13-群同态与同构
群环域论中的同态与同构
群环域论中的同态与同构群环域论是数学中的一个重要分支，研究群与环域之间的关系及其性质。
在群环域论中，同态与同构是两个重要的概念。
本文将从同态和同构的定义、性质以及应用等方面进行探讨。
一、同态的定义与性质同态是指保持代数结构之间运算相容性的映射。
对于群与环域，同态具体的定义如下：（一）群同态：设G和H是两个群，如果存在一个映射f：G→H，满足对于任意的a,b∈G都有f(a•b)=f(a)•f(b)，则称f为从G到H的一个群同态。
（二）环域同态：设R和S是两个环域，如果存在一个映射f：R→S，满足对于任意的a,b∈R都有f(a+b)=f(a)+f(b)和f(a•b)=f(a)•f(b)，则称f为从R到S的一个环域同态。
同态具有以下性质：（一）同态保持单位元：对于群同态，有f(eG)=eH，其中eG和eH分别是群G和H的单位元。
（二）同态保持逆元：对于群同态，有f(a^(-1))=f(a)^(-1)，其中a^(-1)是a的逆元。
（三）同态保持加法和乘法运算：对于环域同态，有f(a+b)=f(a)+f(b)和f(a•b)=f(a)•f(b)。
二、同构的定义与性质同构是指两个代数结构之间存在一个双射，使得这个映射保持运算性质。
对于群与环域，同构具体的定义如下：（一）群同构：设G和H是两个群，如果存在一个双射f：G→H，且对于任意的a,b∈G都有f(a•b)=f(a)•f(b)，则称G和H是同构的，f为从G到H的一个群同构映射。
（二）环域同构：设R和S是两个环域，如果存在一个双射f：R→S，且对于任意的a,b∈R都有f(a+b)=f(a)+f(b)和f(a•b)=f(a)•f(b)，则称R和S是同构的，f为从R到S的一个环域同构映射。
同构具有以下性质：（一）同构保持单位元和逆元：对于群同构，有f(eG)=eH和f(a^(-1))=f(a)^(-1)，其中eG和eH分别是群G和H的单位元，a^(-1)是a的逆元。
3-1群同态与同构
∈ H,
( H ) ≤ G, 且显然 ϕ 诱导 ϕ .
2011-7-29
-1
( H )到 H
的一个同态映射
15:30
定理4 定理4
群G到G的同态映射 ϕ是单射的充分与 必要条件是 , 群G的单位元 e的逆象只有 e.
证 : 必要性显然, 下证充分性. 设ϕ是群G到群G的任一同态映射, 且在ϕ 之下 e的逆象只有e.又设在ϕ之下 a → a, b → b , 当a ≠ b时, 必a ≠ b : 因a = b, 则由于 ab → ab = e,
定理3 定理3
设 ϕ 是群 G 是群 G 的一个同态映射 是满射 ), 则
( 不一定
1) 当 H ≤ G 时 , 有 ϕ (H) ≤ G , 且 H ~ ϕ (H); 2) 当 H ≤ G 时 , 有 ϕ -1 ( H ) ≤ G, 且在 ϕ 之下诱导 出 ϕ ( H ) 到 H 的一个同态映射
-1
-1 -1
故ab = e, a = b, 矛盾.因此, ϕ是单射.
-1
2011-7-29
15:30
例4
பைடு நூலகம்
设6阶群G不是循环群.证明 : G ≅ S3 .
证 : 因为 G 不是循环群 , 故 G 没有 6阶元 . 从而由 Lagrange 定理知 , G 必有 2阶元 或 3阶元 .
2011-7-29
2011-7-29
15:30
定理3 定理3
2 )当 H ≤ G 时 , 由于 ϕ a → a, 则 从而 ab 即ϕ
-1 -1 -1
( H ) 显然非空
, 任取
a, b ∈ ϕ -1 ( H ), 且在 ϕ 之下令 b → b. → a b -1 ,
第三章 正规子群和群的同态与同构
§1群同态与同构的简单性质
(Basic Properties of Homomorphism and Isomorphism of the groups)
一 定义
定义1 设 ( G, ) 和 G, 是两个群，如果存在映射ϕ：G → G满足
( )
ϕ (a b) = ϕ (a) ϕ (b)(∀a, b ∈ G（即ϕ 保运算） )
G ⇒ ϕ ( N ) G；
( 2) N
G ⇒ ϕ −1 ( N ) G
5．子群之积
定理3 若群G的一个正规子群和一个子群之积仍是G的子群， 两个正规子群之积仍是正规子群，也就是说，若H ≤ G , N ≤ G， 则
(1) 若N ( 2 ) 若H
G ⇒ NH ≤ G且N G且N G ⇒ HN
NH , H ∩ N
H
G，进一步，若还有H ∩ N = {e}，
则∀h ∈ H , ∀n ∈ N 都有hn = nh
例4 若H ≤ G，那么N ( H ) = {x ∈ G | xH = Hx}叫做H 在G中 的正规化子，试证H N ( H ) ≤ G。
二
1. 商群的定义
设N 即
商
群
G，任取2个陪集aN , bN。则 (aN )(bN ) = a ( Nb) N = abNN = (ab) N， (aN )(bN ) = (ab) N
ϕ
三 循环群的同态象
定理3 设G和G为两个群，且G ∼ G，若G为循环群， 则G也为循环群。
推论2 循环群的商群仍为循环群. 推广 交换群的满同态象仍为交换群；交换群的商群 也是交换群.
ϕ
四 同态映射下两个群的子群之间的关系
引理 设σ ：G → G是群同态映射，又H ≤ G，如果H ⊇ Kerϕ， 则
同态和同构的关系
同态和同构的关系
在数学中，同态和同构是两个重要的概念，它们描述了两个代数结构之间的关系。
1.同态（Homomorphism）：同态是指将一个代数结构映射到另一个代数结构的映射，保持运算结构的性质。
如果存在两个代数结构A 和B，以及一个映射f：A→B，对于A中的任意元素a和b，满足f(a*b)=f(a)*f(b)，其中"*"表示A和B上的运算，而"="表示两个代数结构中的相等关系。
简而言之，同态保持了代数结构中的运算规则。
2.同构（Isomorphism）：同构是指两个代数结构之间存在一种双射关系，使得双射保持了运算结构和元素之间的关系。
如果存在两个代数结构A和B，以及一个映射f：A→B，满足以下条件：-f是一个双射，即对于A中的每个元素a，都存在唯一的元素b 在B中与之对应；
-对于A中的任意两个元素a1和a2，满足a1*a2=a3，则f(a1)*f(a2)=f(a3)；
-对于B中的任意元素b1和b2，满足b1*b2=b3，则存在A中的元素a1和a2，使得f(a1)=b1，f(a2)=b2，f(a1*a2)=b3。
简而言之，同构保持了代数结构中的运算规则和元素之间的一一对应关系。
因此，可以将同构看作是一种更严格的同态关系。
如果两个代数结构之间存在一个同构映射，那么它们在结构和性质上是完全相同的，只是元素的表示不同而已。
需要注意的是，在数学中，同态和同构的概念不仅仅适用于代数结构，还可以应用于其他领域，如拓扑学、图论等。
1/ 1。
群同态群同态基本定理
首先这个定理很直观，如果商集比较熟悉的话，一眼就可以看出来这个定理其实，对于Kerf 的话，对应值域的e ,商掉Kerf 的话，剩下的其实 就是Imf 证明的话需要证明映射的良序性，单射和满射 证明：
φ:G /Kerf → Imf 群第一同构定理：H /(H ∩ K) ≅ HK /K
群同构第二定理
/ G/H ≅ (G/K) (H /K)
Processing math: 100%
( ) ( ) ( ) ( ) f e1 = f e21 = f , △) 则Kerf = {e} → f 为单同态 Imf = {f(g) | g ∈ G} → f为满同态
群同构基本定理
f:G → H (G, ⋅ ) → (H, △)
G
Kerf ≅ Imf
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群同态群同态基本定理
群同态与同构
群同态
f: (G, ⋅ ) → (H, △) ， f(g1 ⋅ g2) = f(g1)△f(g2) 定义名称： f为单射 → 单同态 f为满射 → 满同态 f为双射 → 同构
性质
单位元具有唯一性且单位元具有对应性:
群论中的同态映射与同构定理解析
群论中的同态映射与同构定理解析群论是数学中的一个重要分支，研究的是代数结构中的群以及群之间的映射和关系。
在群论中，同态映射与同构定理是两个基本概念，它们在研究群的结构和性质时起到了关键作用。
本文将对群论中的同态映射与同构定理进行解析。
一、同态映射同态映射是指保持群运算结构的映射。
设有两个群G和H，若映射φ：G→H满足对于任意的g1,g2∈G，有φ(g1⋅g2)=φ(g1)⋅φ(g2)，则称φ为从G到H的同态映射。
其中，⋅表示群G中的运算，⋅表示群H中的运算。
同态映射的定义表明，同态映射保持了群运算的结构。
通过同态映射，我们可以将一个群映射成另一个群，同时保持原有群的运算性质。
同态映射的性质如下：1. 同态映射将群的单位元映射为群的单位元，即φ(eG)=eH，其中eG和eH分别表示群G和H的单位元。
2. 同态映射将群的逆元映射为群的逆元，即φ(g^-1)=φ(g)^-1，其中g表示群G中的元素。
3. 同态映射保持群的运算，即对于任意的g1,g2∈G，有φ(g1⋅g2)=φ(g1)⋅φ(g2)。
二、同构定理同构是指两个群之间存在一个双射的同态映射。
设有两个群G和H，若存在一个双射的同态映射φ：G→H，则称G与H同构，记作G≅H。
同构的概念描述了两个群之间的一种特殊关系，即它们具有相同的结构和性质。
同构的性质如下：1. 同构是等价关系，即满足自反性、对称性和传递性。
对于任意的群G，有G≅G；若G≅H，则H≅G；若G≅H且H≅K，则G≅K。
2. 同构保持群的运算和结构，即对于任意的g1,g2∈G，有φ(g1⋅g2)=φ(g1)⋅φ(g2)。
3. 同构保持群的性质，如群的阶、子群、循环性等。
同构定理是群论中的重要定理，它揭示了群之间的结构和性质的关联。
常见的同构定理包括拉格朗日定理、卡莱定理和第一同构定理等。
三、应用与举例同态映射和同构定理在群论中有广泛的应用。
它们可以用来研究群的结构、性质和分类。
以整数加法群(Z,+)和模n整数加法群(Z/nZ,+)为例，可以构造一个自然同态映射φ：Z→Z/nZ，即将整数映射到模n的等价类。
群同态三大基本定理
群同态三大基本定理群同态三大基本定理是群论中的重要结果，包括同态基本定理、同构基本定理和同态映射定理。
这些定理对于研究群及其结构和性质具有重要意义。
本文将分别介绍和阐述这三大基本定理。
一、同态基本定理同态基本定理是群同态理论的基石，它表明了群同态的基本性质。
该定理断言，对于任意群G和H，如果存在一个由G到H的群同态φ，则G的核Ker(φ)是G的一个正规子群，且G/ Ker(φ)与φ(G)同构。
其中，核是指同态映射φ的零空间，即使得φ(g) = e_H的所有元素g构成的子集。
同态基本定理的证明思路是，首先证明Ker(φ)是G的一个正规子群，然后构造一个映射ψ: G/Ker(φ) → φ(G)，通过ψ(gKer(φ)) = φ(g)将G/Ker(φ)的元素映射到φ(G)的元素，证明ψ是一个双射，并且保持群运算。
因此，G/Ker(φ)与φ(G)同构。
二、同构基本定理同构基本定理是群论中的一个重要结果，它给出了同构的判定条件。
该定理指出，如果存在一个双射φ: G → H，且满足φ(xy) = φ(x)φ(y)，那么G与H是同构的。
换句话说，如果两个群之间存在一个双射，且保持群运算，那么这两个群是同构的。
同构基本定理的证明思路是，首先证明φ是一个同态映射，即φ(xy)= φ(x)φ(y)成立。
然后证明φ的逆映射存在，即存在一个映射ψ: H → G，使得ψ(φ(x)) = x和φ(ψ(y)) = y对于所有的x∈G和y∈H 成立。
最后，证明ψ也是一个同态映射，即ψ(xy) = ψ(x)ψ(y)成立。
因此，φ和ψ构成了G和H之间的同构关系。
三、同态映射定理同态映射定理是群同态理论中的一个重要结果，它给出了同态映射的性质。
该定理指出，如果φ: G → H是一个群同态，那么φ(G)是H的一个子群，且φ(G)的阶是G的核Ker(φ)的阶的整数倍。
同态映射定理的证明思路是，首先证明φ(G)是H的一个子群。
然后证明φ(G)的阶是G的核Ker(φ)的阶的整数倍。
代数结构与数理逻辑-群的同态与同态基本定理
❖ 一、群同态 ❖ 设有两个代数系统[S;*]与[T;•], 如果存在
到上映射 :ST,使得对任意的 a,bS, 有 : ( a*b)=(a)•(b)， 称 [ S;*] 与 [ T;•] 两
个 系 统 同 态 。 如 果 是 双 射 , 则 [ S;*] 与 [T;•]同构。
a*a-1=a-1*a=e 则称 [S;*]为群。 带2个二元运算
❖作业P172 40, 41(1),(3),(5)
❖ 补充1.为群[G;*][G';•]的同态映射,则 [(G); •]为[G';•]的子群。
❖ 2.设是群G到G'的同态映射,证明: (1)若H是G的子群,则(H)也是G'的子群. (2)若H是G的正规子群,且是满同态映射,
故{1,1}的单位元1的象源不止一个。Ker是所有
{1,1}的单位元的象源全体所成的集合
❖ 定理：为群[G;*][G';•]的同态映射,则 (1)[Ker; *]为[G;*]的正规子群。 (2)为一对一当且仅当K={eG} (3)[(G); •]为[G';•]的子群。 ❖ 证明:(1)先证明Ker是子群 封闭:对任意a,bKer,有a*b?Ker,
❖ f(KaKb)=f(Ka)•f(Kb)
❖ (3) f是一一对应映射。 一对一 :即证若有f(Ka)=f(Kb),必有
Ka=Kb.
就是要证明a*b ❖ 推论：若为群[G;*]到群[G';•]的满同
态映射,则: [G/K;][G';•]
❖ 例:[R;+]是实数加法群,[Z;+]是整数加法 群,并且是[R;+]的正规子群。 W={ei|R},*为普通乘法群，则 [R/Z;][W;*]。
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则：对任意x’,y’,z’G2, 因为f 是满射，必有 x,y,zG1,使得f(x)=x’, f(y)=y’, f(z)=z’, 因此： (x’*y’)*z’ = (f(x)* f(y))* f(z) = f(x⃘y) * f(z) = f((x⃘y)⃘z) = f(x⃘(y⃘ z)) = f(x)* (f(y)* f(z)) = x’*(y’*z’)
类似地可以讨论零元素。
满同态与运算性质的保持（3）
逆元素
假设f: G1G2是满同态映射，若G1的每个元素 均有逆元素，即对任意xG1, 存在x-1G1, 满 足(x⃘x-1)=(x-1⃘x)=e, 其中，e是G1的单位元素。 则：任给x’G2, 由f是满射可知，存在xG1, 使得f(x)=x’。x’*f(x-1)= f(x)*f(x-1)= f(x⃘x-1)= f(e); 同理可得： f(x-1)*x’=f(e)。已知f(e)=e’即G2的 单位元素，由逆元素的唯一性可知： x’-1=[f(x)]-1=f(x-1)
• 注意：如果运算满足交换律，上述 f 即恒等映射。
代数系统的同构与同态
关于同构与同态的讨论适用于一般的代数系统。
代数系统 (G1,⃘)与(G2,*)同构 当且仅当：
“先(G1中的)运算后映射 等于先映射后运算(G2中的)”
存在一一对应的函数f: G1G2, 满足： 对任意x,yG1, f (x⃘y) = f (x) * f (y)
群同态与同构
离散数学 第13讲
上一讲内容的回顾
正规子群 正规子群的判定 同余关系 商群
群同态与同构
同构与同构映射 同态与同态映射 自同态与自同构 同构、同态与系统性质的保持 同态核与自然同态 群同态基本定理
“相似”的系统
比较“逻辑或”与“布尔和”
F T F F T T T T + 0 0 0 1 1 1 1 1
• 为什么必须是满同态？
可以类似地讨论交换律
满同态与运算性质的保持（2）
单位元素
假设f: G1G2是满同态映射，若G1有单位元 e，即对任意xG1, (x⃘e)=(e⃘x)=x 则：令f(e)=e’G2, 对任意x’G2, 一定存在 xG1, x’*e’=f(x)* f(e)=f(x⃘e)=f(x)=x’，同理可 得e’*x’=x’，因此f(e)=e’是G2的单位元素。
பைடு நூலகம் 自同构与自同态
每个群与自身同态/同构 同构映射不一定限于恒等映射：f(x)=x 例：模n剩余加群(Zn,+n)恰好有n个自同态映射 对任意p{0,1,2,…,n-1},定义f : ZnZn如下：
f(x) = (px) mod n 易证： f(x+ny) = (p(x+ny)) mod n = ((px) mod n)+n((py) mod n) = f(x)+n f(y) 任给同态映射f : ZnZn，则f(x+ny) = f(x)+n f(y) ，如 果f(1)=p, p{0,1,2,…,n-1},利用数学归纳法可证， f(x) = (px) mod n对一切xZ成立。(x=0单独证明)
内自同构
设G是群，a是G中一给定元素，定义f:G G, 对一切xG, f(x)=axa-1, 则f是G的自 同构映射。
自同态： f(xy)=a(xy)a-1=a(x(a-1a)y)a-1= f(x)f(y) 满射：对任意yG,有f(a-1ya)=y 单射： f(x)=f(y) axa-1= aya-1x=y (消去律)
• 注意：可能有多个同构映射，如f(x)=lg x也是。
如何证明两个群不同构
一定要证明： (G1,⃘)到(G2,*)的任何映射都不可 能是同构映射!
例：非零有理数乘群(Q-{0},•)和有理数加群(Q,+)不 同构。 假设存在f : Q-{0}Q,是同构影射， 注意：必有f(1)=0 (否则, f(1•x)f(1)+ f(x)) 而f(-1)+f(-1)= f((-1)•(-1))=f(1)=0 因此： f(-1)=f(1)，f 不是一对一的。
如果不考虑符号的形式极其含义，则两者没 有差别。
同构与同构映射
群(G1,⃘)与(G2,*)同构 (G1≅G2) 当且仅当：
存在一一对应的函数f: G1G2, 满足： 对任意x,yG1, f (x⃘y) = f (x) * f (y)
“先(G1中的)运算后映射 等于先映射后运算(G2中的)”
同构关系是等价关系
同态/同构与运算性质的保持
f: 映射 G1 g: 满射 G2
f (G1)
h: 双射
利用同态判定子群
假设G1, G2是群，f: G1G2是同态映射
若H1是G1的子群，则H2=f(H1)是G2的子群。
• (利用判定定理：群G的非空子集H构成子群当且仅当：对 任意a,bG, a,bH ab-1H)
自反：恒等映射是一一对应的 对称：一一对应函数的反函数仍是一一对应的 传递：两个一一对应函数复合仍然是一一对应的
如何证明两个群同构
方法：找出(任意)一个同构映射
例：逻辑或系统({F,T},)和布尔和系统({0,1},+) 同构映射f : {F,T}{0,1}: f(F)=0, f(T)=1 例：正实数乘群(R+,•)和实数加群(R,+) 同构映射f: R+R: f(x)=ln x
同态与同态映射
同构的要求很高：只有两个群的集合等势，才可能同构。
群(G1,⃘)与(G2,*)同态 (G1~ G2)当且仅当： 存在函数f: G1G2, 满足： 对任意x,yG1, f (x⃘y) = f (x) * f (y)
f
如果上述f 是满射，则称为满同态 同构是同态的特例。 例：整数加群(Z,+)和对3剩余加群(Z3,+3) 同态映射：f: ZZ3, f(3k+r)=r
代数系统 (G1,⃘)与(G2,*)同态 当且仅当：
存在函数f: G1G2, 满足： 对任意x,yG1, f (x⃘y) = f (x) * f (y)
如果上述f 是满射，则称为满同态
满同态与运算性质的保持（1）
结合律
假设f: G1G2是满同态映射，若G1满足结合律，即 对任意x,y,zG1,(x⃘y)⃘z=x⃘(y⃘z)