数学《必修2》同步练习---2.1.1_平面(1)
最新-2021学年高中数学必修二精讲优练课件：第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 精品
公理
文字语言
如果两个不重合的平
面有一个公共点,那么 公理3
它们有且只有一条过
该点的_公__共__直__线__
图形语言
符号语言
P∈α且P∈β⇒
_________ α∩β=l, ______ 且P∈l
【即时小测】 1.思考下列问题: (1)一个平面能把空间分成几部分? 提示:因为平面是无限延展的,一个平面把空间分成两部分. (2)若A∈a,a⊂α,是否可以推出A∈α? 提示:根据直线在平面内的定义可知,若A∈a,a⊂α,则A∈α.
(2)平面的画法.
常常把水平的平面画成一个_平__行__四__边__形__,并且 其锐角画成_4_5_°__,且横边长等于邻边长的_2_倍.
一个平面被另一个平面遮挡住,为了增强立体 感,被遮挡部分用_虚__线__画出来.
(3)平面的表示方法. ①用希腊字母表示,如平面α,平面β,平面γ. ②用表示平面的平行四边形的四个顶点的大写字母表示,如平面ABCD. ③用表示平面的平行四边形的相对的两个顶点表示,如平面AC,平面BD.
【解题探究】典例中梯形ABCD的两腰分别是什么?其延长后的交点位 于什么地方? 提示:结合题意可知梯形ABCD的两腰分别是AB,CD,它们延长后的交点 既在平面α内又在平面β内.
【证明】因为梯形ABCD中,AD∥BC, 所以AB,CD是梯形ABCD的两腰. 因为AB,CD必定相交于一点. 设AB∩CD=M. 又因为AB⊂α,CD⊂β,所以M∈α,M∈β. 所以M∈α∩β. 又因为α∩β=l,所以M∈l. 即AB,CD,l共点(相交于一点).
【总结提升】 1.公理1、2、3的意义和作用 (1)公理1. 意义:说明了平面与曲面的本质区别.通过直线的“直”来刻画平面的 “平”,通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”. 作用:既是判断直线在平面内,又是检验平面的方法.
必修2-2.1.1-空间点、直线、平面之间的位置关系导学案3个课时
2.1《空间点、直线、平面之间的位置关系》导学案2.1.1平面第 ___ 周 高一 __________ 班 ____________ 合作小组姓名 ____________【学习目标】1•正确理解平面的概念；掌握平面的基本性质； 2•熟练掌握公理1、2、3的三种语言及相互转换； 3•会用三个公理证明简单的共点、共线、共面问题；【重点难点】教学重点：公理1、2、3 教学难点：三个公理的理解【学法指导】注意观察教室中的点、线、面，你会有很多的收获！预习案阅读课本P40-43，完成下面预习案一、知识梳理1. 平面概述 (1)平面的两个特征：①无限延展②没有厚度(2) 平面的画法： ________________________(3) 平面的表示： ______________________________________________________________________ 平面可以看成点的集合，点 A 在平面 内，记作 __________ ，点B 不在平面 内，记作 __________ 2. 三个公理公理1 : ___________________________________________________________________________ 用数学符号表示为： ___________________________________________________ 图形语言：公理2 : ___________________________________________________________________________ 用数学符号表示为： ___________________________________________________ 图形语言：公理3: _________________________________________________________________________________________________ 用数学符号表示为： ___________________________________________________ 图形语言：编写人：朱其山审核人：郭小艳 编写时间：2013-05-13. 公理2的三条推论：推论1经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面;推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面；推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面二、问题导学为什么要学习三个公理？三个公理的作用是什么?三、预习自测1.卜列推断中，错误的是( ).A •A l,A ,B l,B l B. A,A ,B ,B I ABC.l , A l A D . A,B,C , A,B,C ，且A、B、C不共线,重合2. 下列结论中，错误的是( )A . 经过三点确定一个平面B. 经过一条直线和这条直线外一点确定一个平面C . 经过两条相交直线确定一个平面D. 经过两条平行直线确定一个平面3•用符号表示下列语句，并画出相应的图形：(1)直线a经过平面外的一点M；(2)直线a既在平面内，又在平面内;4•如图，试根据下列要求，把被遮挡的部分改为虚线:(1)AB没有被平面遮挡；(2)AB被平面遮挡【疑惑之处】探究案【例1】如图，用符号表示下图图形中点、直线、平面之间的位置关系【探究小结】【例2】在正方体ABCD-ABQQ,中，(1) AA与CC,是否在同一平面内？(2)点B,G,D是否在同一平面内？(3)画出平面AGC与平面BCQ的交线，平面ACD1与平面BDC1的交线.【探究小结】【探究小结】课堂检测1 .下列说法中正确的是（）.A.空间不同的三点确定一个平面 B.空间两两相交的三条直线确定一个平面C. 空间有三个角为直角的四边形一定是平面图形D. 和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内2. _______________________________________________ 给出下列说法，其中说法正确的序号依次是 ______________________________________________________ . ① 梯形的四个顶点共面； ② 三条平行直线共面；③ 有三个公共点的两个平面重合；④ 每两条都相交并且交点全部不同的四条直线共面 3.已知空间四点中无任何三点共线，那么这四点可以确定平面的个数是_________ .4. 下面四个叙述语（其中 A,B 表示点，a 表示直线， 表示平面） ①Q A ,B ,AB ；②Q A,B,AB ；变式：例2中，A i C 与面BC i D 相交于点M ,求证：G,M,0三点共线. 分析：要证若干点共线的问题，只需证这些点同在两个相交平面内即可【例3】已知 ABC 在平面 夕卜，它的三边所在的直线分别交面 一条直线上.于P,Q,R ,求证：P,Q,R 在同③Q A a,a,A ；④Q A,a,A a.其中叙述方式和推理都正确的序号是 ____________5•在棱长为a的正方体ABCD-A i B i C i D i中M,N分别是AA i, D1C1的中点，过点D, M , N三点的平面与正方体的下底面A i B i C i D i相交于直线I ,(i)画出直线I ;(2)设I I A j B, P，求PB i 的长;(3)求D i到|的距离.课后检测i .下列推断中，错误的是( ).A . A l,A,B l,B lB . A , A,B ,B I ABC . l ,A l AD . A, B,C,A,B,C，且A、B、C不共线,重合2. E、F、G、H是三棱锥A-BCD 棱AB、AD、CD、CB上的点，延长EF、HG交于P,则点P( ).A. —定在直线AC上B.—定在直线BD上C.只在平面BCD内D.只在平面ABD内3. 用一个平面截一个正方体，其截面是一个多边形，则这个多边形边数最多是( ).A. 三B.四C.六D.八4. 下列说法中正确的是( ).A. 空间不同的三点确定一个平面B. 空间两两相交的三条直线确定一个平面C. 空间有三个角为直角的四边形一定是平面图D. 和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内5. 两个平面若有三个公共点，则这两个平面____________6. 给出下列说法：① 梯形的四个顶点共面；② 三条平行直线共面；③有三个公共点的两个平面重合；④ 每两条都相交并且交点全部不同的四条直线共面.其中说法正确的序号依次是________ .7. 已知空间四点中无任何三点共线，那么这四点可以确定平面的个数是________8. 求证：两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一平面内已知：直线AB,BC,CA两两相交，交点分别为A,B,C，求证：直线AB,BC,CA共面.9.空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，已知EF和GH交于P点，求证：EF、GH、AC三线共点.2.1.2空间中直线与直线间的位置关系第 __ 周高一__________ 班_____________ 合作小组姓名 _____________【学习目标】1. 直线与直线之间的位置关系.2. 异面直线的定义、异面直线所成的角；【重点难点】教学重点：异面直线的定义；直线与直线之间的位置关系；教学难点：异面直线的定义【学法指导】多观察生活中事物，如建筑物、电线杆、马路、桥梁等并思考直线与直线的位置关系预习案阅读教材P44-50,完成下面填空一、知识梳理1 •空间两直线的位置关系相父直线：共面直线；异面直线：_____________ . ________________2.异面直线的概念与画法（1）异面直线的画法（注意：常用平面衬托法画两条异面直线）（2）异面直线所成的角：已知两条异面直线a,b ,经过空间任一点0作直线_________________ ,把a ,b 所成的锐角（或直角）叫异面直线a,b所成的角（或夹角）•注意：①a,b所成的角的大小与点0的选择无关，为了简便，点0通常取在异面直线的一条上；②异面直线所成的角的范围为 ___________ ,③如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直，记作 a b.（3）_________________________________________________________________________________ 空间等角定理： _______________________________________________________________________________二、问题导学空间两条直线位置关系有几种？其中，哪一种关系是平面几何中没有学过？三、预习自测1 •分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是（）.A.异面B.平行C.相交D.以上都有可能2 .直线I与平面不平行，则（A. l与相交B. IC. I与相交或ID.以上结论都不对3•若两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，则这两个平面的公共点个数（）A.有限个B.无限个C.没有D.没有或无限个4•如果OA // O'A',OB // O'B'，那么AOB与A O'B'_____________________ （大小关系）探究案【例1】空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点,求证：四边形EFGH是平行四边形进一步探究1:若AC=BD，四边形EFGH是什么图形？探究2:在什么条件下，四边形EFGH是正方形？【探究小结】【例2】正方体ABCD ABGD,中，E,F分别为A1B11^C1的中点，求异面直线DB,与EF所成角的大小.【探究小结】【例3】如图，已知长方体 ABCD-A'B'C'D'中，AB ,3 , AD , AA '1.(1) BC 和AC '所成的角是多少度? (2) AA '和BC '所成的角是多少度?【探究小结】课堂检测B.某平面内的一条直线和这平面外的直线;D.不在同一平面内的两条直线；F.分别在两个不同平面内的两条直线；的一条直线；H.空间没有公共点的两条直线；I.既不相交，又不平行的两条直线 2•下图长方体中(1) 说出以下各对线段的位置关系 ①CA 1和BD 1是 __________________ 直线 ②BD 和B 1D 1是③BD 1和DC 是 ___________________ 直线(2) _________________________________ 与棱AB 所在直线异面的棱共有 _________________________________ 条？ ⑶与对角线DB 1成异面直线的棱共有几条 ？ (4)思考：这个长方体的棱中共有多少对异面直线？3•如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么AB , CD , EF , GH 这四条线段 所在直线是异面直线的有 __________ 对?4•在平面内我们有 垂直于同一条直线的两条直线平行1.两条异面直线指：A.空间中不相交的两条直线； C.分别在不同平面内的两条直线； E.不同在任一平面内的两条直线；G.某一平面内的一条直线和这个平面外 ”在空间，这一结论是否一定成立？注：不是所有空间，若推广需证明其正确性5. “若直线a与直线b异面，直线b与直线C异面。
新苏教版高中数学必修二同步练习：2.1.1《直线的斜率》(含答案)
随堂练习：直线的斜率1．对于下列命题①若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°；②若k是直线的斜率，则k∈R；③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中正确的有________个．2．斜率为2的直线经过点A(3,5)、B(a,7)、C(－1，b)三点，则a、b的值分别为________和________．3．直线经过原点和点(－1，－1)，它的倾斜角是__________．4．直线l过原点(0,0)，且不过第三象限，那么l的倾斜角α的取值范围是______________．5．若图中直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则k1、k2、k3的大小关系为______________．6．若直线AB与y轴的夹角为60°，则直线AB的倾斜角为________，斜率为________．7．一条光线从点A(－1,3)射向x轴，经过x轴上的点P反射后通过点B(3,1)，求P点的坐标．8．设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为________．9．△ABC为正三角形，顶点A在x轴上，A在边BC的右侧，∠BAC的平分线在x轴上，求边AB与AC所在直线的斜率．答案1．32．4 －33．45°4．90°≤α<180°或α＝0°5．k 1<k 3<k 26．30°或150° 33或－337．解 设P(x,0)，则k PA ＝3－0－1－x ＝－3x ＋1，k PB ＝1－03－x ＝13－x ，依题意， 由光的反射定律得k PA ＝－k PB ，即3x ＋1＝13－x，解得x ＝2，即P(2,0)． 8．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135°9．解 如右图，由题意知∠BAO ＝∠OAC ＝30°，∴直线AB 的倾斜角为180°－30°＝150°，直线AC 的倾斜角为30°， ∴k AB ＝tan 150°＝－33， k AC ＝tan 30°＝33.。
必修二同步练习2.1.1平面-2.1.1 空间直线与直线之间的位置关系
2.1.1 平面—2.1.2空间直线与直线之间的位置关系一、选择题1. 下列命题正确的是（ ）Ａ．经过三点确定一个平面 Ｂ．经过一条直线和一个点确定一个平面Ｃ．四边形确定一个平面 Ｄ．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 2. 已知下列四个命题： ① 很平的桌面是一个平面； ② 一个平面的面积可以是4m 2；③ 平面是矩形或平行四边形； ④ 两个平面叠在一起比一个平面厚．其中正确的命题有（ ） Ａ．0个 Ｂ．1个 Ｃ．2个 Ｄ．3个 3. 给出下列命题：①和直线a 都相交的两条直线在同一个平面内； ②三条两两相交的直线在同一平面内； ③有三个不同公共点的两个平面重合；④两两平行的三条直线确定三个平面．其中正确命题的个数是（ ） Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3 4. 直线12l l ∥，在1l 上取3点，2l 上取2点，由这5点能确定的平面有（ ） Ａ．9个 Ｂ．6个 Ｃ．3个5. 如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：①BM 与ED 平行． ②CN 与BE 是异面直线．③CN 与BM 成60˚角． ④DM 与BN 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是（ ） Ａ．①，②，③Ｂ．②，④Ｃ．③，④Ｄ．②，③，④6. 下列命题中，正确的个数为（ ）①两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行；②平行移动两条异面直线中的任何一条，它们所成的角不变；③过空间四边形ABCD 的顶点A 引CD 的平行线段AE ，则BAE 是异面直线AB 与CD 所成的角；④四边相等，且四个角也相等的四边形是正方形 Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3E二、填空题7. 已知a ，b ，c 是三条直线，直线a b ∥，且a 与c 的夹角为θ8. 如图，AA '是长方体的一条棱，这个长方体中与AA '垂直的棱共 条．9. 如果a ，b 是异面直线，直线c 与a ，b 都相交， 那么这三条直线中的两条所确定的平面共有 个．10. 在空间四边形ABCD 中，N ，M 分别是BC，AD 的中点，则2MN 与AB CD +的大小关系是 ．11. 已知a b ，是一对异面直线，且a b ，成70角，P 为空间一定点，则在过P点的直线中与a b ，所成的角都为70的直线有 条．12. 空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，若AC BD a ==，且AC 与BD 所成的角为90，则四边形EFGH 的面积是 ．三、解答题13. 如图，已知长方体ABCD A B C D ''''-中，AB =AD =2AA '=． （１）BC 和A C ''所成的角是多少度？ （２）AA '和BC '所成的角是多少度？14. 已知正方体1111ABCD A BC D -中，E ，F 分别为11D C ，11C B 的中点，AC BD P =，11AC EF Q =．求证：（１）D ，B ，F ，E 四点共面；（２）若1AC 交平面DBFE 于R 点，则P ，Q ，R 三点共线．参考答案一、选择题 1. Ｄ． 2. Ａ． 3. Ａ． 4. Ｄ． 5. Ｃ． 6. Ｂ． 二、填空题 7. θ． 8. 8条． 9. 2个．10. 2MN AB CD <+． 11. 4． 12.214a ． 三、解答题 13. 答案：（１）45°；（２）60° 14.证明：如图． （１）EF 是111D BC △的中位线，11EF B D ∴∥． 在正方体1AC 中，11B D BD ∥，∴EF BD ∥．EF ∴、D B 确定一个平面，即D ，B ，F ，E 四点共面．（２）正方体1AC 中，设11A ACC 确定的平面为α，又设平面BDEF 为β． 11Q AC ∈，Q α∴∈．又Q EF ∈，Q β∴∈．则Q 是α与β的公共点，PQ αβ∴=．又1AC R β=，1R AC ∴∈．R α∴∈，R β∈且，则R PQ ∈．故P ，Q ，R 三点共线．E。
【课堂新坐标】高中数学北师大版必修二练习：2.1.1直线的倾斜角和斜率（含答案解析）
学业分层测评(十三)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题一、选择题1．已知直线l 1的倾斜角为45°，直线l 2的倾斜角为θ，若l 1与l 2关于y 轴对称，则θ的值为( )A ．45°B ．90°C ．135°D ．180° 【解析】【解析】 由对称性知θ＝180°－45°＝135°135°.. 【答案】【答案】 C2．直线l 经过原点和点(－1，－1)，则它的倾斜角是( ) A ．45° B ．135° C ．135°或225°D ．0°【解析】【解析】 由k ＝－1－0－1－0＝1，知tan α＝1，α＝45°45°. . 【答案】【答案】 A3．过点M (－2，a )，N (a,4)的直线的斜率为－12，则a 等于( ) A ．－8 B ．10 C ．2 D ．4 【解析】【解析】 ∵k ＝4－a a ＋2＝－12，∴a ＝10.【答案】【答案】 B4．已知三点A (2，－3)，B (4,3)及C èæøö5，k 2在同一条直线上，则k 的值是( )A ．7B ．9C ．11D ．12 【解析】【解析】 若A 、B 、C 三点在同一条直线上，则k AB ＝k AC ，即3＋34－2＝k2＋35－2，解得k ＝12. 【答案】【答案】 D5．直线l 过点A (1,2)且不过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是( ) A ．[0,2] B ．[0,1] C.ëéûù0，12D.ëéøö0，12 【解析】【解析】 如图，当k ＝0时，不过第四象限，当直线过原点时也不过第四象限，时，不过第四象限，当直线过原点时也不过第四象限，∴由k OA ＝2－01－0＝2，知k ∈[0,2]． 【答案】【答案】 A 二、填空题二、填空题6．若过点P (1－a,1＋a )和Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，那么实数a 的取值范围是________．【解析】【解析】 k ＝2a －＋a 3－－a＝a －12＋a ，因为倾斜角为钝角，，因为倾斜角为钝角， 所以k <0，即a －12＋a <0，解得－2<a <1.【答案】【答案】 (－2,1)7．已知点M 的坐标为(3,4)，在坐标轴上有一点N ，若k MN ＝2，则N 点的坐标为________. 【导学号：10690041】【解析】【解析】 设N (x,0)或(0，y )，k MN ＝43－x 或4－y 3，∴43－x ＝2或4－y 3＝2，∴x ＝1或y ＝－2，∴N 点的坐标为(1,0)或(0，－2)．【答案】【答案】 (1,0)或(0，－2)8．已知直线l 的倾斜角为60°，将直线l 绕它与x 轴的交点顺时针旋转80°到l ′，则l ′的倾斜角为________．【解析】【解析】 如图，如图，顺时针旋转顺时针旋转80°，等价于逆时针旋转100°，故l ′的倾斜角为60°＋100°＝160°160°..【答案】【答案】 160° 三、解答题三、解答题9．已知A (1,1)，B (3,5)，C (a,7)，D (－1，b )四点在同一条直线上，求直线的斜率k 及a 、b 的值．的值．【解】【解】 由题意可知k AB ＝5－13－1＝2， k AC ＝7－1a －1＝6a －1， k AD ＝b －1－1－1＝b －1－2， 所以k ＝2＝6a －1＝b －1－2，解得a ＝4，b ＝－3，所以直线的斜率k ＝2，a ＝4，b ＝－3.10．已知P (3，－1)，M (5,1)，N (1,1)，直线l 过P 点且与线段MN 相交，求：相交，求： (1)直线l 的倾斜角α的取值范围；的取值范围； (2)直线l 的斜率k 的取值范围．的取值范围． 【解】【解】k PM ＝1＋15－3＝1，∴直线PM 的倾斜角为45°45°.. 又k PN ＝1＋11－3＝－1，∴直线PN 的倾斜角为135°135°.. (1)由图可知，直线l 过P 点且与线段MN 相交，则直线l 的倾斜角α的取值范围是45°≤α≤135°.(2)当l 垂直于x 轴时，直线l 的斜率不存在，∴直线l 的斜率k 的取值范围是k ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．[能力提升]1．若图2-2-1-1-1-44中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( )图2-2-1-1-1-4 4 A ．k 1<k 2<k 3 B ．k 3<k 1<k 2 C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 2【解析】 由图可知，l 1的倾斜角α1>90°，所以k 1<0，l 2，l 3的倾斜角满足0°0°<<α3<α2<90°，所以k 3<k 2，于是可得k 1<k 3<k 2，故选D.【答案】【答案】 D2．将直线l 向右平移4个单位，再向下平移5个单位后仍回到原来的位置，则此直线的斜率为( )A.54B.45 C ．－54 D ．－45【解析】【解析】 设点P (a ，b )是直线l 上的任意一点，当直线l 按题中要求平移后，点P 也做同样的平移，平移后的坐标为(a ＋4，b －5)，由题意知，这两点都在直线l 上，∴直线l 的斜率为k ＝b －5－b a ＋4－a＝－54.【答案】【答案】 C3．直线l 经过A (2,1)，B (1，m 2)(m ∈R)两点，则直线l 的倾斜角的取值范围为________． 【解析】【解析】 直线l 的斜率k ＝m 2－11－2＝1－m 2≤1. 若l 的倾斜角为α，则tan α≤1.又∵α∈[0°，180°180°))， 当0≤tan α≤1时，0°≤α≤45°；当tan α<0时，90°90°<<α<180°，∴α∈[0°，45°45°]]∪(90°，180°180°))． 【答案】【答案】 [0°，45°45°]]∪(90°，180°180°) ) 4．已知实数x ，y 满足y ＝－2x ＋8，且2≤x ≤3，求yx 的最大值和最小值．的最大值和最小值．【解】【解】 如图所示，由于点(x ，y )满足关系式2x ＋y ＝8，且2≤x ≤3，可知点P (x ，y )在线段AB 上移动，并且A ，B 两点的坐标可分别求得为A (2,4)，B (3,2)．由于yx 的几何意义是直线OP 的斜率，的斜率， 且k OA ＝2，k OB ＝23，所以可求得y x 的最大值为2，最小值为23.。
高一数学必修2同步练习-第二章2.1.2
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系一、基础过关1．分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是( )A ．异面B ．平行C ．相交D ．以上都有可能2．若AB ∥A ′B ′，AC ∥A ′C ′，则有( )A ．∠BAC ＝∠B ′A ′C ′ B ．∠BAC ＋∠B ′A ′C ′＝180°C ．∠BAC ＝∠B ′A ′C ′或∠BAC ＋∠B ′A ′C ′＝180°D ．∠BAC ＞∠B ′A ′C ′3．空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是 ( )A ．空间四边形B ．矩形C ．菱形D ．正方形4．“a 、b 为异面直线”是指：①a ∩b ＝∅，且aD \∥b ；②a ⊂面α，b ⊂面β，且a ∩b ＝∅；③a ⊂面α，b ⊂面β，且α∩β＝∅；④a ⊂面α，b ⊄面α；⑤不存在面α，使a ⊂面α，b ⊂面α成立． 上述结论中，正确的是( )A ．①④⑤B ．①③④C ．②④D ．①⑤5．如果两条直线a 和b 没有公共点，那么a 与b 的位置关系是________． 6．已知正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中： (1)BC ′与CD ′所成的角为________； (2)AD 与BC ′所成的角为________．7．如图所示，四边形ABEF 和ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠F AB＝90°，BC 綊12AD ，BE 綊12F A ，G 、H 分别为F A 、FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C 、D 、F 、E 四点是否共面？为什么？8．如图，正方体ABCD －EFGH 中，O 为侧面ADHE 的中心，求：(1)BE 与CG 所成的角； (2)FO 与BD 所成的角．二、能力提升9.如图所示，已知三棱锥A －BCD 中，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，则下列结论正确的是( )A ．MN ≥12(AC ＋BD )B ．MN ≤12(AC ＋BD )C ．MN ＝12(AC ＋BD )D ．MN <12(AC ＋BD )10．如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线( )A ．12对B ．24对C ．36对D ．48对11．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB ⊥EF ；②AB 与CM 所成的角为60°； ③EF 与MN 是异面直线； ④MN ∥CD .以上结论中正确的序号为________．12．已知A 是△BCD 平面外的一点，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，(1)求证：直线EF 与BD 是异面直线；(2)若AC ⊥BD ，AC ＝BD ，求EF 与BD 所成的角． 三、探究与拓展13．已知三棱锥A —BCD 中，AB ＝CD ，且直线AB 与CD 成60°角，点M 、N 分别是BC 、AD 的中点，求直线AB 和MN 所成的角．答案1．D 2．C 3．B 4．D 5.平行或异面 6．(1)60° (2)45°7．(1)证明 由已知FG ＝GA ，FH ＝HD ，可得GH 綊12AD .又BC 綊12AD ，∴GH 綊BC ，∴四边形BCHG 为平行四边形．(2)解 由BE 綊12AF ，G 为F A 中点知，BE 綊FG ，∴四边形BEFG 为平行四边形，∴EF ∥BG . 由(1)知BG 綊CH ，∴EF ∥CH ， ∴EF 与CH 共面．又D ∈FH ，∴C 、D 、F 、E 四点共面．8．解 (1)如图，∵CG ∥BF ，∴∠EBF (或其补角)为异面直线BE 与CG 所成的角，又△BEF 中，∠EBF ＝45°，所以BE 与CG 所成的角为45°.(2)连接FH ，BD ，FO ，∵HD 綊EA ，EA 綊FB ， ∴HD 綊FB ，∴四边形HFBD 为平行四边形， ∴HF ∥BD ，∴∠HFO (或其补角)为异面直线FO 与BD 所成的角． 连接HA 、AF ，易得FH ＝HA ＝AF ， ∴△AFH 为等边三角形，又依题意知O 为AH 中点，∴∠HFO ＝30°，即FO 与BD 所成的角是30°.9．D 10．B 11．①③12．(1)证明 假设EF 与BD 不是异面直线，则EF 与BD 共面，从而DF 与BE 共面，即AD 与BC 共面，所以A 、B 、C 、D 在同一平面内，这与A 是△BCD 平面外的一点相矛盾．故直线EF 与BD 是异面直线．(2)解 取CD 的中点G ，连接EG 、FG ，则EG ∥BD ，所以相交直线EF 与EG 所成的角，即为异面直线EF 与BD 所成的角．在Rt △EGF 中，由EG ＝FG ＝12AC ，求得∠FEG ＝45°，即异面直线EF 与BD 所成的角为45°.13．解 如图，取AC 的中点P .连接PM 、PN ，则PM ∥AB ，且PM ＝12AB ，PN ∥CD ，且PN ＝12CD ，所以∠MPN 为直线AB 与CD 所成的角(或所成角的补角)． 则∠MPN ＝60°或∠MPN ＝120°， 若∠MPN ＝60°，因为PM ∥AB ，所以∠PMN 是AB 与MN 所成的角(或所成角的补角)． 又因AB ＝CD ，所以PM ＝PN ，则△PMN 是等边三角形， 所以∠PMN ＝60°，即AB 与MN 所成的角为60°.若∠MPN ＝120°，则易知△PMN 是等腰三角形．所以∠PMN ＝30°， 即AB 与MN 所成的角为30°.故直线AB 和MN 所成的角为60°或30°.。
人教A版必修2第二章2.1.1《平面》精选题高频考点(含答案)-2
人教A 版必修2第二章2.1.1《平面》精选题高频考点（含答案)-1学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．在空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上分别取E ，F ，G ，H 四点，如EF 与HG 交于点M ，那么 ( )A ．M 一定在直线AC 上B ．M 一定在直线BD 上C ．M 可能在直线AC 上，也可能在直线BD 上D ．M 既不在直线AC 上，也不在直线BD 上2．如图，在空间四边形ABCD 中，点EH 分别是边,AB AD 的中点，F G ，分别是边,BC CD 上的点，23CF CG CB CD ==，则（ ）A ．EF 与GH 互相平行B ．EF 与GH 异面C ．EF 与GH 的交点M 可能在直线AC 上，也可能不在直线AC 上D ．EF 与GH 的交点M 一定在直线AC 上3．已知平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能的交线有( ) A ．1条或2条 B ．2条或3条C ．1条或3条D ．1条或2条或3条4．下列命题中正确的个数为（ ）①若ABC ∆在平面α外，它的三条边所在的直线分别交α于P Q R 、、，则P Q R 、、三点共线.②若三条直线a b c 、、互相平行且分别交直线l 于、、A B C 三点，则这四条直线共面； ③空间中不共面五个点一定能确定10个平面.A ．0B ．1C ．2D ．35．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E F 、分别是1DD 和AB 的中点，平面1B EF 交棱AD 于点P ，则=PE （ ）A ．6B ．3C ．2D ．6 6．给出下列说法：①梯形的四个顶点共面；②三条平行直线共面；③有三个公共点的两个平面重合；④三条直线两两相交，可以确定1个或3个平面.其中正确的序号是（ ）A ．①B ．①④C ．②③D ．③④ 7．若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件8．平面αI 平面l β=，点A α∈，B α∈，C β∈，C l ∉，有AB l R ⋂=，过A ，B ，C 确定的平面记为γ，则βγ⋂是（ ）． A ．直线AC B ．直线BC C ．直线CR D ．以上都不对 9．如图所示，1111ABCD A B C D -是长方体，O 是11B D 的中点，直线1A C 交平面11AB D 于点M ，给出下列结论：①A ，M ，O 三点共线；②A ，M ，O ，1A 不共面；③A ，M ，O ，C 共面；④B ，1B ，M ，O 共面.其中正确结论的序号为（ ）A ．①④B ．③④C ．①③D ．②④ 10．1l ，2l ，3l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是A ．12l l ⊥，23l l ⊥13//l l ⇒B ．12l l ⊥，23//l l ⇒13l l ⊥C ．233////l l l ⇒1l ，2l ，3l 共面D ．1l ，2l ，3l 共点⇒1l ，2l ，3l 共面 11．已知空间不共面的四点A ，B ，C ，D ，则到这四点距离相等的平面有（ ）个．A ．4B ．6C ．7D ．512．下列说法错误的是（ ）A ．平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点B ．经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面C ．经过两条相交直线，有且只有一个平面D ．如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合13．下列结论正确的个数为( )A ．梯形可以确定一个平面；B ．若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；C ．若l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥αD ．如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．14．下列各图均是正六棱柱，P 、Q 、R 、S 分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是 ( )A ．B ．C ．D ． 15．以下说法正确的有几个（ ）①四边形确定一个平面；②如果一条直线在平面外，那么这条直线与该平面没有公共点；③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；④如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行；A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 16．已知二面角l αβ--为60︒，动点,P Q 分别在平面α，β内，点P 到β的距离Q 到α的距离为,P Q 点之间距离的最小值为（ ）．A B ．2 C ．D ．417．在空间中，可以确定一个平面的条件是（ ）A ．一条直线B ．不共线的三个点C ．任意的三个点D ．两条直线18．下列命题正确的是 ( )A ．四边形确定一个平面B ．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面C ．经过三点确定一个平面D ．经过一条直线和一个点确定一个平面19．设,αβ表示两个平面，l 表示直线，,,A B C 表示三个不同的点，给出下列命题： ①若,,,A l A B l B αα∈∈∈∈，则l α⊂；②,αβ不重合，若,,,A A B B αβαβ∈∈∈∈，则AB αβ=I ；③若,l A l α⊂∈，则A αÏ；④若,,,,,A B C A B C αβ∈∈，且,,A B C 不共线，则α与β重合.其中真命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．420．当我们停放自行车时，只要将自行车旁的撑脚放下，自行车就稳了，这用到了（ ） A ．三点确定一平面B ．不共线三点确定一平面C ．两条相交直线确定一平面D ．两条平行直线确定一平面二、填空题21．两两相交的三条直线可确定______个平面.22．有以下三个命题：①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点；②直线l 在平面α内，可以用符号“l ∈α”表示；③已知平面α与β不重合，若平面α内的一条直线a 与平面β内的一条直线b 相交，则α与β相交.其中真命题的序号是________.23． 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列说法正确的是____ (填序号).(1)直线AC 1在平面CC 1B 1B 内．(2)设正方形ABCD 与A 1B 1C 1D 1的中心分别为O 、O 1，则平面AA 1C 1C 与平面BB 1D 1D 的交线为OO 1.(3)由A 、C 1、B 1确定的平面是ADC 1B 1.(4)由A 、C 1、B 1确定的平面与由A 、C 1、D 确定的平面是同一个平面．24．如图所示的正方体中，P ，Q ，M ，N 分别是所在棱的中点，则这四个点共面的图形是________（把正确图形的序号都填上）.25．a ，b ，c 是三条直线，α，β是两个平面，如果a ∥b ∥c ，a ⊂α，b ⊂β，c ⊂β，那么平面α与平面β的位置关系是______________ .26．已知α、β是不同的平面，l 、m 、n 是不同的直线，P 为空间中一点．若α∩β＝l ，m ⊂α、n ⊂β、m ∩n ＝P ，则点P 与直线l 的位置关系用符号表示为___.27． 在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的所有棱中，既与AB 共面，又与CC 1共面的棱有____条.28．AB ，AD ⊂α，CB ，CD ⊂β，E ∈AB ，F ∈BC ，G ∈CD ，H ∈DA ，若直线EH 与FG 相交于点P ，则点P 必在直线________上.29．给出以下命题：①和一条直线都相交的两条直线在同一平面内；②三条两两相交的直线在同一平面内；③有三个不同公共点的两个平面重合；④两两平行的三条直线确定三个平面．其中正确命题的个数是________．30．如图所示，G ，H ，M ，N 分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH ，MN 是异面直线的图形有_________ （填上所有正确答案的序号）．31． 设平面α与平面β相交于直线l ，直线a ⊂α，直线b ⊂β，a ∩b ＝M ，则点M 与l 的位置关系为________．32．用一个平面去截一个正方体，截面可能是________．①三角形；②四边形；③五边形；④六边形．33．不共面的四点可以确定________个平面．34．如图，矩形ABCD 中，4AB =，8BC =，E 为CD 边的中点，点,P Q 为BC 边上两个动点，且2PQ =，当四边形APQE 的周长最小时，BP =__________．35．空间不共线的四点，可能确定___________个平面．36．过两两相交的三条直线中的每两条直线作一个平面，这样可作平面的个数是________．37．如图，正方体1111ABCD A B C D 中，M 、N 、P 、Q 、R 、S 分别是AB 、BC 、11C D 、1C C 、11A B 、1BB 的中点，则下列判断：（1）PQ 与RS 共面；（2）MN 与RS 共面；（3）PQ 与MN 共面；则正确的结论是＿＿＿＿＿38．正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1为棱长为1，动点P ，Q 分别在棱BC ，CC 1上，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S ，设BP =x,CQ =y ，其中x ，y ∈[0，1]，下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）________.①当x =0时，S 为矩形，其面积最大为1；②当x =y =12时，S 为等腰梯形； ③当x =12，y =34时，S 为六边形； ④当x =12，y ∈(12，1)时，设S 与棱C 1D 1的交点为R ，则RD 1=2−1y .39．正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1为棱长为1，动点P ，Q 分别在棱BC ，CC 1上，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S ，设BP =x,CQ =y ，其中x ，y ∈[0，1]，下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）____________.①当x =0时，S 为矩形，其面积最大为1；②当x =y =12时，S 为等腰梯形； ③当x =12，y ∈(12，1)时，设S 与棱C 1D 1的交点为R ，则RD 1=2−1y ； ④当y =1时，以B 1为顶点，S 为底面的棱锥的体积为定值13.40．在空间，与边长均为3cm 的ABC ∆的三个顶点距离均为1cm 的平面共有 .三、解答题41．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是AA 1的中点，画出过D 1、C 、E 的平面与平面ABB 1A 1的交线，并说明理由.42．空间四边形ABCD ，E ，F 点分别是AB ，BC 的中点，G ，H 分别在CD 和AD 上，且满足2CG AH GD HD==． （1）证明：E ，F ，G ，H 四点共面；（2）证明：EH ，FG ，BD 三线共点.43．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中．（1）1AA 与1CC 是否在同一平面内？（2）点B ，1C ，D 是否在同一平面内？（3）画出平面1AC 与平面1BC D 及平面1ACD 与平面1BDC 的交线． 44．如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设线段A 1C 与平面ABC 1D 1交于点Q ，求证：B ，Q ，D 1三点共线．45．如图所示，在边长为a 正方体1111ABCD A B C D -中，,,,E F G H 分别为棱111,,,CC BC AB D C 的中点.（1）求证：点,,,E F G H 四点共面；（2）求三棱锥11B A C D -的体积．46．已知两个非零向量12,e e u r u u r 不共线，如果12AB e e =+u u u r u r u u r ，1228AC e e =+u u u r u r u u r ，1233AD e e =-u u u r u r u u r ，求证：,,,A B C D 共面.47．如图所示，若P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，点H 为PC 上的点，且PH 1HC 2=，点G 在AH 上，且AG AH=m ，若G ，B ，P ，D 四点共面，求m 的值.48．如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是AA1，D1C1的中点，过D，M，N三点的平面与正方体的下底面A1B1C1D1相交于直线l.（1）画出直线l的位置；（2）设l∩A1B1＝P，求线段PB1的长．49．已知：正方体ABCD－A1B1C1D1，如图，（Ⅰ）若E、F为AA1、CC1的中点，画出过D1、E、F的截面；（Ⅱ）若M、N、P为A1B1、BB1、B1C1上的点（均不与B1重合），求证：△MNP是锐角三角形．50．已知，正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD=P，A1C1∩EF=Q.求证：(1)D，B，E，F四点共面.(2)若A1C交平面BDEF于点R，则P，Q，R三点共线.参考答案1．A2．D3．D4．C5．D6．B7．A8．C9．C10．B11．C12．A13．A14．D15．B16．C17．B18．B19．C20．B21．1或322．①③23．(2)(3)(4)24．①③25．平行或相交26．P∈l.27．528．BD29．030．(2)(4)31．M∈l32．①②③④33．434．435．1或436．1或337．（1）（3）38．②③④39．②③④40．841．详见解析.42．（1）见解析；（2）见解析.43．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析. 44．证明见解析45．（1）见解析；（2）33 a.46．证明见解析．47．3 448．(1)证明见解析；(2) 34 a.49．(1)画图见解析.(2)证明见解析. 50．详见解析。
2014-2015学年高中数学(人教版必修二)课时训练第二章 2.1 2.1.1 平 面
基 础 梳 理
(3)平面的表示． 下图所示的平面可表示为：
栏 目 链 接
平面ABCD；②__________ 平面AC ；③__________. 平面α ①__________
基 础 梳 理
2．空间点、直线、平面的位置关系及三种语言的转化. 文字语言表达 点 A 在直线 l 上 点 A 在直线 l 外 数学符号语言 A∈l A∉l 图形表示
栏 目 链 接
自 测 自 评
1． 用符号表示“点 A 在直线 l 上， l 在平面 α 外”， 正确的是( ) B．A∈l，l⊄α D．A⊂l，l∉α
栏 目 链 接
A．A∈l，l∉α C．A⊂l，l⊄α
答案：B
自 测 自 评
2．下列说法中正确的是( A．桌面是平面 B．一个平面的面积是 26 m2 C．空间图形是由点、线、面构成的 D．用平行四边形表示平面，2 个平面重叠在一起，比 一个平面要厚
解析：平面是一个无边界、无厚度、不可度量的图形． 答案：C
栏 目 链 接
)
自 测 自 评
3．能确定一个平面的条件是( A．空间三个点 B．一个点和一条直线 C．无数个点 D．两条相交直线
)
栏 目 链 接
解析：不在同一条直线上的三个点可确定一个平面， A，B， C 条件不能保证有不在同一条直线上的三个点，故不正确． 答案：D
栏 目 链 接
平行四边形 ①水平放置的平面通常画成一个 __________； 45°； ②它的锐角通常画成______ 2倍 ． ③横边长等于其邻边长的______
基 础 梳 理
如果一个平面被另一个平面遮住， 为增强立体感， 把挡住的部
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2.1.1 平面
练习一
一、选择题
1、下面给出四个命题：①一个平面长4m，宽2m；② 2个平面重叠在一起比一个平面
厚；③一个平面的面积是25m2；④一条直线的长度比一个平面的长度大，其中正确命题的个数是（）
A、 0
B、 1
C、 2
D、 3
2、水平放置的平面用平行四边形表示，通常把它的锐角画成（）
A、 300
B、 450
C、 600
D、 900
3、点M在直线a上，直线a在平面内，可记为（）
A、 Ma
B、 Ma
C、 Ma
D、 Ma
5、三条直线两两相交，可以确定平面的个数为（）
A、 1
B、 1或2
C、 1或3
D、 3
6、空间四点A、B、C、D共面而不共线，那么四点中（）
A、必有三点共线
B、必有三点不共线
C、至少三点共线
D、不可能有三点共线
7、已知直线a上两点A、B在平面内，则下列四个结论中不正确的是（）
A、直线a在平面内
B、平面经过直线a
C、直线a上只有两点在平面内
D、直线a上所有点都在平面内
8、两条直线能确定一个平面的的条件是-------------------------。
9、下面给出四个条件：①空间三个点；②两两相交的三条直线；③一条直线和一个点；④和同一条
直线相交的两条直线。
其中能确定一个平面的条件有———————个。
10、已知平面，点A，点B，点C，则平面ABC与平面的公共点有——————个。
11、空间四条直线相交于一点，过其中每两条直线作一个平面，可以得到———
个不同的平面。
答案：
一、选择题
1、A ；
2、B ；
3、B ；
4、A ；
5、C ；
6、B ；
7、C
二、填空题
8、相交或平行
9、0
10、无数
11、1或4或6
三、解答题
12、解：梯形一定是平面图形。
因为梯形的两底平行，由平行线的定义知两底在一个平面内，再根据公理1和知梯形的两腰也在此平面内，因此梯形一定是平面图形。
13、解：∵ AB 在平面内
∴ A 点一定在平面内
∵ BC 在平面内
∴ C 点一定在平面内
∴点A 、 点C 在平面内
∴直线AC 在平面内
14、证明：∵ AB =P
∴PAB ，P 平面
又AB 平面ABC
∴P 平面ABC
∴由公理3可知：点P 在平面ABC 与平面的交线上。
同理可证Q 、R 也在平面ABC 与平面的交线上。
∴P 、Q 、R 三点共线。
15、证明：∵EN//MF ，∴EN 与MF 共面，又∵EF//MH ，∴EF 和MH 共面β．∵不共线的三点E ，F ，M 确定
一个平面，∴平面与β重合，∴点H α∈。
同理点G α∈．故E ，F ，G ，H ，M ，N 六点共面．。