2-9群同态,群同构
群环域论中的同态与同构
群环域论中的同态与同构群环域论是数学中的一个重要分支，研究群与环域之间的关系及其性质。
在群环域论中，同态与同构是两个重要的概念。
本文将从同态和同构的定义、性质以及应用等方面进行探讨。
一、同态的定义与性质同态是指保持代数结构之间运算相容性的映射。
对于群与环域，同态具体的定义如下：（一）群同态：设G和H是两个群，如果存在一个映射f：G→H，满足对于任意的a,b∈G都有f(a•b)=f(a)•f(b)，则称f为从G到H的一个群同态。
（二）环域同态：设R和S是两个环域，如果存在一个映射f：R→S，满足对于任意的a,b∈R都有f(a+b)=f(a)+f(b)和f(a•b)=f(a)•f(b)，则称f为从R到S的一个环域同态。
同态具有以下性质：（一）同态保持单位元：对于群同态，有f(eG)=eH，其中eG和eH分别是群G和H的单位元。
（二）同态保持逆元：对于群同态，有f(a^(-1))=f(a)^(-1)，其中a^(-1)是a的逆元。
（三）同态保持加法和乘法运算：对于环域同态，有f(a+b)=f(a)+f(b)和f(a•b)=f(a)•f(b)。
二、同构的定义与性质同构是指两个代数结构之间存在一个双射，使得这个映射保持运算性质。
对于群与环域，同构具体的定义如下：（一）群同构：设G和H是两个群，如果存在一个双射f：G→H，且对于任意的a,b∈G都有f(a•b)=f(a)•f(b)，则称G和H是同构的，f为从G到H的一个群同构映射。
（二）环域同构：设R和S是两个环域，如果存在一个双射f：R→S，且对于任意的a,b∈R都有f(a+b)=f(a)+f(b)和f(a•b)=f(a)•f(b)，则称R和S是同构的，f为从R到S的一个环域同构映射。
同构具有以下性质：（一）同构保持单位元和逆元：对于群同构，有f(eG)=eH和f(a^(-1))=f(a)^(-1)，其中eG和eH分别是群G和H的单位元，a^(-1)是a的逆元。
群同态基本定理与同构定理
思路拓展
采用归纳法，将问题划分为小规模子问题，通过递归调用，逐步缩小问题规模，最终得出证明结果。
证明过程细节
在归纳过程中，需要建立递归终止条件和归纳转移条件，并利用群的定义和性质，逐步缩小问题规模，最终得出 $f(a)=f(b)$ 的矛盾结果。
群同态基本定理的证明方法二
应用场景一
应用场景二
群的同构定理的表述与证明
应用一
在有限群表示论中，群的同构定理可以用来判断两个群是否具有相同的表示。
应用二
在代数拓扑中，群的同构定理可以用来判断两个拓扑空间是否同胚。
群的同构定理的应用举例
密码学中的许多算法都涉及到了群结构，如对称加密算法中的有限域等。
同构定理可以用来判断两个有限群是否同构。如果两个有限群同构，则它们具有相同的性质和结构，因此可以用来构造相同的密码学算法。但是，如果两个有限群不同构，则它们具有不同的性质和结构，因此不能用来构造相同的密码学算法。因此，同构定理在密码学中具有重要的作用。
2023
群同态基本定理与同构定理
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目录
群与群同态基本概念群同态基本定理的证明群的同构定理群同态基本定理与同构定理的应用群同态基本定理与同构定理的推广
01
群与群同态基本概念
群是一个非空集合，其中存在一个二元运算符，满足封闭性、结合律、单位元存在性和逆元存在性。
封闭性：对于任意$a,b\in G$，有$a\cdot b\in G$。
操作系统的权限管理
群同态基本定理可以用于将一些数据结构的设计问题转化为群同构问题，从而设计出更有效的算法。
数据结构与算法设计
在计算机科学中的应用
量子计算
在量子计算中，同构定理可以用于量子态的变换和量子测量等问题。
群论中的群同态与同构
群论是数学的一门重要分支，研究的是群这一抽象代数结构的性质和性质间的关系。
在群论中，群同态和群同构是两个基本概念。
首先，我们来讨论群同态。
群同态是指一种映射，它保持群的结构。
具体来说，设有两个群G和H，群同态是一个映射f: G -> H，它满足以下两个性质：1.f(x * y) = f(x) * f(y)，对于所有的x, y ∈ G；2.f(e) = e’，其中e是G的单位元，e’是H的单位元。
第一个性质保证了同态映射将群的乘法运算保持不变，第二个性质确保了同态映射将单位元映射到单位元。
群同态的一个重要应用是在简化问题的复杂性方面。
通过将一个较大的群映射到一个较小的群，我们可以研究原问题的较小版本，并利用较小群的性质来推导有关于原问题的结论。
接下来，我们谈论群同构。
群同构是指两个群之间存在双射的同态映射。
具体来说，如果存在一个双射f: G -> H，并且f满足同态的两个性质，那么我们称G和H是同构的，记作G ≅ H。
同构意味着两个群具有相同的抽象结构，虽然它们的元素和操作可能看起来不同。
例如，考虑整数加法群（Z，+）和整数乘法群（Z，*）。
尽管整数加法群和整数乘法群的运算看起来不同，但它们具有相同的结构，因此我们可以说这两个群是同构的。
同构的两个群之间有一些重要的性质如下：1.同构是一种等价关系。
即对于任意的群G，它与自身同构，即G ≅ G。
2.若G ≅ H，那么H ≅ G。
同构满足交换性。
3.若G ≅ H且H ≅ K，那么G ≅ K。
同构满足传递性。
群同构在研究群的性质和计算中发挥着重要的作用。
通过将一个群与一个已知的同构群进行比较，我们可以轻松地推导出这个群的一些性质。
同时，群同构也为群的计算提供了便利。
如果两个群是同构的，我们可以在计算一个群的过程中，使用另一个同构群的性质来简化计算。
总结来说，群同态和群同构是群论中非常重要的概念。
群同态是保持群结构的映射，而群同构则是保持群结构并具有一一对应关系的映射。
群同态群同态基本定理
首先这个定理很直观，如果商集比较熟悉的话，一眼就可以看出来这个定理其实，对于Kerf 的话，对应值域的e ,商掉Kerf 的话，剩下的其实 就是Imf 证明的话需要证明映射的良序性，单射和满射 证明：
φ:G /Kerf → Imf 群第一同构定理：H /(H ∩ K) ≅ HK /K
群同构第二定理
/ G/H ≅ (G/K) (H /K)
Processing math: 100%
( ) ( ) ( ) ( ) f e1 = f e21 = f , △) 则Kerf = {e} → f 为单同态 Imf = {f(g) | g ∈ G} → f为满同态
群同构基本定理
f:G → H (G, ⋅ ) → (H, △)
G
Kerf ≅ Imf
网络错误503请刷新页面重试持续报错请尝试更换浏览器或网络环境
群同态群同态基本定理
群同态与同构
群同态
f: (G, ⋅ ) → (H, △) ， f(g1 ⋅ g2) = f(g1)△f(g2) 定义名称： f为单射 → 单同态 f为满射 → 满同态 f为双射 → 同构
性质
单位元具有唯一性且单位元具有对应性:
群同态基本定理与同构定理
群论是数学中的一个重要分支，它研究的是具有某种性质的 元素的集合。群同态基本定理和同构定理是群论中的两个基 础概念，它们为研究群的结构和性质提供了有力的工具。
应用广泛
除了在代数结构中的应用外，群同态基本定理和同构定理在 拓扑学、物理学等各个领域也有广泛的应用。例如，在量子 力学中，它们被用来描述量子态的演化。
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群同态基本定理的证明方法
证明方法通常采用构造法，即通过构造一个 具体的映射函数来实现同态映射，并证明这 个映射函数保持了群的运算律。
在证明过程中，通常需要使用到群的定义和 性质，以及一些重要的引理和定理。
02
同构定理
同构定理的内容
定义
如果存在一个从集合A到集合B的映射，该映射保持集合A中的元素之间的加 法运算，则称A与B同构。
对群同态基本定理与同构定理的展望
进一步研究与应用
群同态基本定理和同构定理是群论中的经 典理论，对于它们的进一步研究可以促进 我们对群论的理解。同时，这两个定理在 许多其他数学领域中也有着广泛的应用， 例如代数学、拓扑学等。
推广与扩展
目前，群论中的许多概念和定理已经推广 到了更广泛的范围，例如量子群、李群等 。未来，我们可以进一步探索群同态基本 定理和同构定理在这些新领域中的表现和 作用。
04
举例说明群同态基本定理与同构定理的应用Biblioteka 举例说明群同态基本定理的应用
01
群同态基本定理是群论中一个重要的定理，它表明任何两个群之间的同态映射 都可以扩展到从这两个群的陪集的并集上的全映射。这个定理在许多数学领域 中都有应用，例如代数学、拓扑学等。
02
1. 在代数学中的应用：群同态基本定理在代数学中被广泛应用。例如，在模论 中，该定理可以用来证明一些重要的结论，如“任何两个模之间的同态映射都 可以扩展到从它们的张量积上的全映射”。
群同态基本定理与同构定理
在代数学中，同构定理是研究群论的重要工具。例如，可以利用同构定理来研究群的性质、结构以及 群之间的关系。
03
群同态基本定理与同构定 理的关系
两者之间的联系
01
群同态基本定理是同构定理的基础，它为同构定理提供了基本 的理论支持。
02
同构定理是群同态基本定理的推广，它把群同态基本定理中的
群推广到更一般的代数结构。
深入，人们发现非交换群在许多领域中也有着广泛的应用。因此，对非
交换群的同态基本定理的研究也变得十分重要。
定理的深化
精细的同态基本定理
在群同态基本定理的证明过程中，有一些关 键的步骤需要用到一些特殊的技巧和方法。 这些技巧和方法可以被称为精细的同态基本 定理。它们对于理解群的结构和性质具有重 要的意义。
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限群。无限群是指包含无限个元素的群，其运算并不一定满足封闭性，
因此需要更精细的处理方法。
02
从群到环和域
群同态基本定理的推广并不仅限于群，还可以将其推广到环和域等数学
对象。这些对象在代数学中被广泛研究，因此，对它们的同态基本定理
的研究也具有重要意义。
03
从交换群到非交换群
在最初的研究中，群同态基本定理主要关注的是交换群，但随着研究的
两者都是研究群的结构和性质的重要工具。
03
两者之间的区别
群同态基本定理主要关注的是有限群与其子群之间的映射关系，而同构定理则更注重不同代数结构之 间的映射关系。
群同态基本定理的证明方法相对简单，主要基于群的定义和性质，而同构定理的证明则更加复杂，需要 引入更多的代数工具。
在应用上，群同态基本定理主要用于解决有限群的问题，而同构定理则可以应用于更广泛的代数结构， 包括环、域、模等。
群同态定义,单、满同态,同构
群同态定义,单、满同态,同构群同态定义，单、满同态，同构群与关于其不变子群的商群之间有某种联系，这种联系从代数角度来说，就是它们之间有某种相互联系的代数性质，或者可以建立某种对应关系.本节将介绍群与群之间的对应关系，这种对应关系保持某种代数性质.定义1 设是两个群，如果存在映射保持代数运算，即称是到的一个同态;如果同态还是满射，称是满同态; 如果同态还是单射，称是单同态;既是满同态又是单同态的同态称为同构，这时也称群与同构，记为，需要强调这个同构映射时，可记作;当时，同态映射称为自同态，同构映射称为自同构.需要说明的是:根据同态定义，在保持运算的等式中，左边式子的“?”是按照中的运算，而右边式子中的“?”是按照中的运算. 例1 设是两个群，是的单位元，令则0是到的一个同态，称其为零同态，这个同态在任意两个群之间都存在. 例2 设是虚数单位，令则是到的同态.例3 设是虚数单位，令.则按数的乘法构成一个群，并且是到的同态，(请读者验证) 是满同态. 例4设令注意是一般线性群，是到的同态,(请读者验证) 是单同态.今后,常用表示.例5 设是群，是的一个不变子群，由上节是关于的商群.令则是到的同态，并且是满同态.这个同态称为到其商群的自然同态，这是一个非常重要的同态，今后经常用到.例6 设是所有次单位根构成的群，其中是次本原单位根，令则是到模剩余类加群的同构映射，因此.我们知道，若是集合到的映射，是到的映射，则映射合成是到的映射. 这个事实对于群也同样成立.命题1 设是群到的同态，是群到的同态，则作为映射合成的是到的同态.证明:是到的映射, 又，故是到的同态.实际上我们还有如下性质:命题2(1)设是群到的单同态，是群到的单同态，则作为映射合成的是到的单同态;(2)设是群到的满同态，是群到的满同态，则作为映射合成的是到的满同态;(3)设是群到的同构，是群到的同构，则作为映射合成的是到的同构.命题3 设是群到群的同态，则(1) 的单位元在下的像是单位元;(2) 中元素的逆元在下的像;(3) 的子群在下的像是的子群，并且如果是限制在上的映射，则是到上的满同态.证明:(1) 故.(2)所以。
第三章 正规子群和群的同态与同构
由 Lagrange定理，对有限群 G有 G = N (G : N )，
G . 从而有 G / N = N
定理5 (A.L.Cauchy) 设G是一个pn阶有限交换群， 其中p是一个素数，则G有p阶元素，从而有p阶子群. 推论
pq(p，q为互异素数）阶交换群必为循环群.
为素数.
∴ a = n,
从而 G =< a > 为循环群，
由G为单群知n为素数. 练习 设G = Z , N = mZ < G , （1）写出商群的全部元素；（2）商群是否为循环群？
作 业
习题3.2 第91页 2，3，4，5
3.3
群同态基本定理
一、复习 二、 群同态基本定理 三、应用
一、复习
1、正规子群：
结论: 如果 G与G 为各有一个代数运算的 代数系统，
_
且 G ≅ G，则当 G与G 有一个是群时，另一个 一定是群.
_
_
定理2 设ϕ为群G到群G的一个同态映射（不一 定为满射），
_
则
1) 当 H ≤ G时，有 ϕ ( H ) ≤ G 2）当 H ≤ G 时，有 ϕ −1 ( H ) ≤ G .
_ _ _
乘法）的集合，如果 G ~ G ，则 G 也是一个群 .
_ _ __
注意：定理中的同态映射ϕ 必须是满射. 推论 设ϕ为群 G到群G的一个同态映射，
则群 G的单位元的象是群 G 的单位元； G的元素 a的逆元的象 是 a的象的逆元 ,即a
_ −1 _
_
= (a)−1 或 ϕ (a −1 ) = ϕ (a)−1 .
当ϕ是双射时，称 ϕ为群 G到 G 的一个 同构映射.
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11:56
例：A包含a, b, c三个元，A的乘法由下表规定，证明：A是一个群
证明： : G A, G {全体整数} 普通加法, A {a,b,c}
(x) a，若 x 0 (3), (x) b，若 x 1 (3)
abc aa b c
(x) c，若 x 2 (3), 显然是满射
三、同态核
思考题1：G ~ G ， (e) e ，那么 1(e ) e ?
例1 G (Z, ) 与 G {0,1, 2, 3}, a b (a b) mod 4 同态
: x x mod 4, (x Z )
e (0) 0 mod 4 0
1(e ) { , 8, 4, 0, 4, 8, }
s 在 之下的象；
s A ，称 s 1(s ) {a | (a) a, a s }
为 s 在 之下的逆象.
2019/9/30
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定理2
两个代数系统 G 与 G 同态， 若 G 是群，
则 G 也是群.
证明：
G
~
G
，G
是群，有结合律，则
G
也有结合律； 是同态满射，有
2019/9/30
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推论1：设
G
与G
是有限群，且
G~G
，则 | G | 整除 | G | .
| G || G / Ker | | G |
推论2： 循环群的商群也是循环群.
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五、群的同构定理
定理5 设 是群 G 到群G 的同态满射 ，又 Ker N G, N (N ) ，则
Ker {全体偶数}2019/9/3011:56引理1
若 是群 G 到群 G 的同态映射
，则 是单射 Ker {e}.
证明：" "
a G,(a) (ea) (e)(a) (e) e
n Ker , (n) (e) e 而 是单射
(x y) (x y) b
(x) (y) a b b
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例2
G {全体正负奇数}， G {1, 1}
代数运算均为数的普通乘法
: 正奇数
1
负奇数
-1
是 G 到 G 的同态满射，G ~ G.
G 是群，而 G 不是群.
2019/9/30
11:56
G/N G/N
证明：取 : aN (a)N
2019/9/30
11:56
例4 N G, H G, N H ，则
G/H G/N H/N
证明：
G ~G / N
Ker N H G,
(H) H / N G/ N
G / H G / N H / N
2019/9/30
11:56
a G,n Ker ,
(ana1 ) (a) (n) (a)1
(a)e (a)1 (a) (a)1 e
ana1 Ker
Ker G.
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11:56
四、群同态基本定理
定理3 群 G 同它的每个商群 G / N 同态. ( : a aN , a G)
n e, Ker {e}.
" " 若 (a) (b) ，则
(a) (b)1 (ab1 ) e ab1 e a b
是单射.
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引理2
若 是群 G 到群 G 的同态满射 ，则 Ker G.
证明：
G ~ G,{e } G Ker 1(e ) G
注： Ker N H G, (H) H / N
定义4 称群 G 到商群 G / N 的同态满射
: a aN, a G
为 G 到 G / N 的自然同态.
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11:56
定理4 （群同态基本定理）
群 G 与 G 同态， 是 G 到 G 的同态
满射，则 G / Ker G.
a G, a G, st. (a) a (e) (a) (ea) (a),
e (e) 是 G 的左单位元； (a1) (a) (a1a) (e) e ,
(a1 ) 是 a (a) 的左逆元
G 也是群.
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证明：取 ： aKer a (a) (a G)
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说明：
定理3说明任何群都同它的商群同态；
定理4说明一个群G 同另一个群 G 同态， 则这个群 在同构意义下是 G 的一个商群.
因此，在同构意义下，定理3与定理4的意 思是：每个群能而且只能同它的商群同态.
2019/9/30
11:56
定义3
设 是群 G 到群 G 的同态映射,
e 是 G 的单位元. 称 e 在 G 中的所有
逆象组成的集合为同态映射 的核, 记作
Ker 1(e ) {a G | (a) e }.
例3 G ( Z , ),G (R, )
: n (1)n 是 G 到 G 的同态映射
bb c a
下面证明：是一个同态满射
cc a b
注意：G和A的代数运算都适合交换律，只需证明(x y)=(x) (y)
(1) x 0 (3), y 0 (3), x y 0 (3)
(x y) (x y) a, (x) ( y) a a a
(2) x 0 (3), y 1 (3), x y 1 (3)
近世代数
第二章 群论 §9 群同态、同构
2019/9/30
11:56
一、定义1
若存在群 G 到群 G 的同态满射
，则称群 G 与群 G 同态；
若存在群 G 到群 G 的同构映射
，则称群 G 与群 G 同构.
假定 是集合 A 到 A 的一个满射，
s A ，称 s (s) {(a) | a s} 为