中考新题型――知识渗透型

中考新题型――知识渗透型
所谓知识渗透型中考试题，就是以同学们没有学过的，与高一级知识衔接的各类问题为背景设计的中考试题，这类问题渐渐地成为这几年中考的新亮点.初高中知识是相互联系的，高中数学知识是初中数学知识的延拓和提高.加强对初高中数学衔接内容的考查，有助于培养学生的自学能力，有利于提高学生的阅读理解能力和分析问题、解决问题的能力.下面择几例供大家欣赏学习.
一、关于完全数
例1（2007年临沂市）如果一个数等于它的不包括自身的所有因数之和，那么这个数就叫完全数.例如，6的不包括自身的所有因数为1、2、3，而且6＝1+2+3，所以6是完全数.大约2200多年前，欧几里德提出：如果2n －1是质数，那么2n -1(2n －1)是一个完全数.请你根据这个结论写出6之后的下一个完全数______.
简析 依题意，得当n ＝1时，2n -1(2n －1)＝1＜6；当n ＝2时，2n -1(2n －1)＝6＝6；当n ＝3时，2n -1(2n －1)＝28＞6；所以，根据这个结论写出6之后的下一个完全数28. 说明 利用完全数的定义，即可求出符合题意的答案.
二、关于二阶行列式
例2（2007年黔东南州）
a b c d 叫做二阶行列式，它的算法是：ad －bc ，请你计算1234 ＝ .
简析 由已知二阶行列式的运算方法可知1234
＝1×4－2×3＝4－6＝－2. 说明 显然本题虽然取材于高中的二阶行列式，看似很难，但只要理解其运算的方法，求解的问题就一点也不难.
三、关于阶乘与求和运算
例3（2007年茂名市）在数学中，为了简便，记1n
k k =∑＝1+2+3+…+(n －1)+n .
1！＝1，2！＝2×1，3！＝3×2×1，…n ！＝n ×(n －1)×(n －2)×…×3×2×1. 则2006
1k k =∑－20071k k =∑+
2007!2006!
＝＿＿＿. 简析 仿照求和与阶乘运算法则，得2006
1k k =∑－20071k k =∑+2007!
2006!＝[1+2+3+…+2006]－
[1+2+3+…+2007]+20072006200532120062005321
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ ＝－2007+2007＝0. 说明 阶乘与求和的形式我们都没有见过，看似挺吓人的，但读懂了题目，理解了含义，小心运算，其实也没有什么大不了的.
四、关于排列组合
例4（2007年巴中市）先阅读下列材料，然后解答问题：
从A ，B ，C 三张卡片中选两张，有三种不同选法，抽象成数学问题就是从3个元素中
选取2个元素组合，记作23C ＝3221
⨯⨯＝3. 一般地，从m 个元素中选取n 个元素组合，记作：C n
m ＝
(1)(1)(1)321m m m n n n --+-⨯⨯⨯ . 例：从7个元素中选5个元素，共有5
7C ＝7654354321
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯＝21种不同的选法. 问题：从某学习小组10人中选取3人参加活动，不同的选法共有 种. 简析 通过阅读可知从10人中选取3人参加活动，不同的选法共有310C ＝1098321
⨯⨯⨯⨯＝120种.
说明 看似好难的样子，但只要你认真地阅读题目，通过模仿其运算，实质是很容易求解的，这也是这类知识渗透型试题的一个特点，同学们在具体答题不必害怕，要有战胜困难的勇气和信心.
五、关于等比数列
例5（2007年内江市）探索研究：
（1）观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是＿＿＿；根据此规律，如果a n （n 为正整数）表示这个数列的第n 项，那么a 18＝＿＿＿，a n ＝＿＿＿；
（2）如果欲求1+3+32+33+…+330的值，可令S ＝1+3+32+33+…+330，…①
将①式两边同乘以3，得＿＿＿，…②
由②减去①式，得S ＝＿＿＿.
（3）用由特殊到一般的方法知：若数列a 1，a 2，a 3，…，a n ，从第二项开始每一项与前一项之比的常数为q ，则a n ＝ （用含a 1，q ，n 的代数式表示），如果这个常数q ≠1，那么a 1+a 2+a 3+…+a n ＝＿＿＿（用含a 1，q ，n 的代数式表示）.
简析（1）因为4÷2＝2；8÷4＝2；16÷8＝2；32÷16＝2；…由此可知，这个常数是2；而2＝21，4＝22，8＝23，16＝24，32＝25，…，根据此规律a 18＝218；a n ＝2n .（2）依题意，得3S ＝3+32+33+34+…+321，所以S ＝12
(321－1).（3）依题意，得a 1，a 2＝a 1q ，a 3＝a 1q 2，…，由此，a n ＝a 1q n -1.设S ＝a 1+a 2+a 3+…+a n ＝a 1+a 1q +a 1q 2+…+a 1q n -1＝a 1(1+q +q 2+…+q n -1)，即S ＝a 1(1+q +q 2+…+q n -1)…①，①×q ，得Sq ＝a 1(q +q 2+q 3+…+q n )…②，由②－①，得Sq －S ＝a 1
(q +q 2+q 3+…+q n )－a 1(1+q +q 2+…+q n -1)＝a 1(q n －1)，即Sq －S ＝a 1(q n
－1)，所以S ＝1)1(1--q q a n . 说明 本题的第（1）问由于入口较容易，所以还不算难，第（2）问题顺着题目的思路不能接下去完成，只是第（3）问则要求我们通过阅读第（2）问，发挥自己的聪明才智，都能正确求解.
六、关于绝对坐标
例6（2007年乐山市）如图，在直角坐标系中，已知点P 0的坐标为(1，0)，将线段OP 0 按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP 0的2倍，得到线段OP 1；又将线段OP 1按逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP 1的2倍，得到线段OP 2；如此下去，得到线段OP 3，OP 4，…，OP n （n 为正整数）
（1）求点OP 6的坐标；
（2）求△P 5OP 6的面积；
（3）我们规定：把点P n (x n ，y n )(n ＝0，1，2，3，…)的横坐标x n 、纵坐标y n 都取绝对值后得到的新坐标(n x ，n y )称之为点P n 的“绝对坐标”.根据图中点P n 的分布规律，请你猜想点P n 的“绝对坐标”，并写出来.
简析（1）根据旋转规律，点P 6落在y 轴的负半轴，而点P n 到坐标原点的距离始终等于前一个点到原点距离的2倍，故其坐标为P 6(0，26)，即P 6(0，64).（2）由已知可得，△P 0OP 1∽△P 1OP 2∽…∽△P n －1OP n ，设P 1(x 1，y 1)，则y 1＝2sin45°
所以S △P 0OP 1＝12
×1
2.又因为61
OP OP ＝32，所以5601P OP P OP S S △△＝2321⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1024，即S △P 5OP 6＝1024
×2＝
（3）由题意知，OP 0旋转8次之后回到x 轴正半轴，在这8次中，点P n 分别落在坐标象限的平分线上或x 轴或y 轴上，但各点绝对坐标的横、纵坐标均为非负数，因此，点P n 的坐标可分三类情况：令旋转次数为n . ①当n ＝8k 或n ＝8k +4时（其中k 为自然数），点P n 落在x 轴上，此时，点P n 的绝对坐标为(2n ，0)；②当n ＝8k +1或n ＝8k +3或n ＝8k +5或n ＝8k +7时（其中k 为自然数），点P n 落在各象限的平分线上，此时，点P n 的绝对坐标为
2n
×2n )，即(2n －
2n －
；③当n ＝8k +2或n ＝8k +6时（其中k 为自然数），点P n 落在y 轴上，此时，点P n 的绝对坐标为
说明 本题中定义的绝对坐标问题是我们没有见过的，但通过说明，对照图形，我们还是可以运用所学过的知识求解，这里应注意分情况讨论.
5。