第6讲韦达定理推理及常见计算-人教版暑假班九年级数学上册教学案(教育机构专用)
教案韦达定理
教案：韦达定理（一）王伟光一、教学目标1．通过根与系数的关系的发现与推导，进一步培养学生分析、观察、归纳、猜想的能力和推理论证的能力；2．通过本节课的学习，向学生渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律。
培养逻辑思维及创新思维能力。
二、教学重点、难点1．教学重点：根与系数的关系的发现及其推导．2．教学难点：韦达定理的灵活应用．（一）定理的发现及论证问题1：对于一元二次方程的一般式ax2+bx+c=0（a≠0）是否也具备这个特征？x 1+x2=-，x1·x2=，如何推导一元二次方程两根和与两根积和系数的关系？设x1、x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根．∴a acbbx24 21-+-=，aacbbx2422---=.()042≥-acb由此得出，一元二次方程的根与系数的关系．（一元二次方程两根和与两根积与系数的关系）—韦达定理三：韦达定理内容：韦达定理说的是：设一元二次方程()2ax +bx+c=0a 0≠有二实数根12x x ，，则1212b cx +x =x x =a a-⋅，。
这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数a ，b ，c 的关系。
其逆命题：如果12x x ，满足1212bc x +x =x x =a a-⋅，，那么12x x ，是一元二次方程()2ax +bx+c=0a 0≠的两个根也成立。
四：韦达定理应用：韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学教学和中考中有着广泛的应用。
金鼎培训将其应用归纳为：①不解方程求方程的两根和与两根积； ②求对称代数式的值； ③构造一元二次方程； ④求方程中待定系数的值；⑤韦达（法国1540－1603）在平面几何中的应用；⑥在二次函数中的应用等。
（1）、不解方程求方程的两根和与两根积：已知一元二次方程，可以直接根据韦达定理求得两根和与两根积。
例题1：若x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣7x-2007=0的两根，则x 1+x 2与x 1?x 2的值分别是【 】练习：①下列一元二次方程两实数根和为﹣4的是【 】A ．x 2+2x ﹣4=0B ．x 2﹣4x+4=0C ．x 2+4x+10=0D ．x 2+4x ﹣5=0②若关于x 的方程022=+-m x x 的一个根为1-，则另一个根为【 】 A ．3- B ．1- C ．1 D ．3（2）、求对称代数式的值：应用韦达定理及代数式变换，可以求出一元二次方程两根的对称式的值。
韦达定理教案
教师一对一个性化教案学生姓名年级科目授课教师日期时间段课时授课类型新课/复习课/作业讲解课教学目标教学内容个性化学习问题解决教学重点、难点及考点分析教学过程求代数式的值求待定系数一元二次韦达定理应用构造方程方程的求解特殊的二元二次方程组根公式二次三项式的因式分解【内容分析】韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a++=≠，如果方程有两个实数根12,x x，那么1212,b cx x x xa a+=-=说明：（1）定理成立的条件0∆≥（2）注意公式重12bx xa+=-的负号与b的符号的区别根系关系的三大用处（1）计算对称式的值例若12,x x是方程2220070x x+-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x+；(2)1211x x+；(3)12(5)(5)x x--；(4)12||x x-．解：由题意，根据根与系数的关系得：12122,2007x x x x+=-=-(1) 2222121212()2(2)2(2007)4018x x x x x x+=+-=---=(2) 121212112220072007x xx x x x+-+===-(3)121212(5)(5)5()2520075(2)251972x x x x x x--=-++=---+=-(4) 22212121212||()()4(2)4(2007)22008x x x x x x x x-=-=+-=---=说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：教学过程222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=，22121212()()4x x x x x x -=+-， 2121212||()4x x x x x x -=+-，2212121212()x x x x x x x x +=+，33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等．韦达定理体现了整体思想．【课堂练习】1．设x 1，x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根，则x 12＋x 22的值为_________2．已知x 1，x 2是方程2x 2－7x ＋4＝0的两根，则x 1＋x 2＝ ，x 1·x 2＝ ，（x 1－x 2）2＝3．已知方程2x 2－3x+k=0的两根之差为212，则k= ;4．若方程x 2+(a 2－2)x －3=0的两根是1和－3，则a= ;5．若关于x 的方程x 2+2(m －1)x+4m 2=0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m 的值为 ;6． 设x 1,x 2是方程2x 2－6x+3=0的两个根，求下列各式的值： (1)x 12x 2+x 1x 22(2) 1x 1 －1x 27．已知x 1和x 2是方程2x 2－3x －1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：2221x 1x 1+（2）构造新方程理论：以两个数为根的一元二次方程是。
(完整版)韦达定理教学案例
教学环节
教师活动
预设学生行为设计Βιβλιοθήκη 图问题引探解下列方程：
2x2+5x+3=0 3x2-2x-8=0
并根据问题2和以上的求解填写下表
请观察上表，你能发现两根之和、两根之积与方程的系数之间有什么关系吗？
问题4.请根据以上的观察发现进一步猜想：方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根x1，x2与a、b、c之间的关系：____________。
学情分析
1．学生已学习用求根公式法解一元二次方程，。
2．本课的教学对象是初中三年级学生，学生对事物的认识多是直观、形象的，他们所注意的多是事物外部的、直接的、具体形象的特征，
3．在教学初始，出示一些学生所熟悉和感兴趣的东西，结合一元二次方程求根公式使他们在现代化的教学模式和传统的教学模式相结合的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系。
2．以一元二次方程根与系数的关系的探索与推导，向学生展示认识事物的一般规律，提倡积极思维，勇于探索的精神，借此锻炼学生分析、观察、归纳的能力及推理论证的能力
3．一元二次方程的根与系数的关系，在中考中多以填空，选择，解答题的形式出现，考查的频率较高，也常与几何、二次函数等问题结合考查，是考试的热点，它是方程理论的重要组成部分。
4、使学生体会解题方法的多样性，开阔解题思路，优化解题方法，增强择优能力。力求让学生在自主探索和合作交流的过程中进行学习，获得数学活动经验，教师应注意引导。
⑤当a≠0，c=0时，方程必有一根为0。
学生交流探讨
本设计采用“实践——观察——发现——猜想——证明”的过程，使学生既动手又动脑，且又动口，教师引导启发，避免注入式地讲授一元二次方程根与系数的关系，体现学生的主体学习特性，培养了学生的创新意识和创新精神。
初高数学衔接导学案第六至第九课《韦达定理》《方程》《方程组》《不等式》
第六课 根的判别式与韦达定理一、知识点1.一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）根的判别式：2.韦达定理：如果一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两个根是12,x x ，那么有： 12x x +=_________ 12x x =_________ 二、例题例1 解关于x 的方程：（1）x 2－3x ＋3＝0 （2）x 2－2x ＋a ＝0 （3）2210mx x ++=例2 已知方程2560x kx +-=的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．例3 已知关于x 的方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m 的值．例4 已知12,x x 是方程2520x x --=两个实数根，求下列式子的值：①1211x x +；②2212x x +；③3312x x +；④()()1211x x --；⑤12x x -例5 已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．例6 求作一个方程，使它的根是方程2780x x -+=的两根的平方的负倒数.例7 若关于x 的一元二次方程x 2－x ＋a －4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a 的取值范围．三、练习： 1．填空题：（1）若关于x 的方程mx 2＋ (2m ＋1)x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 ．（2）方程kx 2＋4x －1＝0的两根之和为－2，则k ＝ ．（3）已知关于x 的方程x 2－ax －3a ＝0的一个根是－2，则它的另一个根是 ．（4）如果a ，b 是方程x 2＋x －1＝0的两个实数根，那么代数式a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3的值是 ． （5）已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x 2－8x ＋7＝0的两根，则这个直角三角形的斜边长等于 ．2．已知关于x 的方程x 2－kx －2＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两根为x 1和x 2，如果2(x 1＋x 2)＞x 1x 2，求实数k 的取值范围．3．已知一元二次方程22450x x --=的两个根分别是12,x x ，求下列式子的值：（1）12(2)(2)x x ++ （2）3312x x + （3）12x x -4．求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x 2－7x －1＝0各根的相反数．5．若关于x 的方程x 2＋x ＋a ＝0的一个根大于1，另一根小于1，求实数a 的取值范围．第七课 分式方程高次方程与无理方程一、知识点解分式方程高次方程与无理方程的常用方法： 二、例题例1 解方程：⑴、354147=--+x x⑵、06)1(5)1(2=++-+x x x x(3)222223(21)20212x x x x +--+=-+例2 解方程：（1）322530x x +-= （2）024)5(2)5(222=----x x x x（3）(2)(1)(3)(6)16x x x x -+++= （4）43226210x x x x +-++=例3 解方程：（11x =+ （23=（3）23152x x ++=三、练习： 解下列方程： （1）2315()6022x x -+=-- （2）43253222=+-+xx x x （3）22324123x x x x =---- （4）xx x x x x 3133512=-++-+（5）22)12(31222222-=+---+x x x x （6）03)76(2)76(222=----x x x x（71= （8）22415x x -+=第八课 二元二次方程组与三元一次方程组一、知识点解方程组的方法： 二、例题例 解下列方程组：（1）22210410x y x y x y --=⎧⎨---+=⎩ （2）1128x y xy +=⎧⎨=⎩（3）222255043x y x y x xy y ⎧---=⎪⎨++=⎪⎩ （4）22124x xy xy y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩（5）2222384x y x xy y ⎧-=⎪⎨++=⎪⎩ （6）2311322114324x y z x y z x y z ++=⎧⎪+-=⎨⎪--=⎩三、练习：解下列方程组（1）⎩⎨⎧=-=+1543222y x y x（2）⎪⎩⎪⎨⎧=+=--52322222y x y xy x（3）⎩⎨⎧-==+103xy y x（4）⎪⎩⎪⎨⎧=---=+-+3)(2)(5)(4)(22y x y x y x y x（5）⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-++09412902522222y xy x y xy x （6）1226310x y z x y z x y z ++=⎧⎪+-=⎨⎪-+=⎩第九课 一元二次不等式一、知识点：一元二次不等式的解集：二、例题例1 解下列不等式：⑴ 036>-x （2） 0322<-+x x （3）062<+-x x变式： （1）23520x x +-≥ （2）2210x x -++<（3）2450x x -+> （4）2440x x -+->例2 解下列不等式（1）04312>--x x （2） 012>+-x x （3）81153x x +≥+例３ 解关于x 的不等式2(1)0x x a a ++->（a 为常数）．例４ 已知不等式)0(02≠<++a c bx ax 的解是2<x 或3>x ，求不等式02>++c ax bx 的解．三、练习：1．解下列不等式 （1）0432>--x x（2）0122≤--x x（3）0432>-+x x（4）08162≤+-x x（5）01232<+-x x（6）0432<-x（7）122-≥-x x（8）(2)(53)0x x +-≤（9）3112>--xx （10）0)1(2<++-a x a x （a 为常数）．2．已知关于x 不等式022>-+c bx x 的解为1-<x 或3>x 。
2017九年级上册重点章节教学案精编暑假班专用
耿老师教研工作时室您值得信赖的专业化个性化学习方案目录一．一元二次方程解法 01 二．一元二次方程判别式及韦达定理 07 三．一元二次方程的应用1 12 四．一元二次方程的应用2 17五．二次函数图像与性质 22 六．二次函数的顶点式及平移法则 28 七．二次函数的一般式及两根式 34 八．二次函数解析式求法 40 九．二次函数符号问题 47 十．一元二次方程与二次函数的关系 54 十一．二次函数最值问题（一）——应用题 61 十二．二次函数最值问题（二）——几何面积 65 十三 .比例的性质 68 十四．黄金分割 72 十五．平行线分线段成比例 75 十六．相似三角形（一) 86 十七．相似三角形（二） 92十八．图形的位似 98十九．特殊三角形（一）——等腰、等边三角形 103 二十．特殊三角形（二）——直角、等腰直角三角形 109第一节一元二次方程解法【知识要点】一元二次方程之概念一、选择题1．在下列方程中，一元二次方程的个数是（）．①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x2-1 ④3x2-5x=0A．1个B．2个C．3个D．4个2．方程2x2=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、•一次项系数和常数项分别为（）．A．2，3，-6 B．2，-3，18 C．2，-3，6 D．2，3，63．px2-3x+p2-q=0是关于x的一元二次方程，则（）．A．p=1 B．p>0 C．p≠0 D．p为任意实数二、填空题1．方程3x2-3=2x+1的二次项系数为________，一次项系数为_________，常数项为_________．2．一元二次方程的一般形式是__________．3．关于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，则a的取值范围是________．三、综合提高题1．a满足什么条件时，关于x的方程a（x2+x）（x+1）是一元二次方程？2．关于x的方程（2m2+m）x m+1+3x=6可能是一元二次方程吗？为什么？一元二次方程之根一、选择题1．方程x（x-1）=2的两根为（）．A．x1=0，x2=1 B．x1=0，x2=-1 C．x1=1，x2=2 D．x1=-1，x2=2 2．方程ax（x-b）+（b-x）=0的根是（）．A．x1=b，x2=a B．x1=b，x2=1aC．x1=a，x2=1aD．x1=a2，x2=b23．已知x=-1是方程ax2+bx+c=0的根（b≠0）（）．A．1 B．-1 C．0 D．2二、填空题业精于勤而荒于嬉，行成于思而毁于随。
韦达定理初三常考题型
韦达定理初三常考题型1. 引言韦达定理是初中数学中的一个重要定理，常常出现在初三的考试中。
它是一种用于解决三角形中的边长和角度关系的工具，通过利用正弦定理和余弦定理来推导出未知量之间的关系。
在本文中，我们将介绍韦达定理的基本概念、推导过程以及常见的应用题型。
2. 韦达定理的定义与推导2.1 定义韦达定理，也称作三角形法则，是指在任意三角形ABC中，设边长a、b、c分别对应角A、B、C，则有以下关系成立：a² = b² + c² - 2bc * cosA b² = a² + c² - 2ac * cosB c² = a² + b² - 2ab * cosC2.2 推导过程我们可以通过正弦定理和余弦定理来推导出韦达定理。
#### 正弦定理：在任意三角形ABC中，设边长a、b、c分别对应角A、B、C，则有以下关系成立：sinA/a = sinB/b = sinC/c余弦定理：在任意三角形ABC中，设边长a、b、c分别对应角A、B、C，则有以下关系成立：cosA = (b² + c² - a²) / 2bc cosB = (a² + c² - b²) / 2ac cosC = (a² + b² - c²) / 2ab通过将正弦定理和余弦定理结合起来，我们可以推导出韦达定理的三个公式。
3. 韦达定理的应用题型3.1 已知两边和夹角，求第三边这是韦达定理最常见的应用题型之一。
当我们已知一个三角形的两边长度和它们之间的夹角时，可以利用韦达定理来求解第三边的长度。
例如，已知一个三角形ABC，其中AB = 5cm，AC = 8cm，∠BAC = 60°，求BC的长度。
根据韦达定理公式b² = a² + c² - 2ac * cosB，代入已知条件计算得到：BC² = 5² + 8² - 2 * 5 * 8 * cos60° BC = √(25 + 64 -80cos60°) BC ≈ √(89 -40) BC ≈ √49 BC ≈ 7cm3.2 已知三边，求夹角另一个常见的应用题型是已知一个三角形的三边长度，求解它们之间的夹角。
新人教版九年级数学上册暑期讲义
二次根式例1.当x 是多少时，23x ++11x +在实数范围内有意义？ 例2.已知y=2x -+2x -+5，求x y 的值．例 3.已知()11039322++=+-+-y x x x y x ，求的值。
例4.若│2012-a │+2013-a =a ，求a-20122的值．课堂练习题：1.求下列各式有意义的所有x 的取值范围。
（）；（）；（）；（）；（）；（）13221312411521645332-++-++-----x x x x x xx x x x2.如图，数轴上A,B 两点表示的数分别为1和，点B 关于点A 的对称点为点C ，则点C 所表示的数是（ ）A ．B ．C ．D ．3.已知t<1，化简1212---+t t t 得( ) A ．22-t B ．2t C ．2 D ．04.若12x ，则224421x x x x -++++化简的结果是（ ）A. 21x -B. 21x -+C. 3D. -35.若a<0，b>0，则3a b -化简得（ ）A ．-a ...abB a abC a abD a ab --- 6.已知：115252a b ==-+，，则227a b ++的值为（ ） A.5B.6 C ．3 D ．4 7.估算50232+的值（ ） A.在4和5之间B.在5和6之间C.在6和7之间D.在7和8之间 8.有一个长、宽、高分别为5cm 、4cm 、3cm 的木箱，在它里面放入一根细木条(木条的粗细、形变忽略不计)，要求木条不能露出木箱，请你算一算，能放入的细木条的最大长度是( )A.cm 41B.cm 34C.cm 25D.cm 359.已知x ，y 是实数，且3x ＋4＋y 2－6y ＋9＝0，则xy ＝10.如果0＜a ＜a ，那么a 的取值范围是________11.10的整数部分是x ，小数部分是y ，则y （x+10）的值是______12.设4-2的整数部分为a ，小整数部分为b ，则ba 1-的值为_______ 13.如图所示，矩形内有两个相邻的正方形，面积分别为4和2，那么阴影部分的面积为___14.化简：2242242222-++++++a a a a a a 15.5710141521++++16.已知：7878+-=x ，7878-+=y ，求：yx xy y x +++2的值。
人教版九年级数学上册教案：21.2.4韦达定理
武陟县实验中学教育集团群体智慧教学活动案学 科 数学 级九级设计者苗小林 授课人：刘小娟时 间 9.7课 题 一元二次方程根与系数的关系计划学时1重 点 理解根与系数的关系及应用课 标 要 求 知道一元二次方程根与系数的关系课 时 目 标 掌握一元二次方程根与系数的关系，能够灵活解决一些简单的有关的一元二次方程问题。
引 桥 突 破 公式法的求根公式教 法 先学后用，学用结合 学 法 先学后用，学用结合教学内容 及过程群体智慧设计个性化批注一 ：温故知新：一元二次方程的一般式：(a,b,c 为常数，a≠0）一元二次方程的解法：直接开平方法， 配方法， 公式法，因式分解法一元二次方程的求根公式： (a ≠0, b2-4ac ≥0)二：探知求疑1.阅读提示（阅读教材15——16页） 小组交流重点内容和困惑。
2. 完成基训课前预习和课堂练习。
3. 学生扮演课堂练习5和课后训练2里的五个小题。
4.归纳韦达定理：通过三个提问，复习旧知，做好铺垫。
学生自主完阅读课本，动手推到公式。
总结规律，得出韦达定理。
20ax bx c ++=X=20ax bx c ++=两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比。
若ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1,x2,用式子表示你发现的规律为X1+x2 = X1x2=注意事项：应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意：（1）根的判别式，（2）二次项系数不为零，才能应用根与系数的关系。
三：巩固提高不解方程求下列方程两个根的和与积X2-3x=15 3x2+2=1-4x5x2-1=4x2+x 2x2-x+2=3x-1判断对错，如果错了，说明理由。
1) 2x2-11x+4=0两根之和11,两根之积4。
2）x2+2=0两根之和0，两根之积2。
3）x2+x+1=0两根之和-1，两根之积1。
四：探究内化已知关于的方程的一个根为，则实数的值为（）A．1B．C．2D．关于x的一元二次方程3x²-5x+ (m-1)=0，当m =___时，方程的两根为互为倒数.拓展延伸已知方程X2+kX+k+2=0的两个根是X1、X2，且X12+X22 = 4，求k的值。
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圆梦堂文化培训学校精品班教案 第 6 讲
1.根与系数的关系的猜想及证明
猜想：两根的和、两根的积与一元二次方程的系数a 、b 、c 有什么关系？
结论：=+21x x _____________，=21x x _____________。
证明猜想：一元二次方程 )0( 02≠=++a c bx ax 的求根公式：
a ac
b b 242-±-a c
a ac a ac
b b a a
c b b a ac b b x x a
b
a b a ac b b a ac b b x x a
ac
b b x a a
c b b x ==--=---⨯-+-=•∴-
=-=---+-+-=+∴---=
-+-=22
22222122212221444)4(242422242424,24
●归纳：一元二次方程根与系数的关系：（由于这是数学家韦达提出并证明了的，所以后人为了纪念就把这个公式叫做韦达定理）
即：两根之和等于方程一次项系数与二次项系数的比的相反数；两根之积等于常数项与二次项系数的比。
●注意,韦达定理使用的前提：(042
≥-ac b 且0≠a )
2.用到根与系数的关系的几种常见的求值
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
类型一：利用根的判别式判断一元二次方程根的情况
【例1】不解方程，求一元二次方程01322
=-+x x 两个根的①平方和；②倒数和。
答案：①
4
13
②3
a
c
x x a b x x x x a c bx ax =
•-=+≠=++2121212,,,)0(0则的两根为
若方程
【例2】不解方程，求下列方程两个根的和与积：
(1) 1562
=-x x ； (2) 9732
+-=x x ； (3) 2
415x x =--；
答案：（1）x 1+x 2=6， x 1x 2=-15 （2）x 1+x 2=-37， x 1x 2=3 （3）x 1+x 2=45-， x 1x 2=-4
1
【例3】求运用根与系数的关系一个一元二次方程，使它的两个根是：2
5
, 310-
答案：0505603
25
6522
=-+=-+
x x x x 或
1、设 21,x x 是方程0142
=+-x x 的两个根，则
=+21x x =21x x () 2
212
221-+=+x x x x =
()=-221x x ()2 =-214x x
=+2
11
1x x 答案：4、 1、 2x 1x 2、 14 、 X 1+X 2 、12 4
2、已知βα,是一元二次方程0252=--x x 的两个实数根，则22βαβα++的值为( D )
A ．－1
B ．9
C ．23
D ．27
3、已知关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 两根之积为12，两根的平方和为25，写出符合此条件的一
类型二：用韦达定理求参数的值
【例1】已知方程022
=+++k kx x 的两个实数根是21,x x ，且4222
1=+x x ，则k
【例2】已知关于x 的方程0)1(22
2
=+--k x k x 有两个实数根为21,x x ， （1）求k 的取值范围；
（2）若12121-=+x x x x ，求k 的值。
【例3】已知方程032
=++m x x 的两根为21,x x ，当m 为何值时，4321=-x x 。
答案：16
13-
=m
1、菱形ABCD 的边长是5，两条对角线交于O 点，且AO ，BO 的长分别是关于x 的方程
03)12(22=++-+m x m x 的根，则m 的值为( )A
A ．－3
B ．5
C ．5或－3
D ．－5或3
2、设21,x x 是一元二次方程0232
=--x x 的两个实数根，则2
2212
13x x x x ++的值为________．答案：7
3、已知方程022
=+++k kx x 的两个实数根是21,x x ，且42
221=+x x ,则k 的值为：__________ 答案：-2
4、已知关于x 的一元二次方程()02122
2
=-+++m x m x 。
(1)若该方程有两个实数根，求m 的最小整数值；
(2)若方程的两个实数根为21,x x ，且()212
2
21=+-m x x ，求m 的值.
1.已知一元二次方程的两根之和是3，两根之积是－2，则这个方程是( C ) A ．x 2＋3x －2＝0 B ．x 2＋3x ＋2＝0 C ．x 2－3x －2＝0 D ．x 2－3x ＋2＝0
2.以方程0532
=-+x x 的两个根的相反数为根的方程是（ B ） A.y 2＋3y -5=0 B. y 2－3y -5=0 C.y 2＋3y ＋5=0 D. y 2－3y ＋5=0 3.若α、β为方程2x 2-5x -1=0的两个实数根，则2235++ααββ的值为（ B 、 A ．-13
B ．12
C ．14
D ．15
4.已知：x 1，x 2是方程2x 2－2＝0的两实根，则x 12＋x 22的值为（ B ）
A ．34
-
B ．
134
C ．1
D ．9
5.已知方程2520x x -+=的两个解分别为1x 、2x ，则1212x x x x +-⋅的值为___3____．
6.若x 1，x 2是方程x 2﹣4x ﹣2020＝0的两个实数根，则代数式x 12﹣2x 1+2x 2的值等于___2028__．
7.设一元二次方程2
0(a 0)++=≠ax bx c 的两根为1x ，2x ，由求根公式1x =可推出
12b x x a +=-，12c
x x a
⋅=，我们把这个命题叫做韦达定理．设α，β是方程2530x x -+=的两根，请
解决下列问题：
（1）理解：填空：αβ+= ，⋅=αβ ；
（2）应用：求
1
1
α
β
+
的值；
（3）拓展：对于任意实数a 、b ，定义22a b a ab b =++◆．若方程(2)50x -=◆的两根记为m 、n ，求22m n +的值．
（1）5αβ+=，3=αβ；（2）115
3αβ+=；（3）2218+=m n
8.关于x 的一元二次方程0132=-++m x x 的两个实数根分别为21,x x ． （1）求m 的取值范围．
（2）若2（x 1+x 2）+ x 1x 2+10=0．求m 的值.
（1）m≤
13
4
．
（2）m=-3.
【课后作业】
1．若关于x 的一元二次方程22330x mx m m ++-+=的两根互为倒数，则m 的值等于（ B 、 A ．1
B ．2
C ．1或2
D ．0
2．若α，β是方程220200x x 的两个实数根，则22ααβ++的值是（ A ） A ．2019
B ．-2019
C ．2021-
D ．2021
3．若方程2
320x x --=的两根分别为1x 和2x ，则代数式：12
11
+x x 的值为（ A ）
A ．12-
B ．13-
C ．13
D ．23
-
4．设m 、n 是一元二次方程x 2+5x ﹣8=0的两个根，则m 2+7m+2n=（ B ） A ．-5
B ．-2
C ．2
D ．5
5．已知1x 、2x 是一元二次方程220x x -=的两个实数根，下列结论错误．．的是( D ) A ．12x x ≠
B ．21120x x -=
C ．122x x +=
D ．122x x ⋅=
6．关于x 的方程222(1)0x m x m m +-+-=有两个实数根α，β，且2212αβ+=，那么m 的值为（ A ） A ．1-
B ．4-
C ．4-或1
D ．1-或4
7. 已知关于x 的方程x 2+（2k+1）x+k 2-2=0的两实根的平方和等于11，则k 的值为___1____． 8．已知关于x 的一元二次方程()021222=+++-k k x k x . （1）若该方程有两个实数根，求k 的最大整数值．
（2）若该方程的两个实数根为21,x x ，是否存在实数k ，使得162
2
2121-=--x x x x 成立？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由．
（1）k的最大整数值是0；（2）存在，3
k=-．。