第十八章 含参变量的广义积分
参变量积分
由复合函数的连续性
f (a( y ) t (b( y ) a( y )), y )(b( y ) a( y ))
在[0,1][c,d]上连续,由定理1,
F ( y)
在[c,d]上连续.
b( y )
a( y )
f ( x, y)dx
数学分析选讲
多媒体教学课件
定理4设f(x,y), fy(x,y)在矩形[a,b,c,d]上连续, a(y), b (y) 存在,且当y[c,d]时,
0
sin t dt 收敛,故对任意>0,存在M>0,使对任意 t
数学分析选讲
A >M>0,有
多媒体教学课件
sin t | dt | . A t 因此当Aa>M时,对任意x[a,+),有
Ax aA M ,
从而
|
Ax sin xy sin t dt || dy | . A t y
b( y )
a( y )
f ( x, y)dx
数学分析选讲
多媒体教学课件
证明：作积分变换 x a( y ) t (b( y ) a( y )), 则
F ( y)
b( y )
a( y )
1
f ( x, y)dx
f (a( y ) t (b( y ) a( y )), y )(b( y ) a( y ))dt ,
多媒体教学课件
定理5设函数f(x,y)在矩形[a,b,c,d]上连续,,是
d
c
dy f ( x, y )dx dx f ( x, y )dy
b b d a a c
含参变量广义积分
a
又积分
a f y (x, y) dx
在c, d 上一致收敛，
则含参变量的无穷积分
g( y) f (x, y) dx
a
在c, d 上可导且
d
dy a
f (x, y) dx a
f (x, y) dx y
3. 函数和函数
本段介绍用含参数广义积分表达的两个特殊
函数 , 即 ( ) 和 B( p, q) 。 在积分计算等方面, 它
一致收敛的柯西收敛准则:
含参变量的无穷积分 f (x, y)dx 在区间 Y 上一致收敛的 a
充要条件是： 0 , 存在与y 无关的常数 N, 使得
A N, A N, y Y , 都有
A
f (x, y) dx
。
A
利用柯西收敛准则证明下列M判别法:
定理1： 若 | f (x, y) | (x), x a , y Y ,
它在任意区间[0, A]上关于x是可积的，即定积分 A 0
存在. 又这时
| tetx2 | decx2 ,
tetx2 dx
而无穷积分 d ecx2 dx是收敛的. 因此J(t)在[c, d ]上一 0
致收敛.
(2) 当0 t d时，对于任意取定的 A 0, 有
|
tetx2 dx |
只要 A N, 则有
A
f (x, y0 )dx f (x, y0 )dx g( y0 ) 。
A
a
上面收敛定义中的常数 N 通常与 y0 有关。许多应用
中都需要如下一致收敛概念。
定义： 设无穷积分
g( y) f (x, y)dx ,
a
对区间Y（Y 为任意区间）中的一切 y 都收敛，如果
含参变量积分
目录摘要 (1)前言 (2)一、预备知识 (2)（一）、含参变量积分的定义 (2)（二）、含参变量反常积分的定义 (2)（三）、定理 (3)1、含参变量积分的相关定理 (3)2、含参变量反常积分的相关定理 (4)二、含参变量积分的应用 (5)（一）、用含参变量积分解决积分计算的解题模式 (5)1、利用含参变量积分解决定积分、广义积分的解题模式 (5)2、用含参变量积分解决二重、三重积分的模式 (6)（二）、证明等式 (7)（三）、证明不等式 (9)（四）、求极限 (10)（五）、求隐函数的导数 (12)三、含参量反常积分的性质 (13)（一）、含参量反常积分的局部一致收敛与连续性 (13)1、局部一致收敛概念 (13)2、连续的等价条件 (13)3、几种收敛性的关系 (15)（二）、含参量反常积分局部一致收敛的判别法 (17)1、主要结果 (17)2、主要引理 (18)（三）、计算含参量反常积分的一些特殊方法 (21)1、利用反常积分的定义和变量替换求解 (21)2、通过建立微分方程求积分值 (21)3、引入收敛因子法求解 (22)4、级数解法 (23)5、利用其他的积分 (24)总结 (25)参考文献 (25)含参变量积分赵洁（渤海大学数学系辽宁锦州121000中国）摘要：本文主要研究含参变量积分的两种类型：含参变量（正常）积分和含参变量反常积分。
首先，给出了它们的定义和相关定理;然后，介绍了含参变量（正常）积分在证明等式、不等式和求极限等方面的应用；最后，给出了含参变量反常积分的性质和计算的一些特殊方法。
关键词：含参变量积分；二重积分；定积分；广义积分；局部一致收敛；一致收敛；含参量反常积分Parameter IntegralZhao Jie(Department of Mathematics Bohai University Liaoning Jinzhou 121000 China) Abstract：In this paper, two kinds of parameter integral are studied:parameter (normal) integral and parameter improper integral.Firstly their definitions and related theorems are given;Secondly the applications of parameter (normal) integral in proving equality,proving inequality and solving limit are introduced;Finally the qualities and some special solving methods of parameter improper integral are given.Keywords：parameter integral;double integral;definite integral;improper integral;locally uniformly convergence;uniform covergence;parameter improper integral前言含参变量积分是一类比较特殊的积分, 由于含参变量积分是函数且以积分的形式给出，所以含参变量（正常）积分在积分的计算，等式的证明，不等式的证明及极限的求解等方面都有着广泛的应用。
微积分课程含参定积分
0
0 1 cos x
后者是三角有理式，利用换元 t tan x 可以变为以 t 为自变量的有理函数的积分。当 0 时， 2
F( ) 2 arctan t t
t0
2
1 2 arctan
t
1 1 t t0
π
yk
yk
因此 G 可微，且是 C1 的。对 G((y), ( y), y) 用链索法则，得到
( y)
f (x, y)dx
( y) f
(x, y)dx f ( ( y), y) ( y) f (( y), y) ( y) 。■
yk ( y)
(2)
f yk
(x,
y)
关于
y
在
y0
U
处连续，且这连续性对积分变量
x [a,b]
一致。
则 F(y)
b a
f
(x,
y)dx
关于
yk
在
y0
U
处可导，且
yk
b
f (x, y)dx
a y y0
b a
f yk
(x,
y0 )dx
。
证明：对任意 0 ，当 t ( ) 时，对任意 x [a,b] 及任意 0 s 1 ， y0 stek y0 st t ，
存 在 仅 由 决 定 的 正 数 ( ) 使 得 当 y U 满 足 y y0 ( ) 时 ， 对 任 意 x [a,b] 都 有
f ( x, y) f ( x, 0y ) 。
则 F(y)
b a
f
含参变量广义积分
n 1 k 1 n
则称函数项级数 un ( x) 在 X 上一致收敛。
n 1
即函数项级数在给定区间的一致收敛，是用级 数前n项部分和序列在相同区间的一致收敛来定义。
若函数项级数 un ( x) 在 X 上一致收敛，
n 1
则它也在 X 收敛,但反之不成立。
设二元函数 f ( x, y ) 在 (x,y) a x , c y d 上有定义，
固定y c , d , 若无穷积分 f ( x, y)dx收敛，
则在 c , d 上定义了一个函数
a
g ( y) a来自f ( x, y)dx ,
c yd ,
如果函数项级数 un ( x )在区间 I 上满足条件:
(1) (2)
un ( x ) a n
n 1
n 1
( n 1,2,3 ) ;
正项级数 a n 收敛,
n 1
则函数项级数 un ( x )在区间 I 上一致收敛.
注 : 如上判别法得出的级数收敛还是绝对收敛。 又级数 an 也称为函数级数 un ( x) 的强级数。
一切 y 都收敛, 若 0, N a, 使当 A N 时, 对一切 y Y , 都有
A
f x, y dx ,
则称含参变量的无穷积分 a f x, y dx 在 Y 上一致收敛.
命题: 设含参变量的无穷积分
f x, y dx
n 1 n 1
例1
0
e
x
sin x dx
含参变量广义积分一致收敛的Heine定理
6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 778 7778
’ 1& ’ ຫໍສະໝຸດ & 2?<2
<
2 ’
’
’
#
’ 1& ’ )& 2
证
必要性 > 直接使用定理 G即可 >
<
’ 1& ’ )& 2
充 分 性> 设N
O 2
则对任意 O$ 2 函数 . ! 3 , M .关 于 34 5一 致 收 敛 到 7 ( 3 , ! ! L 6(
2 ’
7 ( O ! 3 ,)
定理易证 7 ( O ! 3 ,一致收敛于 7 ( 3 , ( O;? <, ( 34 5 , >
( ). H L ’ ( ) " H K’
& 21 & 21
G 时 使用 ? 有 当 1= J ! = ! 3 4 5J F J ? G K ’ ( )2 &
C
1
G ?
J .& G J = ( ?D #. ’ J .& G ) 3 4 5 J
含参量广义积分
含参量广义积分
广义积分是微积分中的一个重要概念，它是对函数在某一区间无限分割后的极限求和。
在实际应用中，有时需要对含有参数的函数进行积分，这就是含参量广义积分。
含参量广义积分的形式为：
$int_{a}^{+infty}f(x,t)dx$
其中，$t$为参数，$f(x,t)$为含有参数$t$的函数。
含参量广义积分的求解需要满足收敛性条件，即当$x$趋于无穷时，积分值能够收敛于一个有限的实数。
如果不满足收敛性条件，那么含参量广义积分的积分值就不存在。
对于一些特殊的函数，含参量广义积分可以通过换元、分部积分等方法进行求解。
例如，当$f(x,t)$为$e^{-tx^2}$时，积分的结果可以表示为$t$的函数形式。
含参量广义积分在物理学、工程学、经济学等领域有着广泛的应用。
例如，在统计物理中，可以通过对含参量广义积分的求解，得到粒子的分布函数。
在经济学中，含参量广义积分可以用来表示收益函数和成本函数。
总之，含参量广义积分是微积分中的一个重要概念，它在实际应用中具有广泛的应用价值。
- 1 -。
第十八章 含参变量的广义积分
第十八章 含参变量的广义积分1． 证明下列积分在指定的区间内一致收敛： (1) 220cos() (0)xy dy x a x y +∞≥>+⎰； (2) 20cos() ()1xy dy x y +∞-∞<<+∞+⎰； (3)1 ()x y y e dy a x b +∞-≤≤⎰； (4) 1cos (0,0)xy p y e dy p x y +∞->≥⎰； (5) 20sin (0)1p x dx p x+∞≥+⎰. 2． 讨论下列积分在指定区间上的一致收敛性：(1)20 (0)x dx αα-<<+∞⎰； (2) 0xy xe dy +∞-⎰，（i ）[,] (0)x a b a ∈>，（ii ）[0,]x b ∈； (3) 2()x e dx α+∞---∞⎰，（i ）a b α<<，（ii ）α-∞<<+∞； (4) 22(1)0sin (0)x y e xdy x +∞-+<<+∞⎰.3． 设()f t 在0t >连续，0()t f t dt λ+∞⎰当,a b λλ==皆收敛，且a b <。
求证：0()t f t dt λ+∞⎰关于λ在[,]a b 一致收敛.4． 讨论下列函数在指定区间上的连续性： (1) 220()x F x dy x y +∞=+⎰，(,)x ∈-∞+∞； (2) 20()1x y F x dy y+∞=+⎰，3x >； (3) 20sin ()()x xy F x dy y y ππ-=-⎰，(0,2)x ∈.5． 若(,)f x y 在[,][,)a b c ⨯+∞上连续，含参变量广义积分()(,)c I x f x y dy +∞=⎰在[,)a b 收敛，在x b =时发散，证明()I x 在[,)a b 不一致收敛.6． 含参变量的广义积分()(,)c I x f x y dy +∞=⎰在[,]a b 一致收敛的充要条件是：对任一趋于+∞的递增数列{}n A （其中1A c =），函数项级数 111(,)()n n A n A n n f x y dy u x +∞∞===∑∑⎰ 在[,]a b 上一致收敛.7． 用上题的结论证明含参变量广义积分()(,)c I x f x y dy +∞=⎰在[,]a b 的积分交换次序定理（定理19.12）和积分号下求导数定理（定理19.13）.8． 利用微分交换次序计算下列积分： (1) 210()()n n dx I a x a +∞+=+⎰ （n 为正整数，0a >）； (2) 0sin ax bx e e mxdx x--+∞-⎰（0,0a b >>）； (3) 20sin x xe bxdx α+∞-⎰(0α>). 9． 用对参数的积分法计算下列积分： (1) 220ax bx e e dx x --+∞-⎰（0,0a b >>）； (2) 0sin ax bxe e mxdx x --+∞-⎰（0,0a b >>）. 10． 利用2(1)2011y x e dy x+∞-+=+⎰计算拉普拉斯积分 20cos 1x L dx xα+∞=+⎰ 和120sin 1x x L dx x α+∞=+⎰. 11． 20(0)xy e dy x +∞-=>计算傅伦涅尔积分2001sin 2F x dx +∞+∞==⎰⎰ 和21001cos 2F x dx +∞+∞==⎰⎰. 12． 利用已知积分 0sin 2x dx x π+∞=⎰，202x e dx +∞-=⎰计算下列积分： (1) 420sin x dx x+∞⎰； (2) 02sin cos y yx dy yπ+∞⎰； (3)220x x e dx α+∞-⎰ (0)a >； (4) 2()0ax bx c e dx +∞-++⎰(0)a >； (5) 222()a x x e dx -++∞-∞⎰(0)a >. 13． 求下列积分： (1) 01cos t e tdt t+∞-⎰； (2) 220ln(1)1x dx x +∞++⎰. 14． 证明：(1) 10ln()xy dy ⎰在1[,]b b(1)b >上一致收敛； (2) 10y dx x ⎰在(,]b -∞ (1)b <上一致收敛. 15． 利用欧拉积分计算下列积分：(1) 10⎰；(2) ⎰；(3)⎰;(4)0a x ⎰ (0)a >； (5)6420sin cos x xdx π⎰； (6)401dx x +∞+⎰； (7)220n x x e dx +∞-⎰ （n 为正整数）；(8) 0π⎰； (9) 220sin n xdx π⎰ （n 为正整数）； (10) 1101ln n m x dx x -⎛⎫ ⎪⎝⎭⎰ (n 为正整数).16． 将下列积分用欧拉积分表示，并求出积分的存在域： (1) 102m n x dx x-+∞+⎰；(2) 1⎰(3) 20tan n xdx π⎰； (4) 101ln p dx x ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎰； (5) 0ln p x x e xdx α+∞-⎰(0)α>. 17． 证明： (1) 11()nx e dx n n +∞--∞=Γ⎰ (0)n >； (2) lim 1nx n e dx +∞--∞→+∞=⎰. 18． 证明：1110(,)(1)b a bx x B a b dx x α--++=+⎰； 10()sx s x e dx ααα+∞--Γ=⎰ (0)s >.。
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第十八章 含参变量的广义积分
1． 证明下列积分在指定的区间内一致收敛： (1) 220cos() (0)xy dy x a x y +∞≥>+⎰
； (2) 20
cos() ()1xy dy x y +∞
-∞<<+∞+⎰； (3)
1 ()x y y e dy a x b +∞-≤≤⎰； (4) 1
cos (0,0)xy p y e dy p x y +∞->≥⎰； (5) 20sin (0)1p x dx p x
+∞
≥+⎰. 2． 讨论下列积分在指定区间上的一致收敛性：
(1)
20 (0)x dx αα-<<+∞⎰； (2) 0
xy xe dy +∞-⎰，
（i ）[,] (0)x a b a ∈>，（ii ）[0,]x b ∈； (3) 2
()x e dx α+∞
---∞⎰，
（i ）a b α<<，（ii ）α-∞<<+∞； (4) 22(1)0sin (0)x y e xdy x +∞
-+<<+∞⎰.
3． 设()f t 在0t >连续，0()t f t dt λ+∞
⎰当,a b λλ==皆收敛，且a b <。
求证：
0()t f t dt λ+∞
⎰关于λ在[,]a b 一致收敛.
4． 讨论下列函数在指定区间上的连续性： (1) 22
0()x F x dy x y +∞
=+⎰，(,)x ∈-∞+∞； (2) 20()1x y F x dy y
+∞
=+⎰，3x >； (3) 20sin ()()x x
y F x dy y y π
π-=-⎰，(0,2)x ∈.
5． 若(,)f x y 在[,][,)a b c ⨯+∞上连续，含参变量广义积分
()(,)c I x f x y dy +∞
=⎰
在[,)a b 收敛，在x b =时发散，证明()I x 在[,)a b 不一致收敛.
6． 含参变量的广义积分()(,)c I x f x y dy +∞
=⎰在[,]a b 一致收敛的充要条件是：对任一
趋于+∞的递增数列{}n A （其中1A c =）
，函数项级数 111(,)()n n A n A n n f x y dy u x +∞∞
===∑∑⎰ 在[,]a b 上一致收敛.
7． 用上题的结论证明含参变量广义积分()(,)c I x f x y dy +∞
=⎰在[,]a b 的积分交换次序
定理（定理19.12）和积分号下求导数定理（定理19.13）.
8． 利用微分交换次序计算下列积分： (1) 210()()
n n dx I a x a +∞
+=+⎰ （n 为正整数，0a >）； (2) 0sin ax bx e e mxdx x
--+∞
-⎰（0,0a b >>）； (3) 20sin x xe bxdx α+∞-⎰
(0α>). 9． 用对参数的积分法计算下列积分： (1) 220ax bx e e dx x --+∞-⎰
（0,0a b >>）； (2) 0
sin ax bx
e e mxdx x --+∞
-⎰（0,0a b >>）. 10． 利用2(1)2011y x e dy x
+∞-+=+⎰计算拉普拉斯积分 20cos 1x L dx x
α+∞=+⎰ 和
120sin 1x x L dx x α+∞=+⎰
. 11． 2
0(0)xy e dy x +∞
-=>计算傅伦涅尔积分
2001sin 2F x dx +∞+∞==⎰⎰ 和
2
1001cos 2F x dx +∞+∞==⎰
⎰. 12． 利用已知积分 0sin 2x dx x π+∞=⎰
，202x e dx +∞-=⎰计算下列积分： (1) 420sin x dx x
+∞
⎰； (2) 02
sin cos y yx dy y
π+∞⎰； (3)
220x x e dx α+∞-⎰ (0)a >； (4) 2()0ax bx c e dx +∞-++⎰
(0)a >； (5) 222()a x x e dx -++∞-∞⎰
(0)a >. 13． 求下列积分： (1) 01cos t e tdt t
+∞
-⎰； (2) 22
0ln(1)1x dx x +∞
++⎰. 14． 证明：
(1) 1
0ln()xy dy ⎰在1[,]b b
(1)b >上一致收敛； (2) 10y dx x ⎰在(,]b -∞ (1)b <上一致收敛. 15． 利用欧拉积分计算下列积分：
(1) 10⎰
；
(2) ⎰；
(3)
⎰;
(4)
0a x ⎰ (0)a >； (5)
6420sin cos x xdx π⎰； (6)
401dx x +∞+⎰； (7)
220n x x e dx +∞-⎰ （n 为正整数）；
(8) 0π⎰
； (9) 220sin n xdx π⎰ （n 为正整数）； (10) 1101ln n m x dx x -⎛⎫ ⎪⎝⎭⎰ (n 为正整数).
16． 将下列积分用欧拉积分表示，并求出积分的存在域： (1) 102m n x dx x
-+∞
+⎰；
(2) 1⎰
(3) 2
0tan n xdx π
⎰； (4) 1
01ln p dx x ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎰； (5) 0ln p x x e xdx α+∞-⎰
(0)α>. 17． 证明： (1) 11()n
x e dx n n +∞
--∞=Γ⎰ (0)n >； (2) lim 1n
x n e dx +∞--∞→+∞=⎰. 18． 证明：
111
0(,)(1)b a b
x x B a b dx x α--++=+⎰； 10()sx s x e dx ααα+∞
--Γ=⎰ (0)
s >.。