2020-2021学年山西省高考考前质量(5月)模拟数学(理)试题及答案解析
2020-2021学年山西省名校联考高考理科数学押题卷(5月份)及答案解析
山西省省际名校联考高考数学押题卷（理科）（5月份）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若i是虚数单位，是z的共轭复数，若z=，则||为（）A． B．C．D．12．设集合A={x|e x＞}，集合B={x|lgx≤﹣lg2}，则A∪B等于（）A．R B．[0，+∞） C．（0，+∞）D．∅3．在各项均为正数的等比数列{a n}中，a6=3，则a4+a8=（）A．有最小值6 B．有最大值6 C．有最大值9 D．有最小值34．设a，b，c为△ABC的三边长，若c2=a2+b2，且sinA+cosA=，则∠B的大小为（）A．B．C．D．5．如图给出的是计算+++…++的值的程序框图，其中判断框内应填入的是（）A．i≤4030？ B．i≥4030？ C．i≤4032？ D．i≥4032？6．现有三本相同的语文书和一本数学书，分发给三个学生，每个学生至少分得一本，问这样的分法有（）种．A．36 B．9 C．18 D．157．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥外接球的表面积是（）A．πB．34πC．πD．17π8．M是△ABC所在平面上一点，满足++=2，则为（）A．1：2 B．1：3 C．1：1 D．1：49．下列说法错误的是（）A．若a，b∈R，且a+b＞4，则a，b至少有一个大于2B．若p是q的充分不必要条件，则￢p是￢q的必要不充分条件C．若命题p：“＞0”，则￢p：“≤0”D．△ABC中，A是最大角，则sin2A＞sin2B+sin2C是△ABC为钝角三角形的充要条件10．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，△ABC为等边三角形，且AB=BB1=，则AB1与C1B所成的角的大小为（）A．60°B．90°C．105°D．75°11．已知定义在R上的函数f（x）满足xf′（x）﹣f（x）＞0，当0＜m＜n＜1时，下面选项中最大的一项是（）A．B．log m n•f（log n m）C．D．log n m•f（log m n）12．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作渐近线的垂线，设垂足为P（P为第一象限的点），延长FP交抛物线y2=2px（p＞0）于点Q，其中该双曲线与抛物线有一个共同的焦点，若=（+），则双曲线的离心率的平方为（）A．B．C．+1 D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知抛物线的方程为2y=x2，则该抛物线的准线方程为．14．由直线x=，y=x，曲线y=所围成封闭图形的面积为．15．若将函数f（x）=（x﹣1）7表示为f（x）=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a7（x+1）7，其中（a i ∈R，i=0，1，2，…，7）为实数，则a4等于．16．已知数列{a n}，a1=1，且a n﹣1﹣a n﹣1a n﹣a n=0（n≥2，n∈N*），记b n=a2n﹣1a2n+1，数列{b n}的前n 项和为T n，则满足不等式T n＜成立的最大正整数n为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，内角A，B，C所对边长分别是a，b，c，已知c=2，C=．（1）若△ABC的面积等于，求a，b；（2）求+a的最大值．18．某学校为了对教师教学水平和教师管理水平进行评价，从该校学生中选出300人进行统计．其中对教师教学水平给出好评的学生人数为总数的60%，对教师管理水平给出好评的学生人数为总数的75%，其中对教师教学水平和教师管理水平都给出好评的有120人．（1）填写教师教学水平和教师管理水平评价的2×2列联表：对教师管理水平好评对教师管理水平不满意合计对教师教学水平好评对教师教学水平不满意合计问：是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为教师教学水平好评与教师管理水平好评有关、（2）若将频率视为概率，有4人参与了此次评价，设对教师教学水平和教师管理水平全好评的人数为随机变量X；①求对教师教学水平和教师管理水平全好评的人数X的分布列（概率用组合数算式表示）；②求X的数学期望和方差．P（K2≥k）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828（K2=，其中n=a+b+c+d）19．如图，已知四棱锥S﹣ABCD，SB⊥AD，侧面SAD是边长为4的等边三角形，底面ABCD为菱形，侧面SAD与底面ABCD所成的二面角为120°．（1）求点S到平面ABCD的距离；（2）若E为SC的中点，求二面角A﹣DE﹣C的正弦值．20．已知F1，F2分别为椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右两个焦点，椭圆上点M（，）到F1、F2两点的距离之和等于4．（1）求椭圆C的方程；（2）已知过右焦点且垂直于x轴的直线与椭圆交于点N（点N在第一象限），E，F是椭圆C上的两个动点，如果k EN+K FN=0，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．21．设函数f（x）=．（1）求函数f（x）在[0，2]上得单调区间；（2）当m=0，k∈R时，求函数g（x）=f（x）﹣kx2在R上零点个数．[选修4-1：几何证明选讲]22．BD是等腰直角三角形△ABC腰AC上的中线，AM⊥BD于点M，延长AM交BC于点N，AF ⊥BC于点F，AF与BD交于点E．（1）求证；△ABE≌△ACN；（2）求证：∠ADB=∠CDN．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为：ρsin2θ﹣6cosθ=0，直线l的参数方程为：（t为参数），l与C交于P1，P2两点．（1）求曲线C的直角坐标方程及l的普通方程；（2）已知P0（3，0），求||P0P1|﹣|P0P2||的值．[选修4-5：不等式选讲]24．函数f（x）=|x|﹣2|x+3|．（1）解不等式f（x）≥2；（2）若存在x∈R使不等式f（x）﹣|3t﹣2|≥0成立，求参数t的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若i是虚数单位，是z的共轭复数，若z=，则||为（）A． B．C．D．1【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算公式求得答案．【解答】解：∵z==，∴||=|z|=．故选：A．2．设集合A={x|e x＞}，集合B={x|lgx≤﹣lg2}，则A∪B等于（）A．R B．[0，+∞） C．（0，+∞）D．∅【考点】并集及其运算．【分析】先化简集合A，B，再根据集合的并集的定义即可求出．【解答】解：由e x＞=，得到x＞，A=（，+∞），由lgx≤﹣lg2=lg，得到0＜x≤，B=（0，]，∴A∪B=（0，+∞），故选：C．3．在各项均为正数的等比数列{a n}中，a6=3，则a4+a8=（）A．有最小值6 B．有最大值6 C．有最大值9 D．有最小值3【考点】等比数列的通项公式．【分析】由题意设出等比数列的公比，把a4、a8用a6和公比表示，然后利用基本不等式求得答案．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q（q＞0），∵a6=3，∴，∴a4+a8=．当且仅当q=1时上式等号成立．故选：A．4．设a，b，c为△ABC的三边长，若c2=a2+b2，且sinA+cosA=，则∠B的大小为（）A．B．C．D．【考点】余弦定理．【分析】由c2=b2+a2，可得．由sinA+cosA=，化为2=，A∈，解得A．即可得出B．【解答】解：∵c2=b2+a2，∴．∵sinA+cosA=，∴2=，A∈，∴A+=，解得A=．则B==．故选：D．5．如图给出的是计算+++…++的值的程序框图，其中判断框内应填入的是（）A．i≤4030？ B．i≥4030？ C．i≤4032？ D．i≥4032？【考点】程序框图．【分析】程序的功能是求S=+++…++的值，且在循环体中，S=S+表示，每次累加的是的值，故当i≤4032应满足条件进入循环，进而得到答案．【解答】解：∵程序的功能是求S=+++…++的值，且在循环体中，S=S+表示，每次累加的是的值，故当i≤4032应满足条件进入循环，i＞4032时就不满足条件分析四个答案可得条件为：i≤4032，故选：C6．现有三本相同的语文书和一本数学书，分发给三个学生，每个学生至少分得一本，问这样的分法有（）种．A．36 B．9 C．18 D．15【考点】计数原理的应用．【分析】由敌意分为两类第一类，先选1人得到两本语文书，剩下的2人各得一本，第二类，先选1人得到一本语文书和一本数学书，其余两人各一本语文书，根据分类计数原理可得．【解答】解：第一类，先选1人得到两本语文书，剩下的2人各得一本，有C31A22=6种，第二类，先选1人得到一本语文书和一本数学书，其余两人各一本语文书，有C31=3种，根据分类计数原理可得，6+3=9种，故选：B．7．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥外接球的表面积是（）A．πB．34πC．πD．17π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是一个四棱锥，并画出对应的长方体，由三视图求出几何元素的长度，由长方体求出外接球的半径，由球体的表面积公式求出该四棱锥外接球的表面积．【解答】解：根据三视图可知几何体是一个四棱锥P﹣ABCD，如图：且四棱锥P﹣ABCD是长方体的一部分，AP=4、AB=AD=3，∴该四棱锥和正方体的外接球相同，设外接球的半径是R，则2R==，R=，∴该四棱锥外接球的表面积S=4πR2=34π，故选：B．8．M是△ABC所在平面上一点，满足++=2，则为（）A．1：2 B．1：3 C．1：1 D．1：4【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】如图所示，由++=2，可得++=2，化为：=，因此AM∥BC，3AM=BC，∠CBA=π﹣∠BAM，再利用三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：如图所示，∵++=2，∴++=2，化为：=，∴AM∥BC，3AM=BC，∠CBA=π﹣∠BAM，∴sin∠CBA=sin∠BAM，则==．故选：C．9．下列说法错误的是（）A．若a，b∈R，且a+b＞4，则a，b至少有一个大于2B．若p是q的充分不必要条件，则￢p是￢q的必要不充分条件C．若命题p：“＞0”，则￢p：“≤0”D．△ABC中，A是最大角，则sin2A＞sin2B+sin2C是△ABC为钝角三角形的充要条件【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A．利用反证法进行证明B．根据充分条件和必要条件的定义结合逆否命题的等价性进行判断C．根据命题的否定进行判断D．根据正弦定理和余弦定理进行判断．【解答】解：A．若a，b至少有一个大于2不成立，则都不大于2，则a≤2，b≤2，则a+b≤4，与a+b＞4矛盾，故假设不成立，则若a，b∈R，且a+b＞4，则a，b至少有一个大于2正确，B．若p是q的充分不必要条件，则￢q是￢p的充分不必要条件，即￢p是￢q的必要不充分条件，正确，C．若命题p：“＞0”，则￢p：“≤0或x﹣1=0”，故C错误，D．△ABC中，A是最大角，则sin2A＞sin2B+sin2C得a2＞b2+c2，则cosA=＜0，则A 是钝角，则△ABC为钝角三角形，若△ABC为钝角三角形，∵A是最大角，∴A是钝角，则cosA=＜0，即a2＞b2+c2，则sin2A＞sin2B+sin2C成立，即sin2A＞sin2B+sin2C是△ABC为钝角三角形的充要条件正确，故选：C10．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，△ABC为等边三角形，且AB=BB1=，则AB1与C1B所成的角的大小为（）A．60°B．90°C．105°D．75°【考点】异面直线及其所成的角．【分析】根据条件可作出图形，并且得到B1A1=B1B，根据向量的加法及数乘的几何意义便可得到，，从而可求得，这样即可得出AB1和C1B所成角的大小．【解答】解：如图，根据条件，B1A1=B1B；又，；∴；∴；∴AB1和C1B所成的角的大小为90°．故选：B．11．已知定义在R上的函数f（x）满足xf′（x）﹣f（x）＞0，当0＜m＜n＜1时，下面选项中最大的一项是（）A．B．log m n•f（log n m）C．D．log n m•f（log m n）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】通过构造新函数构造函数F（x）=xf（x）得出F（x）在R上是增函数，得到log n（m）最大，从而得出答案．【解答】解：构造函数F（x）=，∵xf′（x）﹣f（x）＞0，则F′（x）=＞0，即F（x）在R上是增函数，又由0＜m＜n＜1，知m n，n m＜1，而log m（n）＜log m（m）=1，log n（m）＞log n（n）=1，故在m n＜n m，log m（n），log n（m）中log n（m）最大，故F（log n（m））=log mn•f（log nm）最大故选：B．12．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作渐近线的垂线，设垂足为P（P为第一象限的点），延长FP交抛物线y2=2px（p＞0）于点Q，其中该双曲线与抛物线有一个共同的焦点，若=（+），则双曲线的离心率的平方为（）A．B．C．+1 D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由=（+），可得P为FQ的中点，设F（c，0），一条渐近线方程和垂直的垂线方程，求得交点P的坐标，由中点坐标公式可得Q的坐标，代入抛物线的方程，结合离心率公式，解方程可得所求值．【解答】解：由=（+），可得P为FQ的中点，设F（c，0），由渐近线方程y=x，①可设直线FP的方程为y=﹣（x﹣c），②由①②解得P（，），由中点坐标公式可得Q（﹣c，），代入抛物线的方程可得=2p•（﹣c），③由题意可得c=，即2p=4c，③即有c4﹣a2c2﹣a4=0，由e=可得e4﹣e2﹣1=0，解得e2=．故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知抛物线的方程为2y=x2，则该抛物线的准线方程为．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先根据抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及2p，再直接代入即可求出其准线方程．【解答】解：因为抛物线的标准方程为：x2=2y，焦点在y轴上；所以：2p=2，即p=1，所以准线方程y=﹣=﹣．故答案为：．14．由直线x=，y=x，曲线y=所围成封闭图形的面积为ln2﹣．【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】先联立方程，组成方程组，求得交点坐标，可得被积区间，再用定积分表示面积，即可求得结论．【解答】解：由，解得x=1，y=1，∴直线x=，y=x，曲线y=所围成封闭图形的面积为S=（﹣x）dx=（lnx﹣x2）|=（ln1﹣）﹣（﹣ln2﹣）=ln2﹣，故答案为：15．若将函数f（x）=（x﹣1）7表示为f（x）=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a7（x+1）7，其中（a i ∈R，i=0，1，2，…，7）为实数，则a4等于﹣280 ．【考点】二项式定理的应用．【分析】根据题意可得a4等于[﹣2+（x+1）]7的展开式中（x+1）4的系数，再利用二项展开式的通项公式求得a4的值．【解答】解：将函数f（x）=（x﹣1）7=[﹣2+（x+1）]7表示为f（x）=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a7（x+1）7，其中（a i∈R，i=0，1，2，…，7）为实数，则a4等于（x+1）4的系数，∴a4=•（﹣2）3=﹣280，故答案为：﹣280．16．已知数列{a n}，a1=1，且a n﹣1﹣a n﹣1a n﹣a n=0（n≥2，n∈N*），记b n=a2n﹣1a2n+1，数列{b n}的前n 项和为T n，则满足不等式T n＜成立的最大正整数n为7 ．【考点】数列的求和．【分析】先根据递推公式求出数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列，求出a n，再求出b n，根据裂项求和求出T n，再解不等式即可．【解答】解：∵a n﹣1﹣a n﹣1a n﹣a n=0，∴﹣=1，∵a1=1，∴=1，∴数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列，∴=1+n﹣1=n，即a n=，当n=1是成立，∴b n=a2n﹣1a2n+1=•=（﹣），∴T n=b1+b2+…+b n=（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）=，∵T n＜，∴（1﹣）＜，∴2n+1＜17，即n＜8，∴满足不等式T n＜成立的最大正整数n为7，故答案为：7．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，内角A，B，C所对边长分别是a，b，c，已知c=2，C=．（1）若△ABC的面积等于，求a，b；（2）求+a的最大值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由c=2，C=，利用余弦定理可得：a2+b2﹣ab=4，根据三角形的面积，联立方程组解出即可得出．（2）利用正弦定理、和差公式、三角函数的单调性值域即可得出．【解答】解：（1）∵c=2，C=，由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC得：a2+b2﹣ab=4，∵，∴ab=4，联立方程组，解得a=2，b=2．（2）由题意==，则=，（其中），当sin（B+φ）=1 时，的最大值为．18．某学校为了对教师教学水平和教师管理水平进行评价，从该校学生中选出300人进行统计．其中对教师教学水平给出好评的学生人数为总数的60%，对教师管理水平给出好评的学生人数为总数的75%，其中对教师教学水平和教师管理水平都给出好评的有120人．（1）填写教师教学水平和教师管理水平评价的2×2列联表：对教师管理水平好评对教师管理水平不满意合计对教师教学水平好评对教师教学水平不满意合计问：是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为教师教学水平好评与教师管理水平好评有关、（2）若将频率视为概率，有4人参与了此次评价，设对教师教学水平和教师管理水平全好评的人数为随机变量X；①求对教师教学水平和教师管理水平全好评的人数X的分布列（概率用组合数算式表示）；②求X的数学期望和方差．P（K2≥k）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （K2=，其中n=a+b+c+d）【考点】独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）根据题意，可得关于教师教学水平和教师管理水平评价的2×2列联表，计算K2，验证K2是否大于10.828，即可得出结论；（2）①分别求出X所有可能取值的概率，得出X的分布列；②由于X～B（4，），即可计算数学期望和方差．【解答】解：（1）由题意可得关于教师教学水平和教师管理水平评价的2×2列联表：对教师管理水平好评对教师管理水平不满意合计对教师教学水平好评120 60 180对教师教学水平不满意105 15 120合计225 75 300…2分，∴可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为教师教学水平好评与教师管理水平好评有关；…5分（2）①对教师教学水平和教师管理水平全好评的概率为，且X 的取值可以是0，1，2，3，4，其中；；；；，…8分X 的分布列为：X 0 1 2 3 4P…10分②由于X～B（4，），则，．…12分19．如图，已知四棱锥S﹣ABCD，SB⊥AD，侧面SAD是边长为4的等边三角形，底面ABCD为菱形，侧面SAD与底面ABCD所成的二面角为120°．（1）求点S到平面ABCD的距离；（2）若E为SC的中点，求二面角A﹣DE﹣C的正弦值．【考点】二面角的平面角及求法；点、线、面间的距离计算．【分析】（1）解：作SO⊥平面ABCD，连接OB，OA，OD，OB与AD交于点F，连接SF．推导出OB⊥AD，SF⊥AD．从而∠SFB为侧面SAD与底面ABCD所成的二面角的平面角，由此能求出点S 到平面ABCD的距离．（2）以O为坐标原点，使y轴与BC平行，OB，OS所在直线分别为y轴、z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣DE﹣C的正弦值．【解答】解：（1）如图，作SO⊥平面ABCD，垂足为点O．连接OB，OA，OD，OB与AD交于点F，连接SF．∵SB⊥AD，∴OB⊥AD．∵SA=SD，∴OA=OD．∴点F为AD的中点，所以SF⊥AD．由此知∠SFB为侧面SAD与底面ABCD所成的二面角的平面角，∴∠SFB=120°，∵侧面SAD是边长为4的等边三角形，∴SF==2，∴SO=SF•sin60°=2=3，即点S到平面ABCD的距离为3．…（2）如图以O为坐标原点，使y轴与BC平行，OB，OS所在直线分别为y轴、z轴建立空间直角坐标系，由已知得：A（，2，0），D（，0），C（3，﹣4，0），E（，﹣2，），=（0，﹣4，0），=（，0，），=（﹣，2，），设平面ADE的法向量为，则令x=，得=（，0，﹣1）．设平面DEC的法向量为=（x，y，z），则，令x=，得=（，3，﹣1），设二面角的平面角为θ，则cosθ===，∴sinθ==，∴二面角A﹣DE﹣C的正弦值为．20．已知F1，F2分别为椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右两个焦点，椭圆上点M（，）到F1、F2两点的距离之和等于4．（1）求椭圆C的方程；（2）已知过右焦点且垂直于x轴的直线与椭圆交于点N（点N在第一象限），E，F是椭圆C上的两个动点，如果k EN+K FN=0，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由已知求得a，把已知的坐标代入椭圆方程得到关于a，b的关系式，把a代入求得b，则椭圆方程可求；（2）求出N的坐标，设出NE所在直线方程，与椭圆方程联立求得E的坐标，同理求得F的坐标，代入两点求斜率公式可得直线EF的斜率为定值．【解答】解：（1）依据椭圆的定义2a=4⇒a=2，∵在椭圆上，∴，把a=2代入可得b2=3．∴椭圆方程；（2）由（1）得，c=1，则N（1，），设直线NE的方程为：，代入，得．设E（x E，y E），F（x F，y F），∵点在椭圆上，∴由韦达定理得：．∴．又直线NF的斜率与NE的斜率互为相反数，在上式中以﹣k代k，可得，∴x F+x E=，．．∴直线EF的斜率=，即直线EF的斜率为定值，其值为．21．设函数f（x）=．（1）求函数f（x）在[0，2]上得单调区间；（2）当m=0，k∈R时，求函数g（x）=f（x）﹣kx2在R上零点个数．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论m的范围，确定导数的符号，从而求出函数的单调区间即可；（2）将m=0代入g（x），令g（x）=0，分离出k，根据函数的单调性求出k的范围，从而判断出零点的个数．【解答】解：（1），当2﹣m≤0，即m≥2时，x∈[0，2]，f′（x）≥0，f（x）在[0，2]上单调递增；当0＜m＜2时，令f′（x）＜0，得0＜x＜2﹣m，令f′（x）＞0，得2﹣m＜x＜2，所以f（x）在[0，2﹣m]上单调递减，在[2﹣m，2]上单调递增；当m≤0时，f′（x）≤0，f（x）在[0，2]上单调递减．…（2）由g（x）=f（x）﹣kx2=0，令，，由或，由或，∴h（x）在上单调递减，在上单调递增．…在x＜0时，当时，h（x）取得极小值，且，当x→﹣∞时，h（x）→+∞；x→0时，h（x）→+∞．在x＞0时，当时，h（x）取得极小值，当x→0时，h（x）→+∞，x→+∞时，h（x）→0．综上结合图形得当没有零点，当有一个零点，当或有二个零点，当时有三个零点．…[选修4-1：几何证明选讲]22．BD是等腰直角三角形△ABC腰AC上的中线，AM⊥BD于点M，延长AM交BC于点N，AF ⊥BC于点F，AF与BD交于点E．（1）求证；△ABE≌△ACN；（2）求证：∠ADB=∠CDN．【考点】相似三角形的判定．【分析】（1）通过证明∠BAE=∠C，AB=AC，∠ABD=∠NAC，即可判定△ABE≌△ACN．（2）由AE=NC，AD=CD，∠EAD=∠C，可证明△ADE≌△CDN，利用全等三角形的性质即可证明∠ADB=∠CDN．【解答】（本题满分为10分）证明：（1）∠BAE=∠C=45°，AB=AC，∠ABD=∠NAC（∠ADB的余角），∴△ABE≌△ACN．…（2）由（1）可得AE=NC，AD=CD，∠EAD=∠C=45°，∴△ADE≌△CDN，∴∠ADB=∠CDN．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为：ρsin2θ﹣6cosθ=0，直线l的参数方程为：（t为参数），l与C交于P1，P2两点．（1）求曲线C的直角坐标方程及l的普通方程；（2）已知P0（3，0），求||P0P1|﹣|P0P2||的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）根据极坐标和普通坐标之间的关系进行转化求解．（2）将直线的参数方程代入抛物线方程，利用参数方程的几何意义进行求解．【解答】解：（1）∵ρsin2θ﹣6cosθ=0，∴ρ2sin2θ﹣ρ6cosθ=0，由得y2=6x，即C的直角坐标方程，直线l消去参数t得x=3+（2y），整理得．（2）将l的参数方程代入y2=6x，得．设P1，P2对应参数分别为t1，t2，，t1•t2=﹣72，所求．[选修4-5：不等式选讲]24．函数f（x）=|x|﹣2|x+3|．（1）解不等式f（x）≥2；（2）若存在x∈R使不等式f（x）﹣|3t﹣2|≥0成立，求参数t的取值范围．【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【分析】去掉绝对值符号，化简函数的解析式为分段函数，（I）不等式转化为或或，求出解集即可．（Ⅱ）求出f（x）max=3，转化不等式为f（x）max﹣|3t﹣2|≥0，然后求解参数t的取值范围．【解答】解：，…（I）或或，∴﹣4≤x＜﹣3或或ϕ．∴不等式f（x）≥2的解集为．…（Ⅱ）∵f（x）max=3∴只需f（x）max﹣|3t﹣2|≥0，即3﹣|3t﹣2|≥0，亦即|3t﹣2|≤3，解之得：，∴参数t的取值范围．…。
山西省太原市高三阶段测试(5月模拟)数学(理)试题Word版含答案
太原五中2016—2017学年第二学期阶段性检测高三数学（理科） 第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知全集{}{}2,|20,|1U R A x x x B x x ==-<=≥，则()U A C B =A. ()0,+∞B. (),1-∞C.(),2-∞D.()0,1 2.如果复数21z i=-+，则 A. z 的共轭复数为1i + B.z 的实数为1 C. 2z = D. z 的实数为1- 3.假设有两个分类变量X 和Y 的22⨯列联表：对同一样本，以下数据能说明X 和Y 有关系的可能性最大的一组为A. 45,15a c ==B. 40,20a c ==C. 35,25a c ==D. 30,30a c == 4.正项等比数列{}n a 中14033,a a 的是函数()3214633f x x x x =-+-的极值点，则62017log a =A. 1B. 2C.12D.-1 5.已知O 是坐标原点，点()1,1A -，若点(),M x y 为平面区域122x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩上的一个动点，则OA OM ⋅的最大值为 A. 3 B. 2 C.1 D. 06.我们可以用随机模拟的方法估计π的值，如图程序框图表示其基本步骤（函数RAND 内的任何一个实数，它能随机产生()0,1内的任何一个实数）.若输出的结果为521，则由此可估计π的近似值为A. 3.119B. 3.126C. 3.132D.3.1517.过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于A,B 两点，且2AF BF =，则直线AB 的斜率为A. 2232222- D. 323- 8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A. 5B.163 C. 7 D. 1739.小明跟父母、爷爷奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐成一排，若小明的父母至少有一人与他相邻，则不同的坐法的总数为 A. 60 B. 72 C.84 D. 96 10.将函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移个12π单位，再向上平移1个单位，得到()g x 的图象，若()()129g x g x ⋅=，且[]12,2,2x x ππ∈-，则122x x -的最大值为A.4912π B.356π C. 256πD.174π11.已知双曲线()2222:10,0x y a b a bΓ-=>>的焦距为2c ，直线:l y kx kc =-，若3k =则l 与Γ的左、右两支各有一个交点，若15k =，则l 与Γ的右支有两个不同的交点，则Γ的离心率的取值范围是A.()1,2B.()1,4C. ()2,4D. ()4,1612.已知函数()()2211,2812,2x x x f x e x x x -⎧--≤⎪=⎨-+->⎪⎩，若在区间()1,+∞上存在()2n n ≥个不同的的数123,,,,n x x x x ，使得比值()()()1212n nf x f x f x x x x ===成立，则n 的取值集合是A. B. C. D.第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知()13,,2cos ,2sin 22a b αα⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭，a 与b 的夹角为60，则2a b -= .14.已知()22nx x y+-的展开式中各项系数的和为32，则展开式中52x y 的系数为 . （用数字作答）15.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）契合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称.从外表上看，六根等长的正四棱柱体分成三组，经榫卯起来，如图，若正四棱柱的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为 .（容器壁的厚度忽略不计）.16.对于正整数n ，设n x 是关于x 的方程320nx x n +-=的实数根，记()()12n n a n x n =+≥⎡⎤⎣⎦，其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数，则()23201511007a a a +++= .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分12分）如图，在平面四边形ABCD 中，已知2,,6,23A B AB ππ∠=∠==在边AB 上取点E ，使得1BE =，连接,EC ED ，若2,7.3CED EC π∠== （1）求sin BCE ∠的值； （2）求CD 的长.随着移动互联网的快速发展，基于互联网的共享单车应运而生.某市场研究人员为了了解共享单车运营公司M的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，并绘制了相应的折线图.（1）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月度市场占有率y与月份代码x之间的关系，求y关于x的线性回归方程，并预测M公司2017年4月份的占有率；（2）为了进一步扩大市场，公司拟再采购一批单车.现有采购成本分别为1000元/辆和1200元/辆的A,B两款车型可供选择，按规定每辆单车最多使用4年，但由于多种原因（如骑行频率等）会导致车辆报废年限各不相同.考虑到公司运营的经济效益，该公司决定先对两款车型的单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命频数表如下：经测算，平均每辆单车每年可以带来收入500元.不考虑除采购成本之外的其它成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，且以频率作为每辆单车使用寿命的概率，如果你是M公司的负责人，以每辆单车产生利润的期望值为决策的依据，你会选择采购哪款车型？如图，已知多面体EABCDF 的底面ABCD 是边长为2的正方形，EA ⊥底面ABCD ，//,FD EA 且11.2FD EA == （1）记线段BC 的中点为K ，在平面ABCD 内过点K 作一条直线与平面ECF 平行，要求保留作图的痕迹，但不要求证明；（2）求直线EB 与平面ECF 所成角的正弦值.20.（本题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为()121,0,(1,0)F F -，点2A ⎛ ⎝⎭在椭圆C 上.（1）求椭圆的标准方程；（2）是否存在斜率为2的直线，使得当直线l 与椭圆有两个不交点,M N 时，能在直线53y =上找到一点P ,在椭圆上找到一点Q ，满足PM NQ =？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，说明理由.21.（本题满分12分）已知函数()()()21ln 1,.2f x xg x x x =+=- （1）过点()1,0-且与曲线()y f x =相切的直线方程；（2）设()()()h x af x g x =+，其中a 为非零实数，若()y h x =有两个极值点12,x x ，且12x x <，求证：()2120h x x ->.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。
2020-2021学年高考总复习数学(理)5月模拟联考试题及答案解析
普通高中最新联考 理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.设集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{x |x 2≤x }，则M ∩N 等于( )A ．{0}B ．{0,1}C ．{－1,1}D ．{－1,0,1}2.在复平面内，复数Z 满足()i i z 311+=+，则Z 的共轭复数对应的点位于 （ ）A .第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限 3. 等差数列}{n a 的前n 项和为30,1191=++a a a S n 若，那么13S 值的是（ ） A ．65 B ．70 C ．130 D ．2604．给出下列四个结论，其中正确的是 ( ) A ．若11a b>，则a <b B ．“a =3"是“直线l 1：2310a x y +-=与直线l 2:320x y -+=垂直”的充要条件C ．在区间[0，1]上随机取一个数x ，sin2x π的值介于0到12之间的概率是13D ．对于命题P ：x ∃∈R 使得21x x ++<0，则P ⌝：x ∀∈R 均有21x x ++>05.定义行列式运算：12142334a a a a a a a a =-.若将函数-sin cos ()1 -3x x f x =的图象向左平移m (0)m >个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则m 的最小值是（ ）A ．32π B ．3πC ．π65 D ．6π6．在△ABC 中，若(2)0AB ABAC ?=u u u r u u u ru u u r，则△ABC 的形状为（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形7.设x,y 满足约束条件36020,0,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩，若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为12，则32a b+=（ ） A.4 B.83 C.113D.2568. 设()f x 是定义在R 上的恒不为零的函数，对任意实数,x y R ∈，都有()()()f x f y f x y ⋅=+，若()()11,2n a a f n n N *==∈，则数列{}n a 的前n 项和n S 的取值范围是（ ）A.1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B. 1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D. 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦9．已知a 为如图所示的程序框图输出的结果，则二项式6a x x ⎛- ⎪⎝⎭的展开式中常数项是（ ）A. -20B. 52C. -192D. -16010．已知三棱锥O —ABC ，A 、B 、C 三点均在球心为O 的球表面上，∠ABC=120°，AB=BC=1，俯视图正视图三棱锥O —ABC 的体则球O 的表面积是（ ）A ．64πB ．16πC ．323π D ．544π11．定义在R 上的函数()f x 满足f （1）=1，且对任意x ∈R 都有1()2f x '<，则不等式221()2x f x +>的解集为（ ）A ．（1，2）B ．（－∞，1）C ．（1，+∞）D ．（－1，1）12.过椭圆14922=+y x 上一点H 作圆222=+y x 的两条切线,点B A ,为切点.过B A ,的直线l 与x 轴, y 轴分别交于点,P Q 两点, 则POQ ∆的面积的最小值为( )A .21B . 32C . 1 D . 34 二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
山西省临汾市侯马五0二学校2020-2021学年高三数学理月考试题含解析
山西省临汾市侯马五0二学校2020-2021学年高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数f（x）=，若关于x的不等式f2（x）+af（x）＞0恰有两个整数解，则实数a的取值范围是（）A．（﹣，﹣） B．[，）C．（﹣，﹣] D．（﹣1，﹣]参考答案：C【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】求出原函数的导函数，得到函数f（x）的单调区间，再由f2（x）+af（x）＞0求得f（x）的范围，结合函数f（x）的单调性可得使不等式f2（x）+af（x）＞0恰有两个整数解的实数a的取值范围．【解答】解：∵f′（x）=，∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，当a＞0时，f2（x）+af（x）＞0?f（x）＜﹣a或f（x）＞0，此时不等式f2（x）+af（x）＞0有无数个整数解，不符合题意；当a=0时，f2（x）+af（x）＞0?f（x）≠0，此时不等式f2（x）+af（x）＞0有无数个整数解，不符合题意；当a＜0时，f2（x）+af（x）＞0?f（x）＜0或f（x）＞﹣a，要使不等式f2（x）+af（x）＞0恰有两个整数解，必须满足f（3）≤﹣a＜f（2），得＜a≤，故选：C．2. 命题，则为（）A. B.C. D.参考答案：C3. 如图，偶函数的图象形如字母M，奇函数的图象形如字母N，若方程：的实数根的个数分别为a、b、c、d，则=A．27 B．30 C．33 D．36参考答案：B4. 设当时，函数取得最大值，则A．B．C．D．参考答案：C5. 已知函数的图像过点，为函数的导函数，为自然对数的底数，若，下恒成立，则不等式的解集为A. B. C. D.参考答案：.考点：1、导数在研究函数的单调性中的应用；6. 函数的定义域为（）A. B. C. D.参考答案：C，7. 设为虚数单位，则复数等于（）A．B．1－C．－1＋D．－1－参考答案：C略8. 设（a，，i是虚数单位），且，则有（）A. B.C. D.参考答案：D【分析】将,再和的实部和虚部对比，得出结果.【详解】因为，所以，，解得或，所以，故选D.【点睛】此题考查了复数的乘法运算，属于基础题。
2020年山西省晋中市高考数学模拟试卷(理科)(5月份)(A卷)(含答案解析)
2020年山西省晋中市高考数学模拟试卷（理科）（5月份）（A卷）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.集合，，则A. B. C. D.2.若复数为虚数单位是纯虚数，则a的值为A. 1B. 0C. 1D. 23.若，，且，则向量，的夹角为A. B. C. D.4.若，则下列不等式恒成立的是A. B. C. D.5.给定下列四个命题，其中真命题是A. 垂直于同一直线的两条直线相互平行B. 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行C. 垂直于同一平面的两个平面相互平行D. 若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直6.已知抛物线的焦点在y轴上，顶点在坐标原点O，且经过点，若点P到该抛物线焦点的距离为3，则等于A. B. C. 4 D.7.已知函数的最小正周期为，若将其图象沿x轴向右平移个单位，所得图象关于对称，则实数a的最小值为A. B. C. D.8.酒驾是严重危害交通安全的违法行为．根据规定：100mL血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上为醉酒驾车．某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了，若在停止喝酒后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，要想安全驾驶，那么他至少经过A. 2小时B. 4小时C. 6小时D. 8小时9.已知a为正整数，，，且，则当函数取得最大值时，A. B. C. D.10.某同学10次测评成绩的数据如茎叶图所示，总体的中位数为若要使该总体的标准差最小，则的值是A. 12B. 14C. 16D. 1811.已知双曲线与圆O：相交于A，B，C，D四点，如图所示，点F是双曲线C的左焦点，且，则双曲线C的离心率为A.B.C. 2D.12.函数，，若存在，，，，其中且，使得，则n的最大值为A. 8B. 9C. 10D. 11二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.某篮球运动员罚篮命中率为，在一次罚篮训练中连续投篮50次，X表示投进的次数，则______．14.已知函数是奇函数，当时，且，且，则______．15.现有一副斜边长为10的直角三角板，将它们斜边AB重合，若将其中一个三角板沿斜边折起形成三棱锥，如图所示，已知，，则三棱锥的外接球的表面积为______；该三棱锥体积的最大值为______．16.在中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且，若的面积，则面积的最小值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.2020年新年伊始，新型冠状病毒来势汹汹，疫情使得各地学生在寒假结束之后尤法返校，教育部就此提出了线上教学和远程教学，停课不停学的要求也得到了家长们的赞同．各地学校开展各式各样的线上教学，某地学校为了加强学生爱国教育，拟开设国学课，为了了解学生喜欢国学是否与性别有关，该学校对100名学生进行了问卷调查，得到如表列联表：喜欢国学不喜欢国学合计男生2050女生10合计100请将上述列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下认为喜欢国学与性别有关系？针对问卷调查的100名学生，学校决定从喜欢国学的人中按分层抽样的方法随机抽取6人成立国学宣传组，并在这6人中任选2人作为宣传组的组长，设这两人中女生人数为X，求X的分布列和数学期望．参考数据：，．18.已知三棱锥中，为等腰直角三角形，，平面ABC，且，且，D，F分别为PA，BC的中点．求证：直线平面ABC；求锐二面角的余弦值．19.已知等差数列前n项和为，，．求数列的通项公式及前n项和；设，求前n项和．20.设椭圆E：长轴长为4，右焦点F到左顶点的距离为3．求椭圆E的方程；设过原点O的直线交椭圆于A，B两点B不在坐标轴上，连接AF并延长交椭圆于点C，若，求四边形ABCD面积的最大值．21.已知函数．求在点处的切线方程；若恒成立，求a的取值范围；当时，证明．22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为，为参数以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．求曲线的普通方程和的直角坐标方程；已知曲线的极坐标方程为，点A是曲线与的交点，点B是曲线与的交点，且A，B均异于极点O，求的值．23.已知关于x的函数．若存在x使得不等式成立，求实数a的取值范围；若的解集包含，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：或，，，．故选：A．可以求出集合A，B，然后进行补集和交集的运算即可．本题考查了描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，交集和补集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：D解析：解：是纯虚数，，解得．故选：D．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：B解析：解：若，，且，设向量，的夹角为，，则，求得，，故选：B．由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，求得向量，的夹角．本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，属于基础题．4.答案：D解析：解：由幂函数的性质可知，函数在R上单调递增，又，，故选：D．利用幂函数的性质可知选项D正确．本题考查实数的大小比较，考查幂函数性质的运用，属于基础题．5.答案：D解析：解：如图所示，在长方体中：，，但是与不平行，所以A错；平面与平面相交，但是内平行于的直线都平行于，所以B错；平面平面，平面平面，但是这两个平面不平行，所以C错；故选：D．画出一个长方体，举例可以排除ABC，从而得到答案本题考查了命题以及立体几何，一般采用举反例方法排除选项，从而得到正确答案．考查了学生的直观想象能力．属于基础题．6.答案：B解析：解：设抛物线的方程为，由抛物线定义知，，，抛物线方程为，点在抛物线上，，．故选：B．先由抛物线的定义建立关于p的方程，解之可得p的值以及抛物线的方程，再把点P的坐标代入可求得，最后利用两点间距离公式即可得解．本题考查抛物线定义的应用、标准方程的求法，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．7.答案：B解析：解：函数，整理得，由于函数的最小正周期为，所以，故．将其图象沿x轴向右平移个单位，所得图象，由于函数的图象关于对称，所以，解得，当时，．故选：B．直接利用三角函数关系式的变换和余弦型函数性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，余弦型函数性质的应用，函数的图象的平移变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．8.答案：C解析：解：，则n小时后的血液中酒精含量为，由，解得，故选：C．先计算出某驾驶员每100mL血液中酒精含量，再计算n小时后的血液中酒精含量，然后解不等式求出结果．本题主要考查解不等式的内容，属于基础题．9.答案：C解析：解：已知，所以，所以，解得或舍去．则，由于，所以．则当，即时，函数取得最大值．故选：C．首先利用差角公式的的应用和对数的运算的应用求出a的值，进一步利用三角函数关系的运算的应用和正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：对数的关系式的运算的应用，三角函数关系式的恒等变换，和角公式的运用，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．10.答案：A解析：解：由题，因为中位数为12，所以，，；要使该总体的标准最小，即方差最小，所以：，当且紧当，取等号，即体标准差最小此时故选：A．由题，中位数为12，求得，再求得平均数，利用总体标准差最小和基本不等式求得x，y 的值，即可求得．本题考查了茎叶图，熟悉茎叶图，清楚中位数、标准差的求法是解题的关键，属于中档题型．11.答案：B解析：解：双曲线的右焦点为，根据对称性可知是平行四边形，所以，又点A在双曲线上，所以，因为，所以，所以，在三角形OFC中，，，，可得三角形OFC是直角三角形，C为直角，在三角形AFC中，，，，，所以，即：，所以双曲线的离心率为：．故选：B．画出图形，结合双曲线的性质判断四边形的形状，结合双曲线的定义求出三角形的边长，通过勾股定理转化求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，是基础题．12.答案：C解析：解：令，，，，，，，，，，，，集合，，，且，，，，即，又，的最大值为10．故选：C．令，由，得，由，，，，得，从而，，进而集合，，，，，由此能求出n的最大值．本题考查实数的取大值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．13.答案：解析：解：由题意知，随机变量，计算，故答案为：．根据题意知随机变量，计算即可．本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望、方差的计算问题，是基础题．14.答案：解析：解：根据题意，函数是奇函数，且，又由，则，又由当时，，则，解可得；故答案为：根据题意，由对数的性质可得，结合函数的奇偶性可得，结合函数的解析式可得，解可得a的值，即可得答案．本题考查函数奇偶性的性质，涉及函数值的计算以及对数的运算性质，属于基础题．15.答案：解析：解：由题意，，又，，，，，．，三棱锥的外接球的直径为AB，则球的半径为5，故球的表面积为；当点C到平面ABD的距离最大时，三棱锥的体积最大，此时平面平面ABD，且点C到平面ABD的距离，．故答案为：；．由题意，，再由已知求解三角形可得AD，BD，AC，BC的长度，结合，可知三棱锥的外接球的直径为AB，则球的表面积可求；当点C 到平面ABD的距离最大时，三棱锥的体积最大，此时平面平面ABD，求出点C到平面ABD的距离，可得三棱锥体积的最大值．本题考查多面体外接球表面积的求法，考查多面体体积最值的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，是中档题．16.答案：解析：解：，，，，，即．，的面积，解得．则面积的最小值为当且仅当，时取等号．故答案为：．，利用正弦定理、倍角公式可得，化简可得利用余弦定理再结合基本不等式的性质可得，利用的面积，进而得出结论．本题考查了倍角公式、正弦定理余弦定理、基本不等式的性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．喜欢国学不喜欢国学合计男生203050女生401050合计6040100，在犯错误的概率不超过的前提下认为喜欢国学与性别有关系．喜欢国学的共60人，按分层抽样的抽取6人，则每人被抽中的概率均为，从而需抽取男生2人，女生4人，X的所有可能取值为0，1，2，，，，的分布列为：X 0 1 2P．解析：补充完整的列联表，求出，从而在犯错误的概率不超过的前提下认为喜欢国学与性别有关系．喜欢国学的共60人，按分层抽样的抽取6人，则每人被抽中的概率均为，从而需抽取男生2人，女生4人，X的所有可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和．本题考查独立检验的应用，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查分层抽样、古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18.答案：解：证明：设AB的中点为G，连结DG，CG，则，，又，且，，且，四边形DGCE为平行四边形，，平面ABC，平面ABC，直线平面ABC．解：如图，以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，过点A作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则0，，4，，2，，0，，0，，0，，2，，，2，，，，，，，平面AEF，平面AEF的一个法向量2，，设平面PAE的一个法向量y，，4，，0，，则，取，得1，，设锐二面角的平面角为，则，锐二面角的余弦值为．解析：设AB的中点为G，连结DG，CG，推导出四边形DGCE为平行四边形，从而，由此能证明直线平面ABC．以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，过点A作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出锐二面角的余弦值．本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.答案：解：由题意，，即，设等差数列的公差为d，则，，．则，．由知，，当n为偶数时，为奇数，，当n为奇数时，为偶数，，综上所述，可得．解析：本题第题根据等差数列的求和公式和等差中项的性质计算可得，然后根据即可计算出公差d，则可得到等差数列的通项公式及前n项和；第题先根据第题的结果计算出数列的通项公式，然后分n为偶数和n为奇数两种情况分别求和，运用分组求和法及等差数列的求和公式进行计算，最后综合两种情况可得前n项和．本题主要考查等差数列的基本量的计算，以及正负交错类型数列的求和问题．考查了转化与化归思想，分类讨论数学，方程思想，分组求和法，逻辑思维能力和数学运算能力．本题属中档题．20.答案：解：由题得，，所以，则，故椭圆E的方程为：；根据条件可得，设直线AC的方程为，联立，整理得，设，，则，，则，令，则，在上单调递减，所以当，即时，面积最大，最大值为．解析：有条件得到，，求出b，即可得椭圆方程，设直线方程为，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系，结合图象得到，利用换元思想及不等式即可求出其最值．本题计算量较大，考查了椭圆标准方程的求法，直线与椭圆相交的综合问题，处理此类问题的常见技巧如下：确定椭圆的标准方程，关键是确定，的值，若引入c，则需建立关于a，b，c的三个独立的方程，注意隐含条件“”运用．对于直线与椭圆相交的有关三角形面积的最值问题，一般是联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理及弦长公式，写出面积的表达式，转化为一元二次函数问题，或利用导数，或利用其本不等式寻求最值．21.答案：解：解：由题知，，，，在点处的切线方程为，即；解：恒成立，所以恒成立．令，则，，当时，，故满足；当时，，故在上单调递减，时，，所以不满足；当时，时，，在上单调递增；时，，在上单调递减，，解得；综合知a的取值范围为；证明：当时，，由知：，即，．令，得，即，所以，．解析：先利用导数的几何意义求切线的斜率，进而求切线方程；先把恒成立转化为恒成立，再对a进行讨论，求出取值范围；先由中结论证出，进而有，再利用放缩法与裂项相消法证明即可．本题主要考查切线方程的求法及导数的综合应用，属于一道难题．22.答案：解：曲线的参数方程为，为参数转换为和直角坐标方程为．曲线的极坐标方程为转换为直角坐标方程为．根据题意建立，解得，同理，解得，故．解析：直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．利用极径的应用建立方程组，进一步求出的值．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：对，，当且仅当时，等号成立，故原条件等价于，即，解得，故实数a的取值范围为；当时，，，即，则，又的解集包含，在恒成立，当时，，又，，即实数a的取值范围为．解析：由绝对值不等式的性质可得，解出即可；依题意，在恒成立，则，，由此即可求得a的取值范围．本题考查绝对值不等式的解法以及不等式的恒成立问题，考查转化转化思想及运算求解能力，属于基础题．。
2020-2021学年山西省高考数学模拟试卷(理科)及答案解析
山西省高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一、选择题1．已知集合A={x|x2≤4，x∈R}，B={x|≤4，x∈Z}，则A∩B（）A．（0，2）B．[0，2] C．{0，1，2} D．{0，2}2．在复平面内复数6+5i、﹣2+3i对应的点分别为A、B，若复数z对应的点C为线段AB的中点，则的值为（）A．61 B．13 C．20 D．103．已知{a n}为等比数列，a1＞0，a4+a7=2，a5•a6=﹣8，则a1+a4+a7+a10=（）A．﹣7 B．﹣5 C．5 D．74．如图是将二进制111111（2）化成十进制数的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（）A．i≤6 B．i＞6 C．i≤5 D．i＞55．若圆C1：x2+y2+ax=0与圆C2：x2+y2+2ax+ytanθ=0都关于直线2x﹣y﹣1=0对称，则sinθcosθ=（）A．B．﹣C．﹣D．﹣6．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其主视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是（）A．B．C．D．7．已知f（x）=e x﹣x，g（x）=lnx+x+1，命题p：∀x∈R，f（x）＞0，命题q：∃x0∈（0，+∞），使得g（x0）=0，则下列说法正确的是（）A．p是真命题，￢p：∃x0∈R，f（x0）＜0B．p是假命题，￢p：∃x0∈R，f（x0）≤0C．q是真命题，￢q：∀x∈（0，+∞），g（x）≠0D．q是假命题，￢q：∀x∈（0，+∞），g（x）≠08．设偶函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML=90°，KL=1，则f（）的值为（）A．B．C．D．9．一袋中有红、黄、蓝三种颜色的小球各一个，每次从中取出一个，记下颜色后放回，当三种颜色的球全部取出时停止取球，则恰好取5次球时停止取球的概率为（）A．B．C．D．10．已知在三棱锥P﹣ABC中，V P﹣ABC=，∠APC=，∠BPC=，PA⊥AC，PB⊥BC，且平面PAC⊥平面PBC，那么三棱锥P﹣ABC外接球的体积为（）A．B．C． D．11．如图，已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，|F1F2|=4，P是双曲线右支上的一点，F2P与y轴交于点A，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，若|PQ|=1，则双曲线的离心率是（）A．3 B．2 C．D．12．已知t为常数，函数f（x）=x2+tln（x+1）有两个极值点a，b（a＜b），则（）A．f（b）＞ B．f（b）＜ C．f（b）＞D．f（b）＜二、填空题13．若dx=a，则（1﹣x）3（1﹣）3展开式中的常数项是______．14．设随机变量X～N（3，σ2），若P（X＞m）=0.3，则P（X＞6﹣m）=______．15．已知向量=（x﹣z，1），=（2，y+z），且，若变量x，y满足约束条件，则z的最大值为______．16．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，a（4﹣2cosB）=b（2cosA﹣5），则cosC的最小值为______．三、解答题17．已知数列{a n}的首项a1=，a n+1=，n=1，2，3，…．（Ⅰ）证明：数列{﹣1}是等比数列；（Ⅱ）求数列{}的前n项和S n．18．在正三角形ABC中，E、F、P分别是﹣AB、AC、BC边上的点，满足AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2（如图1）．将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使二面角A1﹣EF﹣B成直二面角，连结A1B、A1P（如图2）．（1）求证：A1E⊥平面BEP；（2）求二面角B一A1P一F的余弦值的大小．19．我校70校庆，各届校友纷至沓来，高73级1班共来了n位校友（n＞8且n∈N*），其中女校友6位，组委会对这n位校友登记制作了一份校友名单，现随机从中选出2位校友代表，若选出的2位校友是一男一女，则称为“最佳组合”（Ⅰ）若随机选出的2位校友代表为“最佳组合”的概率不小于，求n的最大值；（Ⅱ）当n=12时，设选出的2位校友中女校友人数为ξ，求ξ的分布列和Eξ．20．在平面直角坐标系中，已知点A（，0），点B为直线x=﹣上的动点，点C是线段AB与y轴的交点，点M满足•=0，•=0．（1）求动点M的轨迹E的方程；（2）设点P是轨迹E上的动点，点R、N在y轴上，圆（x﹣1）2+y2=1内切于△PRN，求△PRN 的面积的最小值．21．设f（x）=．（1）求证：f（x）在（0，1）和（1，+∞）上都是增函数；（2）若在函数f（x）的定义域内，不等式af（x）＞x恒成立，求a的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]22．几何证明选讲如图，已知AD为圆O的直径，直线BA与圆O相切于点A，直线OB与弦AC 垂直并相交于点G，与弧相交于M，连接DC，AB=10，AC=12．（1）求证：BA•DC=GC•AD；（2）求BM．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．选修4﹣4：坐标系与参数方程已知曲线C的极坐标方程是ρ=2，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）写出直线l与曲线C的直角坐标系下的方程；（Ⅱ）设曲线C经过伸缩变换得到曲线C′设曲线C′上任一点为M（x，y），求的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=log2（|x+1|+|x﹣2|﹣m）．（1）当m=5时，求函数f（x）的定义域；（2）若关于x的不等式f（x）≥1的解集是R，求m的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题1．已知集合A={x|x2≤4，x∈R}，B={x|≤4，x∈Z}，则A∩B（）A．（0，2）B．[0，2] C．{0，1，2} D．{0，2}【考点】交集及其运算．【分析】求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中不等式解得：﹣2≤x≤2，即A=[﹣2，2]，由B中不等式解得：0≤x≤16，x∈Z，即B={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16}，则A∩B={0，1，2}，故选：C．2．在复平面内复数6+5i、﹣2+3i对应的点分别为A、B，若复数z对应的点C为线段AB的中点，则的值为（）A．61 B．13 C．20 D．10【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】根据z是A、B的中点，由复平面内的中点坐标公式求出z，则可求，代入可求的值．【解答】解：因为复数6+5i、﹣2+3i对应的点分别为A、B，且若复数z对应的点C为线段AB的中点，所以z=，所以，所以故选C．3．已知{a n}为等比数列，a1＞0，a4+a7=2，a5•a6=﹣8，则a1+a4+a7+a10=（）A．﹣7 B．﹣5 C．5 D．7【考点】等比数列的通项公式．【分析】由已知得a4，a7是一元二次方程x2﹣2x﹣8=0的两个根，解方程，得a4=﹣2，a7=4或a4=2，a7=﹣4，由a1＞0，得，由此能求出a1+a4+a7+a10的值．【解答】解：∵{a n}为等比数列，a1＞0，a4+a7=2，a5•a6=﹣8，∴a4a7=﹣8，∴a4，a7是一元二次方程x2﹣2x﹣8=0的两个根，解方程，得a4=﹣2，a7=4或a4=2，a7=﹣4，解得或，∵a1＞0，∴，∴a1+a4+a7+a10==1+2﹣8=﹣5．故选：B．4．如图是将二进制111111（2）化成十进制数的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（）A．i≤6 B．i＞6 C．i≤5 D．i＞5【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图程序要要循环5次，根据循环变量的初值为1，步长为1，故循环变量的终值为5，由满足条件时退出循环，分析四个答案，即可得到结论．【解答】解：由已知中程序的功能是将二进制数111111（2）化为十进制数，结合循环体中S=1+2S，及二进制数111111（2）共有6位，可得循环体要重复执行5次，又由于循环变量初值为1，步长为1，故循环终值为5，即i≤5时，继续循环，i＞5时，退出循环，故选：C．5．若圆C1：x2+y2+ax=0与圆C2：x2+y2+2ax+ytanθ=0都关于直线2x﹣y﹣1=0对称，则sinθcosθ=（）A．B．﹣C．﹣D．﹣【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】求出圆心坐标，根据圆关于直线对称，得到圆心在直线上，得到tanθ=﹣2，利用1的代换进行求解即可．【解答】解：圆C1：x2+y2+ax=0的圆心坐标为（﹣，0），圆C2：x2+y2+2ax+ytanθ=0的圆心坐标为（﹣a，﹣），∵两圆都关于直线2x﹣y﹣1=0对称，∴圆心都在方程为2x﹣y﹣1=0的直线上，则﹣×2﹣1=0，得a=﹣1，﹣2a+﹣1=0，即2+﹣1=0则=﹣1，即tanθ=﹣2，则sinθcosθ=====﹣，故选：C．6．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其主视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是（）A．B．C．D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．根据三视图看到方向，可以确定三个识图的形状，判断答案．【解答】解：∵相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．∴其正视图和侧视图是一个圆，∵俯视图是从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上∴俯视图是有2条对角线且为实线的正方形，故选：B7．已知f（x）=e x﹣x，g（x）=lnx+x+1，命题p：∀x∈R，f（x）＞0，命题q：∃x0∈（0，+∞），使得g（x0）=0，则下列说法正确的是（）A．p是真命题，￢p：∃x0∈R，f（x0）＜0B．p是假命题，￢p：∃x0∈R，f（x0）≤0C．q是真命题，￢q：∀x∈（0，+∞），g（x）≠0D．q是假命题，￢q：∀x∈（0，+∞），g（x）≠0【考点】全称命题；特称命题．【分析】利用导数和函数零点存在条件分别判断命题p，q的真假，结合含有量词的命题的否定进行判断即可．【解答】解：f′（x）=e x﹣1，由f′（x）＞0得x＞0，由f′（x）＜0得x＜0，即当x=0时，函数f（x）取得极小值，同时也是最小值f（0）=e0﹣0=1﹣0=1＞0，∴∀x∈R，f（x）＞0成立，即p是真命题．g（x）=lnx+x+1在（0，+∞）上为增函数，当x→0时，g（x）＜0，g（1）=0+1+1=2＞0，则：∃x0∈（0，+∞），使得g（x0）=0成立，即命题q是真命题．则￢p：∃x0∈R，f（x0）≤0，￢q：∀x∈（0，+∞），g（x）≠0，综上只有C成立，故选：C8．设偶函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML=90°，KL=1，则f（）的值为（）A．B．C．D．【考点】正弦函数的图象．【分析】由条件利用等腰直角三角形求出A，由周期求出ω，由函数的奇偶性求出φ的值，可得f（x）的解析式，再利用两角差的余弦公式，求得f（）的值．【解答】解：由题意可得•=KL=1，∴ω=π，KM==，∴A=，∴f（x）=sin （πx+φ）．再结合f（x）为偶函数，以及所给的图象，可得φ=，∴f（x）=cos（πx）．则f（）=cos（）=•cos（﹣）=[cos cos+sin sin]=•[+]=，故选：B．9．一袋中有红、黄、蓝三种颜色的小球各一个，每次从中取出一个，记下颜色后放回，当三种颜色的球全部取出时停止取球，则恰好取5次球时停止取球的概率为（）A．B．C．D．【考点】互斥事件与对立事件；等可能事件的概率．【分析】恰好取5次球时停止取球，分两种情况3，1，1及2，2，1，这两种情况是互斥的，利用等可能事件的概率计算每一种情况的概率，再根据互斥事件的概率得到结果．【解答】解：分两种情况3，1，1及2，2，1这两种情况是互斥的，下面计算每一种情况的概率，当取球的个数是3，1，1时，试验发生包含的事件是35，满足条件的事件数是C31C43C21∴这种结果发生的概率是=同理求得第二种结果的概率是根据互斥事件的概率公式得到P=故选B10．已知在三棱锥P﹣ABC中，V P﹣ABC=，∠APC=，∠BPC=，PA⊥AC，PB⊥BC，且平面PAC⊥平面PBC，那么三棱锥P﹣ABC外接球的体积为（）A．B．C． D．【考点】球的体积和表面积．【分析】利用等体积转换，求出PC，PA⊥AC，PB⊥BC，可得PC的中点为球心，球的半径，即可求出三棱锥P﹣ABC外接球的体积．【解答】解：由题意，设PC=2x，则∵PA⊥AC，∠APC=，∴△APC为等腰直角三角形，∴PC边上的高为x，∵平面PAC⊥平面PBC，∴A到平面PBC的距离为x，∵∠BPC=，PA⊥AC，PB⊥BC，∴PB=x，BC=x，==，∴S△PBC∴V P﹣ABC=V A﹣PBC==，∴x=2，∵PA⊥AC，PB⊥BC，∴PC的中点为球心，球的半径为2，∴三棱锥P﹣ABC外接球的体积为=．故选：D．11．如图，已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，|F1F2|=4，P是双曲线右支上的一点，F2P与y轴交于点A，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，若|PQ|=1，则双曲线的离心率是（）A．3 B．2 C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由|PQ|=1，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，根据切线长定理，可得|PF1|﹣|PF2|=2，结合|F1F2|=4，即可得出结论．【解答】解：由题意，∵|PQ|=1，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，∴根据切线长定理可得AM=AN，F1M=F1Q，PN=PQ，∵|AF1|=|AF2|，∴AM+F1M=AN+PN+NF2，∴F1M=PN+NF2=PQ+PF2∴|PF1|﹣|PF2|=F1Q+PQ﹣PF2=F1M+PQ﹣PF2=PQ+PF2+PQ﹣PF2=2PQ=2，∵|F1F2|=4，∴双曲线的离心率是e==2．故选：B．12．已知t为常数，函数f（x）=x2+tln（x+1）有两个极值点a，b（a＜b），则（）A．f（b）＞ B．f（b）＜ C．f（b）＞D．f（b）＜【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】b是方程g（x）=0的根，将t用b表示，消去b得到关于t的函数，研究函数的单调性求出函数的最大值，即可得出结论．【解答】解：∵f（x）=x2+tln（1+x），∴f′（x）=（x＞﹣1）令g（x）=2x2+2x+t，函数的对称轴为x=﹣，g（﹣1）＞0．∵函数f（x）=x2+tln（x+1）有两个极值点a，b（a＜b），∴g（0）=t＞0，﹣＜b＜0，t=﹣（2b2+2b），∴f（b）=b2+tln（1+b）=b2﹣（2b2+2b）ln（1+b）．设h（x）=x2﹣（2x2+2x）ln（1+x）（x＞﹣），则h′（x）=2x﹣2（2x+1）ln（1+x）﹣2x=﹣2（2x+1）ln（1+x），（1）当x∈（﹣，0）时，h′（x）＞0，∴h（x）在[﹣，0）单调递增；（2）当x∈（0，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）在（0，+∞）单调递减．∴x∈（﹣，0），h（x）＞h（﹣）=；故f（b）=h（b）＞．故选：A．二、填空题13．若dx=a，则（1﹣x）3（1﹣）3展开式中的常数项是20 ．【考点】二项式系数的性质．【分析】求定积分得到a值，代入（1﹣x）3（1﹣）3，展开两数差的立方公式后即可求得答案．【解答】解：由dx=，得a=1，∴（1﹣x）3（1﹣）3=（1﹣x）3（1﹣）3=，∴（1﹣x）3（1﹣）3展开式中的常数项是1+9+9+1=20．故答案为：20．14．设随机变量X～N（3，σ2），若P（X＞m）=0.3，则P（X＞6﹣m）= 0.7 ．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】随机变量ξ服从正态分布N（3，σ2），得到曲线关于x=3对称，根据曲线的对称性得到结果．【解答】解：随机变量X服从正态分布N（3，σ2），∴曲线关于x=3对称，∵P（X＞m）=0.3，∴P（X＞6﹣m）=1﹣0.3=0.7，故答案为：0.7．15．已知向量=（x﹣z，1），=（2，y+z），且，若变量x，y满足约束条件，则z的最大值为 3 ．【考点】简单线性规划；平面向量数量积的运算．【分析】画出不等式组表示的平面区域；将目标函数变形，画出其相应的图象；结合图，得到直线平移至（1，1）时，纵截距最大，z最大，求出z的最大值．【解答】解：由得（x﹣z，1）（2，y+z）=0，即z=2x+y，画出不等式组的可行域，如右图，目标函数变为：z=2x+y，作出y=﹣2x的图象，并平移，由图可知，直线过B点时，在y轴上的截距最大，此时z的值最大：求出B点坐标（1，1）Z max=2×1+1=3，故答案为：3．16．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，a（4﹣2cosB）=b（2cosA﹣5），则cosC的最小值为﹣．【考点】余弦定理．【分析】第一步：将原式变形，利用余弦定理，将角化为边；第二步：用a，b表示c；第三步：写出cosC的表达式，并用a，b表示；第四步：利用基本不等式放缩，即可获取定值．【解答】解：a（4﹣2cosB）=b（2cosA﹣5）⇒4a+5b=2（bcosA+acosB），由余弦定理，得cosA=，cosB=，∴4a+5b=2（b•+a•）=2c，即4a+5b=2c，得c2=，从而cosC==≥．故答案为：﹣．三、解答题17．已知数列{a n}的首项a1=，a n+1=，n=1，2，3，…．（Ⅰ）证明：数列{﹣1}是等比数列；（Ⅱ）求数列{}的前n项和S n．【考点】数列的求和；等比关系的确定．【分析】（Ⅰ）由a n+1=，可得，即可证明数列{﹣1}是等比数列；（Ⅱ）分组，再利用错位相减法，即可求出数列{}的前n项和S n．【解答】（Ⅰ）证明：∵，∴，∴，又，∴，∴数列是以为首项，为公比的等比数列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知﹣1=，即，∴．设…，①则…，②由①﹣②得…，∴．又1+2+3+…，∴数列的前n项和．18．在正三角形ABC中，E、F、P分别是﹣AB、AC、BC边上的点，满足AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2（如图1）．将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使二面角A1﹣EF﹣B成直二面角，连结A1B、A1P（如图2）．（1）求证：A1E⊥平面BEP；（2）求二面角B一A1P一F的余弦值的大小．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角．【分析】（1）利用线面垂直的判定定理即可证明A1E⊥平面BEP；（2）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角B一A1P一F的余弦值的大小．【解答】解：不妨设正三角形ABC 的边长为3．（1）在图1中，取BE的中点D，连结DF．∵AE：EB=CF：FA=1：2，∴AF=AD=2．…而∠A=60°，∴△ADF是正三角形．又AE=DE=1，∴EF⊥AD．…在图2中，A1E⊥EF，BE⊥EF，∴∠A1EB为二面角A1﹣EF﹣B的平面角．由题设条件知此二面角为直二面角，∴A1E⊥BE．又BE∩EF=E，∴A1E⊥平面BEF，即A1E⊥平面BEP．…（2）由（1）知，即A1E⊥平面BEP，BE⊥EF．以E为原点，以EB、EF、EA1分别为x、y、z轴建立如图3所示的坐标系如图，…．…∴．…，…，．…，．…，．…因为二面角B﹣A1P﹣F为钝角，．…19．我校70校庆，各届校友纷至沓来，高73级1班共来了n位校友（n＞8且n∈N*），其中女校友6位，组委会对这n位校友登记制作了一份校友名单，现随机从中选出2位校友代表，若选出的2位校友是一男一女，则称为“最佳组合”（Ⅰ）若随机选出的2位校友代表为“最佳组合”的概率不小于，求n的最大值；（Ⅱ）当n=12时，设选出的2位校友中女校友人数为ξ，求ξ的分布列和Eξ．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）所选两人为“最佳组合”的概率p==，由此能求出n的最大值．（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题可知，所选两人为“最佳组合”的概率：p==，…则．…化简得n2﹣25n+144≤0，解得9≤n≤16，∴n的最大值为16．…（Ⅱ）由题意得，ξ的可能取值为0，1，2，…则P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）=，ξ0 1 2P…∴Eξ=0×+1×+2×=1．…20．在平面直角坐标系中，已知点A（，0），点B为直线x=﹣上的动点，点C是线段AB与y轴的交点，点M满足•=0，•=0．（1）求动点M的轨迹E的方程；（2）设点P是轨迹E上的动点，点R、N在y轴上，圆（x﹣1）2+y2=1内切于△PRN，求△PRN 的面积的最小值．【考点】轨迹方程．【分析】（1）设点M的坐标为（x，y），由题设确定|MB|=|MA|．根据抛物线的定义可知点M的轨迹为抛物线，根据焦点和准线方程，则可得抛物线方程．（2）设P（x0，y0），R（0，b），N（0，c），且b＞c，则直线PR的方程可得，由题设知，圆心（1，0）到直线PR的距离为1，把x0，y0代入化简整理可得（x0﹣2）b2+2y0b﹣x0=0，同理可得（x0﹣2）c2+2y0c﹣x0=0，进而可知b，c为方程（x0﹣2）x2+2y0x﹣x0=0的两根，根据求根公式，可求得b﹣c，进而可得△PRN的面积的表达式，根据均值不等式可知当当x0=4时面积最小，进而求得点P的坐标．【解答】解：（1）设点M的坐标为（x，y），则∵点C是线段AB与y轴的交点，∴C是线段AB的中点，∵•=0，∴CM⊥AB，∴|MB|=|MA|．∴动点M的轨迹E是以A为焦点，x=﹣为准线的抛物线∴其方程为y2=2x；（2）设P（x0，y0），R（0，b），N（0，c），且b＞c，故直线PR的方程为（y0﹣b）x﹣x0y+x0b=0．由题设知，圆心（1，0）到直线PR的距离为1，即=1．注意到x0＞2，化简上式，得（x0﹣2）b2+2y0b﹣x0=0，同理可得（x0﹣2）c2+2y0c﹣x0=0．由上可知，b，c为方程（x0﹣2）x2+2y0x﹣x0=0的两根，根据求根公式，可得b﹣c==．故△PRN的面积为S=（b﹣c）x0=（x0﹣2）++4≥2+4=8，等号当且仅当x0=4时成立．此时点P的坐标为（4，2）或（4，﹣2）．综上所述，当点P的坐标为（4，2）或（4，﹣2）时，△PRN的面积取最小值8．21．设f（x）=．（1）求证：f（x）在（0，1）和（1，+∞）上都是增函数；（2）若在函数f（x）的定义域内，不等式af（x）＞x恒成立，求a的取值范围．【考点】函数恒成立问题．【分析】（1）求函数的导数，利用函数单调性和导数的关系进行性证明即可．（2）根据不等式恒成立，构造函数转化为最值恒成立即可．【解答】解：（1）函数定义域为（0，1）∪（1，+∞），函数的导数f′（x）==•（2lnx﹣），令g（x）=2lnx﹣，则g′（x）=，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）为减函数，∴g（x）＞g（1）=0，则f′（x）=•g（x）＞0，此时f（x）为增函数，当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，∴g（x）＞g（1）=0，则f′（x）=•g（x）＞0，此时f（x）为增函数，综上f（x）在（0，1）和（1，+∞）上都是增函数（2）af（x）﹣x=a•﹣x=[﹣lnx]．设h（x）=﹣lnx，x＞0，则h′（x）=，①当a＞0且△=1﹣4a2＜0，即a≥时，此时ax2﹣x+a≥0在（0，1）和（1，+∞）恒成立，∴当a≥时，h′（x）≥0，故h（x）在（0，1）和（1，+∞）上都是增函数；当0＜x＜1时，h（x）＜h（1）=0，而lnx＜0，∴af（x）﹣x=•h（x）＞0，当x＞1时，h（x）＞h（1）=0，而lnx＞0，∴af（x）﹣x=•h（x）＞0，综上当x＞0且x≠1时，af（x）＞x，②当0＜a＜时，令h′（x）＜0，得＜x＜，此时函数h（x）在（1，）上为减函数，当1＜x＜时，h（x）＜h（0）=0，故af（x）﹣x=•h（x）＜0，不符合题意，③当a≤0时，h′（x）≤0，故h（x）在（0，1）和（1，+∞）上是减函数，同理可得af（x）﹣x=•h（x）＜0，不符合题意，综上，a≥．[选修4-1：几何证明选讲]22．几何证明选讲如图，已知AD为圆O的直径，直线BA与圆O相切于点A，直线OB与弦AC 垂直并相交于点G，与弧相交于M，连接DC，AB=10，AC=12．（1）求证：BA•DC=GC•AD；（2）求BM．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）根据AC⊥OB，及AD是圆O的直径，得到Rt△AGB和Rt△DCA相似，从而得到，又GC=AG，所以，从而得到证明；（2）根据直角三角形中的边角关系求得BG，再根据直角三角形的相似及切割线定理求解即可．【解答】（1）证明：因为AC⊥OB，所以∠AGB=90°又AD是圆O的直径，所以∠DCA=90°又因为∠BAG=∠ADC（弦切角等于同弧所对圆周角）所以Rt△AGB和Rt△DCA相似所以又因为OG⊥AC，所以GC=AG所以，即BA•DC=GC•AD（2）解：因为AC=12，所以AG=6，因为AB=10，所以由（1）知：Rt△AGB～Rt△DCA，．所以所以AD=15，即圆的直径2r=15又因为AB2=BM•（BM+2r），即BM2+15BM﹣100=0解得BM=5．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．选修4﹣4：坐标系与参数方程已知曲线C的极坐标方程是ρ=2，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）写出直线l与曲线C的直角坐标系下的方程；（Ⅱ）设曲线C经过伸缩变换得到曲线C′设曲线C′上任一点为M（x，y），求的取值范围．【考点】参数方程化成普通方程；伸缩变换．【分析】（I）利用ρ2=x2+y2，将ρ=1转化成直角坐标方程，然后将直线的参数方程的上式化简成t=2（x﹣1）代入下式消去参数t即可；（II）根据伸缩变换公式求出变换后的曲线方程，然后利用参数方程表示出曲线上任意一点，代入，根据三角函数的辅助角公式求出其范围即可．【解答】解：（Ⅰ）直线l的普通方程x+y﹣2﹣1=0曲线C的直角坐标方程x2+y2=4；…（Ⅱ）曲线C经过伸缩变换得到曲线C'的方程为，则点M参数方程为，代入x+y得，x+y=•2cosθ+=2sin=4sin（）∈[﹣4，4]∴x+y的取值范围是[﹣4，4]…[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=log2（|x+1|+|x﹣2|﹣m）．（1）当m=5时，求函数f（x）的定义域；（2）若关于x的不等式f（x）≥1的解集是R，求m的取值范围．【考点】绝对值不等式；对数函数图象与性质的综合应用；绝对值不等式的解法．【分析】对于（1）当m=5时，求函数f（x）的定义域．根据m=5和对数函数定义域的求法可得到：|x+1|+|x﹣2|＞5，然后分类讨论去绝对值号，求解即可得到答案．对于（2）由关于x的不等式f（x）≥1，得到|x+1|+|x﹣2|＞m+2．因为已知解集是R，根据绝对值不等式可得到|x+1|+|x﹣2|≥3，令m+2＜3，求解即可得到答案．【解答】解：（1）由题设知：当m=5时：|x+1|+|x﹣2|＞5，不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集：，或，或，解得函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）；（2）不等式f（x）≥1即log2（|x+1|+|x﹣2|﹣m）≥1．即|x+1|+|x﹣2|≥m+2，∵x∈R时，恒有|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|=3，不等式|x+1|+|x﹣2|≥m+2解集是R，∴m+2≤3，m的取值范围是（﹣∞，1]．故答案为：（﹣∞，1]．。
2020-2021学年山西省高考考前质量检测(三)数学(理)试题及答案解析
高考考前质量检测（三）理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数i R b a bi a z ,,(∈+=为虚数单位）满足12-=z ，则=b （ ）A ．iB ．i ±C ．1D ．1±2.用199,,1,0⋅⋅⋅给200个零件编号，并用系统抽样的方法从中抽取10件作为样本进行质量检测，若第一段中编号为5的零件被取出，则第二段中被取出的零件编号为（ ） A ．10 B ．15 C ．20 D ．253.曲线x x y 23-=在点)1,1(-处的切线方程为（ ）A ．0=-y xB ．02=--y xC ．0=+y xD ．02=-+y x4.P 为双曲线1322=-y x 的渐近线位于第一象限上的一点，若点P 到该双曲线左焦点的距离为32，则点P 到其右焦点的距离为（ ）A ．2B ．3C ．2D ．15.如图所示，将（1）中的正方体截去两个三棱锥，得到图（2）中的几何体，则该几何体的侧视图为（ ）6.设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若4,262==S S ，在=4S （ ） A ．22 B ．3 C ．51+ D ．310 7.实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-≤-+,0,0,0y y x a y x 若y x z 2-=的最小值为1-，则实数a 的值为（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．28.若，且，则的值为（ ）9.执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值为（ ） A ．213 B ．6 C ．211D ．510.已知b a ,为同一平面内的两个向量，且a b a 21),,1(==，若2+与-2垂直，则与的夹角为（ ） A ．0 B ．4πC ．32πD ．π 11.在体积为3的三棱锥ABC S -中，SC SA ABC BC AB ==∠==,120,2ο，且平面⊥SAC 平面ABC ，若该三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积为（ ） A ．π3520 B ．π328 C ．π20 D ．π8 12.函数116)(243++++=x x x x x f 的最大值与最小值的乘积为（ ）A ．2B ．97 C ．1615 D ．1617 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.某公益活动为期三天,现要为6名志愿者安排相应的服务工作，每人工作一天，且第一天需1人工作，第二天需2人工作，第三天需3人工作，则不同的安排方式有_____种.（请用数字作答） 14.已知集合{}{}A x xB A ⊆==,1,0，则A ___B .（用∉∈⊇⊆,,,填空）15.已知21,F F 分别为椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点，Q 为椭圆C 上的一点，且O O QF (1∆为坐标原点）为正三角形，若射线QO QF ,1与椭圆分别相交于点R P ,，则O QF 1∆与QPR ∆的面积的比值为______.16.已知数列{}n a 是首项为4，公差为3的等差数列，数列{}n b 满足1)(11=+++n n n n n a a a a b ，则数列{}n b 的前32项的和为______.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）如图，点D 是ABC ∆的边BC 上一点，且AD AC 3=，BD CD AC CD 2,23==. （Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若ABD ∆的外接圆的半径为3，求ABC ∆的面积.18.（本小题满分12分）某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入4万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示）.由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的.（Ⅰ）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；（Ⅱ）估计该公司投入4万元广告费用之后，对应销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）；（Ⅲ）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表： 广告投入x （单位：万元） 12345销售收益y （单位：万元）2 3 2 7表中的数据显示，x 与y 之间存在线性相关关系，请将（Ⅱ）的结果填入空白栏，并计算y 关于x 的回归方程.回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为x b y a xn xy x n yx b ni ini ii ∧∧==∧-=--=∑∑,1221.19.（本小题满分12分）如图，AB 为圆O 的直径，点C 为圆O 上的一点，且AC BC 3=，点D 为线段AB 上一点，且DB AD 31=，PD 垂直圆O 所在的平面.（Ⅰ）求证：⊥CD 平面PAB ；（Ⅱ）若BD PD =，求二面角A PB C --的余弦值.20.（本小题满分12分）F 为抛物线x y C 4:2=的焦点，过点F 的直线l 与C 交于B A ,两点，C 的准线与x 轴的交点为E ，动点P 满足EA EB EP +=.（Ⅰ）求点P 的轨迹方程；（Ⅱ）当四边形EAPB 的面积最小时，求直线l 的方程. 21.（本小题满分12分） 已知函数xe xf =)(.（Ⅰ）当1->x 时，证明：2)1()(2+>x x f ；（Ⅱ）当0>x 时，1)1(ln 2)1(+-≤+-x a x x f 恒成立，求正实数a 的值.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB 是⊙O 的切线，ADE 是⊙O 的割线，AB AC =，连接CE CD ,，分别于⊙O 交于点F ，点G .（Ⅰ）求证：ACE ADC ∆∆~； （Ⅱ）求证：AC FG ∥.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，圆C 的方程为为参数）θθθ(,sin 21,cos 21⎩⎨⎧+=+=y x .以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的单位长度，直线l 的极坐标方程)(sin cos R m m ∈=+θρθρ.（Ⅰ）当3=m 时，判断直线l 与C 的关系；（Ⅱ）当C 上有且只有一点到直线l 的距离等于2时，求C 上到直线l 距离为22的点的坐标. 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知12,11≤-≤-y x . （Ⅰ）求y 的取值范围；（Ⅱ）若对任意实数y x ,，3122≤-+-a y x 成立，求实数a 的值.高考考前质量检测考试（三）理科数学参考答案及评分标准评分说明：1． 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制定相应的评分细则.2． 对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3． 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4． 只给整数分数.选择题不给中间分. 一、选择题（每小题5分）1. D2. D3. B4. A5. B6. C7. D8. B9. D 10. D 11. A 12. C 二、填空题（每小题5分） 13. 60 14. ∈15.16. 215三、解答题17．解：（Ⅰ）设AD=a ，则a ，CD=2a ，则222CD AD CA =+.∴90,60,120.CAD CDA ADB ∠=︒∠=︒∠=︒又2,,CD BD DB a =∴=∴ADB∆为顶角为120︒的等腰三角形，30B ∴=︒. ………………6分（Ⅱ）在ADB ∆中，由21sin 2AD aa B ===a =3, 3.AC AB ∴==且120.CAB ∠=︒1332ABC S ∆∴=⨯⨯=. …………………………………………………………12分18．解：(Ⅰ) 设各小长方形的宽度为m ，由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知(0.080.10.140.120.040.02)0.51m m +++++⋅==，故2m =. …………………………4分(Ⅱ)由(Ⅰ)知各小组依次是[0,2),[2,4),[4,6),[6,8),[8,10),[10,12]， 其中点分别为1,3,5,7,9,11，对应的频率分别为0.16,0.20,0.28,0.24,0.08,0.04， 故可估计平均值为10.1630.250.2870.2490.08110.045⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. ………8分 (Ⅲ) 空白栏中填5. 由题意可知，1234535x ++++==，232573.85y ++++==，51122332455769i ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑，522222211234555i i x ==++++=∑，根据公式，可求得26953 3.812 1.2555310b-⨯⨯===-⨯$，$ 3.8 1.230.2a =-⨯=， 即回归直线的方程为$1.20.2y x =+. ……………………………………………………12分 19．(Ⅰ)证明：连接CO ，由AD=13DB 知，点D 为AO 的中点．ΘC 为圆O 上的一点，AB 为圆O 的直径，AC BC ⊥∴。
2020-2021学年山西省太原市高三模拟考试数学理科试题(一)及答案解析
太原市高三年级模拟试题（一）数学试卷（理工类）一、选择题 1、已知，则复数（）A.B.C.D.考点：复数的运算 答案：A 2、已知全集，集合,则下图阴影部分表示的集合是（） A.[-1,1） B.(-3,1 C.(-∞,3)⋃[-1,+∞） D.(-3,-1) 考点：集合之间的简单运算 答案：D3、在单调递减等比数列中，若32451,2a a a =+=，则1a =（） A.2 B.4 C. D.2考点：数列的运算 答案：B4、已知函数2()log f x x =，若在[1,8]上任取一个实数0x ，则不等式01()2f x ≤≤成立的概率是（ ） A 、14 B 、12 C 、27 D 、12考点：几何概型 答案：C5、执行如右图所示程序框图，则输出a = （ ）A 、20B 、14C 、10D 、7UMN考点：读程序框图 答案：C6、已知函数()sin()f x x ωϕ=+(0,||)2πωϕ><的最小正周期是π，若将其图像向右平移3π个单位后得到的图像关于原点对称，则函数()f x 的图像（ ） A 、关于直线12x π=对称 B 、关于直线512x π=对称C 、关于点(,0)12π对称 D 、关于直线5(0)12π，对称 考点：三角函数图像及性质 答案：B 7、已知在圆内，过点E （1,0）的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为 A 、B 、6C 、D 、2考点：圆与直线位置关系 答案：D8、已知某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是 A 、16 B 、32 C 、32 D 、48是开始10,1a i ==2015?i ≤输出aa 是奇数1i i =+结束31a a =-2a a =是否否考点：由三视图求体积 答案：C9、已知实数,a b 满足23,32ab==，则函数()xf x a x b =+-的零点所在的区间是A. ()2,1--B. ()1,0-C. ()0,1D.()1,2 考点：指数函数，函数的零点问题 答案：B10、已知实数,x y 满足条件2420x x y x y c ≥⎧⎪+≤⎨⎪-++≥⎩若目标函数3z x y =+的最小值为5，其最大值为A. 10B. 12C. 14D. 15 考点：线性规划 答案：A11、已知点O 为双曲线C 的对称中心，过点O 的两条直线1l 与2l 的夹角为60︒，直线1l 与双曲线C 相交于点11,A B ，直线2l 与双曲线C 相交于点22,A B ，若使1122A B A B =成立的直线1l 与2l 有且只有一对，则双曲线C 离心率的取值范围是 A. 323⎛⎤ ⎥⎝⎦ B. 2323⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭ C. 3+3⎛⎫∞ ⎪ ⎪⎝⎭ D. 3,+3⎡⎫∞⎪⎢⎪⎣⎭考点：双曲线离心率的求解 答案：A12、已知数列{}n a 的通项公式为()()()121cos12nn n a n n N π*=--+∈，其前n 项和为n S ，则n S = A. 30- B. 60- C. 90 D. 120 考点：数列前n 项和的求解 答案：D二、填空题13.已知向量,a b 满足()()26a b a b -+=，且2,1a b ==，则a b 与的夹角为 。
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山西省 高三下学期高考考前质量检测三（5月模拟）理科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知复数21iz i=+，则z z =g （ ）． A ． 2 B ． 2i C ． 4 D ．4i2.已有角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点()1,2P -，则sin2α=（ ）． A ． 45-B ． 35-C ．35D ．453.已知函数()()2,31,32x f x x f x x ⎧+<⎪=⎨⎛⎫≥⎪ ⎪⎝⎭⎩则()4f -=（ ）．A ．116 B ．18 C ．14 D ．124.现有4张卡片，正面分别标有1，2，3，4，背面完全相同.将卡片洗匀，背面向上放置，甲、乙二人轮流抽取卡片，每人每次抽取一张，抽取后不放回，甲先抽.若二人约定，先抽到标有偶数的卡片者获胜，则甲获胜的概率是（ ）． A ．512 B ．12 C ．712 D ．235.定义：a b ad bc c d=-，如121423234=⨯-⨯=-，则21312xdx =⎰（ ）． A ．0 B ．32C ．3D ．6 6.在()()()()23111111x x x x ++++++++L 的展开式中，2x 的系数是（ ）． A ． 55 B ． 66 C ．165 D ．2207.若1,a b c ==，且1a b =-g ，则a c b c +g g 的最大值是（ ）． A ．1 BCD ．28.如果,x y 满足21010250x y x y x y -+≤⎧⎪-+≥⎨⎪++≥⎩，则231x y z x +-=+的取值范围是（ ）．A ．[)8,3,5⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦UB ． 11,7⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．(][)1,03,-⋃+∞D ．(][),17,-∞-⋃+∞9.已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，点(Q ，射线FQ 与C 交于点E ，与C 的准线交于点P ，且2PE EF =u u u r u u u r，则点E 到y 轴的距离是（ ）．A ．14 B ．13 C ．12D ．1 10.已知,A B是半径为AB 作互相垂直的两个平面α、β，若,αβ截该球所得的两个截面的面积之和为16π，则线段AB 的长度是（ ）． AB ．2 C． D ．411.水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为R 的水车，一个水斗从点()33,3A -出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒.经过t 秒后，水斗旋转到P 点，设P 的坐标为(),x y ，其纵坐标满足()()sin y f t R t ωϕ==+0,0,2t πωϕ⎛⎫≥><⎪⎝⎭.则下列叙述错误的是（ ）．A ．6,,306R ππωϕ===-B ．当[]35,55t ∈时，点P 到x 轴的距离的最大值为6C ．当[]10,25t ∈时，函数()y f t =单调递减D ．当20t =时，63PA =12.若关于x 的不等式()1ln 2x x k kx ++>的解集为A ，且()2,A +∞⊆，则整数k 的最大值是（ ）．A ．3B ．4C ．5D ．6第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题 ，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13.已知集合(){}31|log 5,|22xA x Z y xB x R ⎧⎫=∈=+=∈<⎨⎬⎩⎭，则A B =I ____________． 14.过双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>的右焦点且垂直于x 轴的直线与C 的渐近线相交于,A B两点，若AOB ∆（O 为原点）为正三角形，则C 的离心率是 ____________．15. 现有若干（大于20）件某种自然生长的中药材，从中随机抽取20件，其重量都精确到克，规定每件中药材重量不小于15克为优质品.如图所示的程序框图表示统计20个样本中的优质品数，其中m 表示每件药材的重量，则图中①，②两处依次应该填的整数分别是____________．16.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E 为线段11A B 的中点，点,F G 分别是线段1A D 与1BC 上的动点，当三棱锥E FGC -的俯视图的面积最大时，该三棱锥的正视图的面积是 ____________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.数列{}n a 满足*153618,n n a a n n N ++=+∈，且14a =.（1）写出{}n a 的前3项，并猜想其通项公式； （2）用数学归纳法证明你的猜想.18.某印刷厂为了研究印刷单册书籍的成本y （单位：元）与印刷册数x （单位：千册）之间的关系，在印制某种书籍时进行了统计，相关数据见下表：()14ˆ 1.1yx =+，方程乙：()226.4ˆ 1.6yx=+. （1）为了评价两种模型的拟合效果，完成以下任务. ①完成下表（计算结果精确到0.1）；1及2，并通过比较1Q ，2Q 的大小，判断哪个模型拟合效果更好.（2）该书上市之后，受到广大读者热烈欢迎，不久便全部售罄，于是印刷厂决定进行二次印刷.根据市场调查，新需求量为8千册（概率0.8）或10千册（概率0.2），若印刷厂以每册5元的价格将书籍出售给订货商，问印刷厂二次印刷8千册还是10千册能获得更多利润？（按（1）中拟合效果较好的模型计算印刷单册书的成本）19.如图（1），五边形ABCDE 中，0,//,2,150ED EA AB CD CD AB EDC ==∠=.如图（2），将EAD ∆沿AD 折到PAD ∆的位置，得到四棱锥P ABCD -.点M 为线段PC 的中点，且BM ⊥平面PCD ．（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ； （2）若直线PC 与AB 所成角的正切值为12，求直线BM 与平面PDB 所成角的正弦值． 20. 已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的离心率为32，且过点31,2⎛ ⎝⎭． （1）求E 的方程；（2）若直线():0l y kx m k =+>与E 相交于,P Q 两点，且OP 与OQ （O 为坐标原点）的斜率之和为2，求O 到直线l 距离的取值范围． 21. 已知函数()xf x e =.（1）讨论函数()()g x f ax x a =--的单调性； （2）证明：()3ln f x x x x++> 请考生在22、23三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知直线1cos :sin x t l y t αα=+⎧⎨=⎩（其中t 为参数，α为倾斜角）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos sin θρθ=. （1）求C 的直角坐标方程，并求C 的焦点F 的直角坐标；（2）已知点()1,0P ，若直线l 与C 相交于,A B 两点，且112PA PB+=，求FAB ∆的面积. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()22f x x x =++-. （1）求不等式()6f x ≤的解集A ；（2）若,m n A ∈，试证：115322m n -≤.参考答案一、A 卷选择题1－5 AAADA 6－10 DCDBD 11－12 CB 二、填空题13. {}4,3,2--- 14. 15. 14，19 16. 2 三、解答题17.解：（1）1234,10,16a a a ===，猜想62n a n =-； （2）①当1n =时，14612a ==⨯-成立；②假设,n k k N +=∈时，猜想成立，即有62k a k =-，由153618k k a a k ++=+，，及62k a k =-，得()164612k a k k +=+=+-，即当1n k =+时猜想成立， 由①②可知，62n a n =-对一切正整数n 均成立. 18.解：（1）①经计算，可得下表：②22212120.10.10.10.03,0.10.01,Q Q Q Q =+-+===>，故模型乙的拟合效果更好；（2）若二次印刷8千册，则印刷厂获利为()5 1.7800026400-⨯=（元），若二次印刷10千册，由（1）可知，单册书印刷成本为26.41.6 1.66410+=（元） 故印刷总成本为16640（元），设新需求量为X （千册），印刷厂利润为Y （元），则0.28.4⨯=,故5100016640420001664025360EY EX =⨯⨯-=-=， 故印刷8千册对印刷厂更有利.19.（1）证明：取PD 的中点N ，连接,AN MN ，则1//,2MN CD MN CD =， 又1//,2AB CD AB CD =，所以//,MN AB MN AB =，则四边形ABMN 为平行四边形，所以//AN BM ，又BM ⊥平面PCD ， ∴AN ⊥平面PCD ， ∴,AN PD AN CD ⊥⊥.由ED EA =即PD PA =及N 为PD 的中点，可得PAD ∆为等边三角形， ∴060PDA ∠=，又0150EDC ∠=，∴090CDA ∠=，∴CD AD ⊥， ∴CD ⊥平面,PAD CD ⊂平面ABCD ， ∴平面PAD ⊥平面ABCD . （2）解：//AB CD ，∴PCD ∠为直线PC 与AB 所成的角，由（1）可得090PDC ∠=，∴1tan 2PD PCD CD ∠==，∴2CD PD =， 设1PD =，则2,1CD PA AD AB ====，取AD 的中点O ，连接PO ，过O 作AB 的平行线，可建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则111,0,0,,1,0,,2,0,0,0,2222D B C P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴1,1,44M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 所以()131,1,0,,1,,24DB PB BM ⎛⎛===- ⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u u r ， 设(),,n x y z =v 为平面PBD 的法向量，则00n DB n PB ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u r v g u u u r v g，即0102x y x y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩， 取3x =，则(3,3,n =-v 为平面PBD 的一个法向量，∵cos ,n BM n BM n BM ===u u u u r v u u u u r v g v u u u u v ， 则直线BM 与平面PDB. 20.解：（1）由已知得2213124c a a b=+=， 解得224,1a b ==，∴椭圆E 的方程为2214x y +=； （2）把y kx m =+代入E 的方程得：()()222148410k x kmx m +++-=，其判别式()2216410k m ∆=-+>，①设()()1122,,,P x y Q x y ，则()2121222418,1414m km x x x x k k--+==++，② 由已知得()()12211212211212122OF OQ kx m x kx m x y y y x y x k k x x x x x x +++++=+===， ∴()()1212210k x x m x x -++=，③把②代入③得()()2222811801414k m km k k---=++， 即21m k +=，④把④代入①及0k >知240k k +>，又210m k =-≥，∴01k <≤，点O 到直线l 的距离为d ，当1k =时，0d =；当1k ≠时，d ===令()10,1k t -=∈，则d =， 设22y t t =+-，则2222210t y t t -'=-=<，∴22y t t=+-在()0,1单调递减， ∴当()0,1t ∈时，()0,1d ∈，综上，点O 到直线l 的距离的取值范围为[)0,1.21.（1）解：()()(),1x xg x f ax x a e x a g x ae '=--=--=-， ①若0a ≤时，()()0,g x g x '<在R 上单调递减；②若0a >时，当1ln x a a<-时，()()0,g x g x '<单调递减； 当1ln x a a>-时，()()0,g x g x '>单调递增； 综上，若0a ≤时，()g x 在R 上单调递减；若0a >时，()g x 在1,ln a a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减； 在1ln ,a a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；（2）证明：要证()3ln f x xx ++>()ln 30x x x e +->， 由（1）可知当1a =时，10x e x --≥，即1x e x ≥+，当10x +>时，上式两边取以e 为底的对数，可得()()ln 11x x x +≤>-， 用1x -代替x 可得()ln 10x x x ≤->，又可得()11ln 10x x x≤->， 所以()1ln 10x x x≥->， ()1ln 3113x x x e x x x ⎛⎫+->-+++- ⎪⎝⎭ ()222211x x x =++-=+-(()22110≥-=≥， 即原不等式成立.22.解：（1）原方程变形为22sin cos ρθρθ=，∵cos ,sin x y ρθρθ==，∴C 的直角坐标方程为2y x =，其焦点为1,04F ⎛⎫ ⎪⎝⎭. （2）把l 的方程代入2y x =得22sin cos 10t t αα--=， 则121222cos 1,sin sin t t t t ααα+==-，① 1122PA PB PA PB PA PB+=⇔+=g ， 即12122t t t t -=，平方得()22212121244t t t t t t +-=，② 把①代入②得2424cos 44sin sin sin αααα+=，∴2sin 1α=， ∵α是直线l 的倾斜角，∴2πα=，∴l 的普通方程为1x =，且2AB =，∴FAB ∆的面积为34S =. 23.（1）解：不等式226x x ++-≤可以转化为()()2226x x x ≤-⎧⎨-+--≤⎩或()()22226x x x -<≤⎧⎨+--≤⎩或()()2226x x x >⎧⎨++-≤⎩， 解得33x -≤≤，即不等式的解集{}|33A x x =-≤≤.（2）证明：因为111111323232m n m n m n -≤+=+， 又因为,m n A ∈，所以3,3m n ≤≤，所以111153332322m n+≤⨯+⨯=，当且仅当3m n=-=±时，等号成立，即115322m n-≤，得证.。