【世纪金榜】2016届高三数学总复习专项强化训练(五)圆锥曲线的综合问题文 新人教A版

专项强化训练(五) 圆锥曲线的综合问题

1.已知直线l :y=x+1,圆O:x 2

+y 2

=32,直线l 被圆截得的弦长与椭圆C: 22

22x y a b

+=1(a>b>0)的短

轴长相等,椭圆的离心率e=22

. (1)求椭圆C 的方程.

(2)过点1M(0,)3

-的直线l 0交椭圆于A,B 两点,试问:在坐标平面上是否存在一个定点T,使得无论l 0如何转动,以AB 为直径的圆恒过定点T?若存在,求出点T 的坐标;若不存在,请说明理由.

【解题提示】(1)利用弦长公式及离心率公式求出a,b 的值,从而求得椭圆C 的方程. (2)先根据直线l 0的斜率不存在及斜率为0的情况确定T 的坐标,然后再证明以AB 为直径的圆恒过定点T 即可.

【解析】(1)由题意知,圆O 的半径r=

62,圆O(0,0)到直线y=x+1的距离d=1222

=, 则直线l 被圆截得的弦长为22

31

2r d 2

222

-=-=, 依题意2=2b,b=1.又椭圆的离心率22c b 21e ,1e ,a 22a a 2a

=

==-===得, 所以椭圆C 的方程为2x 2

+y 2

=1.

(2)假设存在定点T(x 0,y 0), 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)(x 1≤x 2).

当直线l 0的斜率不存在时,易知A(0,1),B(0,-1), 则圆的方程为x 2

+y 2

=1.

当直线l 0的斜率为0时,直线l 0的方程为y=-13

, 代入椭圆方程可得4141A(,),B(,),3333

---

即圆的方程为2

2

116x (y ).3

9

++= 易知T(0,1).

下面证明,当直线l 0的斜率存在且不为0时,T(0,1)也符合. 设直线l 0的方程为y=kx-

13

, 联立2

2x y 1,2

1y kx ,3?+=????=-??

消去y 得(2k 2

+1)x 2

-416

kx 39

-=0. 则()()

121222

4k 16

x x ,x x 312k 912k -+=

=++. 此时,错误！未找到引用源。=(x 1,y 1-1),错误！未找到引用源。=(x 2,y 2

-1),

即当直线l 0的斜率存在且不为0时,以AB 为直径的圆恒过点T(0,1). 综上所述,存在定点T,其坐标为(0,1).

【加固训练】已知椭圆C: 22

22x y a b

+=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F 1,F 2,A 为上顶点,△AF 1F 2

为正三角形,以AF 2为直径的圆与直线y=3x+2相切. (1)求椭圆C 的标准方程.

(2)过点F 2作斜率为k 的直线l 与椭圆交于M,N 两点,在x 轴上是否存在点P(m,0),使得错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。时四边形PMQN 为菱形,且点Q 在椭圆C 上?若存在,求m 的值;若不存在,请说明理由. 【解析】(1)由已知△AF 1F 2为正三角形,

c 1

sin30,a 2c,b 3c,a 2

=?===得即 由A(0,b),F 2(c,0),得AF 2的中点c b

B(,)22

,

点B 到直线y=3x+2的距离为

解得a 2

=4,b 2

=3,

所以椭圆C 的标准方程为22

x y 43

+=1. (2)由(1)可知F 2(1,0), 设直线l 的方程为y=k(x-1).

联立方程,得()22y k x 1,

x y 1,4

3?=-?

?+=??

整理得(3+4k 2

)x 2

-8k 2

x+4k 2

-12=0, 设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),

由根与系数的关系得x 1+x 2=2

2

8k 34k

+, 则y 1+y 2=k(x 1+x 2-2)=2

6k

34k -

+,

又错误！未找到引用源。=(x 1-m,y 1),错误！未找到引用源。=(x 2-m,y 2),

所以错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。=(x 1+x 2-2m,y 1+y 2)

得5k 4

+16k 2

+12=0,

因为5k 4

+16k 2

+12>0恒成立, 故满足条件的点P(m,0)不存在.

2.过x 轴上动点A(a,0)引抛物线y=x 2

+1的两条切线AP,AQ.切线斜率分别为k 1和k 2,切点分别为

P,Q.

(1)求证:k 1·k 2为定值,并且直线PQ 过定点.

(2)记S 为面积,当最小时,求错误！未找到引用源。·错误！未找到引用源。的值.

【解析】(1)方法一:设过A 点的直线为:y=k(x-a),与抛物线联立得()2

y k x a ,

y x 1,

?=-??=+??得

x 2

-kx+ka+1=0, Δ=k 2-4ak-4=0, 所以k 1+k 2=4a, k 1·k 2=-4为定值.

抛物线方程y=x 2

+1,求导得y ′=2x,

设切点P,Q 的坐标分别为(x P ,y P ),(x Q ,y Q ), k 1=2x P ,k 2=2x Q ,

所以x P +x Q =2a,x P ·x Q =-1. 直线PQ 的方程:y-y P =

P Q P Q

y y x x --(x-x P ),

由y P =错误！未找到引用源。+1,y Q =错误！未找到引用源。+1, 得到y=(x P +x Q )x-x P x Q +1,

整理可得y=2xa+2,所以直线PQ 过定点(0,2).

方法二:设切点P,Q 的坐标分别为(x P ,y P ),(x Q ,y Q ),求导得y ′=2x, 所以l AP :y=2x P (x-a),

(x P ,y P )在直线上,即y P =2x P (x P -a),

由P(x P ,y P )在抛物线方程上得y P =错误！未找到引用源。+1, 整理可得y P =2x P a+2, 同理y Q =2x Q a+2, 所以l QP :y=2xa+2, 所以直线PQ 过定点(0,2).

联立PQ 的直线方程l QP :y=2xa+2和抛物线方程y=x 2

+1, 可得:x 2

-2xa-1=0. 所以x P x Q =-1,x P +x Q =2a,

所以k 1·k 2=2x P ×2x Q =-4为定值. (2)设A 到PQ 的距离为

d.

当且仅当t=3时取等号,即a=±

2

2

.

因为错误！未找到引用源。·错误！未找到引用源。=(x P-a,y P)·(x Q-a,y Q) =x P x Q-a(x P+x Q)+a2+y P y Q,

y P y Q=(2x P a+2)(2x Q a+2)=4a2x P x Q+4+4a(x P+x Q)=4a2+4,

所以错误！未找到引用源。·错误！未找到引用源。=3a2+3=9

2

.

3.(2015·郑州模拟)已知两点A(-2,0)和B(2,0),直线AM,BM相交于点M,且这两条直线的斜率之积为-错误！未找到引用源。.

(1)求点M的轨迹方程.

(2)记点M的轨迹为曲线C,曲线C上在第一象限的点P的横坐标为1,直线PE,PF与圆(x-1)2+y2=r2（0

【解析】(1)设点M(x,y),

因为k AM k BM=-错误！未找到引用源。,所以错误！未找到引用源。·错误！未找到引用源。=-错误！未找到引用源。,

整理得点M所在的曲线的方程为错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。=1(x≠±2).

(2)由题意可得点P（1,错误！未找到引用源。）,

因为圆(x-1)2+y2=r2的圆心为(1,0),

所以直线PE与直线PF的斜率互为相反数.

设直线PE的方程为y=k(x-1)+错误！未找到引用源。,与椭圆方程联立消去y,

得:(4k2+3)x2+(12k-8k2)x+(4k2-12k-3)=0,

由于x=1是方程的一个解,

所以方程的另一解为x Q=错误！未找到引用源。,

同理x R=错误！未找到引用源。.

故直线RQ的斜率为k RQ=错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

把直线RQ 的方程y=错误！未找到引用源。x+b 代入椭圆方程,消去y 整理得 x 2

+bx+b 2

-3=0,

原点O 到直线RQ 的距离为d=错误！未找到引用源。,

所以S △ORQ =错误！未找到引用源。·错误！未找到引用源。·错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。≤错误！未找到引用源。·错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。.

即△OQR 的面积的最大值为错误！未找到引用源。.

4.(2015·西安模拟)已知椭圆C: 2222x y a b +=1(a>b>0)经过点3(1,)2,离心率为3

2

.

(1)求椭圆C 的方程.

(2)直线y=k(x-1)(k ≠0)与椭圆C 交于A,B 两点,点M 是椭圆C 的右顶点,直线AM 与直线BM 分别与y 轴交于点P,Q,试问以线段PQ 为直径的圆是否过x 轴上的定点?若是,求出定点坐标;若不是,说明理由.

【解析】(1)由题意得22

c 3

,a 2131,a 4b ?=????+=?? 解得a=2,b=1.

所以椭圆C 的方程是2x 4

+y 2

=1.

(2)以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点,

由()22

y k x 1,x y 14

?=-??+=??得(1+4k 2)x 2-8k 2x+4k 2-4=0,

设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),

则有22121222

8k 4k 4

x x ,x x .14k 14k

-+==++ 又因为点M 是椭圆C 的右顶点,所以点M(2,0), 由题意可知直线AM 的方程为y=

1

1y x 2

-(x-2), 故点1

12y P(0,)x 2

-

-. 直线BM 的方程为y=

2

2y x 2

-(x-2), 故点Q 2

22y (0,).x 2

-

- 若以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点N(x 0,0),则等价于错误！未找到引用源。·错误！未找到引用源。=0恒成立

,

又因为(x 1-2)(x 2-2)=x 1x 2-2(x 1+x 2

)+4

y 1y 2=k(x 1-1)·k(x 2-1)=k 2

[x 1x 2-(x 1+x 2)+1]

即x轴上的定点为(3,0)或(-3,0).

故以线段PQ为直径的圆过x轴上的定点(±3,0).

5.(2014·平顶山模拟)已知椭圆E:错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。=1(a>b>0)的离心率为错误！未找到引用源。,过其右焦点F2作与x轴垂直的直线l与该椭圆交于A,B两点,与抛物线y2=4x交于C,D两点,且错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。.

(1)求椭圆E的方程.

(2)若过点M(2,0)的直线与椭圆E相交于G,H两点,设P为椭圆E上一点,且满足错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。(t≠0,O为坐标原点),当|错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。|<错误！未找到引用源。时,求实数t的取值范围. 【解析】(1)因为直线l过右焦点F2且与x轴垂直,

所以|AB|=错误！未找到引用源。,|CD|=4错误！未找到引用源。.

又椭圆E的离心率为错误！未找到引用源。,且错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。,

故椭圆E的方程为:错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。=1.

(2)由题意知直线GH的斜率不为零.

设直线GH的方程为:x=my+2.

联立错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。=1与x=my+2, 消去x 得:(m 2

+2)y 2

+4my-28=0. 设P(x,y),G(x 1,y 1),H(x 2,y 2),

则y 1+y 2=-错误！未找到引用源。,y 1y 2=-错误！未找到引用源。, x 1+x 2=m(y 1+y 2)+4=错误！未找到引用源。.

因为错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。,

所以P(错误！未找到引用源。,-错误！未找到引用源。). 因为P 点在椭圆上,

所以将P 点坐标代入椭圆方程得t 2

=错误！未找到引用源。.

因为|错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。|<错误！未找到引用源。, 所以|GH|2

=(1+m 2

)(y 1-y 2)2

=(1+m 2

)[(y 1+y 2)2

-4y 1y 2]

14m 4

+11m 2

-25<0,所以0≤m 2

<1,

所以t 2=错误！未找到引用源。∈(错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。], 所以t ∈[-错误！未找到引用源。,-错误！未找到引用源。)∪(错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。],

所以实数t 的取值范围为[-错误！未找到引用源。,-错误！未找到引用源。)∪(错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。].

6.(2015·昆明模拟)已知F 1,F 2分别是椭圆E:错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。=1(a>b>0)的左、右焦点,P 是椭圆E 上的点,以F 1P 为直径的圆经过F 2,1PF ·2PF =错误！未找到引用源。a 2

.直线l 经过F 1,与椭圆E 交于A,B 两点,F 2与A,B 两点构成△ABF 2. (1)求椭圆E 的离心率.

(2)设△F 1PF 2的周长为2+错误！未找到引用源。,求△ABF 2的面积S 的最大值.

【解析】(1)因为F 1,F 2分别是椭圆E 的左、右焦点,P 是椭圆E 上的点,以F 1P 为直径的圆经过F 2,所以PF 2⊥x 轴.

所以|PF 2|=错误！未找到引用源。. 又1PF ·2PF =错误！未找到引用源。a 2

,

所以|PF 2|2

=错误！未找到引用源。a 2

,即错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。a, 所以a 2

=4b 2

,即a 2

=4(a 2

-c 2

),化简得3a 2

=4c 2

,

所以错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。, 所以椭圆E 的离心率等于错误！未找到引用源。. (2)因为△F 1PF 2的周长为2+错误！未找到引用源。, 所以2a+2c=2+错误！未找到引用源。.

所以b 2

=错误！未找到引用源。, 所以椭圆E 的方程为x 2

+4y 2

=1.

当直线l 的斜率不存在时,△ABF 2的面积S=错误！未找到引用源。×错误！未找到引用源。×2c=错误！未找到引用源。. 当直线l 的斜率存在时,设为k, 由F 2与A,B 两点构成△ABF 2得到k ≠0.

由已知得直线l 的方程为y=k(x+错误！未找到引用源。), 即2kx-2y+错误！未找到引用源。k=0,

所以F 2(错误！未找到引用源。,0)到直线l 的距离d=错误！未找到引用源。.

得(1+4k 2

)x 2

+4错误！未找到引用源。k 2

x+3k 2

-1=0,

所以|AB|=错误！未找到引用源。·错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。.

当且仅当k2=错误！未找到引用源。时等号成立.

又错误！未找到引用源。>错误！未找到引用源。,所以△ABF2的面积S的最大值等于错误！未找到引用源。.

【加固训练】如图,已知椭圆C:

22

22

x y

a b

+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,其上顶点为A.

已知△F1AF2是边长为2的正三角形.

(1)求椭圆C的方程.

(2)过点Q(-4,0)任作一动直线l交椭圆C于M,N两点,记错误！未找到引用源。=λ·错误！未找到引用源。.若在线段MN上取一点R,使得错误！未找到引用源。=-λ·错误！未找到引用源。,当直线l运动时,点R在某一定直线上运动,求出该定直线的方程.

【解析】(1)因为△F1AF2是边长为2的正三角形,

所以c=1,a=2,b=3,

所以,椭圆C的方程为

22

x y

43

+=1.

(2)由题意知,直线MN的斜率必存在,

设其方程为y=k(x+4).并设M(x1,y1),N(x2,y2),

由()22

x y 1,43

y k x 4?+

=???=+?

, 消去y 得(3+4k 2

)x 2

+32k 2

x+64k 2

-12=0,

()222

121222

32k 64k 1214414k 0,x x ,x x .34k 34k

--?=->+==++则 由错误！未找到引用源。=λ·错误！未找到引用源。得-4-x 1=λ(x 2+4), 故λ=12x 4

x 4

+-

+. 设点R 的坐标为(x 0,y 0),

则由错误！未找到引用源。=-λ·错误！未找到引用源。得x 0-x 1=-λ(x 2-x 0),

112

12

2012x 4

x x x

x x 4

x x 411x 4

++

-λ+=

=+-λ

+

+解得

故点R 在定直线x=-1上.