11-2 瑕积分
瑕积分的基本知识
瑕积分的基本知识瑕积分（Lebesgue integral）是数学分析中的一个重要概念，它是勒贝格测度论的核心内容之一。
瑕积分的引入，使得我们能够对更广泛的函数进行积分运算，包括那些在有限个点上可能发散的函数。
本文将介绍瑕积分的基本知识，包括定义、性质和计算方法等方面的内容。
一、瑕积分的定义瑕积分的定义是在勒贝格测度论的基础上引入的。
对于一个定义在区间[a, b]上的函数f(x)，如果f(x)在[a, b]上除了有限个点外都是有界的，那么我们称f(x)是[a, b]上的瑕函数。
瑕积分的定义如下：设f(x)是[a, b]上的瑕函数，如果存在一个数值I，对于任意给定的ε>0，存在一个分割[a, b]的有限集合D，使得对于任意的分割D'，只要D'是D的一个细分，就有：|∑(f(x_i)-I)Δx_i|<ε其中，x_i是[a, b]上的分点，Δx_i是相应的分割子区间的长度。
如果存在这样的数值I，我们称I是f(x)在[a, b]上的瑕积分，记作∫[a, b]f(x)dx。
二、瑕积分的性质瑕积分具有一些重要的性质，下面我们将介绍其中的几个。
1. 线性性质：对于任意的瑕函数f(x)和g(x)，以及任意的实数a 和b，有：∫[a, b](af(x)+bg(x))dx = a∫[a, b]f(x)dx + b∫[a, b]g(x)dx2. 单调性质：如果f(x)和g(x)是[a, b]上的瑕函数，并且f(x)≤g(x)，那么有：∫[a, b]f(x)dx ≤ ∫[a, b]g(x)dx3. 绝对值性质：对于任意的瑕函数f(x)，有：|∫[a, b]f(x)dx| ≤ ∫[a, b]|f(x)|dx4. 有界性质：如果f(x)是[a, b]上的瑕函数，并且存在一个常数M，使得|f(x)|≤M对于[a, b]上的所有x成立，那么有：|∫[a, b]f(x)dx| ≤ M(b-a)三、瑕积分的计算方法瑕积分的计算方法主要有两种：分段函数逼近法和勒贝格测度法。
瑕积分的计算
瑕积分的计算
瑕积分（CauchyIntegral）是一种计算函数曲线积分的方法。
它有一些独特的特性，非常适合用来计算定义在非凸区域内的函数积分。
它也可以用来求解凸区域内的函数积分，但速度较慢。
瑕积分最早由法国数学家和天文学家Augustin Cauchy（Cauchy，17891857）提出，故称之为Cauchy Integral。
Cauchy的第一个用瑕积分计算圆面积的论文发表于1827年。
他的用法在法国的数学史上
占有重要的地位，因为他是第一个将极限概念引入分析中的人。
瑕积分的具体计算方法是：首先，把函数分解为一系列连续形状的区域，比如三角形，四边形等；其次，对每一个区域加上其对应的权重；最后，将积分计算结果求和，得到总体积分。
为了有效地计算瑕积分，最好将曲线分割成尽可能小的区域，以降低不同区域之间的差异。
这些区域的体积可以由其面积和对应的权重相乘来得到。
在计算中，需要注意函数的变化，以确定对应区域的权重和曲线长度。
另外，需要注意此类函数可能存在极值，因此也可能存在突变。
如果发现这些情况，可以考虑将函数细分为更小的区域，以减少误差。
此外，在计算瑕积分时还可以采用其他的方法来提高精度，例如使用拓展的瑕积分、Gauss-Lobatto或Gauss-Chebyshev等等，它们都可以让我们得到更精确的结果。
总之，瑕积分是一种用来计算函数曲线积分的方法，它可以提高精度，令我们能够计算出定义在非凸区域内的函数积分。
它有一些独
特的特性，非常适合用来研究定义在凸区域内的函数积分。
通过正确地使用瑕积分，可以得到准确可靠的计算结果。
瑕积分的计算
瑕积分的计算瑕积分是属于复杂数学运算，把它界定为定积分的变种。
瑕积分是一种把复杂的定积分的计算过程分解为若干简单定积分的计算，然后将简单定积分的结果加起来，以求解原复杂定积分的方法。
它有时也叫多步积分或分段积分，但本文简称为瑕积分。
瑕积分的计算只要基本的定积分知识就可以完成。
它要求根据定积分的求法，将定积分计算区间划分为几个短区间，然后将每个短区间上的定积分分别计算，最后将所有短区间上的定积分的结果求和，从而获得原定积分的结果。
首先，我们以瑕积分的计算过程为主题，介绍一下它的详细步骤：1、确定定积分的计算区间[a,b]。
2、确定划分短区间的方法，一般分两种：等分法和不等分法。
3、根据划分短区间的方法，将定积分的计算区间划分为若干短区间，分别为[x0,x1], [x1,x2]……[xn-1,xn]。
4、假定定积分的计算区间[a,b]上的函数f(x)，在各短区间上给出近似的表达式，一般有三种形式：常数法、线性法和拉格朗日插值法。
5、利用近似的表达式求出各短区间上的定积分结果，然后将各短区间上的定积分结果累加起来，得到原定积分的计算结果。
瑕积分的计算，是定积分技术里最主要的计算方式之一。
它可以有效地解决定积分的非线性性和复杂性带来的困难，在实际工程中有广泛的应用，甚至在日常的数学计算中也有不可替代的作用。
瑕积分的计算技术，需要用到比较高级的定积分知识，首先要对定积分的求法有一定的掌握，其次要对多变量的函数求导、积分计算、拉格朗日插值和分段插值等技术有所了解。
瑕积分的计算是有效率的，但也有其局限性，因为它没有考虑到定积分求解的准确性。
瑕积分的结果，与定积分的精确求解结果有较大的差距，但是在一定情况下，它的结果仍然是可接受的。
总之，瑕积分的计算是一种有效且方便的定积分求解方法，在实际应用中也有重要的价值。
它可以有效地解决复杂定积分的计算，在很多实际应用中，也可以更快捷、更准确地解决定积分问题。
11-2瑕积分
例 1 求积分
提示：
x=0是瑕点
例 2 讨论积分 3 1 dx 的敛散性. 0 (x 2)2
解：
3 dx 0 (x 2)2
x
1
2
3
0
1
1 2
3 2
这种解法对吗？
正确解法：当
x
2时，
(x
1 2)2
， 故x=2是瑕点
3 dx
ln | sec t tan t | 3 ln ( 2 3) . 0
例8 解
计算 d x .
0 x (x 2)
这是无穷积分与瑕积分 混合在一起的广义积分, 应设分开.
易知, x 0 , x 2 为被积函数的瑕点, 故
dx
1
2
3
( )
定义 设 f (x) C (a, b], 而在点 a 的右邻域内无界,
若极限
存在 , 则称此极限为函
数 f (x) 在 [a , b] 上的广义积分, 记作
这时称广义积分
收敛 ; 如果上述极限不存在,
就称广义积分
发散 .
类似地 , 若 f (x) C[a, b), 而在 b 的左邻域内无界,
则定义
计算
1 1
dx x2
.
解
因为
lim
x0
1 x2
,
所以,
x0
为 f (x)
1 x2
的瑕点
.
1 1
dx x2
0 1
dx x2
1 dx 0 x2
11.3 瑕积分的性质与收敛判别
b
b
任意常数 k1 , k2 , 有
a [k1 f1 ( x ) k2 f 2 ( x )] dx
k1 f1 ( x ) dx k2 f 2 ( x ) dx .
a a b b
b
性质2：设函数 f ( x ) 的瑕点为x a, 则对任意
对c (a , b) , 瑕积分 f ( x )dx 与 f ( x )dx
推论2: 设非负函数 f ( x ) 与 g( x ) 的瑕点同为 x a ,
f ( x) 在任何 [u, b] (a, b] 上可积 , 且 lim c. x a g( x )
(i ) 若0 c , 则 f ( x )dx 与 g( x )dx 同敛散；
a a b b
u1 , u2 (a, a ) 时 ,
b
u
b
1
f ( x )dx f ( x )dx
u2
b
u
u2
1
f ( x )dx .
性质1： 设函数 f1 ( x ) 与 f 2 ( x ) 的瑕点同为a , 若瑕
积分 f1 ( x )dx 与 f 2 ( x )dx 都收敛 , 则对
(1)
1
sin 1 x x
r
0
dx (0 r 2).
( 2)
1 x 0
ln x dx ( R).
例3、讨论反常积分 ( )
0
x 1 dx 的收敛性. 1 x
在任何 [u, b] (a, b] 上可积 , 且
x a
lim ( x a ) p f ( x ) , 则
b a
(i )当 0 p 1 , 0 时, f ( x )dx 收敛； (ii)当 p 1 , 0 时, f ( x )dx 发散 .
定积分的瑕积分
定积分的瑕积分定积分是微积分中的一个重要概念，它能够求出函数在一定区间内的面积大小，也具有许多其他应用。
但是，在某些情况下，定积分并不能完全解决问题，需要引入瑕积分的概念。
瑕积分是对具有奇点的函数进行积分的一种方法。
奇点指的是函数在某一点处的极限值不存在或者是无穷大。
在这种情况下，直接进行定积分的计算是无法得出正确结果的。
为了解决这个问题，我们可以将区间分解成若干个小区间，在每一个小区间内，对于奇点的位置要进行特殊处理。
这种处理方式就是瑕积分。
具体来说，我们需要用到“主部”和“余部”的概念。
主部是函数在奇点附近的主要部分，而余部是剩余部分。
其计算方法如下：设函数f(x)在点x0处有瑕点，则可以将函数f(x)在该点附近展开成一个洛朗级数，即：f(x) = Σa_n(x - x0)^n其中a_n是常数系数。
一般而言，洛朗级数前几项是主要项，对应的系数为a_(-1)、a_0、a_1等，而之后的项则是余项。
在计算瑕积分时，我们将主部作为积分被积函数，而余项则被忽略。
这样在求出主部的积分后，我们再将余项加回来，就可以得到整个区间内的瑕积分值。
需要注意的是，在奇点处，函数的极限值不存在或者是无穷大，因此在计算主部时可能会出现很多特殊情况。
一般而言，这需要通过具体的例子来进行演示和探究。
例如，在计算f(x) = 1/x在区间[0,1]上的瑕积分时，可以将该函数在x=0处展开为洛朗级数：1/x = 1/x0 + (x - x0)^2/x0^3 + ...其中a_(-1) = 1/x0，因此可以将1/x在x=0处的主部写成1/x0。
而将该主部在区间[0,1]上进行积分，则可得：∫(0,1)1/x dx = ln(1/x0)再根据余项的定义，我们可以将f(x)写成：f(x) = 1/x0 + (x - x0)^2/x0^3 + ...如果我们将(x - x0)^2忽略不计，则可以说我们忽略了余项。
而在本例中，当x在[0,1]内时，(x - x0)^2/x0^3非常小，因此我们可以忽略余项而得到一个较好的近似值。
举例说明瑕积分
举例说明瑕积分
瑕积分是一种计算复杂函数积分的方法，主要用于处理函数在有限点处不连续的情况。
下面举两个例子来说明瑕积分的应用。
例一：计算函数f(x) = 1 / (x-2) 在区间[1,3]上的积分。
由于函数在x=2处不连续，因此无法直接用定积分求解。
可以将积分区间分成两部分：[1,2)和(2,3]。
对于[1,2)，使用基本积分公
式得到积分为ln|x-2|，对于(2,3]，使用同样的方法得到积分为
-ln|x-2|。
因此，原函数在[1,3]上的积分为ln|2-1| - ln|2-3| = ln 2。
例二：计算函数f(x) = x / (x^2-1) 在区间[-1,1]上的积分。
函数在x=-1和x=1处有瑕点，因此需要将区间分成三部分：[-1,-ε]、[-ε,ε]和[ε,1]。
其中ε是一个小正数，可以近似认为是0。
对于[-1,-ε)和(ε,1]，使用部分分式分解得到积分为1/2ln|x^2-1|，对于[-ε,ε]，可以通过极限的方法计算得到积分为0。
因此，原函数在[-1,1]上的积分为ln|1-(-1)| = ln 2。
通过以上两个例子可以看出，瑕积分的核心思想是将函数在有限点处不连续的部分拆成若干个可以直接处理的部分，然后将它们分别计算出来再合起来得到最终结果。
- 1 -。
瑕积分的计算范文
瑕积分的计算范文瑕积分是一种数学上的概念，用于计算曲线或平面图形的面积。
在数学分析中，瑕积分的计算是通过将曲线或平面图形分割成无穷多个小区域，并对每个小区域的面积进行求和得到的。
本文将介绍瑕积分的基本概念和计算方法。
首先，我们来定义瑕积分的基本概念。
设$D$是一个有界闭区域，假设它可以被有限个简单曲线分成若干个连通的有界闭区域，这些区域除了有一些有限的面积外，还可能包含一些孤立点，这些孤立点可能使得面积无穷增大。
那么瑕积分的定义为：$$\int_{D} f(x) d x=\int_{D_{0}} f(x) d x+\sum_{i=1}^{n}A\left(x_{0 i}\right),$$其中$D_{0}$是去掉所有的孤立点后得到的区域，$A\left(x_{0i}\right)$表示点$x_{0 i}$的孤立点的面积。
可以看出，瑕积分分为两部分，一部分是对去掉孤立点的区域求面积，另一部分是对孤立点的面积进行求和。
接下来我们来讨论瑕积分的求解方法。
一般来说，瑕积分的计算分为两种情况：一种是瑕积分的交集为空集，也就是没有孤立点的情况；另一种是瑕积分的交集不为空集，也就是存在孤立点的情况。
对于第一种情况，不难得出结论，瑕积分的计算结果就等于对去掉孤立点的区域求面积。
这种情况下的瑕积分也称为广义积分，可以用一般的积分计算方法来求解。
对于这种情况的具体计算方法是，将区域$D$分成若干个小区域，对每个小区域求面积并将其进行求和，即：$$\int_{D} f(x) d x=\int_{D_{0}} f(x) d x.$$对于第二种情况，瑕积分的计算相对较复杂。
一般来说，我们需要分别对整个区域和每个孤立点的面积进行计算。
对于区域$D_{0}$的计算，可以使用类似于广义积分的方法进行计算。
具体计算方法是，将区域$D_{0}$分成若干个小区域，对每个小区域求面积并将其进行求和。
对于孤立点的面积计算，我们需要先确定孤立点的位置以及面积的求解方法。
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一、瑕积分的定义 二、瑕积分的判别法
一、瑕积分的定义
引例:曲线
与 x 轴, y 轴和直线
开口曲边梯形的面积可记作
y
所围成的
其含义可理解为
A lim 0
1 dx
lim 2 x 0
x
1
lim 2(1 ) 2
O 1
x
0
且满足 0 f (x) g(x) , (x (a, b] ) .
若有极限 lim f (x) , 那么, xa (x)
(1) 当 0 时 , 无穷积分 b f (x) d x 与
b
g ( x) d
x
同时
a
a
收敛, 或同时发散.
(2) 当 0 时 , 无穷积分
瑕点的概念
0，若函数 f (x) 在 Uˆ (x0, )内无界，则称点 x0 为
函数 f (x) 的一个瑕点. 例如： x a 是 f (x) 1 的一个瑕点； xa x 1 是 g(x) ln(1 x2 ) 的瑕点. x a 是 h(x) 1 的瑕点. x2 a2
xa
a
例9 解
判别积分 1 d x 的敛散性 .
0 sin x
因为 lim 1 , 故点 x 0 为瑕点 . x0 sin x
又
1
lim x2
1
lim
x 1,
x0
sin x x0 sin x
即柯西判别法中, p 1 1, I 1 0 的情形 , 2
计算
1 1
dx x2
.
解
因为
lim
x0
1 x2
,
所以,
x0
为 f (x)
1 x2
的瑕点
.
1 1
dx x2
0 1
dx x2
1 dx 0 x2
而
1 d x
0 x2
1 x
1 1 lim 1 ,
0
x x0
故积分
1 dx 1 x2
是发散的 .
ln | sec t tan t | 3 ln ( 2 3) . 0
例8 解
计算 d x .
0 x (x 2)
这是无穷积分与瑕积分 混合在一起的广义积分, 应设分开.
易知, x 0 , x 2 为被积函数的瑕点, 故
dx
1
2
3
( )
定义 设 f (x) C (a, b], 而在点 a 的右邻域内无界,
若极限
存在 , 则称此极限为函
数 f (x) 在 [a , b] 上的广义积分, 记作
这时称广义积分
收敛 ; 如果上述极限不存在,
就称广义积分
发散 .
类似地 , 若 f (x) C[a, b), 而在 b 的左邻域内无界,
则定义
b
g ( x) d
x 收敛 ,
则
b f (x) d x 收敛.
a
a
(3) 当 时 , 无穷积分
b
g ( x) d
x
发散 ,
则
b
f (x)d x
发散 .
a
a
由比较判别法与 P 积分综合而成
定理 （瑕积分的柯西极限判别法）
设 f (x) C( (a, b] ) , 且 f (x) 0 , x a 为其唯一的瑕点.
ln
x
a
b a
当 q≠1 时
(x a)1q 1 q
b
a
,
q 1
所以当 q < 1 时, 该广义积分收敛 , 其值为 当 q ≥ 1 时, 该广义积分发散 .
例4
计算 1 d x . 0 1 x2
解 因为 lim 1 , 所以,
3 dx
0 (x 2)2
0 (x 2)2
2 (x 2)2
lim 21 dx
3
lim
dx L L
10 0 (x 2)2 2 0 22 (x 2)2
例3 证明广义积分 时发散 .
当 q < 1 时收敛 ; q≥1
证: 当 q = 1 时,
可相消吗?
例 1 求积分
提示：
x=0是瑕点
例 2 讨论积分 3 1 dx 的敛散性. 0 (x 2)2
解：
3 dx 0 (x 2)2
x
1
2
3
0
1
1 2
3 2
这种解法对吗？
正确解法：当
x
2时，
(x
1 2)2
， 故x=2是瑕点
3 dx
2 dx
故令
1 x 1(1 x) 1 d x
0
1
2 x 1(1 x) 1 d x
0
1 1
x
1
(1
x)
1
d
x
.
2
由 lim x1 x1(1 x) 1 1 及柯西判别法可知:
x 0
1
p 1 1
2 x 1(1 x) 1 d x 收敛 . 0
0x
2
sin 2 1 d x
从而, 原积分 1 0
x 收敛. x
柯西判别法 比较判别法
例12 判别 1x1(1 x) 1 d x 的敛散性, 其中 , 为正常数. 0 解 当 1, 1时, 该积分是通常的定积分.
当 0 , 1 时, x 0, x 1 是被积函数的两个瑕点.
故由柯西判别法知 1 d x 收敛 .
0 sin x
例10
判别积分 10 d x 的敛散性 . 1 ln x
解 因为 lim 1 , 所以, x 1 是瑕点 .
x1 ln x
又
lim(x 1)
1
罗
lim
x1
ln x x1
1 1
1,
x
即柯西判别法中, p 1, I 1 0 的情形,
2
2 1
x
1
2
1 x
d x
与
1 2
3 2
x
1
2
1 x
d x
不存在,
故原积分 d x 发散 .
0 x (x 2)
二、 瑕积分敛散性的判别法
定理 （瑕积分的比较判别法）
设 f (x), g(x) C( (a, b] ) , x a 为 f (x) 与g(x) 的唯一瑕点,
若存在常数0 p 1, 使得 lim (x a) p f (x) 存在, 则 xa
瑕积分 f (x) d x 收敛; a
若存在常数 p 1, 使得 lim (x a) p f (x) I 0 , 或者 xa
lim (x a) p f (x) , 则瑕积分 f (x) d x 发散 .
由 lim(1 x)1 x1(1 x) 1 1 及柯西判别法可知: x 1
p 1 1
1 1
x 1(1 x) 1 d x
收敛 .
2
综上所述, 积分 1 x1(1 x) 1 d x 收敛 . 0
x1 1 x2 x 1 为函数 f (x) 1 的瑕点.
1 x2
1 d x arcsin x 1
0 1 x2
0
arcsin1 arcsin 0
.
2
例5 解
计算
1 1
dx x2
.
1 1
dx x2
1 x
1 2 .
1
x 0 为瑕点!
例6
间断点, 则本质上是常义积分, 而不是广义积分.
例如,
则也有类似牛 – 莱公式的
的计算表达式 : 若 b 为瑕点, 则
F (b ) F (a)
若 a 为瑕点, 则
F (b) F (a )
若 a , b 都为瑕点, 则
F (b ) F (a )
注意: 若瑕点
则
F (b) F (c ) F (c ) F (a)
而在点 c 的
邻域内无界 , 则定义
c
b
a f (x) dx c f (x) dx
lim c1 f (x) dx lim b f (x) dx
10 a
2 0 c2
无界函数的积分又称作第二类广义积分, 无界点常称
为瑕点(奇点) .
说明: 若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类
故由柯西判别法知积分 10 d x 发散 . 1 ln x
sin 2 1 d x
例11
判别积分 1 0
x 的敛散性. x
解
这是瑕积分,
x 0 为瑕点. 因为 0
sin 2 1 x
1
,
x
x
又
lim 1 ,
1
lim x2
1
1,
x x0
x0
x
故瑕积分 1 d x 收敛 ( p 1 ) .
且满足 0 f (x) g(x) , (x (a, b] ) .
若积分
b
g(x)d x
收敛 ,
则
b
f
(x)d x