八年级上册数学零次幂和负整数指数幂
零指数幂与负整数指数幂
数指数幂的运算规则实际上是零指数幂运算规则的一种扩展。
06
零指数幂与负整数指数 幂的实例
零指数幂的实例
定义
零指数幂定义为1的0次方等于1。
实例
例如，10^0 = 1，5^0 = 1，2^0 = 1等。
负整数指数幂的实例
定义
负整数指数幂定义为1除以正整数 指数幂。
实例
例如，2^(-3) = 1/8，5^(-2) = 1/25，10^(-1) = 1/10等。
应用
在解决实际问题时，我们 通常使用零指数幂的性质 来简化计算。
负整数指数幂的性质
定义
负整数指数幂定义为1除以正整数指数幂的倒数，即a^(-n) = 1 / (a^n)，其中a为底数， n为正整数。
性质
负整数指数幂的性质是底数不能为0，因为任何数的0次方都等于1，所以当底数为0时， 结果无意义。此外，当n为奇数时，负整数指数幂的结果为正数；当n为偶数时，负整数 指数幂的结果为负数。
应用
在解决实际问题时，我们通常使用负整数指数幂的性质来简化计算。例如，在物理学中， 我们经常使用负整数指数幂来表示单位不同的量，如速度和时间的关系v = t^-1等。
03
指数幂的运算规则
零指数幂的运算规则
定义
零指数幂定义为1的0次方 等于1，即任何非零数的0 次幂等于1，而0的0次幂 无定义。
计算方法
使用场景
在科学计算、工程领域中经常出现，用于计算逆运算情况。
04
指数幂的应用
零指数幂在生活中的应用
物理单位换算
在物理学科中，零指数幂被广泛应用于单位换算，例如在计算能 量转换时，需要用到零指数幂进行单位转换。
化学方程式配平
在化学学科中，零指数幂被用于配平化学方程式，确保反应前后的 原子数量相等。
湘教版数学八年级上册 零次幂和负整数指数幂
例5 把下列各数写成分数的形式：
(1)32；
(2) 2 (2) 3.
解：
三 用科学记数法表示绝对值小于 1 的数 忆一忆： 科学记数法：绝对值大于 10 的数可记成 a×10n 的形式， 其中 1≤a＜10，n 是正整数.
例如，864000 可以写成 8.64×105 . 想一想： 怎样用科学记数法表示 0.0000864？
例6 2010年，国外科学家成功制造出当时世界上最小 的晶体管，它的长度只有 0.000 000 04 m，请用科学记 数法表示它的长度，并在计算器上把它表示出来．
解：0.000 000 04 = 4×0.000 000 01 = 4×10－8． 计算器屏幕显示如图所示．
例7 用小数表示下列各数：
指数幂的
整 意 义 2. 负整数指数幂：当 n 是正整数时，
数 指
a-n＝
1 an
(a≠0)
数
幂
科学记数法表示 0.00…01 10n
绝对值较小的数 n 个 0
3 2 2
9. 4
3
2 3
2
.
例4
若
a
=
2 3
-2
，b
=
(-1)-1，c
=
3 2
0
，则
a，b，
c 的大小关系是（ B ）
A．a＞b＝c
B．a＞c＞b
C．c＞a＞b
D．b＞c＞a
解 析32：0a==1，故23
-2=
3 2
a＞c＞b.
2
=
9 4
，b
=
(-1)-1
=
-1，c
=
方法总结：关键是理解负整数指数幂的意义，依次 计算出结果．当底数是分数时，只要把分子、分母 颠倒，负指数就可变为正指数．
零次幂和负整数指数幂教案
1.3.2 零次幂和负整数指数幂教学目标1 通过探索掌握零次幂和负整数指数幂的意义。
2 会熟练实行零次幂和负整数指数幂的运算。
3 会用科学计数法表示绝对值较少的数。
4 让学生感受从特殊到一般是数学研究的一个重要方法。
教学重点、难点重点：零次幂和负整数指数幂的公式推导和应用，科学计数法表示绝对值绝对值较少的数。
难点：零次幂和负整数指数幂的理解 教学过程一 创设情境，导入新课1 同底数的幂相除的法则是什么？用式子怎样表示？用语言怎样表达？()0,m n m n a a a a m n -÷=≠、是正整数，且m>n2 这这个公式中，要求m>n,假如m=n,m<n,就会出现零次幂和负指数幂，如：333300)a a a a a -÷==≠（，232310)a a a a a --÷==≠（，010)a a a -≠、（有没有意义？二 合作交流，探究新知 1 零指数幂的意义 （1）从特殊出发：填空：222___2333_-____3444__-___43___,33=33,35__,5555,510__,10101010,10-=÷==÷===÷==思考：22223333÷、这两个式子的意义是否一样，结果应有什么关系？所以：222023=3333÷=，同样：444041010101010=÷=由此你发现了什么规律？ 一个非零的数的零次幂等于1. （2）推广到一般： 一方面：0(0)mmm ma a aa a -÷==≠，另一方面：11111m m m ma a a a ⋅===⋅ 启发我们规定：01(0)a a =≠ 试试看：填空：()()00000222=_,10_,,=__(x 0),3_,1_3x x π⎛⎫=≠-=+= ⎪⎝⎭2. 负整数指数幂的意义。
（1）从特殊出发：填空：223___33=_,33=333-÷=，335_-____55_,55555=÷== 447__-___710__,1010101010=÷== （2）思考：22333333÷与的意义相同吗？所以他们的结果应该有什么关系呢？（-113=3）同样：，-2-323115=10=510， （3）推广到一般： na-=()00110,n n n n n a a a a a a n a--==÷=÷=≠是正整数 （4）再回到特殊：当n=1是，-1a =？ ()-1a =1 试试看：2 若128x=，则x=____,若1110x -=，则x=___, 若100.0001x =，则x=___. 3 科学计数法（1）用小数表示以下各数：-1-2-3-410101010，，，。
零指数幂与负整数指数幂
1 化简(x－1)2·x3的结果是( )
A．x5 C．x
B．x4 1
D. x
2 下列运算正确的是( A．a6÷a2＝a3 C．2－3＝－6
)
B．(ab2)2＝ab4
D.
1 3
1＝－3
知2－练
3 下列各式的计算中，不正确的个数是( )
①100÷10－1＝10；
②10－4×(2×7)0＝1 000；
九、要点梳理（课文回放）。
作者用细腻的笔触、传神的语言介绍了 《蒙娜 丽莎》 画像， 具体介 绍了___ ______ _，___ ______ _，特 别详细 描写了 蒙娜丽 莎的___ ______ _和___ ______ _，以 及她___ ______ _、___ ______ _和___ ______ _；最 后用精 炼而饱 含激情 的语言 告诉大 家，蒙 娜丽莎 给人带 来了心 灵的震 撼，留 下了永 不磨灭 的印象 。 综合能力日日新
第8章 整式的乘法与因式分解
8.1 幂的运算
第5课时 零指数幂与负 整数指数幂
1 课堂讲解 零指数幂
负整数指数幂
2 课时流程 整数指数幂的性质
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
一种液体每升含有1014个有害细菌，为了试验某 种杀菌剂的效果，科学家们进行了实验，发现1滴杀 菌荆可以杀死1016个此种细菌．要将1升液体中的有 害细菌全部杀死，需要这种杀菌剂多少滴?你是怎样 计算的?
3 若(x－3)0－2(3x－6)－2有意义，则x的取值范围
是( )
A．x＞3
B．x≠3且x≠2
C．x≠3或x≠2
D．x＜2
知识点 3 整数指数幂的性质
例4 计算：x2·x3÷x－4＝____x_9 ___． 导引：x2·x3÷x－4＝x2＋3－(－4)＝x9.
2018年秋八年级数学上册 第1章 分式 1.3 整数指数幂 1.3.2 零次幂和负整数指数幂讲义 (新版)湘教版
7．若(x－3)0－2(3x－6)－2 有意义，则 x 的取值范围是( D )
A．x≠3
B.x≠2
C．x≠2 或 x≠3
D.x≠2 且 x≠3
8．若 a＝2－2，b＝(π－1)0，c＝(－1)3，则 a、b、c 的大小关系是( B )
A．a＞b＞c
B.b＞a＞c
C．c＞a＞b
D.b＞c＞a
9．将 3.14×10－5 用小数表示为 0.0000314；
1 an
1 别地，a－1＝ a (a≠0)．
(a≠0，n 是正整数)，特
自我诊断 2. (1)(12)－1＝ 2 ；(2)(－3)－2 的倒数是 9 . 科学记数法：利用 10 的负整数次幂，可以用科学记数法表示一
些绝对值较小的数，即将它们表示成 a×10－n 的形式(n 是正整数，1≤|a|
＜10)．用公式表示为：
2018秋季
数学 八年级 上册•X
第1章 分式
1.3 整数指数幂 ：a0＝ 1 (a≠ 0 )，即：任何非零实数的零次幂等
于1 .
自我诊断 1. (1)(π－3)0＝ 1 ； (2)若(2x＋1)0＝1，则 x 的取值范围是
x≠－21
.
负整数指数幂：a－n＝ (1a)n ＝
(2)(－25)－2＋(－π)0－(－53)－2＋(－32)－1×(－13)－2.
解：原式＝245＋1－295－32×9＝18090.
13．求下列各式中的 x 值． (1)3x＝217； 解：x＝－3； (2)(－2)x＋2＝－312. 解：x＝－7. 14．已知 3m＝217，(12)n＝16，求 mn 的值． 解：由题意得：m＝－3，n＝－4，∴mn＝(－3)－4＝811.
若 2.8×10x＝0.000028，则 x＝ －5 . 3
最新湘教版初中数学八年级上册1.3.2零次幂和负整数指数幂优质课教案
13 整数指数幂132 零次幂和负整数指数幂知识技能目标1使学生理解a0的意义，并掌握a0＝1(a≠0)；2使学生理解a-n（n是正整数）的意义，并掌握a-n＝1（a≠0，n是正整数）；na3使学生理解并掌握幂的运算律对于整数指数都成立，并会正确运用．过程性目标1使学生理解引进a0、a-n（n是正整数）规定的必要性，体会到数学的严密性和逻辑性；2使学生在复习正整数指数幂的运算律时，体会到它对0指数幂、负整数整数指数幂的运算也适用，能把运算律一起记住，并会正确运用．情感态度目标简洁的内容，在形式上尽可能做到活泼，从而培养学生之间的感情，有利于形成和发展学生的数学观念和思维方式．重点和难点重点：幂与负整数指数幂；难点：幂与负整数指数幂的有意义的条件．教学过程一、创设情境问题1在§211中介绍同底数幂的除法公式a÷a n＝a-n时，有一个附加条件：＞n，即被除数的指数大于除数的指数．当被除数的指数不大于除数的指数，即＝n 或＞n时，情况怎样呢？二、探究归纳先考察被除数的指数等于除数的指数的情况．例如考察下列算式：52÷52，103÷103，a 5÷a 5(a ≠0)．一方面，如果仿照同底数幂的除法公式计算，得52÷52＝52-2＝50，103÷103＝103-3＝100，a 5÷a 5＝a 5-5＝a 0(a ≠0)．另一方面，由于这几个式子的被除式等于除式，由除法的意义可知，所得的商都等于1．概括 由此启发，我们规定：50＝1，100＝1，a 0＝1(a ≠0)．这就是说：任何不等于零的数的零次幂都等于1．注 零的零次幂没有意义．我们再考察被除数的指数小于除数的指数的情况，例如考察下列算式：52÷55，103÷107．一方面，如果照同底数幂的除法公式计算，得52÷55＝52-5＝5-3，103÷107＝103-7＝10-4．另一方面，我们可利用约分，直接算出这两个式子的结果为33225252515555555=⨯==÷， 4433737310110101010101010=⨯==÷． 概括 由此启发，我们规定33515=-，4410110=-．一般地，我们规定n n aa 1=-（a ≠0，n 是正整数）． 这就是说，任何不等于零的数的-n （n 是正整数）次幂，等于这个数的n 次幂的倒数．三、实践应用1判断正误：(1) a 6÷a 2＝a 3； (2)(-a )3÷(-a )2＝a ； (3)a 6÷a 2＝a 4；(4)a 3÷a ＝a 4；(5)(-c )4＋c 2＝-c 2； (6)(-c )4÷(-c )2＝c 2； (7)a 5÷a 4＝0； (8)54÷54＝0；(9)3n ÷n ＝2n ； (10)3n ÷ n ＝3． （答案：3，6，9正确，其余错误．）2在括号内填写各式成立的条件：(1)0＝1； ( )(2)(-3)0＝1； ( )(3)(a -b )0＝1；( )(4)a 3·a 0＝a 3； ( )(5)(a n )0＝a n ·0； ( )(6)(a 2-b 2)0＝1． ( )（答案：≠0；≠3；a ≠b ；a ≠0；a ≠0；a 2≠b 2或|a |≠|b |．）例1 计算：(1)810÷810； (2) 10-2； (3)101031-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛． 例2 用小数表示下列各数：(1) 10-4； (2)21×10-5．现在，我们已经引进了零指数幂和负整数指数幂，指数的范围已经扩大到了全体整数．那么，在§141“幂的运算”中所学的幂的性质是否成立呢？与同学们讨论交流一下，判断下列式子是否成立：(1) a 2·a -3＝a 2+(-3)； (2)( a ·b )-3＝a -3·b -3； (3)( a -3)2＝a -3×2．分析 (1)一方面，a a a aa 13232==⋅-，另一方面，a 2+(-3)＝a -1，由刚才所学公式 知aa 11=-，所以可得a 2·a -3＝a 2+(-3)； (2)一方面，33331)(1)(b a b a b a ⋅=⋅=⋅-，另一方面，333311ba b a ⋅=⋅--， 所以可得 ( a ·b )-3＝a -3·b -3；(3)一方面，6232311)(a a a =⎪⎭⎫ ⎝⎛=-，另一方面，66231a a a ==-⨯-， 所以可得 ( a -3)2＝a -3×2．概括 当a 、b 都不等于0时，下列运算律成立：(1)同底数幂的乘、除法a ·a n ＝a +n（，n 都是整数）；a ÷a n ＝a -n （，n 都是整数）；(2)幂的乘方(a )n ＝a n （，n 都是整数）；(3)积的乘方(ab )n ＝a n b n （n 是整数）．例3 计算下列各式，并且把结果化为只含有正整数指数幂的形式：(1) (-5y 2z -1)2； (2)(a 2b -2)-1(a 3b －4)3．四、交流反思1进行有关0次幂和负整数幂的运算要注意底数一定不能为0，特别是当底数是代数式时，要使底数的整体不能为0；2在正整数幂的基础上，我们又学习了零次幂和负整数幂的概念，使指数概念推广到整数的范围；3对0指数幂、负整数指数幂的规定的合理性有充分理解，才能明了正整数指数幂的运算性质对整数指数幂都是适用的．五、检测反馈1．计算：(1)(-01)0；(2)20031⎪⎭⎫⎝⎛；(3)2-2； (4) 221-⎪⎭⎫⎝⎛．2计算：(1)510÷254；(2)(-117)0；(3)4-2；(4)241-⎪⎭⎫⎝⎛-．3计算下列各式，并且把结果化为只含有正整数指数幂的形式：(1)(-3yz-2)2；(2)(a3b-1)-2(a-2b2)2；(3)(22n-3)3(-n-2)-2．。
第14讲：同底数幂的除法、零指数幂与负整数指数幂
第14讲：同底数幂的除法、零指数幂与负整数指数幂一、本讲知识标签同底数幂的除法：(≠0, 为正整数，并且). 同底数幂相除，底数不变，指数相减.零指数幂：即任何不等于零的数的零次方等于1.负整数指数幂：a-n=n a 1( a ≠0,n 为正整数）即：任何不为零的-n （n 为正整数）次幂等于这个数n 次幂的倒数要点诠释：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.二、范例分析例1.已知，求的值．【分析】利用除法与乘法的互逆关系，通过计算比较系数和相同字母的指数得到的值即可代入求值．解：由已知，得，即，，，解得，，．所以． 也可以直接做除法，然后比较系数和相同字母的指数得到的值.【变式】（1）已知，求的值． （2）已知，，求的值． （3）已知，，求的值．【答案】解：（1）由题意，知．∴ ． ∴ ，解得．a m n ，m n >()010.a a =≠312326834m n ax y x y x y ÷=(2)n m n a +-m n a 、、312326834m n ax y x y x y ÷=31268329284312m n n ax y x y x y x y +=⋅=12a =39m =2812n +=12a =3m =2n =22(2)(23212)(4)16n m n a +-=⨯+-=-=m n a 、、1227327m m -÷=m 1020a =1105b =293a b ÷23m =24n =322m n -312(3)327m m -÷=3(1)2333m m --=3323m m --=6m =（2）由已知，得，即．由已知，得．∴ ，即．∴ ∴． （3）由已知，得．由已知，得．∴ ．例2.已知2a=3,4b=6,8c=12,a 、b 、c 的关系.【分析】本题逆用幂的运算规律,同底数幂乘除的规律,巧妙地将3用2a 代替将6用22b 代换,化成2的幂,从而找出a 、b 、c 之间的关系.解:因为8c=12,所以(23)c=2×6,又因为4b=6,所以23c=2×4b=2×22b=22b+1,所以3c=2b+1因为4b=6,所以22b=2×3,又因为2a=3,所以22b=2×2a=2a+1,所以2b=a+1,所以3c-1=a+1,所以a-4b+3c=0.三、训练提高（一）选择题:1.（2015•下城区二模）下列运算正确的是（ ）A ．（a3﹣a ）÷a=a2B ．（a3）2=a5C ．a3+a2=a5D ．a3÷a3=12.化简11)(--+y x 为（ ） A 、y x +1 B 、y x 1+ C.、1+xy y D 、1+xy x 3.已知P=,那么P 、Q 的大小关系是( ) A.P>Q B.P=Q C.P<Q D.无法确定（二）填空题:4. 计算.5.（2015春•成都校级月考）（﹣a6b7）÷= ． 1020a =22(10)20a =210400a =1105b =211025b =221101040025a b ÷=÷2241010a b -=224a b -=22222493333381a b a b a b -÷=÷===23m =3227m =24n =2216n =32322722216m n m n -=÷=9999909911,99Q =()()34432322396332x y x y x y x y x y xy -+÷=-+-6.若整数x 、y 、z 满足,则x=_______,y=_______,z=________.(三) 解答题:7.先化简，再求值：，其中＝－5．8.已知a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，12=-x ，2=y ，求22007)(y cd x b a --++ 的值.（4分）9.若2010=a ， 1510-=b ，求b a 239÷的值.10.已知,求整数x.11.阅读下列材料：关于x 的方程：121212111,;222,;333,;x c x c x x c cx c x c x x c cx c x c x x c c +=+==+=+==+=+==的解是的解是的解是 …请观察上述方程与解的特征，比较关于x 的方程(0)m m x c m x c +=+≠与它们的关系，猜想它的解是什么？并加以验证.12.请你来计算：若1＋x ＋x2＋x3＝0，求x ＋x2＋x3＋…＋x2012的值．91016()()()28915x y x ⨯⨯=()()()23242622532a a a a a ⎡⎤⋅-÷÷-⎢⎥⎣⎦a 2(1)1x x +-=。
2.3.2 零次幂和负整数指数幂
( 1 )−2 = (0.01)−2 = 1 2 = 1 =10000 (0.01) 0.0001 100
3.若代数式( 3x +1) 有意义，求x的取值范围 ; 1 x≠− 3 1 1 x −1 4.若2 = ，则x = -2 ，若x = , 则x = 3 ; 4 3 5.若 x = 0.01 10 ，则x = -2 ;
2
）
【解析】选C.∵0<x<1,令 x= 1 . 解析】 C.∵0<x<1,令
2 由于 1 < 1 <2 4 2
则x-1= ( 1 )-1 =2,x2 = 1
4
所以x 所以x2<x<x-1.
1 a + 2 =______. a 解析】 =3,∴（ 【解析】∵a+a-1=3,∴（a+a-1）2=9.
(3.2× （1）(2×10－6)×(3.2×103) (2× （2）(2×10－6)2 ÷(10－4)3 (2× 答案:（1）6.4×10-3 答案: 6.4× （2）4
5.比较大小： 5.比较大小： 比较大小 ________9.5× （1）3.01×10－4________9.5×10－3 3.01× < （2）3.01×10－4________3.10×10－4 ________3.10× 3.01× <
(0.2)-2 = 1 2 = 1 = 25
(0.2) 0.04
1 1.填空:3 );(1.填空:3-1=( 1 );(0.5)-2=( 4 );(-4)-3=( - 3); 填空 3 4
2.计算： 2.计算： 计算 1 1 1 1 1 (−5)−2×2−2 = (−5)2 × 22 = 25× 4 =100