立体体积和侧面积计算中的微元法
如何利用微元法计算旋转体的体积
如何利用微元法计算旋转体的体积在考研数学中，定积分有着举足轻重的地位，其几何意义是曲边梯形面积的代数和，该思想方法为微元法，具体概括为以下四步：1分割、2近似、3求和、4取极限。
该思想方法同样适用于定积分的应用----平面图形的面积、旋转体的体积、平面曲线的弧长（数学一、二）、旋转曲面的侧面积（数学一、二）等。
由于篇幅有限，不可能一一列举每种题型计算方法，我们就其中一个应用----旋转体的体积相关考情进行分析。
该部分知识点是历年考研数学试卷的高频考点，多以解答题形式出现，比如，16、15、14、13等年份，对于个别年份，该部分考点也会以填空题的形式出现，比如，11、10年份。
有关计算旋转体体积的题目，大多需要考生自己列出相应积分式，因此务必熟记以下3个公式：（1）由连续曲线)(x f y =，直线a x =，b x =及x 轴所围曲边梯形绕x 轴旋转一周而成的立体。
该立体的体积公式为dx x f V ba ⎰=)(2π。
推广：若该曲边梯形绕0y y =旋转一周而成的立体的体积公式为dx y x f V b a ⎰-=20])([π。
（2）由连续曲线)(y x ϕ=，直线a y =，b y =及y 轴所围曲边梯形绕y 轴旋转一周而成的立体。
该立体的体积公式为dy y V ba ⎰=)(2ϕπ。
推广：若该曲边梯形绕0x x =轴旋转一周而成的立体的体积公式为dy x y V ba ⎰-=20])([ϕπ。
（3）由连续曲线)(x f y =，直线a x =，b x =及x 轴所围曲边梯形绕y 轴旋转一周而成的立体。
该立体的体积公式为dx x xf V ba ⎰=)(2π。
推广：若该曲边梯形绕0x x =轴旋转一周而成的立体的体积公式为dx x f x x V ba ⎰-=)(||20π。
注：（2）、（3）均为绕y 轴旋转体的计算方法，但是（2）适用于)(y x ϕ=的情况，即能够找到x 关于y 的解析式，（3）适用范围是找不到)(y x ϕ=的关系式，那么我们可以根据)(x f y =来列相应的体积公式。
球体被平面截下的体积-概述说明以及解释
球体被平面截下的体积-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述球体被平面截下的体积是一个有趣而又实用的几何问题。
我们常常可以在生活中看到球体被平面截下的例子，比如切割水果或者切开一个球形蛋糕等等。
研究球体被平面截下的体积不仅涉及到基本的几何知识，还涉及到数学、物理等多个学科的知识。
这个问题既有理论上的求解方法，也有实际应用上的价值。
在本文中，我们将介绍球体的基本性质，探讨平面截下球体的体积计算方法，并探讨这个问题在实际应用中的意义。
首先，我们将回顾一些基本的几何概念和公式，以便更好地理解后续的内容。
然后，我们将详细介绍球体被平面截下的体积的计算方法，包括几何推导和解析几何方法。
最后，我们将探讨这个几何问题在现实生活中的应用，比如在建筑设计、工程计算以及科学研究中的应用。
本文的目的是帮助读者全面理解球体被平面截下的体积这个复杂的几何问题，并能够运用所学知识解决实际的问题。
通过学习本文，读者将能够掌握求解球体被平面截下的体积的计算方法，了解这个问题在实际应用中的意义，以及对未来研究的展望。
在下面的章节中，我们将一步步地介绍球体被平面截下的体积的计算方法，并提供实际应用中的例子来帮助读者更好地理解和应用所学知识。
希望本文能对读者在几何学和应用数学的学习中起到积极的促进作用。
1.2文章结构文章结构部分的内容如下：1.2 文章结构本文主要分为三个部分：引言、正文和结论。
在引言中，将对本文的研究主题进行概述，介绍球体被平面截下的体积的基本背景和相关问题。
同时，还将介绍本文的目的，即通过研究球体被平面截下的体积计算方法，探讨其实际应用与意义。
在正文部分，首先会介绍球体的基本性质，包括球体的定义、特点以及基本公式。
然后，将详细说明平面截下球体的体积计算方法，包括具体的数学推导和计算过程。
此外，还会探讨不同情况下的特殊情况和计算方法，提供更全面的研究结果。
最后，在结论部分，将对本文的研究进行总结，回顾讨论的主要内容和研究成果。
第七章 微元法
二、用定积分表示量U的基本步骤:
(1)根据问题的具体情况,选取一个变量
例如x为积分变量,并确定其变化区间[a,b];
[ (2) 在区间[a,b]内任取一个小区间 x , x dx] ,
求出相应于这个小区间的部分量 U的近似值. 如果 U 能近似地表示为[a,b]上的一个连续函数 在
x 处的值 f ( x ) 与 dx 的乘积,
0
a 2 2 [2 1 4 ln(2 1 4 )] 2
微元法求体积
一、平行截面面积为已知的立体的体积 如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直 于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积 也可用定积分来计算.
o
a
b
x
设立体介于x=a,x=b之间, A( x ) 表示过点
图形的面积.
解
两曲线的交点 (0,0) (1,1) 选 x 为积分变量 x [0,1] 面积元素dA ( x x )dx
2
x y2
y x2
2 3 x 1 A 0 ( x x )dx x 2 . 3 0 3 3
1
3
1
2
例 2 计算由曲线 y 2 2 x 和直线 y x 4 所围 成的图形的面积.
a
b
x 且垂直于 x 轴
A 的截面面积， ( x ) 为x 的已知连续函数 取x为积分变量,其变化范围为[a,b].
[ x , x dx]
立体体积
体 微 元 dV A( x )dx,
x
V
b
a
A( x )dx.
例 7 一平面经过半径为 R 的圆柱体的底圆中 心，并与底面交成角 ，计算这平面截圆柱体所 得立体的体积.
立体体积和侧面积计算中的微元法
第 ７ 卷
第 ２朝
株洲师范 高等专 科 学校学报
Ｊ０ Ｕ Ｒ Ｎ Ａ Ｉ Ｏ Ｆ Ｈ Ｕ ＺＨ Ｏ ｚ Ｔ Ｅ Ａ Ｃ Ｈ Ｅ Ｒ ｓ Ｏ ＩＬ Ｅ Ｇ Ｅ Ｃ
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２０ ０ ２年 ４月
立体体 积和侧 面 积计 算 中 的微 元 法
将 区间［ 阳上 连续 的曲线 一， ｚ 绕 ｚ轴 旋Ｎ－ ＮＮ￣ Ｎ体． 旋转体 体积 为 一 ｎ， （） － 该
一 占
Ｉ， （）ｘ 体积微元ｄ ＝ ｆ（）：即把分割后的 ｚｄ ， Ｖ ￣ ｚｄ ， ｌ ｒ 小立体近似看成圆柱体 把小圆柱 ，
体 积视 体积 体 为 微元， 体侧面 旋转 积为Ａ ，ｚｄ 面 微元ｄ ＝ ， ） ｄ表 一２ Ｉ （） ， 积 ｓ Ａ （ （ 示 ｄ ｔ ａ ｏ ａ ｓ ｌ ｓｄ ｖ ｄ ｄ ｉ ｔ ｏ ｅｍｉｒ ｅｅ ｎ ｓ ｗｈ ｎ ｄ ｆｎ ｔ ｎ ｅ ｒ ｌ ｓａ ｐ ｅ ， ｔａ ｂ ｔ ｓ ａ ａ ｙ ｅ ｈ ｔｈ ｗ ｏ ｉ ｉ ｉｉ ｅ ｏ ｓ ｍ ｃ ｏ ｌｍｅ ｔ ｅ ｅ ｉｉ ｉ ｔ ｇ ａ ｐ ￣ ｄ ｄ ｎ ｅ ｉ
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微元法_精品文档
微元法1. 引言微元法是一种数学和物理学中常用的计算方法，用于求解曲线、曲面以及体积、质量、密度等相关问题。
它基于将一个复杂的形状或区域分割为无数个微小的元素，再对每个微元进行分析和计算的原理。
通过将微元的贡献累加起来，最终可以得到整体的属性或解答。
本文将介绍微元法的基本原理、应用领域以及常见的数学公式和计算方法。
2. 基本原理微元法基于微积分的概念，将一个复杂的形状或区域分割为许多无穷小的微元。
这些微元可以是线段、面积元或体积元，具体取决于问题的性质。
每个微元都具有一定的属性，如长度、面积或体积。
通过将微元的贡献进行累加，可以得到整体的属性或解答。
这是因为微元法假设微元足够小，可以近似地视为一条直线、一个平面或一个体积。
在微元法中，常用的方法包括求和、积分、微分等。
3. 应用领域微元法在各个领域中都有广泛的应用。
以下是几个常见的应用领域：3.1 物理学在物理学中，微元法常用于求解各种物理量。
例如，在力学中，可以使用微元法计算质点的质量、速度、加速度等。
在电磁学中，微元法可以用于计算电场、磁场的强度以及电势和磁势。
3.2 工程学微元法在工程学中也有广泛的应用。
例如，在结构力学中，可以使用微元法计算杆件或板件的应力、应变以及变形。
在流体力学中，微元法可以用于计算流体的速度、压力以及流量等。
3.3 经济学在经济学中，微元法被用于计算经济指标以及分析经济现象。
例如，在微观经济学中，微元法可以用于计算市场的需求曲线、供应曲线以及均衡价格和数量。
在宏观经济学中，微元法可以用于计算国民经济的总产出、总投资以及总消费等。
4. 常见公式和计算方法在微元法中，有一些常见的公式和计算方法可以用于求解问题。
下面是几个例子：4.1 长度的微元在计算曲线的长度时，可以使用以下公式：∆s = √(∆x^2 + ∆y^2 + ∆z^2)其中，∆s 表示曲线的微小长度，∆x、∆y 和∆z 分别表示曲线在 x、y 和 z 方向上的微小切线。
微元法求体积
微元法求体积
微元法：任取x,x+dx小段，绕y轴旋转，得一个空心圆柱体，沿平行于y轴剪开，得一个长方体：厚为dx,宽为f(x),长2πx(圆的周长），故dV=2πxf(x)dx。
旋转而得的立体是一个中间圆台形镂空、以x＝2为旋转轴的立体，所谓在[0,1]上取小区间[x,x+dx]，实际上是在x处取了一个厚为dx、环绕直线x＝2的圆环，该圆环的周长是2π(2-x)，高是上半圆周对应的函数减去直线对应的函数，厚度是dx，周长×高×厚度就是微元dV
最常见的换“元”技巧有如下几种
（1）“时间元”与“空间元”间的相互代换（表现时、空关系的运动问题中最为常见）；
（2）“体元”、“面元”与“线元”间的相互代换（实质上是降“维”）；（3）“线元”与“角元”间的相互代换（“元”的表现形式的转换）；（4）“孤立元”与“组合元”间的相互代换（充分利用“对称”特征）。
推导过程立体几何体积的计算方法
推导过程立体几何体积的计算方法在立体几何中，求解各种形状物体的体积是一个基本的数学问题。
本文将介绍一些常见几何体的体积计算方法，包括球体、圆柱体和长方体。
1. 球体体积的计算方法球体是一种具有无限个半径相等的点所组成的几何体，其体积的计算方法如下：首先，我们知道球体的体积公式为V = (4/3) * π * r^3，其中V表示体积，r表示球的半径。
2. 圆柱体体积的计算方法圆柱体是由两个平行且相等的圆底面和一个连接两个底面圆心的圆柱面组成的几何体，其体积的计算方法如下：首先，我们需要计算出圆柱底面的面积，即A = π * r^2，其中A表示底面面积，r表示底面圆的半径。
然后，我们需要计算出圆柱体的高度h。
最后，圆柱体的体积V = A * h，即V = π * r^2 * h。
3. 长方体体积的计算方法长方体是一种具有三对互相平行的矩形面的几何体，其体积的计算方法如下：首先，我们需要计算出长方体的三个相邻面的面积，分别是底面积A，侧面积B和前后面积C。
然后，将这三个面积相加，即可得到长方体的体积V = A + B + C。
通过以上的推导过程，我们获得了计算球体、圆柱体和长方体体积的公式。
但是，在实际的问题中，可能会遇到其他更复杂的几何体，这时我们需要根据具体情况，寻找相应的公式来计算体积。
总结：本文介绍了求解球体、圆柱体和长方体体积的计算方法，通过推导过程，我们得到了相应的公式。
这些公式在解决几何体体积问题时非常有用。
然而，稍微复杂一些的几何体可能需要更复杂的计算方法，需要根据具体情况寻找相应的公式。
最后，通过运用这些公式，我们可以准确地计算出各种形状物体的体积。
立体几何的计算总结
立体几何的计算总结立体几何是数学的一个重要分支，涉及到三维空间中的图形、体积、表面积等计算问题。
在学习立体几何的过程中，我们需要掌握一些计算方法和公式，以便解决各种几何问题。
本文将对立体几何的常见计算方法进行总结和归纳。
一、长方体的计算长方体是最简单的立体图形之一，其计算公式如下：1. 长方体的体积计算公式：长方体的体积（V）等于长（L）乘以宽（W）乘以高（H），即V = L * W * H。
其中，长、宽、高的单位需保持一致。
2. 长方体的表面积计算公式：长方体的表面积（A）等于长方体的底面积（A底）加上长方体的四个侧面积（A侧）。
A = A底 + A侧，其中 A底 = L * W，A侧 = 2 * (L * H + W * H)。
二、正方体和立方体的计算正方体和立方体是特殊的长方体，其计算公式如下：1. 正方体和立方体的体积计算公式：正方体和立方体的体积（V）等于边长（a）的立方，即V = a^3。
2. 正方体和立方体的表面积计算公式：正方体和立方体的表面积（A）等于正方体或立方体的一个面积（A面）乘以6个，即 A = A面 * 6。
A面 = a * a，其中 a为边长。
三、圆柱体的计算圆柱体是由一个矩形和两个平行圆面组成的立体图形，其计算公式如下：1. 圆柱体的体积计算公式：圆柱体的体积（V）等于底面积（A底）乘以高（H），即 V = A 底 * H。
A底= πr^2，其中 r为底面圆的半径。
2. 圆柱体的表面积计算公式：圆柱体的表面积（A）等于底面积（A底）加上两个底面和侧面的面积和（A侧）。
A = A底+ 2πrh，其中 A底= πr^2，A侧= 2πrh，r为底面圆的半径，h为圆柱体的高。
四、圆锥体的计算圆锥体是由一个圆锥面和一个底面组成的立体图形，其计算公式如下：1. 圆锥体的体积计算公式：圆锥体的体积（V）等于底面积（A底）乘以高（H）再除以3，即 V = (A底 * H) / 3。
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函数增量的近似值
函数 ( " %（ & ） 在 & & 的改变量 !( 与自变量 & 的改变量 !& 有下列关系， !( " !!& $ ’ （!& ） ， 是 !& 的高阶无穷小量， 在 && !!& 是 !( 的线性主要部分，（ ’ !& ） !!& 称为函数（ % &） 的微分 $ 由微分定义可知， 但用微分 !!& 作近似代替时， 其误差 !( 的近似值虽然有很多， 用微分近似代替 !( ， 计算非常方便 $ 必为一个比 !& 更高阶的无穷小量 $ 另外，
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收稿日期： #$$" * "" * $" 作者简介： 王名学 （")X! * ） ， 男， 湖南益阳人， 株洲师专数学系讲师 & #$
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王名学： 立体体积和侧面积计算中的微元法
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从而求出所求量 $ !# !，
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三个步骤中， 第二步是关键， 确定所求量 ! 的微元 $ # ! 表示为 # ! " （ % &） !& 的形式 ， 对自变量 & 及增量 !& 在区间 ［ & ，& $ !& ］ 求出 ! 的增量 !! 的表达式 !! " # ! $ ’ （!& ） ， 其中 ’ （!& 是 !& 的高阶无穷小， #! " （ % &） !& 为 !! 的线性主要部分 $ # ! 的表示是否正 确， 决定所求量 ! 的计算是否正确 $
（责任编辑： 曾广慈
英文译校： 文爱军）
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立体体积和侧面积计算中的微元法
作者： 作者单位： 刊名： 英文刊名： 年，卷(期)： 被引用次数： 王名学 株洲师范高等专科学校,数学系,湖南,株洲,412007 株洲师范高等专科学校学报 JOURNAL OF ZHUZHOU TEACHERS COLLEGE 2002，7(2) 0次
将区间 ［ ! ，" ］ 上连续的曲线 # O （ 绕 % 轴旋转一周得旋转体 & 该旋转体体积为 ’ O $ %） " 即把分割后的小立体近似看成圆柱体 J % ，体积微元 J ’ O"$（ % ） J %， !$（ %）
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体体积视为体积微元， 旋转体侧面积为 ( O # 面积微元 J ( O # （ $ %） J )， $ %） J（ ) J ) 表示 " （ "
第%卷 第#期 #$$# 年 ! 月
株洲师范高等专科学校学报
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立体体积和侧面积计算中的微元法
王名学 !
（株洲师范高等专科学校 数学系， 湖南 株洲 !"#$$%）
摘 要： 分析了在定积分的应用中如何确定所求量的微元 & 讨论了求旋转体体积和侧面积时， 把
! 是体积 ! 在 # 的微分， 也恰是矩形区域 上式表明 ""（ #） !# 是 !! 的线性主要部分，
在计算旋转体体积时， 分割后的微元可用圆柱 &’() 绕 # 轴旋转所成的圆柱体体积 $ 因此， 体近似代替 $
! 求旋转体的侧面积时， 区间 ［ # ，# $ !# ］ 上的弧长微分 , * % "+ $ " ’ （ 由 ! 的讨 #） !# ，
参考文献(3条) 1.沈燮昌 数学分析 1986 2.华东师大数学系 数学分析 1985 3.刘玉琏.傅沛仁 数学分析讲义 1992
相似文献(10条) 1.期刊论文 陶华.TAO Hua 微元法及其应用探讨 -常州信息职业技术学院学报2008,7(6)
在解决定积分应用问题中,微元法是一种有效的方法.从几何、物理、经济等几个方面论述了微元法及其应用,并把微元法推广到 重积分和广义积分中去.由此可见,微元法在解决某些实际问题中发挥着重要作用.
2.期刊论文 张仁华.ZHANG Ren-hua 定积分的微元法应用探析 -湖南冶金职业技术学院学报 2007,7(4)