二项分布、超几何分布、正态分布复习 通用精品课件
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10.8超几何分布二项分布正态分布课件高三数学一轮复习
CkMCnN－－kM P(X＝k)＝______C_nN_______，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.
其中 n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，则 m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如 果随机变量 X 的分布列具有上式的形式，那么称随机变量 X 服从超几何分布．
(2)超几何分布的均值：设随机变量 X 服从超几何分布，则 X 可以解释为从包含 M 件
第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布
第八节 超几何分布、二项分布、正态分布
课前双基巩固
——整合知识 夯实基础
『知识聚焦』 1．超几何分布 (1)定义：一般地，假设一批产品共有 N 件，其中有 M 件次品，从 N 件产品中随机抽 取 n 件(不放回)，用 X 表示抽取的 n 件产品中的次品数，则 X 的分布列为
(1)用 X 表示甲同学上学期间的三天中 7：30 之前到校的天数，求随机变量 X 的分布 列和数学期望；
(2)设 M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在 7：30 之前到校的天数比乙同学在 7： 30 之前到校的天数恰好多 2”，求事件 M 发生的概率．
【解】 (1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天 7：30 之前到校
_____1_0________.
【解析】 由题意知 X＝2 表示取出的 4 件产品中 2 件次品，故 P(X＝2)＝CC23·41C0 27＝130.
4．小王通4过英语听力测试的概率是13，他连续测试 3 次，那么其中恰有 1 次获得通过 的概率是_____9_________．
【解析】 ＝49.
①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈__□1_1__0_.6_8_2_7_____. ②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈__□_1_2_0_.9_5_4_5_____.
其中 n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，则 m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如 果随机变量 X 的分布列具有上式的形式，那么称随机变量 X 服从超几何分布．
(2)超几何分布的均值：设随机变量 X 服从超几何分布，则 X 可以解释为从包含 M 件
第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布
第八节 超几何分布、二项分布、正态分布
课前双基巩固
——整合知识 夯实基础
『知识聚焦』 1．超几何分布 (1)定义：一般地，假设一批产品共有 N 件，其中有 M 件次品，从 N 件产品中随机抽 取 n 件(不放回)，用 X 表示抽取的 n 件产品中的次品数，则 X 的分布列为
(1)用 X 表示甲同学上学期间的三天中 7：30 之前到校的天数，求随机变量 X 的分布 列和数学期望；
(2)设 M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在 7：30 之前到校的天数比乙同学在 7： 30 之前到校的天数恰好多 2”，求事件 M 发生的概率．
【解】 (1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天 7：30 之前到校
_____1_0________.
【解析】 由题意知 X＝2 表示取出的 4 件产品中 2 件次品，故 P(X＝2)＝CC23·41C0 27＝130.
4．小王通4过英语听力测试的概率是13，他连续测试 3 次，那么其中恰有 1 次获得通过 的概率是_____9_________．
【解析】 ＝49.
①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈__□1_1__0_.6_8_2_7_____. ②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈__□_1_2_0_.9_5_4_5_____.
10.6二项分布超几何分布与正态分布课件(42张)
1 x＝μ
⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移， 如图(1)所示．
⑥当μ取定值时，正态曲线的形状由σ确定，σ较小时，峰值高，曲线 “瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；σ较大时，峰值低，曲线 “矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图(2)所示．
X～N（μ，σ2）
μ
σ2
× √
√ √
2．(教材改编)鸡接种一种疫苗后，有90%不会感染某种病毒，如果
有5只鸡接种了疫苗，则恰好有4只鸡没有感染病毒的概率约为( )
A．
B．
C．0.5
D．
答案：A
0.158 5
答案：B
5．(易错)已知随机变量X服从正态分布X～N(3，1)，且P(X>2c－1) ＝P(X<c＋3)，则c＝________．
第六节 二项分布、超几何分布与正态分布
必备知识·夯实双基
关键能力·题型突破
【课标标准】
1.了解伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的 实际问题.
2.了解超几何分布及其均值，并能解决简单的实际问题. 3.了解服从正态分布的随机变量，了解正态分布的均值、方差及其 含义．
必备知识·夯实双基
望．
题后师说 (1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个 体的个数．超几何分布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对 象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布． (2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型， 其实质是古典概型．
巩固训练2
共享电动车是一种新的交通工具，通过扫码开锁，实现循环共 享．某校园旁停放了10辆共享电动车，这些电动车分为荧光绿和橙色 两种颜色，已知从这些共享电动车中任取1辆，取到的是橙色的概率 为P＝，若从这些共享电动车中任意抽取3辆．80正常Fra bibliotek超重 肥胖
二项分布_超几何分布_正态分布
高考总复习.理科.数学
8．3σ原则
在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机 变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值，并简称之为3σ原则．
正态总体几乎总取值于区间(μ－3σ，μ＋3σ)之内，而在此 区间以外取值的概率只有0.0026，通常认为这种情况在一 次试验中几乎不可能发生，这是统计中常用的假设检验方 法的基本思想．
高考总复习.理科.数学
解析(1)法一：记“取出的 2 个小球上的数字互不相同” 为事件 A，
∵从袋中的 6 个小球中任取 2 个小球的方法共有 C26种， 其中取出的 2 个小球上的数字互不相同的方法有 C23C12C12，
∴P(A)＝C23CC1226C12＝3×3×2×5 2＝45.
法二：记“取出的 2 个小球上的数字互不相同”的事件 记为 A，“取出的 2 个小球上的数字相同”的事件记为 B，则 事件 A 与事件 B 是对立事件．
令k＝n得，在n次独立重复试验中，事件A全部发生的概率为P(ξ ＝n)＝Cpn(1－p)0 ＝pn.
高考总复习.理科.数学
3．超几何分布 在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有 X 件次品数，则事件 “X ＝ k” 发生的概率为： P(X ＝ k) ＝ CkM·CCnNnN－－kM，k＝0,1,2，…，m，其中 m＝min{M，n}，且 n≤N， M≤N，n，M，N∈N*，称分布列
高考总复习.理科.数学
正态分布 N(μ，σ2))是由均值 μ 和标准差 σ 唯一决定的分 布．
标准正态总体 N(0,1)在正态总体的研究中占有重要的地 位．
7．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值(简称三个 基本概率值)
P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.6826； P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.9544； P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.9974.
新人教版高中数学一轮复习二项分布、超几何分布、正态分布培优课件
( √ )
(3)n 重伯努利试验中各次试验的结果相互独立.
( √ )
(4)正态分布是对连续型随机变量而言的.
( √ )
10
目录
2.(2022 年新高考全国Ⅱ卷)已知随机变量 X 服从正态分布 N(2,σ2),且 P(2<X≤2.5)=0.36,则
P(X>2.5)= 0.14
.
[解析] 由题意可知,P(X>2)=0.5,故 P(X>2.5)=P(X>2)-P(2<X≤2.5)=0.5-
A 发生的次数,则 X 的分布列为 P(X=k)=③
C pk(1-p)n-k
,k=0,1,2,…,n.
如果随机变量 X 的分布列具有上式的形式,则称随机变量 X 服从二项分布,记作
④
X~B(n,p)
.
5
目录
二、两点分布与二项分布的均值、方差
1.若随机变量 X 服从两点分布,则 E(X)=p,D(X)=⑤
(k=0,1,2,3),
9 9
X 的分布列为
0
64
729
X
P
5
9
1
80
243
2
100
243
3
125
729
5
3
所以 E(X)=3× = .
25
目录
【讲练互动】
例3
考点二 超几何分布
(2023·芜湖模拟)为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组
队参加.现有来自甲协会的运动员 3 名,其中种子选手 2 名,乙协会的运动员 5 名,其中种子
独立的;(3)该公式表示 n 次试验中事件 A 恰好发生了 k 次的概率.
上课124超几何分布与二项分布ppt课件
条鱼，记 ξ 表示抽到的鱼汞含量超标的条数，求 ξ 的分布列及 Eξ.
例 4：二十世纪 50 年代，日本熊本县水俣市的许多居民都患了运动失调、四肢麻木等 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 症状，人们把它称为水俣病．经调查发现一家工厂排出的废水中含有甲基汞，使鱼类受到 污染．人们长期食用含高浓度甲基汞的鱼类引起汞中毒． 引起世人对食品安全的关注．《中 华人民共和国环境保护法》规定食品的汞含量不得超过 1.00ppm．
ξ 可能的取值为 0，1，2，3，由 ξ～ B(3, 1) ， 3
其分布列如下：
ξ
0
1
2
3
P(ξ)
C
0 3
(
1) 3
0
(
2 3
)
3
C13
(
1 3Biblioteka )1(2 3)2
C
2 3
(
1 3
)
2
(
2 3
)1
C
3 3
(
1 3
)
3
(
2 3
)
0
由 ξ～ B(3, 1) ， 所以 Eξ=1. 3
条鱼，记 ξ 表示抽到的鱼汞含量超标的条数，求 ξ 的分布列及 Eξ.
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
解：（I）记“15 条鱼中任选 3 条恰好有 1 条鱼汞含量超标”为事件 A
1求X的概率分布表； 2求去执行任务的同学中有男有女的概率.
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
例 4：二十世纪 50 年代，日本熊本县水俣市的许多居民都患了运动失调、四肢麻木等 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 症状，人们把它称为水俣病．经调查发现一家工厂排出的废水中含有甲基汞，使鱼类受到 污染．人们长期食用含高浓度甲基汞的鱼类引起汞中毒． 引起世人对食品安全的关注．《中 华人民共和国环境保护法》规定食品的汞含量不得超过 1.00ppm．
ξ 可能的取值为 0，1，2，3，由 ξ～ B(3, 1) ， 3
其分布列如下：
ξ
0
1
2
3
P(ξ)
C
0 3
(
1) 3
0
(
2 3
)
3
C13
(
1 3Biblioteka )1(2 3)2
C
2 3
(
1 3
)
2
(
2 3
)1
C
3 3
(
1 3
)
3
(
2 3
)
0
由 ξ～ B(3, 1) ， 所以 Eξ=1. 3
条鱼，记 ξ 表示抽到的鱼汞含量超标的条数，求 ξ 的分布列及 Eξ.
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
解：（I）记“15 条鱼中任选 3 条恰好有 1 条鱼汞含量超标”为事件 A
1求X的概率分布表； 2求去执行任务的同学中有男有女的概率.
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
二项分布超几何分布与正态分布课件-2025届高三数学一轮复习
了60名学生的考核成绩，如下表
成绩
人数
[50，60)
5
[60，70)
5
[70，80)
15
[80，90)
25
[90，100]
10
(1)从参加培训的学生中随机选取1人，请根据表中数据，估计这名
学生考核优秀的概率；
(2)用分层抽样的方法，在考核成绩为[70，90)的学生中任取8人，再
从这8人中随机选取4人，记取到考核成绩在[80，90)的学生为X，求X
若P(a<ξ≤a＋1)＝0.3，且f(x)＝x2 －2ax＋6的最小值为－3，则P(ξ<2)
＝______．
答案：0.2
解析：因为f(x)＝x2－2ax＋6的最小值为－3，所以f(a)＝－a2＋6＝－3，
即a2＝9，又a>0，所以a＝3，
即根据正态分布的对称性，正态分布N(3，σ2)的正态密度曲线关于x＝3对称，
3
课堂互动探究案
1.了解伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的
实际问题．
2．了解超几何分布及其均值，并能解决简单的实际问题．
3．了解服从正态分布的随机变量，了解正态分布的均值、方差及其
含义．
问题思考·夯实技能
【问题1】 “二项分布”与“超几何分布”有什么区别？
提示：有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总
不低于10间的条件下，求这3家的品质型民宿的房间均不低于10间的
概率；
(2)从这8家中随机抽取4家，记X为抽取的这4家中普通型民宿的房间
不低于15间的家数，求X的分布列和数学期望．
题后师说
(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个
成绩
人数
[50，60)
5
[60，70)
5
[70，80)
15
[80，90)
25
[90，100]
10
(1)从参加培训的学生中随机选取1人，请根据表中数据，估计这名
学生考核优秀的概率；
(2)用分层抽样的方法，在考核成绩为[70，90)的学生中任取8人，再
从这8人中随机选取4人，记取到考核成绩在[80，90)的学生为X，求X
若P(a<ξ≤a＋1)＝0.3，且f(x)＝x2 －2ax＋6的最小值为－3，则P(ξ<2)
＝______．
答案：0.2
解析：因为f(x)＝x2－2ax＋6的最小值为－3，所以f(a)＝－a2＋6＝－3，
即a2＝9，又a>0，所以a＝3，
即根据正态分布的对称性，正态分布N(3，σ2)的正态密度曲线关于x＝3对称，
3
课堂互动探究案
1.了解伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的
实际问题．
2．了解超几何分布及其均值，并能解决简单的实际问题．
3．了解服从正态分布的随机变量，了解正态分布的均值、方差及其
含义．
问题思考·夯实技能
【问题1】 “二项分布”与“超几何分布”有什么区别？
提示：有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总
不低于10间的条件下，求这3家的品质型民宿的房间均不低于10间的
概率；
(2)从这8家中随机抽取4家，记X为抽取的这4家中普通型民宿的房间
不低于15间的家数，求X的分布列和数学期望．
题后师说
(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个
高中数学总复习：二项分布、超几何分布与正态分布
运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙
协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参
加比赛.
目录
高中总复习·数学（提升版）
（1）设 A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手
来自同一个协会”，求事件 A 发生的概率；
22 32 ＋32 32
−
（ X ）＝ ·（1－ ）· .
−1
3. 对于正态分布 X ～ N （μ，σ2）， E （ X ）＝μ， D （ x ）＝σ2.
目录
高中总复习·数学（提升版）
1. 已知一盒子中有棋子10粒，其中7粒黑子，3粒白子.任意取出2粒，
若 X 表示取得白子的个数，则 X 的均值 E （ X ）＝
64
3
得 p ＝ ，则事件 A 恰好发生一次的概率为 31
4
×
3
3
9
2
×（1－ ） ＝ .
4
4
64
目录
高中总复习·数学（提升版）
4. 某产品有5件正品和3件次品混在了一起（产品外观上看不出有任何
区别），现从这8件产品中随机抽取3件，则取出的3件产品中恰有1
件是次品的概率为
15
28
.
解析：设取出的3件产品中次品的件数为 X ，3件产品中恰好有一件
1
位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是 .
2
5
则质点 P 移动五次后位于点（2，3）的概率是 16 .
解析：由于质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，移
动五次后位于点（2，3），所以质点 P 必须向右移动两次，向上移
协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参
加比赛.
目录
高中总复习·数学（提升版）
（1）设 A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手
来自同一个协会”，求事件 A 发生的概率；
22 32 ＋32 32
−
（ X ）＝ ·（1－ ）· .
−1
3. 对于正态分布 X ～ N （μ，σ2）， E （ X ）＝μ， D （ x ）＝σ2.
目录
高中总复习·数学（提升版）
1. 已知一盒子中有棋子10粒，其中7粒黑子，3粒白子.任意取出2粒，
若 X 表示取得白子的个数，则 X 的均值 E （ X ）＝
64
3
得 p ＝ ，则事件 A 恰好发生一次的概率为 31
4
×
3
3
9
2
×（1－ ） ＝ .
4
4
64
目录
高中总复习·数学（提升版）
4. 某产品有5件正品和3件次品混在了一起（产品外观上看不出有任何
区别），现从这8件产品中随机抽取3件，则取出的3件产品中恰有1
件是次品的概率为
15
28
.
解析：设取出的3件产品中次品的件数为 X ，3件产品中恰好有一件
1
位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是 .
2
5
则质点 P 移动五次后位于点（2，3）的概率是 16 .
解析：由于质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，移
动五次后位于点（2，3），所以质点 P 必须向右移动两次，向上移
新高考数学二项分布、超几何分布与正态分布精品课件
np(1-p)
3. 超几何分布(1)定义:假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为P(X=k)= ,k=m,m+1,m+2,…,r,其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M},称随机变量X服从超几何分布. (2)特点:从含有M个特殊元素的N个元素中抽取n个元素,X表示其中的特殊元素的个数.(3)期望:E(X)= =np.
课前基础巩固
μ=0,σ=1
μ
σ2
课前基础巩固
③3σ原则如果X~N(μ,σ2),那么P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.在实际应用中,通常认为服从于正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取 [μ-3σ,μ+3σ]中的值,这在统计学中称为3σ原则.
课前基础巩固
③
[解析] 服从超几何分布的随机变量表示的是取出特殊元素的个数,由此可知③服从超几何分布.
5. 已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(X<4)=0.8,则P(0<X<2)等于 .
课前基础巩固
0.3
[解析] 因为P(X<4)=0.8,所以P(X≥4)=0.2.由题意知正态曲线的对称轴为直线x=2,所以P(X≤0)=P(X≥4)=0.2,所以P(0<X<4)=1-P(X≤0)-P(X≥4)=0.6,所以P(0<X<2)=P(0<X<4)=0.3.
X
0
1
2
3
4
P
[总结反思] 二项分布满足的条件:①在每次试验中,事件发生的概率都是相同的(题目中有“将频率视为概率”时,每次试验概率就是相同的);②各次试验中的事件是相互独立的;③每次试验只有两种结果,事件要么发生,要么不发生;④随机变量是这n重伯努利试验中事件发生的次数.
3. 超几何分布(1)定义:假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为P(X=k)= ,k=m,m+1,m+2,…,r,其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M},称随机变量X服从超几何分布. (2)特点:从含有M个特殊元素的N个元素中抽取n个元素,X表示其中的特殊元素的个数.(3)期望:E(X)= =np.
课前基础巩固
μ=0,σ=1
μ
σ2
课前基础巩固
③3σ原则如果X~N(μ,σ2),那么P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.在实际应用中,通常认为服从于正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取 [μ-3σ,μ+3σ]中的值,这在统计学中称为3σ原则.
课前基础巩固
③
[解析] 服从超几何分布的随机变量表示的是取出特殊元素的个数,由此可知③服从超几何分布.
5. 已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(X<4)=0.8,则P(0<X<2)等于 .
课前基础巩固
0.3
[解析] 因为P(X<4)=0.8,所以P(X≥4)=0.2.由题意知正态曲线的对称轴为直线x=2,所以P(X≤0)=P(X≥4)=0.2,所以P(0<X<4)=1-P(X≤0)-P(X≥4)=0.6,所以P(0<X<2)=P(0<X<4)=0.3.
X
0
1
2
3
4
P
[总结反思] 二项分布满足的条件:①在每次试验中,事件发生的概率都是相同的(题目中有“将频率视为概率”时,每次试验概率就是相同的);②各次试验中的事件是相互独立的;③每次试验只有两种结果,事件要么发生,要么不发生;④随机变量是这n重伯努利试验中事件发生的次数.
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P(ξ＝4)＝C13·23·312·23＝247，
P(ξ＝5)＝C14·32313＋314＝19. 故 ξ 的分布列为
ξ2 3 4 5
P
4 9
8 27
4 27
1 9
正态分布的概率计算
某年级1班的一次数学考试成绩近似服从正态分布 N(70,102)，如果规定低于60分为不及格，(1)若该年级1班 有60个学生，求该班成绩不及格的人数．(2)求该班成绩在 80～90分的学生人数．(3)该班甲同学的成绩是92分，他大 约能排在班上前多少名(名次按高分排前的原则)?
3．超几何分布 在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有 X 件次品数，则事件 “ X ＝ k” 发生的概率为： P(X ＝ k) ＝ CkM·CCnNnN－－kM，k＝0,1,2，…，m，其中 m＝min{M，n}，且 n≤N， M≤N，n，M，N∈N*，称分布列
为超几何分布列，如果随机变量 X 的分布列为超几何分 布列，则称离散型随机变量 X 服从超几何分布．
4．正态分布密度函数 φμ，σ(x)＝ 21πσe－x－2σμ2 2，(σ＞0，x∈(－∞，＋∞)) 其中 π 是圆周率；e 是自然对数的底；x 是随机变量的取 值；μ 为正态分布的均值；σ 是正态分布的标准差．正态分布 一般记为 N(μ，σ2)．
5．正态曲线 函数 φμ，σ(x)＝ 21πσe－x－2σμ2 2，(x∈(－∞，＋∞)，实数 μ 和 σ(σ＞0)为参数)，的图象为正态分布密度曲线，简称正态 曲线．
题型展示台
(2009 年辽宁卷)某人向一目标射击 4 次，每次击中目标 的概率为13.该目标分为 3 个不同的部分，第一、二、三部分面 积之比为 1∶3∶6，击中目标时，击中任何一部分的概率与其 面积成正比．
8 95
1 285
变式探究
1．(2009年德州模拟)袋中装着标有数字1,2,3的小球各2个， 从袋中任取2个小球，每个小球被取出的可能性都相等． (1)求取出的2个小球上的数字互不相同的概率； (2)用ξ表示取出的2个小球上的数字之和，求随机变量ξ的概率 分布．
解析(1)法一：记“ 取出的 2 个小球上的数字互不相同” 为事件 A，
8．3σ原则
在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机 变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值，并简称之为3σ原则．
正态总体几乎总取值于区间(μ－3σ，μ＋3σ)之内，而在此 区间以外取值的概率只有0.0026，通常认为这种情况在一 次试验中几乎不可能发生，这是统计中常用的假设检验方 法的基本思想．
12 A.125
16 B.125
48 C.125
96 D.125
解析：概率为 C2354251＝14285. 答案：C
课堂互动探究
超几何分布模型的概率计算
一个盒子中装有16个白球和4个黑球，从中任意取出3个， 设ξ表示其中黑球的个数，求ξ的分布列．
分析：这是一个超几何分布模型，其中 N＝20, M＝4, n ＝3，利用 P(ξ＝m)＝CmM·CCnNnN－－mM求解．
P(ξ＝4)＝C12×25×35×25＋533＝15215；
P(ξ＝5)＝C13×25×532×25＋C23352×25×35＝267205＝15245. ξ 的分布列为
ξ3 4 5
P
4 25
51 125
54 125
变式探究
2．(2009年泰州期末)在一次抗洪抢险中，准备用射击的方法 引爆从桥上游漂流而下的一巨大汽油罐．已知只有5发子弹备 用，且首次命中只能使汽油流出，再次命中才能引爆成功， 每次射击命率都是 2 ，每次命中与否互相独立．
6．“小概率事件”和假设检验的基本思想 “小概率事件”通常指发生的概率小于5%的事件， 认为在一次试验中该事件是几乎不可能发生的．这种认识便 是进行推断的出发点．关于这一点我们要有以下两个方面的 认识：一是这里的“几乎不可能发生”是针对“一次试验” 来说的，
因为试验次数多了，该事件当然是很可能发生的；二是当我 们运用“小概率事件几乎不可能发生的原理”进行推断时， 我们也有5%的犯错误的可能．进行假设检验一般分三步： 第一步，提出统计假设．如课本例子里的统计假设是这个工 人制造的零件尺寸服从正态分布N(μ，σ2)； 第二步，确定一次试验中的取值a是否落入范围(μ－3σ，μ＋ 3σ)； 第三步，做出推断．如果a∈(μ－3σ，μ＋3σ)，接受统计假设； 如果a∉(μ－3σ，μ＋3σ)，由于这是小概率事件，就拒绝统计 假设．
(2)成绩在(80,90]的学生比例为： 12[P(70－2×10＜X≤70＋2×10)－0.6826] ＝12(0.9544－0.6826)＝0.1359， ∴该班成绩在(80,90]的学生人数约为 0．1359×60＝8.25≈8(人)． (3)∵92＞90＝70＋2×10， 而 P(70－2×10＜X≤70＋2×10)＝0.9544 0．9544×60≈57，12(60－57)＝32≈2，故甲某该次成绩应 排在班上前 2 名．
解析：设该班每个学生该次数学成绩为随机变量X， X～N(70,102)，则μ＝70，σ＝10， 成绩在(60,80]内的学生比例为： P(70－10＜X≤70＋10)＝0.6826， ∴不及格的学生的比例为(1－0.6826)＝0.1587， ∴该班不及格的学生人数约为 0．1587×60＝8.522≈9(人)．
∵P(B)＝CC2613＝135＝15， ∴P(A)＝1－P(B)＝45.
(2)由题意，ξ 所有可能的取值为：2,3,4,5,6.
P(ξ＝2)＝CC2622＝115，P(ξ＝3)＝CC12C26 12＝145， P(ξ＝4)＝C22＋CC62 21C12＝155， P(ξ＝5)＝CC12C26 12＝145，P(ξ＝6)＝CC2622＝115.
3．注意不同背景下的超几何分布模型，用超几何模型的概率 公式计算．
4．n 次独立重复试验中某事件 A 发生 k 次的概率 P(ξ＝
k)＝Cknpk(1－p)n－k 正好是二项式[(1－p)＋p]n 的展开式的第 k
＋1 项． 5．对正态分布的问题关键是抓住两个参数μ和σ，理
解两个参数的实际意义，再利用三个基本概率值就能解决有 关的计算问题．
3
(1)求油罐被引爆的概率．
(2)如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为ξ，求ξ的 分布列．
解析：(1)记“油罐被引爆”为事件 A，其对立事件为－A ， 则 P(－A )＝C1532314＋135，
∴P(A)＝1－C15·23134＋135＝223423. (2)射击次数 ξ 的可能取值为 2,3,4,5， P(ξ＝2)＝322＝49， P(ξ＝3)＝C12·23·13·23＝287，
基础自测
1．若 X～B(10,0.8)，则 P(X＝8)＝( )
A．C810×0.88×0.22 C．0.88×0.22
B．C810×0.82×0.28 D ．0.82×0.28
答案：A
2．(2008 年福建卷)某一批花生种子，如果每 1 粒发芽的
概率为45，那么播下 3 粒种子恰有 2 粒发芽的概率是( )
(1) 求中国女排取胜的概率； (2)设决赛中比赛总的局数为 ξ，求 ξ 的分布列．
解析：(1)中国女排取胜的情况有两种： ①中国女排连胜三局； ②中国女排在第 2 局到第 4 局中赢两局，且第 5 局赢． 故中国女排取胜的概率为 P＝533＋C23532×25×35 ＝12275＋166225＝269275.故所求概率为269275. (2)设比赛局数为 ξ 其所有可能取值为 3,4,5.则 P(ξ＝3)＝522＝245；
ξ0
1 … k …n
P
C0n
C1np1qn－ … Cknpkqn－ …Cnnp0qn Nhomakorabea1
k
pnq0
我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n，p)，其中n、 p为参数，p叫成功概率．
令k＝0得，在n次独立重复试验中，事件A没有发生的概率为P(ξ ＝0)＝Cp0(1－p)n ＝(1－p)n，
令k＝n得，在n次独立重复试验中，事件A全部发生的概率为P(ξ ＝n)＝Cpn(1－p)0 ＝pn.
变式探究
3．革命老区某村1000个农民2008年的每月平均收入服从正态 分布N(650, 625)(单位：元)，估计该村农民月收入在600元以 下的人数．
解 析 ： 由 μ ＝ 650 ， σ ＝ 25 ， 又 由 于 P(μ － 2σ ＜ X≤μ ＋ 2σ) ＝ 0.9544，所以月收入在600～700的概率为0.9544，从而月收 入 在 600 元 以 下 的 概 率 为 ： (1 － 0.9544)/2 ＝ 0.0228,1000×0.0228≈23. 估计该村农民月收入在600元以下 的有23人．
第十三章 概率与统计
第六节 二项分布、超几何分布、正态分布
课前自主学案
知识梳理
1．独立重复试验 在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验． 2．二项分布 如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重 复试验中这个事件恰好发生k次的概率是P(ξ＝k)＝Cpkqn－k.其 中k＝0,1，…，n，q＝1－p， 于是得到随机变量ξ的概率分布如下：
正态分布 N(μ，σ2))是由均值 μ 和标准差 σ 唯一决定的分 布．
标准正态总体 N(0,1)在正态总体的研究中占有重要的地 位．
7．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值(简称三个 基本概率值)
P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.6826； P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.9544； P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.9974.
标准正态曲线：当 μ＝0、σ＝1 时，正态总体称为标准正 态总体，其相应的函数表示式是 f(x)＝ 12πe－x22，(－∞＜x＜ ＋∞)
其相应的曲线称为标准正态曲线. 6．正态分布 如果对于任何实数 a＜b，随机变量 X 满足 P(a＜X≤b) ＝ baφμ，σ(x)dx，则称 X 的分布为正态分布，参数 μ 表示 随机变量 X 的均值，参数 σ 表示随机变量 X 的标准差， 记作：X～N(μ，σ2)．其中 N(0,1)称为标准正态分布.