高考数学浙江卷

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2017年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）

数学

本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至4页．满分150分．考试用时120分钟． 考生注意：

1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定的位置上．

2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效． 参考公式：

球的表面积公式

锥体的体积公式

24S R =π

13

V Sh =

球的体积公式

其中S 表示棱锥的底面面积，

3

43

V R =

π

h 表示棱锥的高

其中R 表示球的半径 台体的体积公式

柱体的体积公式

1

()3

a b V h S S =

V Sh =

其中S a ，S b 分别表示台体的上、下 其中S 表示棱柱的底面面积，

底面积，h 表示台体的高 h 表示棱柱的高

选择题部分（共40分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的．

1．已知}11|{<<-=x x P ，}02{<<-=x Q ，则=Q P （ ） A ．)1,2(- B ．)0,1(-

C ．)1,0(

D ．)1,2(--

【答案】A ，并集

2．椭圆22

194

x y +=的离心率是（ ）

A．13

3

B．

5

C．

2

3

D．

5

9

【答案】B，椭圆性质，

945

33

e

-

==

3．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（）

A．1

2

π

+B．3

2

π

+C．

3

1

2

π

+D．

3

3

2

π

+

【答案】A，三视图，锥体体积，

2

111

3(21)1

3222

V

ππ

?

=??+??=+

4．若,x y满足约束条件

30

20

x

x y

x y

≥

?

?

+-≥

?

?-≤

?

，则2

z x y

=+的取值范围是（）

A．[0,6]B．[0,4]C．[6,]

+∞D．[]

4,+∞

【答案】D，线性规划，可行域为开放区域，直线过点(2,1)时取最小值4，无最大值5．若函数()2

f x x ax b

=++在区间[]

0,1上的最大值是M，最小值是m，则M m

-（）A．与a有关，且与b有关B．与a有关，但与b无关

C．与a无关，且与b无关D．与a无关，但与b有关

【答案】B，二次函数最值，利用图象分析也可，

因为最值在

2

(0),(1)1,()

24

a a

f b f a b f b

==++-=-中取，所以最值之差一定与b无关

6．已知等差数列{}

n

a的公差为d，前n项和为

n

S，则“0

d>”是“

465

2

S S S

+>”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

【答案】C ，求和与通项，等差通项，4652S S S d +-=，所以为充要条件

7．函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象如图所示，则函数()y f x =的图象可能是（）

【答案】D ，导函数与原函数图象，原函数先减再增，再减再增

8．已知随机变量i ξ满足(1)i i P p ξ==，(0)1i i P p ξ==-，1,2i =．若121

02

p p <<<，则（）

A ．12()()E E ξξ<，12()()D D ξξ<

B ．12()()E E ξξ<，12()()D D ξξ>

C ．12()()E E ξξ>，12()()

D D ξξ<

D ．12()()

E E ξξ>，12()()D D ξξ>

【答案】A ，离散型随机变量分布列，期望，方差，差比法 ∵11()E p ξ=，22()E p ξ=，∴12()()E E ξξ<， ∵111()(1)D p p ξ=-，222()(1)D p p ξ=-， ∴121212()()()(1)0D D p p p p ξξ-=---<

9．如图，已知正四面体D ABC -（所有棱长均相等的三棱锥），PQR 分别为,,AB BC CA

上的点，AP PB =，

2BQ CR

QC RA

==，分别记二面角D PR Q --，D PQ R --，D QR P --的平面较为,,αβγ，则（）

A ．γαβ<<

B ．αγβ<<

C ．αβγ<<

D ．βγα<<

【答案】B ，二面角-三垂线定理，观察点到直线距离，空间向量解题计算量较大

设O 为三角形ABC 中心，则O 到PQ 距离最小，O 到PR 距离最大，O 到RQ 距离居中，

而高相等，因此αγβ<<

10．如图，已知平面四边形ABCD ，AB BC ⊥，2AB BC AD ===，3CD =，AC 与

BD 交于点O ，记1·I OAOB

＝，2·I OBOC ＝，3·I OC OD ＝，则（）

A ．123I I I <<

B ．132I I I <<

C ．312I I I <<

D ．213I I I <<

【答案】C ，向量数量积，图形认识 因为90AOB COD ∠=∠>，

所以0OB OC ?>，0OA OB ?<，0OC OD ?<， 又OA OC <，OB OD <，∴0OC OD OA OB ?

非选择题部分（共110分）

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．

11．我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到

任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S 内，

S =内________．

【答案】

332，古代算法，三角形面积，133

=611sin 602S ??????= ???

内12．已知ab ∈R ，2

()34a bi i +=+（i 是虚数单位）则22

a b +=________，ab =________．

【答案】5，2，复数计算

由题意可得2

2

234a b abi i -+=+，则2232a b ab ?-=?=?，解得224

1

a b ?=?=?

13．已知多项式32

(1)(2)x x ++5432112345x a x a x a x a x a =+++++，则4a =________，

5a =________．

【答案】16，4，二项式通项

2322r r m m m

C x C x -，分别取0,1r m ==和1,0r m ==，可得441216a =+=，令0x =可得

325124a =?=

14．已知△ABC ，4AB AC ==，2BC =．点D 为AB 延长线上一点，2BD =，连结CD ，

则△BDC 的面积是________，cos BDC ∠=________．

取BC 中点E ，DC 中点F ，由题意：,AE BC BF CD ⊥⊥， △ABE 中，1

cos 4

BE ABC AB ∠=

=，

∴1

cos 4

DBC ∠=-

，sin DBC ∠==，

∴BC 1sin 2D S BD BC DBC =

??∠=△，

又2

1

cos 12sin 4

DBC DBF ∠=-∠=-

，∴sin DBF ∠=，

∴cos sin 4

BDC DBF ∠=∠=

． 15．已知向量,a b 满足||1a =，||2b =，则||||a b a b ++-的最小值是________，最大值

是________．

【答案】4，一个），平方构造，三角函数最值，平行四边形对角线性质，数形结合求最值 方法一：

设,a b θ??=，||54cos a b -=-，||54cos a b +=+

令||||y a b a b =++

-=

则210y =+2

[16,20]y ∈

，∴[4,y ∈

方法二：向量||a ，||b ，||a b +，||a b -构成平行四边形的边与对角线（限制），分别设

为,,,m n p q ，

则2

2

2

2

2()10p q m n +=+=，且1,3p q ≤≤，构成直线与圆相切，得出范围

16．从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要

求服务队中至少有1名女生，共有________中不同的选法（用数字作答）． 【答案】660，排列、组合，分类、分步原理，间接法，具体做法较多

方法一：411411843643C C C C C C -；方法二：2222

8664A C A C -

17．已知α∈R ，函数()4

||f x x a a x

=+

-+在区间[1,4]上的最大值是5，则a 的取值范围是________．

【答案】9(,]2

-∞，均值不等式求最值，分段函数，分类讨论，函数图象变换

[]1,4x ∈，∴[]4

4,5x x +∈

方法一：设4x t x +=，()||g t t a a =-+，图象如下，∴9

4

a ≤

方法二：①当5a ≥时，()442f x a x a a x x x

=--+=--， 函数的最大值245a -=，∴9

2a =

，舍去； ②当4a ≤时，()44

5f x x a a x x x

=+-+=+≤，命题成立；

③当45a <<时，(){}

max max 4,5f x a a a a =-+-+????，则：

4545a a a a a a ?-+≥-+??

-+=??或4555a a a a a a ?-+<-+??-+=??

， 解得：92a =

或92a <，综上可得，实数a 的取值范围是9,2?

?-∞ ??

?．

方法三：直接观察()4||f x x a a x =+

-+的图象关于x a =的翻折关系，可得9

4

a ≤． 三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本题满分14分）

已知函数22

()sin cos cos f x x x x x =--()x ∈R ．

（Ⅰ）求2(

)3

f π

的值； （Ⅱ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间．

【解】倍角公式，化和为一，三角函数周期性、单调性

（Ⅰ）22

sin cos 23s )os (in c x f x x x x -=-cos 23sin 2x x =--

sin 226x π?

?+= ?

-??

则)(

2π3f 4ππsin 623??

+=

?-??

2=； （Ⅱ）()f x 的最小正周期为π， 令ππππ22π,2622k x k k -

≤+≤+∈Z ，得ππ

ππ,36

k x k k -≤≤+∈Z ， 函数()f x 的单调递增区间为ππππ,36k k k ?

?

-+∈???

?

Z ，． 19．（本题满分15分）

如图，已知四棱锥P ABCD -，△PAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，//BC AD ，

CD AD ⊥，22PC AD DC CB ===，E 为PD 的中点．

（Ⅰ）证明：//CE 平面PAB ；

（Ⅱ）求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值． 【解析】方法一：几何法

面面平行判定、性质，线面垂直判定、性质，线面角，点到平面距离-转化， （Ⅰ）取AD 的中点F ，连接EF ，CF ， ∵E 为PD 的中点，∴//EF PA ，

在四边形ABCD 中，//BC AD ，22AD DC CB ==，F 为中点， 易得//CF AB ，∴平面//EFC 平面ABP ， ∵EC ?平面EFC ，∴//EC 平面PAB ；

（Ⅱ）连结BF ，过F 作FM PB ⊥于M ，连结PF ， ∵PA PD =，∴PF AD ⊥，

易知四边形BCDF 为矩形，∴BF AD ⊥，

∴AD ⊥平面PBF ，又//AD BC ，∴BC ⊥平面PBF ，∴BC PB ⊥， 设1DC CB ==，则2AD PC ==，∴2PB =，1BF PF ==，

∴1

2

MF =

，又BC ⊥平面PBF ，∴BC MF ⊥， ∴MF ⊥平面PBC ，即点F 到平面PBC 的距离为1

2

，

也即点D 到平面PBC 的距离为1

2

，

∵E 为PD 的中点，∴点E 到平面PBC 的距离为1

4

，

在△PCD 中，2PC =，1CD =，2PD =

，由余弦定理可得2CE =，

设直线CE 与平面PBC 所成的角为θ，则1

2

4sin 8

CE θ==．

方法二：解析法，建系困难

（Ⅰ）略；构造平行四边形，或用空间向量；

（Ⅱ）过P 作PH CD ⊥，交CD 的延长线于点H ，

设DH x =，在Rt△PDH 及Rt△PCH 中，易知2222

2)(1)2x x -++=，

解得12

DH =

， 过H 作BC 的平行线，取1OH BC ==，如图建立坐标系， 由题易得3

(,0,0)2B ，1(,1,0)2D ，3 (,1,0)2C

，P

，11(,42E ，

则51(,,424CE =-

- ，3(,0,)22

PB =-，(0,1,0)BC =， 设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，

则3020n PB x z n BC y ??=-

=????==?

，令1x =，

则t =，故(1,0,3)n =，

设直线CE 与平面PBC 所成的角为θ，

则51

|sin |cos ,8CE n θ-=??==， 故直线CE 与平面PBC

． 20．（本题满分15分）

已知函数()(x

f x x e -=-1()2

x ≥

． （Ⅰ）求()f x 的导函数；

（Ⅱ）求()f x 在区间1[+)2

∞，上的取值范围．

【解】复合函数导数，导数判定单调区间求最值，代数式变形

（Ⅰ）'()(()'x x

f x x e x e --=+

(1(x x e x e --=-

(1x x e -=--

(1x x e -=-

(1)(1x x e -=-； （Ⅱ）由'()0f x =，解得1x =或5

2

x =

，

函数121

y x =-

-在1

(,)2+∞上单调递增（证明）

，

当x 变化时，()f x ,'()f x 的变化如下表：

又12

11()22f e -=，当12x >时，2()021

x f x e x x -=

>+- 则()f x 在区间1

[,)2+∞上的最大值为1212e -，最小值为0，

综上，()f x 在区间1

[,)2

+∞上的取值范围是121[0,]2e -．

21．（本题满分15分）

如图，已知抛物线2

x y =，点11

()24A -，，39()24B ，，抛物线上的点()P x,y 13()22

x -

<<，过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q ．

（Ⅰ）求直线AP 斜率的取值范围； （Ⅱ）求||||PA PQ ?的最大值．

【解】直线斜率，转化AP PQ ?为PA PB -?，均值不等式求最值，导数求最值 （Ⅰ）由题易得2

(,)P x x ，13

22

x -

<<， x

1

(,1)2

1 5(1,)

2 52 5

(,)2

+∞ '()f x -

+

-

()f x

↘

↗

5212

e - ↘

故AP

k 21

412x x -

=

+12x =-，故直线AP 斜率的取值范围为(1,1)-； （Ⅱ）方法一：||||PA PQ ?||||cos PA PB BPQ =?∠||||cos ,PA PB PA PB =-???

PA PB

=-?221139(,)(,)2424x x x x =----?--221319

()()()()

2244

x x x x =+----1313()()[1()()]2222x x x x =+---+313()()22x x =+-3119()(3)322x x =+-41119

()()()(3)

12222[]34

x x x x ++++++-≤2716=， 当且仅当19

322x x +=-，即1x =时，取得最大值．

【化简到313()()22

x x +-后可利用导数判定函数单调性求最值】 方法二：求直线与抛物线，直线与直线交点坐标计算量太大 由（Ⅰ）知2

(,)P x x ，13

22

x -<<， 故211

(,)24

PA x x =-

-- 设直线AP 的斜率为k ，则AP ：1124y kx k =+

+，BP ：139

24

y x k k =-++， 由1124

13924y kx k y x k k ?

=++????=-++?? 2222

34981(,)2244k k k k Q k k +-++?++， 故23432221(

,)11

k k k k k k k

PQ k k +----++=++， 又2

(1,)PA k k k =----，

故PA PQ -?PA PQ =?32322

(1)(1)(1)(1)

11

k k k k k k k +-+-=+++3(1)(1)k k =+-， ∴PA PQ ?3

(1)(1)k k =+-，

设()f k 3

(1)(1)k k =+-，则2

'()2(1)(12)f k k k =-+-， 单调性判定12k =

时，PA PQ ?有最大值27

16

=． 22．（本题满分15分）

已知数列{}n x 满足：11x =，()11ln 1n n n x x x ++=++（n +∈N ）． 证明：当n +∈N 时， （Ⅰ）10n n x x +<<；

（Ⅱ）1

122

n n n n x x x x ++-≤

； （Ⅲ）1211

22

n n n x --≤≤．

【解】数学归纳法，函数单调性应用，转化构造思想，分析法，导数求单调性证明不等式，

放缩法，完全归纳，

（Ⅰ）证明：令函数()ln(1)f x x x =++，则易得()f x 在[0,)+∞上为增函数． 当1n =时，有11>0x =，假设当n k =（k +∈N ）时，有0k x >， 当1n k =+时，1(0)()ln(1)()k k k k k f x f x x x f x +<=<++=， ∴10k k x x +<<，

综上所述，对任意n +∈N ，均有10n n x x +<<； （Ⅱ）要证明1

122

n n n n x x x x ++-≤

，即证1142n n n x x x ++≥+，即证()11114ln 12n n n n x x x x ++++++≥+，

即证()2

1111(2)ln 120n n n n x x x x +++++++-≥，

设2

()(2)ln(1)2g x x x x x =+++-(0)x >，22'()ln(1)01

x x

g x x x +=++

>+ ∴()(0)0g x g >=，

∴()2

1111(2)ln 120n n n n x x x x +++++++->，原命题得证；

（Ⅲ）∵()11ln 1n n n x x x ++=++1112n n n x x x +++≤+=，∴11

2

n n x -≥， 由1122

n n n n x x x x ++-≤

，得

11111

2()22n n x x +-≥-0>， ∴

112

n x -1112(

)2n x -≥-2211

2()2n x -≥-≥1111

2(

)2

n x -≥-22n -=，

∴

212n n x -≥，即212n n x -≤，∴1211

22

n n n x --≤≤．