数学是严谨的艺术
关于数学的严谨性.doc
关于数学的严谨性.doc严谨性是数学的独持之美。
它表现在数学定义准确地揭示了概念的本质属性；数学结论存在且唯一，对错分明，不模棱两可；数学的逻辑推理严密，从它的公理开始到演绎的最后一个环节不允许有一句假话，即使错一个符号也不行。
数学的这种严谨性，要求数学工作者具有实事求是，谦虚谨慎，孜孜不倦地追求真理的美德，这正是数学美的伦理价值所在。
数学是最为严谨、最严格的科学。
数学的论证中使用非常严格的演绎推理。
古代的欧几里德几何学以公理、公设为出发点，以演绎的方式构成了几何学。
由HILBERT的几何基础列举了一些基本对象（点、直线）、基本关系（衔接、合同、介于），所谓公理是基本对象和基本关系的属性。
一切几何定理，就是这些属性的演绎推理。
建立起几何学的理论架构，形成了现代基础数学严谨的体系。
数学因为严谨而被信任，因为严谨而被尊重，失去了严谨，数学也就失去了支撑的骨架，空有一堆形式的符号。
爱因斯坦说过：“为什么数学比其他一切科学受到特殊尊重，一个理由是它的命题是绝对可靠的和无可争辩的，而其他一切科学的命题在某中程度上都是可争辩的，并且经常处于会被新发现的事实推翻的危险之中。
”著名数学教育家弗赖登塔尔就把严谨性原则作为数学教学的基本原则之一，而很多数学教学论的著作则提出了严谨性与量力性相结合的原则。
这里的量力量的不是教师的力，而是指“严谨性的要求应受学生可接受性的制约”。
也就是说，在学生可接受范围内，我们的教学必须遵循严谨的原则。
总而言之，数学是严谨的，数学教育也应该是严谨的教育。
作为教师，自己要有一个系统的能满足教学需要的数学体系，同时，在发展学生的多样思维建设开放课堂时，应该把学生的新异思维按其内在规律区别对待，纳入整个数学体系，维护数学的严谨性，让学生数学大厦的基础更为坚实。
数学学科三大特点
数学学科三大特点数学学科是一门研究数量、结构、变化和空间等概念的学科，具有以下三大特点。
数学学科具有严谨性。
数学学科以逻辑推理和严密的证明为基础，它要求每一个结论都必须经过推理和证明的过程，确保其准确性和可靠性。
数学学科中的每个概念、定理和公式都必须经过严格的定义和证明，这使得数学学科具有了严密性和严谨性。
例如，在几何学中，欧几里得几何的基础是五条公理，这些公理被视为几何学的基本原理，其他的定理都是基于这些公理进行推导和证明的。
数学学科具有普适性。
数学学科是一门普遍适用于各个领域的学科，它的理论和方法可以应用到自然科学、工程技术、经济管理等各个领域中。
无论是物理学、化学、生物学还是计算机科学、经济学等领域，都需要使用到数学的理论和方法。
例如，在物理学中，运动的描述和分析离不开数学中的微积分和方程求解；在经济学中，利润最大化和成本最小化的问题需要使用到数学中的优化方法和线性规划等。
数学学科具有抽象性。
数学学科研究的对象是抽象的概念和结构，它不依赖于具体的实际对象，而是研究对象的本质特征和规律。
数学学科的抽象性使得它可以研究一些复杂的问题，不受具体对象的限制。
例如，集合论是数学学科的一个分支，它研究的是集合这一抽象的概念，而不是具体的集合。
集合论的概念和方法可以应用到各个领域，如概率论、数论等。
在数学学科的发展过程中，这三个特点相互作用、相互促进。
严谨性保证了数学学科的准确性和可靠性，普适性使得数学学科能够应用到各个领域，抽象性使得数学学科能够研究一些复杂的问题。
这三个特点共同构成了数学学科的基础和核心。
通过不断地发展和创新，数学学科在人类认识世界和解决问题的过程中发挥着重要的作用。
无论是科学研究、工程技术还是社会经济，都离不开数学学科的支持和应用。
因此，数学学科的严谨性、普适性和抽象性是其重要的特点，也是其持续发展和进步的基石。
数学名言 短句
数学名言短句数学是丰富多彩的，它滋养着各种科学领域，是一种独特的创造性思维。
数学界出现了很多伟人，他们提出了许多精彩的数学名言短句。
以下是一些最经典的数学名言短句：1.学家卡洛斯哥德尔说：“数学是最严谨的艺术，也是最自由的科学。
”这句话概括了数学的特点：坚定的原则和开放的世界，体现了数学的精髓。
2.廉休斯说：“数学就像大海一样宽广无边，是一种探索世界的精神活动。
”数学之所以受到人们的喜爱，也就在于它有无限可能性，极具探索精神。
3.名数学家乔治华罗庚说：“要获得更深层次的知识，就必须从数学的应用出发。
”数学的本质是概括性的，而它的应用又具体化，将可以让不同领域中的人们理解数学思想，进一步发展科学技术。
4.德斯鸠曾说：“数学是一种极不折衷的抽象艺术，它不接受它不认可的东西。
”这句话反映了数学的独特魅力，即数学世界中不存在违背基本原则的情况，在抽象中构建秩序，这是数学所独有的。
5.名数学家克劳德贝塞尔说：“数学是真理的殿堂，美的宫殿，健全的记忆，活跃的思想，无限的乐趣。
”克劳德的这句话在充分体现了数学的魅力，它既显示了数学的厚重，又表达了数学极富乐趣的一面。
以上就是五位数学家的精彩名言短句，它们言简意赅地提出了数学的严谨与创造性，也将我们带入一个极其完美的数学世界。
数学无处不在，它不仅仅是一门科学，更是一种文化和一种乐趣。
在中国，数学教育有着较早的历史。
自宋朝至今，数学在中国文化中一直都占有着重要的地位，经典数学著作也由此而得以留存。
当今，数学仍然是诸多专业的重要基础，它不断潜心发展，为社会带来更多的变革和创新。
在时代的进步中，数学的意义也被深刻地体现了出来，它每一次有新的发现都会让世界变得更加精彩纷呈。
然而，数学不是一门可以用简单的方法学习的科目，它需要积极思考，并努力研究，方可开启数学奥秘大门。
数学也包含着若干定理，它们可能看起来有些抽象，但它们将会成为我们探索世界的起点。
最后，我们应该知道，数学的重要性不仅仅在于它的功能，更在于它能够给我们带来的乐趣和智慧。
严谨性1
浅谈小学数学教学的严谨性数学是一门严谨的科学。
培根说:“数学使人周密。
”的确如此,不论是初等数学,还是高等数学无不体现着逻辑的严密性, 数学，作为人类思维的表达形式，反映了人们积极进取的意志、严密周详的推理以及对完美境界的追求。
数学有着严密的逻辑性和系统性。
遗憾的是有人认为:我们培养的是小学生,是以传授知识为主要任务,又不是培养数学家,刻意追求数学语言的严谨性那不是钻牛角尖吗?笔者认为作为一名数学教师，认为在教学过程中要时时刻刻注意教学的严谨，时刻体现数学这一门学科独有的特点。
数学的教学，我认为其最重要的不是数学知识的教学，而是数学思维，数学思想方法的教学。
数学思想贯穿整个数学体系的始终。
所以，从小就给学生渗透一些数学思想是非常必要而且非常重要的。
而其中重要的一环就是学生数学思维的严谨性的培养。
严谨性是数学学科的基本特征之一。
而教师为人师表，更应从自己做起，对一切问题都不能马虎对待。
要体现数学学科严谨性的特征，我认为教师在教学中要做到以下几个方面：一、教学语言的严谨性语言是人类交际的重要工具,课堂教学,主要运用语言的形式向学生传道、授业、解惑。
因此,教师的语言表达能力直接影响着教学效果。
教师在课堂上要注意语言的准确性和科学性，数学具有高度的科学性,每个概念都有确切的含义,每个定律、公式都有确定的条件。
因此在教学语言中务必清楚、准确、符合科学性。
只有这样才能使学生正确地掌握概念,运用定理,并逐步养成严谨、慎密的思维习惯;否则,可能使学生产生误解,甚至造成错误。
例如教师在教学“单位转化”时，在表述5千米=5000米这个式子，就要注意自己语言的停顿；在教学《正数、负数》以后，在练习中有一题是这样的：某蓄水池的标准水位记为0米，如果用正数表示水面高于标准水位的高度，那么0.18米和－0.23米各表示什么？二、解答过程的严谨性但是，现在好多学校都倡导人性化教学，刻意的让老师发现学生们在学习或作业中的闪光点，且很多老师一味追求出成绩，追求学生的合格率，所以在教学中，他们自己本身就忽视了数学的严谨性。
对数学学科的认识和理解
对数学学科的认识和理解数学是一门研究数量、结构、变化以及空间等概念的学科，它广泛应用于自然科学、工程技术、社会科学等领域。
数学作为一门学科，具有独特的特点和价值，对人类社会的发展和进步起着不可替代的作用。
数学是一门严谨和精确的学科。
数学的基本概念和原理都是经过严密推导和证明的，它要求学习者具备良好的逻辑思维和抽象能力。
通过数学的学习，人们可以培养自己的思维能力和逻辑推理能力，提高解决问题的能力。
数学是一门普遍适用的学科。
数学不仅仅是一种学术研究的工具，更是一种实践中应用的工具。
数学的方法和原理可以应用于自然科学、工程技术、金融经济等各个领域，为解决实际问题提供了强有力的工具和方法。
数学是一门富有创造性的学科。
数学的发展离不开数学家们的创新和发现。
数学家们通过不断地思考和探索，提出了许多重要的数学理论和定理。
这些理论和定理不仅解决了许多实际问题，而且推动了数学学科的发展。
数学的学习也对个人的发展和成长有着重要的意义。
首先，数学的学习可以培养学生的逻辑思维和抽象思维能力。
数学中的问题和方法都要求学生进行逻辑推理和抽象建模，这种思维方式可以帮助学生提高解决问题的能力。
其次，数学的学习可以培养学生的数学思维和创新能力。
数学中的问题和方法往往需要学生进行思维的跳跃和创造性的思考，这种思维方式可以培养学生的创新意识和发散思维能力。
最后，数学的学习可以培养学生的数学素养和科学精神。
数学学科注重逻辑性和严谨性，培养学生的数学素养可以提高学生的科学素养和科学精神。
数学是一门独特的学科，它具有严谨性、普遍适用性和创造性。
数学的学习不仅可以提高个人的思维能力和解决问题的能力，还对人们的创新能力和科学素养有着重要的影响。
因此，我们应该重视数学的学习，认识和理解数学的价值和意义，努力提高自己的数学素养。
数学学科的魅力
数学的魅力可以归结为以下几点：1. 数学是一种严谨的语言。
与其他的自然语言不同，数学语言具有高度的严谨性和精确性，能够清晰地表达想法和概念，避免了由于语义模糊而产生的误解和歧义。
2. 数学是一种优美的艺术。
数学中的公式与定理不仅具有实用价值，还具有美学价值。
人们被数学的优美形式和规律所吸引，这种审美感受和喜爱程度愈发深入人心。
3. 数学是一种实用的工具。
数学的应用范围很广，从自然科学到社会科学，从物理学到金融学，从医学到计算机科学等领域都可以看到数学的应用。
数学为现代社会的技术和科学进步提供了强有力的支撑。
数学的逻辑与严谨性
数学的逻辑与严谨性数学作为一门学科，其独特之处在于其严谨性和逻辑性。
数学家们通过精确的符号语言和推理方法，建立了一个统一且严密的数学体系，使数学成为一门具有高度准确性和可靠性的学科。
本文将从逻辑与严谨性两个方面来探讨数学的特点。
逻辑性是数学的一个重要特征。
数学家们通过推理和证明来阐述数学思想和结论，确保数学建议和推理过程的正确性。
逻辑推理的过程中遵循着一系列严谨的规则，由此可以得到准确的结论。
例如，在数学证明中常常使用归谬法、反证法、数学归纳法等推理方法，以确保得出的结论是正确的。
数学逻辑性的特征使得数学家们可以通过推理和证明来验证新的数学理论和发现。
严谨性是数学的另一个重要特征。
数学家们在进行数学研究和证明过程中，必须确保每一步的论证都是正确的，每一条定理都经过了精确的证明。
在数学推理中，任何符号、符号排列和运算都必须符合逻辑规律和事实要求。
数学的严谨性要求每个符号和推理步骤都能够被清晰地定义和理解，而不会出现歧义或二义性。
通过这种严谨的要求，数学家们可以确保数学中的结论和定理是可靠的。
在数学理论中，公理系统和定义是建立数学严谨性的基石。
公理系统是一组被认为是真实的、无需证明的命题。
通过这些公理，数学家们能够从最基本的命题出发，通过严密的逻辑推理，逐步建立起一套完整的数学理论体系。
同时，数学中的定义也是确保数学严谨性的重要因素。
定义在数学中起到了精确定义概念的作用，以便能够准确地描述和推导数学对象之间的关系。
除了逻辑和严谨性，数学还有许多其他的特点。
数学是一门抽象的学科，它研究的是抽象的结构和关系，而不仅限于实际世界中的对象和现象。
这种抽象性使数学具有了广泛的适用性和普遍性，它可以应用于自然科学、工程技术、经济学等领域，为其他学科的发展提供了理论和方法的支持。
总结起来，数学的逻辑性和严谨性是使其成为一门独特学科的重要特征。
通过逻辑推理和证明，数学家们确保了数学的准确性和可靠性。
公理系统和定义则是建立数学严谨性的基石。
艺术与数学之美 精选作文2篇
艺术与数学之美精选作文2篇作文1：《数字之美-数学在艺术中的应用》数学是一门抽象而又严谨的学科，而艺术则是富有想象力和创造力的表现形式，二者看似截然不同，却在许多方面相互交融，产生了令人叹为观止的“数字之美”。
首先，在建筑艺术领域，数学起着至关重要的作用。
比如，古希腊建筑师就运用黄金分割理论设计出了很多充满美感的建筑作品，如巴特农神庙。
黄金分割、等比例关系等数学概念被巧妙地运用在建筑的布局、结构和装饰中，赋予建筑以和谐、美感和稳定。
而在绘画领域，透视法、比例关系等数学原理也为绘画带来了更加准确与逼真的表现形式。
其次，音乐艺术与数学之间也存在着密切的联系。
音乐中的节奏、音调、和声等元素都可以通过数学原理进行解释。
例如，音符之间的音高关系可以用频率、波长等数学概念来描述；音乐中的节奏感也常常依托于数学规律，如拍子的分割、速度的变化等都可以借助数学知识进行研究和表达。
最后，舞蹈艺术也离不开数学。
舞蹈中的动作设计、舞台布景等都需要考虑到空间布局、身体比例、节奏长度等数学因素，使得舞蹈作品能有更加完美的表现。
综上所述，数学与艺术之间的联系是无处不在的，数学为艺术提供了丰富的表现手段和内在逻辑，而艺术也将数学的枯燥变得生动美好。
二者相辅相成，共同构建了数字之美。
作文2：《画中世界-艺术创作中的数学意义》在艺术创作中，数学并非只是一个冷冰冰的概念，而是对创作过程有着深刻影响的灵感源泉。
通过对几何学、比例关系、对称性等数学原理的运用，艺术家们创造出了许多令人叹为观止的作品。
首先，数学中的几何学对绘画艺术有着重要的启发作用。
绘画中的透视原理、立体几何等概念，都直接来源于数学中的空间几何理论。
通过这些原理，艺术家们能够更准确地捕捉物体的形态、深度和距离感，为作品增添更多立体感和逼真感。
其次，数学中的比例关系也是艺术创作中不可或缺的因素。
黄金分割、等比例放大缩小等数学概念被广泛应用于绘画、雕塑、建筑等各种艺术形式中，使得作品呈现出更加和谐、美感和平衡的视觉效果。
数学在艺术中的应用
数学在艺术中的应用艺术和数学是两个看似截然不同的领域，但实际上它们有着密不可分的联系。
数学作为一门严谨的学科，既可用于解决实际生活中的问题，也能够在艺术创作中发挥独特作用。
本文将探讨数学在艺术中的应用，从几何到对称性、黄金分割等方面进行阐述。
1. 几何美几何学是数学的一个分支，研究几何形状和空间结构。
在艺术中，几何形状常常被广泛应用。
例如，在绘画中，艺术家可以利用几何形状来创造视觉上的平衡和美感。
矩形、圆形、三角形等常见的几何形状在构图中可以起到积极的作用，使画面更加稳定和谐。
另外，几何形状的对称性也是艺术中常见的元素。
对称图案能够给人以安定感和美感。
例如，许多建筑物的设计中都运用了对称的原则，使得建筑物更加美观、庄重。
在绘画和雕塑中，对称性也是一种常见的构图手法，能够吸引观者的眼球并产生美的享受。
2. 黄金分割黄金分割是数学中的一个重要概念，它指的是将一条线段分割为两部分，其中较长部分与整条线段的比例等于整条线段与较短部分的比例。
黄金分割在艺术中被广泛运用，被认为是一种视觉上的美学原则。
黄金分割经常被用于艺术品的构图和设计中。
例如，一些画家在绘画中将主题的位置放在画面的黄金分割点上，这样能够营造出一种和谐的视觉效果，使观者更容易被吸引和留意到画面的重点。
同样地，黄金分割也被应用在建筑物和雕塑的设计中，以达到更加平衡和美观的效果。
3. 透视和解析几何透视是一种数学原理，用于创造在二维平面上看起来具有三维感的效果。
在绘画和摄影中，透视是一种常见的技巧，可以使画面更具深度和立体感。
解析几何是数学分析和几何学的结合，通过代数的方法来研究几何形状和空间结构。
在艺术中，解析几何的原理也被广泛应用。
例如，艺术家可以利用解析几何的知识来绘制出更加精准的曲线和图形，从而增强作品的真实感和表现力。
4. 数学模型和艺术创作在当代艺术中，数学模型也被一些艺术家用于创作。
数学模型可以帮助艺术家更好地理解和表现一些复杂的艺术概念。
数学数学之美
数学数学之美数学，是一门研究数量、结构、空间以及变化的学科，被誉为“科学之王”。
它的美不仅体现在它的创新性和深度上，更体现在它对现实世界的解释和应用中。
本文将讨论数学之美的几个方面，包括数学的逻辑美、形式美以及实用美。
1. 数学的逻辑美数学是一门严谨的学科，它追求准确性和逻辑性。
数学中的每个定理和推理都经过严格的证明和推导，不容忽视任何细节。
这种严谨性使得数学具有独特的美感，让人感受到逻辑的严密和真理的美妙。
数学的逻辑美可以通过各种公式、定理和证明来展示。
例如，费马定理的证明以及勾股定理的几何证明都展现出了数学中的逻辑美。
2. 数学的形式美数学具有独特的形式美，其美感来自于数学中的符号、图形和模式。
数学中的符号和公式可以简洁地表达复杂的概念和关系，让人们可以通过简单的方式处理复杂的问题。
数学中的图形可以展示出数学中的对称性和几何结构，例如，圆的完美形状以及分形图形的奇特之美。
数学中的模式则是一种重复出现的规律，让人们感受到宇宙中数学的普遍性。
所有这些形式美共同构成了数学的美妙之处。
3. 数学的实用美数学不仅有理论上的美，还有实际应用上的美。
数学通过建立模型和推导规律，为解决现实问题提供了有力的工具。
无论是物理学中的数学模型，经济学中的数学预测，还是工程学中的数值计算，数学都发挥着不可替代的作用。
数学的实用美体现在它能够解决实际问题、优化决策，并推动科技的发展。
没有数学的支持，现代社会的许多成就将无法实现。
综上所述，数学之美体现在它的逻辑美、形式美和实用美上。
数学追求严谨的逻辑性，让人们感受到真理的美妙；数学的符号、图形和模式展示了独特的形式美；数学的应用使得它在实际问题的解决中发挥出实用美。
正是数学的美妙之处，让人们对这门学科充满了无尽的探索与热爱。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
数学是严谨的艺术, 它拒绝一切丑陋和不真。
然而, “金无足赤, 人无完人”, 纵然你是学界泰斗, 哪怕你是科坛巨擎, 你总会有闪失(俗说: 老虎也会打盹), 数学家肯定也不例外。
我们这儿当然不是议论他们的人品, 而是谈谈他们在数学上的偶然失误。
常说“瑕不掩瑜”, 大师的这些失误丝毫不会影响他们光辉, 倒会增加他们的真实与亲切。
众所周知: 数学结论(命题、定理、公式、......) 的给出往往是数学家们深思熟虑、甚至终生不懈的努力使然, 而这些结论产生的方法多是由具体的抽象、特例的推广以及不完全归纳所获。
因而这其中的失误几乎不可避免。
值得一提的是: 由于这些失误出自大家之手, 因而它们往往更具欺骗性且更难为人们所识破, 这一方面是鉴于大师们的权威与声望, 一方面是由于结论或貌似无瑕或难以核验
或熟视无睹, 因而要找到推翻命题的反例是困难和艰涩的。
本文试图猎取几例以飨读者。
我们的目的是想从中学点做数学的道理和方法, 体味数学的魅力与美妙, 当然也会令我们从中悟感数学(乃至整个科学) 发展的
艰难与坎坷, 同时更能品鉴数学的严谨与纯真。
1. 费尔马(P. de Fermat) 数
法国业余数学家费尔马一生有过许多重要数学发现, 这些大多都记录在他
研读过的书籍空白处, 他发现的著名命题如:
费尔马小定理: 若p 是质数, a ∈Z, 且p 不能整除a, 则a^（p−1 ）≡ 1 (mod p)。
费尔马大定理: 若n ∈N, 且n ≥3, 则方程x n + y n = z n 无非平凡整数解。
前者为费尔马本人及后来的学者证得; 后者记在他阅读过的丢番图(Diophantus) 所著「算术」一书的空白处(1637年, 但未给出证明)。
四百余年后(1994年), 这一结论为美国普林斯顿大学的数学家韦尔斯(A. J. Wiles) 经近十年潜心研究所解决, 成为上个世纪数学成就中最为耀眼的辉煌、最为美妙的终曲。
其中经历的艰辛与磨难令人感叹! 由此他也荣获1996年沃尔夫(R. S. L. Wolf) 奖。
正是这位费尔马, 当他验算了
F n = 22n
+ 1
在n = 0, 1, 2, 3, 4 时分别为:
F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17,
F3 = 257, F4 = 65537,
发现它们都是质数后便声称:
对于任何自然数n, F n 均给出质数。
然而, 1732年欧拉(L. Euler) 指出, 当n = 5
时:
F5 = 225
+ 1 = 641 ×6700417
已不再是质数。
1880年, 兰道(Landon) 算得:
F6 = 274177 ×67280421310721
亦非质数。
1905年莫瑞汉德(J. C. Morehead) 和威斯坦(Western) 证明F7 亦是合数。
时至今日, 人们在F n 型数中除了费尔马给出的五个质数外, 尚未发现其它质数。
于是有
人(Selfridge) 提出猜测: [15]
F n 型数中除n = 0, 1, 2, 3, 4 外不会有其它质数。
然而此项猜测至今未获证明。
下表给出某些F n 型数的资料: [11] [16]
n 值F n 研究进展
也许你会说，费马猜想之所以会出错，是因为检验的数太少了的缘故，事实上，有的命题即使你一辈子不吃不喝也不能验算完。
1644年法国神父、业余数学家梅森在「物理学与数学的深思」一书中宣称: 当p = 2、3、5、7、13、17、19、31、67、127、257时, 2p−1 是质数(下记M p = 2p−1, 且称之为梅森数, 其中的质数称梅森质数)。
由于梅森本人仅仅验算了其中的前7个, 而后面的一些因其太大而不便核验, 但
人们似乎
对此笃信不二。
1903年美国哥伦比亚大学的科尔(F. N. Cole) 在纽约的一次科学报告会上, 做了一次无
声的发言, 他只是在黑板上写到:
267 −1 = 147573952589676412927
= 193707721 ×761838257287.
之后便赢得全场一片经久的掌声。
显然, 他否定了梅森数表中p = 67 时267 −1 是质数的猜
测。
1911年, 鲍威尔(R. E. Power) 又发现M89 是质数(梅森数表中漏掉了)。
1922年, 克莱希克(M. Kraitchik) 指出M257 亦不是质数(他的证明是非构造性的, 尽管
他当时并未找出该数的哪怕任一个质因子)。
这正像波兰数学家斯坦因豪斯(H. D. Steinhaus)
在其名著「数学一瞥」中记述的(20世纪50年代):
七十八位数2257 −1 = 231 584 178 474 632 390 847 141 970 017 375 815 706 539 969 331 281 128 078 915 168 015 826 259 279 871 是合数, 可以证明它有因子,
尽管人们
尚未找到它。
它的因子直到1984年才由美国桑迪亚(Sandia) 国家实验室的科学家找到。
此后人们寻找梅森质数的工作一直未曾间断, 到2001年11月止, 人们共找到39个梅森质
数M p, 这些p 值分别是:
2、3、5、7、13、17、19、31、61、89、107、127、521、607、1279、2203、2281、3217、
4253、4423、9689、9941、11213、19937、21701、23209、44497、86243、110503、132049、
216091、756839、859433、1257787。
显然, 人们至此也相当于找到39个偶完全数。
[1]
接下来的问题是: 是否有无穷多个梅森质数? 这一点尚无定论。
不过, 1964年吉利斯(D. B. Gillies) 给出下面的猜测: [17] 小于x 的梅森质数个数
2 ln ln x
ln 2。
关于完全数, 由于至今人们找到的全部是偶数, 因而“有无奇完全数存在” 的这样一个话
题被提了出来, 这也是一个至今尚未被解开的谜。
不过, 1989年布伦特(R. P. Brent) 指出: [18] 若奇完全数存在, 则它须大于10160。
3. 正交拉丁方猜想
据说当年普鲁士腓德烈大帝在阅兵时问欧拉: 「从三个不同的兵团各抽出三名不同军衔的
军官, 能否把他们排成一个3 × 3 方阵, 使每行、每列皆有不同兵团、又有不同军衔的代表?」
问题不难解答, 我们用a, b, c 表示兵团标
号, 用A, B, C 表示不同军衔则有下面的布阵
方式:
aA bC cB
bB cA aC
cC aB bA
对于兵团、军衔种类数为4、5的情形, 人
们也不容易找出符合上述要求的方阵排列:
aD bA cB dC
cC dB aA bD
dA cD bC aB
bB aC dD cA
aA cD dE eB bC
dC bB eA cE aD
eD aE cC bA dB
bE eC aB dD cA
cB dA bD aC eE
如果兵团、军衔数为6情况又如何? 这便是所谓“36个军官问题”, 欧拉曾于1779年开始
研究它。
为方便计, 欧拉用大、小写拉丁字母分别表示不同军衔和兵团, 因而这类排方阵问题又有
“欧拉拉丁方” 称谓。
而所提要求: 每行、每列既有不同军衔又有不同军团代表, 数学称之为“正
交”, 如此一来, 问题又可称为“正交拉丁方问题”, 其中兵团或军衔数称为“阶”。
欧拉经过一段时间研究和尝试后宣称: 6、10、14、..., 一般地2(2k + 1) 阶正交拉
丁方不存在(k ∈N)。
1901年塔利(G. Tarry) 用穷举法证得“6阶正交拉丁方不存在”, 这样一来对于欧
述猜想人们似乎笃信, 尽管当时尚未有人给出它的证明。
20世纪50年代末, 由于科学技术发展而使得正交设计这门学科兴起,它也给正交拉丁方问
题研究注入生机。
是时, 印度数学家玻色(R. C. Bose) 用射影几何方法证明了结论:
若p 是质数(或它们的幂), 则定存在p 阶正交拉丁方完全组(即有p−1 个p 阶拉丁方,
且它们两两正交)。
1958年, 美国数学家帕克(E. T. Parker) 用群论和有限几何的方法, 构造出21阶正交拉
丁方。
在他的方法启发下, 玻色和史里克汉德(Shrikhande) 给出22阶(即k = 5 时4k + 2
型数) 正交拉丁方, 这便否定了欧拉的上述猜测。
紧接着他们又构造出10阶(k = 2 时4k + 2
型数) 正交拉丁方(见图):
同時他們還證明了: 除了n = 2、6外, 任何n 階正交拉丁方都存在。
数学直觉是宝贵的，因为数学直觉是数
学创造的源泉，数学直觉是数学发现的向导，
数学直觉是一种审美能力。
但是，数学直觉
有时也会让我们“出丑”，勤于思索才是基础。
没有这一基础，一切都是空想。