．已知 1 x y 4 且 2 x y 3，则 2x 3y 的取值范围是
二、选择题(本大题共有 4 题，满分 20 分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项 是正确的，选对得 5 分，否则一律得零分.
13．设命题甲为:
2 0
x y xy 3
4
;命题乙为:
0 2
x y
1 3
;则甲是乙的
A．充分不必要条件 C．充要条件
B．必要不充分条件 D．既非充分条件也非必要条件
则 g（8）＝_____________
64
8．已知对于任意非零实数 m ，不等式| 2m 1| | 1 m || m | (| x 1| | 2x 3 |) 恒成立， 则实数 x 的取值范围为 ____________ x 3或x 1
上海市实验学校2020-2021学年高一上学期期末数学试题(解析版)
上海实验学校高一期末数学试卷2021.01一. 填空题1. 集合6{|3P x x =∈-Z 且}x ∈Z ，用列举法表示集合P =________ 【答案】{3,0,1,2,4,5,6,9}- 【解析】 【分析】 由已知可得63Z x ∈-，则636x -≤-≤，解得39x -≤≤且x ∈Z ，结合题意，逐个验证，即可求解. 【详解】由题意，集合6|3P x Z x ⎧=∈⎨-⎩且}a Z ∈，可得63Z x ∈-，则636x -≤-≤， 解得39x -≤≤且x ∈Z ，当3x =-时，6133Z =-∈--，满足题意； 当2x =-时，66235Z =-∉--，不满足题意； 当1x =-时，63132Z =-∉--，不满足题意； 当0x =时，6203Z =-∈-，满足题意； 当1x =时，6313Z =-∈-，满足题意； 当2x =时，6623Z =-∈-，满足题意； 当3x =时，633-，此时分母为零，不满足题意；当4x =时，6643Z =∈-，满足题意； 当5x =时，6353Z =∈-，满足题意； 当6x =时，6263Z =∈-，满足题意； 当7x =时，63732Z =∉-，不满足题意； 当8x =时，66835Z =∉-，不满足题意； 当9x =时，6193Z =∈-，满足题意； 综上可得，集合P ={3,0,1,2,4,5,6,9}-.故答案为：{3,0,1,2,4,5,6,9}-.2. 若关于x 的不等式20x x b -+<的解集是(1,)t -，则b =________ 【答案】2- 【解析】 【分析】根据一元二次不等式与一元二次方程之间的关系求解出结果即可．【详解】解：由题设可知：关于x 的一元二次方程20x x b -+=的两根为1-与t ，由韦达定理可得：11t t b -+=⎧⎨-=⎩，解得：2t =，2b =-，故答案为：2-． 3. 若25a b M ==，且122a b+=，则M =________.【答案】【解析】 【分析】将指数式化为对数式，然后利用对数运算，化简求得m 的值.【详解】25a b M ==,2log a M ∴=,5log ,0b M M =>.1log 2M a ∴=,1log 5M b =. 又∵122a b+=,log 22log 52log 2log 522M M M M ∴+=⇒+=,即log 502M =,250M ∴=,0M M >∴=故答案为：4. 设函数()()121x f x a a +=->的反函数为()1y fx -=，若()121f -=，()2f =___________.【答案】6 【解析】 【分析】本题首先可根据题意以及反函数的性质得出()12f =，然后根据()12x f x a+=-求出a 的值，最后代入2x =，即可得出结果.【详解】因为函数()f x 的反函数为()1y fx -=，()121f -=，所以()12f =，即1122a +-=，解得2a =，()122x f x +=-， 则()212226f +=-=，故答案为：6.5. 设函数21273()3x x ax x f x a x -⎧-+-≤=⎨>⎩是定义在R 上的增函数，则实数a 的取值范围是________ 【答案】[3,)+∞ 【解析】 【分析】根据题意，由函数单调性的定义可得2232(1)1616a a a a a ⎧-=⎪⨯-⎪⎪>⎨⎪-⎪⎪⎩，解可得a 的取值范围，即可得答案．【详解】解：根据题意，函数2127,3(),3x x ax x f x a x -⎧-+-=⎨>⎩是定义在R 上的增函数，则有2232(1)1616a a a a a ⎧-=⎪⨯-⎪⎪>⎨⎪-⎪⎪⎩，解可得3a ，即a 的取值范围为[3,)+∞， 故答案为：[3,)+∞．6. 若不等式2680kx kx k -++≥对任意x ∈R 恒成立，则实数k 的取值范围为_______. 【答案】【解析】【详解】试题分析：时，有80≥，对任意x R ∈恒成立；时，若不等式2680kx kx k -++≥对任意x R ∈恒成立，则需，解得，综上可知，实数k 的取值范围为．考点：含参数不等式恒成立问题，需对二次项系数讨论 7. 若0,0,lg lg lg()a b a b a b >>+=+，则1411b a b +--的最小值为___________. 【答案】8 【解析】 【分析】利用对数运算法则得出,a b 满足的等式，然后利用基本不等式求最值．【详解】∵0,0,lg lg lg()a b a b a b >>+=+，∴lg()lg()ab a b =+，即ab a b =+，∴(1)(1)1a b --=，则1010a b ->⎧⎨->⎩或1010a b -<⎧⎨-<⎩， 若01a <<，01b <<，则110,110a b -<-<-<-<，(1)(1)1a b --<，不合题意， ∴10,10a b ->->．∴()()1444114481111b b b b a b b b +=-+=-++≥=----，当且仅当411b b -=-，即3b =时等号成立，∴所求最小值为8．故答案为：8．【点睛】本题考查对数的运算法则，考查基本不等式求最值．属于中档题．8. 已知函数()f x 的定义域为[9,9]-，其图象关于原点对称，且当(0,9]x ∈时()3213xf x x =+-，则不等式()0f x >的解集为______（用区间表示）.【答案】(2,0)(2,9]-【解析】 【分析】当(0,9]x ∈时，注意到(2)0f =且()f x 单调递增可得()0f x >的解集为(2,9]，再利用奇函数图象的性质可得[9,0)x ∈-时，不等式()0f x >的解集为(2,0)-.详解】易知当(0,9]x ∈时，函数()f x 单调递增，且(2)0f =，故当(0,2)x ∈时，()0f x <， 当(2,9]x ∈时，()0f x >，所以当(0,9]x ∈时，不等式()0f x >的解集为(2,9].因为函数()f x 的图象关于原点对称，所以(0)0f =，且当[9,0)x ∈-时，不等式()0f x >的解集为(2,0)-.故不等式()0f x >的解集为(2,0)(2,9]-.故答案为：(2,0)(2,9]-.【点睛】本题考查利用函数的单调性解不等式，涉及到函数的奇偶性，考查学生的数形结合的思想，是一道中档题.9. 函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且满足()(2)f x f x =-，若(1)3f =，则(1)(2)(50)f f f +++=__________．【答案】3 【解析】 【分析】首先由函数的奇偶性和对称性，分析函数的周期性，再求值. 【详解】()(2)f x f x =-，(2)()f x f x ∴+=-，又()f x 为奇函数，(2)()(),(4)(2)()f x f x f x f x f x f x ∴+=-=-+=-+=()f x ∴是周期为4的周期函数，()f x 是定义在R 上的奇函数，(0)0,(4)(0)0f f f ∴=∴==，(2)(0)0,(3)(1)(1)3f f f f f ===-=-=-(1)(2)(3)(4)0f f f f ∴+++=，()()()()()12...50012123f f f f f ∴+++=⨯++=.故答案为：3．【点睛】本题考查利用函数的奇偶性、对称性和周期性求解函数值的问题，属于中档题型，本题关键是能够通过对称性与周期性的关系确定函数的周期，进而确定函数值的变化特点．10. 已知函数()232020232020f x x x x x x x =++++⋅⋅⋅+++-+-+⋅⋅⋅+-，且243()1()f a a f a -+=-，则满足条件的所有整数a 的和是______.【答案】10 【解析】 【分析】先分析出()f x 是偶函数且(0)(2)(2)f f f ==-，然后即可求出所有的a 的值【详解】因为()232020232020f x x x x x x x =++++⋅⋅⋅+++-+-+⋅⋅⋅+-所以()232020232020f x x x x x x x -=-++-++⋅⋅⋅+-++--+--+⋅⋅⋅+--()232020232020()f x x x x x x x f x ==++++⋅⋅⋅+++-+-+⋅⋅⋅+-=所以()f x 是偶函数若243()1()f a a f a -+=-则2431a a a -+=-或()2431a a a -+=--解得1a =或2或4又因为(0)(2)(2)f f f ==- 所以当3a =时也成立故满足条件的所有整数a 的和是123410+++=故答案为：10【点睛】要善于从一个函数的解析式分析出其性质，比如单调性、奇偶性和一些特有的性质.二. 选择题11. 已知12,x x 是一元二次方程20ax bx c ++=的两个不同的实根12,x x ，则“11x >且21>x ”是“12+2x x >且121x x ⋅>”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件与必要条件的概念， 直接判断，即可得出结果. 【详解】若11x >且21>x ，则121221x x x x +>⎧⎨>⎩；但是1214,2x x ==时，满足121221x x x x +>⎧⎨>⎩，但不满足121,1x x >>．所以“11x >且21>x ”是“12+2x x >且121x x ⋅>”的充分不必要条件． 故选：A.【点睛】本题主要考查充分不必要条件的判定，熟记充分条件与必要条件的概念即可，属于基础题型.12. 若函数()log a f x x =（0a >且1a ≠）在区间2,2a a ⎡⎤⎣⎦上的最大值比最小值多2，则a =（ ）A. 2B. 3或13C. 4或12D. 2或12【答案】A 【解析】【分析】分别讨论1a >和01a <<，然后利用对数函数的单调性列方程即可得解. 【详解】由题意22a a <解得12a >或0a <（舍去）， ①当1a >时，函数()log a f x x =在定义域内为增函数， 则由题意得()2log 2log2aa aa -=，所以log 22a a =即22a a =，解得2a =或0a =（舍去）； ②当112a <<时，函数()log a f x x =在定义域内为减函数， 则由题意得()2log log 22a a a a -=，所以1log 22aa =即212a a=，解得a =；综上可得：2a =.故选：A.【点睛】本题考查了分类讨论思想的应用，考查了对数函数单调性的应用，属于基础题. 13. 定义在R 上的偶函数()f x 在[)0,+∞上是增函数，且()20f =，则不等式()0f x x>的解集为（ ）A. ()()2,00,2- B. ()(),22,-∞-+∞C. ()(),20,2-∞-D. ()()2,02,-+∞【答案】D 【解析】【分析】分0x >和0x <两种情况讨论，利用函数的奇偶性和单调性可解得结果. 【详解】当0x >时，()0f x x>可化为()0f x >， 又()f x 为偶函数且(2)0f =，所以不等式()0f x >可化为(||)(2)f x f >， 因为()f x 在[)0,+∞上是增函数，所以||2x >，解得2x >； 当0x <时，()0f x x>可化为()0f x <， 又()f x 为偶函数且(2)0f =，所以不等式()0f x <可化为(||)(2)f x f <， 因为()f x 在[)0,+∞上是增函数，所以||2x <，解得20x -<<；综上所述：不等式()0f x x>的解集为()()2,02,-+∞.故选：D【点睛】关键点点睛：利用函数的奇偶性和单调性求解是解题关键.14. 设Q 是有理数，集合{|,,0}X x x a a b x ==+∈≠Q ，在下列集合中；（1）{|2,}y y x x X =∈；（2）{|}y y x X =∈；（3）1{|,}y y x X x =∈；（4）2{|,}y y x x X =∈；与X 相同的集合有（ ）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个【答案】B 【解析】 【分析】将x a =+分别代入（1）、（2）、（3）中，化简并判断,p q 与,a b 是否一一对应，再举反例判断（4）.【详解】对于（1），由2(a p +=+2,2p a q b ==，一一对应，则{|2,}y y x x X X =∈=对于（2）2ab p =+=+,2a p d q ==，一一对应，则{|}y y x X X =∈= 对于（3）222222a b p a b a b ⎛⎫=+-=+ ⎪--⎝⎭2222,22a p q a b b b a ==---，一一对应，则1{|,}y y x X X x=∈= 对于（4），1X -，但方程21x -=无解，则2{|,}y y x x X =∈与X 不相同 故选：B三. 解答题15. 已知全集U =R ，集合{|22}A x a x a =<<+，2{|540}B x x x =-+<.（1）若1a =，求A B ；（2）若A B B ⋃=，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{12A B x x ⋂=<≤或34}x ≤<；（2）12a ≥. 【解析】 【分析】（1）先化简集合，再由集合的补集和交集运算求解即可；（2）由A B B ⋃=得A B ⊆，再讨论A =∅，A ≠∅两种情况，根据包含关系得出不等式组，求解得出实数a 的取值范围. 【详解】（1）{14},{23}B x x A x x =<<=<<{2A x x ∴=≤∣或3}x{12A B x x ∴⋂=<≤或34}x ≤<（2）,A B B A B ⋃=∴⊆当A =∅时，满足A B ⊆，由22a a +，解得2a当A ≠∅时，要使得A B ⊆，必须212422a a a a ⎧⎪+≤⎨⎪<+⎩，解得122a ≤<综上，12a ≥【点睛】关键点睛：在第二问中，关键是将并集运算转化为包含关系，即A B B ⋃=得A B ⊆，注意不要忽略集合A 为空集的情况.16. 已知函数2()log f x x =，2()28g x x x =-++.（1）求[(0)]f g 的值；（2）设()[()]h x f g x =，求函数()h x 在[0,4)x ∈上的值域. 【答案】（1）3；（2）2(,log 9]-∞. 【解析】 【分析】（1）可求出(0)8g =，从而可得出[(0)]f g 的值；（2）[0x ∈，4)时，可得出()g x 的值域，进而可得出()h x 在[0，4)上的值域． 【详解】解：（1）因为2()log f x x =，2()28g x x x =-++ 所以(0)8g =，()()208log 83f g f ∴===⎡⎤⎣⎦；（2）22()(28)h x log x x =-++，()2228(1)9g x x x x =-++=--+，[)0,4x ∴∈时，()(]2280,9g x x x =-++∈， 22()log 92log 3h x ∴=，()h x ∴在[)0,4x ∈上的值域为(]2,2log 3-∞．17. 如图所示，设矩形ABCD （AB AD >）的周长为20厘米，把ABC 沿AC 向ADC 折叠，AB 折过去后交DC 于点P ，设AB x =厘米，AD y =厘米.（1）证明：DP B P '=；（2）建立变量y 与x 之间的函数关系式()y f x =，并写出函数()y f x =的定义域；（3）求ADP △的最大面积以及此时的x 的值.【答案】（1）证明过程见解析；（2）()10y f x x ==-，定义域为：(5,10)；（3）ADP △的最大面积为2(752)cm -，此时52x =.【解析】【分析】（1）根据矩形的性质，结合折叠图形的不变性、三角形全等的判定定理和性质定理进行证明即可； （2）直接运用周长公式进行求解即可；（3）根据（1）（2），结合三角形面积公式和基本不等式进行求解即可.【详解】（1）因为ABCD 是矩形，所以有90D B ︒∠=∠=，AD CB =，因为'AB C 是ABC 沿AC 向ADC 折叠所得，所以有'90B B ︒∠=∠=，'CB CB =，因此有'90B D ︒∠=∠=，'CB DA =，在ADP △和'CB P 中，AD CB D B APD CPB =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠''⎩'所以ADP ≌'CB P ，因此DP B P '=；（2）因为AB x =，AD y =，矩形ABCD 的周长为20厘米，所以222010x y y x +=⇒=-，因为AB AD >，所以100x x >->，解得510x <<，所以()10y f x x ==-，定义域为：(5,10)；（3）由（1）可知：ADP ≌'CB P ，所以设AP CP z ==，而ABCD 是矩形，所以DC AB =，因此DP DC CP x z =-=-，在直角三角形ADP 中，有22222250(10)()10AP AD DP z x x z z x x =+⇒=-+-⇒=+-，510x << 所以11150()(10)(10)222ADP S AD DP y x z x x x x=⋅=⋅⋅-=⋅---+，化简得：25025075575(5)7575ADP S x x x x =--=-+≤-=-当且仅当2505x x=时取等号，即x =时，ADP △的最大面积为2(75cm -. 18. 已知函数()22x x f x k -=⋅-是定义域为R 上的奇函数.（1）求k 的值；（2）用定义法证明函数的单调性，并求不等式2(2)(4)0f x x f x ++->的解集；（3）若22()222()x x g x mf x -=+-在[1,)+∞上的最小值为2-，求m 的值.【答案】（1）1k =；（2）证明见解析，(,4)(1,)-∞-+∞；（3）2m =．【解析】【分析】 （1）因为()f x 是定义域为R 上的奇函数，根据奇函数性质(0)0f =，结合已知，即可求得答案； （2）先根据定义法判断()f x 的单调性，结合奇函数性质，即可求解不等式的解集；（3）因为22()222()x x g x mf x -=+-，令22x x t -=-，可得2()()22h t g x t mt ==-+，分别讨论32m ≥和32m <，即可求得m 的值. 【详解】（1）()f x 是定义域为R 上的奇函数，根据奇函数性质()()f x f x -=-可得当0x =时，可得(0)0f =()000?220f k -=-=即：10k -=解得：1k =（2）由（1）可得：1k =∴()22x x f x -=-可知()f x 的定义为R在R 上任取12,x x ，且21x x >，即210x x ->111()22x x f x -=-222()22x x f x -=-∴()()221121()()2222x x x x f x f x ---=---()2112112222x x x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭ ()()211221222222x x x x x x -=-+⋅()2112122102x x x x ⋅⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭∴()f x 在R 上单调递增，∴2(2)(4)0f x x f x ++->可化简为：()22(4)f x x f x +>- 224x x x ∴+>-，即2340x x +->，解得1x >或4x <-．∴不等式的解集为(,4)(1,)-∞-+∞． （3）22()222()x x g x mf x -=+-∴()()()222()22222222222x x x x x xx x g x m m ----=+--=---+．令22x x t -=-，则2()()22h t g x t mt ==-+． 1x ≥，32t ∴≥．2223()22()22h t t mt t m m t ⎛⎫∴=-+=--+≥ ⎪⎝⎭ 当32m ≥时，则当t m =时，2min ()22h t m =-+=-，解得2m =； 当32m <时，则当32t =时，min 17()324h t m =-=-，解得253122m =>，(舍去)． 综上所述，2m =．【点睛】关键点点睛：本题主要考查了根据奇偶性和单调性解不等式和根据函数最值求参数，解题关键是掌握定义法判断函数单调性的步骤和根据函数最值求参数的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.四. 附加题19. 设函数()|2|||f x x x a =-+-，其中a ∈R .（1）当1a =时，解不等式()21f x x ≥-；（2）若关于x 的不等式()1f x x ≥-恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）(,1]-∞；（2）(,1]a ∈-∞.【解析】【分析】（1）根据题意得到2121x x x -+-≥-，分1x ≤，12x <<，2x ≥三种情况讨论，即可得出结果； （2）先由关于x 的不等式()1f x x ≥-恒成立，得到21x x a x -+-≥-恒成立，代入特殊值可知f （2）≥1，从而有a ≤1或a ≥3；令F （x ）＝f （x ）﹣x +1，分类讨论a ≤1或a ≥3时F （x ）的最小值，使得F （x ）min ≥0，可求出a 的取值范围.【详解】（1）当1a =时，()21f x x ≥-即为2121x x x -+-≥-，当1x ≤时，2121x x x -+-+≥-，解得1x ≤；当12x <<时，121x ≥-，可得x 解集空集；当2x ≥时，2121x x x -+-≥-，解得x 解集为空集，综上，原不等式的解集为(],1-∞；（2）关于x 的不等式()1f x x ≥-恒成立，即为21x x a x -+-≥-恒成立，因为f （2）≥1成立，即|2﹣a |≥1，解得a ≤1或a ≥3，设函数F （x ）＝f （x ）﹣x +1，则F （x ）≥0恒成立，若a ≥3，则F （x ）＝1,1,233,2x a x a x a x a x a x --≥⎧⎪-+-<<⎨⎪-++≤⎩，由此F （x ）min ＝﹣1与F （x ）≥0恒成立矛盾，若a ≤1，则F （x ）＝1,23,233,x a x x a a x x a x a --≥⎧⎪-+-<<⎨⎪-++≤⎩，由此F （x ）min ＝1﹣a ≥0恒成立，符合F （x ）≥0恒成立的要求，综上，a 的取值范围为（﹣∞，1]．【点睛】方法点睛：（1）含绝对值的不等式的解法，通常需要用到分类讨论的思想，去掉绝对值求解； （2）含绝对值不等式的恒成立有解问题，可以通过做图像数形结合的方法求参，也可以通过含参讨论去绝对值求参.20. 已知a 、b 、c 、d 都是区间[1，2]上的实数，求证：|()()()()|4abcd a b b c c d d a ----. 【答案】证明见解析【解析】【详解】根据题意，|()()()()|4abcd a b b c c d d a ---- 2222()()()()116a b b c c d d a ab bc cd da----⇔⋅⋅⋅. 由于2()1122022a b a a ab b b -⎛⎫⎛⎫⇔-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 因为a ，b ∈[1，2]，所以上式成立同理222()1()1()1,,222b c c d d a bc cd da ---. 将上面的4个不等式相乘就得到所要证明的不等式.其中当(a ，b ，c ，d )=(2，1，2，1)或(，2，1，2)时等号成立.。
上海市实验学校2022届高三上学期摸底考试数学试题(含答案)
（2）求三棱锥 的体积.
答案：（1） ；（2）
18.如图，有一景区的平面图是一个半圆形，其中O为圆心，直径 的长为 ，C，D两点在半圆弧上，且 ，设 ；
（1）当 时，求四边形 的面积.
（2）若要在景区内铺设一条由线段 ， ， 和 组成的观光道路，则当 为何值时，观光道路的总长l最长，并求出l的最大值.
4已知 ，则 ______.
5.非零向量 ， 满足 ， 且 ， 与 夹角为 ，则 ___________.
6.已知直线l过点（1，0）且与直线 x+y﹣1＝0垂直，l与圆C：（x﹣6）2+（y ）2＝12交于A，B两点，则弦AB的长为_____．
7.若 ， 满足约束条件 ，则 的最小值为______.
19.已知函数 ，其中 .
（1）判断函数 的奇偶性；
（2）解关于x的不等式： ；
（3）若函数 有三个不等实根，求实数a的取值范围.
20.已知数列 各项均为正数， 为前n项的和，且 ， ， 成等差数列.
（1）求数列 通项公式 ；
（2）设 ， 为数列 的前n项和，求 ；
（3）设 为数列 的前n项积，是否存在实数a，使得不等式 对一切 都成立？若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由.
上海市实验学校2021学年度第一学期摸底考试
高三数学试卷
一､填空题（本大题共有12题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.
1.复数 的共轭复数是__________.
2. ___________.
3.已知集合 ， ，则 ______.
答案：
4已知 ，则 ______.
上海市松江区2020-2021学年第一学期一模考试 高三年级 数学 试卷及参考答案
（2）若直线 l 经过点T (0, 4) ，且 OMN 的面积为 2 2 ，求直线 l 的方程；
（3）若直线 l 的方程为 y = kx + t(k 0) ， 点 M 关于 x 轴的对称点为 M ，直线 MN 、 M N 分别与 x 轴
相交于 P 、 Q 两点，求证： OP OQ 为定值．
第3页
松江区 2020 学年度第一学期期末质量监控试卷
高三数学
（满分 150 分，完卷时间 120 分钟）
2020．12
考生注意：
1．本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂（选择题）或写（非
选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分。
2．答题前，务必在答题纸上填写学校、班级、姓名和考号。
▲．
8．在 (x2 + 2 )6 的二项展开式中，常数项等于 ▲ ． x
9．在 ABC 中，角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ，且 3b + 2c 2a = 0 ，则角 A = ▲ ． cos B 1
10．从以下七个函数:
y
=
x
,
y
=
1 x
,
y
=
x2
,
y
=
2x
,
y
=
log2
x
,
y
=
sin
x
,
y
=
cos
x 中选取两个函数记为
f (x) 和 g(x) ，构成函数 F(x) = f (x) + g(x) ，若 F(x) 的图像如图所示，则 F(x) = ▲ ．
11．已知向量 a = b = c = 1，若 a b = 1 ，且 c = xa + yb ，则 x + y 的最大值为 ▲ ． 2