2-4逆矩阵
第四讲矩阵的运算与逆矩阵
a11b12 a12b22 a13b32 a21b12 a22b22 a23b32 2×2
（2）乘法的定义与运算规律
定义4 设 A aij 是一个 m×s 矩阵,B bij 是一个s×n 矩阵,
那么规定矩阵 A 与矩阵 B 的乘积是一个m×n 矩阵 C cij ,
s
c 其中 ij ai1b1 j ai 2b2 j aisbsj aik bkj i 1,2,, m; j 1,2,, n k 1
a1, a2 ,
bn n1
b1a1 b1a2 b1an
, an
1n
b2a1
bna1
b2a2
bna2
b2an
bnan
nn
（3）矩阵运算的性质（与实数运算的对比）
通过以上对矩阵运算的了解，尤其是对矩阵乘法运算的
分析，我们可以对比一下矩阵的代数运算与我们所熟悉
的实数的代数运算，并找出它们之间的本质区别：
3. 对于两个 n 阶矩阵，一般
ABk Ak B k . AB2 ABAB A2 B2
如
A
2 3
46,
B
2 1
42,
AB 00
00,
AB2
0 0
0 0
;
A2 128
16 24
,
B2
8 4
016,
A2 B 2
0 0
128 192
.
线性代数 第二章 矩阵及其运算
11
第四讲 矩阵的运算与逆矩阵
注4：方阵A的多项式定义：已知f ( x) a0 a1 x a2 x2 an xn 则对应A的多项式为：f ( A) a0E a1 A a2 A2 an An;请看下例：
线性代数 2-4 可逆矩阵的逆矩阵
2a c 1, 2b d 0 , a 0, b 1,
又因为
a 0, b 1, c 1, d 2.
AB
BA
2 1 0 1 0 1 2 1 1 0 , 1 0 1 2 1 2 1 0 0 1
所以
0 1 A .. 1 2
1
定理2.3 矩阵 A 可逆的充要条件是 1 1 A A , A
其中A为矩阵A的伴随矩阵.
A 0 ，且
证明 若 A 可逆， 即有A1使AA 1 E .
故 A A1 E 1,
所以 A 0. .
当 A 0时,
例5 证明:若A是可逆的反对称,则 A 1也是反对称矩阵。 证明 因为
( A1 )T ( AT )1 ( A)1 A1 ,
所以 A 是反对称矩阵。
1
同理可以证明:可逆的对称矩阵的逆矩阵也是对称矩阵。 .
例
设A,B均为n阶可逆矩阵,证明:
(1)
( AB ) B A ;
2.4 可逆矩阵的逆矩阵
一、概念的引入
在数的运算中，当数 a 0 时， 有
aa a a 1,
其中 a 1 1 为 a 的倒数， （或称 a 的逆）； a 在矩阵的运算中， 单位阵 E相当于数的乘法运算中 的1， 那么，对于矩阵 A ， 如果存在一个矩阵A1, 使得
1
1
AA1 A1 A E ,
a11 a12 a1n A11 A21 An1 a a22 a2 n A12 A22 An 2 21 AA a A a A a A A 11 12 1 1n 11 12 n a a a A A A n1A n a A nn n a 2 nA A 1 2 nn a
矩阵求逆的几种方法
矩阵求逆的几种方法矩阵求逆是线性代数学习的重要内容，给出一个矩阵A，要求求矩阵A的逆矩阵存在时，可以通过几种方法来解决这个问题。
本文对这几种求逆方法进行了总结，一起来学习一下。
一、矩阵求逆的2x2特例2x2矩阵求逆是求矩阵逆最为基础的方法，下面以A为例，计算A的逆矩阵。
A=begin{pmatrix}a&bc&dend{pmatrix}则A的逆矩阵为：A^{-1}=frac{1}{ad-bc}begin{pmatrix}d&-b-c&aend{pmatrix}二、增广矩阵的方法用增广矩阵的方法，可以求任意阶的方阵的逆矩阵。
由A增广矩阵B：B=begin{pmatrix}a&b&e_1c&d&e_2e_3&e_4&e_5end{pmatrix} 其中，$e_i$是单位矩阵的元素。
用行列式计算法求出$Delta_B$由$Delta_B=ad-bceq 0$可以判断行列式不等于0，即矩阵A可逆。
计算A的逆矩阵：A^{-1}=frac 1{Delta_B}begin{pmatrix}d&-b&e_3-c&a&e_4e_1&e_2&e_5end{pmatr ix}其中，$e_i$为求解此增广矩阵过程中得到的单位矩阵的元素。
三、分块矩阵的求逆分块矩阵的方法是求解大型矩阵的另一种简便方法，假设A为4阶矩阵：A=begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}A_{21}&A_{22}end{pmatrix} 它的逆矩阵为：A^{-1}=begin{pmatrix}A_{11}^{-1}&-A_{11}^{-1}A_{12}-A_{21}A _{11}^{-1}&A_{22}-A_{21}A_{11}^{-1}A_{12}end{pmatrix} 以上三种矩阵求逆的方法在实际应用中都有不同的作用，但是本质都是同一种方法，以上三种方法矩阵求逆的数学原理是一样的，只不过实现过程和求解结果有所不同而已。
2-4逆矩阵
* 1
1 A
A
又因
所以 A A
*
AA
AA
*
AE
AE A
*
n
*
E A
n
因 A 可逆， A 0，故 A
A
n 1
方阵逆阵的性质
(1) 若 n 阶方阵 A 可逆，则 A 也可逆， 且（ A ） A
1 1 1
( 2 ) 若 n 阶方阵 A , B 可逆，则 AB 也可逆， 且（ AB ） B
B EB (A A ) B A ( AB ) A E A
-1 1
1 1
1
1
A AE A ( BB
1
) ( AB ) B
1
EB
1
B
1
例 2 设 A 是任一 n ( n 3 )阶方阵， A 是
*
其伴随矩阵，又 则必有 ( kA )
*
k 为常数，且
这样，当 有
A 0时，对任意的整数
， ，
A A
A
(A )
A
例 7 设 A 为 3阶方阵， A 为其伴随矩阵， A 1 2 ,求 （ 1 3
因为 ( 1 3 A)
1
*
A ） 10 A .
*
1
解：
所以 （ 1 3
3A , A A A
*
1
1
1 2
此时
A
1 d A A A c 1
b a
推论1 设A,B都是n阶方阵，若AB=E，则 A,B都可逆，并且
A
1
逆矩阵的几种求法与解析(很全很经典)
逆矩阵的几种求法与解析矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法.1.利用定义求逆矩阵定义: 设A、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A 为可逆矩阵, 而称B为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用.例1 求证: 如果方阵A 满足A k= 0, 那么EA是可逆矩阵, 且（E-A）1-= E + A + A2+…+A1-K证明因为E 与A 可以交换, 所以(E- A )(E+A + A2+…+ A1-K)= E-A K,因A K= 0 ,于是得(E-A)（E+A+A2+…+A1-K）=E，同理可得（E + A + A2+…+A1-K）(E-A)=E，因此E-A是可逆矩阵,且(E-A)1-= E + A + A2+…+A1-K.同理可以证明(E+ A)也可逆,且(E+ A)1-= E -A + A2+…+（-1）1-K A1-K.由此可知, 只要满足A K=0，就可以利用此题求出一类矩阵E±A的逆矩阵.例2 设 A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000300000200010,求 E-A 的逆矩阵.分析 由于A 中有许多元素为零, 考虑A K 是否为零矩阵, 若为零矩阵, 则可以采用例2 的方法求E-A 的逆矩阵.解 容易验证A 2=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000060000200， A 3=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000000006000， A 4=0而 (E-A)(E+A+ A 2+ A 3)=E,所以(E-A)1-= E+A+ A 2+ A 3=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1000310062106211.2.初等变换法求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A 可逆，则A 可通过初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵S P P P ,,21Λ使（1）s p p p Λ21A=I ，用A 1-右乘上式两端，得：（2） s p p p Λ21I= A 1-比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A 1-.用矩阵表示（A I ）−−−→−初等行变换为（I A 1-），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵.例1 求矩阵A 的逆矩阵.已知A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡521310132.解 [A I]→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100521010310001132→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001132010310100521→ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--3/16/16/1100010310100521→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----3/16/16/110012/32/10103/46/136/1001 故 A 1-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----3/16/16/112/32/13/46/136/1. 在事先不知道n 阶矩阵是否可逆的情况下，也可以直接用此方法.如果在初等变换过程中发现左边的矩阵有一行元素全为0，则意味着A 不可逆，因为此时表明A =0，则A 1-不存在.例2 求A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡987654321.解 [A E]=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100987010654001321→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------1071260014630001321→ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----121000014630001321. 由于左端矩阵中有一行元素全为0，于是它不可逆，因此A 不可逆.3.伴随阵法定理 n 阶矩阵A=[a ij ]为可逆的充分必要条件是A 非奇异.且A 1-=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A .....................212221212111 其中A ij 是A 中元素a ij 的代数余子式.矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nn n n A A A A A AA A A (2122212)12111称为矩阵A 的伴随矩阵，记作A 3，于是有A 1-=A 1A 3.证明 必要性：设A 可逆，由A A 1-=I ，有1-AA =I ，则A 1-A =I ，所以A ≠0，即A 为非奇异.充分性： 设A 为非奇异，存在矩阵B=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A (2122212)12111， 其中AB=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a (2)12222111211⨯A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nn n n A A A A A A A A A ............... (2122212)12111=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡A A A A ............0...00...0=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1 (00)...1......0...100...01=I同理可证BA=I.由此可知，若A 可逆，则A 1-=A1A 3. 用此方法求逆矩阵，对于小型矩阵，特别是二阶方阵求逆既方便、快阵，又有规律可循.因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵，只需要将主对角线元素的位置互换，次对角线的元素变号即可.若可逆矩阵是三阶或三阶以上矩阵，在求逆矩阵的过程中，需要求9个或9个以上代数余子式，还要计算一个三阶或三阶以上行列式，工作量大且中途难免 出现符号及计算的差错.对于求出的逆矩阵是否正确，一般要通过AA 1-=I 来检验.一旦发现错误，必须对每一计算逐一排查.4．分块矩阵求逆法4.1.准对角形矩阵的求逆命题 设A 11、A 22都是非奇异矩阵，且A 11为n 阶方阵，A 22为m 阶方阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 证明 因为A =221100A A =11A 22A ≠0, 所以A 可逆.设A 1-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡W ZY X，于是有⎥⎦⎤⎢⎣⎡W Z Y X⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡m nI I 00, 其中 X A 11=I n ， Y A 22=0，Z A 11=0，W A 22=I m .又因为A 11、A 22都可逆，用A 111-、A 122-分别右乘上面左右两组等式得：X= A 111-，Y=0，Z=0，W= A 122-故 A 21= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 把上述结论推广到每一个子块都是非奇异矩阵的准对角形状矩阵中去，即：121...-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡k A A A =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---11211...k A A A4.2.准三角形矩阵求逆命题 设A 11、A 22都是非奇异矩阵，则有12212110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122121111110A A A A A证明 因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2212110A A A⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I A A I 012111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A 两边求逆得1121110--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-I A A I 1221211-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 所以 1221211-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I A A I 012111⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122121111110A A A A A同理可证12221110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122211111110A A A A A 此方法适用于大型且能化成对角子块阵或三角块阵的矩阵. 是特殊方阵求逆的一种方法，并且在求逆矩阵之前，首先要将已给定矩阵进行合理分块后方能使用.5.恒等变形法恒等变形法求逆矩阵的理论依据为逆矩阵的定义，此方法也常用与矩阵的理论推导上.就是通过恒等变形把要求的值化简出来，题目中的逆矩阵可以不求，利用AA 1-=E ，把题目中的逆矩阵化简掉。
二阶、三阶矩阵逆矩阵的口诀
求二、三阶矩阵逆矩阵的记忆口诀1、问题的提出在各类理工科的课程中，往往有求解矩阵逆矩阵的问题，题目本身虽然简单，但是如果按照教材给出的方法计算的话，要费一些时间，更可怕的是计算过程难免有误，容易造成结果出错。
经过一些研究，我们发现，大部分求解逆矩阵的题目，都是要求解二阶、三阶矩阵的逆。
针对此问题，给出学生相应的记忆口诀，帮助学生快速求解。
2、知识储备1.1 对于n 阶方阵，如果同时存在一个n 阶方阵，使得 AB=BA=E则称A 阵可逆，并把方阵B 成为方阵A 的逆矩阵，记作A -11.2 n 阶行列式A 的各个元素的代数余子式构成的矩阵，叫做A 的伴随矩阵，如下：112111222212......*.......n n n n nn A A A A A A A A A A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦1.3 方阵A 可逆的充分必要条件是0A ≠，当A 可逆时，*1A A A-= 3、二阶矩阵的逆矩阵的记忆口诀记忆口诀：主对调，次换号，除以行列式推导： 假设a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，,,,a b c d R ∈，且A 可逆，那么根据知识储备1.2 *d b A c a -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦所以呢，*1d b c a A A A A--⎡⎤⎢⎥-⎣⎦== 4、三阶矩阵的逆矩阵的记忆口诀记忆口诀：除以行列式，别忘记。
去一行，得一列，二变号，余不变，231 3121） 整体要除以行列式，不能忘记2） 去掉第一行，得到矩阵剩余两行，求得逆矩阵第一列3） 所求得的逆矩阵的第二列是按照231 312 规律得到数字加了一个负号，其余的第一列，第三列不加负号对于三阶矩阵33,ab c A de f A R g h i ⨯⎡⎤⎢⎥=∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦，且A 可逆1()1()()ei hf bi hc bf ce A fg id cg ia cd af A dh ge ah gb ae hd -----⎡⎤⎢⎥=----⎢⎥⎢⎥----⎣⎦（1） 先分析公式（1）的第一列，研究如下表格Step1: 表格1 第一行的第二、三、一列乘以第二行的三、一、二列得到ei , fg , dhStep2： 表格1中第二行的二、三、一列乘以第一行的三、一、二列得到hf , id , geStep3： 由step1得到的数据减去step2得到的数据，得到公式（1）的第一列。
苏教版高中数学选修4-2：逆矩阵的概念_课件1
阵，若存在，请把它求出来；若不存在，请说明理由．
课 堂 互 动
1 (1)A＝0
120；(2)B＝10
－12；
课 时 作
探
业
究
1 1
(3)C＝21 21；(4)D＝01 －01.
2 2
菜单
课 前
【思路探究】 矩阵→对应的几何变换→
当 堂
自
双
主 导
判断是否存在逆变换→若存在写出逆变换→逆矩阵
基 达
学
标
【自主解答】 (1)矩阵 A 对应的是伸压变换，它将平面
内点的横坐标保持不变，纵坐标沿 y 轴方向压缩为原来的12，
课
堂 因此，它存在逆变换：将平面内的点的横坐标保持不变，纵 课
互
时
动 坐标沿 y 轴方向伸长为原来的 2 倍，所对应的变换矩阵记为
堂
课
互
(1)注意到 1×3－2×1＝1≠0，故 A 存在逆矩阵 A－1，且 时
动
作
探 究
3 A－1＝－121
－111＝－32 1
－11.
业
菜单
课 前
当
(2)注意到 2×5－4×3＝－2≠0，故 B 存在逆矩阵 B－1， 堂
自
双
主且
导
基 达
学
5 －3
标
课
B－1＝－ －24 －2
的，B 称为 A 的逆矩阵，记作：A－1＝B.
菜单
课
当
前
3．逆矩阵的性质
自
堂 双
主 导
基
(1)若二阶矩阵 A 存在逆矩阵 B，则逆矩阵是惟一的． 达
学
标
(2)若二阶矩阵 A，B 均存在逆矩阵，则 AB 也存在逆矩
逆矩阵的几种求法及解析
. .. . .. ..逆矩阵的几种求法与解析矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法.1.利用定义求逆矩阵定义: 设A、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A为可逆矩阵, 而称B为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用.例1求证: 如果方阵A 满足A K= 0, 那么E-A是可逆矩阵, 且（E-A）1-= E + A + A2+…+A1-K证明因为E 与A 可以交换, 所以(E- A )(E+A + A2+…+ A1-K)= E-A K,因A K= 0 ,于是得(E-A)（E+A+A2+…+A1-K）=E，同理可得（E + A + A2+…+A1-K）(E-A)=E，因此E-A是可逆矩阵,且(E-A)1-= E + A + A2+…+A1-K.同理可以证明(E+ A)也可逆,且(E+ A)1-= E -A + A2+…+（-1）1-K A1-K.由此可知, 只要满足A K=0，就可以利用此题求出一类矩阵E±A的逆矩阵.例2 设 A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000300000200010,求 E-A 的逆矩阵.分析由于A 中有许多元素为零, 考虑A K 是否为零矩阵, 若为零矩阵, 则可以采用例2 的方法求E-A 的逆矩阵.解容易验证A 2=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000060000200， A 3=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000000006000， A 4=0而 (E-A)(E+A+ A 2+ A 3)=E,所以(E-A)1-= E+A+ A 2+ A 3=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1000310062106211.2.初等变换法求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A 可逆，则A 可通过初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵S P P P ,,21 使（1）s p p p 21A=I ，用A 1-右乘上式两端，得：（2） s p p p 21I= A 1-比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A 1-.用矩阵表示（A I ）−−−→−初等行变换为（I A 1-），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵.例1 求矩阵A 的逆矩阵.已知A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡521310132.解 [A I]→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100521010310001132→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001132010310100521→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--3/16/16/1100010310100521→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----3/16/16/110012/32/10103/46/136/1001 故 A 1-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----3/16/16/112/32/13/46/136/1. 在事先不知道n 阶矩阵是否可逆的情况下，也可以直接用此方法.如果在初等变换过程中发现左边的矩阵有一行元素全为0，则意味着A 不可逆，因为此时表明A =0，则A 1-不存在.例2 求A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡987654321.解 [A E]=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100987010654001321→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------1071260014630001321→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----121000014630001321. 由于左端矩阵中有一行元素全为0，于是它不可逆，因此A 不可逆.3.伴随阵法定理 n 阶矩阵A=[a ij ]为可逆的充分必要条件是A 非奇异.且A 1-=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A .....................212221212111 其中A ij 是A 中元素a ij 的代数余子式.矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nn n n A A A A A AA A A (2122212)12111称为矩阵A 的伴随矩阵，记作A *，于是有A 1-=A 1 A *.证明 必要性：设A 可逆，由A A 1-=I ，有1-AA =I ，则A 1-A =I ，所以A ≠0，即A 为非奇异.充分性： 设A 为非奇异，存在矩阵B=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A .....................212221212111， 其中AB=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a (2)12222111211⨯A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A ............... (2122212)12111=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡A A A A ............0...00...0=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1 (00)...1......0...100...01=I同理可证BA=I.由此可知，若A 可逆，则A 1-=A1 A *. 用此方法求逆矩阵，对于小型矩阵，特别是二阶方阵求逆既方便、快阵，又有规律可循.因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵，只需要将主对角线元素的位置互换，次对角线的元素变号即可.若可逆矩阵是三阶或三阶以上矩阵，在求逆矩阵的过程中，需要求9个或9个以上代数余子式，还要计算一个三阶或三阶以上行列式，工作量大且中途难免 出现符号及计算的差错.对于求出的逆矩阵是否正确，一般要通过AA 1-=I 来检验.一旦发现错误，必须对每一计算逐一排查.4．分块矩阵求逆法4.1.准对角形矩阵的求逆命题 设A 11、A 22都是非奇异矩阵，且A 11为n 阶方阵，A 22为m 阶方阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 证明 因为A =221100A A =11A 22A ≠0, 所以A 可逆.设A 1-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡WZY X，于是有⎥⎦⎤⎢⎣⎡W Z Y X ⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡m nI I 00, 其中 X A 11=I n ， Y A 22=0，Z A 11=0，W A 22=I m .又因为A 11、A 22都可逆，用A 111-、A 122-分别右乘上面左右两组等式得：X= A 111-，Y=0，Z=0，W= A 122-故 A 21= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 把上述结论推广到每一个子块都是非奇异矩阵的准对角形状矩阵中去，即：121...-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡k A A A =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---11211...k A A A4.2.准三角形矩阵求逆命题 设A 11、A 22都是非奇异矩阵，则有12212110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122121111110A A A A A证明 因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2212110A A A⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I A A I 012111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A 两边求逆得1121110--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-I A A I 1221211-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 所以 1221211-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I A A I 012111⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122121111110A A A A A同理可证12221110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122211111110A A A A A 此方法适用于大型且能化成对角子块阵或三角块阵的矩阵. 是特殊方阵求逆的一种方法，并且在求逆矩阵之前，首先要将已给定矩阵进行合理分块后方能使用.5.恒等变形法恒等变形法求逆矩阵的理论依据为逆矩阵的定义，此方法也常用与矩阵的理论推导上.就是通过恒等变形把要求的值化简出来，题目中的逆矩阵可以不求，利用AA 1-=E ，把题目中的逆矩阵化简掉。
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又由A A 2 E = 0
2
( A + 2 E )( A 3 E ) + 4 E = 0
1( ( A + 2 E ) A 3 E ) = E 4
1 A + 2 E ( A 3 E ) = 1, 故A + 2 E可逆 . 4 1 3E A 1 . 且 ( A + 2E ) = ( A 3E ) = 4 4
因此 A
1
1 . = A
三、逆矩阵的求法
例1
1 2 3 求方阵 A = 2 2 1 的逆矩阵. 的逆矩阵. 3 4 3 1 2 3
= 0, ∴ A1存在. 解 ∵ A=2 2 1 3 4 3
2 1 A11 = = 2, 4 3 2 1 A12 = = 3, 3 3
同理可得
A13 = 2, A21 = 6, A22 = 6, A23 = 2,
1 1
B = 6( A E )
1
1
2 0 0 1 0 0 1 0 0 0 4 0 0 1 0 =6 = 6 0 3 0 0 0 7 0 0 1 0 0 6
1
1
1
0 6 0 0 1 0 0 1 0 = 6 0 3 0 = 6 0 1 3 0 = 0 2 0 . 0 0 6 0 0 1 6 0 0 1
故 A ≠ 0,
1
的逆矩阵存在， 于是 故A的逆矩阵存在，设为 A ，
B = EB = ( A1 A)B = A1 ( AB )
证毕
逆矩阵的运算性质
(1) 若A可逆, 则A 亦可逆, 且(A
1
1 1
)
= A.
(2) 若A可逆, 数λ ≠ 0, 则λA可逆, 且 (λ A ) = A 1 .
1
1
λ
可逆， 可逆，并求（ － 设n阶方阵 A可逆，证明 A*可逆，并求（ A*） 1 例7 和 A* 。
解： AA = A A = A E
1 A A = E ∴ A
∴ A
n
( )
1
=
n
1 A A
又 AA = A E = A E = A 即A A = A
n
∴A = A
n 1
阶方阵， A 例8 A, B为n阶方阵， = 2, B = 3, 求 2 A* B 1 1 及 （ B）1 B * 。 3 解 ： A 1 = 1 A , ∴ A = A A 1 A
A =
A
O
A
O
, A
A A AA = A A = A E A = A = E, A A
按逆矩阵的定义得
A A = . A
1
证毕
注：上述证明中得到伴随矩阵的性质
AA = A A = A E
推论 证明
若 AB = E (或 BA = E ), 则 B = A 1 .
A B = E = 1,
A (2)利用公式 A1 = ; (1)待定系数法; A
(3)初等变换法 (下一章介绍 ).
第二章
矩阵及其运算
中南财经政法大学信息系
一、概念的引入
有 在数的运算中， 在数的运算中，当数a ≠ 0 时，
aa 1 = a 1a = 1,
的倒数， 的逆）； 其中 a1 = 1 为 a 的倒数， 或称 a 的逆）； （ a 在矩阵的运算中， 单位阵 E相当于数的乘法运算中 在矩阵的运算中， 的1， 那么，对于矩阵 A ， ， 那么， 如果存在一个矩阵A1, 使得
A11 A12 A = A 1n
A21 An1 A22 An 2 A2 n Ann
定理1 可逆的充要条件 充要条件是 定理1 矩阵 A 可逆的充要条件是 A ≠ 0 ，且 1 1 A非奇异 A = A, A
其中A为矩阵 A的伴随矩阵 .
证明
A 可逆， 即有A 1使AA 1 = E . 若 可逆，
0 1
0 0 0 0
0 0 0 1
λ2
0 0 0
λ n 1
0
0 0 0 0 1 λn
例6
设三阶矩阵 A, B满足关系 :
1 2 1 A BA = 6 A + BA, 且A = 14 求B . 1 7
o
o
解
A BA BA = 6 A
1
( A1 E )BA = 6 A ( A1 E )B = 6 E B = 6( A E ) .
A31 = 4, A32 = 5, A33 = 2,
得
故
6 4 2 A = 3 6 5 , 2 2 2
3 2 6 4 1 2 1 1 A 1 = A = 3 6 5 = 3 2 3 5 2 . A 2 1 1 1 2 2 2
例2 下列矩阵 A, B是否可逆 ? 若可逆 , 求出其逆 矩阵 . 2 3 1 1 2 3 B = 1 3 5 . A = 2 1 2 , 1 5 11 1 3 3
1 0 = 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 1 4 0 0 0 0 . 0 1 5
注：对角矩阵的逆矩阵
λ1 0 0 0 0 1Biblioteka 00 00 0
λ2
0 0 0
0 0 λ n 1 0 0
0 0 0 0 λn
1 λ1 0 = 0 0 0
所以 A ≠ 0.
故 A A1 = E = 1,
当 A ≠ 0时, 时
当 A ≠ 0时, 时
a11 a12 a1n A A21 An1 11 a a22 a2n A A22 An2 12 21 AA = a A + a A ++ a A = A 11 12 1n 1n 11 12 a a a A A A nn1A 1n+ an2 A nn+ 1n annnA = A + 2 nn nn a1 n 2 n2
1 2 3
∴ A1 , B 1都存在.
3 2 1 1 且 A = 3 2 3 5 2 , 1 1 1
B
1
3 1 = , 5 2
A1 AXBB 1 = A1CB 1 又由 AXB = C E X = A1CB 1 . 于是 X = A1CB 1 3 2 1 3 1 3 1 = 3 2 3 5 2 2 0 1 3 1 5 2 1 1
解
1 2 3 1 2 3 A = 2 1 2= 0 3 4 1 3 3 0 1 0
1 2 3 3 4 可逆 = 0 3 4= = 4≠ 0, 所以 A可逆 . 1 0 0 1 0
1 2 ∵ A11 = = 3, 3 3 2 1 A13 = = 5, 1 3 2 2 A12 = = 4, 1 3
例4
证明
设方阵 A满足方程 A A 2 E = 0, 证明 :
2
A, A + 2 E都可逆 , 并求它们的逆矩阵 .
由 A 2 A 2 E = 0,
A
1
A E =E 得A( A E ) = 2 E A 2 A E A = 1 A ≠ 0, 故 A 可逆 . 2 1 1 ∴ A = ( A E ). 2
1 1 1 2 1 2 , B = , 例 设 A= 1 1 1 2 1 2
∵ AB = BA = E ,
∴ B是A的一个逆矩阵 .
的逆矩阵唯一. 说明 (1)若 A是可逆矩阵，则 A 的逆矩阵唯一 若 是可逆矩阵， 的可逆矩阵， 若设 B 和 C 是 A 的可逆矩阵，则有
AB = BA = E ,
( A+ 2E)
1
例5
1 0 已知 A = 0 0 0
因 A = 5! ≠ 0,
0 0 0 0 2 0 0 0 求 A 1 . 0 3 0 0 0 0 4 0 0 0 0 5
故A1存在.
解
由伴随矩阵法得 A1 = A A ,
0 0 0 0 2 3 4 5 1 3 4 5 0 0 0 0 1 = 0 0 1 2 4 5 0 0 5! 0 0 1 2 3 5 0 0 0 0 0 0 1 2 3 4
2 A * B 1 = 2 A A 1 B 1 = 4 n A 1 B 1
1 4n = 4n = AB 6
1 （ B）1 B * = 3 B 1 B B 1 = 6 B 1 ） 3 6n = 6 n B 1 = 3
四、小结
逆矩阵的概念及运算性质. 逆矩阵的概念及运算性质 逆矩阵 A1 存在 A ≠ 0. 逆矩阵的计算方法
1 1 1 2 3 1 = 0 2 = 10 4 . 0 2 5 2 10 4
注：若A,B可逆，则下列矩阵方程的解为 可逆， 矩阵方程的解为 可逆 则下列矩阵方程
AX = C XB = C
X = A 1 C X = CB 1
X = A 1CB 1 AXB = C
T
T 1
) = (A ) .
1 T
证明
∵ A (A
T
1 T
) = ( A A)
1 1 T
T
= E T = E,
∴ (A
T 1
)
= (A
k
).
1 k
另外, 当 A ≠ 0时, 定义 A = E,
0
A
= (A
).
(k为正整数 )
(5) 若A可逆, 则有 A
证明
1
1 . = A
∵ AA 1 = E
∴ A A 1 = 1
2a + c = 1, 2b + d = 0, a = 0, b = 1,
又因为
a = 0, b = 1, c = 1, d = 2.
AB
BA
2 1 0 1 0 1 2 1 1 0 , = = 1 0 1 2 1 2 1 0 0 1
故 B不可逆 . 不可逆
例3