中考数学中二次函数常考常新的18种命题方式

专题01 二次函数中的动点问题
1、如图①，已知抛物线y ＝ax 2﹣4amx +3am 2（a 、m 为参数，且a ＞0，m ＞0）与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左边），与y 轴交于点C ．
（1）求点B 的坐标（结果可以含参数m ）；
（2）连接CA 、CB ，若C （0，3m ），求tan ∠ACB 的值；
（3）如图①，在（2）的条件下，抛物线的对称轴为直线l ：x ＝2，点P 是抛物线上的一个动点，F 是抛物线的对称轴l 上的一点，在抛物线上是否存在点P ，使△POF 成为以点P 为直角顶点的的等腰直角三角形．若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标，若不存在，请说明理由．
【解析】（1）令y ＝0，则有ax 2﹣4amx +3am 2＝0，解得：x 1＝m ，x 2＝3m ， ①m ＞0，A 在B 的左边，①B （3m ，0）； （2）如图1，过点A 作AD ⊥BC ，垂足为点D ，
由（1）可知B （3m ，0），则△BOC 为等腰直角三角形，
①OC ＝OB ＝3m ，①BC ＝m ，
又①∠ABC ＝45°，①∠DAB ＝45°，①AD ＝BD ，
①AB ＝2m ，①AD =，CD ＝m ，
①tan ∠ACB ＝
AD 1
CD 2
==；
（3）①由题意知x ＝2为对称轴，①2m ＝2，即m ＝1， ①在（2）的条件下有（0，3m ），①3m ＝3am 2，解得m ＝
1
a
，即a ＝1，①抛物线的解析式为y ＝x 2﹣4x +3， ①当P 在对称轴的左边，如图2，过P 作MN ⊥y 轴，交y 轴于M ，交l 于N ，
①△OPF 是等腰直角三角形，且OP ＝PF ，易得△OMP ≌△PNF ，①OM ＝PN ，
①P （m ，m 2﹣4m +3），则﹣m 2+4m ﹣3＝2﹣m ，解得：m
①P ）； ①当P 在对称轴的右边，如图3，过P 作MN ⊥x 轴于N ，过F 作FM ⊥MN 于M ，
同理得△ONP ≌△PMF ，①PN ＝FM ，则﹣m 2+4m ﹣3＝m ﹣2，解得：x 35
；
P 的坐标为（
3122+）或（3122
）；
综上所述，点P ）或）或）或）
2、如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =−(x −a )(x −4)(a <0)与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点.
（1）若D 点坐标为(32,25
4
)，求抛物线的解析式和点C 的坐标；
（2）若点M 为抛物线对称轴上一点，且点M 的纵坐标为a ，点N 为抛物线在x 轴上方一点，若以C 、B 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形时，求a 的值；
（3）直线y =2x +b 与（1）中的抛物线交于点D 、E （如图2），将（1）中的抛物线沿着该直线方向进行平移，平移后抛物线的顶点为D ′，与直线的另一个交点为E ，与x 轴的交点为B ′，在平移的过程中，求D ′E ′的长度；当∠E ′D ′B ′=90°时，求点B ′的坐标.
【解析】（1）依题意得：254=−(32−a)(3
2−4),解得a =−1，①y =-（x +1）（x -4）或y =−x 2+3x +4,①C (0,4) （2）由题意可知A (a,0)、B (4,0)、C (0,−4a )，对称轴为直线x =a+42
，则M (
a+42
,a)
①MN//BC ，且MN =BC ，根据点的平移特征可知N (a−42
,−3a)
则−3a =−(
a−42
−a)⋅(
a−42
−4)，解得：a =−2±2√13（舍去正值）；
①当BC 为对角线时，设N (x,y )，根据平行四边形的对角线互相平分可得{a+4
2+x =4a +y =−4a ，解得{
x =4−a
2y =−5a ， 则−5a =−(
4−a 2
−a)⋅(
4−a 2−4),解得：a =
6±2√21
3，①a 1=−2−2√13，a 2=
6−2√21
3
（3）联立{y =2x +13
4y =−x 2+3x +4 ,解得：{x 1=
3
2y 1=254 (舍去)，{x 2=−1
2y 2=9
4 则DE =2√5，根据抛物线的平移规律，则平移后的线段D ′E ′始终等于2√
5 设平移后的D ′(m,2m +
13
4
)，则E ′(m −2,2m −34)，平移后的抛物线解析式为：y =−(x −m )2+2m +134
则D ′B ′：y =−1
2x +n 过(m,2m +13
4
)，①y =−12x +52m +13
4
，则B ′(5m +
132
,0)
抛物线y =−(x −m )2+2m +13
4过B ′(5m +132
,0),解得m 1=−3
2，m 2=−13
8
①B 1′(−1,0)，B 2′(−
138
,0)（与D ′重合，舍去），①B ′(−1,0)
3、如图，抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝1
2
x﹣3交于，B两点，其中点A在y轴上，点B坐标为（﹣4，﹣5），
点P为y轴左侧的抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交AB于点D．
（1）求抛物线对应的函数解析式；
（2）以O，A，P，D为顶点的平行四边形是否存在若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）PD=|m²+4m|，①PD∥A O，则当PD=O A=3时，存在以O，A，P，D为顶点的平行四边形，即PD=|m²+4m|=3，即可求解．
【解析】（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得：
1645
3
b c
c
-+=-
⎧
⎨
=-
⎩
，解得：
9
2
3
b
c
⎧
=
⎪
⎨
⎪=-
⎩
，
故抛物线的表达式为：y＝x2+9
2
x﹣3；
（2）存在，理由：同理直线AB的表达式为：y＝1
2
x﹣3，
设点P（m，m2+9
2
m﹣3），点D（m，
1
2
m﹣3）（m＜0），则PD＝|m2+4m|，
①PD∥A O，则当PD＝O A＝3时，存在以O，A，P，D为顶点的平行四边形，即PD＝|m2+4m|＝3，
①当m2+4m＝3时，解得：m＝﹣
（舍去正值），
即m2+9
2
m﹣3＝1
﹣
2
，故点P（﹣2
1
﹣
2
），
①当m2+4m＝﹣3时，解得：m＝﹣1或﹣3，
同理可得：点P（﹣1，﹣13
2
）或（﹣3，﹣
15
2
）；
综上，点P（﹣2
，﹣1
﹣
2
）或(﹣1，﹣
13
2
）或（﹣3，﹣
15
2
）．
【小结】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到待定系数法求函数解析式、平行四边形性质等，要注意分类讨论思想的运用．
4、在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交于点A （-1，0），B （3，0），与y 轴交于点C （0，3），顶点为G ．
（1）求抛物线和直线AC 的解析式；
（2）如图1，设E （m ，0）为x 正半轴上的一个动点，若△CGE 和△CG O 的面积满足S △CGE =4
3
S △CG O ，求点E 的坐标；
（3）如图2，设点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿x 轴向右运动，运动时间为t s ，点M 为射线AC 上一动点，过点M 作MN ∥x 轴交抛物线对称轴右侧部分于点N ．试探究点P 在运动过程中，是否存在以P ，M ，N 为顶点的三角形为等腰直角三角形，若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）用待定系数法即能求出抛物线和直线AC 解析式．
（2）△CGE 与△CG O 虽然有公共底边CG ，但高不好求，故把△CGE 构造在比较好求的三角形内计算．延长GC 交x 轴于点F ，则△FGE 与△FCE 的差即为△CGE ．
（3）设M 的坐标（e ，3e ＋3），分别以M 、N 、P 为直角顶点作分类讨论，利用等腰直角三角形的特殊线段长度关系，用e 表示相关线段并列方程求解，再根据e 与AP 的关系求t 的值． 【解析】（1）将点A （-1，0），B （3，0），点C （0，3）代入抛物线y =ax 2+bx +c 得，
09303
a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨
⎪=⎩
，解得123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，①2y x 2x 3=-++，设直线AC 的解析式为y =kx +n ， 将点A （-1，0），点C （0，3）代入得：0
3k n n -+=⎧⎨
=⎩
，解得：k =3，n =3，①直线AC 的解析式为：y =3x +3
（2）延长GC 交x 轴于点F ，过点G 作GH ⊥x 轴于点H ， ①2(1)4y x =--+，①G （1,4），GH =4，①113
31222
CGO
G S OC x =⨯=⨯⨯=， 若S △CGE =
43S △CG O ，则S △CGE =4
3S △CG O =43232
⨯=， ①若点E 在x 轴的正半轴，设直线CG 为13y k x =+，将G （1,4）代入得134k +=，①11k =，
①直线CG 的解析式为y =x +3，①当y =0时，x =-3，即F (-3,0)，又①E （m ,0），①EF =m -(-3)=m +3 ①CGE
FGE
FCE S S
S
=-=
1122EF GH EF OC ⋅-⋅= 1()2EF GH OC ⋅-=1(3)(43)2m +⋅-=1
(3)2
m + ①
1
(3)22
m +=，解得：m =1，①E 的坐标为（1,0）
①若点E 在x 轴的负半轴上，则点E 到直线CG 的距离与点（1,0）到直线CG 的距离相等， 即点E 到点F 的距离等于点（1,0）到点F 的距离，①EF =-3-m =1-(-3)=4，①m =-7，即E （-7,0） 综上所述，点E 的坐标为：（1,0）或（-7,0）
（3）存在以P ，M ，N 为顶点的三角形为等腰直角三角形， 设M （e ,3e +3），e ＞-1，则33N M y y e ==+，
①如图2，若∠MPN =90°，PM =PN ，过点M 作MQ ⊥x 轴于点Q ，过N 作NR ⊥x 轴于点R ， ①MN ∥x 轴，①MQ ＝NR ＝3e ＋3
①Rt △MQP ≌Rt △NRP （HL ），①PQ ＝PR ，∠MPQ ＝∠NPR ＝45° ①MQ ＝PQ ＝PR ＝NR ＝3e ＋3
①x N ＝x M ＋3e ＋3＋3e ＋3＝7e ＋6，即N （7e ＋6，3e ＋3）
①N 在抛物线上，①−（7e ＋6）2＋2（7e ＋6）＋3＝3e ＋3，解得：11e =-（舍去），224
49
e =- ①AP ＝t ，O P ＝t −1，O P ＋O Q ＝PQ ，①t −1−e ＝3e ＋3，①t ＝4e ＋4＝
100
49
，
①如图3，若∠PMN＝90°，PM＝MN，
①MN＝PM＝3e＋3
①x N＝x M＋3e＋3＝4e＋3，即N（4e＋3，3e＋3）①−（4e＋3）2＋2（4e＋3）＋3＝3e＋3，
解得：e1＝−1（舍去），e2＝
3 16 -，
①t＝AP＝e−（−1）＝
313
1
1616 -+=，
①如图4，若∠PNM＝90°，PN＝MN，①MN＝PN＝3e＋3，N（4e＋3，3e＋3），
解得：e＝
3 16 -
①t＝AP＝O A＋O P＝1＋4e＋3＝13 4
综上所述，存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，t的值为100
49
或
13
16
或
13
4
．
【小结】本题考查了待定系数法求函数解析式，坐标系中三角形面积计算，等腰直角三角形的性质，解一元二次方程，考查了分类讨论和方程思想．第（3）题根据等腰直角三角形的性质找到相关线段长的关系是解题关键，灵活运用因式分解法解一元二次方程能简便运算．
5、如图，已知直线AB 与抛物线C ：y ＝ax 2+2x +c 相交于点A (﹣1，0)和点B (2，3)两点． (1)求抛物线C 函数表达式；
(2)若点M 是位于直线AB 上方抛物线上的一动点，当MAB △的面积最大时，求此时MAB △的面积S 及点M 的坐标．
【解析】(1)由题意把点(﹣1，0)、(2，3)代入y ＝ax 2+2x +c ，
得20443a c a c -+=⎧⎨++=⎩，解得1,3,a c =-⎧⎨=⎩
，
①此抛物线C 函数表达式为：y ＝﹣x 2+2x +3； (2)如图，过点M 作MH ⊥x 轴于H ，交直线AB 于K ，
将点(﹣1，0)、(2，3)代入y ＝kx +b 中，得023k b k b -+=⎧⎨+=⎩，解得1,1,k b =⎧⎨=⎩
，①y AB ＝x +1，
设点M (x ，﹣x 2+2x +3)，则K (x ，x +1)， 则MK ＝﹣x 2+2x +3﹣(x +1)＝﹣x 2+x +2， ①S △MAB ＝S △AMK +S △BMK ＝12MK •(x M ﹣x A )+ 12MK •(x B ﹣x M )＝12MK •(x B ﹣x A )＝1
2
×(-x 2+x +2)×3 ＝23127
()228
x -
-+， ①302-<，当x ＝1
2时，S △MAB 最大=278
，
此时21115
()23224
M y =-+⨯+=，
①△MAB 的面积最大值是278
，M (12，15
4)．
6、如图，直线y ＝34
x +a 与x 轴交于点A （4，0），与y 轴交于点B ，抛物线y ＝3
4
x 2+bx +c 经过点A ，B ．点M
（m ，0）为x 轴上一动点，过点M 且垂直于x 轴的直线分别交直线AB 及抛物线于点P ，N ． （1）填空：点B 的坐标为 ，抛物线的解析式为 ； （2）当点M 在线段OA 上运动时（不与点O ，A 重合）， ①当m 为何值时，线段PN 最大值，并求出PN 的最大值； ①求出使△BPN 为直角三角形时m 的值；
（3）若抛物线上有且只有三个点N 到直线AB 的距离是h ，请直接写出此时由点O ，B ，N ，P 构成的四边形的面积．
【解析】（1）把点A 坐标代入直线表达式y ＝34x +a ，解得：a ＝﹣3，则：直线表达式为：y ═3
4x ﹣3， 令x ＝0，则：y ＝﹣3，则点B 坐标为（0，﹣3），
将点B 的坐标代入二次函数表达式得：c ＝﹣3，把点A 的坐标代入二次函数表达式得：3
4×16+4b ﹣3＝0， 解得：b ＝﹣9
4，故抛物线的解析式为：y ＝3
4x 2﹣9
4x ﹣3， （2）①①M （m ，0）在线段O A 上，且MN ⊥x 轴， ①点P （m ，3
4
m ﹣3），N （m ，3
4
m 2﹣9
4
m ﹣3），
①PN ＝34m ﹣3﹣（34m 2﹣94m ﹣3）＝﹣3
4（m ﹣2）2+3，
①a ＝﹣3
4＜0，①抛物线开口向下，①当m ＝2时，PN 有最大值是3， ①当∠BNP ＝90°时，点N 的纵坐标为﹣3，
把y ＝﹣3代入抛物线的表达式得：﹣3＝3
4m 2﹣9
4m ﹣3，解得：m ＝3或0（舍去m ＝0），①m ＝3； 当∠NBP ＝90°时，①BN ⊥AB ，两直线垂直，其k 值相乘为﹣1， 设：直线BN 的表达式为：y ＝﹣4
3x +n ，
把点B 的坐标代入上式，解得：n ＝﹣3，则：直线BN 的表达式为：y ＝﹣4
3x ﹣3，
将上式与抛物线的表达式联立并解得：m ＝11
9
或0（舍去m ＝0），当∠BPN ＝90°时，不合题意舍去，
故：使△BPN 为直角三角形时m 的值为3或4
3；
（3）①O A ＝4，O B ＝3，在Rt △A O B 中，tan α＝4
3，则：c osα＝3
5，si n α＝4
5， ①PM ∥y 轴，①∠BPN ＝∠AB O ＝α，
若抛物线上有且只有三个点N 到直线AB 的距离是h ，
则只能出现：在AB 直线下方抛物线与过点N 的直线与抛物线有一个交点N ，在直线AB 上方的交点有两个． 当过点N 的直线与抛物线有一个交点N ，
点M 的坐标为（m ，0），设：点N 坐标为：（m ，n ），则：n ＝3
4m 2﹣9
4m ﹣3，过点N 作AB 的平行线， 则点N 所在的直线表达式为：y ＝3
4
x +b ，将点N 坐标代入，解得：过N 点直线表达式为：y ＝3
4
x +（n ﹣3
4
m ），
将抛物线的表达式与上式联立并整理得：3x 2﹣12x ﹣12+3m ﹣4n ＝0，△＝144﹣3×4×（﹣12+3m ﹣4n ）＝0， 将n ＝3
4m 2﹣9
4m ﹣3代入上式并整理得：m 2﹣4m +4＝0，解得：m ＝2，则点N 的坐标为（2，﹣9
2）， 则：点P 坐标为（2，﹣3
2），则：PN ＝3，
①O B ＝3，PN ∥O B ，①四边形O BNP 为平行四边形，则点O 到直线AB 的距离等于点N 到直线AB 的距离， 即：过点O 与AB 平行的直线与抛物线的交点为另外两个N 点，即：N ′、N ″， 直线O N 的表达式为：y ＝3
4x ，将该表达式与二次函数表达式联立并整理得：
x 2﹣4x ﹣4＝0，解得：x ＝2±2√2，则点N ′、N ″的横坐标分别为2+2√2，2﹣2√2， 作NH ⊥AB 交直线AB 于点H ，则h ＝NH ＝NP si n α＝12
5，
作N ′P ′⊥x 轴，交x 轴于点P ′，则：∠O N ′P ′＝α，O N ′＝OP ′
sinα＝5
4（2+2√2）， S 四边形O BPN ＝BP •h ＝5
2×
125
＝6，则：S 四边形O BP ′N ′＝S △O P ′N ′+S △O BP ′＝6+6√2，
同理：S 四边形O BN ″P ″＝6√2﹣6，故：点O ，B ，N ，P 构成的四边形的面积为：6或6+6√2或6√2﹣6
7、在平面直角坐标系xOy 中，直线1(0)y kx k =+≠经过点23A （，）
，与y 轴交于点B ，与抛物线2y ax bx a =++的对称轴交于点C m 2（，）．
（1）求m 的值；
（2）求抛物线的顶点坐标；
（3）11N x y （，）是线段AB 上一动点，过点N 作垂直于y 轴的直线与抛物线交于点22P x y （，），33Q x y （，）（点P 在点Q 的左侧）．若213x x x <<恒成立，结合函数的图象，求a 的取值范围． 【解析】（1）①()10y kx k =+≠ 经过点23A （，）， ①将点A 的坐标代入1y kx =+ ，即321k =+ ，得1k =．
①直线1y x =+ 与抛物线2y ax bx a =++ 的对称轴交于点(,2)C m ， ①将点(,2)C m 代入1y x =+，得1m = ． (2)①抛物线2y ax bx a =++ 的对称轴为1x =， ①12b
a
-
= ，即2b a =-． ①22y ax ax a =-+()2
1a x =-
①抛物线的顶点坐标为()10
， ． (3)当0a >时，如图，
若拋物线过点01B （，） ，则1a = ． 结合函数图象可得01a << ． 当0a <时，不符合题意．
综上所述，a 的取值范围是01a <<．
8、如图①，在平面直角坐标系中，二次函数y＝
1
3
-x2+bx+c的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点A
的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（4，0），连接AC，BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动；同时，动点Q从点O出发，在线段O B上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒．连接PQ．（1）填空：b＝，c＝；
（2）在点P，Q运动过程中，△APQ可能是直角三角形吗？请说明理由；
（3）点M在抛物线上，且△A O M的面积与△A O C的面积相等，求出点M的坐标。

【分析】（1）设抛物线解析式为y=a（x+3）（x-4）．将a=-1
3
代入可得到抛物线解析式，从而确定出b、c值；
（2）先求得点C的坐标，依据勾股定理可求得AC=5，则PC=5-t，AQ=3+t,再判断当△APQ是直角三角形时，则∠APQ＝90°，从而得出△A O C∽△APQ，得到比例式列方程求解即可；
(3)根据点M在抛物线上，设出点M的坐标为（m，﹣1
3
m2+
1
3
m+4），再根据△A O M的面积与△A O C的面积
相等，从而得出﹣1
3
m2+
1
3
m+4=4±，解方程即可．
【解析】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣4）．将a＝﹣1
3
代入得：y＝﹣
1
3
x2+
1
3
x+4，
①b＝1
3
，c＝4．
（2）在点P、Q运动过程中，△APQ不可能是直角三角形．
理由如下：①在点P、Q运动过程中，∠P AQ、∠PQA始终为锐角，①当△APQ是直角三角形时，则∠APQ＝90°．
将x＝0代入抛物线的解析式得：y＝4，
①C（0，4）．①点A的坐标为（﹣3，0），
①在Rt△A O C中，依据勾股定理得：AC＝5，
①AP＝O Q＝t，①AQ=3+t，
①∠O AC＝∠P AQ，∠APQ＝∠A O C
①△A O C ∽△APQ ，①AP :A O=AQ :AC ，①
3t =3t 5
+ ①t =4.5． ①由题意可知：0≤t ≤4，①t ＝4.5不合题意，即△APQ 不可能是直角三角形． (3 )设点M 的坐标为（m ，﹣
13m 2+1
3
m +4） ①△A O M 的面积与△A O C 的面积相等，且底都为A O ，C （0，4）． ①﹣
13m 2+1
3
m +4=4±
当﹣
13m 2+13m +4=-4时，解得：m , 当﹣
13m 2+1
3
m +4=4时，解得：m =1或0
①当m =0时，与C 重合，①m 或1
① M (1,4)或M (
12+,-4）或M (2
,-4） 【小结】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、相似三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定，灵活运用相关的知识是解题的关键．
9、如图，关于x 的二次函数y =x 2+bx +c 的图象与x 轴交于点A （1，0）和点B 与y 轴交于点C （0，3），抛物线的对称轴与x 轴交于点D ．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在y 轴上是否存在一点P ，使△PBC 为等腰三角形？若存在．请求出点P 的坐标；
（3）有一个点M 从点A 出发，以每秒1个单位的速度在AB 上向点B 运动，另一个点N 从点D 与点M 同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M 到达点B 时，点M 、N 同时停止运动，问点M 、N 运动到何处时，△MNB 面积最大，试求出最大面积．
【解析】（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c，
10
3
b c
c
++=
⎧
⎨
=
⎩
解得：b=﹣4，c=3，
①二次函数的表达式为：y=x2﹣4x+3；
（2）令y=0，则x2﹣4x+3=0，解得：x=1或x=3，①B（3，0），①BC，
点P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，
①当CP=CB时，PC，①O P=O C+PC O P=PC﹣O C3
①P1（0，），P2（0，3﹣）；
①当PB=PC时，O P=O B=3，①P3（0，-3）；
①当BP=BC时，①O C=O B=3①此时P与O重合，①P4（0，0）；
综上所述，点P的坐标为：（0，0，3﹣）或（﹣3，0）或（0，0）；
（3）如图2，设AM=t，由AB=2，得BM=2﹣t，则DN=2t，
①S△MNB=1
2
×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t=﹣（t﹣1）2+1，
当点M出发1秒到达D点时，△MNB面积最大，最大面积是1．此时点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处
10、如图，二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象与x 轴交于A B 、两点，与y 轴相交于点C ．连结
AC BC A C 、，、两点的坐标分别为()30A -，
、(0C ，且当4x =-和2x =时二次函数函数值y 相等． （1）求实数a b c ，，的值；
（2）若点M N 、同时从B 点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA BC 、边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t 秒时，连结MN ，将BMN △沿MN 翻折，B 点恰好落在AC 边上的P 处，求t 的值及点P 的坐标；
（3）在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q ，使得以B N Q ，，为项点的三角形与ABC 相似？如果存在，请求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．
【解析】（1）
C(0,3)在抛物线上，①代入得c
①x =-4和x =2时二次函数的函数值y 相等， ①顶点横坐标4212x -+=
=-,12b
a
∴-=-,
又①A （-3，0）在抛物线上，①9a −3b
由以上二式得a b ===
（2）由（1）2y x x 1)(x 3)333
=-
-=--+,①B （1，0）
， 连接BP 交MN 于点O 1，根据折叠的性质可得：O 1也为PB 中点．
设t 秒后有1t 3M(1t,0),N 1,O 124⎛⎫⎛⎫
--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,
设P （x ，y ），B （1，0）
①O 1为P 、B 的中点可得3t 1x y 1t 422+-==，即3t P 1t 2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
,
①A，C点坐标知AC
：y x
=，P点也在直线AC上代入得t=4
3
,
即P
⎛
-
⎝⎭
；
（3）假设成立；
①若有△ACB∽△QNB，则有∠ABC=∠QBN，
①Q点在x轴上，AC∥QN但由题中A，C，Q，N
坐标知直线的一次项系数为：
AC QN
:K K
=≠，
则△ACB不与△QNB相似．
①若有△ACB∽△QBN，则有CB AB
(1) BN QN
=⋯
设
1
Q(1,A(3,0),B(1,0),N
3
⎛
--
⎝⎭
，则CB2,AB4,AC
===代入（1
）得
2
4
3
=
，y=
3
-，
当y=Q（-1
，
AC CB
QB4
QB BN
=⇒=≠不满足相似舍去；当y
=
3
-有Q（-1
，
3
-
）则
AC3CB
QB
3QB2BN
=⇒==，
①存在点Q（-1
，
3
-）使△ACB∽△QBN．
综上可得：Q（-1
，
3
-）.
11、已知，如图1，二次函数y ＝ax 2+2ax ﹣3a （a ≠0）图象的顶点为C 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），点C 、B 关于过点A 的直线l ：y ＝kx +√3对称．
（1）求A 、B 两点坐标及直线l 的解析式； （2）求二次函数解析式；
（3）如图2，过点B 作直线BD ∥AC 交直线l 于D 点，M 、N 分别为直线AC 和直线l 上的两个动点，连接CN ，MM 、MD ，求CN +NM +MD 的最小值．
【解析】（1）y ＝ax 2+2ax ﹣3a ，令y ＝0，则x ＝﹣1或3，即点A 、B 的坐标分别为（﹣3，0）、（1，0）， 点A 坐标代入y ＝kx +√3得：0＝﹣3k +√3，解得：k =
√3
3
,即直线l 的表达式为：y =
√3
3
x +√3.①，
同理可得直线AC 的表达式为： y =√3x +3√3.，直线BD 的表达式为：y =√3x −√3.①， 联立①①并解得：x ＝3，在点D 的坐标为（3，2√3）；
（2）设点C 的坐标为（﹣1，m ），点C 、B 关于过点A 的直线l ：y ＝kx +√3对称得AC 2＝AB 2， 即：（﹣3+1）2+m 2＝16，解得：m =±2√3（舍去负值），点C （1，2√3）， 将点C 的坐标代入二次函数并解得：a =−√3
2
.
故二次函数解析式为： y =−
√32
x 2
−√3x +
3√3
2
；
（3）连接BC ，则CN +MN 的最小值为MB （即：M 、N 、B 三点共线），
作D 点关于直线AC 的对称点Q 交y 轴于点E ，则MB +MD 的最小值为BQ （即：B 、M 、Q 三点共线）， 则CN +MN +MD 的最小值＝MB +MD 的最小值＝BQ ， ①DQ ⊥AC ，AC ∥BD ，①∠QDB ＝90°，
作DF ⊥x 轴交于点F ，DF ＝AD si n ∠DAF =4√3×1
2=2√3,
①B 、C 关于直线l 对称，即直线l 是∠EAF 的平分线，①ED ＝FD ＝2√3， 则QD ＝4√3，BD ＝4，①BQ =√(4√3)2
+42=8. 即CN +NM +MD 的最小值为8．
12、点A、C分别是一次函数y＝﹣3
4
x+3的图象与y轴、x轴的交点，点B与点C关于原点对称，二次函
数y＝1
8
x2+bx+c的图象经过点B，且该二次函数图象上存在一点D，使四边形ABCD能构成平行四边形．
（1）求二次函数的表达式；
（2）动点P从点A到点D，同时动点Q从点C到点A都以每秒1个单位的速度运动，设运动时间为t秒．①当t为何值时，有PQ丄AC？
①当t为何值时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形PDCQ的面积是多少？
【解析】（1）当x＝0，y＝﹣3
4
x+3＝3，则点A（0，3），
当y＝0，﹣3
4
x+3＝0，解得x＝4，则点C（4，0），
①点B与点C关于原点对称，①点B（﹣4，0），BC＝8，
①四边形ABCD是平行四边形，①AD∥x轴，AD＝BC＝8，①D（8，3），
将点B（﹣4，0），点D（8，3）代入二次函数y＝1
8
x2+bx+c得
1
1640
8
1
6480
8
b c
b c
⎧
⨯-+=
⎪⎪
⎨
⎪⨯++=
⎪⎩
，解得
1
4
3
b
c
⎧
=-
⎪
⎨
⎪=-
⎩
，
①二次函数表达式y＝1
8
x2﹣
1
4
x﹣3；
（2）①①A（0，3），C（4，0），①AC
5，当点P运动了t秒时，则AP＝t，CQ
①作QH⊥AD于H，如图，
①∠HAQ＝∠O CA，①△AQH∽△CA O，①AQ HQ
AC OA
=，即
5
53
t HQ
-
=，解得QH＝
3
5
（5﹣t），
①S四边形PDCQ＝S△ACD﹣S△AQP＝1
2
•3•8﹣
1
2
⨯t•
3
5
（5﹣t）＝
3
10
t2﹣
3
2
t+12＝
3
10
（t﹣
5
2
）2+
81
8
，
①当t＝5
2
时，四边形PDCQ的面积最小，最小面积为
81
8
．
13、如图，在平面直角坐标系中，直线y =﹣x +3与x 轴、y 轴分别交于点B 、C ；抛物线y =﹣x 2+bx +c 经过B 、C 两点，并与x 轴交于另一点A ．
（1）求该抛物线所对应的函数关系式；
（2）设P （x ，y ）是（1）所得抛物线上的一个动点，过点P 作直线l ⊥x 轴于点M ，交直线BC 于点N ． ①若点P 在第一象限内．试问：线段PN 的长度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时x 的值；若不存在，请说明理由；
①求以BC 为底边的等腰△BPC 的面积． 【解析】
（1）由于直线y =﹣x +3经过B 、C 两点， 令y =0得x =3；令x =0，得y =3， ①B （3，0），C （0，3），
①点B 、C 在抛物线y =﹣x 2+bx +c 上，于是得930
{3
b c c -++==，
解得b =2，c =3，
①所求函数关系式为y =﹣x 2+2x +3；
（2）①①点P （x ，y ）在抛物线y =﹣x 2+2x +3上， 且PN ⊥x 轴，
①设点P 的坐标为（x ，﹣x 2+2x +3）， 同理可设点N 的坐标为（x ，﹣x +3）， 又点P 在第一象限，
①PN =PM ﹣NM =（﹣x 2+2x +3）﹣（﹣x +3）=﹣x 2+3x =-2
39()2
4
x -+ ①当3
2
x =
时， 线段PN 的长度的最大值为
94
．
①由题意知，点P 在线段BC 的垂直平分线上，
又由①知，O B =O C ，①BC 的中垂线同时也是∠B O C 的平分线， ①设点P 的坐标为（a ，a ）， 又点P 在抛物线y =﹣x 2+2x +3上， 于是有a =﹣a 2+2a +3， ①a 2﹣a ﹣3=0，
解得112
a +=
，2a =
①点P 的坐标为：或，
若点P 的坐标为，此时点P 在第一象限，
在Rt △O MP 和Rt △B O C 中，MP =O M =
12+，O B =O C =3，
S △BPC =S 四边形B O CP ﹣S △B O C =2S △B O P ﹣S △B O C ，
若点P 的坐标为11(
,22
++，此时点P 在第三象限，
则S △BPC =S △B O P +S △C O P +S △B O C =
11
323322⨯+⨯⨯
14、如图1，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB＝4，矩形OBDC的边CD＝1，延长DC交抛物线于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，点P是直线EO上方抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线EO于点G，作PH ⊥EO，垂足为H．设PH的长为l，点P的横坐标为m，求l与m的函数关系式（不必写出m的取值范围），并求出l的最大值．
【解析】（1）①矩形OBDC的边CD＝1，①OB＝1，
由AB＝4，得OA＝3，①A（﹣3，0），B（1，0），
①抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，
①a+b+2=0，9a－3b+2=0，解得：a=
2
3
-，b=
4
3
-，
①抛物线解析式为y＝
2
3
-x2
4
3
-x+2；
（2）在y＝
2
3
-x2
4
3
-x+2中，
当y＝2时，x＝0或x＝﹣2，①E（﹣2，2），
①直线OE解析式为y＝﹣x，∠PGH＝∠COE＝45°，
①P（m，
2
3
-m2
4
3
-m+2），PG∥y轴，①G（m，﹣m），
①PG＝
2
3
-m2
4
3
-m+2﹣（﹣m）＝
2
3
-
2
1
4
m
⎛⎫
+
⎪
⎝⎭
+
49
24
①∠PGH＝∠COE＝45°，①l＝
2PG＝
3
-
2
1
4
m
⎛⎫
+
⎪
⎝⎭
+
48
∴当m＝
1
4
-时，l
专题02 二次函数中的线段长度问题
1、如图抛物线y ＝ax 2+bx +c 的图象过点A （﹣1，0），B （3，0），C （0，3）． （1）求抛物线的解析式，并指出抛物线的顶点坐标．
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使得△P AC 的周长最小，若存在，请求出点P 的坐标及△P AC 的周长；若不存在，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点M （不与C 点重合），使得S △P AM ＝S △P AC ，若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）①抛物线y ＝ax 2+bx +c 的图象过点A （﹣1，0），B （3，0），C （0，3），
①09303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，得=-123a b c ⎧⎪
=⎨⎪=⎩
，①y ＝﹣x 2+2x +3＝﹣（x ﹣1）2+4，①该抛物线的顶点坐标为（1，4） 即该抛物线的解析式为y ＝﹣x 2+2x +3，顶点坐标为（1，4）；
（2）点A 关于对称轴的对称点是点B ，连接CB 与对称轴的交点为P ，此时点P 即为所求，如图所示：
设过点B （3，0），点C （0，3）的直线解析式为y ＝kx +m ，303k m m +=⎧⎨=⎩，得13k m =-⎧⎨=⎩
，
①直线BC 的解析式为y ＝﹣x +3，
当x ＝1时，y ＝﹣1+3＝2， ①点P 的坐标为（1，2），
①点A （﹣1，0），点C （0，3），点B （3，0）， ①AC
BC ＝
，
①△P AC 的周长是：AC +CP +P A ＝AC +CB
即点P 的坐标为（1，2），△P AC
（3）存在点M （不与C 点重合），使得S △P AM ＝S △P AC ， ①S △P AM ＝S △P AC ，
①当以P A 为底边时，只要两个三角形等高即可， 即点M 和点C 到P A 的距离相等， 当点M 在点C 的上方时，
则CM ∥P A 时，点M 和点C 到P A 的距离相等，
设过点A （﹣1，0），点P （1，2）的直线l 1解析式为：y ＝kx +m ，02k m k m -+=⎧⎨+=⎩，得11k m =⎧⎨=⎩
，
①直线AP 的解析式为y ＝x +1， ①直线CM 的解析式为y ＝x +3，由2
3
23
y x y x x =+⎧⎨=-++⎩得，1103x y =⎧⎨=⎩，2214x y =⎧⎨=⎩，①点M 的坐标为（1，4）； 当点M 在点C 的下方时，
则点M 所在的直线l 2与AP 平行，且直线l 2与直线AP 之间的距离与直线l 1与直线AP 之间的距离相等， ①直线l 2的的解析式为y ＝x ﹣1，
由2
123y x y x x =-⎧⎨=-++⎩
得，3312
12x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，44
22x y ⎧⎪
=⎪⎨⎪⎪=⎩
， ①M
的坐标为（
12
，12-
）或（12
，12
-）； 由上可得，点M 的坐标为（1，4），
）
2、如图，抛物线y =ax 2﹣ x +c （a ≠0）的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （0，﹣2），已知B 点坐标为（4，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M 是线段BC 下方的抛物线上一点，记点M 到线段BC 的距离为d ，当d 取最大值时，求出此时M 点的坐标；
（3）若点P 是抛物线上一点，点E 是直线y =﹣x 上的动点，是否存在点P 、E ，使以点A ，点B ，点P ，点E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E 坐标；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）由题意得c =-2，0=a ×42-×4-2， 解得a = ， ①抛物线的解析式为：y =
x 2-x -2. （2）作MN ∥y 轴交BC 于点N ， ①的面积=
=2MN =， ①当MN 最大时，的面积也最大，此时M 到线段BC 的距离d 也最大，
设直线BC 的解析式为y =kx +b , ①,解得,①y =x -2， ①MN =
x -2-( x 2 - x -2)=- x 2+2x =-(x -2)2+2， ①当x =2时，MN 有最大值2，①M （2，-3）. ①当d 取最大值时， M 点的坐标是（2，-3）； （3）存在，理由如下：
设点 E 的坐标为 (n ,−n ), 以点A ,点B ,点P ,点E 为顶点的平行四边形分两种情况，如图， ①以线段AB 为边，点E 在点P 的左边时， ①A (−1,0),B (4,0),E (n ,−n )，①P (5+n ,−n )， ①点P (5+n ,−n )在抛物线y =
x 2 - x -2上， 3
2
321
2
123
2
BCM ∆142MN ⨯1
2
BC d ⋅BCM ∆0420k b k b =+⎧⎨
-=⨯+⎩122
k b ⎧
=
⎪⎨⎪=-⎩12121232121
2
123
2
①−n =
(5+n )2−(5+n )−2,，解得：n 1=, n 2= ， 此时点E 的坐标为
)或
)； 以线段AB 为边，点E 在点P 的右边时， ①A (−1,0),B (4,0),E (n ,−n )，①P (n −5,−n )，
①点P (n −5,−n )在抛物线
y =
x 2−x −2上，①−n
=(n −5)2−(n −5)−2,即
n 2−11n +36=0， 此时△=(−11)2−4×36=−23<0
，①方程无解； ①以线段AB 为对角线时，
①
A (−1,0),
B (4,0),E (n ,−n )，①
P (3−n ,n )， ①点
P (3−n ,n )在抛物线y =
x
2−x −2上，①n =(3−n
)2−(3−n )−2,，解得：n 3=
,n 4= ， 此时点E
的坐标为（
,)或(,). 综上可知：存在点P
、E , 使以A 、B 、P
、E 为顶点的四边形是平行四边形，点E 坐标为)、,)、（,)或(,).
123292-92
-+1232123
2
123212325252
5252-5252
-+92-5252-52-52
-
3、如图，抛物线y =ax 2+bx -3与x 轴交于A ，B 两点（A 点在B 点左侧），A (-1,0)，B (3,0)，直线l 与抛物线交于A ，C 两点，其中C 点的横坐标为2。

（1）求抛物线的函数解析式；
（2）P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平行线交抛物线于E 点，求线段PE 长度的最大值； （3）点G 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ，使A ，C ，F ，G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形?如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由。

【解析】
（1）将A （﹣1，0），B （3，0）代入y =ax 2+bx -3，得：a =1，b =﹣2，①y =x 2﹣2x ﹣3．
（2）将C 点的横坐标x =2代入y =x 2﹣2x ﹣3，得：y =﹣3，①C （2，﹣3），①直线AC 的函数解析式是y =﹣x ﹣1．
设P 点的横坐标为x （﹣1≤x ≤2），则P 、E 的坐标分别为：P （x ，﹣x ﹣1），E （x ，x 2﹣2x ﹣3）． ①P 点在E 点的上方，①PE =（﹣x ﹣1）﹣（x 2﹣2x ﹣3）=﹣x 2+x +2，①当x =1
2
时，PE 的最大值=9
4
．
（3）存在．讨论如下：
①如图，连接C 与抛物线和y 轴的交点．
①C （2，﹣3），G （0，﹣3），①CG ∥x 轴，此时AF =CG =2，①F 点的坐标是（﹣3，0）；
①如图，AF=CG=2，A点的坐标为（﹣1，0），因此F点的坐标为（1，0）；
①如图，设F（x，0）．
①ACFG是平行四边形，①AF的中点与CG的中点重合．
①AF的中点的纵坐标为0，①C，G两点的纵坐标互为相反数，①G点的纵坐标为3，①x2﹣2x﹣3=3，解得：
x=1±√7，①G点的坐标为（1±√7，3），①AF的中点的横坐标=CG的中点的横坐标，①2+1±√7
2=−1+x
2
，解
得：x=4±√7，①F的坐标为（4±√7，0）．
综上所述：存在4个符合条件的F点，分别为F（﹣3，0），（1，0），（4+√7，0），（4﹣√7，0）．
4、在如图的平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2﹣2amx +am 2+1（a ＜0）与x 轴交于点A 和点B ，点A 在点B 的左侧，与y 轴交于点C ，顶点是D ，且∠DAB ＝45°．
（1）填空：点C 的纵坐标是 （用含a 、m 的式子表示）； （2）求a 的值；
（3）点C 绕O 逆时针旋转90°得到点C ′，当﹣1
2
≤m ≤5
2
时，求BC ′的长度范围．
【解析】（1）当x ＝0时，y ＝ax 2﹣2amx +am 2+1＝am 2+1，①点C 的纵坐标为am 2+1． （2）设抛物线对称轴与x 轴交于点E ，如图1所示．
①DA ＝DB ，∠DAB ＝45°，①△ABD 为等腰直角三角形，①AB ＝2DE ． ①y ＝ax 2﹣2amx +am 2+1＝a （x ﹣m ）2+1，①点D 的坐标为（m ，1）．
当y ＝0时，ax 2﹣2amx +am 2+1＝0，即a （x ﹣m ）2＝﹣1，解得：x 1＝m ﹣√−1
a ，x 2＝m +√−1
a ， ①AB ＝2√−1
a ＝2，解得：a ＝﹣1．
（3）由（1）（2）可知：点C 的坐标为（0，1﹣m 2），点B 的坐标为（m +1，0）． ①点C 绕O 逆时针旋转90°得到点C ′，①点C ′的坐标为（m 2﹣1，0）， ①BC ′＝|m +1﹣（m 2﹣1）|＝|﹣m 2+m +2|． ①﹣m 2+m +2＝﹣（m ﹣1
2
）2+9
4
，﹣1
2
≤m ≤5
2
，
①当m ＝52
时，﹣m 2+m +2取得最小值，最小值为﹣7
4
；
当m ＝12时，﹣m 2+m +2取得最大值，最大值为9
4， ①当﹣1
2≤m ≤5
2时，﹣7
4≤﹣m 2+m +2≤9
4， ①当﹣1
2≤m ≤5
2时，0≤BC ′≤9
4．
5、如图，直线y＝﹣x+5与x轴交于点B，与y轴交于点D，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝﹣x+5交于B，D两点，点C是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M是直线BD上方抛物线上的一个动点，其横坐标为m，过点M作x轴的垂线，交直线BD于点P，当线段PM的长度最大时，求m的值及PM的最大值；
（3）在抛物线上是否存在异于B、D的点Q，使△BDQ中BD边上的高为，若存在求出点Q的坐标；若不存在请说明理由．
【分析】
（1）y=-x+5，令x=0，则y=5，令y=0，则x=5，故点B、D的坐标分别为（5，0）、（0，5），利用待定系数法即可求解；
（2）由题意可得M点坐标为（m，﹣m2+4m+5），则则P点坐标为（m，﹣m+5），表示出PM的长度：
PM=-m2+4m+5-（-m+5）=-m2+5m=-（m-5
2
）2+
25
4
，利用二次函数的性质即可求解；
（3）过Q作QG∥y轴交BD于点G，交x轴于点E，作QH⊥BD于H，设出Q点坐标Q（x，﹣x2+4x+5），则G（x，﹣x+5），表示出QG的长度QG=|-x2+4x+5-（-x+5）|=|-x2+5x|，由条件可得△B O D是等腰直角三角
形，，可证得△QHG为等腰直角三角形，则当△BDQ中BD边上的高为时，即QH=HG，QG
=6，|-x2+5x|=6，即可求解．
【解析】
（1）y＝﹣x+5，令x＝0，则y＝5，令y＝0，则x＝5，
故点B、D的坐标分别为（5，0）、（0，5），
则二次函数表达式为：y＝﹣x2+bx+5，将点B坐标代入上式并解得：b＝4，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x+5；
（2）设M点横坐标为m（m＞0），则P（m，﹣m+5），M（m，﹣m2+4m+5），
①PM＝﹣m2+4m+5﹣（﹣m+5）＝﹣m2+5m＝﹣（m-5
2
）2+
25
4
，
①当m＝5
2
时，PM有最大值
25
4
；
（3）如图，过Q作QG∥y轴交BD于点G，交x轴于点E，作QH⊥BD于H，
设Q（x，﹣x2+4x+5），则G（x，﹣x+5），
①QG＝|﹣x2+4x+5﹣（﹣x+5）|＝|﹣x2+5x|，
①△B O D是等腰直角三角形，
①∠DB O＝45°，
①∠HGQ＝∠BGE＝45°，
①△QHG是等腰直角三角形，
当△BDQ中BD边上的高为时，即QH＝HG＝，
①QG＝6，
①|﹣x2+5x|＝6，
当﹣x2+5x＝6时，解得x＝2或x＝3，
①Q（2，9）或（3，8），
当﹣x2+5x＝﹣6时，解得x＝﹣1或x＝6，
①Q（﹣1，0）或（6，﹣7），
综上可知存在满足条件的点Q，其坐标为Q1（2，9），Q2（3，8），Q3（﹣1，0），Q4（6，﹣7）．
【小结】
本题考查二次函数综合运用，待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质及方程思想等知识，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．在（1）中主要是待定系数法的考查，在（2）中用P点坐标表示出PM 的长是解题的关键，在（3）中构造等腰直角三角形求得QG的长是解题的关键．
6、如图1，抛物线y＝﹣x2+mx+n交x轴于点A(﹣2，0)和点B，交y轴于点C(0，2)．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点M在抛物线上，且S△A O M＝2S△B O C，求点M的坐标；
(3)如图2，设点N是线段AC上的一动点，作DN⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DN长度的最大值．
【解析】（1）A（﹣2，0），C（0，2）代入抛物线的解析式y=﹣x2+mx+n，得
420
2
m n
n
--+=
⎧
⎨
=
⎩
，解得
1
2
m
n
=-
⎧
⎨
=
⎩
，
①抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+2．
（2）由（1）知，该抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+2，则易得B（1，0），设M（m，n）然后依据S△AOM=2S△BOC
列方程可得：1
2
•AO×|n|=2×
1
2
×OB×OC，
①1
2
×2×|﹣m2﹣m+2|=2，
①m2+m=0或m2+m﹣4=0，解得m=0或﹣1
①符合条件的点M的坐标为：（0，2）或（﹣1，2，﹣2，﹣2）．
（3）设直线AC的解析式为y=kx+b，将A（﹣2，0），C（0，2）代入得
20
2
k b
b
-+=
⎧
⎨
=
⎩
，解得
1
2
k
b
=
⎧
⎨
=
⎩
，
①直线AC的解析式为y=x+2，
设N（x，x+2）（﹣2≤x≤0），则D（x，﹣x2﹣x+2），ND=（﹣x2﹣x+2）﹣（x+2）=﹣x2﹣2x=﹣（x+1）2+1，①﹣1＜0，①x=﹣1时，ND有最大值1．
①ND的最大值为1．
7、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x （x ﹣b ）﹣1
2与y 轴相交于A 点，与x 轴相交于B 、C 两点，且
点C 在点B 的右侧，设抛物线的顶点为P ．
（1）若点B 与点C 关于直线x ＝1对称，求b 的值； （2）若O B ＝O A ，求△BCP 的面积；
（3）当﹣1≤x ≤1时，该抛物线上最高点与最低点纵坐标的差为h ，求出h 与b 的关系；若h 有最大值或最小值，直接写出这个最大值或最小值．
【解析】（1）①点B 与点C 关于直线x ＝1对称，y ＝x （x ﹣b ）﹣12＝x 2﹣bx ﹣1
2， ①﹣−b
2
＝1，解得：b ＝2．
（2）当x ＝0时，y ＝x 2﹣bx ﹣1
2＝﹣1
2， ①点A 的坐标为（0，﹣1
2）．
又①O B ＝O A ，①点B 的坐标为（﹣1
2，0）．
将B （﹣1
2，0）代入y ＝x 2﹣bx ﹣1
2，得：0＝14+1
2b ﹣1
2，解得：b ＝1
2， ①抛物线的解析式为y ＝x 2﹣1
2x ﹣1
2．
①y ＝x 2﹣1
2x ﹣1
2＝（x ﹣1
4）2﹣916，
①点P 的坐标为（1
4，﹣9
16）．
当y ＝0时，x 2﹣1
2x ﹣1
2＝0，解得：x 1＝﹣1
2，x 2＝1， ①点C 的坐标为（1，0）．
①S △BCP ＝1
2×[1﹣（﹣1
2）]×|﹣9
16|＝27
64．
（3）y ＝x 2﹣bx ﹣12＝（x ﹣b 2）2﹣12﹣b 2
4
．
当b
2≥1，即b ≥2时，如图1所示， y 最大＝b +1
2，y 最小＝﹣b +1
2， ①h ＝2b ；
当0≤b
2＜1，即0≤b ＜2时，如图2所示， y 最大＝b +1
2，y 最小＝﹣1
2
﹣b 2
4
，
①h ＝1+b +b 24
＝（1+b
2
）2；
当﹣1＜b
2＜0，﹣2＜b ＜0时，如图3所示 y 最大＝1
2﹣b ，y 最小＝﹣1
2﹣b 2
4
，
①h ＝1﹣b +b 24
＝（1﹣b
2
）2；
当b
2≤﹣1，即b ≤﹣2时，如图4所示， y 最大＝﹣b +1
2，y 最小＝b +1
2，
h ＝﹣2b ．
综上所述：h ＝{
2b(b ⩾2)
(1+b 2)2
(0≤b <2)
(1−b 2)2
(−2<b <0)
−2ℎ(b ⩽−2) ，h 存在最小值，最小值为1．
8、如图，抛物线交x 轴于点A （﹣3，0）和点B ，交y 轴于点C （0，3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点P 在抛物线上，且，求点P 的坐标；
（3）如图b ，设点Q 是线段AC 上的一动点，作DQ ⊥x 轴，交抛物线于点D ，求线段DQ 长度的最大值．
【解析】（1）把A （﹣3，0），C （0，3）代入，得：，解得：，故该抛物线的解析式为：；
（2）由（1）知，该抛物线的解析式为，则易得B （1，0），设P 点坐标为（x ，），①，①
，整理，得或，解得x =﹣1或x =，则符合条件的点P 的坐标为：（﹣1，4），，； （3）设直线AC 的解析式为，将A （﹣3，0），C （0，3）代入，得：，解得：，
即直线AC 的解析式为．设Q 点坐标为（x ，x +3），（﹣3≤x ≤0），则D 点坐标为（x ，），
QD ===，①当x =时，QD 有最大值．
2y x bx c =-+
+ΔAOP ΔBOC 4S S =2
y x bx c =-++093{3b c c =--+=2
{3
b c =-=2
23y x x =--+2
23y x x =--+223x x --+ΔAOP ΔBOC 4S S =211
32341322
x x ⨯⨯--+=⨯⨯⨯2(1)0x +=2270x x +-
=1-
±(14)-+
-(14)---y kx t =+30
{
3
k t t -+==1
{
3
k t ==3y x
223x x --+2(23)(3)x x x --+-+23x x --2
3
9()2
4x -++
32-9
4。