三角形的五心-第一二讲学生版

讲解说明：1）因明年4有赛，故本学期力争将所需知识讲解一遍，寒假集训！故第01-02讲中所需圆的知识请老师遇山开路、遇水架桥！！！2）本节内容较多，根据学员接受情况灵活把握量，重点放在基本性质的证明上。

来不及证的性质可以留作练习或大致介绍使学生认识到其合理性即可！3）特别复杂的性质（如涉及到三角）的内容暂时缓讲，留在寒假讲解）4）下面的各心性质作为参考：三角形重心 基础知识三角形三条中线的交点称为三角形的重心.三角形重心有下列有趣性质.性质1 设Ｇ为△ＡＢＣ的重心，连结ＡＧ并延长交ＢＣ于Ｄ，则Ｄ为ＢＣ的中点，AD 2=21 (ＡＢ2+ＡＣ2)—41ＢＣ2，且ＡＧ∶ＧＤ=2∶1。

性质2 设Ｇ为△ＡＢＣ的重心，过Ｇ作ＣＥ∥ＢＣ交ＡＢ于Ｄ、交ＡＣ于Ｅ，过Ｇ作ＰＦ∥ＡＣ交ＡＢ于Ｐ、交ＢＣ于Ｆ，过Ｇ作ＫＨ∥ＡＢ交ＡＣ于Ｋ，交ＢＣ于Ｈ。

则(1)BC DE =CA FP =AB KH =32；(2)ＤＥＢＣ+ＦＰＣＡ+ＫＨＡＢ=2。

性质3 设Ｇ为△ＡＢＣ的重心，过Ｇ的直线交ＡＢ于Ｐ，交ＡＣ于Ｑ，则AP AB +AQ AC =3；反之，在△ＡＢＣ中，若直线ＰＱ交ＡＢ于Ｐ，交ＡＣ于Ｑ，满足AP AB +AQAC =3，则直线ＰＱ过三角形的重心。

性质4 设Ｇ为△ＡＢＣ的重心，则Ｓ△ＡＢＧ=Ｓ△ＢＣＧ=Ｓ△ＡＣＧ=31Ｓ△ＡＢＣ；反之亦然。

性质5 设Ｇ为△ＡＢＣ的重心，△ＡＢＣ内的点Ｑ在边ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ边上的射影分别为Ｄ、Ｅ、Ｆ，则当Ｑ与Ｇ重合时ＱＤ·ＱＥ·ＱＦ最大；反之亦然。

性质6 设Ｇ为△ＡＢＣ的重心，ＡＧ、ＢＧ、ＣＧ的延长线交△ＡＢＣ的三边于Ｄ、Ｅ、Ｆ,则Ｓ△ＡＧＦ=Ｓ△ＢＧＤ=Ｓ△ＣＧＥ；反之亦然。

性质7 设Ｇ为△ＡＢＣ的重心，则(1)ＢＣ2+3ＧＡ2=ＣＡ2+3ＧＢ2=ＡＢ2+3ＧＣ2；(2)ＧＡ2+ＧＢ2+ＧＣ2=31(ＡＢ2+ＢＣ2+ＣＡ2)；(3)ＧＡ2+ＧＢ2+ＧＣ2最小。

反之亦然(即设Ｇ为△ＡＢＣ内一点,若满足上述条件之一，则Ｇ为△ＡＢＣ的重心。

)性质8 设△ＡＢＣ外接圆半径为Ｒ，Ｇ为△ＡＢＣ的垂心，Ｇ到三边ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ的距离分别为ＧＰ、ＧＱ、ＧＴ，则ＧＰｓｉｎ∠Ｂ·ｓｉｎ∠Ｃ=ＧＱｓｉｎ∠Ａ·ｓｉｎ∠Ｃ=ＧＴｓｉｎ∠Ａ·ｓｉｎ∠Ｂ=32Ｒ。

性质9 设Ｇ为△ＡＢＣ的重心,若ＡＧ2+ＢＧ2=ＣＧ2，则两中线ＡＤ和ＢＥ垂直；反之，若两中线ＡＤ、ＢＥ垂直，则ＡＧ2+ＢＧ2=ＣＧ2。

三角形垂心 基础知识三角形三边上的高的交点称为三角形的垂心。

三角形垂心有下列有趣的性质：设△ＡＢＣ的三条高为ＡＤ、ＢＥ、ＣＦ，其中Ｄ、Ｅ、Ｆ为垂足,垂心为Ｈ。

性质1 垂心Ｈ关于三边的对称点，均在△ＡＢＣ的外接圆上。

性质2 △ＡＢＣ中,有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且ＡＨ·ＨＤ=ＢＨ·ＨＥ=ＣＨ·ＨＦ。

性质3 Ｈ、Ａ、Ｂ、Ｃ四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一垂心组)。

性质4 △ＡＢＣ,△ＡＢＨ,△ＢＣＨ,△ＡＣＨ的外接圆是等圆。

性质5 在非直角三角形中,过Ｈ的直线交ＡＢ、ＡＣ所在直线分别于Ｐ、Ｑ，则APAB ·ｔａｎＢ+AQ AC ·ｔａｎＣ=ｔａｎＡ+ｔａｎＢ+ｔａｎＣ。

性质6 三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。

性质7 设Ｏ，Ｈ分别为△ＡＢＣ的外心和垂心，则∠ＢＡＯ=∠ＨＡＣ，∠ＡＢＨ=∠ＯＢＣ，∠ＢＣＯ=∠ＨＣＡ。

性质8 锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。

性质9 锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短。

三角形内心 基础知识三角形的内切圆的圆心简称为三角形的内心，内心有下列优美的性质：性质1 设Ｉ为△ＡＢＣ的内心,则Ｉ为其内心的充要条件是：到△ＡＢＣ三边的距离相等。

性质2 设Ｉ为△ＡＢＣ的内心，则∠ＢＩＣ=90°+12∠Ａ，类似地还有两式；反之亦然。

性质3 设I 为△ＡＢＣ内一点，AI 所在直线交△ＡＢＣ的外接圆于D 。

I 为△ＡＢＣ内心的充要条件是ID=DB=DC 。

性质4 设Ｉ为△ＡＢＣ的内心，ＢＣ=ａ，ＡＣ=ｂ，ＡＢ=ｃ，Ｉ在ＢＣ、ＡＣ、ＡＢ上的射影分别为Ｄ、Ｅ、Ｆ；内切圆半径为ｒ，令ｐ=21(ａ+ｂ+ｃ)，则(1)Ｓ△ＡＢＣ=ｐｒ；(2)ｒ=2c b a S ABC ++∆；(3)ＡＥ=ＡＦ=ｐ-ａ,ＢＤ=ＢＦ=ｐ-ｂ,ＣＥ=ＣＤ=ｐ-ｃ；(4)ａｂｃｒ=ｐ·ＡＩ·ＢＩ·ＣＩ。

性质5 三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心的距离相等；反之，若Ｉ为△ＡＢＣ的∠Ａ平分线ＡＤ(Ｄ在△ＡＢＣ的外接圆上)上的点，且ＤＩ=ＤＢ，则Ｉ为△ＡＢＣ的内心。

性质6 设Ｉ为△ＡＢＣ的内心，ＢＣ=ａ，ＡＣ=ｂ，ＡＢ=ｃ，∠Ａ的平分线交ＢＣ于Ｋ,交△ＡＢＣ的外接圆于Ｄ，则KI AI =DI AD =DK DI =ac b +。

性质7 过△ＡＢＣ内心Ｉ任作一直线，分别交ＡＢ、ＡＣ于Ｐ及Ｑ两点，则APAB ·ＡＣ+AQ AC ·ＡＢ=ＡＢ+ＡＣ+ＢＣ，或APAB ·ｓｉｎ∠Ｂ+AQ AC ·ｓｉｎ∠Ｃ=ｓｉｎ∠Ａ+ｓｉｎ∠Ｂ+ｓｉｎ∠Ｃ。

性质8 设△ＡＢＣ的内心为Ｉ，△ＡＢＣ内一点Ｐ在ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ上的射影分别为Ｄ、Ｅ、Ｆ，当Ｐ与Ｉ重合时，和式PD BC +PE CA +PF AB 的值最小。

补充性质：1.一条直线截三角形，把周长l 和面积S 分为对应的两部分：l 1与l 2，S 1与S 2，此直线过三角形内心的充要条件是2121S S l l =。

2.设I 为△ＡＢＣ内一点，I 为△ＡＢＣ的内心的充要条件是：△IBC ，△ICA ，△IAB 的外心均在△ＡＢＣ的外接圆上。

三角形旁心 基础知识与三角形的一边相切，又与另两边的延长线相切的圆叫做三角形的旁切圆。

一个三角形有三个旁切圆.旁切圆的圆心简称为三角形的旁心。

为介绍下面的性质，我们记△ＡＢＣ的三边ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ的边长分别为ａ、ｂ、ｃ，令ｐ=21(ａ+ｂ+ｃ)。

分别与ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ外侧相切的旁切圆圆心记为ＩＡ、ＩＢ、ＩＣ，其半径记为ｒＡ、ｒＢ、ｒＣ。

Ｓ△表示△ＡＢＣ的面积。

性质1 ∠ＢＩＡＣ=90°-21∠Ａ，∠ＢＩＢＣ=∠ＢＩＣＣ=12∠Ａ。

(对于顶角Ｂ、Ｃ也有类似的式子) 性质2 ｒＡ=Ｓ△ｐ-ａ=4Ｒｓｉｎ2A ·ｃｏｓ2B ·ｃｏｓ2C =ｒｃｔｇ2B ｃｔｇ2C 。

其中Ｒ、ｒ分别为△ＡＢＣ的外接圆、内切圆半径。

ｒＢ、ｒＣ也有类似的式子。

性质3 Ｓ△=(ｐ-ａ)·ｒＡ=(ｐ-ｂ)·ｒＢ=(ｐ-ｃ)·ｒＣ；Ｓ△=A C C B B A CB A r r r r r r r r r ++；CB AC B A r r r r r r 3++≤Ｓ△≤33(ｒＡｒＢｒＣ)32。

注:第三式可由平均值不等式证得。

性质4 II Ａ=)a p (p )a p (bcp a --，其中Ｉ为△ＡＢＣ的内心。

II Ｂ、II Ｃ也有类似的式子。

性质5 △ＡＢＣ是△ＩＡＩＢＩＣ的垂足三角形，且△ＩＡＩＢＩＣ的外接圆半径Ｒ′等于△ＡＢＣ的直径2Ｒ。

性质6 设ＡＩＡ的连线交△ＡＢＣ的外接圆于Ｄ，则DI Ａ=DB=DC 。

(对于ＢＩＢ、ＣＩＣ也有同样的结论) 性质7 ∠ＩＢＩＡＩＣ=21(∠Ｂ+∠Ｃ),∠ＩＡＩＢＩＣ=21(∠Ａ+∠Ｃ),∠ＩＡＩＣＩＢ=21(∠Ａ+∠Ｂ)。

性质8 一个旁心与三角形三个顶点连结所组成的三个三角形面积之比等于原三角形三条边长之比；三个旁心与三角形一条边的端点连结所组成的三个三角形面积之比等于三个旁切圆半径之比。

性质9 过旁心ＩＡ的直线与ＡＢ、ＡＣ所在直线分别交于Ｐ、Ｑ，则APAB ·ｓｉｎＢ+AQ AC ·ｓｉｎＣ=ｓｉｎＢ+ｓｉｎＣ-ｓｉｎＡ。

性质10 设ＩＡ为△ＡＢＣ角Ａ内的旁心,Ｒ为△ＡＢＣ的外接圆半径,则2C cos 2B cos A I A ⋅=2C cos 2A cos B I B ⋅=2B cos 2A cosC I C ⋅=4Ｒ.三角形外心 基础知识三角形的外接圆的圆心简称三角形的外心.外心有如下一系列优美性质：性质1 三角形的外心是三角形三条边垂直平分线的交点；三角形的外心到三顶点的距离相等，反之亦然。

性质2 设Ｏ为△ＡＢＣ的外心，则∠ＢＯＣ=2∠Ａ，或∠ＢＯＣ=360°-2∠Ａ(还有两式)。

性质3 设三角形的三条边长，外接圆的半径、面积分别为ａ、ｂ、ｃ,Ｒ、Ｓ△，则Ｒ=∆4S abc 。

性质4 过△ＡＢＣ的外心Ｏ任作一直线与边ＡＢ、ＡＣ(或延长线)分别相交于Ｐ、Ｑ两点，则AP AB ·ｓｉｎ2Ｂ+AQAC ｓｉｎ2Ｃ=ｓｉｎ2Ａ+ｓｉｎ2Ｂ+ｓｉｎ2Ｃ。

性质5 锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和。

三角形的巧合点 基础知识三角形的外心、内心、重心、垂心和旁心不妨称它们为巧合点,三角形的巧合点各自具有不同的有趣性质，这里仅介绍关联这些巧合点中的某些点或全体点的一些性质及应用的例子。

性质1 三角形的任一顶点到垂心的距离等于外心到对边的距离的两倍。

性质2 三角形的内心和任一顶点的连线延长与三角形的外接圆相交，这个交点与外心的连线是这一顶点所对的边的中垂线。

性质3 三角形的内心和任一顶点的连线，平分外心、该顶点和垂心依次连结所成的角。

性质4 三角形的外心、垂心、重心三点共线(欧拉线)，且重心与垂心的距离是外心与重心距离的两倍。

性质5 三角形的三条高的垂足、三边的中点，以及垂心与顶点的三条连线的中点，这九点共圆(此圆称为九点圆)。

三角形的外心与垂心的连线的中点是九点圆的圆心。

性质6 设H,G ,I 分别为三边两两互不相等的三角形的垂心、重心和内心，则∠HIG>90°。

性质7 锐角△ABC 中，外心O ，重心G ，垂心H 到三边的距离和分别记为d 外，d 重，d 垂，则1·d 垂+2·d 外=3·d 重。

性质8 设△ABC 的外接圆、内切圆半径分别为R ，r ，外心为O ，内心为I ，垂心为H ，重心为G ，顶点A 所对的边的旁切圆的圆心为I A ，半径为r A (余者类推)，BC=a ，CA=b ，AB=c ，则(1)OI 2=2Rr ；(2)IG 2=61(a+b+c)2-185(a 2+b 2+c 2)-4Rr=r 2-361[6(ab+bc+ca)-5(a 2+b 2+c 2)]；(3)OG 2=R 2-91(a 2+b 2+c 2)；(4)HG 2=4R 2-94(a 2+b 2+c 2)；(5)OH 2=9R 2-(a 2+b 2+c 2)；(6)IH 2=4R 2- cb a abc c b a 333+++++=2r 2-4R 2cosA·cosB·cosC ；(7)II A 2=4R(r A -r)，II2B=4R(r B -r)，II C 2=4R(r C -r)；(8)I A I B 2=4R(r A +r B )，I B I C 2=4R(r B +r C )，I A I C 2=4R(r A +r C )；(9)OI A 2=R 2+2Rr A ，OI B 2=R 2+2Rr B ，OI C 2=R 2+2Rr C 。