2.6 反函数

2.6反函数
二、函数
高考要求：理解反函数的意义，会求一些函数的反函数；掌握互为反函数的函数图象间的关系，会利用与的性质解决一些问题．
考点回顾：
1．反函数存在的条件：从定义域到值域上的一一映射确定的函数才有反函数；2．反函数的定义域、值域上分别是原函数的值域、定义域，若与
互为
反函数，函数的定义域为、值域为，则，
；
3．互为反函数的两个函数具有相同的单调性，它们的图象关于对称．4．求反函数的一般方法：
（1）由解出，
（2）将中的互换位置，得，（3）求的值域得
的定义域．
考点例析：
考点1、求反函数
EG1．求下列函数的反函数：
（1）；
（2）；
（3）．
解：（1）由得，∴，
∴所求函数的反函数为．
（2）当时，得，
当时，得，
∴所求函数的反函数为．
（3）由得，
∴，
∴所求反函数为．
B1-1.函数的反函数是（C）
（A）（B）
（C）（D）
B1-2.已知函数f(x)=x5－5x4+10x3－10x2+5x－1，则f(x)的反函数为(C) A．B．
C．D．
B1-3.．设函数f(x)=1-，则函数y=的图象是（B）
考点2、反函数性质的应用
EG2．函数的图象关于对称，求的值．
解：由得，
∴，
由题知：，，∴．
B2-1．若既在的图象上，又在它反函数图象上，求的值．解：∵既在的图象上，又在它反函数图象上，
∴，∴，∴．
B2-2．设函数，又函数与的图象关于对称，求的值．
解法一：由得，∴，，
∴与互为反函数，由，得．
解法二：由得，∴，∴．要认真体会，用好解法二。

B2-3已知函数f（x）是函数y=－1（x∈R）的反函数，函数g（x）的图
象与函数y=的图象关于直线y=x－1成轴对称图形，记F（x）=f（x）+g （x）.
（1）求F（x）的解析式及定义域.
（2）试问在函数F（x）的图象上是否存在这样两个不同点A、B，使直线AB恰好与y轴垂直?若存在，求出A、B两点坐标；若不存在，说明理由.
解：（1）由y=－1（x∈R），得10x=，x=lg.∴f（x）=lg
（－1＜x＜1）.
设P（x，y）是g（x）图象上的任意一点，则P关于直线y=x－1的对称点P′的坐标为（1+y，x－1）.
由题设知点P′（1+y，x－1）在函数y=的图象上，∴x－1=.
∴y=，即g（x）=（x≠－2）.
∴F（x）=f（x）+g（x）= +，其定义域为{x|－1＜x＜1}.
（2）∵f（x）= =）（－1＜x＜1）是减函数，g（x）=
（－1＜x＜1）也是减函数，∴F（x）在（－1，1）上是减函数.
故不存在这样两个不同点A、B，使直线AB恰好与y轴垂直.
实战训练
1.函数y=f(x)的图象与直线y=x有一个交点，则y=f-1(x)与y=x的交点个数为( )（B）
(A)O个(B)1个(C)2个(D)不确定
2.奇函数y=f(x)(x∈R)的反函数为y=f-1(x)，则必在y=f-1(x)的图象上的点是( ) （B）
(A)(-f(a)，a) (B)(-f(a)，-a) (C)(-a，-f(a)) (D)(a，f-1(a))
3.已知函数y=-的反函数f-1(x)=，则f(x)的定义域为( )（D）
(A)(-2，0) (B)[-2，2] (C)[-2，0] (D)[0,2]
4．已知函数的图象关于直线对称,那么.
（解法见EG2）
5、已知函数y= 的反函数是y=，则函数y= 的图象是（C）
6．函数在区间［1，2］上存在反函数的充分必要条件是D A. B. C. D.
7．已知函数图象关于点（2，－3）对称，则a的值为
A．3 B．－2 C．2 D．－3
8.若函数y=f(x)存在反函数，则方程f(x)=2c(c为常数)( )C
(A)有且只有一个实根(B)至少有一个实根
(C)至多有一个实根(D)没有实根
9.函数f(x)=x+b与g(x)=ax-5互为反函数，则a，b的值分别为()A
(A)a=2，b=(B)a=，b=2 (C)a=，b=-5 (D)a=-5，b=
10.如果函数y=f(x)的图象过点(0，1)，则y=+2的图象必过点()A
(A) (1,2) (B)(2,1) (C) (0,1) (D)(2,0)
11.（2005年北京东城区模拟题）函数y=－（x≠－1）的反函数是
A.y=－－1（x≠0）
B.y=－+1（x≠0）
C.y=－x+1（x∈R）
D.y=－x－1（x∈R）
解析：y=－（x≠－1）x+1=－x=－1－.x、y交换位置，得y=－1－.
答案：A
12函数y=+1（x＞0）的反函数为
A.y=－1（x＞1）
B.y=+1（x＞1）
C.y=－1（x＞0）
D.y=+1（x＞0）
解析：函数y=+1（x＞0）的值域为{y|y＞1}，由y=+1，解得x=－1.
∴函数y=+1（x＞0）的反函数为y=－1（x＞1）.
答案：A
13．函数f（x）=－（x≥－）的反函数
A.在［－，+∞）上为增函数
B.在［－，+∞）上为减函数
C.在（－∞，0］上为增函数
D.在（－∞，0］上为减函数
解析：函数f（x）=－（x≥－）的值域为{y|y≤0}，而原函数在［－，+∞）上是减函数，
所以它的反函数在（－∞，0］上也是减函数.
答案：D
14．（2006年福建卷）函数的反函数是（A）
（A）（B）
（C）（D）
15．（2006年安徽卷）函数的反函数是（）
A．B．C．D．
按分段函数的反函数的求法解。

选C。

16．（2006年陕西卷）设函数的图像过点（2，1），其反函数的图像过点，则等于（）（B ）
（A）3 （B）4 （C）5 （D）6
17．（2006年全国卷II）函数y＝ln x－1(x＞0)的反函数为(B)
（A）y＝(x∈R) （B）＝(x∈R)
（C）y＝(x＞1) (D)y＝(x＞1)
18．（2006年全国卷I）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则
A．B．
C．D．
解：的反函数是y =，所以。

选D。

19．(2006年山东卷）函数y=1+(0<a<1)的反函数的图象大致是(A)
（A）（B）
20．（2006年上海卷）若函数＝（＞0，且≠1）的反函数的图像过点（2，－1），则＝．
21.（2006年上海卷）函数的反函数
_____{.}
22．（2005年春季上海，4）函数f（x）=－（x∈（－∞，－2］）的反函数f－1（x）=_____.
解析：y=－（x≤－2），y≤－4.
∴x=－.x、y互换，
∴f－1（x）=－（x≤－4）.
答案：－（x≤－4）
23．.若函数f（x）=，则f－1（）=___________.
解法一：由f（x）=，得（x）=. ∴（）==1.
解法二：由=，解得x=1. ∴（）=1.
答案：1
24．已知，是上的奇函数．
（1）求的值
（2）求的反函数
（3）对任意的解不等式．
解：（1）由题知，是上的奇函数所以，得，（2）∵，得，
∴．
（3）∵，∴，∴，
①当时，原不等式的解集，
②当时，原不等式的解集．
经典回顾：
1.已知函数f（x）=的图象关于直线y=x对称，求实数m.
解：∵f（x）的图象关于直线y=x对称，又点（5，0）在f（x）的图象上，∴点（0，5）也在f（x）的图象上，即－=5，得m=－1.
2.已知函数f（x）=a+b＞0，b≠1）的图象经过点（1，3），
函数（x+a）（a＞0）的图象经过点（4，2），试求函数（x）的表达式.
解：∵函数f（x）=a+（b＞0，b≠1）的图象经过点（1，3），
∴a+=3，a=3－=3－1=2.又函数（x+a）（a＞0）的图象经过点（4，2），∴（4+a）=2.
∴f（2）=4+a=4+2=6，即2+=6. ∴b=4.
故f（x）=2+.再求其反函数即得（x）=（x－2）+1（x＞2）.
3.已知函数f（x）=2（－）（a＞0，且a≠1）.
（1）求函数y=f（x）的反函数y=（x）；
（2）判定（x）的奇偶性；
（3）解不等式（x）＞1.
解：（1）化简，得f（x）=. 设y=，则=.∴x=.
∴所求反函数为：y=（x）=（－1＜x＜1）.
（2）∵（－x）===－=－（x），∴（x）是奇函数.
（3）＞1.
当a＞1时，原不等式＞a＜0.∴＜x＜1.
当0＜a＜1时，原不等式
解得∴－1＜x＜.
综上，当a＞1时，所求不等式的解集为（，1）；
当0＜a＜1时，所求不等式的解集为（－1，）.
4.已知函数f（x）=（x＞1）.
（1）求f（x）的反函数（x）；
（2）判定（x）在其定义域内的单调性；
（3）若不等式（1－）（x）＞a（a－）对x∈［，］恒成立，求实数a的取值范围.
解：（1）由y=，得x=.
又y=，且x＞1，∴0＜y＜1.
∴（x）=（0＜x＜1）.
（2）设0＜＜＜1，则－＜0，1－＞0，1－＞0.
∴－=＜0，即＜.
∴在（0，1）上是增函数.
（3）由题设有（1－）＞a（a－）.
∴1+＞－a，即（1+a）+1－＞0对x∈［，］恒成立.显然a≠－1.令t=，
∵x∈［，］，∴t∈［，］.
则g（t）=（1+a）t+1－＞0对t∈［，］恒成立.
由于g（t）=（1+a）t+1－是关于t的一次函数，∴g（）＞0且g（）＞0，
即解得：－1＜a＜.。