近世代数课件--1.6 群的同构与同态
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抽象代数基础第一章1.6 群的同构与同态
《 抽象代数基础 》教案
授课时间第12次课
授课章节
1.6群的同构与同态
任课教师
及职称
xx教授
教学方法
与手段
讲授法、板书
课时安排
4
使用教材和
主要参考书
《抽象代数基础》 唐忠明 编 高等教育出版社 2006，4
《近世代数》 杨子胥 编 高等教育出版社 2000，5
教学目的与要求：
掌握群的同构定理和同态定理
（2）若H是G的正规子群且 ，则
证明：（1）易知HN是G的子群，又由于N是G的正规子群，自然有N也是HN的正规子群，因而有商群 。令
则f是一个群同态。易知f是满同态，又 ，由同态基本定理有 。
（2）令 ，若aN=bN，则 ，而 ，所以 ，即 ，因而g的定义是合理的，易见g是一个满同态且 ，所以有同态基本定理，
《 抽象代数基础 》教案
复习思考题、作业题：
课本P28 1、4、6、9、10
下次课预习要点
有限群
实施情况及教学效果分析
学院审核意见
学院负责人签字
年月日
（1）如果H是G的子群，则f（H）是 的子群
（2）如果 是 的子群，则 是G的子群；如果 是 的正规子群，则 也是G的正规子群。
8、定理3设f是群G到 的一个满同态，如果H是G的正规子群，则f（H）是 的正规子群。
9、定理4（群的同态基本定理）设f是群G到 的一个满同态，则
证明：令
由于，若 则 ，于是 ，而 ，所以 ，因而 的定义是合理的，显然 是满射。
教学重点，难点：
Cayley定理；群的同态基本定理
教学内容：
1.6群的同构与同态
1、定义1设 和 是两个群，f是G到 上的一个一一对应，如果对 都有
授课时间第12次课
授课章节
1.6群的同构与同态
任课教师
及职称
xx教授
教学方法
与手段
讲授法、板书
课时安排
4
使用教材和
主要参考书
《抽象代数基础》 唐忠明 编 高等教育出版社 2006，4
《近世代数》 杨子胥 编 高等教育出版社 2000，5
教学目的与要求：
掌握群的同构定理和同态定理
（2）若H是G的正规子群且 ，则
证明：（1）易知HN是G的子群，又由于N是G的正规子群，自然有N也是HN的正规子群，因而有商群 。令
则f是一个群同态。易知f是满同态，又 ，由同态基本定理有 。
（2）令 ，若aN=bN，则 ，而 ，所以 ，即 ，因而g的定义是合理的，易见g是一个满同态且 ，所以有同态基本定理，
《 抽象代数基础 》教案
复习思考题、作业题：
课本P28 1、4、6、9、10
下次课预习要点
有限群
实施情况及教学效果分析
学院审核意见
学院负责人签字
年月日
（1）如果H是G的子群，则f（H）是 的子群
（2）如果 是 的子群，则 是G的子群；如果 是 的正规子群，则 也是G的正规子群。
8、定理3设f是群G到 的一个满同态，如果H是G的正规子群，则f（H）是 的正规子群。
9、定理4（群的同态基本定理）设f是群G到 的一个满同态，则
证明：令
由于，若 则 ，于是 ，而 ，所以 ，因而 的定义是合理的，显然 是满射。
教学重点，难点：
Cayley定理；群的同态基本定理
教学内容：
1.6群的同构与同态
1、定义1设 和 是两个群，f是G到 上的一个一一对应，如果对 都有
群的同态映射
–
为什么必须是满同态？
可以类似地讨论交换律
满同态与运算性质的保持（2）
单位元素
–
假设f: G1G2是满同态映射，若G1有单位元e，即对 任意xG1, (x*e)=(e*x)=x 则：令f(e)=e’G2, 对任意x’G2, 一定存在xG1, x’*’e’=f(x)*’ f(e)=f(x*e)=f(x)=x’，同理可得e’*’x’=x’， 因此f(e)=e’是G2的单位元素。
群的同态与同构群的同态与同构?同态与同态映射?同构与同构映射?满同态?同构同态与系统性质的保持同态与同态映射?设g1与g2都是群如果存在映射
群的同态与同构
群的同态与同构
同态与同态映射 同构与同构映射 满同态 同构、同态与系统性质的保持
同态与同态映射
f 设{G1,*}与{G2,*’}都是群，如果存在映射 : G1G2，使
–
类似地可以讨论零元素。
满同态与运算性质的保持（3）
逆元素
–
假设f: G1G2是满同态映射，若G1的每个元素均有逆元素，
即对任意xG1, 存在x-1G1, 满足(x*x-1)=(x-1*x)=e, 其中， e是G1的单位元素。
–
则：任给x’G2, 由f是满射可知，存在xG1, 使得f(x)=x’。 x’*’f(x-1)= f(x)*’f(x-1)= f(x*x-1)= f(e); 同理可得： f(x-1)*x’=f(e)。已知f(e)=e’即G2的单位元素， 由逆元素的唯一性可知： x’-1=[f(x)]-1=f(x-1)
同构映射f: R+R: f(x)=ln x
注意：可能有多个同构映射，如f(x)=lg x也是。
《近世代数》课件
近世代数的重要性
近世代数是数学领域中的基础学科之 一，是学习其它数学分支的重要基础 。
它对于理解数学的抽象本质和掌握数 学的基本思想方法具有重要意义，有 助于培养学生的逻辑思维和抽象思维 能力。
课程大纲简介
本课程将介绍近世代数的基本概念和性质，包括集合、群、环、域等代数系统的 定义、性质和关系。
1.1 答案
对。因为$a^2$的定义是两个整数相乘，结果仍为整数。
第1章习题及解答
1.2 答案：（略）
1.3 答案：群的基本性质包括封闭性、结合律和存在单位元。
第2章习题及解答
2.1 判断题：若$a$是整数，则$a^3$也是整数。 2.2 选择题：下列哪个是环？
第2章习题及解答
要点一
2.3 简答题
编码理论中的应用
线性码
线性码是一类重要的纠错码，其生成矩阵和校验矩阵都是线性方程组的解。这 些矩阵的构造和性质都与代数理论紧密相关。
高斯-若尔当消元法
在编码理论中，经常使用高斯-若尔当消元法来求解线性方程组，这种方法在代 数中也有广泛的应用。
物理学中的应用
量子力学中的态空间
在量子力学中，态空间是一个复的向量空间，其基底对应于可观测物理量。这与代数学中的向量空间 概念非常相似。
如果E是F的一个子集，且E中的元素 都是方程f(x)=0的根，其中f(x)是F上 的一个多项式，那么E在F上形成一个 子域。
如果E是F的一个子集，且E中的元素 都是方程f(x)=0的根，其中f(x)是F上 的一个不可约多项式，那么E在F上形 成一个有限子域。
有限域
有限域的性质
有限域中的元素个数一定是某个素数的幂。
理想与商环
理想的定义与性质
介绍理想的定义，包括左理想、右理想、双边理想等 ，并讨论理想的封闭性、运算性质等。
近世代数课件群的概念
ab ba e . 为了阐明这样的 b 是唯一的; 满足
ab' b'a e. 于是,我们有 b' b'e b'(ab) (b'a)b eb b .所以我 们的命题成立.□
§2 群的概念
对于命题 2.3 中所说的元素 a, b ,我们称 b 为 a 的逆元,记作 b a1 .
乘法都不构成群.
§2 群的概念
例 2 令 P nn 表示某个数域 P 上的全体 n 阶方阵构 成的集合.显然, P nn 关于矩阵的加法构成交换群, P nn 关于矩阵的乘法不构成群.但是,容易明白,数域 P 上的 全体 n 阶可逆矩阵构成的集合关于矩阵的乘法构成群, 称为 n 级一般线性群,记作 GLn (P ) .数域 P 上的全体行 列式的值等于1的 n 阶方阵构成的集合关于矩阵的乘法 构 成 群, 称为 n 级 特 殊线性群 ,记 作 SLn (P ) . 注意,当 n 1时, GLn (P ) 和 SLn (P ) 都不是交换群.
此对于任意的 nN , a 的 n 次幂 an 有意义.现在,对
于任意整数 n 0 ,我们定义 a 的 n 次幂 an 如下:
an
e, (a1)n ,
当 n 0 时; 当n 0 时.
这样一来,对于任意整数 n , an 都有意义.
§2 群的概念
不难验证,幂具有如下性质:对于任意的 a, b G 和 m, n Z ,总有
§2 群的概念
下面介绍置换的表示方法.
设 A {a1, a2 , , an} 是一个有限集, f Sn .我们
可以将 f 表示成下表的形式:
f
a1 (a1)
a2 f (a2 )
f
an (an
ab' b'a e. 于是,我们有 b' b'e b'(ab) (b'a)b eb b .所以我 们的命题成立.□
§2 群的概念
对于命题 2.3 中所说的元素 a, b ,我们称 b 为 a 的逆元,记作 b a1 .
乘法都不构成群.
§2 群的概念
例 2 令 P nn 表示某个数域 P 上的全体 n 阶方阵构 成的集合.显然, P nn 关于矩阵的加法构成交换群, P nn 关于矩阵的乘法不构成群.但是,容易明白,数域 P 上的 全体 n 阶可逆矩阵构成的集合关于矩阵的乘法构成群, 称为 n 级一般线性群,记作 GLn (P ) .数域 P 上的全体行 列式的值等于1的 n 阶方阵构成的集合关于矩阵的乘法 构 成 群, 称为 n 级 特 殊线性群 ,记 作 SLn (P ) . 注意,当 n 1时, GLn (P ) 和 SLn (P ) 都不是交换群.
此对于任意的 nN , a 的 n 次幂 an 有意义.现在,对
于任意整数 n 0 ,我们定义 a 的 n 次幂 an 如下:
an
e, (a1)n ,
当 n 0 时; 当n 0 时.
这样一来,对于任意整数 n , an 都有意义.
§2 群的概念
不难验证,幂具有如下性质:对于任意的 a, b G 和 m, n Z ,总有
§2 群的概念
下面介绍置换的表示方法.
设 A {a1, a2 , , an} 是一个有限集, f Sn .我们
可以将 f 表示成下表的形式:
f
a1 (a1)
a2 f (a2 )
f
an (an
群同态基本定理与同构定理
证明过程细节
思路拓展
采用归纳法，将问题划分为小规模子问题，通过递归调用，逐步缩小问题规模，最终得出证明结果。
证明过程细节
在归纳过程中，需要建立递归终止条件和归纳转移条件，并利用群的定义和性质，逐步缩小问题规模，最终得出 $f(a)=f(b)$ 的矛盾结果。
群同态基本定理的证明方法二
应用场景一
应用场景二
群的同构定理的表述与证明
应用一
在有限群表示论中，群的同构定理可以用来判断两个群是否具有相同的表示。
应用二
在代数拓扑中，群的同构定理可以用来判断两个拓扑空间是否同胚。
群的同构定理的应用举例
密码学中的许多算法都涉及到了群结构，如对称加密算法中的有限域等。
同构定理可以用来判断两个有限群是否同构。如果两个有限群同构，则它们具有相同的性质和结构，因此可以用来构造相同的密码学算法。但是，如果两个有限群不同构，则它们具有不同的性质和结构，因此不能用来构造相同的密码学算法。因此，同构定理在密码学中具有重要的作用。
2023
群同态基本定理与同构定理
CATALOGUE
目录
群与群同态基本概念群同态基本定理的证明群的同构定理群同态基本定理与同构定理的应用群同态基本定理与同构定理的推广
01
群与群同态基本概念
群是一个非空集合，其中存在一个二元运算符，满足封闭性、结合律、单位元存在性和逆元存在性。
封闭性：对于任意$a,b\in G$，有$a\cdot b\in G$。
操作系统的权限管理
群同态基本定理可以用于将一些数据结构的设计问题转化为群同构问题，从而设计出更有效的算法。
数据结构与算法设计
在计算机科学中的应用
量子计算
在量子计算中，同构定理可以用于量子态的变换和量子测量等问题。
思路拓展
采用归纳法，将问题划分为小规模子问题，通过递归调用，逐步缩小问题规模，最终得出证明结果。
证明过程细节
在归纳过程中，需要建立递归终止条件和归纳转移条件，并利用群的定义和性质，逐步缩小问题规模，最终得出 $f(a)=f(b)$ 的矛盾结果。
群同态基本定理的证明方法二
应用场景一
应用场景二
群的同构定理的表述与证明
应用一
在有限群表示论中，群的同构定理可以用来判断两个群是否具有相同的表示。
应用二
在代数拓扑中，群的同构定理可以用来判断两个拓扑空间是否同胚。
群的同构定理的应用举例
密码学中的许多算法都涉及到了群结构，如对称加密算法中的有限域等。
同构定理可以用来判断两个有限群是否同构。如果两个有限群同构，则它们具有相同的性质和结构，因此可以用来构造相同的密码学算法。但是，如果两个有限群不同构，则它们具有不同的性质和结构，因此不能用来构造相同的密码学算法。因此，同构定理在密码学中具有重要的作用。
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群同态基本定理与同构定理
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目录
群与群同态基本概念群同态基本定理的证明群的同构定理群同态基本定理与同构定理的应用群同态基本定理与同构定理的推广
01
群与群同态基本概念
群是一个非空集合，其中存在一个二元运算符，满足封闭性、结合律、单位元存在性和逆元存在性。
封闭性：对于任意$a,b\in G$，有$a\cdot b\in G$。
操作系统的权限管理
群同态基本定理可以用于将一些数据结构的设计问题转化为群同构问题，从而设计出更有效的算法。
数据结构与算法设计
在计算机科学中的应用
量子计算
在量子计算中，同构定理可以用于量子态的变换和量子测量等问题。
大学数学《近世代数》课件
3.推移律：
a bb a
a a,不管a是A的哪一个元。
a b, b c a c
定义：若把一个集合A分成若干个叫做类的子集，使得A的每一个元属于而 且只属于一个类，那么这些类的全体叫做集合A的一个分类。
定理1：集合A的一个分类决定A的元间的一个等价关系。
定理2：集合A 的元间的一个等价关系决定A的一个分类。
III.
，方程 和
在G中都有解。
例1 G＝{g}，乘法规定gg=g， 则G是一个群。
例2 G＝{全体整数}；G中运算为普通加法，则G是一个群。
例3 G＝{所有非整数}，G对于普通乘法不作成一个群。
定义1 同态：S , 与 T , 为两个代数系
统, ：S T 为同态映射，若对 a ，b S
有:a b＝ab
S , 定义2 同态满射： 与 为两个代数系统 ，
该映射为同态满射， ，
：S T
T , 为同态映射，且为满射，则 同态
S , T ,
定理1 假定，对于代数运算 和 来说， S与T 同态则：
二元代数运算“
”适合结合律和交换律
则 ai S,i 1,2,n, n个元素
a , a ,, a 1 2
n 的乘积仅与这n个元素
有关而与它们的次序无关。
例 仅满足结合律而不满足交换律：
1）矩阵乘法 2）映射的复合运算 3）字符串的复合运算 同时满足结合律与交换律：
1）普通乘法 2）集合的并、交 3）逻辑与、逻辑或 两者均不满足：
[本章主要内容]
1）群、子群及相关性质； 2）置换群、循环群； 3）子群的陪集、正规子群； 4）群的同态；
2.1半群与群的概念
定义1 设“
”时非空集合S上的一个二元
近世代数(抽象代数)课件
意一个二元运算,并将其称为乘法.当 ab c
时, c 称为 a 与 b 的乘积;甚至还将等式 ab c
简写成 ab c .
6
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§1 代数运算
例 1 设 R 是实数集.于是,平常的加法“”,减 法“-”和乘法“”都是 R 上的二元运算;除法“”是 R , R \{0}到 R 的代数运算,不是 R 上的二元运算.
第一章 群 论
LOGO
1
目录
§1 代数运算 §2 群的概念 §3 子 群 §4 循环群 §5 正规子群与商群 §6 群的同构与同态 §7 有限群
2
Logo
§1 代数运算
设 A1, A2 , , An ( n 为正整数)都是集合.我们将 集合
{(a1, a2 , , an ) | ai Ai , i 1, 2, n} 称为 A1, A2 , , An 的直积或笛卡儿积,记作
A1 A2 An . 特别地,当 A1 A2 An A 时, A1 A 2 A n 可 以简记作 An (读作 A 的 n 次方).这里约定,当 n 1 时, A1 A 2 A n 就是 A1 .
3
Logo
§1 代数运算
定义 1.1 设 A1, A2 , , An ( n 为正整数)和 A 都是非空集合. A1 A2 An 到 A 的映射 又 称 为 A1, A2 , , A n 到 A 的 代 数 运 算 ; 特 别 地, An 到 A 的映射又称为 A 上的 n 元运算.
设 A 是一个非空集合. f 是 A 上的一个二
元运算.于是，对于任意的 a, b A ，存在唯
一的 c A ，使得 f (a, b) c .我们约定,将等
式 f (a, b) c 改写成 afb c .
群论中的群同态与同构
群论是数学的一门重要分支，研究的是群这一抽象代数结构的性质和性质间的关系。
在群论中，群同态和群同构是两个基本概念。
首先，我们来讨论群同态。
群同态是指一种映射，它保持群的结构。
具体来说，设有两个群G和H，群同态是一个映射f: G -> H，它满足以下两个性质：1.f(x * y) = f(x) * f(y)，对于所有的x, y ∈ G；2.f(e) = e’，其中e是G的单位元，e’是H的单位元。
第一个性质保证了同态映射将群的乘法运算保持不变，第二个性质确保了同态映射将单位元映射到单位元。
群同态的一个重要应用是在简化问题的复杂性方面。
通过将一个较大的群映射到一个较小的群，我们可以研究原问题的较小版本，并利用较小群的性质来推导有关于原问题的结论。
接下来，我们谈论群同构。
群同构是指两个群之间存在双射的同态映射。
具体来说，如果存在一个双射f: G -> H，并且f满足同态的两个性质，那么我们称G和H是同构的，记作G ≅ H。
同构意味着两个群具有相同的抽象结构，虽然它们的元素和操作可能看起来不同。
例如，考虑整数加法群（Z，+）和整数乘法群（Z，*）。
尽管整数加法群和整数乘法群的运算看起来不同，但它们具有相同的结构，因此我们可以说这两个群是同构的。
同构的两个群之间有一些重要的性质如下：1.同构是一种等价关系。
即对于任意的群G，它与自身同构，即G ≅ G。
2.若G ≅ H，那么H ≅ G。
同构满足交换性。
3.若G ≅ H且H ≅ K，那么G ≅ K。
同构满足传递性。
群同构在研究群的性质和计算中发挥着重要的作用。
通过将一个群与一个已知的同构群进行比较，我们可以轻松地推导出这个群的一些性质。
同时，群同构也为群的计算提供了便利。
如果两个群是同构的，我们可以在计算一个群的过程中，使用另一个同构群的性质来简化计算。
总结来说，群同态和群同构是群论中非常重要的概念。
群同态是保持群结构的映射，而群同构则是保持群结构并具有一一对应关系的映射。
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目
§1 §2 §3 §4 代数运算 群的概念 子 群
录
循环群
正规子群与商群 群的同构与同态 有限群
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§5
§6 §7
2018/11/
§6
定义 6.1
群的同构与同态
设 (G, ) 和 (G ' , ) 是两个群.
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§6
群的同构与同态
其次,假设 G1 和 G2 是两个群, 并且 G1 G2 .不妨设 f 是群 G1 到群 G2 的同构 . 于是 , f 的逆映射 f 1 是 G2 到 G1 的双射.对于任意的 a' , b' G2 ,我们有
f ( f 1 (a' b' )) a' b' , f ( f 1 (a' ) f 1 (b' )) f ( f 1 (a' )) f ( f 1 (b' )) a' b' ,
从而，
f 1 (a' b' ) f 1 (a' ) f 1 (b' ) .
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f ( x) x' , x G .
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§6
群的同构与同态
由定义可知,群的同构具有如下性质: Ⅰ.任何群 G 与自身同构; Ⅱ.若群 G1 与群 G2 同构,则群 G2 与群 G1 同构; Ⅲ.若群 G1 与群 G2 同构 ,群 G2 与群 G3 同构,则群 G1 与群 G3 同构. 下面我们来阐明这些性质成立. 首先 , 对于任何群 G , 单位变换 I G 就是 G 到自身的 一个同构.因此 G G .所以性质Ⅰ成立.
(G ' , ) 同构,记作 (G, ) (G' , ) ;不致混淆时,简记作 G G' .
(3) 群 (G, ) 到群 (G, ) 的同构称为群 (G, ) 的 自同构, 简称 为群 G 的自同构.
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§6
群的同构与同态
容易验证, G ' 关于矩阵的乘法构成一个群,其乘法表为 · e' a ' b' c' e' e' a ' b' c' a ' a ' e' c' b' b' b' c' e' a ' c' c' b' a ' e' 对照群 G 和 G ' 的乘法表容易发现,这两个群的结构没有本 质上的差别,由下式确定的 G 到 G ' 的映射 f 是同构:
§6
群的同构与同态
例 1 设 G {e, a, b, c}为 Klein 四元群.我们知道,其 乘法表为 · e a b c
e e a
b
a a e c
b
b b
c c
b
c
c e a
a e
现在令 G' {e' , a' , b' , c'} ,其中
1 0 1 0 1 0 1 0 e' 0 1 , a' 0 1 , b' 0 1 , c' 0 1 .
f (a b) f(a) f(b), a,b G ,
(1)若 f 是 G 到 G ' 的一个双射,并且 f 保持代数运算,即 则称 f 为群 (G, ) 到群 (G ' , ) 的一个 同构 ;不致混淆时 ,简称 f 为群 G 到群 G ' 的一个同构或 f 为同构. (2) 若存在群 (G, ) 到群 (G ' , ) 的同构 , 则称群 (G, ) 与群
(axa )(aya ) f a ( x) f a ( y) .
所以 f a 是群 G 的自同构.
1
1
f a 称为群 G 的一个内自同构.
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§6
例 3
群的同构与同态
设 G 是群 , H 是 G 的子群 , a G . 考察集合
aHa1 .容易验证, aHa1 是 G 的子群.
显而易见, aHa1 就是 H 在群 G 的内自同构 f a 之下的 象,即 aHa1 { f a (h) | h H} .
构, g 是群 G2 到群 G3 的同构.容易验证, gf 是群 G1 到群 G3 的同构(从略).因此 G1 G3 .所以性质Ⅲ成 立.
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§6
群的同构与同态
例 2 设 G 是一个群.任意取定 a G ,定义 G 到自 身的映射 f a 如下:
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§6
群的同构与同态
因此 f
1
是群 G2 到群 G1 的同构 , 从而 , G2 G1设 G1 , G2 和 G3 都 是 群 , 并 且
G1 G2 , G2 G3 . 不妨设 f 是群 G1 到群 G2 的同
f a (a 1 xa) a(a 1xa)a 1 x ,
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§6
群的同构与同态
因此 f a 是满射, 从而, f a 是双射. 又因为对于任意的
x, y G ,我们有
f a ( xy) a( xy)a 1 ,
f a ( x) axa , x G .
容易验证, f a 是群 G 的一个自同构.事实上,对于 任意的 x, y G ,根据消去律,我们有
f a ( x) f a ( y) axa1 aya1 x y .
1
因此 f a 是单射.对于任意的 x G ,我们有
§1 §2 §3 §4 代数运算 群的概念 子 群
录
循环群
正规子群与商群 群的同构与同态 有限群
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§5
§6 §7
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§6
定义 6.1
群的同构与同态
设 (G, ) 和 (G ' , ) 是两个群.
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§6
群的同构与同态
其次,假设 G1 和 G2 是两个群, 并且 G1 G2 .不妨设 f 是群 G1 到群 G2 的同构 . 于是 , f 的逆映射 f 1 是 G2 到 G1 的双射.对于任意的 a' , b' G2 ,我们有
f ( f 1 (a' b' )) a' b' , f ( f 1 (a' ) f 1 (b' )) f ( f 1 (a' )) f ( f 1 (b' )) a' b' ,
从而，
f 1 (a' b' ) f 1 (a' ) f 1 (b' ) .
2018/11/
f ( x) x' , x G .
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§6
群的同构与同态
由定义可知,群的同构具有如下性质: Ⅰ.任何群 G 与自身同构; Ⅱ.若群 G1 与群 G2 同构,则群 G2 与群 G1 同构; Ⅲ.若群 G1 与群 G2 同构 ,群 G2 与群 G3 同构,则群 G1 与群 G3 同构. 下面我们来阐明这些性质成立. 首先 , 对于任何群 G , 单位变换 I G 就是 G 到自身的 一个同构.因此 G G .所以性质Ⅰ成立.
(G ' , ) 同构,记作 (G, ) (G' , ) ;不致混淆时,简记作 G G' .
(3) 群 (G, ) 到群 (G, ) 的同构称为群 (G, ) 的 自同构, 简称 为群 G 的自同构.
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§6
群的同构与同态
容易验证, G ' 关于矩阵的乘法构成一个群,其乘法表为 · e' a ' b' c' e' e' a ' b' c' a ' a ' e' c' b' b' b' c' e' a ' c' c' b' a ' e' 对照群 G 和 G ' 的乘法表容易发现,这两个群的结构没有本 质上的差别,由下式确定的 G 到 G ' 的映射 f 是同构:
§6
群的同构与同态
例 1 设 G {e, a, b, c}为 Klein 四元群.我们知道,其 乘法表为 · e a b c
e e a
b
a a e c
b
b b
c c
b
c
c e a
a e
现在令 G' {e' , a' , b' , c'} ,其中
1 0 1 0 1 0 1 0 e' 0 1 , a' 0 1 , b' 0 1 , c' 0 1 .
f (a b) f(a) f(b), a,b G ,
(1)若 f 是 G 到 G ' 的一个双射,并且 f 保持代数运算,即 则称 f 为群 (G, ) 到群 (G ' , ) 的一个 同构 ;不致混淆时 ,简称 f 为群 G 到群 G ' 的一个同构或 f 为同构. (2) 若存在群 (G, ) 到群 (G ' , ) 的同构 , 则称群 (G, ) 与群
(axa )(aya ) f a ( x) f a ( y) .
所以 f a 是群 G 的自同构.
1
1
f a 称为群 G 的一个内自同构.
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§6
例 3
群的同构与同态
设 G 是群 , H 是 G 的子群 , a G . 考察集合
aHa1 .容易验证, aHa1 是 G 的子群.
显而易见, aHa1 就是 H 在群 G 的内自同构 f a 之下的 象,即 aHa1 { f a (h) | h H} .
构, g 是群 G2 到群 G3 的同构.容易验证, gf 是群 G1 到群 G3 的同构(从略).因此 G1 G3 .所以性质Ⅲ成 立.
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群的同构与同态
例 2 设 G 是一个群.任意取定 a G ,定义 G 到自 身的映射 f a 如下:
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群的同构与同态
因此 f
1
是群 G2 到群 G1 的同构 , 从而 , G2 G1设 G1 , G2 和 G3 都 是 群 , 并 且
G1 G2 , G2 G3 . 不妨设 f 是群 G1 到群 G2 的同
f a (a 1 xa) a(a 1xa)a 1 x ,
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群的同构与同态
因此 f a 是满射, 从而, f a 是双射. 又因为对于任意的
x, y G ,我们有
f a ( xy) a( xy)a 1 ,
f a ( x) axa , x G .
容易验证, f a 是群 G 的一个自同构.事实上,对于 任意的 x, y G ,根据消去律,我们有
f a ( x) f a ( y) axa1 aya1 x y .
1
因此 f a 是单射.对于任意的 x G ,我们有