2017年高考数学分类题库1
2017年高考数学试卷分类汇编(复数)
2017年高考数学试卷分类汇编复数北京文理相同（2）若复数（1–i ）（a +i ）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（A ）（–∞，1） （B ）（–∞，–1）（C ）（1，+∞） （D ）（–1，+∞）（2）若复数(1i)(i)a -+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（A ）(,1)-∞ （B ）(,1)-∞-（C ）(1,)+∞ （D ）(1,)-+∞全国1理3．设有下面四个命题1p ：若复数z 满足1z∈R ，则z ∈R ； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =；4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为A ．13,p pB ．14,p pC ．23,p pD ．24,p p 全国1文3．下列各式的运算结果为纯虚数的是A ．i(1+i)2B ．i 2(1-i)C ．(1+i)2D ．i(1+i)全国2理 1.31i i+=+（ ） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i - 全国2文2.（1+i ）（2+i ）=-i B. 1+3i C. 3+i D.3+3i全国3理2．设复数z 满足(1+i)z =2i ，则∣z ∣=A ．12B ．2CD ．2全国3文2．复平面内表示复数z=i(–2+i)的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 山东理（2）已知a R ∈,i 是虚数单位，若,4z a z z =⋅=，则a=（A ）1或-1 （B （C ）（D山东文（2）已知i 是虚数单位,若复数z 满足i 1i z =+,则2z =(A)-2i ( B)2i (C)-2 (D)2天津文理相同（9）已知a ∈R ，i 为虚数单位，若i 2ia -+为实数，则a 的值为 . 江苏2.已知复数z=（1+i ）（1+2i ）,其中i 是虚数单位，则z 的模是__________浙江12．已知a ，b ∈R ，2i 34i a b +=+（）（i 是虚数单位）则22a b += ，ab = 。
福建省各地2017届高三数学最新考试试题分类汇编集合与经常使用逻辑用语理
福建省各地2017届高三最新考试数学理试题分类汇编集合与经常使用逻辑用语一、集合1、（福建省2017年一般高中毕业班单科质量检查模拟）设集合}2|||{},0|{2<=<-=x x N x x x M ，则 （A ）=N M ∅ （B ）M N M =（C ）M N M =（D ）=N M R二、（福州市2017届高三3月质量检测）已知集合{}4A x x =,{}24210B y y y =+-<，则AB =（A ）∅（B ）(]7,4--（C ）(]7,4-（D ）[)4,3-3、（莆田市2017届高三3月教学质量检查）已知集合22{|650},{|log (2)}A x x x B x y x =-+≤==-，则A B =A ．(1,2)B ．[1,2)C ．(2,5]D ．[2,5]4、（泉州市2017届高三3月质量检测）已知集合11|<22,|ln 022x A x B x x ⎧⎫⎧⎫⎛⎫=≤=-≤⎨⎬⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭⎩⎭，则()R A C B =（ ）A ． ∅B ．11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦ C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．(]1,1-5、（漳州市八校2017届高三下学期2月联考）已知{}2,R y y x x M ==∈，{}221,R,R y x y x y N =+=∈∈，则M⋂N =（ ）A ．[]2,2-B ．[]0,2C ．[]0,1D ．[]1,1- 6、（漳州市第二片区2017届高三上学期第一次联考）已知集合A ＝{ x |1x －1≥1}， 集合B ＝{ x | log 2x ＜1}，则 A B ＝ ······················ （ ）A ．(－∞，2)B ．(0，1)C ．(0，2)D ．(1，2)7、（福建省“永安、连城、华安、漳平一中等”四地六校2017届高三第二次（12月）月考）设集合{}(){}()20,ln 10,M x x x N x x MN =-==-<=则[]A 0,1 (]0,1B [)01C ， (],1∞D8、（福建省八县（市）一中联考2017届高三上学期期中）设集合2{3,log }P a =，{,}Q a b =，若{0}P Q =，则PQ =学科网（ ）A.{3,0}B.{3,0,1}C.{3,0,2}D.{3,0,1,2}9、（福州市第八中学2017届高三第六次质量检查）已知全集U R =，集合{}220A x x x =--≥，{}3log 1B x x =<，则()U C A B =A ．[)2,3B ．[)1,2-C ．()0,1D ．()0,210、（福州外国语学校2017届高三适应性考试（九））已知集合{}21A x R x =∈-<<，{}220B x R x x =∈-<，那么AB =（ ）A ．()2 0-，B ．()2 1-，C ．()0 2，D ．()0 1， 11、（晋江市季延中学等四校2017届高三第二次联考）已知集合}20{<<=x x A |,}01|{2>-=x x B ，则=)(B C A R （ ）（A ）}10|{≤≤x x （B ）}21|{<≤x x （C ）}01|{≤<-x x （D ）}10|{<≤x x 12、（厦家世一中学2017届高三上学期期中考试）知集合{}{}2|20,|2,x A x x x B y y x R =+-≤==∈，则A B 等于（ ）A ．∅B ．[)1,+∞C ．(]0,2D ．(]0,113、（福建省师大附中2017届高三上学期期中考试）若集合{}|23M x x =-<<,{}2|1,N y y x x R ==+∈,则集合M N =（A ）[)1,3（B ）(-2,3)（C ）(-2,+∞)（D ）R14、（福建省霞浦第一中学2017届高三上学期期中考试）设集合A={x | y =lg （x ﹣1）}，集合2{|2}B y y x ==-+，则A∩B 等于A ．（1，2）B ．（1，2]C ．[1，2）D ．[1，2]15、（漳州市八校2017届高三上学期期末联考）若{}m A ,1,0=，02B x x {|}=<<，且{}m B A ,1=⋂，则m 的取值范围是( )A ．01(,)B ．12(,)C ．0112(,)(,) D ．02(,)参考答案一、B 二、D 3、C 4、B 五、C 六、D 7、A 八、B 九、D 10、D 1一、B 1二、D 13、A 14、B 1五、C 二、经常使用逻辑用语1、（莆田市2017届高三3月教学质量检查）设a 为实数，直线12:1,:2l ax y l x ay a +=+=，则“1a =-”是“12//l l ”的A ．充分没必要要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也必要条件2、（漳州市第二片区2017届高三上学期第一次联考）.已知a ＜0，则“ax 0＝b ”的充要条件是 （ ）A ．∃x ∈R ，12ax 2－bx ≥12ax 02－bx 0B ．∃x ∈R ，12ax 2－bx ≤12ax 02－bx 0C ．∀x ∈R ，12ax 2－bx ≤12ax 02－bx 0D ．∀x ∈R ，12ax 2－bx ≥12ax 02－bx 03、（福建省“永安、连城、华安、漳平一中等”四地六校2017届高三第二次（12月）月考）设{}n a 是公比为q 的等比数列,则“01q <<”是“{}n a 为递减数列”的（ ）A ． 充分而没必要要条件 B.必要而不充分条件 C. 既不充分也没必要要条件 D.充要条件4、（福建省八县（市）一中联考2017届高三上学期期中）下列命题中正确的是（ ）A.命题p ：“0x R ∃∈，200210x x -+<”，则命题p ⌝：x R ∀∈，2210x x -+>B ．“ln ln a b >”是“22a b >”的充要条件C.命题“若22x =，则x =x =x ≠x ≠22x ≠”D.命题p ：0x R ∃∈，001ln x x -<；命题q ：对x R ∀∈，总有20x>；则p q ∧是真命题5、（福建省八县（市）一中联考2017届高三上学期期中）设命题p ：函数2()lg(2)f x mx x m =-+-的概念域为R ；命题q ：函数21()4ln (1)2g x x x m x =+--的图象上任意一点处的切线斜率恒大于2， 若“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题，求实数m 的取值范围.六、（福州外国语学校2017届高三适应性考试（九））命题p ：实数 a b c ，，，若2b a c =+，则 a b c ，，成等差数列.命题q ：实数 a b c ，，，若2b ac =，则 a b c ，，成等比数列，下列选项正确的是（ ） A ．q ⌝为假命题 B ．p q ∧为真命题 C ．p q ⌝∨为真命题 D ．p q ∨为真命题7、（厦家世一中学2017届高三上学期期中考试）陈老师常说“不学习就没有前程”，这句话的意思是：“学习”是“有前程”的（ ）A ．必要条件B ．充分条件C ．充要条件D ．既不充分也没必要要条件8、（福建省师大附中2017届高三上学期期中考试）等比数列{}n a 中，10a >，则“13a a <”是“36a a <”的 （A ）充分没必要要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也没必要要条件9、（福建省霞浦第一中学2017届高三上学期期中考试）下列四个结论中：正确结论的个数是①若x R ∈，则tan x =3x π=的充分没必要要条件；②命题“若x ﹣sin x =0，则x=0”的逆命题为“若x ≠0，则x ﹣sin x ≠0”； ③若向量,a b 知足||||||a b a b ⋅=，则//a b 恒成立；A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个10、（福建省霞浦第一中学2017届高三上学期期中考试）设p ：关于x 的不等式a x＞1的解集是{ x |x ＜0 }；q：函数y =R ．若p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题，求实数a 的取值范围．参考答案一、A 二、C 3、C 4、D五、解：若p 为真命题，则220mx x m -+->恒成立，即220mx x m -+<恒成立．……1分当0m =时，不等式为20x -<，解得0x >，显然不成立；当0m ≠时，2(2)40m m m <⎧⎨∆=--⨯<⎩，解得1m <-. ∴若p 为真命题，则1m <-．…………4分若q 为真命题，则当1x >-时，4()12g x x m x '=+-+>，41m x x<+-，∵4113x x+-≥=，当且仅当1x =时取等号，∴3m <.…………6分 ∵“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题，∴p 真q 假或p 假q 真. ………8分若p 真q 假，则13m m <-⎧⎨≥⎩，∴m ∈∅；若p 假q 真，则13m m ≥-⎧⎨<⎩，∴13m -≤<.综上所述，实数m 得取值范围为[1,3)m ∈-.………10分 六、D7、A 八、B 九、A10、解：∵关于x 的不等式a x ＞1的解集是{ x |x ＜0 }，∴0＜a ＜1；故命题p 为真时，0＜a ＜1；∵函数y =R ， ∴20140a a >⎧⎨∆=-≤⎩⇒ 12a ≥， 由复合命题真值表知：若p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题，则命题p 、q 一真一假， 当p 真q 假时，则0112a a <<⎧⎪⎨<⎪⎩⇒ 102a <<；当p 假q 真时，则1012a a a ≥≤⎧⎪⎨≥⎪⎩或⇒ 1a ≥， 综上实数a 的取值范围是[)1(0,)1,2+∞．。
2017年高考真题分类汇编
2017年高考真题分类汇编（理数）：专题3 三角与向量一、单选题（共8题；共16分）1、（2017•山东）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC为锐角三角形，且满足sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC，则下列等式成立的是（）A、a=2bB、b=2aC、A=2BD、B=2A2、（2017·天津）设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜x．若f（）=2，f（）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（）A、ω= ，φ=B、ω= ，φ=﹣C、ω= ，φ=﹣D、ω= ，φ=3、（2017•北京卷）设，为非零向量，则“存在负数λ，使得=λ ”是•＜0”的（）A、充分而不必要条件B、必要而不充分条件C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件4、（2017•新课标Ⅰ卷）已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+ ），则下面结论正确的是（）A、把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B、把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C、把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D、把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C25、（2017•新课标Ⅲ）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD 相切的圆上．若=λ +μ ，则λ+μ的最大值为（）A、3B、2C、D、26、（2017•新课标Ⅲ）设函数f（x）=cos（x+ ），则下列结论错误的是（）A、f（x）的一个周期为﹣2πB、y=f（x）的图象关于直线x= 对称C、f（x+π）的一个零点为x=D、f（x）在（，π）单调递减7、（2017•浙江）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC 与BD交于点O，记I1= •，I2= •，I3= •，则（）A、I1＜I2＜I3B、I1＜I3＜I2C、I3＜I1＜I2D、I2＜I1＜I38、（2017•新课标Ⅱ）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则•（+ ）的最小值是（）A、﹣2B、﹣C、﹣D、﹣1二、填空题（共9题；共10分）9、（2017·浙江）我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度，祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6，S6=________．10、（2017•江苏）若tan（α﹣）= ．则tanα=________．11、（2017•山东）已知，是互相垂直的单位向量，若﹣与+λ的夹角为60°，则实数λ的值是________．12、（2017·天津）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若=2 ，=λ﹣（λ∈R），且=﹣4，则λ的值为________．13、（2017•浙江）已知△ABC，AB=AC=4，BC=2，点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则△BDC的面积是________，com∠BDC=________．14、（2017•北京卷）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα= ，则cos（α﹣β）=________．15、（2017•江苏）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tanα=7，与的夹角为45°．若=m +n （m，n∈R），则m+n=________．16、（2017•新课标Ⅰ卷）已知向量，的夹角为60°，| |=2，| |=1，则| +2 |=________．17、（2017•新课标Ⅱ）函数f（x）=sin2x+ cosx﹣（x∈[0，]）的最大值是________．三、解答题（共10题；共57分）18、（2017•山东）设函数f（x）=sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣），其中0＜ω＜3，已知f（）=0．（12分）（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在[﹣，]上的最小值．19、（2017·天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a=5，c=6，sinB= ．（Ⅰ）求b和sinA的值；（Ⅱ）求sin（2A+ ）的值．20、（2017•浙江）已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣2 sinx cosx（x∈R）．（Ⅰ）求f（）的值．（Ⅱ）求f（x）的最小正周期及单调递增区间．21、（2017•浙江）已知向量、满足| |=1，| |=2，则| + |+| ﹣|的最小值是________，最大值是________．22、（2017•北京卷）在△ABC中，∠A=60°，c= a．（13分）(1)求sinC的值；(2)若a=7，求△ABC的面积．23、（2017•江苏）已知向量=（cosx，sinx），=（3，﹣），x∈[0，π]．（Ⅰ）若∥，求x的值；（Ⅱ）记f（x）= ，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．24、（2017•新课标Ⅰ卷）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（12分）(1)求sinBsinC；(2)若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．26、（2017•新课标Ⅱ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）=8sin2．（Ⅰ）求cosB；（Ⅱ）若a+c=6，△ABC面积为2，求b．27、（2017•新课标Ⅲ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+ cosA=0，a=2 ，b=2．（Ⅰ）求c；（Ⅱ）设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．答案解析部分一、单选题1、【答案】A【考点】两角和与差的正弦函数，正弦定理，三角形中的几何计算【解析】【解答】解：在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+sin（A+C）=sinAcosC+sinB，可得：2sinBcosC=sinAcosC，因为△ABC为锐角三角形，所以2sinB=sinA，由正弦定理可得：2b=a．故选：A．【分析】利用两角和与差的三角函数化简等式右侧，然后化简通过正弦定理推出结果即可．2、【答案】A【考点】三角函数的周期性及其求法，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式【解析】【解答】解：由f（x）的最小正周期大于2π，得，又f（）=2，f（）=0，得，∴T=3π，则，即．∴f（x）=2sin（ωx+φ）=2sin（x+φ），由f（）= ，得sin（φ+ ）=1．∴φ+ = ，k∈Z．取k=0，得φ= ＜π．∴，φ= ．故选：A．【分析】由题意求得，再由周期公式求得ω，最后由若f（）=2求得φ值．3、【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断，向量数乘的运算及其几何意义，平面向量数量积的性质及其运算律【解析】【解答】解：，为非零向量，存在负数λ，使得=λ ，则向量，共线且方向相反，可得•＜0．反之不成立，非零向量，的夹角为钝角，满足•＜0，而=λ 不成立．∴，为非零向量，则“存在负数λ，使得=λ ”是•＜0”的充分不必要条件．故选：A．【分析】，为非零向量，存在负数λ，使得=λ ，则向量，共线且方向相反，可得•＜0．反之不成立，非零向量，的夹角为钝角，满足•＜0，而=λ 不成立．即可判断出结论．4、【答案】D【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】【解答】解：把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x 图象，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到函数y=cos2（x﹣）=cos（2x﹣）=sin（2x+ ）的图象，即曲线C2，故选：D．【分析】利用三角函数的伸缩变换以及平移变换转化求解即可．5、【答案】A【考点】向量在几何中的应用【解析】【解答】解：如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，则A（0，0），B（1，0），D（0，2），C（1，2），∵动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，设圆的半径为r，∵BC=2，CD=1，∴BD= =∴BC•CD= BD•r，∴r= ，∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2= ，设点P的坐标为（cosθ+1，sinθ+2），∵=λ +μ ，∴（cosθ+1，sinθ﹣2）=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ），∴cosθ+1=λ，sinθ+2=2μ，∴λ+μ= cosθ+ sinθ+2=sin（θ+φ）+2，其中tanφ=2，∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，∴1≤λ+μ≤3，故λ+μ的最大值为3，故选：A【分析】如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，先求出圆的标准方程，再设点P的坐标为（cosθ+1，sinθ+2），根据=λ +μ ，求出λ，μ，根据三角函数的性质即可求出最值．6、【答案】D【考点】三角函数的周期性及其求法，余弦函数的图象，余弦函数的单调性，余弦函数的对称性【解析】【解答】解：A．函数的周期为2kπ，当k=﹣1时，周期T=﹣2π，故A正确，B．当x= 时，cos（x+ ）=cos（+ ）=cos =cos3π=﹣1为最小值，此时y=f（x）的图象关于直线x= 对称，故B正确，C当x= 时，f（+π）=cos（+π+ ）=cos =0，则f（x+π）的一个零点为x= ，故C 正确，D．当＜x＜π时，＜x+ ＜，此时余弦函数不是单调函数，故D错误，故选：D【分析】根据三角函数的图象和性质分别进行判断即可．7、【答案】C【考点】平面向量数量积的运算【解析】【解答】解：∵AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，∴AC=2 ，∴∠AOB=∠COD＞90°，由图象知OA＜OC，OB＜OD，∴0＞•＞•，•＞0，即I3＜I1＜I2，故选：C．【分析】根据向量数量积的定义结合图象边角关系进行判断即可．8、【答案】B【考点】平面向量数量积的运算【解析】【解答】解：建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点，则A（0，），B（﹣1，0），C（1，0），设P（x，y），则=（﹣x，﹣y），=（﹣1﹣x，﹣y），=（1﹣x，﹣y），则•（+ ）=2x2﹣2 y+2y2=2[x2+（y﹣）2﹣]∴当x=0，y= 时，取得最小值2×（﹣）=﹣，故选：B【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．二、填空题9、【答案】【考点】模拟方法估计概率【解析】【解答】解：如图所示，单位圆的半径为1，则其内接正六边形ABCDEF中，△AOB是边长为1的正三角形，所以正六边形ABCDEF的面积为S6=6× ×1×1×sin60°= ．故答案为：．【分析】根据题意画出图形，结合图形求出单位圆的内接正六边形的面积．10、【答案】【考点】两角和与差的正切函数【解析】【解答】解：∵tan（α﹣）= = =∴6tanα﹣6=tanα+1，解得tanα= ，故答案为：．【分析】直接根据两角差的正切公式计算即可11、【答案】【考点】平面向量数量积的运算【解析】【解答】解：，是互相垂直的单位向量，∴| |=| |=1，且•=0；又﹣与+λ 的夹角为60°，∴（﹣）•（+λ ）=| ﹣|×| +λ |×cos60°，即+（﹣1）•﹣λ = × × ，化简得﹣λ= × × ，即﹣λ= ，解得λ= ．故答案为：．【分析】根据平面向量的数量积运算与单位向量的定义，列出方程解方程即可求出λ的值．12、【答案】【考点】向量的加法及其几何意义，向量的减法及其几何意义，向量数乘的运算及其几何意义，数量积的坐标表达式，平面向量数量积的运算【解析】【解答】解：如图所示，△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2，=2 ，∴= += += + （﹣）= + ，又=λ ﹣（λ∈R），∴=（+ ）•（λ ﹣）=（λ﹣）•﹣+ λ=（λ﹣）×3×2×cos60°﹣×32+ λ×22=﹣4，∴λ=1，解得λ= ．故答案为：．【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用、表示出，再根据平面向量的数量积列出方程求出λ的值．13、【答案】；【考点】二倍角的余弦，三角形中的几何计算【解析】【解答】解：如图，取BC得中点E，∵AB=AC=4，BC=2，∴BE= BC=1，AE⊥BC，∴AE= = ，∴S△ABC= BC•AE= ×2× = ，∵BD=2，∴S△BDC= S△ABC= ，∵BC=BD=2，∴∠BDC=∠BCD，∴∠ABE=2∠BDC在Rt△ABE中，∵cos∠ABE= = ，∴cos∠ABE=2cos2∠BDC﹣1= ，∴cos∠BDC= ，故答案为：，【分析】如图，取BC得中点E，根据勾股定理求出AE，再求出S△ABC，再根据S△BDC= S△ABC 即可求出，根据等腰三角形的性质和二倍角公式即可求出14、【答案】﹣【考点】同角三角函数基本关系的运用，运用诱导公式化简求值，两角和与差的余弦函数【解析】【解答】解：方法一：∵角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，∴sinα=sinβ= ，cosα=﹣cosβ，∴cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=﹣cos2α+sin2α=2sin2α﹣1= ﹣1=﹣方法二：∵sinα= ，当α在第一象限时，cosα= ，∵α，β角的终边关于y轴对称，∴β在第二象限时，sinβ=sinα= ，cosβ=﹣cosα=﹣，∴cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=﹣× + × =﹣：∵sinα= ，当α在第二象限时，cosα=﹣，∵α，β角的终边关于y轴对称，∴β在第一象限时，sinβ=sinα= ，cosβ=﹣cosα= ，∴cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=﹣× + × =﹣综上所述cos（α﹣β）=﹣，故答案为：﹣【分析】方法一：根据教的对称得到sinα=sinβ= ，cosα=﹣cosβ，以及两角差的余弦公式即可求出方法二：分α在第一象限，或第二象限，根据同角的三角函数的关系以及两角差的余弦公式即可求出15、【答案】3【考点】平面向量的基本定理及其意义，同角三角函数间的基本关系，两角和与差的余弦函数，两角和与差的正弦函数【解析】【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．由与的夹角为α，且tanα=7．∴cosα= ，sinα= ．∴C ．cos（α+45°）= （cosα﹣sinα）= ．sin（α+45°）= （sinα+cosα）= ．∴B ．∵=m +n （m，n∈R），∴=m﹣n，=0+ n，解得n= ，m= ．则m+n=3．故答案为：3．【分析】如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．由与的夹角为α，且tanα=7．可得cosα= ，sinα= ．C ．可得cos（α+45°）= ．sin（α+45°）= ．B ．利用=m +n （m，n∈R），即可得出．16、【答案】【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【解析】【解答】解：∵向量，的夹角为60°，且| |=2，| |=1，∴= +4 •+4=22+4×2×1×cos60°+4×12=12，∴| +2 |=2 ．故答案为：2 ．【分析】根据平面向量的数量积求出模长即可．17、【答案】1【考点】二次函数在闭区间上的最值，同角三角函数间的基本关系，三角函数的最值【解析】【解答】解：f（x）=sin2x+ cosx﹣=1﹣cos2x+ cosx﹣，令cosx=t且t∈[0，1]，则f（t）=﹣t2+ + =﹣（t﹣）2+1，当t= 时，f（t）max=1，即f（x）的最大值为1，故答案为：1【分析】同角的三角函数的关系以及二次函数的性质即可求出．三、解答题18、【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）=sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣）=sinωxcos ﹣cosωxsin ﹣sin（﹣ωx）= sinωx﹣cosωx= sin（ωx﹣），又f（）= sin（ω﹣）=0，∴ω﹣=kπ，k∈Z，解得ω=6k+2，又0＜ω＜3，∴ω=2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）= sin（2x﹣），将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y= sin（x ﹣）的图象；再将得到的图象向左平移个单位，得到y= sin（x+ ﹣）的图象，∴函数y=g（x）= sin（x﹣）；当x∈[﹣，]时，x﹣∈[﹣，]，∴sin（x﹣）∈[﹣，1]，∴当x=﹣时，g（x）取得最小值是﹣× =﹣．【考点】运用诱导公式化简求值，两角和与差的正弦函数，正弦函数的定义域和值域，函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换【解析】【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化函数f（x）为正弦型函数，根据f（）=0求出ω的值；（Ⅱ）写出f（x）解析式，利用平移法则写出g（x）的解析式，求出x∈[﹣，]时g（x）的最小值．19、【答案】解：（Ⅰ）在△ABC中，∵a＞b，故由sinB= ，可得cosB= ．由已知及余弦定理，有=13，∴b= ．由正弦定理，得sinA= ．∴b= ，sinA= ；（Ⅱ）由（Ⅰ）及a＜c，得cosA= ，∴sin2A=2sinAcosA= ，cos2A=1﹣2sin2A=﹣．故sin（2A+ ）= = ．【考点】同角三角函数间的基本关系，两角和与差的正弦函数，正弦定理，余弦定理，三角形中的几何计算【解析】【分析】（Ⅰ）由已知结合同角三角函数基本关系式求得cosB，再由余弦定理求得b，利用正弦定理求得sinA；（Ⅱ）由同角三角函数基本关系式求得cosA，再由倍角公式求得sin2A，cos2A，展开两角和的正弦得答案．20、【答案】解：∵函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣2 sinx cosx=﹣sin2x﹣cos2x=2sin（2x+ ）（Ⅰ）f（）=2sin（2×+ ）=2sin =2，（Ⅱ）∵ω=2，故T=π，即f（x）的最小正周期为π，由2x+ ∈[﹣+2kπ，+2kπ]，k∈Z得：x∈[﹣+kπ，﹣+kπ]，k∈Z，故f（x）的单调递增区间为[﹣+kπ，﹣+kπ]，k∈Z．【考点】复合函数的单调性，三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的化简求值，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的单调性【解析】【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数的解析式，（Ⅰ）代入可得：f（）的值．（Ⅱ）根据正弦型函数的图象和性质，可得f（x）的最小正周期及单调递增区间21、【答案】4；【考点】函数的最值及其几何意义，向量的模，余弦定理，三角函数的最值【解析】【解答】解：记∠AOB=α，则0≤α≤π，如图，由余弦定理可得：| + |= ，| ﹣|= ，令x= ，y= ，则x2+y2=10（x、y≥1），其图象为一段圆弧MN，如图，令z=x+y，则y=﹣x+z，则直线y=﹣x+z过M、N时z最小为z min=1+3=3+1=4，当直线y=﹣x+z与圆弧MN相切时z最大，由平面几何知识易知z max即为原点到切线的距离的倍，也就是圆弧MN所在圆的半径的倍，所以z max= × = ．综上所述，| + |+| ﹣|的最小值是4，最大值是．故答案为：4、．【分析】通过记∠AOB=α（0≤α≤π），利用余弦定理可可知| + |= 、| ﹣|= ，进而换元，转化为线性规划问题，计算即得结论．22、【答案】（1）解：∠A=60°，c= a，由正弦定理可得sinC= sinA= × = ，（2）解：a=7，则c=3，∴C＜A，由（1）可得cosC= ，∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC= × + × = ，∴S△ABC= acsinB= ×7×3× =6 ．【考点】同角三角函数间的基本关系，两角和与差的正弦函数，正弦定理，三角形中的几何计算【解析】【分析】（1.）根据正弦定理即可求出答案，（2.）根据同角的三角函数的关系求出cosC，再根据两角和正弦公式求出sinB，根据面积公式计算即可．23、【答案】解：（Ⅰ）设玻璃棒在CC1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，在平面ACM中，过N作NP∥MC，交AC于点P，∵ABCD﹣A1B1C1D1为正四棱柱，∴CC1⊥平面ABCD，又∵AC⊂平面ABCD，∴CC1⊥AC，∴NP⊥AC，∴NP=12cm，且AM2=AC2+MC2，解得MC=30cm，∵NP∥MC，∴△ANP∽△AMC，∴= ，，得AN=16cm．∴玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm．（Ⅱ）设玻璃棒在GG1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，在平面E1EGG1中，过点N作NP⊥EG，交EG于点P，过点E作EQ⊥E1G1，交E1G1于点Q，∵EFGH﹣E1F1G1H1为正四棱台，∴EE1=GG1，EG∥E1G1，EG≠E1G1，∴EE1G1G为等腰梯形，画出平面E1EGG1的平面图，∵E1G1=62cm，EG=14cm，EQ=32cm，NP=12cm，∴E1Q=24cm，由勾股定理得：E1E=40cm，∴sin∠EE1G1= ，sin∠EGM=sin∠EE1G1= ，cos ，根据正弦定理得：= ，∴sin ，cos ，∴sin∠GEM=sin（∠EGM+∠EMG）=sin∠EGMcos∠EMG+cos∠EGMsin∠EMG= ，∴EN= = =20cm．∴玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm．【考点】正弦定理，棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面垂直的判定，直线与平面垂直的性质【解析】【分析】（Ⅰ）设玻璃棒在CC1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，过N作NP∥MC，交AC于点P，推导出CC1⊥平面ABCD，CC1⊥AC，NP⊥AC，求出MC=30cm，推导出△ANP∽△AMC，由此能出玻璃棒l没入水中部分的长度．（Ⅱ）设玻璃棒在GG1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，过点N作NP⊥EG，交EG于点P，过点E作EQ⊥E1G1，交E1G1于点Q，推导出EE1G1G为等腰梯形，求出E1Q=24cm，E1E=40cm，由正弦定理求出sin∠GEM= ，由此能求出玻璃棒l没入水中部分的长度．24、【答案】解：（Ⅰ）∵=（cosx，sinx），=（3，﹣），∥，∴﹣cosx+3sinx=0，∴tanx= ，∵x∈[0，π]，∴x= ，（Ⅱ）f（x）= =3cosx﹣sinx=2 （cosx﹣sinx）=2 cos（x+ ），∵x∈[0，π]，∴x+ ∈[ ，]，∴﹣1≤cos（x+ ）≤，当x=0时，f（x）有最大值，最大值3，当x= 时，f（x）有最小值，最大值﹣2【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示，平面向量数量积的运算，同角三角函数间的基本关系，三角函数中的恒等变换应用，三角函数的最值【解析】【分析】（Ⅰ）根据向量的平行即可得到tanx= ，问题得以解决，（Ⅱ）根据向量的数量积和两角和余弦公式和余弦函数的性质即可求出25、【答案】（1）解：由三角形的面积公式可得S△ABC= acsinB= ，∴3csinBsinA=2a，由正弦定理可得3sinCsinBsinA=2sinA，∵sinA≠0，∴sinBsinC= ；（2）解：∵6cosBcosC=1，∴cosBcosC= ，∴cosBcosC﹣sinBsinC= ﹣=﹣，∴cos（B+C）=﹣，∴cosA= ，∵0＜A＜π，∴A= ，∵= = =2R= =2 ，∴sinBsinC= •= = = ，∴bc=8，∵a2=b2+c2﹣2bccosA，∴b2+c2﹣bc=9，∴（b+c）2=9+3cb=9+24=33，∴b+c=∴周长a+b+c=3+ ．【考点】两角和与差的余弦函数，正弦定理，余弦定理，三角形中的几何计算【解析】【分析】（1.）根据三角形面积公式和正弦定理可得答案，（2.）根据两角余弦公式可得cosA= ，即可求出A= ，再根据正弦定理可得bc=8，根据余弦定理即可求出b+c，问题得以解决．26、【答案】解：（Ⅰ）sin（A+C）=8sin2，∴sinB=4（1﹣cosB），∵sin2B+cos2B=1，∴16（1﹣cosB）2+cos2B=1，∴（17cosB﹣15）（cosB﹣1）=0，∴cosB= ；（Ⅱ）由（1）可知sinB= ，∵S△ABC= ac•sinB=2，∴ac= ，∴b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣2× ×=a2+c2﹣15=（a+c）2﹣2ac﹣15=36﹣17﹣15=4，∴b=2．【考点】同角三角函数间的基本关系，运用诱导公式化简求值，二倍角的正弦，余弦定理，三角形中的几何计算【解析】【分析】（Ⅰ）利用三角形的内角和定理可知A+C=π﹣B，再利用诱导公式化简sin（A+C），利用降幂公式化简8sin2，结合sin2B+cos2B=1，求出cosB，（Ⅱ）由（1）可知sinB= ，利用勾面积公式求出ac，再利用余弦定理即可求出b．27、【答案】解：（Ⅰ）∵sinA+ cosA=0，∴tanA= ，∵0＜A＜π，∴A= ，由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA，即28=4+c2﹣2×2c×（﹣），即c2+2c﹣24=0，解得c=﹣6（舍去）或c=4，（Ⅱ）∵c2=b2+a2﹣2abcosC，∴16=28+4﹣2×2 ×2×cosC，∴cosC= ，∴sinC= ，∴tanC=在Rt△ACD中，tanC= ，∴AD= ，∴S△ACD= AC•AD= ×2× = ，∵S△ABC= AB•AC•sin∠BAD= ×4×2× =2 ，∴S△ABD=S△ABC﹣S△ADC=2 ﹣=【考点】同角三角函数基本关系的运用，余弦定理的应用，三角形中的几何计算【解析】【分析】（Ⅰ）先根据同角的三角函数的关系求出A，再根据余弦定理即可求出，（Ⅱ）先根据夹角求出cosC，求出AD的长，再求出△ABC和△ADC的面积，即可求出△ABD的面积．。
2017年高考全国卷数学分类汇编(三角与向量)
2017年高考数学全国卷分类汇编三角与向量全国1理（2小1大）9．已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是 A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2 13．已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2 b |= .17．（12分） △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为23sin a A（1）求sin B sin C ;（2）若6cos B cos C =1，a =3，求△ABC 的周长.全国1文（4小）8．函数sin21cos x y x=-的部分图像大致为11．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 。
已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c 2，则C =A ．π12B ．π6C ．π4D ．π313．已知向量a =（–1，2），b =（m ，1）.若向量a +b 与a 垂直，则m =______________.15．已知π(0)2a ∈，,tan α=2，则πcos ()4α-=__________。
全国2理（2小1大）12.已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（ ）A.2-B.32-C. 43- D.1-14.函数()23sin 4f x x x =-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是 ． 17.（12分）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2sin()8sin 2B AC +=． (1)求cos B(2)若6a c += , ABC ∆面积为2,求.b 全国2文（4小）3.函数()f x =πsin （2x+）3的最小正周期为A.4πB.2πC. πD.2π 4.设非零向量a ，b 满足+=-b b a a 则 A a ⊥b B. =b a C. a ∥b D. >b a13.函数()cos sin =2+f x x x 的最大值为 .16.△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若2b cosB=a cosC+c cosA,则B=全国3理（2小1大）6．设函数f (x )=cos(x +3π)，则下列结论错误的是 A ．f (x )的一个周期为−2π B ．y =f (x )的图像关于直线x =83π对称 C ．f (x +π)的一个零点为x =6π D ．f (x )在(2π,π)单调递减 12．在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP =λ AB +μAD ，则λ+μ的最大值为A ．3B ．22C ．5D ．217．（12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A +3cos A =0，a =27,b =2．（1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD ⊥ AC,求△ABD 的面积．全国3文（4小）4．已知4sin cos 3αα-=，则sin 2α= A ．79- B ．29- C ． 29 D ．796．函数f (x )=15sin(x +3π)+cos(x −6π)的最大值为 A ．65B ．1C ．35D ．157．函数y =1+x +2sin x x 的部分图像大致为 A ． B ．C ．D ．13．已知向量(2,3),(3,)a b m =-=，且a ⊥b ，则m = .15．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 。
2017年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(08三角函数三角恒等变换)
2017年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(08三角函数三角恒等变换)一、选择题【解析】由题意知，函数 y为奇函数，故排除 1 - cos xX=1时，y 匹乙.0,故排除A •故选c .1—cos22. (2017全国新课标I 理)已知曲线C i ： y=cos x , C 2： y=sin (2x+ 2n),则下面结论正确的是 ()3A .把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移丄个单位长6度，得到曲线C 2B .把C 1上各点的横坐标伸长到原来的 2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移n个单位12长度，得到曲线C 2C . 把C 1上各点的横坐标缩短到原来的1倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移丄个单位长26度，得到曲线C 2D .把C 1上各点的横坐标缩短到原来的 1—倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移n」个单位212长度，得到曲线C 2【答案】D 【解析】因为C i ,C 2函数名不同，所以先将C 2利用诱导公式转化成与C i 相同的函数名，则2 n 2 n n nC 2 : y =sin(2x ) = cos(2x ) =cos(2x ),则由G 上各点的横坐标缩短到原来的3 3 2 61 n—倍变为y 二cos2x ，再将曲线向左平移 一个单位长度得到 C 2，故选D. 2 12,n3. (2017全国新课标n 文) 函数f(x)二sin(2x 3)的最小正周期为()3A . 4 nB . 2 nC .冗nD . 一2【答案】CB ；当X = n 寸，y = 0,故排除D ;当sin2x【解析】由题意T2nn,故选C.4.（2017全国新课标川文）已知si -cos：【答案】(sina -COSot sin2： =2sin : cos：-1所以选A.【考点】二倍角正弦公式【名师点睛】应用三角公式解决问题的三个变换角度（1）变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”⑵变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幕与降幕”等•（3）变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有: 常值代换”、逆用变用公式”、通分约分”、分解与组合”、配方与平方”等•1 n n函数f(x) si n(x^—) • cos(x-一)的最大值为5 3 6则：叫工+节+血己+丁Ag血i时訂，固数的最大值为2・所以选A.【考点】三角函数性质【名师点睛】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为y =Asin（」x •• B的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征.设函数f（x^cos（x n，则下列结论错误的是（3【答案】【解析】函数 f x = cos x n的图象可由3y =cosx向左平移n个单位得到，34一，贝y sin 2：=A.2C. —9D.【解析】5. （2017全国新课标川文）B. 1C.D. 【答案】A【解析】由诱导公式可得:n；71.X——= cos=sm x+ —1 6丿.2 1 3丿I 3 J（2017全国新课标皿理）C. f（x）的一个周期为-2n B. y = f （x）的图像关于直线f（X •二）的一个零点为X = n6D. f（x）在（:冗）单调递减537. (2017 山东文) 已知 COSX,则 COS2x=()1141 1A.-B.—C. ———D.4 488【答案】D 【解析】-1 故选D.【考点】二倍角公式【名师点睛】（1）三角函数式的化简与求值要遵循 三看”原则,一看角，二看名，三看式子结构与特 征.⑵三角函数式化简与求值要注意观察条件中角之间的联系 （和、差、倍、互余、互补等 ），寻找式子和三角函数公式之间的共同点.8. （2017山东文）函数y 二.3sin 2x cos2x 最小正周期为（）n2 n亠A. —B. —C. nD. 2 n 2 3【答案】C【解析】试题分析:因为＞ =-J3 sin 2x+cos2x = 2 sin ； 2x-i-—'，所臥其周期T = 一 =n 啟选C.I 2丿2【考点】三角 变换及三角函数的性质【名师点睛】求三角函数周期的方法：①利用周期函数的定义•②利用公式：y = Asin （和y2 n n=A COS （3X + （f ）的最小正周期为 ；y =ta n （3x+$）的最小正周期为 .③对于形如 y =asin • 'X - bcos x 的函数，一般先把其化为 y = a 2 b 2 sin x :的形式再求周期.9. (2017 天津文)设函数 f (x) =2sin( x ), x R ，其中• ■ • 0,|「n .若5 n 11 nf (——)=2, f( ---- )=0,且f (x)的最小正周期大于 2 n ,则()8 82・. n 2・. 11 n11 n 7n (A )^=—甲=— (B)^=- W = — ------------------------ ( C)国=一甲=— ---------- (D)国=一甲=——3’123’123’243'24D 选项错误，故选D.试题分析:由cosx = |得口2* 2 0— 1 = 2看;【答案】A【解析】试题分析:因为条件给出周期大于m 尹—討討吟 八手亠以亏再很据【考点】三角函数的性质【名师点睛】本题考查了 y 二As in :的解析式，和三角函数的图象和性质，本题叙述方式 新颖，是一道考查能力的好题， 本题可以直接求解， 也可代入选项，逐一考查所给选项：当x =8时，2 5一 JI JI■ = _ 2 5 二 1仁 ，满足题意,JiZ —------------------，不合题意，B 选项错误3 8 12 2381221 5 二 11 二 江X，不合题意，C 选项错误；38 24 41 5 - 7 -11兀 2 11二JI 一 + =，满足题意；当x 时， ，满足题意； 3 8 24 2 8 3 8 121 11二 718二A 选项• -X-+— , 不合题意，D 选项错误•本题选择 38 24 2424 【答案】【名师点睛】有关 y =Asin ⑺）问题，一种为提供函数图象求解析式或某参数的范围，一般11先根据图象的最高点或最低点确定A ，再根据周期或1周期或1周期求出「，最后再利用最高2 4点或最低点坐标满足解析式，求出满足条件的 「值，另一种时根据题目用文字形容的函数图象特点，如对称轴或曲线经过的点的坐标， 根据题意自己画出图象， 再寻求待定的参变量， 题型很活,求「或「的值或最值或范围等•2 5 71一江一JT+® 二一疔=>c?= 3 8 2 7112段二召成立, 1 ■故选A.10.（ 2017 天津理）设函数 f （x ）=2s in C ，x •「），x ・ R ， 其中「。
2017年高考数学题分类汇编(17)推理与证明
2017年全国各地高考数学真题分章节分类汇编第17部分:推理与证明一、填空题： 1．（2010年高考陕西卷理科12）观察下列等式：,104321,6321,321233332333233=+++=++=+，根据上述规律，第五个等式．．．．．为____________.【解析】（方法一）∵所给等式左边的底数依次分别为2,1；3,2,1； ;4,3,2,1，右边的底数依次分别为 ,10,6,3（注意：这里1046,633=+=+），∴由底数内在规律可知：第五个等式左边的底数为6,5,4,3,2,1，右边的底数为216510=++.又左边为立方和，右边为平方的形式，故第五个等式为233333321654321=+++++.（方法二）∵易知第五个等式的左边为333333654321+++++，且化简后等于441，而221441=，故易知第五个等式为233333321654321=+++++.二、解答题：1.(2010年高考数学湖北卷理科20） (本小题满分13分)已知数列{}n a 满足: 112a =, ()()11312111n n n n a a a a ++++=--,()101nn n a a+≥；数列{}nb 满足：nb=21n a +-2n a （n ≥1）. (Ⅰ)求数列{}na ，{}nb 的通项公式;(Ⅱ)证明:数列{}nb 中的任意三项不可能成等差数列.2. （22）（2010年高考全国卷I理科22）(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答．．．．．．．无效．．）已知数列{}n a 中，1111,n na a c a +==-. （Ⅰ）设51,22n n c b a ==-，求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求使不等式13n n a a +<<成立的c 的取值范围 .【命题意图】本小题主要考查数列的通项公式、等比数列的定义、递推数列、不等式等基础知识和基本技能，同时考查分析、归纳、探究和推理论证问题的能力,在解题过程中也渗透了对函数与方程思想、化归与转化思想的考查. 【解析】（Ⅱ）12211,1, 2.a a c a a c ==->>由得 用数学归纳法证明：当2c >时1n n a a +<. （ⅰ）当1n =时，2111a c a a =->，命题成立；3．（2010年高考四川卷理科22）（本小题满分14分）设11x xa f (x )a +=-（0a >且1a ≠），g (x )是f (x )的反函数.（Ⅰ）设关于x 的方程求217a tlog g(x )(x )(x )=--在区间[2，6]上有实数解，求t 的取值范围；（Ⅱ）当a ＝e （e 为自然对数的底数）时，证明：2221nk g(k )n(n )=>+∑；（Ⅲ）当0＜a ≤12时，试比较1nk f (k )n=∣-∣∑与4的大小，并说明理由.4．（2010年高考江苏卷试题23）（本小题满分10分）已知△ABC 的三边长都是有理数。
2017年高考真题分类汇编(理
2017年高考真题分类汇编（理数）：专题2 导数一、单选题（共3题；共6分）1、（2017•浙江）函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，则函数y=f（x）的图象可能是（）A、B、C、D、2、（2017•新课标Ⅱ）若x=﹣2是函数f（x）=（x2+ax﹣1）ex﹣1的极值点，则f（x）的极小值为（）A、﹣1B、﹣2e﹣3C、5e﹣3D、13.二、解答题（共8题；共50分）4、12分）（2017•衡水金卷二模）设函数f（x）=2lnx+x2﹣2ax（a＞0）．（Ⅰ）若函数f（x）在区间[1，2]上的最小值为0，求实数a的值；（Ⅱ）若x1，x2（x1＜x2）是函数f（x）的两个极值点，且f（x1）﹣f（x2）＞m恒成立，求实数m的取值范围．5、（2017•山东）已知函数f（x）=x²+2cosx，g（x）=ex（cosx﹣sinx+2x﹣2），其中e≈2.17828…是自然对数的底数．（13分）（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程；（Ⅱ）令h（x）=g （x）﹣a f（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．6、（2017•北京卷）已知函数f（x）=excosx﹣x．（13分）(1)求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；(2)求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．7、（2017·天津）设a∈Z，已知定义在R上的函数f（x）=2x^4+3x³﹣3x²﹣6x+a在区间（1，2）内有一个零点x。
，g（x）为f（x）的导函数．（Ⅰ）求g（x）的单调区间；（Ⅱ）设m∈[1，x。
）∪（x。
，2]，函数h（x）=g（x）（m﹣x。
）﹣f（m），求证：h（m）h（x。
）＜0；（Ⅲ）求证：存在大于0的常数A，使得对于任意的正整数p，q，且∈[1，x。
）∪（x。
，2]，满足| ﹣x。
|≥8、（2017•江苏）已知函数f（x）=x³+ax²+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（Ⅰ）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；（Ⅱ）证明：b2＞3a；（Ⅲ）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于，求a的取值范围．9、（2017•新课标Ⅰ卷）已知函数f（x）=ae²x+（a﹣2）ex﹣x．（12分）(1)讨论f（x）的单调性；(2)若f（x）有两个零点，求a的取值范围．10、（2017•新课标Ⅱ）已知函数f（x）=ax²﹣ax﹣xlnx，且f（x）≥0．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）证明：f（x）存在唯一的极大值点x。
2017高考真题分类汇编---函数
2017高考试题分类----函数1.（2017新课标1卷）设为正数，且，则（ ）A. B. C. D.2.（2017北京卷）已知函数则 （ ） A. 是奇函数，且在上增函数 B. 是偶函数，且在上增函数C. 是奇函数，且在上是减函数D.是偶函数且在上是减函数3.（2017浙江卷）若函数在区间上的最大值是，最小值是，则（ ）A.与有关，且与有关B.与有关，但与无关C. 与无关，且与无关D. 与无关，但与有关4.（2017新课标3卷）已知函数有唯一零点，则 ______。
5.（2017新课标3卷）设函数，则满足的的取值范围是______。
6.（2017天津卷）已知奇函数在R 上是增函数，。
若，则的大小关系为______。
7.（2017天津卷）已知函数设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是______。
8.（2017新课标1卷）函数在单调递减，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是 ______。
,,x y z 235x y z ==235x y z <<523z x y <<352y z x <<325y x z <<()13()3x x f x =-()f x R R R R ()2f x x ax b =++[]0,1M m M m -a b a b a b a b ()()2112x x f x x x a e e --+=-++a =()f x ={1,02,0x x x x +≤>1()12f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭x ()f x ()()g x xf x =()()()0.82log 5.1,2,3a g b g c g =-==,,a b c ()f x =23,12,1x x x x x x-+≤+>⎧⎨⎩a R ∈x ()2x f x a ≥+R a ()f x (),-∞+∞()11f =-()121f x -≤-≤x9.（2017浙江卷）已知，函数在区间上的最大值是5，则的取值范围是 ______。
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、最值
一、选择题
1.(2017·全国甲卷理科·T11)若x=-2是函数f(x)=(2x+ax-1)1xe的极值点,则f(x)的极小值
为 ( )
A.-1 B.-23e C.53e D.1
【命题意图】导数研究函数的单调性,极值与最值以及不等式的解法.通过求极小值意在
考查学生单调性与导数的关系,以及运算能力.
【解析】选A.由题可得f'(x)=(2x+a)1xe+(2x+ax-1)1xe=[2x+(a+2)x+a-1]1xe,
因为f'(-2)=0,所以a=-1,f(x)=(2x-x-1)1xe,故f'(x)=(2x+x-2)1xe,
令f'(x)>0,解得x<-2或x>1,所以f(x)在(-∞,-2)和(1,+∞)上单调递增,在(-2,1)上单调递减,
所以f(x)极小值=f(1)=(1-1-1)11e=-1.
【方法技巧】求可导函数f(x)的极值的步骤
(1)确定函数的定义区间,求导数f'(x).
(2)求f(x)的拐点,即求方程f'(x)=0的根.
(3)利用f'(x)与f(x)随x的变化情况表,根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值.
2.(2017·浙江高考·T7)函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象
可能是 ( )
【解析】选D.由导函数的图象可知函数在(-∞,0)上是先减后增,在(0,+∞)上是先增后减再
增,故选D.
3.(2017·山东高考文科·T10)若函数g(x)=exf(x)(e=2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)
的定义域上单调递增,则称f(x)具有M性质,下列函数中具有M性质的是 ( )
A.f(x)=2-x B.f(x)=x2
C.f(x)=3-x D.f(x)=cosx
【命题意图】本题考查函数的单调性的判断及导数的应用,意在考查考生应用已有知识
分析问题、解决问题的能力.
【解析】选A.A中,g(x)=ex2-x=2xe,因为2e>1,所以g(x)单调递增,所以f(x)具有M性质,
满足题意,故选A;
B中,g(x)=exx2,则g'(x)=exx(x+2),所以g(x)在(-2,0)上单调递减,所以f(x)不具有M性质,
不满足题意;
C中,g(x)=ex3-x=3xe,因为0<3e<1,所以g(x)单调递减,所以f(x)不具有M性质,不满足题
意;
D中,g(x)=excosx,则g'(x)=ex(cosx-sinx),所以g(x)在5,44上单调递减,所以f(x)不具
有M性质,不满足题意.
二、填空题
4.(2017·江苏高考·T11)已知函数f(x)=x3-2x+ex-错误!未找到引用源。,其中e是自然对数
的底数,若f(a-1)+f(2a2)≤0,则实数a的取值范围是 .
【命题意图】考查利用函数性质解不等式,如何利用函数的性质把不等式转化为
f(g(x))>f(h(x))的形式,根据函数的单调性去掉“f”,转化为具体的不等式(组)是重点.突出考
查考生的应变能力.
【解析】因为f'(x)=3x2-2+ex+e-x≥3x2-2+2错误!未找到引用源。≥0,所以函数f(x)在R上
单调递增,因为f(-x)
=-x3+2x+错误!未找到引用源。-ex=-f(x),f(a-1)+f(2a2)≤0,所以2a2≤1-a,即2a2+a-1≤0,解
得-1≤a≤错误!未找到引用源。,故实数a的取值范围为错误!未找到引用源。.
答案:错误!未找到引用源。
5.(2017·山东高考理科·T15)若函数exf(x)(e=2.71828…是自然对数的底数)在f(x)的定义
域上单调递增,则称f(x)具有M性质,则下列函数中所有具有M性质的函数的序号
为
①f(x)=2-x;②f(x)=3-x;③f(x)=x3;④f(x)=x2+2
【命题意图】本题考查函数的单调性的判断及导数的应用,意在考查考生应用已有知识
分析问题、解决问题的能力.
【解析】①g(x)=ex2-x=2xe,因为2e>1,所以g(x)单调递增,所以f(x)具有M性质,满足题
意;
②g(x)=ex3-x=3xe,因为0<3e<1,所以g(x)单调递减,所以f(x)不具有M性质,不满足题意;
③g(x)=exx3,则g'(x)=ex(x3+3x2)=exx2(x+3),所以g(x)在(-∞,-3)上单调递减,所以f(x)不具
有M性质,不满足题意;
④g(x)=ex(x2+2),则g'(x)=ex(x2+2x+2)>0恒成立,所以g(x)单调递增,所以f(x)具有M性
质,满足题意.
综上,①④满足题意.
答案:①④
三、解答题
6.(2017·北京高考文科·T20)同(2017·北京高考理科·T19)已知函数f(x)=excosx-x.
(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程.
(2)求函数f(x)在区间0,2上的最大值和最小值.
【命题意图】本题主要考查利用导数研究曲线的切线及求函数最值,意在培养学生的计
算能力与分析解决问题的转化能力.
【解析】(1)f(x)=ex·cosx-x,所以f(0)=1,
所以f'(x)=ex(cosx-sinx)-1,所以f'(0)=0,
所以y=f(x)在(0, f(0))处的切线过点(0,1),k=0,
所以切线方程为y=1.
(2)f'(x)=ex(cosx-sinx)-1,设f'(x)=g(x),
所以g'(x)=-2sinx·ex≤0,所以g(x)在0,2上单调递减,所以g(x)≤g(0)=0,所以f'(x)≤0,
所以f(x)在0,2上单调递减,
所以f(x)max=f(0)=1,f(x)min=f2=-2.
7.(2017·全国丙卷·文科·T21)已知函数f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x.
(1)讨论f(x)的单调性.
(2)当a<0时,证明f(x)≤-34a-2.
【解析】(1)f'(x)=22211aaxxx
=211axxx(x>0),
当a≥0时,f'(x)>0,则f(x)在(0,+∞)上单调递增,
当a<0时,则f(x)在10,2a上单调递增,
在1,2a上单调递减.
(2)由(1)知,当a<0时,f(x)max=f12a
则f12a-324a=ln12a+错误!未找到引用源。+1,
令y=ln t+1-t102ta,
则y'=1t-1=0,解得t=1,
所以y=ln t+1-t在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
所以ymax=y(1)=0,
所以y≤0,
即f(x)max=-错误!未找到引用源。-2,
所以f(x)≤-错误!未找到引用源。-2.
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