(优选)第十一章广义积分与含参变量的积分复习.
合集下载
【通用】第十一章 广义积分与含参变量的积分 复习.ppt
g(x) ≥0，它们在任意区间[a,b]上都可积，且
则有以下结论：
lim f (x) k, x g(x)
(1)当0≤k<+∞时,若
g(x)d收x 敛则 a
f (x)d收x 敛； a
(2)当0<k ≤ +∞时,若
g(x)d发x 散则 a
f (x)d发x 散。 a
当0<k<+∞时,两无穷级数同时收敛或同时发散。
第十一章 广义积分与含参变量的积分
复习
精选
§1 广义积分
1.无穷积分
(1)定义a：设函数f(x)在[a,+∞)上有定义，且对任意
A>a,
f(x)在[a,A]上可积。若
lim
A
A
a
f
(x)dx
存在，则称
无穷积分
f (x)dx
a
收敛，并定义
f (x)dx lim
A f (x)dx；
a
A a
否则称无穷积分发散。
上述无穷积分收敛。
精选
(5)无穷积分收敛的判别法
定理3(阿贝尔判别法): 设f(x)与g(x)在[a,+∞)上有定义， 并考虑无穷积分
a f (x)g(x)dx.
若无穷积分
A
a
f
(x)dx
收敛，且函数g(x)在
[a,+
∞)
上单调有界，则无穷积分
a
f
(x)g(x)dx
收敛。
精选
2. 瑕积分
(1)定义a：设函数f(x)在(a,b]上有定义，且f(x)在任意
A'
A'
A f (x)dx A | f (x) | dx.
参变量积分
0
由复合函数的连续性
f (a( y ) t (b( y ) a( y )), y )(b( y ) a( y ))
在[0,1][c,d]上连续,由定理1,
F ( y)
在[c,d]上连续.
b( y )
a( y )
f ( x, y)dx
数学分析选讲
多媒体教学课件
定理4设f(x,y), fy(x,y)在矩形[a,b,c,d]上连续, a(y), b (y) 存在,且当y[c,d]时,
0
sin t dt 收敛,故对任意>0,存在M>0,使对任意 t
数学分析选讲
A >M>0,有
多媒体教学课件
sin t | dt | . A t 因此当Aa>M时,对任意x[a,+),有
Ax aA M ,
从而
|
Ax sin xy sin t dt || dy | . A t y
b( y )
a( y )
f ( x, y)dx
数学分析选讲
多媒体教学课件
证明：作积分变换 x a( y ) t (b( y ) a( y )), 则
F ( y)
b( y )
a( y )
1
f ( x, y)dx
f (a( y ) t (b( y ) a( y )), y )(b( y ) a( y ))dt ,
多媒体教学课件
定理5设函数f(x,y)在矩形[a,b,c,d]上连续,,是
d
c
dy f ( x, y )dx dx f ( x, y )dy
b b d a a c
由复合函数的连续性
f (a( y ) t (b( y ) a( y )), y )(b( y ) a( y ))
在[0,1][c,d]上连续,由定理1,
F ( y)
在[c,d]上连续.
b( y )
a( y )
f ( x, y)dx
数学分析选讲
多媒体教学课件
定理4设f(x,y), fy(x,y)在矩形[a,b,c,d]上连续, a(y), b (y) 存在,且当y[c,d]时,
0
sin t dt 收敛,故对任意>0,存在M>0,使对任意 t
数学分析选讲
A >M>0,有
多媒体教学课件
sin t | dt | . A t 因此当Aa>M时,对任意x[a,+),有
Ax aA M ,
从而
|
Ax sin xy sin t dt || dy | . A t y
b( y )
a( y )
f ( x, y)dx
数学分析选讲
多媒体教学课件
证明：作积分变换 x a( y ) t (b( y ) a( y )), 则
F ( y)
b( y )
a( y )
1
f ( x, y)dx
f (a( y ) t (b( y ) a( y )), y )(b( y ) a( y ))dt ,
多媒体教学课件
定理5设函数f(x,y)在矩形[a,b,c,d]上连续,,是
d
c
dy f ( x, y )dx dx f ( x, y )dy
b b d a a c
含参变量的积分精编版共29页
谢谢！
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
55、 为 中 华 之 、人民应该为法律而战斗，就像为 了城墙 而战斗 一样。 ——赫 拉克利 特 17、人类对于不公正的行为加以指责 ，并非 因为他 们愿意 做出这 种行为 ，而是 惟恐自 己会成 为这种 行为的 牺牲者 。—— 柏拉图 18、制定法律法令，就是为了不让强 者做什 么事都 横行霸 道。— —奥维 德 19、法律是社会的习惯和思想的结晶 。—— 托·伍·威尔逊 20、人们嘴上挂着的法律，其真实含 义是财 富。— —爱献 生
第十一讲 含参变量的无限积分
三、含参变量的无穷积分设二元函数(,)f x u 在区域(,)D a x u αβ≤<+∞≤≤有定义，[,]u αβ∀∈，无穷积分(,)af x u d x +∞⎰都收敛，即[,]u αβ∀∈都对应唯一一个无穷积分（值）(,)af x u dx +∞⎰，于是，(,)af x u dx +∞⎰是[,]αβ上的函数，表为()(,),[,]au f x u dx u ϕαβ+∞=∈⎰，称为含参变量的无穷积分，有时也简称为无穷积分，u 是参变量．已知无穷积分()af x dx +∞⎰与数值级数1n n u ∞=∑的敛散性概念、敛散性判别法及其性质基本上是平行的，不难想到含参变量的无穷积分(,)af x u dx +∞⎰与函数级数1()nn ux ∞=∑之间亦应如此．讨论函数级数的和函数的分析性质时，函数级数的一致收敛性起着重要作用；同样，讨论含参变量的无穷积分的函数分析性质时，一致收敛性同样也起着重要的作用．[,]u αβ∀∈，无穷积分(,)af x u dx +∞⎰都收敛，即[,]u αβ∀∈，有(,)lim(,)A aaA f x u dx f x u dx +∞→+∞=⎰⎰，即0,,u u A a A A ε∀>∃≥∀>，有(,)(,)(,)A aaAf x u d x f x u d x f x u d x ε+∞+∞-=<⎰⎰⎰． （4）一般来说，相等的ε之下，不同的,u u A 也不同。
是否存在一个通用的0A a ≥，0,[,]A A u αβ∀>∀∈，有（4）式成立呢？事实上，有些参变量的无穷积分在[,]αβ上存在0A ，于是，有下面的一致收敛概念：定义 若000,,,,A a A A u I ε∀>∃≥∀>∀∈有(,)(,)(,)A aaAf x u dx f x u dx f x u dx ε+∞+∞-=<⎰⎰⎰，则称无穷积分(,)af x u d x +∞⎰在区间I 一致收敛；若无穷积分(,)af x u dx +∞⎰在区间I不存在通用的0A a ≥，就称(,)af x u dx +∞⎰在区间I 非一致收敛．现将一致收敛与非一致收敛对比如下： 一致收敛： 000,,,,A a A A u I ε∀>∃≥∀>∀∈有(,)Af x u dx ε+∞<⎰；非一致收敛：0000,,,A a A A u I ε∃>∀≥∃>∃∈，有00(,)A f x u dx ε+∞≥⎰．例5 证明：积分0xu ue d x +∞-⎰在区间[,](0)a b a >一致收敛，在[0,)+∞上非一致收敛．证：设0A >，则1()xutt A uA aAA uA uued x xu tuedt e dt ee a u b u+∞+∞+∞-----===≤≤≤⎰⎰⎰．0ε∀>，要使不等式Aa e ε-<成立，只要11ln0A aε>≥。
含参变量广义积分36页PPT
人类法律，事物有规律，这是不 容忽视 的。— —爱献 生
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
含参变量广义积分
36、如果我们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是丝毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
含参变量广义积分
36、如果我们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是丝毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯
含参变量广义积分
若函数序列sn ( x) 在集合 X 上一致收敛,
n 1 k 1 n
则称函数项级数 un ( x) 在 X 上一致收敛。
n 1
即函数项级数在给定区间的一致收敛，是用级 数前n项部分和序列在相同区间的一致收敛来定义。
若函数项级数 un ( x) 在 X 上一致收敛，
n 1
则它也在 X 收敛,但反之不成立。
设二元函数 f ( x, y ) 在 (x,y) a x , c y d 上有定义，
固定y c , d , 若无穷积分 f ( x, y)dx收敛，
则在 c , d 上定义了一个函数
a
g ( y) a来自f ( x, y)dx ,
c yd ,
如果函数项级数 un ( x )在区间 I 上满足条件:
(1) (2)
un ( x ) a n
n 1
n 1
( n 1,2,3 ) ;
正项级数 a n 收敛,
n 1
则函数项级数 un ( x )在区间 I 上一致收敛.
注 : 如上判别法得出的级数收敛还是绝对收敛。 又级数 an 也称为函数级数 un ( x) 的强级数。
一切 y 都收敛, 若 0, N a, 使当 A N 时, 对一切 y Y , 都有
A
f x, y dx ,
则称含参变量的无穷积分 a f x, y dx 在 Y 上一致收敛.
命题: 设含参变量的无穷积分
f x, y dx
n 1 n 1
例1
0
e
x
sin x dx
n 1 k 1 n
则称函数项级数 un ( x) 在 X 上一致收敛。
n 1
即函数项级数在给定区间的一致收敛，是用级 数前n项部分和序列在相同区间的一致收敛来定义。
若函数项级数 un ( x) 在 X 上一致收敛，
n 1
则它也在 X 收敛,但反之不成立。
设二元函数 f ( x, y ) 在 (x,y) a x , c y d 上有定义，
固定y c , d , 若无穷积分 f ( x, y)dx收敛，
则在 c , d 上定义了一个函数
a
g ( y) a来自f ( x, y)dx ,
c yd ,
如果函数项级数 un ( x )在区间 I 上满足条件:
(1) (2)
un ( x ) a n
n 1
n 1
( n 1,2,3 ) ;
正项级数 a n 收敛,
n 1
则函数项级数 un ( x )在区间 I 上一致收敛.
注 : 如上判别法得出的级数收敛还是绝对收敛。 又级数 an 也称为函数级数 un ( x) 的强级数。
一切 y 都收敛, 若 0, N a, 使当 A N 时, 对一切 y Y , 都有
A
f x, y dx ,
则称含参变量的无穷积分 a f x, y dx 在 Y 上一致收敛.
命题: 设含参变量的无穷积分
f x, y dx
n 1 n 1
例1
0
e
x
sin x dx
11-3含参变量广义积分
tx
A
A
eu2 du t 0
eu2 du
.
tA
0
2
这样 J (t)在区间[0, d]上不一致收敛 .
定理2（ 狄利克雷判别法）
若函数 f (x, y) , g(x, y) 满足： （1） y Y, 函数 g(x, y) 关于 x 单调且
g(x, y) 0 , y Y, x ,
中都需要如下一致收敛概念。
定义： 设无穷积分
g( y) f (x, y)dx ,
a
对区间Y（Y 为任意区间）中的一切 y 都收敛，如果
0, N N( ) a, A N, y Y,
A f (x, y) dx
则称含参变量的无穷积分在区间 Y 上一致收敛。
（2）
A a,
积分 A a
f (x, y)dx
存在且对 y Y 一致有界,
即存在常数 M 0, 满足
A
f (x, y)dx M ,
A a, y Y;
a
则含参变量无穷积分 f (x, y)g(x, y)dx 在 Y 一致收敛。 a
定理3（ 阿贝耳判别法）
( 含有两个参数的 )含参数积分
1 x p1(1 x)q1 dx 0
(p0, q0 )
当p 1且q 1时，为正常积分 . 当p 1时x 0为瑕点；
当q 1时x 1为瑕点. 将它写为两项之和：
1 x p1(1 x)q1dx 1 2 x p1(1 x)q1dx 1 x p1(1 x)q1dx,
(分部积分)
x ex x e1 x d x
数学分析 第十一章 课件 广义积分
x 0 x 0
0, ,
p 0(此时可判断收敛 ) p 0(此时可判断发散)
p 1 对这样 p 的要求 : , 这样的 p 均能找到 1 p
即
1, 收敛 1, 发散
1
ln x ( ln x) 1时， x ln xdx = dx = 0 0 x 2
b
例2
判断积分
2
1 1
dx 1 x
2
的收敛性：
1 1
dx 1 x
定理11.8 (柯西收敛原理 ) 设瑕积分
b a
f ( x ) d x 只有唯一的瑕点 a ，则
b a
f ( x ) d x 收敛
， 0 : 0 , ,
有，
a a
K为任意正常数， 且
lim x p f ( x) l ,
x
（）若0 l ，且p 1, 1
则 f ( x )dx收敛；
a
， （2）若0 l , 且p 1
则 f ( x )dx发散。
a
例6
1
arctan x dx x
arctan x 0, x [1, ) x
1
1 dx ，当 p 1 时收敛， p x
1 1 dx dx ln x 1 , (1) p 1, 1 证 1 xp x , p 1 1 p 1 x ( 2) p 1, dx p 1 , p1 1 x 1 p 1 p1 1 因此当 p 1 时广义积分收敛，其值为 ； p1 当 p 1 时广义积分发散.
0, ,
p 0(此时可判断收敛 ) p 0(此时可判断发散)
p 1 对这样 p 的要求 : , 这样的 p 均能找到 1 p
即
1, 收敛 1, 发散
1
ln x ( ln x) 1时， x ln xdx = dx = 0 0 x 2
b
例2
判断积分
2
1 1
dx 1 x
2
的收敛性：
1 1
dx 1 x
定理11.8 (柯西收敛原理 ) 设瑕积分
b a
f ( x ) d x 只有唯一的瑕点 a ，则
b a
f ( x ) d x 收敛
， 0 : 0 , ,
有，
a a
K为任意正常数， 且
lim x p f ( x) l ,
x
（）若0 l ，且p 1, 1
则 f ( x )dx收敛；
a
， （2）若0 l , 且p 1
则 f ( x )dx发散。
a
例6
1
arctan x dx x
arctan x 0, x [1, ) x
1
1 dx ，当 p 1 时收敛， p x
1 1 dx dx ln x 1 , (1) p 1, 1 证 1 xp x , p 1 1 p 1 x ( 2) p 1, dx p 1 , p1 1 x 1 p 1 p1 1 因此当 p 1 时广义积分收敛，其值为 ； p1 当 p 1 时广义积分发散.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
b 0
a a
0
f (x)dx f (x)dx f (x)dx.
0
否则称无穷积分发散。
我们得出结论: dx 1 xp
当p 1时,
1
1 xp
dx
发散,
当p>1时积分有值
1
1 xp
dx lim b
b1 0 xp
dx
lim ( 1 b p1 1 )
b p 1
p 1
( 1 ) 1 p 1 p 1
(3)无穷积分收敛的充要条件
柯西收敛原理:无穷积分a f (x)dx 收敛的充要条件是:
任给ε>0,存在正数A0>a,只要A>A0, A’>A0,便有
A'
| A f (x)dx | .
1.无穷积分
(4)无穷积分绝对收敛与条件收敛的定义
若
|
f
(x) | dx
收敛，则称
f (x)dx 绝对收敛；
§1 广义积分
1.无穷积分
(1)定义c:设函数f(x)在(-∞,+∞)上有定义，且在任意
区间[a,b]上可积。若
lim
b
b 0
f (x)dx与
lim
a
0 a
f (x)dx
同
时存在，则称无穷积分
f (x)dx
收敛，并定义
f (x)dx lim
b
f (x)dx lim
0 f (x)dx；
区间[a+ε,b]上可积,但x→a+0时f(x)无界，我们称a为
瑕点。若极限 lim b 00 a
f (x)dx
存在，则称瑕积分
b a
f (x)dx
收敛，并定义
b f (x)dx lim
b
f (x)dx；
a
00 a
否则称瑕积分发散。
2. 瑕积分
(1)定义b：设函数f(x)在[a,b)上有定义，且f(x)在任意
（优选）第十一章广义 积分与含参变量的积分
复习
§1 广义积分
1.无穷积分
(1)定义a：设函数f(x)在[a,+∞)上有定义，且对任意
A>a,
f(x)在[a,A]上可积。若
lim
A
A
a
f
(x)dx
存在，则称
无穷积分
f (x)dx
a
收敛，并定义
f (x)dx lim
A f (x)dx；
a
A a
区间[a, b -ε]上可积,但x→b-0时f(x)无界，我们称b为
瑕点。若极限 lim b 00 a
f (x)dx 存在，则称瑕积分
b a
f (x)dx
收敛，并定义
b f (x)dx lim
b f (x)dx；
a
00 a
否则称瑕积分发散。
b 1 收敛， p 1,
0 x p dx发散， p 1.
上述无穷积分收敛。
(5)无穷积分收敛的判别法
定理3(阿贝尔判别法): 设f(x)与g(x)在[a,+∞)上有定义， 并考虑无穷积分
a f (x)g(x)dx.
若无穷积分
A
a
f
(x)dx
收敛，且函数g(x)在
[a,+
∞)
上单调有界，则无穷积分
a
f
(x)g(x)dx
收敛。
2. 瑕积分
(1)定义a：设函数f(x)在(a,b]上有定义，且f(x)在任意
0≤f(x)≤g(x). 又设f(x)与g(x)在任一区间[a,b]上可积，则
(1)由 g(x)dx 收敛可推出 f (x)dx 也收敛；
a
a
(2)由 f (x)dx 发散可推出 g(x)dx 也发散。
a
a
(5)无穷积分收敛的判别法
推论（比较判别法的极限形式）:设当 x≥a 时，f(x)≥0，
1.无穷积分
(2)无穷积分的性质
若两个无穷积分
f (x)dx 与
g(x)dx
都收敛，
a
a
则无穷积分
a [k1 f
(x) k2 g(x)f (x) k2g(x)]dx k1 a f (x)dx k2 a g(x)dx,
其中k1,k2为常数。
1.无穷积分
g(x) ≥0，它们在任意区间[a,b]上都可积，且
则有以下结论：
lim f (x) k, x g(x)
(1)当0≤k<+∞时,若
g(x)d收x 敛则 a
f (x)d收x 敛； a
(2)当0<k ≤ +∞时,若
g(x)d发x 散则 a
f (x)d发x 散。 a
当0<k<+∞时,两无穷级数同时收敛或同时发散。
(5)无穷积分收敛的判别法
定理2(狄利克莱判别法):设f(x)与g(x)在[a,+∞)上有定义，
并考虑无穷积分
a f (x)g(x)dx.
A
设对一切A≥a，积分 a f (x)dx有界，即存在常数M>0使
A
a f (x)dx M , A a.
又设函数g(x)在[a,+ ∞)上单调且趋于零(当x→+ ∞时)，则
A'
A'
A f (x)dx A | f (x) | dx.
(5)无穷积分收敛的判别法
无穷积分收敛的充要条件
引理：若f(x)是[a,+∞)上的非负可积函数，则
a f (x)dx 收敛的充要条件是：对一切A≥a，
积分 A a
f (x)dx
有界。
(5)无穷积分收敛的判别法
定理1（比较判别法）:设f(x)与g(x)在[a,+∞)上有定义， 且当x≥X≥a时有
2. 瑕积分
(1)定义c：设函数f(x)在(a,b)上有定义，且f(x)在任意
区间[a+ ε, b -ε]上可积, a与b均为f(x)的瑕点。
若极限 lim c f (x)dx 与 lim b f (x)dx 都存在，则称瑕
00 a
00 c
积分
b
a
f (x)dx
收敛，并定义
b
f (x)dx lim
c
f (x)dx lim
b f (x)dx.；
a
00 a
00 c
若上述两个极限中至少有一个极限不存在，就称
瑕积分
b
a
f
(x)dx
发散。
2. 瑕积分
(2)瑕积分收敛的充要条件
柯西收敛原理:以a为瑕点的瑕积分
b
a
f (x)dx
收敛的
充要条件是: 任给ε>0, 存在δ>0, 只要0< δ 1< δ , 0<
否则称无穷积分发散。
§1 广义积分
1.无穷积分
(1)定义b:设函数f(x)在(-∞,b]上有定义，且对任意
b
A<b,
f(x)在[A,b]上可积。若
lim
A
A
f
(x)dx 存在，则称
无穷积分
b
f (x)dx
收敛，并定义
b f (x)dx lim
b f (x)dx；
A A
否则称无穷积分发散。
a
a
若 f (x)dx 收敛，但
|
f
(x) | dx
发散，则称
a
a
f (x)dx 条件收敛。 a
命题:若
|
f
(x) | dx
收敛,则
f (x)dx
也收敛。
a
a
1.无穷积分
(4)无穷积分绝对收敛与条件收敛的定义
命题:若 a | f (x) | dx 收敛,则 a f (x)dx 也收敛。