超几何分布与二项分布
超几何分布和二项分布
超几何分布和二项分布超几何分布和二项分布是概率论中两种重要的离散型概率分布。
它们都在描述了离散型随机变量的分布规律，但在具体的描述和应用上有一定的区别。
本文将分别介绍超几何分布和二项分布的定义、特点、性质和应用，并对两者之间的关系和区别进行详细的比较分析。
一、超几何分布的定义、特点和性质超几何分布是描述了一种从有限个物件中抽出样本不放回地抽取成功次数的概率分布。
具体来说，超几何分布描述了在总体中有M个成功物件和N-M个失败物件时，从总体中抽取n个物件，其中成功物件的个数X的分布概率。
其概率质量函数为：P(X=k) = (M choose k) * (N-M choose n-k) / (N choose n)，其中(M choose k)表示从M个物件中抽取k个物件的组合数。
超几何分布的特点有以下几点：1.超几何分布是离散型概率分布，其取值只能是非负整数。
2.超几何分布的期望值和方差分别为E(X) = n * M/N, Var(X) =n * M/N * (N-M)/N * (N-n)/(N-1)。
3.超几何分布的分布形状随着总体大小和成功物件的比例而改变，当总体很大时，超几何分布近似于二项分布。
超几何分布在实际应用中有着广泛的应用。
例如在质量抽样、抽样调查、生物统计学等领域，常常需要进行不放回地从总体中抽取物件的情况，而超几何分布恰好可以描述这类情况下随机变量的分布规律。
二、二项分布的定义、特点和性质二项分布是描述了n次独立重复的伯努利试验中成功次数的概率分布。
具体来说，二项分布描述了n次重复试验中成功的次数X的概率分布。
其概率质量函数为：P(X=k) = (n choose k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中(n choose k)表示从n次试验中成功k次的组合数。
二项分布的特点有以下几点：1.二项分布是离散型概率分布，其取值只能是非负整数。
2.二项分布的期望值和方差分别为E(X) = np, Var(X) = np(1-p)。
二项分布与超几何分布 知识的上下位关系
二项分布与超几何分布知识的上下位关系二项分布与超几何分布是统计学中两种重要的概率分布类型，它们在描述事件发生的概率分布时起着重要作用。
本文将从简单介绍二项分布和超几何分布的概念开始，再深入探讨它们之间的上下位关系，以帮助读者更好地理解这两种概率分布。
一、二项分布的概念和特点1. 二项分布是描述了在n次独立重复的伯努利试验中成功次数的概率分布。
其中，每次试验只有两种可能的结果，记为成功和失败。
2. 二项分布的概率质量函数可以用数学公式P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)来表示，其中n表示试验的次数，p表示每次试验成功的概率。
3. 二项分布的期望值和方差分别为E(X) = np，Var(X) = np(1-p)，当n较大时，二项分布可以近似为正态分布。
二、超几何分布的概念和特点1. 超几何分布描述了从有限大小N的总体中进行抽样后成功次数的概率分布。
与二项分布不同的是，超几何分布的抽样并非独立重复的。
2. 超几何分布的概率质量函数可以用数学公式P(X=k) = C(N, k) *C(N - n, n - k) / C(N, n)来表示，其中N表示总体中成功的个数，n 表示抽样的次数，k表示成功的次数。
3. 超几何分布的期望值和方差分别为E(X) = nN/N, Var(X) = nN(N-n)(N-n-1) / N^2(N-1)，当N较大时，超几何分布也可以近似为正态分布。
三、二项分布与超几何分布的上下位关系1. 二项分布和超几何分布的关系在于都描述了成功次数的概率分布，但是二者的抽样方式不同，因此二项分布描述的是独立重复试验，而超几何分布描述的是有限总体中的抽样。
2. 当总体大小N固定，抽样次数n趋向于无穷大时，超几何分布近似于二项分布。
3. 当总体大小N趋向于无穷大时，超几何分布也可以近似为二项分布。
四、个人观点和理解在实际应用中，二项分布常用于描述独立重复试验的概率分布，如投掷硬币、赌博等；而超几何分布则常用于描述有限总体中的抽样分布，如抽样检验、质量抽检等。
关于二项分布与超几何分布问题区别举例
关于二项分布与超几何分布问题区别举例Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】关于“二项分布”与“超几何分布”问题举例一．基本概念 1.超几何分布一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件X=k 发生的概率为：P(X=k)=n Nk n MN k M C C C --⋅,k= 0,1,2,3,,m ；其中，m = minM,n,且n N , M N . n,M,N N 为超几何分布；如果一个变量X 的分布列为超几何分布列，则称随几变量X 服从超几何分布.其中，EX= n MN2.二项分布在n次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X,在每次试验中，事件A 发生的概率为P,那么在n次独立重复试中，事件A恰好发生k次的概率为：P(X=k)= C n k p k(1-p)n-k(k=0,1,2,3,,n),此时称随机变量X服从二项分布.记作：X B(n,p),EX= np3.“二项分布”与“超几何分布”的联系与区别(1)“二项分布”所满足的条件每次试验中，事件发生的概率是相同的；是一种放回抽样.各次试验中的事件是相互独立的；每次试验只有两种结果，事件要么发生，要么不发生；随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数.(2)“超几何分布”的本质：在每次试验中某一事件发生的概率不相同，是不放回抽样，“当样本容量很大时，超几何分布近似于二项分布;合”，使得“超几何分布”期望的计算大简化.共同点：每次试验只有两种可能的结果：成功或失败。
不同点：1、超几何分布是不放回抽取，二项分布是放回抽取；2、超几何分布需要知道总体的容量，二项分布不需要知道总体容量，但需要知道“成功率”；联系：当产品的总数很大时，超几何分布近似于二项分布。
因此，二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样．所以，在解有关二项分布和超几何分布问题时，仔细阅读、辨析题目条件是非常重要的． 二．典型例题例1：袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．求：（1）有放回抽样时，取到黑球的个数Ｘ的分布列；（2）不放回抽样时，取到黑球的个数Ｙ的分布列．解：（1）有放回抽样时，取到的黑球数Ｘ可能的取值为０，1，2，3．又由于每次取到黑球的概率均为15，3次取球可以看成3次独立重复试验，则1~35X B ⎛⎫⎪⎝⎭，． 03031464(0)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴；12131448(1)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 21231412(2)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 333141(3)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．因此，X 的分布列为（2）．不放回抽样时，取到的黑球数Ｙ可能的取值为０，1，2，且有：03283107(0)15C C P Y C ===；12283107(1)15C C P Y C ===；21283101(2)15C C P YC ===．因此，Y 的分布列为例2.在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品，从这10件产品中任取3件，求：(1) 取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率.(2) 记：X表示“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的数量”，求X 的分布列并求EX;分析：由题可知：从10件产品中分别任取两次得到“一等品”或“二等品”的概率是不相等的，因此是一种不放回抽样;随机变量 X服从超几何分布.解：(1) 记A1：取出3件一等品；A2：取出2件一等品；A3：取出1件一等品，二件三等品.A1、A2、A3互斥，P(A 1)= C 33C 103 = 1120 , P(A 2)= C 32C 71C 103 =740,P(A 3)= C 31C 72C 103 = 340 ; 所以，P =P(A 1)+ P(A 2)+ P(A 3)= 31120 .(2)X=0，1，2，3; X 服从超几何分布，所以P(X=0)= P(一件一等品，一件二等品，一件三等品)=310131413C C C C =310;P(X=1)=P （二件一等品，一件二等品） =3101423C C C =110; P(X=2)=P(三件一等品，一件二等品)=3101433C C C =130 ; P(X=3)= P （三件一等品，零件二等品）= 3100433C C C = 1120;EX = nM N = 3310=说明：谨防错误地认为随机变量X 服从二项分布，即：XB(3, 31120).例3.从某高中学校随机抽取16名学生，经校医检查得到每位学生的视力，其中“好视力”4人,以这16人的样本数据来估计整个学校的整体数据，若从该校（人数很多）任选3人，记X表示抽到“好视力”学生的人数，求X的分布列及数学期望.分析：本题就是从“该校（人数很多）任选3人”，由此得到“好视力”人数X，若每次从该校任取一名学生为“好视力”这一事件的概率显然是相等的，因为该校“人数很多”相当于“有放回抽样”，因此，随机变量X服从“二项分布”而不是“超几何分布”.解：由题可知：X= 0,1,2,3；由样本估计总体，每次任取一人为“好视力”的概率为： P = 416 = 14，则XB(3,14 );P(X=0)= C 30( 14 )0(1- 14)3-0 = 2764; P(X=1)= C 31( 14 )1(1- 14)3-1 = 2764 ;P(X=2)= C 32( 14 )2(1- 14 )3-2 = 964 ;P(X=3)= C 33( 14 )3(1- 14 )3-3 = 164;EX = 3×14 = 34. 说明：假设问题变为：“从16名学生中任取3名，记X 表示抽到“好视力”学生的人数，求X 的分布列及数学期望”.那么X 服从“超几何分布”，即：P(X=k)= 3163124C C C k k ，(X=0,1,2,3)，其中,数学期望值不变，即为：EX= 3×416 = 34.。
二项分布和超几何分布
二项分布和超几何分布二项分布和超几何分布是统计学中比较常见的两个概率分布，它们都是很重要的知识点，被应用在许多领域，尤其是生物和药物研究等统计分析中。
在本文中，我们将对这两个概率分布进行介绍和比较，包括定义、性质、应用、关系以及如何求解这两个概率分布。
一、二项分布二项分布是一种偏态分布，也被称为二项概率分布，它以独立的事件进行描述，用来描述一个独立的试验或该试验的结果。
它形成了一种定义精确的概率模型，用来对实际问题进行分析、预测和解决。
二项分布中有两个参数，即n（试验次数）和p（每次试验成功的概率）。
假设有一个试验，该试验有n次，每次试验成功的概率为p，则最终成功的次数X服从二项分布：X~B(n,p)。
其性质如下：（1）二项分布的期望值E[X] = np。
（2）二项分布的方差 D[X]= npq=np（1-p）。
（3）当n趋于无穷大，p趋于某一定值时，此时X服从泊松分布。
（4）二项分布的n和p均大于0，当n=1时，二项分布即成为伯努利分布。
二项分布的应用非常广泛，常被应用在质量控制、生物学、总体调查中。
比如，在质量检验中，二项分布被应用在检验样本中不良品率检验；在生物学中，可以用二项分布研究DNA分子的突变率；在总体调查中，也可用二项分布来描述一个样本是否属于某一总体。
求解二项分布的方法：一般通过概率计算和抽样模拟的方法。
概率计算方法是对二项分布概率的精确计算，即在已知成功的概率p和试验次数n的情况下，可以精确算出在n次试验中成功m次出现的概率。
而抽样模拟方法是通过实际模拟事件，用实际上发生的次数来估计概率，为此可以用计算机模拟，从而统计概率出现的次数。
二、超几何分布超几何分布也称为无限取样分布，是一种古典的概率分布，用来描述一系列独立事件中指定类型的成功次数的分布情况。
它和二项分布很相似，但它的背后的模型是不同的。
超几何分布有三个参数，即n（试验次数）、N（总体样本数）和p（每次试验成功的概率）。
二项分布与超几何分布的区别与联系
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例题解析
1、从含有 2 件优等品的 5 件产品中，随机抽取 2 件，求
抽取的 2 件产品中的优等品数 的分布列及其均值。
解： 可能的取值为 0,1,2，
P( i) C2i C32i
C52
(i 0, 1, 2) ，
的分布列为
012
P
3 10
3 5
1 10
均值
E( )
1
3 52 1 10源自4 5结论：在实际应用 时，只要N≥10n， 不放回抽取可以近 似看成是放回抽取， 可用二项分布近似 描述不合格品个数 ， 即当超几何分布计 算非常困难时应考 虑用二项分布近似 代替。
练习：
[2009 广东理 17 题部分]对某城市一年（365 天）的空 气质量进行监测，发现一年中有 219 天空气质量为良或 轻度污染，求该城市某一周至少有 2 天的空气质量为轻 微污染的概率.
超几何分布一般地在含有m件次品的n件产品中任取n件其中恰有x件次品则事件xk发生的概率为服从参数为nmn的超几何分布1从含有2件优等品的5件产品中随机抽取2抽取的2件产品中的优等品数10均值2011广东理17部分从含有2件优等品的5件产品中随机抽取2件求抽取的2件产品中的优等品数的分布列及其均值
二项分布与超几何分布的区别与 联系
C1MCnN－－1M CnN
…
CmMCnN－－mM CnN
为超几何分布列，如果随机变量X的分布列为超几何 分布列，则称随机变量X服从超几何分布．
3、二项分布、超几何分布的均值、方差 (1)若 X～B(n，p)，则 E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． ※(2)若 X 服从参数为 N、M、n 的超几何分布， 则 E(X)＝nNM.
超几何分布和二项分布的联系和区别
超几何分布和二项分布的联系和区别开滦一中张智民在最近的几次考试中,总有半数的的学生搞不清二项分布和超几何分布,二者到底该如何区分呢?什么时候利用二项分布的公式解决这道概率问题?什么时候用超几何分布的公式去解决呢?好多学生查阅各种资料甚至于上网寻找答案,其实这个问题的回答就出现在教材上,人教版新课标选修2-3 从两个方面给出了很好的解释.诚可谓:众里寻他千百度,蓦然回首,那人却在灯火阑珊处!一、两者的定义是不同的教材中的定义:(一)超几何分布的定义在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品,则P(X=k)= C kMCC nNnN- k- M ,k 0 ,1, 2，, m,其中m=min{M,n}, 且n≤N,M ≤N,n,M,N ∈N,称随机变量X服从超几何分布(二)独立重复试验和二项分布的定义1）独立重复试验：在相同条件下重复做的n 次试验,且各次试验试验的结果相互独立,称为n次独立重复试验,其中A(i=1,2,⋯,n)是第ⅰ次试验结果,则P(A1A2A3⋯An)=P(A 1)P(A2)P(A3) ⋯P(An)2)二项分布在n 次独立重复试验中,用X 表示事件 A 发生的次数,设每次试验中事件 A 发生的概率为P,则P(X=k)= C k k np (1p )k并称P为成功概率。
1.本质区别(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题,二项分布描述的是放回抽样问题;(2)超几何分布中的概率计算实质上是古典概型问题;二项分布中的概率计算实质上是相互独立事件的概率问题2.计算公式超几何分布:在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品,则P(X=k)第1页共7 页= C kMCC nNnN- k- M ,k 0 ,1, 2，, m,二项分布:在n 次独立重复试验中,用X 表示事件 A 发生的次数,设每次试验中事件 A 发生的概率为P,则P(X=k)= C k k np (1 p )k温馨提示:当题目中出现“用样本数据估计XXX 的总体数据”时,均为二项分布问题。
二项分布与超几何分布
一、超几何分布设一批产品共有N 个，其中有M 个次品，现从中任取n 个（n N M ≤-）,令X n =“取出的个产品中包含的次品数”则X 的分布列为(),(0,1,2,,min(,))k n kM N MnNC C P X k k M n C --===L 上述分布称为超几何分布，记作(,,)X h n N M :。
超几何分布的二项近似当n N =时，即抽取的个数n 远小于产品总数N 时，每次抽取后，总体中的不合格率p M N =改变甚微，所以可以把不放回抽样近似的看成是有放回抽样，这时，超几何分布可以用二项分布近似(1),k n k k k n k M N Mn nNC C M C p p p C N---≅-=其中 例1甲乙两人赌技相当，各出赌本500元，约定5局3胜，胜者得到这1000元钱。
现在因故在甲赢了一局的情况下终止比赛，试问该如何分配这1000元钱？解法一 合理的方案应该是按照“若把球打完，甲乙二人各自取胜的概率”的比例来分配奖金。
由于甲已经先胜了一局，所以，甲取胜的事件就是“在接下来的比赛中，第三次失败之前赢下两次”。
令X =“在接下来的比赛中，甲取得两次胜利所需要的局数”则 (2,0.5)X Nb :，于是()(5)P P X =<“甲赢乙”42()k P X k ===∑42122120.50.5k k k C---==⨯∑41120.5kk k C -==∑ 2340.520.530.5=+⨯+⨯1116=注：本题也可以采用求数学期望的方法，这时求分布列较麻烦二项分布与超几何分布是两个非常重要的、应用广泛的概率模型，实际中的许多问题都可以利用这两个概率模型来解决．在实际应用中，理解并区分两个概率模型是至关重要的．下面举例进行对比辨析．例 袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．求： （1）有放回抽样时，取到黑球的个数Ｘ的分布列；（2）不放回抽样时，取到黑球的个数Ｙ的分布列． 解：（1）有放回抽样时，取到的黑球数Ｘ可能的取值为０，1，2，3．又由于每次取到黑球的概率均为，3次取球可以看成3次独立重复试验，则1~35X B ⎛⎫⎪⎝⎭，．3031464(0)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴；12131448(1)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；21231412(2)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；3033141(3)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．因此，X 的分布列为2．不放回抽样时，取到的黑球数Ｙ可能的取值为０，1，2，且有：03283107(0)15C C P Y C ===；12283107(1)15C C P Y C ===；21283101(2)15C CP Y C ===．因此，Y 的分布列为辨析：通过此例可以看出：有放回抽样时，每次抽取时的总体没有改变，因而每次抽到某物的概率都是相同的，可以看成是独立重复试验，此种抽样是二项分布模型．而不放回抽样时，取出一个则总体中就少一个，因此每次取到某物的概率是不同的，此种抽样为超几何分布模型．因此，二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样．所以，在解有关二项分布和超几何分布问题时，仔细阅读、辨析题目条件是非常重要的．例１ 从装有3个红球、2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有Ｘ个红球，则随机变量Ｘ的概率分布列为解析：由题意，得0232251(0)0.110C C P X C ====，1132236(1)0.610C C P X C ====，203223(2)0.3C C P X C ===（或(2)1(0)(1)10.10.60.3P X P X P X ==-=-==--=）．故随机变量Ｘ的概率分布为点评：本题主要考查了组合、离散型随机变量分布列的知识、概率的计算及超几何分布列的求法．例2 在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券１张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从此10张中任抽2张，求：（1）该顾客中奖的概率；（2）该顾客获得的奖品总价值Ｘ（元）的概率分布列．解析：（1）024*******11453C C P C =-=-=（或11204646210302453C C C C P C +===），即该顾客中奖的概率为23． （2）X 的所有可能值为：0，10，20，50，60（元），且02462101(0)3C C P X C ===，11362102(10)5C C P X C ===，232101(20)15C P X C ===，11162102(50)15C C P X C ===，11132101(60)15C C P X C ===．故X 的分布列为点评：本题以超几何分布为背景，主要考查了概率的计算、离散型随机变量分布列的求法及分析和解决实际问题的能力．。
超几何分布和二项分布的联系和区别
超几何分布和二项分布的联系和区别如何计算恰好有1件次品的概率?这道题目可以用超几何分布和二项分布两种方法来解决。
首先，我们可以使用超几何分布，因为这是一个不放回抽样问题。
根据题目条件，我们可以得到M=0.02n，N=n，n=3，k=1.代入超几何分布的公式，可以得到P(X=1)=0.111.其次，我们也可以使用二项分布，因为这是一个独立重复试验问题。
根据题目条件，我们可以得到n=3，p=0.02，k=1.代入二项分布的公式，可以得到P(X=1)=0.057.因此，两种方法得到的结果略有不同，但可以看出它们之间是有联系的。
二项分布可以看作是超几何分布的一种近似，当样本容量n很大时，二项分布的计算结果可以逼近超几何分布的计算结果。
在进行放回或不放回的方式抽取时，当产品总数分别为500、5000和时，恰好抽到1件次品的概率分别是多少？根据此问题，你对超几何分布与二项分布的关系有何认识？解析：在不放回的方式抽取中，每次抽取时都是从这n件产品中抽取，从而抽到次品的概率都为。
次品数X服从二项分布，恰好抽到1件次品的概率为1P(X=1)=C3×（1-2%）^2×(2%)^1≈0.057.在不放回的方式抽取中，抽到的次品数X是随机变量，X服从超几何分布，X的分布与产品的总数n有关，所以需要分3种情况分别计算。
①当n=500时，产品的总数为500件，其中次品的件数为500×2%=10，合格品的件数为490.从500件产品中抽出3件，其中恰好抽到1件次品的概率为P(X=1)=12C10×C×490×489÷3500×499×498≈0..②当n=5000时，产品的总数为5000件，其中次品的件数为5000×2%=100，合格品的件数为4900.从5000件产品中抽出3件，其中恰好抽到1件次品的概率为P(X=1)=12C100×Cxxxxxxx×4900×4899÷×4999×4998≈0.xxxxxx x。
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此时我们称随机变量X服从二项分布，记作:
n Cnn pnq0
数学期望E(X)=np，方差D(X)=np（1-p）
例题解析与示范
例1. 袋中有3个白球、2个黑球,从中随机地连续抽取3次,每 次取1个球.求有放回抽样时,取到黑球的个数X的分布列. 例2 .袋中有3个白球、2个黑球,从中任意摸出3个球， 记得到黑球的个数为Y,求随机变量Y的分布列。
【解析】(1)随机变量X的可能取值为0,1,2， 随机变量X服从超几何分布，
P( X
0)
C30C72 C120
21 7 45 15
因此,X的分布列为:
X01
2
P( X
1)
C31C71 C120
21 7 45 15
P
7 15
7 15
1 15
P( X
2)
C32C70 C120
3 45
1 15
2．在 15 个村庄中有 7 个村庄交通不方便，现从中任意选
10 个村庄，用 X 表示这 10 个村庄中交通不方便的村庄数，
下列概率等于CC471C15086的是( C ) A．P(X＝2)
B．P(X≤2)
C．P(X＝4)
D．P(X≤4)
解析：此为一个超几何分布问题.15 个村庄中有 7 个村庄交通 不方便，8 个村庄交通方便，C47C68表示选出的 10 个村庄中恰有 4 个交通不方便，6 个交通方便的村庄，故 P(X＝4)＝CC47C110568.
（1）根据频率分布直方图， 求重量超过 505 克的产品数量。 （2）在上述抽取的 40 件产品中 任取 2 件，设 Y 为重量超过 505 克的产品数量， 求 Y 的分布列。 （3）从流水线上任取 5 件产品， 求恰有 2 件产品合格的重量超过 505 克的概率。
2.（广东）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机 抽取该流水线上的 40 件产品作为样本称出它们的重量（单位：克）， 重量的分组区间为（490,495]，（495,500]，……，（510,515]，由此得 到样本的频率分布直方图，如图所示。
（2）Y可能的取值为0,1,2.
，2；（P(2Y）Y 0的)所有CC可422208 能取163值30为，0，1因，此2；,YP的(分Y 布 0列)为:CC422208
63 130
，
1)PYP((的YCCY1分42220 布12))列113为1C0CCC112，C1442220202181113531600.，
总体个数
有限 个
无限 个
随机变量取值 的概率 利用
排列组合
计算 利用 相互独立事件计算
变式1
某地工商局从某肉制品公司的一批数量较大的火腿肠产品中抽取10件产品，检 验发现其中有3件产品的大肠菌群超标．
(1)如果在上述抽取的10件产品中任取2件，设随机变量X为大肠菌群超标的产品 数量，求随机变量X的分布列及数学期望；
【分析】需要认真体会题目的情境，随机变量究竟符合哪种分布．
例1. 袋中有3个白球、2个黑球,从中随机地连续抽取3次,每次取1个球.求有放回抽样时,取 到黑球的个数X的分布列.
解：有放回抽样时,取到的黑球数X可能的取值为0,1,2,3.
每次发生的概率一样
P( X
0)
C30
(
2 5
)0
(1
2)3 5
27 ， 125
排列组合 计算
利用 相互独立事件计算
转化
当 产品总数N很大 时，
超几何分布 看作 二项分布
变式3
（Ⅱ）从 40 人中任意抽取 3 人,设具有听觉记忆能力或视觉记忆能力
偏高或超常的学生人数为 ,求随机变量 的分布列.
（Ⅱ）由于从40位学生中任意抽取3位的结果数为C403, 其中具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生共24人,
变式1
某地工商局从某肉制品公司的一批数量较大的火腿肠产品中抽取10件产 品，检验发现其中有3件产品的大肠菌群超标．
(2)如以该次检查的结果作为该批次每件产品大肠菌群超标的概率，如从 该批次产品中任取2件，设随机变量Y为大肠菌群超标的产品数量，求P(Y＝1) 的值及随机变量Y的数学期望．
解：(2)依题意，
视觉 听觉
偏低 听觉
中等 记忆 能力 偏高
超常
视觉记忆能力 偏低 中等 偏高 超常
0 751
1 8 3 2b 2 6a 0 1
0 211
知识归纳与深化
超几何分布
二项分布
概率模型
取次品模型：N件产品中 射击模型：射中目标概率
M件次品，不放回抽取n件，为p，n次独立重复射击中
次品数为X的概率
射中目标次数为X的概率
4. 5.
独立重复试验与二项分布
一般地，如果在一次试验中事件A发生的概率是p， 那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为
在n次独立重复试验中这个事件发生的次数是一个随机变量X； 于是得到随机变量X的概率分布如下：(q=1－p)
X
0
1
…
k…ຫໍສະໝຸດ p Cn0 p0qn Cn1 p1qn1 … Cnk pk qnk
P(
X
1)
C31
(
2 5
)1
(1
2)2 5
54 ， 125
P( X
2)
C32
(
2 5
)2
(1
2 )1 5
36 ， 125
P( X
3)
C33
(
2 5
)3
(1
2)0 5
8. 125
因此,X的分布列为:
X0
1
2
3
P
27 54 125 125
36 125
8 125
例2 .袋中有3个白球、2个黑球,从中任意摸出3个球，记得到黑球的个数为Y,求随机
（1）根据频率分布直方图， 求重量超过 505 克的产品数量。
解：（1）重量超过 505 克产品数量是
40 (0.055 0.015) 12 件；
（2）在上述抽取的 40 件产品中任取 2 件，设 Y 为
数量重是量 174．超（01过）(0重.500量55超克5过的500.产051克品的5数)产品量12数，件量；是求40Y(的0.0分5布5 列0。 .015) 12
的可能取值为 0、1、2、3.
视觉
P(
0)
C204C136 C430
14 247
,
P(
1)
C214C126 C430
72 247
,
听觉 听觉
偏低
中等
P(
2)
C224C116 C430
552 , P(
1235
3)
C234C106 C430
253 1235
记忆 能力
偏高
超常
视觉记忆能力 偏低 中等 偏高 超常
得该批次每件产品大肠菌群超标的概率为
3 10
超几何分布
二项分布
实验
不放回 的抽样
有放回 的抽样
总体个数
有限 个
无限 个（大批量、流水线）
随机变量取值 的概率 利用
排列组合 计算
利用 相互独立事件计算
转化
当 产品总数N很大 时，
超几何分布 看作 二项分布
变式 2.（广东）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况， 随机抽取该流水线上的 40 件产品作为样本称出它们的重量（单位： 克），重量的分组区间为（490,495]，（495,500]，……，（510,515]， 由此得到样本的频率分布直方图，如图：
P(Y
X1) P
Y
0 C122
C64230
130
0
111 ，
13506
130
1
Y0 12
63 56
P
63 56 11
130 130
P
130 130 130
2
11 130
2 11 130
（2）在上述抽取的 40 件产品中任取 2 件，设 Y 为 重量超过 505 克的产品数量， 求 Y 的分布列。
（3）从流水线上任取 5 件产品，求恰有 2 件产 品合格的重量超过 505 克的概率。
概率公式
P( X
k
)
C C k nk M NM CNn
,
k为非负整数
P( X k) Cnk pk (1 p)nk , k 0,1,2, , n.
区别 （总体有限）
无放回
有放回
关联 （总体容量较大）
超几何分布可近似看做二项分布
当产品的总数量很大时，超几何分布近似为二项分布（当产品的总数量很 大而抽出的产品较少时，每次抽出产品后，概率近似不变。这样可以近似 看成每次抽样的结果是相互独立的，抽出的产品中重量超过505克的产品件 数近似服从二项分布）
3．生产方提供 50箱的一批产品，其中有 2箱不合格产品．采
购方接收该批产品的准则是：从该批产品中任取 5 箱产品
进行检测，若至多有一箱不合格产品，便接收该批产品，
243
则该批产品被接收的概率是__2_4_5____．
解析：设 5 箱产品中不合格的箱数为 Z，由题意得，该批
产品被接收的概率为： P(Z≤ 1)＝P(Z＝ 0)＋ P(Z＝ 1)＝CC02C55 0458＋CC12C55044 8＝224435， 即该批产品被接收的概率是243.
…
CmMCnN－－mM __C__nN ____
称上面的分布列为超几何分布列．如果随机变量X的分布列为
超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布．
方法归纳 学习超几何分布，要与古典概型和排列组合知识结合起 来．在古典概型中，基本事件总数为 n，事件 A 包含的基 本事件个数为 m，则 P(A)＝mn，它与超几何分布列中的 P(X＝ k)＝CkMCCNnnN－－kM是一 致的．在一些复杂的问题中求概 率时，就会体现出直接用公式的方便了．